1简单几何体1

【金版学案】2021届高考数学总温习基础知识名师讲义第八章第一节空间简单几何体的结构近三年广东高考中对本章考点考查的情形年份题号赋分所考查的知识点201175根据几何体的三视图求体积1814在四棱锥的背景下证明线面垂直，求二面角的余弦值201265通过三视图求圆柱、圆锥的体积1813在四棱锥中证明线面垂直，求二面角的正切值201355四棱台的三视图、体积65空间中的线面平行、垂直关系1814图形的翻折、证明线面垂直、求二面角的余弦值本章内容要紧包括：空间几何体的结构、简单几何体的表面积和体积、空间中各类关系的证明、空间向量的应用．近几年对本章内容的考查，要紧表此刻：①三视图与表面积、体积相结合，考查对空间几何体的熟悉；②求角，常见的是异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角；③求距离，常见的是点到直线的距离，点到平面的距离，直线与直线的距离，直线到平面的距离；④直线和平面的各类位置关系的判定和性质．对这些内容的考查，着重考查空间想象能力，要求“四会”：①会画图；②会识图；③会析图；④会用图．预测高考仍以客观题考查对空间图形的熟悉，和面积、体积的计算，以解答题考查空间中直线与平面位置关系的证明．客观题和解答题都会是中等难度．在温习立体几何时应当注意以下五个方面：1．直线和平面的各类位置关系的判定和性质，这种试题一样难度不大，多为选择题或填空题．温习中第一要清楚相关的概念、判定、性质定理，第二在否定某些错误的判按时，能举出适当的反例．另外，能将文字语言、符号语言、图形语言灵活准确地进行转化，平常的训练要注意触类旁通．2．证明空间线、面平行或垂直．已知联想性质，由求证联想判定，寻觅求证思路．通过对复杂空间图形直观图的观看和分解，发觉其中的平面图形或典型的空间图形(如正方体、正四面体等)，以便联想有关的平面几何或立体几何知识．培育依照题设条件的性质适当添加辅助线(或面)的能力，把握平行或垂直的化归方式．3．计算角与距离的问题．求角或距离的关键是将空间的角或距离灵活转化为平面上的角或距离，然后将所求量置于一个三角形中，通过解三角形最终求得所需的角或距离．解题原那么是一作、二证、三求解(即作图、证明、求解)．熟练把握异面直线所成角、线面角、二面角、点面距离的计算方式．4．简单的几何体的面积与体积问题．熟记特殊几何体的现成的公式．会将侧面展开，转化为求平面图形的面积问题；要注意解题技术，如等积变换、割补思想的应用．5．能熟练利用向量法研究空间中涉及直线和平面的各类问题．借助空间向量的运算，利用基向量法和坐标法，运用计算的方式研究三维空间几何图形的性质，能合理选取空间向量及合理成立空间直角坐标系，从而灵活运用向量法论证空间中平行与垂直两类关系，能求解空间中的角与距离，都着重考查应用空间向量求异面直线所成的角、线面角、二面角，证明线线平行、线面平行和证明异面直线垂直和线面垂直等大体问题．第八章立体几何与空间向量第一节空间简单几何体的结构认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征知识梳理空间简单几何体及其结构一、柱、锥、台、球的结构特点1．柱体．(1)棱柱：一样的，有两个面相互平行，其余各面都是四边形，而且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱；棱柱中两个相互平行的面叫做棱柱的底面，简称为底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共极点叫做棱柱的极点(如图a)．底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱别离叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……(2)圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱；旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的底面；不管旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线(如图b)．棱柱与圆柱统称为柱体．2．锥体．(1)棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共极点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥；那个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共极点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共极点叫做棱锥的极点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱(如图c)．底面是三角形、四边形、五边形……的棱锥别离叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……(2)圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥；旋转轴为圆锥的轴；垂直于轴的边旋转形成的面叫做圆锥的底面；斜边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面(如图d)．棱锥与圆锥统称为锥体．3．台体．(1)棱台：用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部份叫做棱台；原棱锥的底面和截面别离叫做棱台的下底面和上底面；棱台也有侧面、侧棱、极点(如图e)．(2)圆台：用一个平行于底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部份叫做圆台；原圆锥的底面和截面别离叫做圆台的下底面和上底面；圆台也有侧面、母线、轴(如图f)．圆台和棱台统称为台体．4．球及其有关概念．以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称为球；半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径(如图g)．用一个平面去截一个球，截面是圆面．球面被通过球心的平面截得的圆叫做大圆．球面被不通过球心的平面截得的圆叫做小圆．球的任意截面(不是大圆面)的圆心与球心的连线垂直于截面，假设设球的半径为R，截面圆的半径为r，截面圆的圆心与球心的连线长为d，那么d2＝R2－r2.5．组合体．由柱、锥、台、球等几何体组成的复杂的几何体叫组合体(如图h)．二、特殊的棱柱、棱锥、棱台直棱柱：侧棱与底面垂直的棱柱．正棱柱：底面是正多边形的直棱柱．正棱锥：底面是正多边形，棱锥的极点在底面上的射影是正多边形的中心．各侧面是全等的等腰三角形．正棱台：两底是正多边形，且两底中心连线垂直于底面的棱台叫做正棱台．也能够以为它是由正棱锥截得的棱台．正棱台各侧面是全等的等腰梯形．三、几种常见凸多面体间的关系四、一些特殊棱柱、棱锥、棱台的概念和要紧性质名称棱柱直棱柱正棱柱图形定义有两个面互相平行，而其余每相邻两个面的交线都互相平行的多面体侧棱垂直于底面的棱柱底面是正多边形的直棱柱侧棱平行且相等平行且相等平行且相等侧面的形状平行四边形矩形全等的矩形对角面的形状平行四边形矩形矩形平行于底面的截面的形状与底面全等的多边形与底面全等的多边形与底面全等的正多边形名称棱锥正棱锥棱台正棱台图形定义有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形的多面体底面是正多边形，且顶点在底面的射影是正多边形的中心用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分由正棱锥截得的棱台侧棱相交于一点但不一定相等相交于一点且相等延长线交于一点相等且延长线交于一点侧面的形状三角形全等的等腰三角形梯形全等的等腰梯形对角面的形状三角形等腰三角形梯形等腰梯形平行于底面与底面相似的多与底面相似的正与底面相似的多与底面相似的正的截面形状边形多边形边形多边形其他性质高过底面中心；侧棱与底面、侧面与底面、相邻两侧面所成角都相等两底中心连线即高；侧棱与底面、侧面与底面、相邻两侧面所成角都相等基础自测1．以下命题中正确的选项是( )A．棱柱的底面必然是平行四边形B．棱锥的底面必然是三角形C．棱台的底面是两个相似的正方形D．棱台的侧棱延长后必交于一点解析：棱柱、棱锥、棱台的底面是任意多边形．答案：D2．下面多面体中有12条棱的是( )A．四棱柱B．四棱锥C．五棱锥D．五棱柱解析：四棱柱有4条侧棱，上下底面四边形各有4条边，共12条棱．应选A.答案：A3．在以下图的几何体中，有______个是柱体．解析：柱体包括棱柱与圆柱，图中①③⑤⑦都是柱体．故填4.答案：44．由7个面围成，其中两个面是相互平行且全等的正五边形，其他面都是全等的矩形，那么那个几何体的名称是____________．解析：依照棱柱的概念可知，该几何体是正五棱柱．答案：正五棱柱1．到正方体ABCDA1B1C1D1的三条棱AB，CC1，A1D1所在直线的距离相等的点( )A．有且只有1个B．有2个C．有3个D．有无数个解析：∵到三条两两垂直的直线距离相等的点在以三条直线为轴，以正方体棱长为半径的圆柱面上，∴三个圆柱面有无数个交点，应选D.答案：D2．正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两极点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数是( )A．20 B．15C．12 D．10解析：一个下底面5个点，每一个下底面的点关于5个上底面的点，知足条件的对角线有2条，因此共有5×2＝10条．答案：D1．如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2 cm，高为5 cm，一质点自点A动身，沿着三棱柱的侧面绕行两周抵达点A1的最短线路的长为________cm.答案：132．以下结论正确的选项是( )A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，那么此棱锥可能是六棱锥D．圆锥的极点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线解析：A错误．如下图，由两个结构相同的三棱锥叠放在一路组成的几何体，各面都是三角形，但它不必然是棱锥．B 错误．假设△ABC不是直角三角形或是直角三角形但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥．C错误．假设六棱锥的所有棱长都相等，那么底面多边形是正六边形．由几何图形知，假设以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长．答案：D。

1.球
从任何方向看都是圆形
（从前面看）（从侧面看）（从上面看）
3.圆柱
（从前面看）（从侧面看）（从上面看）
（从前面看）（从侧面看）
4.正方体
（从前、后、上、下、左、右六个不同的方向看都是正方形）
重点：1•一个正方体从不同方向看最多能看到三个面；
2.一个正方体从任何方向看不_定是正方形。

5•长方体
I第一种情况：从上下前后左右六个方向看都是长方形
第二种情况：从上下看到的是正方形，前后左右看到的是长方形从前
后看到的是正方形，上下左右看到的是长方形从左右看到的是正方形，
上下前后看到的是长方形
重点：矩形包括长方形和矩形，所以长方体从上下前后左右六个方向看都是矩形,但不一定全部都是长方形，也可能会看到正方形。

6.总结
①看到圆形的可能有：球、圆柱、圆锥
②看到正方形的可能有：正方体、长方体、圆柱
③看到长方形的可能有：长方体、圆柱
④长方体可能看到正方形，但不一定能
⑤长方体一定可以看到长方形
⑥圆柱一定能看到圆形，可能看到正方形或长方形。

第一章立体几何初步§1简单几何体1．1简单旋转体知识点一旋转体[填一填](1)概念：一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体．(2)特殊的旋转体：圆柱、圆锥、圆台、球．知识点二球[填一填](1)概念：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转所形成的曲面叫作球面．球面所围成的几何体叫作球体，简称球．半圆的圆心叫作球心．连接球心和球面上任意一点的线段叫作球的半径．连接球面上两点并且过球心的线段叫作球的直径．如图所示．(2)表示：球常用表示球心的字母表示．如上图中的球记作球O.[答一答]1．在平面几何中，你学习了直线与圆的位置关系，那么平面与球的位置关系如何？提示：类比平面上直线与圆的位置关系，平面与球有以下几种位置关系：相离、相切、相交，其中相离是平面与球无公共点，相切是平面与球有且只有一个公共点，相交则是平面与球有无数多个公共点．知识点三圆柱、圆锥、圆台[填一填](1)概念：分别以矩形的一边、直角三角形的一条直角边、直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体分别叫作圆柱、圆锥、圆台．圆台也可以看作是用平行于圆锥底面的平面截这个圆锥而得到的．垂直于旋转轴的边旋转而成的圆面叫作它们的底面；不垂直于旋转轴的边旋转而成的曲面叫作它们的侧面，无论转到什么位置，这条边都叫作侧面的母线．如图所示．(2)表示：圆柱、圆锥、圆台都是用表示轴的字母表示．如上图中的圆柱、圆锥、圆台分别记为圆柱OO′、圆锥SO、圆台OO′.[答一答]2．对圆柱、圆锥、圆台：(1)平行于底面的截面是什么样的图形？(2)过轴的截面(简称轴截面)分别是什么样的图形？(3)研究圆柱、圆台和圆锥之间的关系．提示：(1)平行于底面的截面，图形都是圆．(2)过轴的截面，对于圆柱是矩形，对于圆锥是等腰三角形，对于圆台是等腰梯形．(3)圆柱的上底面变小，就变为圆台，当上底面变为一个点时，它就变成了圆锥．圆台是由圆锥截得的，“补台成锥”是解决圆台问题的一种重要方法．3．为什么以直角三角形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体不一定是圆锥？提示：如图①所示，Rt△ABC中，AB⊥AC，以直角边AC所在的直线为轴旋转所得旋转体是圆锥，如图②；以直角边AB所在的直线为轴旋转所得旋转体也是圆锥，如图③；以斜边BC所在的直线为轴旋转所得旋转体不是圆锥，是两个同底面的圆锥拼接成的几何体，如图④.由此可见，平面图形绕同一平面内的一条直线旋转所得几何体是什么样的旋转体，跟所选旋转轴所在的直线的位置关系有关．在理解圆柱、圆锥和圆台的概念时要注意以下几点(1)我们以轴上的两个字母表示几何体，可以记作圆柱OO′，圆锥SO，圆台OO′.(2)圆台可看作是用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分．(3)这三种几何体的母线不是唯一的．圆柱的母线互相平行，圆锥的母线交于一点，圆台的母线延长后交于一点．连接圆柱上、下底面圆周上两点，不一定是圆柱的母线，圆柱的母线与轴平行．但连接圆锥顶点和底面圆周上任一点得到的线段都是母线．(4)用一个与底面平行的平面去截这三种几何体，得到的截面都是圆面.类型一旋转体的有关概念【例1】以下对于几何体的描述，错误的是()A．NBA决赛中使用的篮球不是球体B．一个等腰三角形绕着底边上的高所在直线旋转180°形成的封闭曲面所围成的图形叫作圆锥C．用平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫作圆台D．以矩形的一组对边的中垂线所在直线为轴旋转180°所形成的几何体为圆柱【思路探究】根据柱、锥、台的结构特征进行判断．【解析】根据球的定义可知A正确．由圆锥的定义知B正确．当平面与圆锥的底面平行时底面与截面之间的部分为圆台，故C错误．由圆柱的定义知D正确．【答案】 C规律方法1.判断简单旋转体结构特征的方法(1)明确由哪个平面图形旋转而成．(2)明确旋转轴是哪条直线．2．简单旋转体的轴截面及其应用(1)简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量．(2)在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想．判断下列各命题是否正确．(1)圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是圆柱的母线；(2)一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台；(3)圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形；(4)到定点的距离等于定长的点的集合是球．解：(1)错误．由圆柱母线的定义知，圆柱的母线应平行于轴．(2)错误．直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体，如图所示．(3)正确．(4)错误．应为球面．类型二有关几何体的计算问题【例2】一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2.求：(1)圆台的高；(2)截得此圆台的圆锥的母线长．【思路探究】本题主要考查圆台中的有关计算，关键是画出轴截面，依据相似三角形求解．【解】(1)如右图所示，设圆台的轴截面是等腰梯形ABCD，O1，O分别是上、下底面的中心，作AM⊥BC于M，延长BA，CD交于S，连接SO，则SO经过O1.由已知得上底面半径O1A＝2 cm ，下底面半径OB ＝5 cm ，且腰长AB ＝12 cm ，∴圆台的高AM ＝122－(5－2)2＝315(cm)．(2)设截得此圆台的圆锥的母线长为l cm ，则由△SAO 1∽△SBO ，得l －12l ＝25，解得l ＝20. 即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.规律方法 解决这类问题一般是画出轴截面解三角形．一个圆锥的高为2，母线与轴的夹角为30°，则圆锥的母线长为433. 解析：先明确圆锥的相关概念，画出示意图，再利用直角三角形的知识求解，如图所示，设圆锥底面直径为AB ，SO 为高，SA 为母线，由题意可知∠ASO ＝30°，所以在Rt △AOS 中，SA ＝SO cos ∠ASO ＝2cos30°＝433. 类型三 有关球的截面问题【例3】 在球内有相距9 cm 的两个平行截面，面积分别为49π cm 2和400π cm 2，求此球的半径．【思路探究】 作轴截面(过与截面圆垂直的半径作截面)，将空间图形化为平面图形．利用截面的性质解直角三角形．【解】 两截面与球心的位置关系有两种：(1)两截面位于球心的同侧；(2)球心在两截面之间．若两截面位于球心的同侧，如图①，C ，C 1分别是两平行截面的圆心，设球的半径为R ，截面圆的半径分别为r ，r 1，由πr 21＝49π，得r 1＝7(cm)，由πr 2＝400π，得r ＝20(cm)，在Rt△OB1C1中，OC1＝R2－r21＝R2－49，在Rt△OBC中，OC＝R2－r2＝R2－400，由题意知OC1－OC＝9 cm，即R2－49－R2－400＝9，解得R＝25(cm)，若球心在两截面之间，如图②，OC1＝R2－49，OC＝R2－400.由题意知OC1＋OC＝9 cm，即R2－49＋R2－400＝9，R2－49＝9－R2－400，平方得R2－400＝－15，此方程无解，说明第二种情况不存在．综上所述，所求球的半径为25 cm.规律方法在解决球的截面问题时，可作轴截面，将空间图形化为平面图形．由于球心与截面圆心的连线垂直于截面圆，因此经过球心与截面圆心的连线作轴截面如图．则球的半径R，截面圆半径r，球心到截面的距离d有如下关系：d2＋r2＝R2.在半径等于13 cm的球内有一个截面，它的面积是25π cm2，求球心到这个截面的距离．解：设截面圆的半径为r cm.因为πr2＝25π，所以r＝5.设球心到截面的距离为d cm，则d＝132－52＝12.所以球心到截面的距离为12 cm.类型四圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图问题【例4】如图所示，一圆柱的底面半径为2，母线长为5，轴截面为矩形ABCD，从点A拉一绳子沿圆柱侧面到点C，求最短绳长．【思路探究】(1)绳子是在圆柱的侧面上，与侧面有关的问题用侧面展开图来解决．(2)沿母线BC剪开，将圆柱侧面的一半展开，得展开图矩形，其中AD是母线的长，AB′是底面周长的一半．【解】沿BC剪开，将圆柱侧面的一半展开得到矩形B′ADC′，如图所示，连接AC′，则AC′的长即为所求最短绳长，由题意可知，B′C′＝5，AB′＝2π，即最短绳长为25＋4π2.规律方法1.圆柱问题中的基本量为底面半径r、h、母线长l，且h＝l.2．解决与圆柱有关的问题可作轴截面或侧面展开图，将空间问题转化为平面问题．3．轴截面是矩形，长和宽分别为2r和l.4．侧面展开图是矩形，长和宽分别为2πr和l.圆锥底面半径r＝1 cm，母线l＝6 cm，现有一只蚂蚁，从圆锥底面圆周上点A沿侧面爬一周后又回到A点，求它至少要爬的路程．解：如图所示，将圆锥侧面沿母线P A 展开，所得扇形的圆心角θ＝r l ·360°＝16×360°＝60°，∴△P AA ′为等边三角形，∴AA ′＝6，即它至少要爬的路程为6 cm.——转化与化归思想——立体几何问题平面化1．利用轴截面将空间问题转化为平面问题圆柱、圆锥、圆台、球的轴截面中含有丰富的元素和良好的图形性质，因此在解决几何体的有关长度计算问题时常常利用轴截面来解决，将空间问题转化为平面问题．2．用侧面展开的方法求圆柱、圆锥和圆台侧面上两点间距离(最值)求几何体侧面上两点间最短距离的问题，常把侧面展开，转化为平面几何问题后解决．【例5】 如图所示，已知圆锥SO 中，底面半径r ＝1，母线长l ＝4，M 为母线SA 上的一个点，且SM ＝x ，从点M 拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点A .求：(1)绳子的最短长度的平方f (x )；(2)绳子最短时，顶点到绳子的最短距离；(3)f (x )的最大值．【思路分析】 求几何体侧面上两点之间的距离的最小值时，往往利用其侧面展开图求解．【精解详析】 将圆锥的侧面沿SA 剪开，并展开，如图所示，该图形为扇形，且弧AA ′的长度L 就是圆O 的周长，所以L ＝2πr ＝2π.所以∠ASM ＝L 2πl ×360°＝2π2π×4×360°＝90°.(1)由题意知，绳子长度的最小值为展开图中的AM ，且AM ＝x 2＋16(0≤x ≤4)，所以f (x )＝AM 2＝x 2＋16(0≤x ≤4)．(2)作SR ⊥AM ，垂足为R ，则SR 的长度为顶点S 到绳子的最短距离，因为12SA ·SM ＝12AM ·SR ，所以SR ＝SA ·SM AM ＝4x x 2＋16(0≤x ≤4)，即绳子最短时，顶点到绳子的最短距离为4x x 2＋16(0≤x ≤4)． (3)因为f (x )＝x 2＋16(0≤x ≤4)是增函数，所以f (x )的最大值为f (4)＝32.【解后反思】 求解旋转体侧面上两点间的最小距离时，一般将几何体侧面展开，从而将空间问题转化为平面问题，将曲线问题转化为直线问题来解决，使复杂问题简单化．如图，圆台的上、下底面半径分别为5 cm 和10 cm ，母线长AB ＝20 cm ，从圆台母线AB 的中点M 拉一条绳子绕圆台侧面转到A 点．求：在绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离．提示：类似几何体表面最短路径问题一般是把侧面展开，转化为平面几何知识求解． 解：如图，将圆台侧面展开，则绳子的最短长度为侧面展开图中A 1M 的长度，所以∠AOA 1＝10－520×360°＝90°， 设OB ＝l ′，则5l ′·360°＝90°， 所以l ′＝20 cm ，所以OA ＝OA 1＝40 cm ，OM ＝30 cm.在Rt△A1OM中，A1M＝OA21＋OM2＝402＋302＝50(cm)．过点O作OQ⊥A1M于Q，交弧BB1于P，则PQ为所求最短距离．因为OA1·OM＝A1M·OQ，则40×30＝50·OQ，所以OQ＝24 cm，所以PQ＝OQ－OP＝OQ－OB＝24－20＝4(cm)，即上底圆周上的点到绳子的最短距离为4 cm.一、选择题1．下列不是旋转体的是(D)A．圆台B．圆锥C．圆柱D．球面解析：如果只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形叫作空间几何体．旋转体是特珠的空间几何体．因此球面不是旋转体．2．下列说法中正确的是(D)A．圆台是直角梯形绕其一边所在的直线旋转而成的B．圆锥是直角三角形绕其一边所在的直线旋转而成的C．圆柱不是旋转体D．圆台可以看作是平行于底面的平面截一个圆锥而得到的底面与截面之间的部分解析：圆台是直角梯形绕垂直于底边的腰所在的直线旋转而得到的，故A不正确；圆锥是直角三角形绕其一条直角边所在的直线旋转而得到的，故B不正确；而圆柱、圆锥、圆台、球都是旋转体，故C不正确．3．有下列表述：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．其中正确的是(D)A．①②B．②③C．①③D．②④解析：对于①③，两点的连线不一定在圆柱、圆台的侧面上，当然有可能不是母线了，对于②④，由母线的定义知正确．二、填空题4．有下列说法：①球的半径是连接球面上任意一点和球心的线段；②球的直径是球面上任意两点间的线段；③用一个平面截一个球，得到的是一个圆；④空间中到一定点距离相等的点的集合是一个球．其中正确的有①.解析：①球是半圆绕其直径所在的直线旋转，旋转面所围成的封闭的几何体，不难理解，半圆的直径就是球的直径，半圆的圆心就是球心，半圆的半径就是球的半径，因此①正确；如果球面上的两点连线经过球心，则这条线段就是球的直径，因此②错误；球是一个几何体，平面截它应得到一个面而不是一条曲线，所以③错误；空间中到一定点距离相等的点的集合是一个球面，而不是一个球体，所以④错误．5．圆柱、圆锥和圆台过轴的截面分别是矩形、等腰三角形和等腰梯形．三、解答题6．在半径为25 cm的球内有一个截面，它的面积是49π cm2，求球心到这个截面的距离．解：设球的半径为R，截面圆的半径为r，球心到截面的距离为d，如图所示．因为S＝πr2＝49π cm2，所以r＝7 cm，所以d＝R2－r2＝252－72＝24(cm)，即球心到这个截面的距离为24 cm.1．2 简单多面体知识点一多面体与棱柱[填一填]1．多面体我们把若干个平面多边形围成的几何体叫作多面体．其中棱柱、棱锥、棱台都是简单多面体．2．棱柱(1)棱柱的有关概念两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，这些面围成的几何体叫作棱柱．两个互相平行的面叫作棱柱的底面，其余各面叫作棱柱的侧面，棱柱的侧面是平行四边形．两个面的公共边叫作棱柱的棱，其中两个侧面的公共边叫作棱柱的侧棱，底面多边形与侧面的公共顶点叫作棱柱的顶点，与两个底面都垂直的直线夹在两底面间的线段长叫作棱柱的高．(2)棱柱的分类①按底面多边形的边数：棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形……我们把这样的棱柱分别叫作三棱柱、四棱柱、五棱柱…….②按侧棱与底面是否垂直：[答一答]1．有人说：有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．你认为这种说法对吗？提示：这种说法不对．棱柱有两个本质特征：(1)有两个面互相平行；(2)其余各面每相邻两个面的公共边相互平行．正是由于这两个特征，使棱柱的各侧面都是平行四边形，但是有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体未必是棱柱．反例如图．知识点二棱锥[填一填](1)定义有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，这些面围成的几何体叫作棱锥．这个多边形叫作棱锥的底面，其余各面叫作棱锥的侧面，相邻侧面的公共边叫作棱锥的侧棱，各侧面的公共点叫作棱锥的顶点，过顶点作底面的垂线，顶点与垂足间的线段长叫作棱锥的高．(2)正棱锥如果棱锥的底面是正多边形，且各侧面全等，就称作正棱锥．(3)分类按底面多边形的边数分：底面是三角形、四边形、五边形……的棱锥分别叫作三棱锥、四棱锥、五棱锥…….[答一答]2．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥吗？为什么？提示：不一定，判断一个几何体是否是棱锥，关键是紧扣棱锥的三个本质特征：(1)有一个面是多边形；(2)其余各面都是三角形；(3)这些三角形有一个公共顶点．这三个特征缺一不可，显然，这种说法不满足(3). 反例如图．知识点三棱台[填一填](1)定义用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫作棱台．原棱锥的底面和截面叫作棱台的下底面和上底面，其他各面叫作棱台的侧面，相邻侧面的公共边叫作棱台的侧棱，与两个底面都垂直的直线夹在两底面间的线段长叫作棱台的高．(2)正棱台用正棱锥截得的棱台叫作正棱台，正棱台的侧面是全等的等腰梯形，它的高叫作正棱台的斜高．(3)分类按底面多边形的边数分：底面是三角形、四边形、五边形……的棱台分别叫作三棱台、四棱台、五棱台…….[答一答]3．棱台的各侧棱是什么关系？各侧面是什么样的多边形？两个底面是什么关系？提示：棱台的各侧棱延长后交于一点，各侧面是梯形，两个底面是相似的多边形．4．观察下面的几何体，思考问题：图①是棱台吗？图②用任意一个平面去截棱锥，一定能得到棱台吗？提示：图①不是棱台，因为各侧棱延长后不交于一点，图②中只有用平行于底面的平面去截才能得到棱台．1．对于多面体概念的理解，注意以下两个方面(1)多面体是由平面多边形围成的，围成一个多面体至少要四个面．(2)多面体是一个“封闭”的几何体．2．对于棱柱的定义注意以下三个方面(1)有两个面平行，各侧棱都平行，各侧面都是平行四边形．(2)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱．(3)从运动的观点看，棱柱可以看成是一个平面多边形，从一个位置沿一条不与其共面的直线运动到另一位置时，形成的几何体．3．对于棱锥要注意有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥，必须强调其余各面是共顶点的三角形．4．棱台中各侧棱延长后必相交于一点，否则不是棱台.类型一概念的理解与应用【例1】下列关于多面体的说法正确的个数为________．①所有的面都是平行四边形的几何体为棱柱；②棱台的侧面一定不会是平行四边形；③底面是正三角形，且侧棱相等的三棱锥是正三棱锥；④棱台的各条侧棱延长后一定相交于一点；⑤棱柱的每一个面都不会是三角形．【解析】①中两个四棱柱放在一起，如图所示，能保证每个面都是平行四边形，但并不是棱柱．故①错．②中棱台的侧面一定是梯形，不可能为平行四边形，②正确．根据棱锥的概念知③正确．根据棱台的概念知④正确．棱柱的底面可以是三角形，故⑤不正确．正确的个数为3.【答案】 3规律方法有关棱柱、棱锥、棱台结构特征的判断方法(1)举反例法：结合棱柱、棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．(2)直接法：棱锥棱台定底面只有一个面是多边形，此面即为底面两个互相平行的面，即为底面看侧棱相交于一点延长后相交于一点下面属于多面体的是①②.(将正确答案的序号填在横线上)①建筑用的方砖；②埃及的金字塔；③茶杯；④球．解析：①②属于多面体；③④属于旋转体．类型二棱柱的结构特征【例2】如图所示，已知长方体ABCD－A1B1C1D1.(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？(2)用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱？如果不是，说明理由．【思路探究】判断一个几何体是否是棱柱，关键是验证几何体是否满足棱柱的定义．如果是棱柱，一是要找到两个面平行，二是要判定其余各个面的公共边平行；如果不是棱柱，则需指出不满足定义或举出反例．【解】(1)是棱柱，并且是四棱柱，因为以长方体相对的两个面作底面都是四边形，其余各面都是矩形，矩形当然是平行四边形，并且几何体的四条侧棱互相平行．(2)截面BCFE上方部分是棱柱，且是三棱柱BEB1－CFC1，其中△BEB1和△CFC1是底面．截面BCFE下方部分也是棱柱，且是四棱柱ABEA1－DCFD1，其中四边形ABEA1和四边形DCFD1是底面．规律方法棱柱的两个主要结构特征：(1)有两个面互相平行；(2)各侧棱都互相平行，各侧面都是平行四边形．通俗地讲，就是棱柱“两头一样平，上下一样粗”．下列说法中，正确的是(C)A．底面是正多边形的棱柱是正棱柱B．棱柱中两个互相平行的面一定是棱柱的底面C．棱柱的各个面中，至少有两个面互相平行D．棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形解析：正棱柱是底面是正多边形且侧棱垂直于底面的棱柱，故A错误；棱柱中可以有两个侧面互相平行，不一定是底面，同时底面可以是平行四边形，故B，D错；由棱柱的概念知C正确．故正确答案为C.类型三棱锥的几何特征【例3】已知正三棱锥V－ABC的底面边长为6，高VO＝4，D为AB的中点，过点V，C，D作截面，试求该截面的周长和面积．【思路探究】依据题意画出图形，利用高与侧棱、底面等边三角形相应的外接圆半径，高与斜高、底面等边三角形相应边心距构成的直角三角形进行计算．【解】 由题意画出图形，如图所示，其中VO ＝4，AB ＝BC ＝CA ＝6，∵△ABC 是等边三角形，O 是中心，∴OC ＝23，OD ＝3，在Rt △VOC 和Rt △VOD 中，由勾股定理，得VC ＝42＋(23)2＝27，VD ＝42＋(3)2＝19，∴截面△VCD 的周长为VC ＋CD ＋VD ＝27＋33＋19，面积为12CD ·VO ＝12×33×4＝6 3.规律方法 1.如图，在正三棱锥的计算中，常要研究基本量：底面边长AB 、侧棱长PC 、高PO 、斜高PD 、边心距OD 、底面外接圆半径OC 等．2．含有这些基本量的直角三角形有Rt △POD 、Rt △POC 、Rt △PDB 、Rt △AOD 等． 3．通过解这些直角三角形可求出基本量，进而完成解题． 4．记住一些结论可提高解题速度．如若AB ＝a ，则OC ＝33a ，OD ＝36a ，CD ＝32a 等．在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有( D ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中取四棱锥A 1－ABCD ，则此四棱锥的四个侧面全为直角三角形．故正确答案为D.类型四 棱台的几何特征【例4】 已知四棱台的上底面、下底面分别是边长为4,8的正方形，各侧棱长均为17，求四棱台的高．【思路探究】 思路一：用“补形法”，将棱台还原为棱锥，结合平面几何知识求解；思路二：依题意，作出棱台的对角面，化为平面几何的计算问题．【解】解法一：如图所示，设O 1，O 分别为正方形A 1B 1C 1D 1和正方形ABCD 的中心，则P ，O 1，O 三点共线．A 1O 1＝12A 1C 1＝12×42＝22，AO ＝12AC ＝12×82＝4 2.∵△P A 1O 1∽△P AO ，∴A 1O 1AO ＝P A 1P A ，即P A 1P A ＝12.又∵P A ＝P A 1＋A 1A ＝2P A 1，∴P A 1＝A 1A ＝17， 在Rt △PO 1A 1中，PO 1＝P A 21－A 1O 21＝(17)2－(22)2＝3.又∵PO 1PO ＝A 1O 1AO ，∴PO ＝6，∴OO 1＝3.∴四棱台的高为3.解法二：如图所示，在截面ACC 1A 1中，A 1A ＝CC 1＝17，A 1C 1＝42，AC ＝82，过A 1作A 1E ⊥AC 交AC 于点E ，则A 1E 就是四棱台的高．在Rt △A 1EA 中，AE ＝12×(82－42)＝22，A 1A ＝17，∴A1E＝A1A2－AE2＝(17)2－(22)2＝3，即四棱台的高为3.规律方法正棱台的计算1．将正棱台补成棱锥(1)大、小棱锥中用解直角三角形方法求解；(2)两棱锥之间运用“对应高之比等于相似比”及相似形知识求解．2．在正棱台中作直角梯形，进而化为矩形和直角三角形求解．下列几何体是棱台的是④(填序号)．解析：①③都不是由棱锥截得的，不符合棱台的定义，故①③不满足题意，②中的截面不平行于底面，不符合棱台的定义，故②不满足题意，④符合棱台的定义，故填④.——多维探究系列——几何体的侧面或表面展开图问题展开图问题是转化思想的体现，是把立体几何问题转化为平面几何问题的重要手段之一，所以要重视这种问题的应用．【例5】如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？【思路分析】图①中，有5个平行四边形，而且还有2个全等的五边形，符合棱柱特点；图②中，有5个三角形，且有共同的顶点，还有1个五边形，符合棱锥特点；图③中，有3个梯形，还有2个相似的三角形，符合棱台的特点．【精解详析】由几何体的侧面展开图的特点，结合棱柱、棱锥、棱台的定义，可把。

常见几何体20个几何体是我们日常生活中经常接触到的物体，它们的形状各异，有的是平面的，有的是立体的。

在这篇文章中，我们将介绍20种常见的几何体，包括球体、立方体、圆柱体、圆锥体、棱柱体、棱锥体、正四面体、正八面体、正十二面体、正二十面体、长方体、正方体、六面体、五面体、四面体、三棱锥、四棱锥、五棱锥和六棱锥。

1. 球体球体是一种立体几何体，它的表面是由无数个相等的点组成的。

球体的体积公式为V=4/3πr³，其中r为球体的半径。

2. 立方体立方体是一种六面体，每个面都是正方形。

立方体的体积公式为V=a³，其中a为立方体的边长。

3. 圆柱体圆柱体是一种由两个平行的圆面和一个侧面组成的几何体。

圆柱体的体积公式为V=πr²h，其中r为圆柱体的底面半径，h为圆柱体的高度。

4. 圆锥体圆锥体是一种由一个圆锥面和一个底面组成的几何体。

圆锥体的体积公式为V=1/3πr²h，其中r为圆锥体的底面半径，h为圆锥体的高度。

5. 棱柱体棱柱体是一种由两个平行的多边形和若干个侧面组成的几何体。

棱柱体的体积公式为V=Bh，其中B为棱柱体的底面积，h为棱柱体的高度。

6. 棱锥体棱锥体是一种由一个多边形锥面和一个底面组成的几何体。

棱锥体的体积公式为V=1/3Bh，其中B为棱锥体的底面积，h为棱锥体的高度。

7. 正四面体正四面体是一种四面体，每个面都是正三角形。

正四面体的体积公式为V=1/3a³，其中a为正四面体的边长。

8. 正八面体正八面体是一种八面体，每个面都是正正方形。

正八面体的体积公式为V=1/3a³，其中a为正八面体的边长。

9. 正十二面体正十二面体是一种十二面体，每个面都是正五边形。

正十二面体的体积公式为V=(15+7√5)/4a³，其中a为正十二面体的边长。

10. 正二十面体正二十面体是一种二十面体，每个面都是正三角形。

正二十面体的体积公式为V=(5+5√5)/12a³，其中a为正二十面体的边长。

【第1讲简单几何体及其直观图、三视图】之小船创作一、知识梳理1．空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征(1)画法：常用斜二测画法．(2)规则：①在已知图形中建立直角坐标系xOy，画直观图时，它们分别对应x′轴和y′轴，两轴交于点O′，使x′O′y′＝45°，它们确定的平面表示水平平面．②已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x ′轴和y ′轴的线段．③已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y 轴的线段，长度为原来的12． 3．三视图 (1)几何体的三视图包括主视图、左视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．(2)三视图的画法 ①基本要求：长对正，高平齐，宽相等． ②画法规则：正侧一样高，正俯一样长，侧俯一样宽；看不到的线画虚线．常用结论1．斜二测画法中的“三变”与“三不变”“三变”⎩⎪⎨⎪⎧坐标轴的夹角改变与y 轴平行的线段的长度变为原来的一半图形改变“三不变”⎩⎪⎨⎪⎧平行性不改变与x ，z 轴平行的线段的长度不改变相对位置不改变2．常见旋转体的三视图(1)球的三视图都是半径相等的圆．(2)水平放置的圆锥的主视图和左视图均为全等的等腰三角形．(3)水平放置的圆台的主视图和左视图均为全等的等腰梯形．(4)水平放置的圆柱的主视图和左视图均为全等的矩形．二、教材衍化1．下列说法正确的是( )A．相等的角在直观图中仍然相等B．相等的线段在直观图中仍然相等C．正方形的直观图是正方形D．若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行解析：选D.由直观图的画法规则知，角度、长度都有可能改变，而线段的平行性不变．2．在如图所示的几何体中，是棱柱的为________．(填写所有正确的序号)答案：③⑤3．已知如图所示的几何体，其俯视图正确的是________．(填序号)解析：由俯视图定义易知选项③符合题意．答案：③一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．( )(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．( )(3)夹在两个平行的平面之间，其余的面都是梯形，这样的几何体一定是棱台．( )(4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同．( )(5)用两平行平面截圆柱，夹在两平行平面间的部分仍是圆柱．( )(6)菱形的直观图仍是菱形．( )答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×(6)×二、易错纠偏常见误区|Ｋ(1)棱柱的概念不清致误；(2)不清楚三视图的三个视图间的关系，想象不出原几何体而出错；(3)斜二测画法的规则不清致误．1．如图，长方体ABCD­A′B′C′D′中被截去一部分，其中EH∥A′D′.剩下的几何体是( )A．棱台B．四棱柱C．五棱柱D．六棱柱解析：选C.由几何体的结构特征，剩下的几何体为五棱柱．故选C.2．将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的主视图与俯视图如图所示，则该几何体的左视图为( )解析：选B.先根据主视图和俯视图还原出几何体，再作其左视图．由几何体的主视图和俯视图可知该几何体为图①，故其左视图为图②.故选B.3．在直观图(如图所示)中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm，则在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCO 为________，面积为________cm2.解析：由斜二测画法的特点，知该平面图形的直观图的原图，即在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCO是一个长为4 cm，宽为2 cm的矩形，所以四边形ABCO的面积为8 cm2.答案：矩形8空间几何体的几何特征(自主练透) 1．下列说法正确的是( )A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线解析：选D.由图知，A不正确．两个平行平面与底面不平行时，截得的几何体不是旋转体，则B不正确．侧棱长与底面多边形的边长相等的棱锥一定不是六棱锥，故C错误．由定义知，D正确．2．给出下列几个命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱；③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．其中正确命题的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3解析：选B.①不一定，只有这两点的连线平行于旋转轴时才是母线；②正确；③错误，棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．3．给出下列命题：①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；②若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；③在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；④存在每个面都是直角三角形的四面体．其中正确命题的序号是________．解析：①不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；②正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角；③正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；④正确，如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中的三棱锥C1­ABC，四个面都是直角三角形．答案：②③④空间几何体概念辨析问题的常用方法空间几何体的三视图(多维探究)角度一已知几何体，识别三视图(1)(2020·宜宾模拟)已知棱长都为2的正三棱柱ABC­A1B1C1的直观图如图．若正三棱柱ABC­A1B1C1绕着它的一条侧棱所在直线旋转，则它的左视图可以为( )(2)(2020·湖南衡阳二模)如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的顶点A，B在平面α上，AB＝ 2.若平面A1B1C1D1与平面α所成角为30°，由如图所示的俯视方向，正方体ABCD­A1B1C1D1在平面α上的俯视图的面积为( )A．2 B．1＋ 3 C．2 3 D．22【解析】(1)由题知，四个选项的高都是2.若左视图为A，则中间应该有一条竖直的实线或虚线；若左视图为C，则其中有两条侧棱重合，不应有中间竖线；若左视图为D，则长度应为3，而不是1.故选B.(2)由题意得AB在平面α内，且平面α与平面ABCD 所成的角为30°，与平面B1A1AB所成的角为60°，故所得的俯视图的面积S＝2×(2cos 30°＋2cos 60°)＝2(cos 30°＋cos 60°)＝1＋ 3.【答案】(1)B (2)B角度二已知三视图，判断几何体(1)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是( ) A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱锥D．四棱柱(2)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4【解析】(1)由题三视图得直观图如图所示，为三棱柱，故选B.(2)将三视图还原为直观图，几何体是底面为直角梯形，且一条侧棱和底面垂直的四棱锥，如图所示．易知，BC ∥AD ，BC ＝1，AD ＝AB ＝PA ＝2，AB ⊥AD ，PA ⊥平面ABCD ，故△PAD ，△PAB 为直角三角形，因为PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥BC ，又BC ⊥AB ，且PA ∩AB ＝A ，所以BC ⊥平面PAB ，又PB ⊂平面PAB ，所以BC ⊥PB ， 所以△PBC 为直角三角形，容易求得PC ＝3，CD ＝5，PD ＝22，故△PCD 不是直角三角形，故选C.【答案】 (1)B (2)C【迁移探究1】 (变问法)在本例(2)条件下，求该四棱锥的所有棱中，最长棱的棱长是多少？解：由三视图可知，PA ＝AB ＝AD ＝2，BC ＝1，经计算可知，PB ＝PD ＝22，PC ＝3，CD ＝5，故最长棱为PC ，且|PC |＝3.【迁移探究2】 (变问法)在本例(2)条件下，求该四棱锥的五个面中，最小面的面积．解：面积最小的面为面PBC ，且S △PBC ＝12BC ·PB ＝12×1×22＝2，即最小面的面积为 2. 角度三 已知几何体的某些视图，判断其他视图(1)(2020·福州模拟)如图为一圆柱切削后的几何体及其主视图，则相应的左视图可以是( )(2)(2020·河北衡水中学联考)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈、长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少？”已知该楔体的主视图和俯视图如图中粗实线所示，则该楔体的左视图的周长为( )A ．3丈B ．6丈C ．8丈D ．(5＋13)丈【解析】 (1)圆柱被不平行于底面的平面所截，得到的截面为椭圆，结合主视图，可知左视图最高点在中间，故选B.(2)由题意可知该楔体的左视图是等腰三角形，它的底边长为3丈，相应高为2丈，所以腰长为 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫322＝52(丈)，所以该楔体左视图的周长为3＋2×52＝8(丈)．故选C. 【答案】 (1)B (2)C三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图．注意主视图、左视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，看不到的部分用虚线表示．(2)由几何体的部分视图画出剩余的视图．先根据已知的一部分视图，还原、推测其直观图的可能形式，然后再找其剩下部分视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为直观图．1．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )解析：选A.由题意知，在咬合时带卯眼的木构件中，从俯视方向看，榫头看不见，所以是虚线，结合榫头的位置知选A.2．(2020·安徽宣城二模)一个几何体的三视图如图所示，在该几何体的各个面中，面积最大面的面积是( ) A．2 B．2 2 C．2 3 D．4解析：选C.如图所示，由三视图可知该几何体是四棱锥P­ABCD截去三棱锥P­ABD后得到的三棱锥P­BCD.其中四棱锥中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，且PA＝AB＝2，易知面积最大面为面PBD，面积为34×(22)2＝2 3.故选C.3．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在主视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N 的路径中，最短路径的长度为( )A．217 B．2 5 C．3 D．2解析：选B.由三视图可知，该几何体为如图①所示的圆柱，该圆柱的高为2，底面周长为16.画出该圆柱的侧面展开图，如图②所示，连接MN，则MS＝2，SN＝4，则从M到N 的路径中，最短路径的长度为MS2＋SN2＝22＋42＝2 5.故选B.空间几何体的直观图(自主练透) 1．如图所示为一个平面图形的直观图，则它的实际形状四边形ABCD为( )A．平行四边形B．梯形C．菱形D．矩形解析：选D.由斜二测画法可知在原四边形ABCD中DA⊥AB，并且AD∥BC，AB∥CD，故四边形ABCD为矩形．2．已知等边三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为( )A.34a2B．38a2C.68a2D．616a2解析：选D.如图①②所示的实际图形和直观图，由②可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝12OC＝34a，在图②中作C′D′⊥A′B′于点D′，则C′D′＝22O′C′＝68a.所以S△A′B′C′＝12A′B′·C′D′＝12×a×68a＝616a2.故选D.3．在等腰梯形ABCD中，上底CD＝1，腰AD＝CB＝2，下底AB＝3，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为________．解析：因为OE＝（2）2－12＝1，所以O′E′＝12，E′F′＝24.所以直观图A′B′C′D′的面积为S′＝12×(1＋3)×24＝22.答案：22(1)斜二测画法中的“三变”与“三不变”“三变”⎩⎪⎨⎪⎧坐标轴的夹角改变与y 轴平行的线段的长度变为原来的一半图形改变“三不变”⎩⎪⎨⎪⎧平行性不改变与x ，z 轴平行的线段的长度不改变相对位置不改变(2)平面图形直观图与原图形面积间的关系对于几何体的直观图，除掌握斜二测画法外，记住原图形面积S 与直观图面积S ′之间的关系S ′＝24S ，能更快捷地进行相关问题的计算．构造法求解三视图问题的三个步骤三视图问题(包括求解几何体的表面积、体积等)是培养和考查空间想象能力的好题目，是高考的热点．由三视图还原几何体是解决这类问题的关键，而由三视图还原几何体只要按照以下三个步骤去做，基本都能准确还原出来．这三个步骤是：第一步，先画长(正)方体，在长(正)方体中画出俯视图；第二步，在三个视图中找直角；第三步，判断直角位置，并向上(或向下)作垂线，找到顶点，连线即可．一个几何体的三视图如图所示，图中直角三角形的直角边长均为1，则该几何体的体积为( ) A.16 B ．26 C.36D ．12【解析】 几何体还原说明：①画出正方体，俯视图中实线可以看作正方体的上底面及底面对角线．②俯视图是正方形，有四个直角，主视图和左视图中分别有一个直角．主视图和左视图中的直角对应上底面左边外侧顶点(图中D 点上方顶点)，将该顶点下拉至D 点，连接DA ，DB ，DC 即可．该几何体即图中棱长为1的正方体中的四面体ABCD ，其体积为13×12×1×1×1＝16.故选A. 【答案】 A如图是一个四面体的三视图，三个三角形均是腰长为2的等腰直角三角形，还原其直观图．【解】 第一步，根据题意，画正方体，在正方体内画出俯视图，如图①.第二步，找直角，在俯视图、主视图和左视图中都有直角．第三步，将俯视图的直角顶点向上拉起，与三视图中的高一致，连线即可．所求几何体为三棱锥A­BCD，如图②.[基础题组练]1．如图所示是水平放置的三角形的直观图，点D是△ABC的BC边的中点，AB，BC分别与y′轴，x′轴平行，则在原图中三条线段AB，AD，AC中( )A．最长的是AB，最短的是ACB．最长的是AC，最短的是ABC．最长的是AB，最短的是ADD．最长的是AC，最短的是AD解析：选 B.由条件知，原平面图形中AB⊥BC，从而AB<AD<AC.2．如图所示的几何体由一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是( ) A．①② B．②③ C．③④D．①⑤解析：选D.圆锥的轴截面为等腰三角形，此时①符合条件；当截面不过旋转轴时，圆锥的轴截面为双曲线的一支，此时⑤符合条件；故截面图形可能是①⑤.3．(2020·陕西彬州质检)一个几何体的三视图如图所示，其中主视图中△ABC 是边长为1的等边三角形，左视图为正六边形，那么该几何体的左视图的面积为( ) A.38 B ．34 C ．1 D ．32 解析：选A.由三视图可知该几何体为正六棱锥，其直观图如图所示．该正六棱锥的底面正六边形的边长为12，侧棱长为1，高为32.左视图的底面边长为正六边形的高，为32，则该几何体的左视图的面积为12×32×32＝38，故选A. 4．(2020·江西省名校学术联盟质检)如图所示，边长为1的正方形网格中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体所有棱长组成的集合为( )A ．{1，5}B ．{1，6}C ．{1，2，5}D ．{1，2，22，6}解析：选B.如图所示，该几何体是四棱柱，底面是边长为1的正方形，侧棱长为6，故选B.5．(一题多解)(2020·河南非凡联盟4月联考)某组合体的主视图和左视图如图(1)所示，它的俯视图的直观图是图(2)中粗线所表示的平面图形，其中四边形O ′A ′B ′C ′为平行四边形，D ′为C ′B ′的中点，则图(2)中平行四边形O′A′B′C′的面积为( )A．12 B．3 2 C．6 2 D．6解析：选B.法一：由题图易知，该几何体为一个四棱锥(高为23，底面是长为4，宽为3的矩形)与一个半圆柱(底面圆半径为2，高为3)的组合体，所以其俯视图的外侧边沿线组成一个长为4，宽为3的矩形，其面积为12，由斜二测知识可知四边形O′A′B′C′的面积为4×32sin 45°＝3 2.法二：由斜二测画法可先还原出俯视图的外轮廓是长为4，宽为3的矩形，其面积为4×3＝12，结合直观图面积是原图形面积的24，即可得结果．6. 某多面体的三视图如图所示，其中主视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为________．解析：由三视图可知该多面体是一个组合体，下面是一个底面是等腰直角三角形的直三棱柱，上面是一个底面是等腰直角三角形的三棱锥，等腰直角三角形的腰长为2，直三棱柱的高为2，三棱锥的高为2，易知该多面体有2个面是梯形，这些梯形的面积之和为（2＋4）×22×2＝12.答案：127．一个圆台上、下底面的半径分别为3 cm和8 cm，若两底面圆心的连线长为12 cm，则这个圆台的母线长为______cm.解析：如图，过点A作AC⊥OB，交OB于点C.在Rt△ABC中，AC＝12(cm)，BC＝8－3＝5(cm)．所以AB＝122＋52＝13(cm)．答案：138．已知正四棱锥V­ABCD中，底面面积为16，一条侧棱的长为211，则该棱锥的高为________．解析：如图，取正方形ABCD的中心O，连接VO，AO，则VO就是正四棱锥V­ABCD的高．因为底面面积为16，所以AO＝2 2.因为一条侧棱长为211，所以VO＝VA2­AO2＝44－8＝6.所以正四棱锥V­ABCD的高为6.答案：69．如图所示的三个图中，上面是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的主视图和左视图如图所示(单位：cm)．(1)在主视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；(2)按照给出的尺寸，求该多面体的体积．解：(1)如图．(2)所求多面体的体积V ＝V 长方体－V 正三棱锥＝4×4×6－13×(12×2×2)×2＝2843(cm 3)． 10．已知正三棱锥V ­ABC 的主视图和俯视图如图所示．(1)画出该三棱锥的直观图和左视图；(2)求出左视图的面积．解：(1)如图．(2)左视图中VA ＝42－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23×32×232＝12＝2 3. 则S △VBC ＝12×23×23＝6. [综合题组练]1．(2020·河南开封一模)如图，在一个正方体内放入两个半径不相等的球O 1，O 2，这两个球外切，且球O 1与正方体共顶点A 的三个面相切，球O 2与正方体共顶点B 1的三个面相切，则两球在正方体的面AA 1C 1C 上的正投影是( )解析：选B.由题意可以判断出两球在正方体的面AA 1C 1C 上的正投影与正方形相切，排除C ，D.由于两球不等，把其中一个球扩大为与正方体相切，则另一个球被挡住一部分，所以排除A.B 正确．2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的左视图中的虚线部分是( )A．圆弧B．抛物线的一部分C．椭圆的一部分D．双曲线的一部分解析：选D.根据几何体的三视图可得，左视图中的虚线部分是由平行于旋转轴的平面截圆锥所得，故左视图中的虚线部分是双曲线的一部分，故选D.3．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点P是线段A1C1上的动点，则三棱锥P­BCD的俯视图与主视图面积之比的最大值为( )A．1 B．2C. 3 D．2解析：选D.主视图，底面B，C，D三点，其中D与C重合，随着点P的变化，其主视图均是三角形且点P在主视图中的位置在边B1C1上移动，由此可知，设正方体的棱长为a，则S主视图＝12×a2；设A1C1的中点为O，随着点P的移动，在俯视图中，易知当点P在OC1上移动时，S俯视图就是底面三角形BCD的面积，当点P在OA1上移动时，点P越靠近A1，俯视图的面积越大，当到达A1的位置时，俯视图为正方形，此时俯视图的面积最大，S俯视图＝a2，所以S俯视图S主视图的最大值为a212a2＝2，故选D.4．(2020·河北衡水二模)某几何体的三视图如图所示，三视图中的点P ，Q 分别对应原几何体中的点A ，B ，在此几何体中从点A 经过一条侧棱上点R 到达点B 的最短路径的长度为( )A ．aB ．2a C.52a D ．3a解析：选D.由几何体的三视图可知，该几何体为棱长为a 的正四面体(如图1)，将侧面三角形CDB 绕CD 翻折到与面ACD 在同一平面内(如图2)，连接AB 与CD 交于一点R ，该点即为使路径最短的侧棱上的点R ，且最短路径为AB 长，在△ACB 中，由余弦定理易知AB ＝a 2＋a 2－2a ·a ·cos 120°＝3a .故选D.5．已知正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的体积为1，点M 在线段BC 上(点M 异于B ，C 两点)，点N 为线段CC 1的中点，若平面AMN 截正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1所得的截面为四边形，则线段BM 的取值范围为( )A.⎝⎛⎦⎥⎥⎤0，13 B ．⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤0，12 C.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫12，1 D ．⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12，23 解析：选B.由题意，正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为1，如图所示，当点M为线段BC的中点时，截面为四边形AMND1，当0＜BM≤12时，截面为四边形，当BM＞12时，截面为五边形，故选B.6．已知直三棱柱ABC­A1B1C1的侧棱长为6，且底面是边长为2的正三角形，用一平面截此棱柱，与侧棱AA1，BB1，CC1分别交于三点M，N，Q，若△MNQ为直角三角形，则该直角三角形斜边长的最小值为( )A．2 2 B．3C．2 3 D．4解析：选C.如图，不妨设N在B处，AM＝h，CQ＝m，则MB2＝h2＋4，BQ2＝m2＋4，MQ2＝(h－m)2＋4，由MB2＝BQ2＋MQ2，得m2－hm＋2＝0.Δ＝h2－8≥0即h2≥8，该直角三角形斜边MB＝4＋h2≥2 3.故选C.7．某几何体的主视图和左视图如图(1)，它的俯视图的直观图是矩形O1A1B1C1，如图(2)，其中O1A1＝6，O1C1＝2，则该几何体的侧面积为________．解析：由题图(2)及斜二测画法可知原俯视图为如图所示的平行四边形OABC，设CB与y轴的交点为D，则易知CD＝2，OD＝2×22＝42，所以CO＝CD2＋OD2＝6＝OA，所以俯视图是以6为边长的菱形，由三视图知几何体为一个直四棱柱，其高为4，所以该几何体的侧面积为4×6×4＝96.答案：968．(2019·高考全国卷Ⅱ)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一，印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1，则该半正多面体共有________个面，其棱长为________．解析：依题意知，题中的半正多面体的上、下、左、右、前、后6个面都在正方体的表面上，且该半正多面体的表面由18个正方形，8个正三角形组成，因此题中的半正多面体共有26个面．注意到该半正多面体的俯视图的轮廓是一个正八边形，设题中的半正多面体的棱长为x，则22x＋x＋22x＝1，解得x＝2－1，故题中的半正多面体的棱长为2－1.答案：26 2－1。