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三年级上册数学教案第九单元【第二课时】集合练习课教学目标1.理解集合的概念，能够正确运用集合的基本概念解决问题。
2.掌握集合中元素的概念，能够正确辨别元素和非元素。
3.训练学生运用实际问题解决集合问题的能力。
教学重点1.集合的概念和元素的辨别。
2.通过练习训练学生集合的应用能力。
教学难点1.将实际问题转化为集合问题，并正确解答。
教学准备1.教师准备好教案、板书内容、练习题目等。
2.学生准备好课堂用具，如铅笔、橡皮等。
教学过程1.引入：通过举例子，引导学生理解集合的概念。
比如“小明的文具盒里有铅笔、书、橡皮，这些东西组成了一个集合。
”2.讲解：教师讲解集合的定义和符号表示，如A={1,2,3}表示集合A包含元素1、2、3。
3.练习：让学生完成一些集合概念和元素辨别的练习题，如“判断下列哪些是集合：{苹果、香蕉、梨}，{画圆、黄色、8}”。
4.拓展：提出一些实际问题，让学生将其转化为集合问题，并给出解答。
5.总结：对本节课的重点内容进行总结，强调集合的实际应用。
课堂小结通过本节课的学习，学生对集合的基本概念有了更深入的了解，能够正确应用集合的知识解决实际问题。
课后作业1.完成课后习题，巩固对集合概念的理解。
2.思考身边的事物是否可以用集合的方式描述。
参考资料1.人教新课标《小学数学》三年级上册2.《小学数学教育技术指导》，XXX出版社本节课是第九单元的第二课时，着重训练学生对集合概念的应用能力，帮助学生更好地理解数学知识。
希望同学们能够认真学习，掌握好本节课的内容。
课时规范练1 集合的概念与运算基础巩固组1.(2020全国2，文1)已知集合A=｛x｜｜x｜<3，x∈Z｝，B=｛x｜｜x|>1,x∈Z},则A∩B=(）A.⌀B.{-3,—2，2,3｝C。
{-2，0，2}D.｛—2，2}2。
(2020陕西宝鸡三模，文1）设集合A=｛0,2，4},B={x∈N|log2x≤1｝,则A∪B=(）A.｛2，4} B。
｛0，1,4}C。
{1,2，4} D。
{0,1，2，4}3.若集合A={0，1，2,3}，B={1，2，4｝,C=A∩B，则C的子集共有()A.6个B。
4个C。
3个D。
2个4。
（2020山东滨州三模，1)已知集合M={x|x=4n+1,n∈Z｝，N={x|x=2n+1,n∈Z｝,则(）A。
M⊆N B。
N⊆MC.M∈ND.N∈M5。
(2020山东淄博4月模拟,1)已知全集U=｛1，2,3,4，5,6}，集合A=｛2,3,5｝，集合B=｛1,3，4,6｝，则集合A∩（∁U B）=()A.{3} B。
｛1,4,6}C。
｛2，5｝D。
｛2,3,5｝6。
已知集合A={x|x2—x-2=0｝，B=｛x∈Z｜｜x｜≤2}，则A∩B=(）A.{1，2｝B.｛1,-2}C.｛—1,2} D。
｛—1,—2}7.设全集U={x∈N＊|x≤4},集合A=｛1，4},B=｛2，4}，则∁U(A∩B)为()A.｛1，2，3｝B。
｛1,2，4}C。
｛1，3,4} D。
{2，3,4}8。
设全集U=R，集合A={x｜x—1≤0},B={x｜x2-x-6<0}，则下图中阴影部分表示的集合为(）A。
{x|x<3｝B.｛x｜—3〈x≤1}C。
｛x|x<2}D。
{x|-2〈x≤1｝9.若集合A=｛x|x≥3—2a},B={x|（x—a+1）（x—a）≥0}，A ∪B=R,则a的取值范围为（）A.[2,+∞)B.(-∞，2］C.(-∞,43]D.43,+∞10.设全集为R，集合P={x|x2—4x>0}，Q={x｜log2（x-1）〈2｝,则(∁R P)∩Q=（)A.［0，4]B.［0,5)C.（1,4］D.[1，5）11.已知集合A=｛x｜log2x≤2}，B={x｜x〈a｝,若A⊆B，则实数a的取值范围是.12。
课时规范训练A组基础演练1．已知集合A＝{－2，－1,0,1,2}，B＝{x|(x－1)(x＋2)＜0}，则A∩B＝() A．{－1,0}B．{0,1}C．{－1,0,1} D．{0,1,2}解析：选A.由于B＝{x|－2＜x＜1}，所以A∩B＝{－1,0}．故选A.2．设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lg x≤0}，则M∪N＝()A．[0,1] B．(0,1]C．[0,1) D．(－∞，1]解析：选 A.∵M＝{x|x2＝x}＝{0,1}，N＝{x|lg x≤0}＝{x|0＜x≤1}，∴M∪N＝{x|0≤x≤1}，故选A.3．已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x＜2}，则A∩B＝() A．[－2，－1] B．[－1,2)C．[－1,1] D．[1,2)解析：选A.由不等式x2－2x－3≥0解得x≥3或x≤－1，因此集合A＝{x|x≤－1或x≥3}，又集合B＝{x|－2≤x＜2}，所以A∩B＝{x|－2≤x≤－1}，故选A. 4．设集合P＝{x|x＞1}，Q＝{x|x2－x＞0}，则下列结论正确的是()A．P⊆Q B．Q⊆PC．P＝Q D．P∪Q＝R解析：选A.由集合Q＝{x|x2－x＞0}，知Q＝{x|x＜0或x＞1}，所以选A. 5．设集合M＝{0,1,2}，N＝{x|x2－3x＋2≤0}，则M∩N＝()A．{1} B．{2}C．{0,1} D．{1,2}解析：选 D.由已知得N＝{x|1≤x≤2}，∵M＝{0,1,2}，∴M∩N＝{1,2}，故选D.6．集合U＝{0,1,2,3,4}，A＝{1,2}，B＝{x∈Z|x2－5x＋4＜0}，则∁U(A∪B)＝() A．{0,1,3,4} B．{1,2,3}C．{0,4} D．{0}解析：选C.因为集合B＝{x∈Z|x2－5x＋4＜0}＝{2,3}，所以A∪B＝{1,2,3}，又全集U＝{0,1,2,3,4}，所以∁U(A∪B)＝{0,4}．所以选C.7．已知集合M＝{x|－1＜x＜2}，N＝{x|x＜a}，若M⊆N，则实数a的取值范围是()A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)C．(－∞，－1) D．(－∞，－1]解析：选B.依题意，由M⊆N得a≥2，即所求的实数a的取值范围是[2，＋∞)，选B.8．已知全集A＝{x∈N|x2＋2x－3≤0}，B＝{y|y⊆A}，则集合B中元素的个数为()A．2 B．3C．4 D．5解析：选C.依题意得，A＝{x∈N|(x＋3)(x－1)≤0}＝{x∈N|－3≤x≤1}＝{0,1}，共有22＝4个子集，因此集合B中元素的个数为4，选C.9．已知集合A＝{(0,1)，(1,1)，(－1,2)}，B＝{(x，y)|x＋y－1＝0，x，y∈Z}，则A∩B＝________.解析：A、B都表示点集，A∩B即是由A中在直线x＋y－1＝0上的所有点组成的集合，代入验证即可．答案：{(0,1)，(－1,2)}10．已知集合A＝{1,3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，且B⊆A，则a＝________.解析：由a2－a＋1＝3，得a＝－1或a＝2，经检验符合．由a2－a＋1＝a，得a ＝1，由于集合中不能有相同元素，所以舍去．故a＝－1或2.答案：－1或2B组能力突破1．已知全集U＝R，集合M＝{x|(x－1)(x＋3)＜0}，N＝{x||x|≤1}，则阴影部分表示的集合是()A．[－1,1)B．(－3,1]C．(－∞，－3)∪[－1，＋∞) D．(－3，－1)解析：选D.由题意可知，M＝{x|－3＜x＜1}，N＝{x|－1≤x≤1}，∴阴影部分表示的集合为M∩(∁U N)＝{x|－3＜x＜－1}．2．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M＝{3,4,5}，N＝{1,2,5}，则集合{1,2}可以表示()A．M∩N B．(∁U M)∩NC．M∩(∁U N) D．(∁U M)∩(∁U N)解析：选B.M∩N＝{5}，A错误；∁U M＝{1,2}，(∁U M)∩N＝{1,2}，B正确；∁U N ＝{3,4}，M∩(∁U N)＝{3,4}，C错误；(∁U M)∩(∁U N)＝∅，D错误．故选B. 3．已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,10,12,14}，则集合A∩B中元素的个数为()A．5 B．4C．3 D．2解析：选D.集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，当n＝0时，3n＋2＝2，当n＝1时，3n＋2＝5，当n＝2时，3n＋2＝8，当n＝3时，3n＋2＝11，当n＝4时，3n＋2＝14，∵B＝{6,8,10,12,14}，∴A∩B中元素的个数为2.4．设集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4,5}，定义A⊙B＝{(x，y)|x∈A∩B，y∈A∪B}，则A⊙B中元素的个数是()A．7 B．10C．25D．52解析：选B.A∩B＝{2,3}，A∪B＝{1,2,3,4,5}，由列举法可知A⊙B＝{(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)}，共有10个元素，故选B. 5．已知函数f(x)＝2－x－1，集合A为函数f(x)的定义域，集合B为函数f(x)的值域，则如图所示的阴影部分表示的集合为________．解析：本题考查函数的定义域、值域以及集合的表示．要使函数f(x)＝2－x－1有意义，则2－x－1≥0，解得x≤0，所以A＝(－∞，0]．又函数f(x)＝2－x－1的值域B＝[0，＋∞)．(A∩B)＝(－∞，0)∪(0，＋∞)．所以阴影部分用集合表示为∁A∪B答案：(－∞，0)∪(0，＋∞)6．已知集合A＝{x|1≤x＜5}，C＝{x|－a＜x≤a＋3}．若C∩A＝C，则a的取值范围是________．解析：因为C ∩A ＝C ，所以C ⊆A .①当C ＝∅时，满足C ⊆A ，此时－a ≥a ＋3，得a ≤－32；②当C ≠∅时，要使C ⊆A ，则⎩⎨⎧ －a ＜a ＋3，－a ≥1，a ＋3＜5，解得－32＜a ≤－1.答案：(－∞，－1]。
寄语：亲爱的小朋友，在学习过程中，的挑战就是逐级攀升的难度。
即使每一级都很陡峭，只要我们一步一个脚印地向上攀登，一层又一层地跨越，最终才能实现学习的目标。
祝愿你在学习中不断进步！相信你一定会成功。
相信你是最棒的！课时练第9单元数学广角——集合1．三（1）班学生参加跳高和跳远的人数如图所示，参加这两项活动一共的人数是（）。
A．11人B．13人C．16人2．全班50个学生，每人恰有三角板或直尺中的一种，28人有直尺，有三角板的人中，男生是14人，若已知全班共有女生31人，那么有直尺的女生有（______）人。
3．三（1）班部分同学的饮食习惯调查：喜欢吃肉的有12人，喜欢吃蔬菜的有8人，既喜欢吃肉又喜欢吃蔬菜的有3人。
一共调查了多少个同学？4．三年级一班参加跳绳比赛的有15人，参加踢毽子比赛的有18人，跳绳和踢毽子比赛都参加的有3人。
三年级一班一共有学生（）。
A．36人B．30人C．27人5．张华家的小卖部，昨天进的货有：铅笔、钢笔、练习本、文具盒、水彩笔，今天进的货有：直尺、铅笔、钢笔、练习本、剪刀，他家两天一共进了（）种货。
A．10 B．9 C．76．两根木棒，如下图将它们连接，重叠部分长是10厘米，连接后木棒的长度是（）厘米。
A．139 B．130 C．1407．四（1）班共45名同学，其中会跳舞的有21人，会唱歌的有17人，两项都不会的有10人。
两项都会的有（________）人。
8．三（1）班进行语文、数学测试，得优的共19人。
其中语文得优的有13人，数学得优的有12人。
根据条件在下面图中的横线上填数。
9．小明排队去做操。
从前数小明排第9；从后数小明排第4，这排小朋友共有13人。
（________）10．爸爸爱吃的水果有：苹果、梨、香蕉、葡萄；妈妈爱吃的水果有柿子、香蕉、桔子。
他们俩爱吃的水果一共有7种。
（________）11．请你画韦恩图表示出下面的信息。
喜欢篮球的有10人，只喜欢足球的有8人，篮球和足球都喜欢的有4人。
课时规范训练A基础巩固练1．已知集合A＝{x|x是菱形或矩形}，B＝{x|x是矩形}，则∁A B等于() A．{x|x是菱形}B．{x|x是内角都不是直角的菱形}C．{x|x是正方形}D．{x|x是邻边都不相等的矩形}解析：B由集合A＝{x|x是菱形或矩形}，B＝{x|x是矩形}，则∁A B＝{x|x是内角都不是直角的菱形}．2．已知集合U＝{－2，－1，0，1，2，3}，A＝{－1，0，1}，B＝{1，2}，则∁U(A∩B)等于()A．{－2，3}B．{－2，2，3}C．{－2，－1，0，3} D．{－2，－1，0，2，3}解析：D∵A＝{－1，0，1}，B＝{1，2}，∴A∩B＝{1}．又U＝{－2，－1，0，1，2，3}，∴∁U(A∩B)＝{－2，－1，0，2，3}．3．设集合S＝{x|x＞－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则(∁R S)∪T＝()A．{x|－2＜x≤1} B．{x|x≤－4}C．{x|x≤1} D．{x|x≥1}解析：C因为S＝{x|x＞－2}，所以∁R S＝{x|x≤－2}．又T＝{x|－4≤x≤1}，所以(∁R S)∪T＝{x|x≤－2}∪{x|－4≤x≤1}＝{x|x≤1}．故选C．4．已知全集U＝R，集合A＝{x|x<－1，或x>4}，B＝{x|－2≤x≤3}，那么阴影部分表示的集合为()A．{x|－2≤x<4} B．{x|x≤3，或x≥4}C．{x|－2≤x≤－1} D．{x|－1≤x≤3}解析：D由题意得，阴影部分所表示的集合为(∁U A)∩B＝{x|－1≤x≤4}∩{x|－2≤x≤3}＝{x|－1≤x≤3}．5．(多选题)已知全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤3，或4<x<6}，集合B＝{x|2≤x<5}，下列集合运算正确的是()A．∁U A＝{x|x<1，或3<x<4，或x>6}B．∁U B＝{x|x<2，或x≥5}C．A∩(∁U B)＝{x|1≤x<2，或5≤x<6}D．(∁U A)∪B＝{x|x<1，或2<x<5，或x>6}解析：BC因为集合A＝{x|1≤x≤3，或4<x<6}，所以∁U A＝{x|x<1，或3<x≤4，或x≥6}，A错误；因为B＝{x|2≤x<5}，所以∁U B＝{x|x<2，或x≥5}，故B正确；由∁U B＝{x|x<2，或x≥5}，可得A∩(∁U B)＝{x|1≤x<2，或5≤x<6}，故C正确；由∁U A＝{x|x<1，或3<x≤4，或x≥6}可得，(∁U A)∪B＝{x|x<1，或2≤x<5，或x≥6}，故D错误．6．(多选题)下列可以推出A⊆B的是()A．A∩B＝B B．A∩(∁U B)＝∅C．A∪B＝B D．∁U B⊆∁U A解析：BCD对于A，A∩B＝B⇔B⊆A，故A错误；对于B，当A∩(∁U B)＝∅时，有A⊆B，故B正确；对于C，当A∪B＝B时，有A⊆B，故C正确；对于D，由∁U B⊆∁U A⇔∁U(∁U B)⊇∁U(∁U A)⇔B⊇A，故D正确．7．设全集U＝{x|x是三角形}，A＝{x|x是锐角三角形}，B＝{x|x是钝角三角形}，则(∁U A)∩(∁U B)＝________．解析：根据三角形的分类可知，∁U A＝{x|x是直角三角形或钝角三角形}，∁U B ＝{x|x是直角三角形或锐角三角形}，所以(∁U A)∩(∁U B)＝{x|x是直角三角形}．答案：{x|x是直角三角形}8．设全集U＝R，集合A＝{x|x>1}，B＝{x|x>a}，且(∁U A)∪B＝R，则实数a 的取值范围是________．解析：因为A＝{x|x>1}，B＝{x|x>a}，所以∁U A＝{x|x≤1}，由(∁U A)∪B＝R，可知a≤1.答案：{a|a≤1}9．已知集合U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<x<3}，集合B＝{x|－3≤x≤2}．求：A∩B；(∁U A)∪B；A∩(∁U B)；(∁U A)∪(∁U B)；∁U(A∩B)．解：因为U＝{x|x≤4}，A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，所以A∩B＝{x|－2<x≤2}，∁U A＝{x|x≤－2，或3≤x≤4}，∁U B＝{x|x<－3，或2<x≤4}，所以(∁U A)∪B＝{x|x≤2，或3≤x≤4}，A∩(∁U B)＝{x|2<x<3}，(∁U A)∪(∁U B)＝{x|x≤－2，或2<x≤4}，∁U(A∩B)＝{x|x≤－2，或2<x≤4}．B能力进阶练10．(2023·浙江杭州四中高一检测)设I是全集，集合M，N，P都是其子集，则图中的阴影部分表示的集合为()A．M∩(P∩∁I N)B．M∩(N∩∁I P)C．M∩(∁I N∩∁I M)D．(M∩N)∪(M∩P)解析：B观察题中图形得，图中的阴影部分表示的集合为M∩(N∩∁I P)，故选B．也可以结合选项分析，利用排除法求解．11．设全集U＝R，集合A＝{x|x≤1，或x≥3}，集合B＝{x|k<x<k＋1，k∈R}，且B∩(∁U A)≠∅，则()A．k<0或k>3 B．2<k<3C．0<k<3 D．－1<k<3解析：C∵A＝{x|x≤1，或x≥3}，∴∁U A＝{x|1<x<3}．若B∩(∁U A)＝∅，则k ＋1≤1或k ≥3，即k ≤0或k ≥3， ∴若B ∩(∁U A )≠∅，则0<k <3.12．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是( )A ．62%B ．56%C ．46%D ．42%解析：C 设既喜欢足球又喜欢游泳的学生占该中学学生总数的比例为x ， 用Venn 图表示该中学喜欢足球和游泳的学生所占的比例之间的关系如图，则(60%－x )＋(82%－x )＋x ＝96%，解得x ＝46%. 13．已知A ＝{x |－1<x ≤3}，B ＝{x |m ≤x <1＋3m }． (1)当m ＝1时，A ∪B ＝________；(2)当B ⊆∁R A 时，实数m 的取值范围为________． 解析：(1)当m ＝1时，B ＝{x |1≤x <4}，则 A ∪B ＝{x |－1<x <4}． (2)∁R A ＝{x |x ≤－1，或x >3}． 当B ＝∅，即m ≥1＋3m 时， 得m ≤－12，满足B ⊆∁R A ； 当B ≠∅时，要使B ⊆∁R A 成立， 则⎩⎨⎧m <1＋3m ，1＋3m ≤－1或⎩⎨⎧m <1＋3m ，m >3， 解得m >3.综上可知，实数m 的取值范围是m >3或m ≤－12. 答案：(1){x |－1<x <4}(2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |m ≤－12，或m >3 14．(2023·湖北荆州中学高一检测)已知全集为R ，集合A ＝{x |2≤x ≤6}，B＝{x |3x －7≥8－2x }．(1)求A ∪B ，∁R (A ∩B )；(2)若M ＝{x |a －4≤x ≤a ＋4}，且A ⊆∁R M ，求a 的取值范围． 解：(1)∵B ＝{x |3x －7≥8－2x }＝{x |x ≥3}， ∴A ∪B ＝{x |x ≥2}，A ∩B ＝{x |3≤x ≤6}， ∴∁R (A ∩B )＝{x |x ＜3，或x ＞6}．(2)由题意知M ≠∅，且∁R M ＝{x |x ＜a －4，或x ＞a ＋4}． ∵A ＝{x |2≤x ≤6}，A ⊆∁R M ，∴a －4＞6或a ＋4＜2，解得a ＞10或a ＜－2. 故实数a 的取值范围为{a |a ＜－2，或a ＞10}．C 探索创新练15．已知集合A ＝{x |x 2＋ax ＋12b ＝0}和B ＝{x |x 2－ax ＋b ＝0}，满足(∁R A )∩B ＝{2}，A ∩(∁R B )＝{4}，求实数a ，b 的值．解：由条件(∁R A )∩B ＝{2}和A ∩(∁R B )＝{4}，知2∈B ，但2∉A ；4∈A ，但4∉B ．将x ＝2和x ＝4分别代入B ，A 两集合中的方程得⎩⎨⎧22－2a ＋b ＝0，42＋4a ＋12b ＝0，即⎩⎨⎧4－2a ＋b ＝0，4＋a ＋3b ＝0， 解得a ＝87，b ＝－127.。
教案：集合年级：三年级学科：数学教材版本：人教版2023-2024学年第一学期教学目标：1. 让学生理解集合的概念，知道集合是由一些确定的、彼此不同的对象构成的整体。
2. 培养学生运用集合思想解决问题的能力。
3. 使学生能够识别和描述生活中的集合现象。
教学重点：1. 集合的概念和表示方法。
2. 集合中元素的确定性、无序性和互异性。
教学难点：1. 集合中元素的无序性和互异性。
2. 集合与集合之间的关系。
教学准备：1. 课件或黑板。
2. 相关教具或实物。
教学过程：一、导入1. 利用课件或黑板展示一些学生熟悉的物品，如水果、文具等，引导学生观察并说出它们的共同特点。
2. 引入集合的概念：像这样由一些确定的、彼此不同的对象构成的整体，我们称之为集合。
二、新课1. 讲解集合的概念，强调集合中元素的确定性、无序性和互异性。
2. 介绍集合的表示方法，如列举法、描述法等。
3. 通过实例，让学生了解集合与集合之间的关系，如包含关系、相等关系等。
三、巩固练习1. 让学生举例说明生活中的集合现象。
2. 让学生运用集合思想解决问题，如找出两个集合的并集、交集等。
四、课堂小结1. 让学生回顾本节课所学内容，总结集合的概念、表示方法和集合之间的关系。
2. 强调集合中元素的确定性、无序性和互异性。
五、作业布置1. 让学生完成教材中的相关练习题。
2. 让学生观察生活中的集合现象，并记录下来。
教学反思：本节课通过生活中的实例，让学生理解集合的概念和表示方法，培养学生的集合思想。
在教学过程中，要注意让学生充分参与，发挥学生的主体作用，提高学生的数学素养。
同时，要关注学生的学习反馈，及时调整教学策略，确保教学目标的达成。
附：板书设计集合1. 概念：由一些确定的、彼此不同的对象构成的整体。
2. 特点：确定性、无序性、互异性。
3. 表示方法：列举法、描述法等。
4. 集合之间的关系：包含关系、相等关系等。
注意事项：1. 本教案适用于人教版数学三年级上册。
课时规范训练A 组 基础演练1．要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( ) A ．向左平移π12个单位 B ．向右平移π12个单位 C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位解析：选B.由y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3＝sin 4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12得，只需将y ＝sin 4x 的图象向右平移π12个单位即可，故选B.2．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6等于( )A ．2或0B ．－2或2C ．0D ．－2或0解析：选B.因为函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，所以该函数图象关于直线x ＝π6对称，因为在对称轴处对应的函数值为最大值或最小值，所以选B.3．下列四个函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x ＝π12对称的是( ) A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3解析：选D.对于A ，B ，注意到这两个函数的最小正周期均为4π，故排除A ，B ；对于C ，注意到该函数的最小正周期为π，但当x ＝π12时，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－π3＝－12，该函数值不是该函数的最值，因此其图象不关于直线x ＝π12对称；对于D ，注意到该函数的最小正周期为π，且当x ＝π12时，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π3＝1取得最大值，其图象关于直线x ＝π12对称．综上所述，故选D.4．已知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，若将它的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，则函数g (x )的图象的一条对称轴的方程为( ) A ．x ＝π12 B ．x ＝π4 C ．x ＝π3D ．x ＝π2解析：选C.由题意知g (x )＝2sin[2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π6]＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，令2x －π6＝π2＋k π，k ∈Z ，解得x ＝π3＋k 2π，k ∈Z ，当k ＝0时，x＝π3，即函数g (x )的图象的一条对称轴的方程为x ＝π3，故选C.5．为得到函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，只需将函数y ＝sin 2x 的图象( )A ．向左平移5π12个单位长度B ．向右平移5π12个单位长度 C ．向左平移5π6个单位长度 D ．向右平移5π6个单位长度 解析：选A.y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6.故要得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋5π12的图象，只需将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移5π12个单位长度．6．函数y ＝32sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为________． 解析：∵y ＝32sin 2x ＋cos 2x ＝32sin 2x ＋12cos 2x ＋12 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋12，∴函数的最小正周期T ＝2π2＝π.答案：π7．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象如图所示，则f (2)＝________. 解析：由三角函数的图象可得34T ＝3－1＝2，所以最小正周期T ＝83＝2πω，解得ω＝3π4.又f (1)＝sin⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＝1，解得φ＝－π4＋2k π，k ∈Z ，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4x －π4＋2k π，k ∈Z ，则f (2)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－π4＝sin 5π4＝－22.答案：－228．已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω＞0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，且f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝________.解析：依题意，x ＝π6＋π32＝π4时，y 有最小值， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4·ω＋π3＝－1， ∴π4ω＋π3＝2k π＋3π2(k ∈Z )．∴ω＝8k ＋143(k ∈Z )，因为f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值，所以π3－π4＜πω，即ω＜12，令k ＝0，得ω＝143. 答案：1439．某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ＞0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图象．若y ＝g (x )图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0，求θ的最小值．解：(1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6，数据补全如下表：且函数解析式为f (x )＝5sin ⎝ ⎭⎪⎫2x －π6.(2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，则g (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2θ－π6.由于函数y ＝g (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0成中心对称，所以5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×5π12＋2θ－π6＝0，即2θ＋5π6－π6＝k π，k ∈Z .由θ＞0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.10．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π2)的部分图象如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＝－125，且0＜θ＜π3，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3的值．解：(1)由题图象可知A ＝3，由12·2πω＝7π6－π6得ω＝1.由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝3得3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝3，又0＜φ＜π2，所以φ＝π3.故函数f (x )的解析式为f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3.(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＝－125得3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋π3＝－125，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋2π3＝－45，又0＜θ＜π3，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋2π3＝35.所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＋π3＝3sin θ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋2π3－2π3＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋2π3cos 2π3－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋2π3sin 2π3 ＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×32＝123－910. B 组 能力突破1．若函数f (x )＝sin ωx －3cos ωx ，ω＞0，x ∈R ，又f (x 1)＝2，f (x 2)＝0，且|x 1－x 2|的最小值为3π2，则ω的值为( ) A.13 B.23 C.43D ．2解析：选A.由题意知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3，设函数f (x )的最小正周期为T ，因为f (x 1)＝2，f (x 2)＝0，所以|x 1－x 2|的最小值为T 4＝3π2，所以T ＝6π，所以ω＝13，故选A. 2．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，则φ＝( )A ．－π6 B.π6 C ．－π3D.π3解析：选D.观察题图得A ＝2，T 4＝π3－π12＝π4，所以T ＝π，ω＝2，所以f (x )＝2sin(2x＋φ)，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝2，|φ|＜π2，所以π6＋φ＝π2，所以φ＝π3，故选D.3．将函数f (x )＝sin 2x 的图象向右平移φ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜φ＜π2个单位后得到函数g (x )的图象．若对满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π3，则φ＝( ) A.5π12 B.π3 C.π4D.π6解析：选D.先求出g (x )，表示出|f (x 1)－g (x 2)|，再结合三角函数的性质求解． 因为g (x )＝sin 2(x －φ)＝sin(2x －2φ)，所以|f (x 1)－g (x 2)|＝|sin 2x 1－sin(2x 2－2φ)|＝2.因为－1≤sin 2x 1≤1，－1≤sin(2x 2－2φ)≤1，所以sin 2x 1和sin(2x 2－2φ)的值中，一个为1，另一个为－1，不妨取sin 2x 1＝1，sin(2x 2－2φ)＝－1，则2x 1＝2k 1π＋π2，k 1∈Z,2x 2－2φ＝2k 2π－π2，k 2∈Z,2x 1－2x 2＋2φ＝2(k 1－k 2)π＋π，(k 1－k 2)∈Z ，得|x 1－x 2|＝|(k 1－k 2)π＋π2－φ|.因为0＜φ＜π2，所以0＜π2－φ＜π2，故当k 1－k 2＝0时，|x 1－x 2|min ＝π2－φ＝π3，则φ＝π6，故选D. 4．函数y ＝cos(2x ＋φ)(－π≤φ＜π)的图象向右平移π2个单位后，与函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象重合，则φ＝________. 解析：函数y ＝cos(2x ＋φ)的图象向右平移π2个单位后得到y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＋φ的图象，而y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＋φ＝－cos(2x ＋φ)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ－π2，由题意可知φ－π2＝π3＋2k π(k ∈Z )，∴φ＝56π＋2k π，k ∈Z . 又－π≤φ＜π，∴φ＝56π. 答案：56π5．已知函数f (x )＝sin x cos x sin φ＋cos 2x cos φ＋12cos ()π＋φ(0＜φ＜π)，其图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，14. (1)求φ的值；(2)将函数y ＝f (x )图象上各点向左平移π6个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，2π3上的单调递增区间．解：(1)f (x )＝12sin 2x sin φ＋1＋cos 2x 2cos φ－12cos φ＝12sin 2x sin φ＋12cos 2x cos φ＝12(sin 2x sin φ＋cos 2x cos φ)＝12cos(2x －φ)．又函数f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，14，所以14＝ 12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3－φ，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－φ＝12，又0＜φ＜π，所以φ＝π3. (2)由(1)知f (x )＝12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，将函数y ＝f (x )图象上各点向左平移π6个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，则g (x )＝12cos 2x . 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，2π3，所以2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，4π3，由－π2≤2x ≤0和π≤2x ≤4π3知，函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，2π3上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，0，⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π3.。
课时规范训练A基础巩固练1．(多选题)下列各组对象能构成集合的有()A．接近于1的所有正整数B．小于0的实数C．(2023，1)与(1，2023)D．某校高一(1)班的聪明学生解析：BC A中，接近于1的所有正整数标准不明确，故不能构成集合；B 中小于0是一个明确的标准，能构成集合；C中(2023，1)与(1，2023)是两个不同的点，是确定的，能构成集合；D中“某校高一(1)班的聪明学生”中“聪明”的标准不确定，因而不能构成一个集合．2．给出下列关系：①13∈R；②5∈Q；③－3∉Z；④－3∉N，其中正确的个数为()A．1B．2C．3D．4解析：B 13是实数，①正确；5是无理数，②错误；－3是整数，③错误；－3是无理数，④正确．故选B．3．下列说法中正确的是()A．某学校高一(8)班比较漂亮的女生能确定一个集合B．由1，32，64，⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12，0.5组成的集合有5个元素C．将小于100的自然数按从小到大的顺序排列和按从大到小的顺序排列分别得到两个不同的集合D．方程x2＋1＝2x的解集中只有一个元素解析：D A是错误的，因为“漂亮”是个模糊的概念，因此不满足集合中元素的确定性；B是错误的，32＝64，⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12＝0.5，根据互异性，得由1，32，64，⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12，0.5组成的集合只有3个元素：1，32，0.5；C是错误的，根据集合中元素的无序性可知，小于100的自然数无论按什么顺序排列，构成的集合都是同一集合；D是正确的，方程x2＋1＝2x有两个相等的解，即x1＝x2＝1，其解集中只有一个元素，故D正确．4．下列各组中，集合P与Q表示同一个集合的是()A．P是由元素1，3，π构成的集合，Q是由元素π，1，|－3|构成的集合B．P是由π构成的集合，Q是由3.141 59构成的集合C．P是由2，3构成的集合，Q是由有序数对(2，3)构成的集合D．P是满足不等式－1≤x≤1的自然数构成的集合，Q是方程x2＝1的解集解析：A由于A中P，Q的元素完全相同，所以P与Q表示同一个集合，而B，C，D中P，Q的元素不相同，所以P与Q不表示同一个集合．5．已知集合M是方程x2－x＋m＝0的解组成的集合，若2∈M，则下列判断正确的是()A．1∈M B．0∈MC．－1∈M D．－2∈M解析：C由2∈M知2为方程x2－x＋m＝0的一个解，所以22－2＋m＝0，解得m＝－2.所以方程为x2－x－2＝0，解得x1＝－1，x2＝2.故方程的另一根为－1.6．(多选题)集合A中含有三个元素2，4，6，若a∈A，且6－a∈A，那么a 可以为()A．2 B．－2C．4 D．6解析：AC若a＝2，则6－2＝4∈A；若a＝4，则6－4＝2∈A；若a＝6，则6－6＝0∉A．7．已知集合P中元素x满足：x∈N，且2<x<a，又集合P中恰有三个元素，则整数a＝________．解析：因为x∈N，2<x<a，且集合P中恰有三个元素，易知a＝6.答案：68．若由a ，b a ，1组成的集合A 与由a 2，a ＋b ，0组成的集合B 相等，则a 2023＋b 2023的值为________．解析：由已知可得a ≠0，因为两集合相等，又1≠0，所以b a ＝0，所以b ＝0，所以a 2＝1，即a ＝±1，又当a ＝1时，集合A 不满足集合中元素的互异性，舍去，所以a ＝－1. 所以a 2023＋b 2023＝－1.答案：－19．已知集合A 含有两个元素a －3和2a －1，a ∈R .(1)求实数a 的取值范围；(2)若a ∈A ，求实数a 的值．解：(1)如果a －3＝2a －1，则a ＝－2.由于a －3，2a －1是集合A 含有的两个元素，所以实数a ≠－2.(2)因为a ∈A ，所以a ＝a －3或a ＝2a －1.当a ＝a －3时，0＝－3，不成立；当a ＝2a －1时，a ＝1，此时A 中有两个元素－2，1，符合题意，综上所述，实数a 的值为1.B 能力进阶练10．若集合A 的元素y 满足y ＝x 2＋1，集合B 的元素(x ，y )满足y ＝x 2＋1(A ，B 中x ∈R ，y ∈R )，则下列选项中元素与集合的关系都正确的是( )A ．2∈A 且2∈BB ．(1，2)∈A 且(1，2)∈BC ．2∈A 且(3，10)∈BD ．(3，10)∈A 且2∈B解析：C 集合A 中的元素为y ，是数集，又y ＝x 2＋1≥1，故2∈A ；集合B 中的元素为点(x ，y )且满足y ＝x 2＋1，经验证，(3，10)∈B ，故选C ．11．(多选题)由a 2，2－a ，4组成一个集合A ，且集合A 中含有3个元素，则实数a 的取值不可能是( )A ．1B ．－2C ．－1D ．2解析：ABD 由题意知a 2≠4，2－a ≠4，a 2≠2－a ，解得a ≠±2，且a ≠1，即a 的取值不可能是1，±2.12．已知集合A 含有两个元素1和2，集合B 表示方程x 2＋ax ＋b ＝0的解组成的集合，且集合A 与集合B 相等，则a ＝________，b ＝________．解析：因为集合A 与集合B 相等，且1∈A ，2∈A ，所以1∈B ，2∈B ，即1，2是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两个实数根．所以⎩⎨⎧1＋2＝－a ，1×2＝b ，所以⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝2.答案：－3 213．已知集合A 的元素是a ，b ，2，集合B 的元素是2，b 2，2a ，若A ＝B ，求实数a ，b 的值．解：由已知A ＝B 得⎩⎨⎧a ＝2a ，b ＝b 2，① 或⎩⎨⎧a ＝b 2，b ＝2a ，② 解①得⎩⎨⎧a ＝0，b ＝0或⎩⎨⎧a ＝0，b ＝1.解②得⎩⎨⎧a ＝0，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，b ＝12.又由集合元素的互异性，得⎩⎨⎧a ＝0，b ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，b ＝12.C 探索创新练14．已知a ∈A 且4－a ∈A ，a ∈N 且4－a ∈N ，则：(1)若A 中只有1个元素，则a ＝________；(2)若A有且只有2个元素，则集合A的个数是________．解析：因为a∈A且4－a∈A，a∈N且4－a∈N，若a＝0，则4－a＝4，此时A满足要求；若a＝1，则4－a＝3，此时A满足要求；若a＝2，则4－a＝2.此时A含1个元素．答案：(1)2(2)2。
课时规范训练A基础巩固练1．下列四个集合中，是空集的是()A．{x|x＋3＝3}B．{(x，y)|y2＝－x2，x，y∈R}C．{x|x2≤0}D．{x|x2－x＋1＝0，x∈R}解析：D∵x2－x＋1＝0，Δ＝1－4＝－3＜0，方程无解，∴{x|x2－x＋1＝0，x∈R}＝∅，故选D．2．已知集合A＝{x|－1＜x＜6}，B＝{x|2＜x＜3}，则()A．A∈B B．A BC．A＝B D．B A解析：D集合A＝{x|－1＜x＜6}，B＝{x|2＜x＜3}，A，B两个数集之间应是包含关系不是属于关系，故选项A不正确．由条件可得B⊆A，且A≠B，所以选项B、C错误，选项D正确．故选D．3．(多选题)(2022·江苏淮安高一检测)已知集合A＝{0，1}，则下列式子正确的是()A．0∈A B．{1}∈AC．∅⊆A D．{0，1}⊆A解析：ACD∵{1}⊆A，∴B项错误，其余均正确．4．(多选题)已知A⊆B，A⊆C，B＝{2，0，1，8}，C＝{1，9，3，8}，则集合A可以是()A．{1，8} B．{2，3}C．{1} D．{2}解析：AC∵A⊆B，A⊆C，B＝{2，0，1，8}，C＝{1，9，3，8}，∴集合A中一定含有集合B，C的公共元素，结合选项可知A、C满足题意．5．已知集合A＝{x|－1<x<0}，B＝{x|x≤a}，若A⊆B，则a的取值范围为() A．a≤0B．a≥0C．a<0D．a>0解析：B 用数轴表示集合A ，B (如图)，由A ⊆B ，得a ≥0.6．(2022·长沙高一检测)已知∅{x |x 2－x ＋a ＝0}，则实数a 的取值范围是( )A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪a <14B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪a ≤14 C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪a ≥14D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪a >14解析：B 因为∅{x |x 2－x ＋a ＝0}，所以方程x 2－x ＋a ＝0有实数根，所以Δ＝1－4a ≥0，解得a ≤14.故选B ．7．设集合A ＝{1，3，a }，B ＝{1，1－2a }，且B ⊆A ，则a 的值为________． 解析：由题意得1－2a ＝3或1－2a ＝a ， 解得a ＝－1或a ＝13.当a ＝－1时，A ＝{1，3，－1}，B ＝{1，3}，符合条件；当a ＝13时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，3，13，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，13，符合条件． 所以a 的值为－1或13. 答案：－1或138．设集合M ＝{(x ，y )|x ＋y <0，xy >0}和P ＝{(x ，y )|x <0，y <0}，则M 与P 的关系为______．解析：因为xy >0，所以x ，y 同号．又x ＋y <0，所以x <0，y <0，即集合M 表示第三象限内的点，而集合P 也表示第三象限内的点，故M ＝P .答案：M ＝P9．判断下列各组集合之间的关系：(1)A ＝{－1，1}，B ＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}； (2)M ＝{x |x ＝2n ，n ∈N *}，N ＝{x |x ＝4n ，n ∈N *}； (3)集合P ＝{x |y ＝x 2}，集合Q ＝{y |y ＝x 2}．解：(1)集合A 的元素是数，集合B 的元素是有序实数对，故A 与B 之间无包含关系．(2)由列举法知M＝{2，4，6，8，…}，N＝{4，8，12，16，…}，故N M.(3)因为P＝{x|y＝x2}＝R，Q＝{y|y＝x2}＝{y|y≥0}，所以Q P.B能力进阶练10．满足{a}⊆M{a，b，c，d}的集合M共有()A．6个B．7个C．8个D．15个解析：B依题意a∈M，且M{a，b，c，d}，因此M中必含有元素a，且可含有元素b，c，d中的0个、1个或2个，即M的个数等于集合{b，c，d}的真子集的个数，有23－1＝7个．11．同时满足：①M⊆{1，2，3，4，5}；②a∈M且6－a∈M的非空集合M 的个数为()A．16 B．15C．7 D．6解析：C法一：当a＝1时，6－a＝5；当a＝2时，6－a＝4；当a＝3时，6－a＝3；当a＝4时，6－a＝2；当a＝5时，6－a＝1，∴满足条件的非空集合M可能是{1，5}，{2，4}，{3}，{1，3，5}，{2，3，4}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}，共7个．法二：∵a∈M，6－a∈M，∴集合M中的元素为1，5或2，4或3或1，5，2，4或1，5，3或2，4，3或1，5，2，4，3，∴求集合M的个数可以认为是求1和5，2和4，3组成的集合的非空子集的个数，即为23－1＝7(个)．12．(2022·山师附中高一检测)设集合A＝{－1，1}，集合B＝{x|x2－2ax＋1＝0}，若B≠∅，B⊆A，则a等于()A．－1 B．0C．1 D．±1解析：D当B＝{－1}时，x2－2ax＋1＝0有两个相等的实根－1，即a＝－1；当B＝{1}时，x2－2ax＋1＝0有两个相等的实根1，即a＝1；当B ＝{－1，1}时，不成立． 故a ＝±1.13．(2022·苏州高一检测)已知集合M ＝{x ∈R |ax 2－1＝0}，若M 为∅，则实数a 的取值范围是________．解析：当a ＝0时，方程ax 2－1＝0无解， 即M ＝∅；当a ≠0时，当方程ax 2＝1无解时，则a ＜0. 综上，a ≤0. 答案：{a |a ≤0}14．设集合A ＝{x |x 2－8x ＋15＝0}，B ＝{x |ax －1＝0}． (1)若a ＝15，试判定集合A 与B 的关系； (2)若B ⊆A ，求实数a 组成的集合C ． 解：(1)A ＝{x |x 2－8x ＋15＝0}＝{5，3}，当a ＝15时，B ＝{5}，元素5是集合A ＝{5，3}中的元素，集合A ＝{5，3}中除元素5外，还有元素3，3不在集合B 中，所以BA ．(2)当a ＝0时，由题意得B ＝∅，又A ＝{3，5}，故B ⊆A ； 当a ≠0时，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a ，又A ＝{3，5}，B ⊆A ，此时1a ＝3或1a ＝5，则有a ＝13或a ＝15.所以C ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，15.C 探索创新练15．已知非空集合A 1，A 2是集合A 的子集，若同时满足两个条件：①若a ∈A 1，则a ∉A 2；②若a ∈A 2，则a ∉A 1.则称(A 1，A 2)是集合A 的“互斥子集组”，并规定(A 1，A 2)与(A 2，A 1)为不同的“互斥子集组”，则集合A ＝{1，2，3}的不同“互斥子集组”的个数是________．解析：①当集合A 1中只有一个元素1时，集合A 2是集合A 中不含元素1的非空子集，此时共有22－1＝3(个)；同理，当A 1中只有一个元素2或3时，集合A2也各有3个，因此共有9个．②当集合A1中有两个元素1，2时，集合A2是集合A中不含元素1和2的非空子集，此时只有1个；同理，当A1中含有元素1，3或2，3时，集合A2也各有1个，因此共有3个．综上，集合A＝{1，2，3}的不同“互斥子集组”的个数为9＋3＝12.答案：12。
课时规范训练A组基础演练1．在某次测量中，在A处测得同一方向的B点的仰角为60°，C点的俯角为70°，则∠BAC等于()A．10°B．50°C．120°D．130°解析：选D.如图，∠BAC等于A观察B点的仰角与观察C点的俯角和，即60°＋70°＝130°.2．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速率是每小时()A．5海里B．53海里C．10海里D．103海里解析：选C.如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10，在直角三角形ABC中，得AB＝5，于是这艘船的速度是50.5＝10海里/小时．3．一艘船以4 km/h的速度沿着与水流方向成120°夹角的方向航行，已知河水流速为2 km/h，则经过3h，该船的实际航程为()A．215km B．6 kmC．221km D．8 km解析：选B.v实＝22＋42－2×4×2×cos 60°＝2 3.∴实际航程＝23×3＝6(km)．故选B.4．已知A、B两地间的距离为10 km，B、C两地间的距离为20 km，现测得∠ABC＝120°，则A、C两地间的距离为()A．10 km B．103kmC．105km D．107km解析：选D.由余弦定理可知：AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cos∠ABC.又∵AB＝10，BC＝20，∠ABC＝120°，∴AC2＝102＋202－2×10×20×cos 120°＝700.∴AC＝107.5．我舰在敌岛A处南偏西50°的B处，且AB距离为12海里，发现敌舰正离开岛沿北偏西10°的方向以每小时10海里的速度航行，若我舰要用2小时追上敌舰，则速度大小为()A．28海里/小时B．14海里/小时C．142海里/小时D．20海里/小时解析：选B.如图，设我舰在C处追上敌舰，速度为v，则在△ABC中，AC＝10×2＝20(海里)，AB＝12海里，∠BAC＝120°，∴BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos 120°＝784，∴BC＝28海里，∴v＝14海里/小时．6．在一座20 m高的观测台测得对面一水塔塔顶的仰角为60°，塔底的俯角为45°，观测台底部与塔底在同一地平面，那么这座水塔的高度是________m.解析：h＝20＋20tan 60°＝20(1＋3)m.答案：20(1＋3)7．为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10米到位置D ，测得∠BDC ＝45°，则塔AB 的高是________米．解析：在△BCD 中，由正弦定理，得BC sin ∠BDC ＝CD sin ∠DBC，解得BC ＝102米，∴在Rt △ABC 中，塔AB 的高是106米．答案：10 68．某路边一树干被台风吹断后，折成与地面成45°角，树干也倾斜为与地面成75°角，树干底部与树尖着地处相距20 m ，则折断点与树干底部的距离是________m.解析：如图，设树干底部为O ，树尖着地处为B ，折断点为A ，则∠ABO ＝45°，∠AOB ＝75°，所以∠OAB ＝60°.由正弦定理知，AO sin 45°＝20sin 60°，解得AO ＝2063m.答案：20639．某观测站C 在目标A 的南偏西25°方向上，从A 出发有一条南偏东35°走向的公路，在C 处测得与C 相距31千米的公路上B 处有一人正沿此公路向A 处走，走20千米到达D ，此时测得CD 为21千米，求此人在D 处距A 还有多少千米？解：如题图所示，易知∠CAD ＝25°＋35°＝60°，在△BCD 中，cos B ＝312＋202－2122×31×20＝2331，所以sin B ＝12331.在△ABC 中，AC ＝BC sin B sin A ＝24，由BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB cos A ，得AB 2－24AB －385＝0，解得AB ＝35，所以AD ＝AB －BD ＝15.故此人在D 处距A 有15千米．10.如图，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60°方向的B 处，且与岛屿A 相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上，此时到达C 处．(1)求渔船甲的速度；(2)求sin α的值．解：(1)依题意知，∠BAC ＝120°，AB ＝12海里，AC ＝10×2＝20(海里)，∠BCA ＝α，在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos ∠BAC ＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784.解得BC ＝28(海里)．所以渔船甲的速度为BC 2＝282＝14(海里/时)．(2)由(1)知BC ＝28海里，在△ABC 中，∠BCA ＝α，由正弦定理得AB sin α＝BC sin 120°.即sin α＝AB sin 120°BC ＝12×3228＝3314.B 组 能力突破1．要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45°、30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500米，则电视塔在这次测量中的高度是( )A ．1002米B ．400米C ．2003米D ．500米解析：选D.由题意画出示意图，设高AB ＝h ，在Rt △ABC 中，由已知BC ＝h ，在Rt △ABD 中，由已知BD ＝3h ，在△BCD 中，由余弦定理BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD ·cos ∠BCD ，得3h 2＝h 2＋5002＋h ·500，解之得h ＝500(米)．2．台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40千米处，则B 城市处于危险区内的持续时间为( )A ．0.5小时B ．1小时C ．1.5小时D ．2小时解析：选B.设t 小时后，B 市处于危险区内，则由余弦定理得：(20t )2＋402－2×20t ×40cos 45°≤302.化简得：4t 2－82t ＋7≤0，∴t 1＋t 2＝22，t 1·t 2＝74.从而|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝1.3．如图所示，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30°相距10海里C 处的乙船，乙船立即朝北偏东θ＋30°角的方向沿直线前往B 处营救，sin θ的值为( )A.217B.22C.32D.5714解析：选A.连接BC .在△ABC 中，AC ＝10，AB ＝20，∠BAC ＝120°，由余弦定理，得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AB ·AC ·cos 120°＝700，∴BC ＝107，再由正弦定理，得BC sin ∠BAC ＝AB sin θ， ∴sin θ＝217.4．海上一观测站测得方位角240°的方向上有一艘停止待修的商船，在商船的正东方有一艘海盗船正向它靠近，速度为每小时90海里．此时海盗船距观测站107海里，20分钟后测得海盗船距观测站20海里，再过________分钟，海盗船即可到达商船．解析：如图，设开始时观测站、商船、海盗船分别位于A 、B 、C 处，20分钟后，海盗船到达D 处，在△ADC 中，AC ＝107，AD ＝20，CD ＝30，由余弦定理得cos ∠ADC ＝AD 2＋CD 2－AC 22AD ·CD＝400＋900－7002×20×30＝12. ∴∠ADC ＝60°，在△ABD 中由已知得∠ABD ＝30°.∠BAD ＝60°－30°＝30°，∴BD ＝AD ＝20，2090×60＝403(分钟)．答案：4035．如图所示，A ，B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点．现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C 点的救援船立即前往营救，其航行速率为30海里/小时，该救援船到达D 点需要多长时间？解：由题意知AB ＝5(3＋3)海里，∠DBA ＝90°－60°＝30°，∠DAB ＝90°－45°＝45°，∴∠ADB ＝180°－(45°＋30°)＝105°，在△DAB 中，由正弦定理，得DB sin ∠DAB ＝AB sin ∠ADB， ∴DB ＝AB ·sin ∠DAB sin ∠ADB ＝5(3＋3)·sin 45°sin 105° ＝5(3＋3)·sin 45°sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°＝53(3＋1)3＋12＝103(海里)， 又∠DBC ＝∠DBA ＋∠ABC ＝60°，BC ＝203(海里)．在△DBC 中，由余弦定理得CD 2＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC ·cos ∠DBC ＝300＋1 200－2×103×203×12＝900.∴CD ＝30(海里)．则需要的时间t ＝3030＝1(小时)．。
