相似(一)

中考培优课程 相似三角形模块一 知识导航一、相似三角形的概念 1.相似三角形的定义对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形.如图△ABC 与△A ’B ’C ’相似，记作△ABC ∽△A ’B ’C ’，符号∽读作“相似于”2.相似比相似三角形对应边的比叫做相似比. 全等三角形的相似比是1.“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”. 二、相似三角形的性质1. 似三角形的对应角相等如图，△ABC 与△A ’B ’C ’相似，则有∠A =∠A ’，∠B =∠B ’，∠C =∠C ’. 2.相似三角形的对应边成比例如图，△ABC 与△A ’B ’C ’相似，则有''''''AB BC ACk A B B C A C ===（k 为相似比） 3. 相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比. 4.相似三角形周长的比等于相似比5.相似三角形面积的比等于相似比的平方. 三、相似三角形的判定1，平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似. 2.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.可简单说成：两角对应相等，两个三角形相似.3.如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.4.如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例，那么这两个三角形相似.可简单地说成：三边对应成比例，两个三角形相似.5.如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.6.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似(常用但要证明)7.如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形相似;如果它们的腰和底对应成比例，那么这两个等腰三角形也相似. 例11、关于相似三角形，下列命题中不正确的是（ ） A .两个等腰直角三角形相似 B .含有30°角的两个直角三角形相似； C .相似三角形的面积比等于相似比 D .相似三角形的周长比等于相似比.2、下列命题中，正确的是（ ）A .所有的等腰三角形都相似B .所有的直角三角形都相似C .所有的等边三角形都相似D . 所有的矩形都相似 A'B'C'C BAFDC 23、如图，∠1=∠2=∠3，则图中相似三角形共有（）A.4对B.3对C.2对D.1对4、如图，△ABC中，D为AB上一点，在下列四个条件中：①∠B=∠ACD；②∠ADC=∠ACB；③A C A BC D B C=；④2A C A D A B=.能够判定△ABC与△ACD相似的条件是（）A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④AC AD AB=ABD=∠ACB，ACCDO，OA OC OD OB=EA EB ED EC=AB，BC BA，HA HB∠DBE.BCEAB CD1、如图，平行四边形ABCD 中，点E 在BA 的延长线上，连接CE ，与AD 相交于点F .若BC =8，CD =3，AE =1，求AF 的长.2、如图，在△ADE ， ∠D =90°，∠A =60°，点C 是线段DE 的中点，过C 点作CB ⊥AE 于B ，CB =2，求AB 的长.3、在△ABC 中，AB =AC ，BD =CD ，CE ⊥AB 于E .求证：△ABD ∽△CBE .4、如图，在Rt △ABC ，∠BAC =90°，AD ⊥BC 于点D ，点0是AC 边上一点，连接BO 交AD 于点F ，OE ⊥OB 交BC 边于点E .求证：△ABF ∽△COE .例31、如图，在△ABC 中，AD ⊥BC于点D ，在AB 上找到一点E ，使得∠EDB =∠BAC ，连接CE ，求证：CE⊥AB .A B C D E2、如图，已知CD 是直角ABC 的斜边中线，过点D 作垂直AB 的直线交BC 于点F ，交AC 的延长线于点E ，求证：2CD DF DE =3、如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，AD 的垂直平分线交AD 于E ，交BC 的延长线于F ，求证：2FD FB FC =例41、如图，在△ABC 中，CD ⊥AB 于点D ，DE ⊥AC 于点E ，DF ⊥BC 于点F ，求证：△CEF ∽△CBA .2、如图，在四边形ABCD 中，∠BAD =∠BCD =90°. 过C 点作对角线BD 的垂线，分别交BD 、AD 于点E 、 F ，求证：△DCF ∽△DAC .3、如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，DF ⊥AB 于点F ，交BE 于G ，FD 、AC 的延长线交于点H ，求证：2FD FG FH =.AB C D F E A B CD EF AB CD E F G F E DC BA例51、如图，梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠B =90°，E 为BC 上一点，且AE ⊥ED ，若AB =3，BE =4，DC =8，求DE 的长.2、如图，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，AB =6，CD =16，BD =20，一动点P 从点B 向点D 运动，当BP 的值是多少时△P AB 与△PCD 是相似三角形?3、如图，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，垂足分别为B 、D ，AC 和BD 相交于点E ， EF ⊥BD ，垂足为F .证明：111AB CD EF+=4、如图，已知AB ∥EF ∥CD ，找出S △ABD 、S △BED 、S △BCD 之间的关系，并证明你的结论.例61、在△ABC 中，正方形EFGH 的两个顶点E 、F 在BC 上，另两个顶点G 、H 分别在AC 、AB 上，BC 边上的高ÀD =10，求S 四边形EFGH .2、如图，已知△ABC 中，四边形DEGF 为正方形，D ， E 在线段AC ，BC 上，F ， G 在AB 上，如果S △ADF =S △CDE =1，S △BEG =3，求△ABC 的面积.A B C D EF D C B A HG F C D E3、如图，已知△ABC 中，AC =5，AB =11，BC=DEGF 为正方形，其中D ，E 在边AC ，BC 上，F ，G 在AB 上，求正方形的边长.例71、如图，△ABC 中，∠ABC =60°，点P 是△ABC 内一点，使得∠APB =∠BPC =∠CP A ，P A =8，PC =6，求PB 的长.2、如图，△ABC 中，∠ACB =120°，AC，BC=，D 、E 是线段AB 上两点，且△CDE 为等边三角形，求DE 的长.3、如图，在直角△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，∠DAE =45°，求证：2AB BE CD第13讲 相似三角形A 基础巩固1、下列条件中，能判定两个等腰三角形相似的是（ ）A .都含有一个30°的内角B .都含有一个45°的内角;C .都含有一个60°的内角D .都含有一个80°的内角2、如图，P 为线段AB 上一点，AD 与BC 交于E ，∠CPD =∠A =∠B ，BC 交PD 于F ，AD 交PC 于G ，则图中相似三角形有（ ）A .1对B .2对C . 3对D .4对A B CD E3、如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC 相似的是（ ）4、如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，如果AD =1，BD =2，那么DEBC的值为（ ） A . 12 B . 13 C . 14D . 195、如图，在梯形ABDC 中，AD ∥BC ，对角线AC ，BD 相交于点O ，若AD =1，BC =3，则AOCO的值为（ ） A .12 B . 13 C . 14D . 196、如图，在△ABC 中，∠ABC =80°，∠BAC =40°，AB 的垂直平分线分别与AC 、AB 交于点D 、E ，连接BD ，求证：△ABC ∽△BDC7、如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，CE ⊥AB 于点E ，△ABC 的面积是△BDE 面积的4倍，AC =6，求DE 的长.A B CDEODC B AABC EDE D C B A8、如图，己知AB =12， AB ⊥BC 于点B ，AB ⊥AD 于点A ，AD =5，BC =10.点E 是CD 的中点，求AE 的长.B 综合训练9、如图，BC =60，高AD =40，△ABC 的内接矩形EFGH 中，EH ：EF =2：1，求EF 的长.10、如图，在△ABC 中，2FD FB FC =，AD 的垂直平分线交AD 于点E ，交BC 的延长线于F ，求证AD 平分∠BAC .11、如图，己知CE 是Rt △ABC 斜边AB 上的高，在EC 的延长线上任取一点P ，连接AP ，BG ⊥AP 垂足为G ，交CE 于D ，求证：2CE PE DE =.12、如图，在△ABC 中，D 是BC ，边上一点，且满足AD =AB ，∠ADE =∠C . （1）求证：△ADE ∽△ACD ；（2）若S △ADE ：S △CDE =2：3，且AE =4，求AB 的长； （3）求证：AC EC DC BC =.ADB C EM H B C D E F A EF D C B A。

探索三角形相似的条件（一）一、说教材：1.地位及重要性本节课是在学生学习了相似三角形的基本概念和基本性质等知识后，对三角形相似的判定的进一步探索。

既是之前学过的全等三角形等知识的延伸和拓展，又是今后证明线段成比例，研究相似多边形性质的重要工具。

本节内容起着承上启下的重要作用。

通过本节课的学习，可以培养学生猜想、实验、探索等能力，因此，这节课在本章中有着举足轻重的地位。

2.教学目标（1）知识与技能目标：理解三角形相似的判定方法；掌握找相等角从而运用判定条件（一）来解决问题。

（2）过程与方法目标：经历“直观感觉――动手感知――理性思维――应用拓展”的活动过程，探索两个三角形相似的条件并用它来解决简单问题，进一步发展学生的逻辑推理能力。

（3）情感、态度与价值观目标：通过生活中的有关三角形相似的应用，让学生体会到数学来源于生活，应用于生活的辩证思想。

3.重点与难点：教学重点：相似三角形的判定方法及其探索过程教学难点：找对应相等的两个角来判定三角形相似二、说教法——师生互动探究式教学学情分析初二学生活泼，求知欲强，这为探究三角形相似的判定条件提供了情感保障，而且学生在此已经学过相似三角形的定义和平行线的特征等知识，这为判定条件的探索和应用提供了认知基础。

同时在以前的数学学习中已经经历了很多合作学习的过程，具备了一定的合作交流的能力。

教学方法为贯彻“学生的主体地位，而教师是教学过程中的组织者、合作者和引导者”这样的教学理念，我确定如下的教学方式：学生自主探究、合作交流学习，教师引导发现教学。

三、说学法——自主探索研讨发现新课改的精神在于把学习的主动权还给学生。

因此，本节课通过教师引导，学生观察和动脑，主动探索获取新知识。

然后通过针对性练习来让学生突破找相等角证明三角形相似的难点，学生在获得新知的情况下，体验成功。

四、教学过程：本节课的教学，大致按照“温故知新，谈话揭题——合作交流，探索条件——例题拓展，深化提高——归纳总结，深化目标——作业布置、检测反馈”五个环节进行组织。

相似三角形【知识要点】1．对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。

2．相似三角形的判定：①如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

②如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。

③如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。

3．相似三角形具有下述性质：①相似三角形对应角相等、对应边成比例；②相似三角形对应高、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；③相似三角形周长的比等于相似比；④相似三角形面积的比等于相似比的平方。

4．熟悉如图中形如“A”型，“X”型，“子母型”等相似三角形。

【典型例题】例1．在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于O，BM∥CD交CA的延长线于M，求证：OC2 =OA·OMBGD例2 . 如图，三个正方形组成一个矩形，AB=AG=GH=HD=a ，求证：∠AFB+∠ACB=45°。

例3 . 已知CD 是直角三角形ABC 斜边AB 上的高，E 是CD 的中点，AE 的延长线交BC 于F ，AB FG ⊥，垂足是G ，求证：FB FC FG ∙=2ABCDE G H例4．如图，已知△ABC 中，点D 、E 、F 分别是AB 、AC 、BC 上的点，DE ∥BC ，EF ∥AB 。

（1）求证：△ADE ∽△EFC 。

（2）如果△ADE 和△EFC 的面积分别是20和45，求四边形BFED 的面积。

例5. 如图所示，△ABC 中AB=AC ，D 为CB 的延长线上一点，E 为BC 延长线上一点，满足AB 2=DB ·CE 。

（1）求证：△ADB ∽△EAC ； （2）若∠BAC=40°，求∠EAD 的大小例6.已知：如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F求证：△AEF ∽△ACBADBCE例7．如图，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，EF 过梯形对角线的交点O ，且EF ∥AD .（1）求证：OE=OF ； （2）求证：EFBC AD 211=+。

标题：细化解读课程标准优秀案例姓名：张文武学校：新郑市薛店镇第一初级中学学科：数学年级：八年级课题：探索三角形相似的条件（一）时间：2010年5月9日细化解读课程标准案例设计科目：数学年级：八年级教材版本：北师大版章节：第五章相似图形课题：探索三角形相似的条件（一）一、课标描述探索两个三角形相似的条件二、教材分析这节课是九年制义务教育初级中学教材北师大版八年级下第四章第六节《探索三角形相似的条件》第一课时。

从教材知识体系上看，相似三角形是对全等三角形内容的进一步拓广和发展,是学习解直角三角形和圆的基础，起到了承上启下的作用。

从所属章节内容结构上看，相似三角形紧接着相似多边形之后，且是相似多边形的下位概念，探索相似三角形的判定条件可使得学生体验数学的一般到特殊、类比、由繁到简的思想，并进一步提高解决问题的能力，提高应用数学意识和合作交流的能力。

三、教学目标的确定(一)学习目标设置的依据：依据一：数学课程标准的有关内容：会探索两个三角形相似的条件。

依据二：教学参考书：经历两个三角形相似条件的探索过程，进一步发展学生的探究、交流能力，以及动手、动脑、手脑和谐一致的习惯；初步掌握两个三角形相似的判定条件；能够运用三角形相似的条件解决简单的问题，进一步发展学生的合情推理能力和初步的逻辑推理意识。

依据三：中招考试说明：利用两个三角形相似的条件解决简单的问题是近几年中招考试的重要考点，考查形式以填空题和解答题为主，应加忽视。

依据四：教材内容及学情解析：知识背景：学生在学习了相似三角形后，本节课的目的就是让学生探索两个三角形相似的条件,掌握三角形相似的判定方法1，发展学生的观察、归纳、交流等能力，提高学生逻辑推理意识。

针对八年级学生的知识结构和心理特征，本节课我采用以设疑探究的引课方式，激发学生的求知欲望，提高学生的学习兴趣和学习积极性。

把探索三角形相似的条件作为主线，训练学生思维，以探索—总结—运用为教学程序，在充分尊重教材的前提下，融教材练习、做一做于教学过程中，增设了由浅入深、各不相同却又紧密相关的训练题目，为学生顺利掌握三角形相似的判定方法1创造了有利条件。

ABC DEF相似三角形的判定(一)掌握相似三角形的判定方法：1、如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

2、如果三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。

3、如果三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。

4、直角三角形相似的判定：斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似． 重点难点:相似三角形判定条件 【知识点回顾】 相似三角形的判定 1、相似三角形的判定：判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

即：两角对应相等，两三角形相似。

例1、已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC ∽△ADE ．例2、如图，E 、F 分别是△ABC 的边BC 上的点，DE ∥AB,DF ∥AC , 求证：△ABC ∽△DEF.判定定理2：如果三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。

即：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．例1、△ABC 中，点D 在AB 上，如果AC 2=AD •AB ，那么△ACD 与△ABC 相似吗？说说你的理由．例2、如图，点C 、D 在线段AB 上，△PCD 是等边三角形。

（1）当AC 、CD 、DB 满足怎样的关系时，△ACP ∽△PDB ？ （2）当△ACP ∽△PDB 时，求∠APB 的度数。

判定定理3：如果三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。

简单说成：三边对应成比例，两三角形相似．不相似，请说明理由。

，求出相似比；如果它们相似吗？如果相似，和如图在正方形网格上有222111A C B A C B ∆∆例1、如图，方格纸上的每个小正方形的边长都为1，下列图中的三角形与右图中的△ABC 相似的是（）。

例2、如图，在四边形ABCD中，AB=2，BC=3，CD=6，AC=4，DA=8.AC平分∠BAD 吗？为什么？例3、方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点之间的连线为边的三角形叫做格点三角形。