初中九年级数学上册第二十四章圆24.1圆的有关性质24.1.3弧、弦、圆心角习题讲义新人教版(精品)

人教版九年级数学（上）第24章圆24.1圆的有关性质24.1.3 弧、弦、圆心角教案【教材内容】1．圆心角的概念；2．有关弧、弦、圆心角关系的定理：在同圆或等圆中，•相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；3．定理的推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，•那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．【教学目标】1．了解圆心角的概念;2．掌握在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧中有一个量的两个相等就可以推出其它两个量的相对应的两个值就相等，及其它们在解题中的应用．【教学重点】通过复习旋转的知识，产生圆心角的概念，然后用圆心角和旋转的知识探索在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，最后应用它解决一些具体问题．【教学难点】弧、弦、圆心角之间的相等关系是论证同圆或等圆中弧相等、角相等、线段相等的主要依据．【教学过程设计】一、情境导入人类为了获得健康和长寿，经过不断的实践探索，到十九世纪末才提出“生命在于运动”的口号．要健康长寿，更重要的是每天要摄取均衡的营养包括蛋白质、糖类、脂肪、维生素、矿物质、纤维和水．根据中国营养学会公布的“中国居民平衡膳食指南”，每人每日摄取量如图．你能求出各扇形的圆心角吗？二、合作探究知识点一：圆心角 【类型一】圆心角的识别例1 如图所示的圆中，下列各角是圆心角的是( )A ．∠ABCB ．∠AOBC ．∠OABD ．∠OCB 解析：根据圆心角的概念，∠ABC 、∠OAB 、∠OCB 的顶点分别是B 、A 、C ，都不是圆心O ，因此都不是圆心角．只有B 中的∠AOB 的顶点在圆心，是圆心角．故选B.方法总结：确定一个角是否是圆心角，只要看这个角的顶点是否在圆心上，顶点在圆心上的角就是圆心角，否则不是．知识点二：圆心角的性质 【类型一】利用圆心角的性质求角例2 如图，已知：AB 是⊙O 的直径，C 、D 是BE ︵的三等分点，∠AOE ＝60°，则∠COE 的大小是( )A ．40°B ．60°C ．80°D ．120°解析：∵C 、D 是BE ︵的三等分点，∴BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，∴∠BOC ＝∠COD ＝∠DOE .∵∠AOE ＝60°，∴∠BOC ＝∠COD ＝∠DOE ＝13×(180°－60°)＝40°，∴∠COE ＝80°.故选C.方法总结：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．知识点三：圆心角、弦、弧之间的关系 【类型一】结合三角形内角和求角例3 如图所示，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠B ＝70°，则∠A ＝________．解析：由AB ︵＝AC ︵，得这两条弧所对的弦AB ＝AC ，所以∠B ＝∠C .因为∠B ＝70°，所以∠C ＝70°.由三角形的内角和定理可得∠A 的度数为40°.故答案为40°.方法总结：在应用弧、弦、圆心角之间的关系定理时，注意根据具体的需要选择有关部分，本题只需由两弧相等，得到两弦相等就可以了．【类型二】弧相等的简单证明例4 如图所示，已知AB 是⊙O 的直径，M ，N 分别是OA ，OB 的中点，CM ⊥AB ，DN ⊥AB ，垂足分别为M ，N .求证：AC ︵＝BD ︵.解析：根据圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系，可先证明它们所对的圆心角相等或它们所对的弦相等．证法1：如图所示，连接OC ，OD ，则OC ＝OD .∵OA ＝OB .又M ，N 分别是OA ，OB 的中点，∴OM ＝ON .又∵CM ⊥AB ，DN ⊥AB ，∴∠CMO ＝∠DNO ＝90°.∴Rt △CMO ≌Rt △DNO .∴∠1＝∠2.∴AC ︵＝BD ︵.证法2：如图①所示，分别延长CM ，DN 交⊙O 于点E ，F .∵OM ＝12OA ，ON ＝12OB ，OA ＝OB ，∴OM ＝ON .又∵OM ⊥CE ，ON ⊥DF ，∴CE ＝DF ，∴CE ︵＝DF ︵.又∵AC ︵＝12CE ︵，BD ︵＝12DF ︵.∴AC ︵＝BD ︵.图①图②证法3：如图②所示，连接AC ，BD .由证法1，知CM ＝DN .又∵AM ＝BN ，∠AMC ＝∠BND ＝90°，∴△AMC ≌△BND .∴AC ＝BD ，∴AC ︵＝BD ︵.方法归纳：在同圆或等圆中，要证明圆心角、弧、弦、弦心距这四组量中的某一组量相等，通常是转化成证明另外三组量中的某一组量相等．知识点四：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等 例5 如图，在⊙O 中，AB 、CD 是两条弦，OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足分别为EF ．（1）如果∠AOB=∠COD ，那么OE 与OF 的大小有什么关系？为什么？ （2）如果OE=OF ，那么AB 与CD 的大小有什么关系？AB 与CD 的大小有什么关系？•为什么？∠AOB 与∠COD 呢？解析：（1）要说明OE=OF ，只要在直角三角形AOE 和直角三角形COF 中说明AE=CF ，即说明AB=CD ，因此，只要运用前面所讲的定理即可．（2）∵OE=OF ，∴在Rt △AOE 和Rt △COF 中， 又有AO=CO 是半径，∴Rt △AOE ≌Rt•△COF ，∴AE=CF ，∴AB=CD ，又可运用上面的定理得到AB =CD 解：（1）如果∠AOB=∠COD ，那么OE=OF 理由是：∵∠AOB=∠COD ∴AB=CD∵OE ⊥AB ，OF ⊥CD ∴AE=12AB ，CF=12CD ∴AE=CF 又∵OA=OC ∴Rt △OAE ≌Rt △OCF ∴OE=OF（2）如果OE=OF ，那么AB=CD ，AB =CD ，∠AOB=∠COD 理由是：∵OA=OC ，OE=OF ∴Rt △OAE ≌Rt △OCF ∴AE=CF又∵OE ⊥AB ，OF ⊥CDD∴AE=12AB，CF=12CD∴AB=2AE，CD=2CF∴AB=CD∴AB=CD，∠AOB=∠COD方法归纳：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，•所对的弦也相等．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．三、教学小结师生一起总结本节学习知识要点：1．圆心角的概念；2．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，•那么它们所对应的其余各组量都部分相等，及其它们的应用．【板书设计】24.1 圆的有关性质24.1.3 弧、弦、圆心角1.圆心角的识别2.圆心角的性质3.弧、弦、圆心角之间的关系4.运用弧、弦、圆心角的关系进行证明与计算【课堂检测】1．(1)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的相等，所对的弦也．在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的相等，•所对的弦也．(2)在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角，•所对的也相等．2. 如图，在⊙O中，AB=AC∠ACB=60 °，求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC3. 如图，AB，CD是⊙O的两条弦。

24.1.3弧、弦、圆心角教学目标1．让学生理解圆心角概念和圆的旋转不变性.2．了解弧、弦、圆心角之间的关系，并能推理证明．3．利用圆的旋转不变性和对称性，发现圆中弧、弦、圆心角之间的关系.教学重点弧、弦、圆心角之间的关系，并运用此关系进行有关计算和证明.教学难点利用圆的旋转不变性推导弧、弦、圆心角之间的相等关系.教学过程设计一、问题引入，新课教授问题1. 圆是中心对称图形吗？它的对称中心在哪里？圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心.问题2. 圆一定要绕圆心180 °才能与本身重合吗？活动1：把圆O 的半径ON 绕圆心O 旋转15°．活动2：把圆O 的半径ON 绕圆心O 旋转30°.活动3：把圆O 的半径ON 绕圆心O 旋转60°.活动4：把圆O 的半径ON 绕圆心O 旋转n°.结论：点N′仍在圆O上，即把圆绕圆心旋转任意一个角度后，仍与原来的圆重合．定义：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.师生活动：教师演示课件：展示半径ON按特定角度旋转的过程，师生通过观察得出圆的特性：把圆绕圆心旋转任意一个角度后，仍与原来的圆重合，所以圆是中心对称图形，而且具有旋转对称性. 进而引出圆心角的定义.设计意图：从直观图形出发，引导学生对图形的观察、发现，鼓励学生，使学生对圆心角有一个感性的认识.二、师生互动，探究新知练习：判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由.师生活动：教师引导学生认识圆心角后，让学生完成巩固练习.设计意图：学生通过找圆心角，为后面探究三者之间的关系作铺垫.问题1：每个圆心角都有它所对的弦和弧.如图所示，⌒取圆心角: ∠AOB，所对的弦: AB，所对的弧: AB.这三个量之间会有什么关系呢？思考1：如图，⊙O 中，当圆心角∠AOB=∠A 1OB 1时，它们所对的弧AB 和A 1B 1、弦AB 和A 1B 1相等吗？为什么？ 师生活动：教师通过课件展示∠AOB 旋转至∠A 1OB 1的过程，引导学生通过观察归纳圆心角、弧、弦之间相等关系定理：在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.思考2：如图⊙O 与⊙O 1是等圆，∠AOB =∠A 1OB 1，请问上述结论还成立吗？为什么?师生活动：教师通过课件展示，引导学生将有关等圆的问题叠合成一个圆，即转化为同圆问题来解决. 使学生经历猜想--证明--归纳得出结论：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等. 转化成数学语言：∵ ∠AOB=∠A 1OB 1，∴AB=A 1B 1 ，AB=A1B 1 . 设计意图：培养学生猜想、观察、归纳总结的能力，通过思考每组量重合的理论依据，让学生经历一个由感性认识上升的理性认识的认知过程. 培养学生思维的严谨性，形成良好的科研习惯. 最后将定理中的文字语言转化为符号语言，加深对定理的理解.归纳：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等， 所对的弦相等；在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧相等．问题2：在这三个结论中，为什么要说“在同圆或等圆中”？能不能去掉？师生活动：教师关注学生是否理解了定理成立的关键条件是“在同圆或等圆中” ，强化学生对定理的理解. 问题3：我们看到，这三个结论中，所对的弧相等是什么意思？能不能说所对的弧长相等呢？师生活动：教师在此环节讲述清楚“弧”与“弧长”所代表的不同意义，使学生认识到度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧也不一定是等弧，而只有在同圆或等圆中，才可能是等弧.设计意图：教师引导学生归纳出推论. 强化对定理的理解，培养学生的思维批判性.圆心角定理整体理解：1．三个元素：圆心角、所对弦、所对弧2．三个相等关系：(1) 圆心角相等(2) 弧相等(3) 弦相等 记忆技巧：知一得二设计意图：结合图形再次加深对圆心角定理的整体理解，并使学生获得“知一得二”的记忆技巧.三、课堂练习练习： 1、如图3，AB 、CD 是⊙O 的两条弦。

第二十四章 24.1.3弧、弦、圆心角知识点1：圆心角1.圆心角的顶点是圆心,圆心角的两边通常是圆的两条半径.如图中,∠AOB就是一个圆心角.2.注意:一个角要成为圆心角,必须具备顶点在圆心这一特征.3.圆心角的度数与它所对的弧的度数相等.知识点2：弧、弦、圆心角之间的关系弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对弦的弦心距也相等.弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理的推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.关键提醒:(1)运用本知识点时,应注意其成立的条件“同圆或等圆中”和“所对应的”两词的含义;(2)由“弦相等”推出“弧相等”时,这里的“弧相等”指的是对应的劣弧与劣弧相等、优弧与优弧相等;(3)运用本知识点可证明同圆或等圆中弧相等、角相等以及线段相等;(4)圆心角的度数等于它所对弧的度数;(5)上述关系中所说的圆心角一般指小于平角的角,因此它所对的弧是劣弧.考点1：利用圆心角证明问题【例1】如图,A、B是☉O上的两点,∠AOB=120°,点D为劣弧AB的中点.求证:四边形AOBD 是菱形.证明:连接OD.因为D是劣弧AB的中点,所以=,因为∠AOB=120°,所以∠AOD=∠DOB=60°,又因为OA=OD=OB,所以△AOD和△DOB都是等边三角形,所以AD=AO=OB=BD,所以四边形AOBD是菱形.点拨：要证四边形AOBD是菱形,关键是要用好“点D为劣弧AB的中点”这个条件,由弧等证角等,从而得出∠AOD=∠DOB=60°.考点2：利用弧、弦、圆心角之间的关系解决实际问题【例2】如图所示,AB、CD是☉O的两条直径,CE∥AB,求证:=.解:连接OE.∵OE=OC,∴∠C=∠E.∵CE∥AB,∴∠C=∠BOC,∠E=∠AOE.∴∠BOC=∠AOE.∴=.点拨:要证明=,由在同圆或等圆中的圆心角相等所对的弧相等可知,只要证明两条弧所对的圆心角相等即∠BOC=∠AOE,问题便得以解决.。

24.1.3 弧、弦、圆心角学习目标：了解圆心角的概念：掌握在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧、弦心距中有一个量的两个相等就可以推出其它两个量的相对应的两个值就相等，及其它们在解题中的应用．一、导学过程：（阅读教材P82 — 83 , 完成课前预习）1、知识准备（1）圆是轴图形，任何一条所在直线都是它的对称轴．（2）垂径定理推论．2、预习导航。

（1）圆心角：顶点在的角叫做圆心角。

（2）等圆：能够的圆叫做等圆，同圆或等圆的半径。

（3）弧、弦、弦心距、圆心角的关系：定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的相等，所对的弦也．同样，还可以得到：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的相等，•所对的弦也，所对的弦心距也。

在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的、、相等．注：同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也。

二、课堂练习。

1．如果两个圆心角相等，那么（）A．这两个圆心角所对的弦相等 B．这两个圆心角所对的弧相等C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等 D．以上说法都不对2．在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD，则两条弧AB与CD的关系是（）A. AB=2CD B．AB>2CD C．AB<2CD D．不能确定3. 一条弦长恰好为半径长，则此弦所对的弧是半圆的_________．4．如图，在⊙O中，AB=AC，∠AOB=60 °，Array求证:∠AOB=∠BOC=∠AOC三、课堂小结在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的相等，所对的弦也．在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的、、相等．四、反馈检测。

1．如图，⊙O中，如果AB=2CD，那么（）．A．AB=AC B．AB=AC C．AB<2AC D．AB>2AC2．如图，以平行四边形ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，分别交BC、AD于E、F，若∠D=50°，求BE的度数和BF的度数．3.如图，在⊙O中，C、D是直径AB上两点，且AC=BD，MC⊥AB，ND⊥AB，M、N•在⊙O上．（1）求证：AM=BN（2）若C、D分别为OA、OB中点，则AM=MN=NB成立吗？4．如图，∠AOB=90°，C、D是AB三等分点，AB分别交OC、OD于点E、F，求证：AE=BF=CD．5.如图， AB和DE是⊙O的直径，弦AC∥DE，若弦BE=3，求弦CE长度。

24.1 圆的有关性质24.1.3 弧、弦、圆心角教学目标：1、理解圆心角的概念．2、掌握在同圆或等圆中，弧、弦、圆心角及弦心距之间的关系．教学重难点：圆的性质的综合应用．知识点一：圆的旋转不变性圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．例题：如图所示的图形绕圆心旋转多少度后能与自身重合？【考点】B4：旋转．【专题】463：图形与变换．【分析】根据旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．【解答】解：把图形中的每个阴影部分与相邻的一个部分当作一个部分，因而整个圆周被分成9个完全相同的部分，每个部分对应的圆心角是=45度，因而最少旋转的度数是45度．答：如图所示的图形绕圆心旋转45度后能与自身重合．【点评】考查图形的旋转与重合，理解旋转对称图形的定义是解决本题的关键．变式．如图，△ABC是△O的内接三角形，将△ABC绕圆心O逆时针方向旋转α°（0＜α＜90），得到△A′B′C′，若，则△B的度数为（）A．30°B．45°C．50°D．60°【分析】先根据得出==，，最后根据△A=△B=△C即可得出△B的度数．【解答】解：△，将△ABC绕圆心O逆时针方向旋转α°（0＜α＜90），得到△A′B′C′，△==，△，△△A=△B=△C=60°．故选D．【点评】此题考查了圆心角、弧、弦的关系和旋转的性质，解题的关键是根据等弧所对的圆周角相等进行解答．知识点二：圆心角定义：角的顶点在圆心的角例题．如图，MN为△O的弦，△M=50°，则△MON等于（）A．50°B．55°C．65°D．80°【分析】先运用了等腰三角形的性质求出△N，再根据三角形的内角和是180°即可得．【解答】解：△OM=ON，△△N=△M=50°．再根据三角形的内角和是180°，得：△MON=180°﹣50°×2=80°．故选D．【点评】运用了等腰三角形的性质：等边对等角；考查了三角形的内角和定理．变式1．如图，已知：AB是△O的直径，C、D是上的三等分点，△AOE=60°，则△COE是（）A．40°B．60°C．80°D．120°【分析】先求出△BOE=120°，再运用“等弧对等角”即可解．【解答】解：△△AOE=60°，△△BOE=180°﹣△AOE=120°，△的度数是120°，△C、D是上的三等分点，△弧CD与弧ED的度数都是40度，△△COE=80°．故选C．【点评】本题利用了邻补角的概念和圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．变式2．已知弦AB把圆周分成2：3的两部分，则弧所对圆心角的度数是（）A．72°B．72°或144°C．144°D．144°或216°【分析】由于弦AB把圆周分成1：5的两部分，根据圆心角、弧、弦的关系得到弦AB所对的圆心角为周角的．【解答】解：△弦AB把圆周分成2：3的两部分，△弦AB所对的圆心角的度数=×360°=144°．故选D【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．知识点三：圆心角、弧、弦之间的关系（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系三者关系可理解为：在同圆或等圆中，△圆心角相等，△所对的弧相等，△所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．例题1．如图，在△O中=，△AOB=40°，则△COD的度数（）A．20°B．40°C．50°D．60°【分析】首先得到=，进而得到△AOB=△COD，即可选择正确选项．【解答】解：△=，△=，△△AOB=△COD，△△AOB=40°，△△COD=40°，故选B．【点评】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．例题2．如图，在△O中，已知=，则AC与BD的关系是（）A．AC=BD B．AC＜BD C．AC＞BD D．不确定【分析】由=，得到，于是推出，根据圆心角、弧、弦的关系即可得到结论．【解答】解：△=，△，△，△AC=BD．故选A．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，正确的理解圆心角、弧、弦的关系是解题的关键．例题3．如图，AB是半圆的直径，△BAC=20°，D是的中点，则△DAC的度数是（）A．30°B．35°C．45°D．70°【分析】首先连接BC，由AB是半圆的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得△C=90°，继而求得△ABC 的度数，然后由D是的中点，根据弧与圆周角的关系，即可求得答案．【解答】解：连接BC，△AB是半圆的直径，△△C=90°，△△BAC=20°，△△B=90°﹣△BAC=70°，△D是的中点，△△DAC=△ABC=35°．故选：B．【点评】此题考查了圆周角定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键．变式1．如图所示，在△O中，，△A=30°，则△B=（）A．150°B．75°C．60°D．15°【分析】先根据等弧所对的弦相等求得AB=AC，从而判定△ABC是等腰三角形；然后根据等腰三角形的两个底角相等得出△B=△C；最后由三角形的内角和定理求角B的度数即可．【解答】解：△在△O中，，△△ABC是等腰三角形，△△B=△C；又△A=30°，△△B==75°（三角形内角和定理）．故选B．【点评】本题综合考查了圆心角、弧、弦的关系，以及等腰三角形的性质．解题的关键是根据等弧对等弦推知△ABC是等腰三角形．变式2．如图，==，已知AB是△O的直径，△BOC=40°，那么△AOE=（）A．40°B．60°C．80°D．120°【分析】由==，△BOC=40°，根据等弧所对的圆周角相等，可求得△EOD与△COD的度数，继而求得答案．【解答】解：△==，△BOC=40°，△△EOD=△COD=△BOC=40°，△AB是△O的直径，△△AOE=180°﹣△EOD﹣△COD﹣△BOC=60°．【点评】此题考查了弧与圆心角的关系．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．变式3．如图，已知△O的半径等于2cm，AB是直径，C，D是△O上的两点，且，则四边形ABCD的周长等于（）A．8 cm B．10 cm C．12 cm D．16 cm【分析】如图，连接OD、OC．根据圆心角、弧、弦间的关系证得△AOD、△OCD、△COB是等边三角形，然后由等边三角形的性质求得线段AD、DC、CB与已知线段OA间的数量关系．【解答】解：如图，连接OD、OC．△（已知），△△AOD=△DOC=△COB（在同圆中，等弧所对的圆心角相等）；△AB是直径，△△AOD+△DOC+△COB=180°，△△AOD=△DOC=△COB=60°；△OA=OD（△O的半径），△△AOD是等边三角形，△AD=OD=OA；同理，得OC=OD=CD，OC=OB=BC，△AD=CD=BC=OA，△四边形ABCD的周长为：AD+CD+BC+AB=5OA=5×2cm=10cm；故选B．【点评】本题考查了心角、弧、弦间的关系与等边三角形的判定与性质．在同圆中，等弧所对的圆心角相等．拓展点一：利用圆心角、弧、弦之间的关系进行计算或证明例题1．如图所示，△ABC的三个顶点在△O上，D是上的点，E是上的点，若△BAC=50°．则△D+△E=（）A．220°B．230°C．240°D．250°°【分析】连接OA、OB、OC，由圆心角、弧、弦的关系定理得出△BOC=100°，得出△AOB+△AOC=260°，由圆周角定理得出△D=（△BOC+△AOC），△E=（△BOC+△AOB），即可得出结果．【解答】解：连接OA、OB、OC，如图所示：△△BAC=50°，△△BOC=2△BAC=100°，△△AOB+△AOC=360°﹣100°=260°，△△D=（△BOC+△AOC），△E=（△BOC+△AOB），△△D+△E=（△BOC+△AOC+△BOC+△AOB）=（260°+100°+100°）=230°．故选：B．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系定理、圆周角定理；熟练掌握圆心角、弧、弦的关系定理，由圆周角定理得出角之间的关系是解决问题的关键．例题2．如图，AB是半圆O的直径，点C、D、E、F在半圆上，AC=CD=DE=EF=FB，则△COF=（）A．90°B．100°C．108°D．120°【分析】由圆心角、弧、弦的关系定理得出=，得出△COF=×180°=108°即可．【解答】解：△AC=CD=DE=EF=FB，△=，△△COF=×180°=108°；故选：C．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系定理；熟练掌握圆心角、弧、弦的关系定理，由弦相等得出弧相等是解决问题的关键．例题3．如图，AB是△O的直径，若△COA=△DOB=60°，等于线段AO长的线段有（）A．3条B．4条C．5条D．6条【分析】易知：△AOC=△COD=△BOD=60°，则△AOC、△COD、△BOD均为等边三角形，可据此判断出与OA相等的线段有几条．【解答】解：△△COA=△DOB=60°，△△AOC=△COD=△BOD=60°；又△OA=OC=OD=OB，△△OAC、△OCD、△BOD是全等的等边三角形；△OA=AC=OC=CD=OD=BD=OB；因此与OA相等的线段由6条，故选D．【点评】能够发现△OAC、△OCD、△BOD是全等的等边三角形是解答此题的关键．变式1．如图，AB是△O的直径，==，△COD=34°，则△AEO的度数是51°．【分析】由==，可求得△BOC=△EOD=△COD=34°，继而可求得△AOE的度数；然后再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理来求△AEO的度数．【解答】解：如图，△==，△COD=34°，△△BOC=△EOD=△COD=34°，△△AOE=180°﹣△EOD﹣△COD﹣△BOC=78°．又△OA=OE，△△AEO=△OAE，△△AEO=×（180°﹣78°）=51°．故答案为：51°．【点评】此题考查了弧与圆心角的关系．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．变式2．如图，AB是△O的直径，点C是半圆上的一个三等分点，点D是的中点，点P是直径AB上一点，若△O的半径为2，则PC+PD的最小值是2．【分析】作D关于AB的对称点E，连接CE交AB于点P′，连接OC，OE，则DP+CP最小，根据解直角三角形求出CE，根据轴对称求出DP′+CP′=CE即可．【解答】解：作D关于AB的对称点E，连接CE交AB于点P′，连接OC，OE，则根据垂径定理得：E在△O上，连接EC交AB于P′，则若P在P′时，DP+CP最小，△C是半圆上的一个三等分点，△△AOC=×180°=60°，△D是的中点，△△AOE=△AOC=30°，△△COE=90°，△CE=OC=2，即DP+CP=2，故答案为2．【点评】本题考查了解直角三角形，圆周角定理，垂径定理，轴对称的性质等知识点的应用，主要考查学生的推理和计算能力．变式3．如图，AB是△O的直径，点C在△O上，△AOC=40°，D是BC弧的中点，则△ACD=125°．【分析】连接OD，由△AOC=40°，可得出△BOC，再由D是BC弧的中点，可得出△COD，从而得出△ACD 即可．【解答】解：连接OD，△AB是△O的直径，△AOC=40°，△△BOC=140°，△ACO=70°，△D是BC弧的中点，△△COD=70°，△△OCD=55°，△△ACD=△ACO+△OCD=70°+55°=125°，故答案为125°．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．变式4．如图，已知AB是△O的直径，PA=PB，△P=60°，则弧CD所对的圆心角等于60度．【分析】先利用PA=PB，△P=60°得出△PAB是等边三角形再求出△COA，△DOB也是等边三角形得出△COA=△DOB=60°可求△COD．【解答】解：连接OC，OD，△PA=PB，△P=60°，△△PAB是等边三角形，有△A=△B=60°，△OA=OC=OD=OB，△△COA，△DOB也是等边三角形，△△COA=△DOB=60°，△△COD=180°﹣△COA﹣△DOB=60度．【点评】本题利用了：有一角等于60度的等腰三角形是等边三角形的判定方法和等边三角形的性质求解．例题4．如图，在△O中，=，CD△OA于D，CE△OB于E，求证：AD=BE．【分析】连接OC，先根据=得出△AOC=△BOC，再由已知条件根据AAS定理得出△COD△△COE，由此可得出结论．【解答】证明：连接OC，△=，△△AOC=△BOC．△CD△OA于D，CE△OB于E，△△CDO=△CEO=90°在△COD与△COE中，△，△△COD△△COE（AAS），△OD=OE，△AO=BO，△AD=BE．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，熟知在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等是解答此题的关键．例题5．已知如图所示，OA、OB、OC是△O的三条半径，弧AC和弧BC相等，M、N分别是OA、OB 的中点．求证：MC=NC．【分析】根据弧与圆心角的关系，可得△AOC=△BOC，又由M、N分别是半径OA、OB的中点，可得OM=ON，利用SAS判定△MOC△△NOC，继而证得结论．【解答】证明：△弧AC和弧BC相等，△△AOC=△BOC，又△OA=OB M、N分别是OA、OB的中点△OM=ON，在△MOC和△NOC中，，△△MOC△△NOC（SAS），△MC=NC．【点评】此题考查了弧与圆心角的关系以及全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键．变式1．如图，AB，CD是△O的两条直径，过点A作AE△CD交△O于点E，连接BD，DE，求证：BD=DE．【分析】连接OE，可得△A=△OEA，再由AE△CD得△BOD=△A，△DOE=△OEA，从而得出△BOD=△DOE，则BD=DE．【解答】证明：连接OE，如图，△OA=OE，△△A=△OEA，△AE△CD，△△BOD=△A，△DOE=△OEA，△△BOD=△DOE，△BD=DE．【点评】此题主要考查了平行线的性质，在同圆中，等弦所对的圆心角相等．变式2．如图，AB是△O的直径，C，E是△O上的两点，CD△AB于D，交BE于F，=．求证：BF=CF．【分析】延长CD交△O于点G，连接BC，根据垂径定理证明即可．【解答】证明：延长CD交△O于点G，连接BC，△AB是△O的直径，CD△AB于D△=，△=△=△△BCF=△CBF，△BF=CF．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，垂径定理，圆周角定理等知识点的应用，解此题的关键是作辅助线后根据定理求出△CBE=△BCE，通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力，题型较好．拓展点二：垂径定理与圆心角、弧、弦之间关系的综合应用例题1．如图，在△O中，若点C是的中点，△A=50°，则△BOC=（）A．40°B．45°C．50°D．60°【分析】根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出△AOB，根据垂径定理求出AD=BD，根据等腰三角形性质得出△BOC=△AOB，代入求出即可．【解答】解：△△A=50°，OA=OB，△△OBA=△OAB=50°，△△AOB=180°﹣50°﹣50°=80°，△点C是的中点，△△BOC=△AOB=40°，故选A．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，垂径定理，等腰三角形的性质的应用，注意：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦，其中有一对相等，那么其余两对也相等．例题2．如图，AB、AC是△O的弦，直径AD平分△BAC，给出下列结论：△AB=AC；△=；△AD△BC；△AB△AC．其中正确结论的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】由AB、AC是△O的弦，直径AD平分△BAC，可得=，即可得AD△BC，继而求得：△AB=AC；△=．【解答】解：△AB、AC是△O的弦，直径AD平分△BAC，△=，△AD△BC，故△正确；△=，故△正确；△AB=AC，故△正确．无法判定AB△AC，故错误．故选C．【点评】此题考查了圆周角定理、垂径定理以及弧与弦的关系．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．变式1．如图，在△O中，直径CD△弦AB，则下列结论中正确的是（）A．AD=AB B．△D+△BOC=90°C．△BOC=2△D D．△D=△B【分析】根据垂径定理得出弧AD=弧BD，弧AC=弧BC，根据以上结论判断即可．【解答】解：A、根据垂径定理不能推出AD=AB，故A选项错误；B、△直径CD△弦AB，△，△对的圆周角是△ADC，对的圆心角是△BOC，△△BOC=2△D，不能推出△D+△BOC=90°，故B选项错误；C、△，△△BOC=2△D，△C选项正确；D、根据已知不能推出△DAB=△BOC，不能推出△D=△B，故D选项错误；故选：B．【点评】本题考查了垂径定理的应用，主要考查学生的推理能力和辨析能力．变式2．如图，AB是△O的直径，点C、D是△O上的点，若△CAB=25°，则△ADC的度数为（）A．65°B．55°C．60°D．75°【分析】由AB为△O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得△ACB=90°，又由△CAB=25°，得出△B的度数，根据同弧所对的圆周角相等继而求得△ADC的度数．【解答】解：△AB为△O的直径，△△ACB=90°，△△CAB=25°，△△ABC=90°﹣△CAB=65°，△△ADC=△ABC=65°．故选A．【点评】本题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．变式3．如图是小明完成的．作法是：取△O的直径AB，在△O上任取一点C引弦CD△AB．当C点在半圆上移动时（C点不与A、B重合），△OCD的平分线与△O的交点必（）A．平分弧AB B．三等分弧ABC．到点D和直径AB的距离相等D．到点B和点C的距离相等【分析】先求出△DCE=△ECO，再利用内错角相等，两直线平行的OE△CD，再利用角的平分线的性质可解．【解答】解：设△OCD的平分线与△O的交点为E，连接OE，△OE=OC，△△E=△ECO，△△DCE=△ECO，△OE△CD，△CD△AB，△OE△AB，△有弧AE=弧BE，所以点E是弧AB的中点．故选A．【点评】本题利用了：1、等边对等角，2、内错角相等，两直线平行，3、角的平分线的性质求解．易错点：误认为同圆中弧及弧所对的弦有相同的倍数关系例题．如图，△O中，如果△AOB=2△COD，那么（）A．AB=DC B．AB＜DC C．AB＜2DC D．AB＞2DC【分析】过点O作OE△AB交△O于点E，连接AE、BE，可得△AOE=△BOE=△AOB，根据△COD=△AOB，知△AOE=△BOE=△COD，即CD=AE=BE，在△ABE中，由AE+BE＞AB可得2CD＞AB．【解答】解：如图，过点O作OE△AB交△O于点E，连接AE、BE，△△AOE=△BOE=△AOB，又△△COD=△AOB，△△AOE=△BOE=△COD，△CD=AE=BE，△在△ABE中，AE+BE＞AB，△2CD＞AB，故选：C．【点评】本题主要考查垂径定理和圆心角定理，根据△AOB=2△COD利用垂径定理将角平分，从而根据圆心角定理得出答案是解题的关键．变式1．在同圆中，若AB=2CD，则与的大小关系是（）A．AB＞2CD B．AB＜2CD C．AB=2CD D．不能确定【分析】先根据题意画出图形，找出两相同的弦CD、DE，根据三角形的三边关系得到CE与CD+DE的关系，再比较出AB与CE的长，利用圆心角、弧、弦的关系进行解答即可．【解答】解：如图所示，CD=DE，AB=2CD，在△CDE中，△CD=DE，△CE＜CD+DE，即CE＜2CD=AB，△CE＜AB，△＜．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系及三角形的三边关系，即在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．变式2．如图，已知点A，B，C均在△O上，并且四边形OABC是菱形，那么△AOC与2△OAB之间的关系是（）A．△AOC＞2△OAB B．△AOC=2△OAB C．△AOC＜2△OAB D．不能确定【分析】连接OB易证△OAB和△OBC是等边三角形，据此即可判断．【解答】解：连接OB．△四边形OABC是菱形，△OA=AB，又△OA=OB，△△OAB是等边三角形．同理△OBC是等边三角形．△△A=△AOB=△BOC=60°，△△AOC=2△OAB．【点评】本题考查了菱形性质以及等边三角形的判定与性质，正确作出辅助线是关键．。