高三数学专题之函数

心尺引州丑巴孔市中潭学校芝罘区数学函数求参数范围问题解决方法及针对性练习2021年高三专题复习-函数专题〔4〕一、变换“主元〞思想，适用于一次函数型处理含参不等式恒成立的某些问题时，假设能适时的把主元变量和参数变量进行“换位〞思考，往往会使问题降次、简化。

例1.对于满足04≤≤p 的一切实数p ，不等式x 2+px>4x+p-3恒成立，求x 的取值范围．分析：习惯上把x 当作自变量，记函数y= x 2+(p-4)x+3-p,于是问题转化为当p []4,0∈时y>0恒成立，求x 的范围．假设把x 与p 两个量互换一下角色，即p 视为变量，x 为常量，那么上述问题可转化为在[0,4]内关于p 的一次函数大于0恒成立的问题．解：设f(p)=(x-1)p+x 2-4x+3，当x=1显然不满足题意．由题设知当04≤≤p 时f(p)>0恒成立，∴f(0)>0,f(4)>0即x 2-4x+3>0且x 2-1>0，解得x>3或x<-1．∴x 的取值范围为x>3或x<-1． 例2．对任意]1,1[-∈a ，不等式024)4(2>-+-+a x a x恒成立，求x 的取值范围。

答案：),3()1,(+∞-∞ 。

例3．假设不等式)1x (m 1x 22->-，对满足2m 2≤≤-所有的x 都成立，求x 的取值范围。

答案：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-231271， 注：一般地，一次函数)0()(≠+=k b kx x f 在],[βα上恒有0)(>x f 的充要条件为⎩⎨⎧>>0)(0)(βαf f 。

二、别离变量对于一些含参数的不等式问题，如果能够将不等式进行同解变形，将不等式中的变量和参数进行别离，即使变量和参数分别位于不等式的左、右两边，然后通过求函数的值域的方法将问题化归为解关于参数的不等式的问题。

例1．假设对于任意角θ总有sincos 22410θθ++-<m m 成立，求m 的范围．〔注意分式求最值得方法〕分析与解：此式是可别离变量型，由原不等式得m (cos )cos 242θθ+<，又cos θ+>20，那么原不等式等价变形为222m <+cos cos θθ恒成立．即2m 必须小于cos cos 22θθ+的最小值，问题化归为求cos cos 22θθ+的最小值．因为cos cos 22θθ+2cos 4)2(cos 4)2(cos 2+++-+=θθθ4cos 24440cos 2θθ=++-≥-=+ 即cos θ=0时，有最小值为0，故m <0．例2．函数]4,0(,4)(2∈--=x x x ax x f 时0)(<x f 恒成立，求实数a 的取值范围。

高三数学总复习--函数专题练习方法点拨函数是高考的必考内容，考查的题型主要有函数性质、函数图象、零点问题、指数幂的大小比较，与生活实际相关或函数文化结合的题．（1）函数性质的考查主要为奇偶性、单调性、对称性、周期性的综合考查，要求学生熟悉一些相关结论的由来与应用，例如由()()=f a x f a xf x关于x a+=-得到()对称．（2）对于函数图象的题型，我们一般优先考虑函数的奇偶性，或结合函数的平移、伸缩变换考虑函数的对称性，然后再考虑自变量取某些特殊值时，对应的函数值的一些特点，比如函数值的正负，最后考虑函数的单调性．（3）函数的零点问题一般可以转化成函数方程的根、函数图象与x轴的交点个数、函数图象与某条水平线的交点个数问题、函数图象与某条斜直线的交点问题，或两条曲线的交点个数问题等．（4）与生活实际相关或函数文化结合的题一般相对简单，要求学生耐心理解题目意思，知道题中每个量，每个公式所具有的意义．典型试题汇编一、选择题．1．（江西省南昌市2021届高三一模）如图所示某加油站地下圆柱体储油罐示意图，已知储油罐长度为d，截面半径为r（,d r为常量），油面高度为h，油面宽度为w，储油量为v（,,h w v为变量），则下列说法：①w是v的函数②v是w的函数③h是w的函数④w是h的函数其中正确的个数是（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．（河南省联考2021-2022学年高三一模）已知函数()34log ,042,03xx x f x x +>⎧⎪=⎨-≤⎪⎩，则14log 9f f ⎡⎤⎛⎫=⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．（贵州省遵义市2021届高三一模）已知函数22,02()2(2),2x x x f x f x x ⎧-≤<=⎨-≥⎩，则(9)f =（ ） A ．16B ．8C ．8-D ．16-4．（福建省龙岩市2021届高三一模）定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=，当[]0,1x ∈时，()1,0211,112xe a b xf x bx x x ⎧++≤≤⎪⎪=⎨-⎪<≤⎪+⎩（e 为自然对数的底数），则a b -的值为（ ） A ．3- B ．2- C ．1- D ．05．（四川省资阳市2020-2021学年高三一模）定义在R 上的偶函数()f x 满足()2f x +=()2021f =（ ）A ．3-或4B ．4-或3C ．3D ．46．（广东省佛山市顺德区2022届高三一模数学试题）已知函数())1ln f x x x=+， 则函数()f x 的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．7．（四川省南充市2021-2022学年高三一模）函数()()ln x x f x e e x -=+的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．8．（四川省资阳市2021-2022学年高三一模）函数sin 4xx xy e+=的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．9．（安徽省池州市2021届高三一模）设函数()f x 满足对x ∀∈R ，都有()()4f x f x -=，且在()2,+∞上单调递增，()40f =，()4g x x =，则函数()()2y f x g x =+的大致图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．10．（江苏省连云港市灌云县第一中学2021-2022学年高三一模）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（ ）A ．1()|1|f x x =- B ．1()1f x x =- C ．21()1f x x =- D ．21()1f x x =+ 11．（四川省南充市2021-2022学年高三一模）农业农村部于2021年2月3日发布信息：全国按照主动预防、内外结合、分类施策、有效处置的总体要求，全面排查蝗灾隐患．为了做好蝗虫防控工作，完善应急预案演练，专家假设蝗虫的日增长率为6%，最初有0N 只，则大约经过（ ）天能达到最初的1800倍．（参考数据：ln1.060.0583≈，ln1.60.4700≈，ln18007.4955≈，ln80008.9872≈．） A ．129B ．150C ．197D ．19912．（广西柳州市2022届高三11月第一次模拟）5G 技术的数学原理之一是著名的香农公式：2log 1S C W N ⎛⎫=+⎪⎝⎭它表示：在受高斯白噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C 取决于信道带宽W ﹒信道内所传信号的平均功率S ，信道内部的高斯噪声功率N 的大小．其中SN叫做信噪比，按照香农公式，在不改变W 的情况下，将信噪比卡SN从1999提升至λ，使得C 大约增加了20%，则入的值约为（ ）(参考数据lg 20.3≈，396109120≈．) A ．9121 B ．9119 C ．9919 D ．1099913．（四川省达州市2021-2022学年高三一模）天文学中，用视星等表示观测者用肉眼所看到的星体亮度，用绝对星等反映星体的真实亮度．星体的视星等m ，绝对星等M ，距地球的距离d 有关系式05lg d M m d=+（0d 为常数）．若甲星体视星等为1.25，绝对星等为 6.93-，距地球距离1d ；乙星体视星等为1.15，绝对星等为1.72，距地球距离2d ，则12d d =（ ） A ． 1.7510B ． 1.7210C ． 1.6510D ． 1.621014．（江苏省苏州市八校2020-2021学年高三一模）若函数()f x 满足：对定义域内任意的()1212,x x x x ≠，有()()121222x x f x f x f +⎛⎫+> ⎪⎝⎭，则称函数()f x 具有H 性质．则下列函数中不具有H 性质的是（ ）A ．()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()ln f x x =C ．()()20f x x x =≥D ．()tan 02f x x x π⎛⎫=≤< ⎪⎝⎭15．（四川省资阳市高中2021-2022学年高三一模）设3log πa =，2b =，1ln 24c =， 则a ，b ，c 大小关系为（ ） A ．c a b >>B ．c b a >>C ．a b c >>D ．b a c >>16．（2020山东一模）已知定义在R 上的函数()2x f x x =⋅，(3log a f =，31log 2b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()ln3c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c b a >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．c a b >>17．（湖北省武汉市部分学校2020届高三一模）已知π4ln3a =，π3ln 4b =，34ln πc =， 则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．c b a <<B ．b c a <<C ．b a c <<D ．a b c <<18．（天津市河北区2020-2021学年高三一模）设0.212a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，121log 3b =，0.32c -=，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．b a c >>19．（江西省赣州市2021届高三一模）设函数3()sin x x f x a a b x c -=-++（0a >且1a ≠）．若()1f t -=，()3f t =，则c =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．420．（江苏省2021年对口高考单招一模）若函数(),0()(2),0x x b x f x ax x x -≥⎧=⎨+<⎩，（a ，b ∈R ）为奇函数，则()f a b +的值为（ ） A ．2-B ．1-C ．1D ．421．（四川省资阳市2021-2022学年高三一模）已知函数()x f x xe =，则满足不等式()22f a a e -<的实数a 的取值范围是（ ）A ．1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()1,2-22．（多选）（广东省普宁市勤建学校2021届高三一模）定义在R 上的函数()f x 满足()()()f x y f x f y +=+，()2()f x f x +=-且()f x 在[]1,0-上是增函数，给出下列真命题的有（ ） A ．()f x 是周期函数 B ．()f x 的图象关于直线2x =对称 C ．()f x 在[]1,2上是减函数D ．()()20f f =23．（辽宁省鞍山市第一中学2018届高三上一模）指数函数()xf x a =（0a >，且1a ≠）在R上是减函数，则函数22()a g x x -=在其定义域上的单调性为（ ） A ．单调递增B ．单调递减C ．在(0,)+∞上递增，在(,0)-∞上递减D ．在(0,)+∞上递减，在(,0)-∞上递增24．（山东省烟台市2021届高三一模）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，()()2f x f x -=，当[]0,1x ∈时，()3f x x =，则（ ） A ．()20210f =B ．2是()f x 的一个周期C ．当()1,3x ∈时，()()31f x x =-D ．()0f x >的解集为()()4,42k k k +∈Z25．（山东省青岛胶州市2019-2020一模）已知函数()f x 的定义域为R ，且(1)f x +是偶函数，(1)f x -是奇函数，()f x 在[1,1]-上单调递增，则（ ） A ．(0)(2020)(2019)f f f >> B ．(0)(2019)(2020)f f f >> C ．(2020)(2019)(0)f f f >>D ．(2020)(0)(2019)f f f >>26．（吉林省长春市2022届高三一模）设函数()f x 的定义域为R ，且(21)f x -是偶函数，(1)f x +是奇函数，则下列说法一定正确的有（ ）①(8)()f x f x -=；②(1)(1)f x f x +=--；③(3)0f -=；④(2)(2)f x f x +=-． A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个27．（四川省南充市2021-2022学年高三一模）设函数()f x 的定义域为R ，()1f x -为奇函数，()1f x +为偶函数，当[]1,3x ∈时，()f x kx m =+，若()()032f f -=-，则()2022f =（ ） A ．2-B ．0C ．2D ．428．（陕西省渭南市临渭区2021届高三一模）函数()()1ln 3x xf x x -=-的零点有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个29．（多选）（2021届高三下学期一模）若直线2y a =与函数1x y a =-（0a >，且1a ≠）的图象有两个公共点，则a 的取值可以是（ ） A ．14B ．13C ．12D ．230．（四川省成都市2020-2021学年高三一模）若函数()323f x x x a =-+有且仅有一个零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()(),04,-∞+∞ B ．()(),80,-∞-+∞ C ．[]0,4D ．()8,0-31．（安徽省合肥市2020-2021学年高三一模）设函数()21log ,020x x f x x ⎧⎛⎫+>⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪≤⎩．若 14,2x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，方程()1f x k +=有唯一解，则实数k 的取值范围为（ ）A．(B．⎡⎣C ．()0,2D ．[)1,232．（四川省成都市新都区2021-2022学年高三一模）已知函数2()log f x x =，函数()g x满足以下三点条件：①定义域为R ；②对任意x ∈R ，有(π)2()g x g x +=；③当[0,π]x ∈时，()sin g x x =．则函数()()y f x g x =-在区间[0,4π]上的零点个数为（ ） A ．5B ．6C ．7D ．833．（2020届浙江省金华十校高三一模）已知函数()21,0ln ,0ax x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩，下列关于函数()()0f f x m +=的零点个数的判断，正确的是（ ） A ．当0a =，m ∈R 时，有且只有1个 B ．当0a >，1m ≤-时，都有3个C ．当0a <，1m <-时，都有4个D ．当0a <，10m -<<时，都有4个34．（山东省实验中学2021届高三一模）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，12log (1),01()13,1x x f x x x +≤<⎧⎪=⎨--≥⎪⎩，则关于的函数()()()01F x f x a a =-<<的所有零点之和为（ ） A ．21a -B ．21a --C ．12a -D ．12a --35．（安徽省滁州市定远中学2019-2020学年一模）已知函数()()21,043,0x e x f x x x x +⎧≤⎪=⎨+->⎪⎩，函数()y f x a =-有四个不同的零点，从小到大依次为1x ，2x ，3x ，4x ，则1234x x x x -++的取值范围为（ ） A ．[)3,3e + B ．()3,3e + C ．()3,+∞ D ．(]3,3e +二、填空题．36．（江苏省2021年对口高考单招一模数学）在平面直角坐标系中，函数()12x f x a +=+（0a >且1a ≠）的图象恒过定点P ，若角θ的终边过点P ，则sin 2θ=________．参考答案一、选择题．1-21：BDDADBCABBABABDDBDBBB 22．【答案】ACD(4)(2)()f x f x f x +=-+=，所以()f x 是周期函数，4是它的一个周期，A 正确； (2)(2)(2)f x f x f x +=-+=--，函数图象关于点(2,0)对称，B 错； (1)(1)(1)f x f x f x +=--+=-，函数图象关于直线1x =对称，又()f x 在[1,0]-上递增，因此()f x 在[0,1]上递增，所以()f x 在[]1,2上是减函数，C 正确；(2)(0)0f f =-=，D 正确，故选ACD ． 23．【答案】C【解析】结合指数函数的性质可知：01a <<， 函数()g x 的导函数：()()322'a g x x--=， 当(),0x ∈-∞时，()'0g x <，函数()g x 单调递减； 当()0,x ∈+∞时，()'0g x >，函数()g x 单调递增， 本题选择C 选项． 24．【答案】D【解析】因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()()2f x f x f x -==--， 所以()()2f x f x +=-，所以()()()42f x f x f x +=-+=，所以()f x 的最小正周期是4，故B 错误；()()202111f f ==，故A 错误；因为当[]0,1x ∈时，()3f x x =，()f x 是定义在R 上的奇函数， 所以当[]1,1x ∈-时，()3f x x =，当()1,3x ∈时，()21,1x -∈-，()()()322f x f x x =-=-，故C 错误； 因为当()0,2x ∈时，()0f x >，()f x 的最小正周期是4， 所以()0f x >的解集为()()4,42k k k +∈Z ，故D 正确， 故选D ． 25．【答案】B【解析】(1)f x +是偶函数，得()(1)1f x f x +=-+，即()()2f x f x =-+，(1)f x -是奇函数，得()(1)1f x f x -=---，即()()2f x f x =---，()(2)2f x f x ---=-+，得8T =，由(1)f x -是奇函数，得()(01)10f f -=-=， 因为()f x 在[1,1]-上单调递增，所以(0)0f >，()()()2019310f f f ==-=，()()()2020400f f f ==-<，所以(0)(2019)(2020)f f f >>，故选B ． 26．【答案】B【解析】由题意，函数(1)f x +是奇函数，可得()f x 的图象关于点(1,0)对称， 所以(1)(1)0f x f x ++-=，所以②正确； 令0x =，则(1)0f =，又由(21)f x -是偶函数，所以()2f x 的图象关于12x =-对称， 所以()f x 的图象关于1x =-对称，则有(1)(1)f x f x --=-+， 令2x =，则(3)(1)0f f -==，所以③正确；在(1)(1)f x f x --=-+中，将x 用7x -替换，则(8)(6)f x f x -=-， 在(1)(1)f x f x +=--中，将x 用5x -替换，则(6)(4)f x f x -=--， 所以(8)(4)f x f x -=--，再将x 用4x +替换，则(4)()f x f x -=-， 所以(8)()f x f x -=，所以①正确；对于④中，由(2)(),(2)()f x f x f x f x -=-+=--，无法推出其一定相等， 故选B ． 27．【答案】C【解析】因为()1f x -为奇函数，所以()1(1)f x f x --=--①； 又()1f x +为偶函数，所以()1(1)f x f x -+=+②； 令1x =，由②得：())0(22f f k m ==+，又()33f k m =+，所以()()032(3)2f f k m k m k -=+-+=-=-，得2k =， 令0x =，由①得()()1(1)10f f f -=--⇒-=；令2x =，由②得()1(3)0f f -==，所以()6330f k m m =+=⇒=-， 得[]1,3x ∈时，()26f x x =-，结合①②得，()2(2)(4)()(8)(4)()f x f x f x f x f x f x f x +=--⇒+=-⇒+=-+=， 所以函数()f x 的周期为8T =，所以()()()()()202225286622262f f f f =⨯+==-=-⨯-=，故选C ． 28．【答案】B【解析】由题意知函数()()1ln 3x x f x x -=-的定义域为()()0,33,+∞，由()()1ln 03x x f x x -==-，得()1ln 0x x -=，所以1x =，所以函数()()1ln 3x x f x x -=-的零点有1个，故选B ．29．【答案】AB【解析】（1）当1a >时，由题得021a <<，102a ∴<<， 因为1a >，所以此种情况不存在；（2）当01a <<时，由题得021a <<，102a ∴<<， 因为01a <<，所以102a <<，故选AB ． 30．【答案】A【解析】由题意知：2()36f x x x '=-，∴()0f x '>时，2360x x ->，得0x <或2x >；()0f x '<时，2360x x -<，得02x <<， ∴()f x 在(,0)-∞上递增，(0,2)上递减，(2,)+∞上递增，当0x =时，有极大值(0)f a =；当2x =时，有极小值(2)4f a =-， ∴只有当(0)0f a =<或(2)40f a =->时，函数()f x 有且仅有一个零点， ∴0a <或4a >，故选A ． 31．【答案】B【解析】因为函数()21log ,02,0x x f x x x ⎧⎛⎫+>⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪-≤⎩，所以23log (),12(1)1x x f x x ⎧+>-⎪+=⎨⎪≤-⎩， 若14,2x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，作出()1f x +的图象，结合图象可知方程()1f x k +=有唯一解，则1k ≤< 故选B ． 32．【答案】A【解析】因为函数2()log f x x =的定义域为()0,∞+， 所以()()y f x g x =-在(],0-∞无零点；∵()()π2g x g x +=，故将()[],0,πy g x x =∈的图象向右平移π个单位后，图象纵向伸长为原来的两倍，∴在平面直角坐标系，()f x 的图象以及()g x 在[]0,4π上如图所示：又2223π5π7πlog 2,log 4,log 8222><<， 故()f x 、()g x 在(]0,4π上的图象共有5个不同交点，故选A ． 33．【答案】B【解析】令()t f x =，则()0f t m +=，当0a =时，若1m =-，则0t ≤或t e =，即01x <≤或e x e =， 即当0a =，m ∈R 时，不是有且只有1个零点，故A 错误；当0a >时，1m ≤-时，可得0t ≤或m t e e -=≥，可得x 的个数为123+=个，即B 正确； 当0a <，1m <-或10m -<<时，由0m ->，且1m -≠，可得零点的个数为1个或3个，故C ，D 错误， 故选B ．34．【答案】C【解析】∵0x ≥时，()()[)[)12log 1,0,113,1,x x f x x x ⎧+∈⎪=⎨⎪--∈+∞⎩，即[)0,1x ∈时，()()(]12log 11,0x f x +=∈-；[]1,3x ∈时，()[]21,1x x f -∈-=； ()3,x ∈+∞时，()()4,1f x x =-∈-∞，画出0x ≥时，()y f x =的图象，再利用奇函数的对称性，画出0x <时，()y f x =的图象，如图所示：直线y a =与()y f x =共有5个交点，则方程()0f x a -=共有五个实根， 最左边两根之和为6-，最右边两根之和为6， ∵[)0,1x ∈时，()0,1x -∈，∴()()12log 1f x x -=-+，又()()f x f x -=-，∴()()()()111222log 1log 1log 1x x x f x ---+===--，∴中间的一个根满足()2log 1x a -=，即12a x -=，得12a x =-， ∴所有根的和为12a -，故选C ． 35．【答案】D【解析】当0x ≤时，2(1)()2(1)x f x x e +'=+，()010f x x '>⇒-<≤；()01f x x '<⇒<-，则函数()f x 在(,1)-∞-上单调递减，在(]1,0-上单调递增，且0(1)1,(0)f e f e -===，当0x >时，22244()1x f x x x-'=-=，()02f x x '>⇒>；()002f x x '<⇒<<，则函数()f x 在(0,2)上单调递减，在()2,+∞上单调递增，4(2)2312f =+-=，函数()y f x a =-有四个不同的零点，即两函数()y f x =与y a =图象有四个不同的交点， 如下图所示：由图可知，1a e <≤，12,x x 是方程2(1)x e a +=的两根，即221ln 0x x a ++-=的两根，所以(]12ln 11,0x x a -=-∈-，34,x x 是方程43x a x+-=的两根，即2(3)40x a x -++=的两根， 所以343(4,3]x x a e +=+∈+，(]12343,3x x x x e ∴-++∈+， 故选D ． 二、填空题． 36．【答案】35-【解析】由题意，函数()12x f x a +=+，令10x +=，可得1x =-，此时()13f -=，即函数()f x 恒过定点()1,3P -，则r OP ==，根据三角函数的定义，可得sinθ=，cos θ=， 所以3sin 22sin cos 5θθθ==-， 故答案为35-．。

数学专题之函数、导数、不等式1. 设函数)(,121)(x g xxx f 若+-=的图象与)1(1+=-x f y 的图象关于直线x y =对称；那么)2(g 值等于 B（A ）－1 （B ）－2 （C ）54- （D ）52-2. 一元二次方程2210,(0)ax x a ++=≠有一个正根和一个负根的充分不必要条件是：CA ．0a <B ．0a >C ．1a <-D ．1a >3. 已知23)1(3)(2+⋅+-=x x k x f ；当∈x R 时；)(x f 恒为正值；则k 的取值范围是 （ B ）)(A )1,(--∞ )(B )122,(--∞ )(C )122,1(-- )(D )122,122(---4. 方程1+=ax x 有一个负根且无正根；则a 的取值范围是 （ D ）)(A 1->a )(B 1=a )(C a ≤1 )(D a ≥15.x x 42--≤a x -+134的解集是]0,4[-；则a 的取值范围是 （ A ）)(A ]5,(--∞ )(B ⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,35 )(C ⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞--∞,35]5,( )(D )0,(-∞6. 已知映射f ：A →B ；其中A=B=R ；对应法则为f ：x →y=x 2+2x+3；若对实数k ∈B ；在集合A中不存在原象；则k 的取值范围是BA 、(－∞；0)B 、(－∞；2)C 、(2；+∞)D 、(3；+∞) 7. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数；且f(x)=－f(x+2)；当0≤x ≤1时；2)(xx f =；那么使21)(-=x f 成立的x 的值为DA 、2n （n ∈Z ）B 、2n －1（n ∈Z ）C 、4n+1（n ∈Z ）D 、4n －1（n ∈Z ） 8. 若不等式21--+x x ＞a 在R x ∈上有解,则a 的取值范围是（ B ） A ． ()3,3- B . ()3,∞- C ． (]3,3- D ．()3,-∞-9. 已知)12(+=x f y 是偶函数；则函数)2(x f y =的图象的对称轴是（ D ） A ．1=x B ．2=x C ．21-=x D ．21=x 10. 已知函数()()y f x x R =∈满足(1)()f x f x +=-且x ∈[－1；1]时；()f x x =；则方程()||f x 5log ||x =解的个数是C ：A ．4 B. 6 C.8 D. 1011. 已知多项式16x 4+32x 3+24x 2+8x+1能被5整除；则满足条件的最小自然数x 的值为（ C ） A. 7 B. 4 C. 2 D. 112. 一个棱锥被平行于底面的截面截成一个小棱锥和一个棱台（用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥；底面和截面之间的部分叫棱台）；若小棱锥的体积为y ；棱台的体积为x ；则y 关于x 的函数图象大致形状为（C ）。

从新高考的考查情况来看，函数与导数一直是高考的重点和难点．一般以基本初等函数为载体，利用导数研究函数的单调性、极值、最值、零点等问题，同时与解不等式关系最为密切，还可能与三角函数、数列等知识综合考查。

一般出现在选择题和填空题的后两题以及解答题中，难度较大，复习备考的过程中应引起重视。

通过导数研究函数的单调性、极值、最值问题，考查考生的分类讨论思想、等价转化思想以及数学运算、逻辑推理核心素养.1、研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论． (1)讨论分以下四个方面①二次项系数讨论；②根的有无讨论；③根的大小讨论；④根在不在定义域内讨论． (2)讨论时要根据上面四种情况，找准参数讨论的分类． (3)讨论完毕须写综述．2、研究函数零点或方程根的方法(1)通过最值(极值)判断零点个数的方法:借助导数研究函数的单调性、极值后，通过极值的正负，函数单调性判断函数图象走势，从而判断零点个数或者通过零点个数求参数范围．(2)数形结合法求解零点:对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性，画出草图数形结合确定其中参数的范围．(3)构造函数法研究函数零点:①根据条件构造某个函数，利用导数确定函数的单调区间及极值点，根据函数零点的个数寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求解．②解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化，突出导数的工具作用，体现转化与化归的思想方法． 3、求与函数零点有关的参数范围的方法： 方程有实根函数的图象与轴有交点函数有零点．（1）参数分离法，构造新的函数，将问题转化为利用导数求新函数单调性与最值.（2）分类讨论法. 4、不等式的恒成立问题和有解问题、无解问题是联系函数、方程、不等式的纽带和桥梁，也是高考的重点()0f x =()y f x =x ()y f x =重难点06 函数与导数和热点问题，往往用到的方法是依据不等式的特点，等价变形，构造函数，借助图象观察，或参变分离，转化为求函数的最值问题来处理．恒成立问题的重要思路：(1)m≥f(x)恒成立⇒m≥f(x)max．(2)m≤f(x)恒成立⇒m≤f(x)min．存在性（有解）问题的重要思路：(1)存在m≥f(x) ⇒m≥f(x) min(2) 存在m≤f(x) ⇒m≤f(x) max．5、利用导数证明不等式f(x)＞g(x)的基本方法：(1)若f(x)与g(x)的最值易求出，可直接转化为证明f(x)min＞g(x)max；(2)若f(x)与g(x)的最值不易求出，可构造函数h(x)＝f(x)－g(x)，然后根据函数h(x)的单调性或最值，证明h(x)＞0.无论不等式的证明还是解不等式，构造函数，运用函数的思想，利用导数研究函数的性质，达到解题的目的，是一成不变的思路，合理构思，善于从不同角度分析问题，是解题的法宝.6、函数性质综合问题函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略：（1）函数单调性与奇偶性的综合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．（2）周期性与奇偶性的综合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．（3）单调性、奇偶性与周期性的综合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．（4）应用奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称．利用单调性比较大小、解不等式、研究函数的最值、函数单调性的讨论（含参）、零点问题和不等式恒成立的相关问题（包含不等式证明和由不等式恒成立求参数取值范围）是出题频率最高的；同时也要注意极值点偏移、双变量等热点问题。

x 2【经典例题赏析】例1 .求函数f (X ) 【解析】当x 0时, 分段函数及题型 4x 3 (x 0)x 3 (0 x 1)的最大值.x 5 (x 1)f max ( x) f(0) 3,当 0 x 1 时，f max (x) f (1) 4 x 5 1 5 4,综上有 f max (x) 4.例2 .在同一平面直角坐标系中 ,函数y f (x)和y g(x)的图象关于直线y x 对称，现将y g(x)的图象沿x 轴向左平移 2个单位, 再沿y 轴向上平移1个单位，所得的图象是由两条线段组成的折线 (如图所示),则函数 f (x)的表达式为() 答案A. f(x)2x 2 今2 (1 (0 x 0)x 2)B. f(x)2x 2 今2 (1 (0 x 0)x 2)C. f(x)2x 2 今1 (1 (2 2)4)D. f(x) 2x 6今3 (1 (2 2)4)例3 .判断函数f(x) x 2(x 1) (x x 2(x 1)(x 0)的奇偶性. 0)【解析】当x 0时，x 0, f( x) x)2( x 1) x 2(x 1) f (x),当 x f( 0) f (0) 0, 当x 0, 0,f( x) (x)2( x 1) x 2(x 1) f (x)因此, 对于任意x R 都有f( x) f(x),所以f(x)为偶函数.1 o 2f '(x) 3x 2 1 1恒成立,所以f (x)是单调递增函数,当x 0 f (x)也是单调递增函数,所以f (x)在R 上是单调递增函数 或画图易知f(x)在R 上是单调递增函数 例5 .写出函数f (x) |1 2x| |2 x|的单调减区间.3x 1 (x 4)【解析】f(x) 3 x (-2x2),画图易知单调减区间为(，弓］.3x 1 (x 2)x 2 1 (x 0)例6 .设函数f(x) 1,若f(x 。

)1 ,则x 0得取值范围是( )答案D.x 2 (x 0)f (x) 1 4 \ x 1 1 \ x 1 3 x 10 , 0 x 10, 故选A 项.例4 .判断函数f(x) X 3 x(x X 2 (x 0)的单调性. 0) 【解析】 A.( 1,1) B.( 1,)C.( ,2) (0, )D. ( , 1) (1,) 例7 .设函数 f(x)(x 1)2 (x 1) 则使得f (x) 1的自变量x 4 、、x 1 (x 1) 的取值范围为 () A .(, 2] [0,10] B. (,2] [0,1] C.(, 2] [1,10] D. [2,0] [1,10] 【解析】 当 x 1 时，f (X )1 (x 1)21 x 2或x 0 , 所以x 2或0 x 1, 显然f(x)连续.当x 0时,时,f '(x) 2x 0恒成立, 所以1 x 10 , 综上所述,1 .函数y3 函数y lg x ()A.是偶函数，在区间（B.是偶函数，在区间（C.是奇函数，在区间（0,D是奇函数，在区间（0, 2、画出函数y |x 1|针对性课堂训练,0）上单调递增,0）上单调递减）上单调递增）上单调递减|2x 3|在区间［4,3）的图象3x 2(4 x 3)3x 2(1 x 3)4 •某商品在近30天内每件的销售价格p （元）与时间t （天）的函数关系是t 20,t 100, 0 t25 t25,t N,该商品的日销售量30,t N. Q （件）与时间t （天）的函数关系是t 40 (0 t 30,t N），求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天?。

函数的基本性质与函数的综合运用是高考对函数内容考查的重中之重，其中函数单调性与奇偶性是高考命题的必考内容之一，有具体函数，还会涉及抽象函数。

函数单调性是函数在定义域内某个区间上的性质，函数奇偶性是函数在整个定义域上的性质。

研究基本性质，不可忽略定义域对函数性质的影响。

函数定义域体现了函数图像左右方向的延伸程度，而值域又表现了函数图像在上下方向上的延伸程度。

对函数单调性要深入复习，深刻理解单调性定义，熟练运用单调性定义证明或判断一个函数的单调性，掌握单调区间的求法，掌握单调性与奇偶性之间的联系。

掌握单调性的重要运用，如求最值、解不等式、求参数范围等，掌握抽象函数单调性的判断方法等等。

要充分重视运用方程与函数、等价转换、分类讨论及数形结合等数学思想，运用分离变量方法解决函数相关问题，并围绕函数单调性分析解决函数综合问题。

一、函数与反函数例1．（1）已知A={1，2，3}，B={4，5}，则以A为定义域，B为值域的函数共有个．（2）、（2012•徐汇区一模）已知函数f（x）=x2﹣1的定义域为D，值域为{﹣1，0，1}，试确定这样的集合D最多有个．（3）（2013•上海）对区间I上有定义的函数g（x），记g（I）={y|y=g（x），x∈I}．已知定义域为[0，3]的函数y=f（x）有反函数y=f﹣1（x），且f﹣1（[0，1））=[1，2），f﹣1（（2，4]）=[0，1）．若方程f（x）﹣x=0有解x0，则x0= ．二、函数值域及最值求法例2、（1）（2011•上海）设g（x）是定义在R 上，以1为周期的函数，若函数f（x）=x+g（x）在区间[0，1]上的值域为[﹣2，5]，则f（x）在区间[0，3]上的值域为．（2）（2013•黄浦区二模）已知，若存在区间[a，b]⊆（0，+∞），使得{y|y=f（x），x∈[a，b]}=[ma，mb]，则实数m的取值范围是．（3）．（2012•虹口区一模）已知函数f（x）=2x+a，g（x）=x2﹣6x+1，对于任意的都能找到，使得g（x2）=f（x1），则实数a的取值范围是．三、函数单调性与奇偶性例3、（1）（2013•资阳一模）已知函数若f（2m+1）＞f（m2﹣2），则实数m的取值范围是．（2）已知是R上的增函数，那么a的取值范围是．（3）（2012•上海）已知y=f（x）是奇函数，若g（x）=f（x）+2且g（1）=1，则g（﹣1）= ．（4）f（x）为R上的偶函数，g（x）为R上的奇函数且过（﹣1，3），g（x）=f（x﹣1），则f（2012）+f（2013）= ．四、函数的周期性例4、（1）已知奇函数满足的值为 。

专题：利用常见函数的奇偶性解题知识梳理：1、掌握高中常见函数的奇偶性，单调性可提高解题速度2、加强知识的归纳整理工作，由知识点构建知识块3、常见的奇，偶函数类型（10≠>a a 且）：①指数型奇函数：f(x)＝11+-±x x a a ，f(x)＝）（x x a a --±， ②对数型奇函数：f(x)＝±lgx b xb +-，f(x)＝±lg(x x ++12)，③幂函数奇函数：f(x)＝m x （为奇数m ），f(x)＝xb x ±④常见偶函数：f(x)＝m x （为偶数m ） f(x)＝|x| 典型例题：例1：已知函数f(x)＝11+-x x a a (a>1) (1)判断f(x)奇偶性 (2)求函数f(x)的值域变式：已知函数31()231x x f x x -=++，则满足不等式()(32)0f a f a ++>的实数a 的取值范围是 .变式1：【答案】12⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭例2：(2018·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝e x －e －xx 2的图象大致为( )变式：已知函数f (x )＝e x －1ex ，其中e 是自然对数的底数．若f (a －1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________．例3：判断并证明函数f(x)=lg x x +1-1的奇偶性 （思考f(x)=lg xx-+11的奇偶性？）例4：判断并证明函数f(x)=lg(x x ++12)的奇偶性 （思考f(x)=lg(x x -+12的奇偶性？)变式1：已知函数xxa x f +-=1log )(3为奇函数，则实数a 的值为________.变式2：设函数f(x)=1)1ln(1222+++++x x x x ）（的最大值为M ，最小值为N ，试确定M+N 的值变式3：函数())lnf x kx =的图象不可能是（ ）A． B ．C ．D ．例5：已知，，则（ ） A ． B ． C ． D ．例6：已知函数2111)(x x x f +-+=，则满足f （x －1）<⎪⎭⎫ ⎝⎛31f 的x 取值范围是（ ） A ．11(,)33- B ．]31,31[- C ．24(,)33D ．]34,32[课后作业：1、已知函数f(x)=xxa a 22+-是奇函数,则f(a)的值等于( )A.-31B.3C.-31或3D.31或32、（2022年华美月考，多选）已知函数()1212xxf x -=+，())lg g x x =，则（ ）A ．函数()f x 为偶函数B ．函数()g x 为奇函数C ．函数()()()F x f x g x =+在区间[]1,1-上的最大值与最小值之和为01()1f x x x=+-()2f a =()f a -=4-2-1-3-D ．设()()()F x f x g x =+，则()()210F a F a +--<的解集为()1,+∞ 3、(2019·金版创新)已知函数f (x )是奇函数，g (x )＝f (x )＋21＋2x ，x ∈(－1,1)，则g ⎪⎭⎫⎝⎛21＋g ⎪⎭⎫⎝⎛21-的值为________． 4、(2019·海淀联考)已知函数f (x )＝2x－12x ＋1.(1)判断函数f (x )的奇偶性；(2)判断并证明f (x )在其定义域上的单调性；(3)若f (k ·3x)＋f (3x－9x＋2)<0对任意x ≥1恒成立，求实数k 的取值范围．专题：利用常见函数的奇偶性解题典型例题： 例1：【答案】（1）奇函数（2）（-1，1） 【解析】(1)()f x 的定义域为R ．又()()11111111xxx x xxa a a f x f x a aa ------====-+++，所以()f x 为奇函数． （2）11211,2120<+-<-∴<+<x x a a ，即值域为（-1，1） 变式：【答案】（∞+-，21） 【解析】0313113132131321313)()(=+-++-=-+-+++-=-+--xxx x x x x x x x x f x f 所以x x f x x 21313)(++-=为奇函数，因为1313)(+-=x x x f 在定义域上单调递增，又f(x)=2x 在定义域上单调递增，所以x x f xx 21313)(++-=在定义域上是增函数 2123)23()(->⇒-->⇒-->∴a a a a f a f例2：【答案】B 【解析】依题意，注意到函数的定义域是}0|{≠∈x R x ，且)()()(22x f xe e x e e xf x x x x -=--=--=---，因此)(x f 是奇函数，其图象关于原点成中心对称，选项A 不正确，且当x>0时，)(x f >0,选项D 不正确，又+∞→+∞→)(,x f x ，结合选项知B 正确，故选B变式：【答案】]21,1[-【解析】函数f (x )＝e x－1e x 是常见的奇函数，且在定义域内是单调递增的，因为f (a －1)＋f (2a 2)≤0a a a f a f a f -≤⇒-=--≤∴12)1()1()2(22解得：211≤≤-a例3：【答案】奇函数【解析】由条件知：函数的定义域为11<<-x 关于原点对称 所以f(x)+f(-x)=lgx x +1-1+lg x x -+11=0，即函数f(x)是奇函数，同理f(x)=lg xx-+11也是奇函数 例4：【答案】奇函数【解析】由条件知：函数的定义域为R 关于原点对称 所以f(x)+f(-x)=lg(x x ++12)+lg(x x -+12)=lg1=0即函数f(x)是奇函数，同理f(x)=lg(）x x -+12也是奇函数变式1：【答案】1【解析】由条件知：奇函数的定义域要关于原点对称，所以分母1-≠x ，为了对称，分子a=1变式2：【答案】2【解析】由已知得1)1ln(21)(22+++++=x x x x x f 因为)1ln())(1)(ln(22x x x x ++-=-++-，所以)1ln(2x x y ++=是奇函数，进而可判定，函数1)1ln(2)(22++++=x x x x x g 为奇函数，则)(x g 的最大值1M 和最小值1N ，满足1M+1N =0，因为1,111+=+=N N M M ，所以M+N=2变式3：【答案】C 【解析】因为A,B 选项中，图像关于原点对称，所以f(x)为奇函数，f(x)+f(-x)=0 1010)1ln()1ln(2222±=⇒=-⇒=+++-+k x k kx x kx x ）（即当K=1时，f(x)的图像为选项A,当K=-1时，f(x)的图像为选项B 而C,D 选项中，图像关于Y 轴对称，所以f(x)为偶函数，f(x)=f(-x)00)1ln()1ln(22=⇒=⇒++=-+k kx kx x kx x 即当K=0时，0)(≥x f 故f(x)的图像为选项D ，故f(x)的图像不可能为C例5：【答案】A 【解析】设xx x f x g 11)()(+=+=则)(1)()(x g x f x g -=+-=-，所以)(x g 是奇函数，31)()(=+=a f a g 因为)(x g 是奇函数，所以31)()(-=+-=-a f a g 所以4)(-=-a f ，故选A例6：【答案】C 【解析】函数2111)(xx x f +-+=在[)∞+，0上为增函数，所以不等式f （x －1）<⎪⎭⎫ ⎝⎛31f 等价为 f （|x －1|）<⎪⎭⎫ ⎝⎛31f 所以|x －1|）<31⇒3432<<x课后作业：1、【答案】C 【解析】因为函数f(x)=x xa a 22+-是奇函数，所以f(-x)=-f(x)整理得：02,02)22(2122>=-=+-x x x x a a a 因为））（（，所以1±=a 代入选C2、【答案】BCD 【解析】函数xx x f 2121)(+-=是奇函数，所以A 错，函数g(x)=lg ）x x -+12是奇函数，所以B 正确，．函数()()()F x f x g x =+在区间[]1,1-上是奇函数，在对称区间上，最大值最小值之和为0，C 正确;是减函数xx f 2121)(++-=,010ln 11)()1lg()(2'2<+-=⇒-+=x x g x x x g 故F （x ）=f(x)+g(x)是减函数，a a a F a F a F a F +>⇒+<⇒<--+12)1()2(0)1()2(所以1>a ，D 正确3、【答案】2【解析】函数)(x f 是奇函数，所以0)21()21(=+-f f ，令xx h 212)(+=，则22112212)21()21(=+++=-+h h ，所以g ⎪⎭⎫ ⎝⎛21＋g ⎪⎭⎫ ⎝⎛21-=2 4、【答案】（1）奇函数（2）在R 上单调递增函数（3）），（34∞-【解析】略。

【热点聚焦】函数的定义域作为函数的要素之一，是研究函数的基础，函数的定义域问题也是高考的热点.函数的值域（最值）也是高考中的一个重要考点，并且值域（最值）问题通常会渗透在各类题目之中，成为解题过程的一部分.【重点知识回眸】1.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．(4)函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．提醒：两个函数的值域和对应关系相同，但两个函数不一定相同，例如，函数f(x)＝|x|，x ∈[0,2]与函数f(x)＝|x|，x∈[－2,0]．2．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．提醒：分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．3.常见函数定义域的求法类型x满足的条件n f x(n∈N*)f(x)≥02()(n∈N*)f(x)有意义21()n f x1与[f(x)]0f(x)≠0f x()log a f(x)(a＞0且a≠1)f(x)＞0a f(x)(a＞0且a≠1)f(x)有意义tan[f (x )]f (x )≠π2＋k π，k ∈Z四则运算组成的函数 各个函数定义域的交集实际问题使实际问题有意义4.①若()y f x =的定义域为(),a b ，则不等式()a g x b <<的解集即为函数()()y f g x =的定义域；②若()()y f g x =的定义域为(),a b ，则函数()g x 在(),a b 上的的值域即为函数()y f x =的定义域．5.常见函数的值域：在处理常见函数的值域时，通常可以通过数形结合，利用函数图像将值域解出，熟练处理常见函数的值域也便于将复杂的解析式通过变形与换元向常见函数进行化归.（1）一次函数（y kx b =+）：一次函数为单调函数，图像为一条直线，所以可利用边界点来确定值域.（2）二次函数（2y ax bx c =++），给定区间.二次函数的图像为抛物线，通常可进行配方确定函数的对称轴，然后利用图像进行求解.（关键点：①抛物线开口方向，②顶点是否在区间内）.（3）反比例函数：1y x=（1）图像关于原点中心对称（2）当,0x y →+∞→ ，当,0x y →-∞→. （4）对勾函数：()0ay x a x=+> ① 解析式特点：x 的系数为1；0a >注：因为此类函数的值域与a 相关，求a 的值时要先保证x 的系数为1，再去确定a 的值 例：42y x x =+，并不能直接确定4a =，而是先要变形为22y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再求得2a =② 极值点：,x a x a ==③ 极值点坐标：(,2,,2a a a a --④ 定义域：()(),00,-∞+∞⑤ 自然定义域下的值域：(),22,a a ⎡-∞-+∞⎣（5）函数：()0ay x a x=-> 注意与对勾函数进行对比① 解析式特点：x 的系数为1；0a > ② 函数的零点：x a =③ 值域：R（5）指数函数（xy a =）：其函数图像分为1a >与01a <<两种情况，可根据图像求得值域，在自然定义域下的值域为()0,+∞（6）对数函数（log a y x =）其函数图像分为1a >与01a <<两种情况，可根据图像求得值域，在自然定义域下的值域为()0,+∞（7）三角函数的有界性,如sin [1,1],x ∈-cos [1,1]x ∈-. 6.函数值域问题处理策略 （1）换元法：① ()()(),log ,sin f x a y ay f x y f x ===⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦：此类问题在求值域时可先确定()f x 的范围，再求出函数的范围.② ()()(),log ,sin x a y f a y f x y f x ===：此类函数可利用换元将解析式转为()y f t =的形式，然后求值域即可.③形如y ax b cx d =++（2）均值不等式法：特别注意“一正、二定、三相等”.（3）判别式法：若原函数的定义域不是实数集时，应结合函数的定义域，将扩大的部分剔除.（4）分离常数法:一般地， ① ax by cx d+=+：换元→分离常数→反比例函数模型② 2ax bx c y dx e ++=+：换元→分离常数→ay x x=±模型③ 2dx ey ax bx c+=++：同时除以分子：21y ax bx c dx e=+++→②的模型 ④ 22ax bx cy dx ex f++=++：分离常数→③的模型（5）单调性性质法：利用函数的单调性（6）导数法：利用导数与函数的连续性求图复杂函数的极值和最值, 然后求出值域 （7）数形结合法【典型考题解析】热点一已知函数解析式求定义域【典例1】（广东·高考真题（文））函数f (x )＝11x-＋lg(1＋x )的定义域是（ ） A ．(－∞，－1)B ．(1，＋∞)C ．(－1，1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，＋∞) 【典例2】（山东·高考真题（文））函数21()4ln(1)f x x x =-+( )A ．[－2，0)∪(0，2]B ．(－1，0)∪(0，2]C ．[－2，2]D ．(－1，2]【典例3】（2019·江苏·高考真题）函数276y x x =+-_____. 【典例4】（2022·北京·高考真题）函数1()1f x x x=-_________． 【总结提升】已知函数的具体解析式求定义域的方法(1)简单函数的定义域：若f(x)是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集．(2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可． 热点二 求抽象函数的定义域【典例5】（全国·高考真题（理））已知()f x 的定义域为(1,0)-，则函数(21)f x +的定义域为 （ ） A ．(1,1)-B ．1(1,)2--C ．(1,0)-D ．1(,1)2【典例6】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()31f x +的定义域为[]1,7，求函数()f x 的定义域．【典例7】（2022·全国·高三专题练习）已知函数(1)y f x +＝的定义域为112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，，则函数2(log )y f x ＝的定义域为（ ）A ．(0,)+∞B ．(0,1)C ．222⎤⎢⎥⎣⎦D ．2⎡⎤⎣⎦，【总结提升】(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由a ≤g (x )≤b 求出． (2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域． 热点三 求函数的值域（最值）【典例8】（江西·高考真题（理））若函数()y f x =的值域是1[,3]2，则函数1()()()F x f x f x =+的值域是（ ）A ．1[,3]2B ．10[2,]3 C ．510[,]23D ．10[3,]3【典例9】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()y f x =的定义域是R ，值域为[]1,2，则下列四个函数①()21y f x =-；①()21y f x =-；①()12f x y -=；①()2log 11y f x =++，其中值域也为[]1,2的函数个数是（ ） A ．4B ．3C ．2D ．1【典例10】（2023·全国·高三专题练习）已知函数2()(2)sin(1)1xf x x x x x =--+-在[1,1)-(1,3]⋃上的最大值为M ，最小值为N ，则M N +=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【典例11】（2022·河南·郑州四中高三阶段练习（文））高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，也称取整函数，例如：[]1.32-=-，[]3.43=，已知()11313xf x =-+，则函数()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域为______． 【典例12】（2023·全国·高三专题练习）函数()21f x x x =+-________；函数24y x x =-________．【典例13】（2023·河南·洛宁县第一高级中学一模（文））已知函数()211122f x x x =++． (1)求()f x 的图像在点()()22f ,处的切线方程； (2)求()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域．热点四 求参数的值或取值范围【典例14】（2023·全国·高三专题练习）设a R ∈，函数()2229,1163,1x ax x f x x a x x ⎧-+≤⎪=⎨+->⎪⎩，若()f x 的最小值为()1f ，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[]1,2B ．[]1,3C ．[]0,2D ．[]2,3【典例15】（2022·全国·高三专题练习）已知函数()221f x ax x =++R ，则实数a 的取值范围是__．【典例16】（2016·北京·高考真题（理））设函数33,(){2,x x x a f x x x a -≤=->. ①若0a =，则()f x 的最大值为____________________； ②若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是_________________.【精选精练】1．（2023·全国·高三专题练习）若集合-1|2M x y x ==⎧⎨⎩，{}2|N y y x -==，则（ ）A ．M N ⋂=∅B ．M N ⊆C ．N M ⊆D ．M ＝N2．（2022·全国·高三专题练习）下列函数中，其定义域和值域分别与函数lg 10x y =的定义域和值域相同的是（ ） A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y x3．（2022·全国·高三专题练习）若函数()21f x ax ax =-+R ，则a 的范围是（ ） A ．()0,4 B ．[)0,4 C ．(]0,4D ．[]0,44．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的定义域为[]0,1，值域为[]1,2，那么函数()2f x +的定义域和值域分别是（ ）A ．[]0,1，[]1,2B ．[]2,3，[]3,4C ．[]2,1--，[]1,2D ．[]1,2-，[]3,45．（2022·江西·高三阶段练习（文））函数()s 2π2inx f x x =+在[0,1]上的值域为（ ） A ．[1,2] B ．[1,3] C ．[2,3] D ．[2,4]6．（2022·全国·高三专题练习）已知(12)3,1()ln ,1a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩的值域为R ，那么a 的取值范围是( ) A ．(﹣∞，﹣1]B ．(﹣1，12)C ．[﹣1，12)D ．(0，1)7．（2023·全国·高三专题练习）函数f （x 2sin 12x π- ）A ．54,433k k πππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z ) B ．154,433k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z )C ．54,466k k πππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ (k ∈Z ) D ．154,466k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z )8．（2023·山西大同·高三阶段练习）函数6()e 1||1x mx f x x =+++的最大值为M ，最小值为N ，则M N +=（ ） A ．3B ．4C ．6D ．与m 值有关9．（2022·江苏南京·高三开学考试）已知函数()()()()5sin sin ,99f x x x g x f f x ππ⎛⎫⎛⎫=++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()g x 的最大值为（ ）A 2B 3C ．32D ．210．（2022·广东·石门高级中学高二阶段练习）函数()12cos f x x x x =+-的最小值为（ ） A ．1ππ B ．22ππC ．-1D ．0二、多选题11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数122()log (2)log (4)f x x x =--+，则下列结论中正确的是（ ）A ．函数()f x 的定义域是[4,2]-B ．函数(1)=-y f x 是偶函数C ．函数()f x 在区间[1,2)-上是减函数D ．函数()f x 的图象关于直线1x =-对称 三、双空题12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()ln ,1e 2,1xx b x f x x +>⎧=⎨-≤⎩,若(e)3(0)f f =-，则b =_____，函数()f x 的值域为____．13．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()121xf x a =+-为奇函数，则实数a ＝__，函数f （x ）在[1，3]上的值域为__． 四、填空题14．（2022·全国·高三专题练习）函数()02112y x x x =++-的定义域是________．15．（2022·上海闵行·二模）已知函数()()41log 42xf x m x =+-的定义域为R ，且对任意实数a ，都满足()()f a f a ≥-，则实数m =___________；16.（2022·上海市嘉定区第二中学模拟预测）已知函数()y f x =是定义域为R 的奇函数，且当0x <时，()1af x x x=++．若函数()y f x =在[)3,+∞上的最小值为3，则实数a 的值为________．17．（2022·北京·清华附中模拟预测）已知函数()()2ln ,1,1x a x f x x a x +≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩，下列说法正确的是___________.①当0a ≥时，()f x 的值域为[0,)+∞； ②a ∀∈R ，()f x 有最小值；③R a ∃∈，()f x 在(0,)+∞上单调递增： ④若方程1f x有唯一解，则a 的取值范围是(,2)-∞-.18．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f （x ）()221mx m x m =--+-的值域是[0，+∞），则实数m 的取值范围是__．。

函数基础一、定义域的五种考法1.分式型：分母不为零f(x)=1定义域{x|x≠1}x−12.二次根式型：根式里大于等于零f(x)=√x−1定义域{x|x≥-1}3.对数函数：真数大于零log₂(x-1)定义域{x|x>1}(x2−2x−8)的单调区间，一定要先求定义域.注意：高考常见，求函数y=log124.正切函数型,k∈Zf(x)=tan(x-1)定义域x−1≠kπ+π25.抽象函数f(2x+1)定义域为[-1,1],求f(x-1)的定义域.∵-1≤x≤1-1≤2x+1≤3-1≤x-1≤30≤x≤4∴f(x-1)的定义域为[0,4]二、求值域的八种方法1.换元法若在同一个函数中出现x⁴与x²、x⁶与x³、x与√x、ax+b与√cx+d等，即两部分在次数上含平方关系，设低次数项为t，高次数项用t²的形式表达出来，则转化为关于t的二次函数类型，注意新元t的取值范围.求y=2x−1+√1−x值域.令√1−x=t,则1-x=t²,x=1-t²,且t≥0,于是y=2(1−t2)−1+t=−2t2+t+1=−2(t−14)2+98,(t≥0)函数值域为(−∞,98].2.配方法若函数是二次函数形式，即可化为.y=ax²+bx+c(a≠0)型函数，可通过配方后结合二次函数性质求值域，但要注意二次函数在给定区间上最值的求法.如求函数y=x−2√x+3的值域，因为y=(√x−1)2+2≥2,故值域为[2,+∞).3.反表示法如求函数y=x−1x+2(x≥−1)的值域，由y=x−1x+2解出x x=2y+11−y(y≠1),而x≥-1,所以2y+11−y≥−1,即y+2y−1≤0,所以-2≤y<1,故函数值域为[-2,1).4.分离常数法形如y=ax+bcx+d的函数求值域，可用分离常数法.y=1−2xx−1=−2(x−1)−1x−1=−2−1x−1≠−2值域(-∞,-2)U(-2,+∞)小技巧：分母不管是什么，先写一个与分母一样的式子，然后再配.5.判别式法求函数y =2x 2+2x+3x 2+x+1的值域.∵x²+x+1>0恒成立∴y =2x 2+2x+3x 2+x+1可变形为.yx²+yx+y=2x²+2x+3,即(y-2)x²+(y -2)x+y-3=0,x∈R当y≠2时,由△=(y -2)²-4(y-2)(y-3)≥0,得(y-2).(10-3y)≥0,解得2≤y ≤103,此时2≤y ≤103,必须讨论二次项系数y-2是否为0.又当y=2时，代入方程(y-2)x²+(y -2)x+y-3=0,x 无解.综上所述，函数值域为(2,103]. 6.三角换元法求函数y =x −√1−x 2的值域.可以设x=cosθ,θ∈[0,π],注意取值范围.设x =cosθ,θ∈[0,π],y =cosθ−sinθ=√2cos (θ+π4)根据θ∈[0,π] π4≤θ+π4≤5π4−1≤cos (θ+π4)≤√22函数值域[−√2,1].求形如且x∈R)的函数值域.7.中间变量法如求函数y=x2+4x2−1的值域，由y=x2+4x2−1得x2=y+4y−1(y≠1),而x²≥0,所以y+4y−1≥0,所以y>1或y≤-4,故所求函数的值域为(-∞,-4]U(1,+∞).8.均值不等式法”求函数y=3xx2+x+1(x≥0)的值域.方法一:当x=0时,y=0;当x≠0时,y=3x+1x +1(x⟩0)因为x+1x ≥2√x⋅1x=2,所以y=3x+1x+1≤32+1=1又x>0时,x²+x+1>0,3x>0,∴y>0综上,值域为[0,1]方法二：判别式法因为x²+x+1>0恒成立.yx²+yx+y=3xyx²+(y-3)x+y=0y=0时,x=0y≠0时,令Δ≥0(y-3)²-4y²≥0.y²+2y-3≤0-3≤y≤1又∵定义域x≥0,故y≥0综上所述，值域为[0，1]三、函数求解析式1.配凑法已知f(x+1x )=x3+1x3,求f(x).解:f(x+1x )=x3+1x3=(x+1x)3−3(x+1x)f(x)=x³-3x(x≥2或x≤-2) 2.换元法已知f(2x+1)=lgx,求f(x)解：令2x +1=t(t⟩1),则x=2t−1f(t)=lg2t−1,f(x)=lg2x−1(x⟩1)3.待定系数法已知f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求f(x).解:设f(x)=ax+b(a≠0),则3f(x+1)-2f(x-1)=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b=ax+b+5a=2x+17∴a=2b=7∴f(x)=2x+74.消元方程组已知f(x)满足2f(x)+f(1x)=3x,求f(x)解:2f(x)+f(1x)=3x①令x=1x,换一下2f(1x )+f(x)=3x②①②联立解方程；消去f(1x)2×①-②得3f(x)=6x−3xf(x)=2x−1 x5.反设法函数f(x)是定义域为R的奇函数,当x>0时,f(x)=-x+1,则当x<0时,f(x)的表达式为()A.f(x)=-x+1B.f(x)=-x-1C.f(x)=x+1.D.f(x)=x-1解:设t=-x,x=-t(t<0)则f(-t)=t+1又f(-t)=-f(t)f(t)=-t-1f(x)=-x-1(x<0)试数法点(2,-1)在f(x)=-x+1上,f(x)为奇函数,点(-2,1)在x<0的解析式上,代入A、B、C、D中，只有B符合.图像法根据奇函数的图像性质，关于原点对称.故选B.四、函数单调性1.导数法若函数f(x)在(a,b)内可导,·当.f′(x)>0时，该函数在区间(a，b)内单调递增.当f′(x)<0时，函数在(a，b)内单调递减.2.复合函数同增异减法u=g(x)增增减减y=f(u)增减增减增减减增3.常见的几个结论(1)当k>0时,y=k·f(x)与y=f(x)函数单调性相同.当k<0时,y=k·f(x)与y=f(x)函数单调性相反.(2)若f(x)≥0,则函数y=f(x)与函数y=√f(x),y=f2(x)的单调性相同.(3)当f(x)的值恒为正或恒为负时，函数1和函数f(x)的单调性相反.f(x)(4)若f(x)>0,g(x)>0,公共区间上都是增(减)函数,则y=f(x)g(x)在此区间上是增(减)函数.(5)增函数+增函数=增函数减函数+减函数=减函数增函数-减函数=增函数减函数-增函数=减函数(6)若f(x)与g(x)的单调性相同,则f(g(x))为增函数;若f(x)与g(x)的单调性相反,则f(g(x))为减函数.五、函数奇偶性1.若奇函数f(x)的定义域为R,则f(0)=0.假设f(0)=2，因为奇函数性质关于原点对称，(0，2)关于原点的对称点为(0，-2)，f(0)=-2,与f(0)=2矛盾,故f(0)只能等于0.2.奇偶四则运算结论偶函数±偶函数=偶函数奇函数±奇函数=奇函数假设偶函数.y=x²,奇函数y=x，便于记忆.偶函数×偶函数=偶函数(x².x²=x⁴,x⁴为偶函数)奇函数×奇函数=偶函数(x·x=x²,x²,为偶函数)偶函数×奇函数=奇函数(x.x²=x³,x³为奇函数)3.复合函数的奇偶性对于复合函数f(g(x)),若g(x)为偶函数,f(x)为偶函数或奇函数,f(g(x))为偶函数,若g(x)为奇函数,f(g(x))与f(x)的奇偶性相同.其中f(g(x))的定义域关于原点对称,f(x),g(x)有奇偶性.4.奇偶函数的一些性质(1)若函数f(x)(x∈A)是偶函数,则f(|x|)=f(x)(x∈A)恒成立.(2)若偶函数f(x)在x=0处可导,则.f′(0)=0.(3)若f(x)是奇函数,f(x)的最大值+最小值=0,若g(x)=f(x)+a,g(x)的最大值+最小值=2a.(4)判断一个复杂函数的奇偶性，一定要先判断函数的定义域，定义域关于原点对称才能判断奇偶性，若定义域不关于原点对称，则函数非奇非偶.六、函数周期性与对称性1.定义对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫作周期函数，非零常数T 叫作函数的周期.设函数f(x),若.f(x+a)=-f(x)或f (x +a )=±1f (x )(a ⟩0),则函数f(x)的最小正周期为2a例:f(x+a)=-f(x),求f(x)的周期.令x=x+a∵f(x+2a)=-f(x+a)-f(x+a)=f(x)(题干减号挪到另一边)f(x+2a)=f(x)∴周期为2a2.求周期常用的三个方法 (1)利用定义f(x+T)=f(x)(3)特殊函数利用图像求周期.3.常见的周期公式 (1)f(x+a)=f(x+b),f(x)的周期为|b-a|.(2)f(x+a)=-f(x),f(x)的周期为2a. (往往题干出现的是f(x+a)=-f(x)或(2)利用公式求三角函数周期T =2π|ω|或T =π|ω|.(3)f(x+a)=±1f(x),f(x)的周期为2a.(4)f(x+a)=1−f(x)1+f(x),f(x)的周期为2a.(5)f(x+a)=1+f(x)1−f(x),f(x)的周期为4a.4.对称性的四个结论(1)y=f(x),x∈R满足.f(a+x)=f(a−x)y=f(x)图像关于直线x=a对称.(2)f(a+x)=f(b−x)f(x)图像关于x=a+b2轴对称，(中心对称轴可由(a+x)+(b−x)2得到，简记：一个函数相加除以2).(3)若2b=f(x+a)+f(a-x),则函数y=f(x)关于点(a,b)为中心对称.(4)函数y=f(a+x)与函数y=f(b-x)的图像关于直线x=b−a2对称(对称轴由a+x=b-x,解出x得x=b−a2,简记：两个函数相等解方程).例:若f(x+1)为奇函数,则y=f(x)的图像关于为中心对称.∵y=f(x+1)为奇函数.∴f(-x+1)=-f(x+1)⇒f(1-x)+f(x+1)=0由(3)可知,f(x)关于点(1,0)为中心对称.5.周期与对称公式的记忆方法若等式两边x的符号相同，则为周期性；若等式两边x的符号相反，则为对称性.其中，函数值相等为轴对称，函数值相反，为中心对称，且括号内的式子相加除以2得对称轴或对称中心..6.遇到一个抽象函数，最重要的是：先判断出来说的是周期还是对称，十分重要.七、函数翻折变换1.函数的翻折变换(1)y=f(x)⇒y=f(x±u)左加右减(2)y=f(x)⇒y=f(x)±h上加下减(3)y=f(x)与y=-f(x)关于x轴对称(4)y=f(x)与y=f(-x)关于y轴对称(5)y=f(x)与y=-f(-x)关于原点对称(6)f(x)与|f(x)|:将f(x)图像x轴下方翻折上去f(x)与f(|x|)→{f(x)x≥0f(−x)x<0把f(x)图像右侧保留，左侧去掉，将y轴右侧图像做关于y轴对称的图像.2.函数的点线对称(1)点(x,y)关于(a,b)的对称点的坐标为(2a-x,2b-y)曲线f(x,y)=0关于点(a,b)的对称方程是f(2a-x,2b-y)=0(2)点(x,y)关于x=a的对称点为(2a-x,y),关于y=b的对称点为(x,2b-y)曲线f(x,y)=0关于x=a的对称曲线方程为f(2a-x,y)=0曲线f(x,y)=0关于y=b的对称曲线方程为f(x,2b-y)=0例:直线2x-y+5=0关于x=3的对称直线是.将x换成2×3-x=6-x,代入2x-y+5=0,2(6-x)-y+5=0,答案:2x+y-17=0.八、指数与对数常用公式1.分数指数幂a m n =√[n ]a m (a ⟩0,m,n ∈N ∗,且n>1)0的正分数指数幂是0，0的负分数指数幂无意义(0°高中一般不会考)2.对数的性质(1)零和负数没有对数(2)logₐ1=0(3)logₐa =1(4)logₐaᵏ=k(5)a log a N=Ny =aˣ与y =logₐx 互为反函数①两个函数图像关于y=x 对称.反函数性质②y=f(x)图像上一点(a,b),则点(b,a)必在其反函数图像上.3.对数运算公式若a>0且a≠1,M>0,N>0,那么(1)logₐ(M ⋅N )=logₐM +logₐN(2)log aM N =log a M −log a N (3)logₐMⁿ=nlogₐM且n>1)且a≠1)(4)换底公式:log a b =log a blog a a (a ⟩0)且a≠1,c>0,且c≠1,b>0) (5)换底公式推论：log a b ⋅log b a =1log a M ⋅log b N =log a N ⋅log b M (a ⟩0,a ≠1,b >0,b ≠1,M,N >0)4.证明(1)logₐ(mn )=logₐm +logₐn设p =logₐm,q =logₐnaᵖ=ma⁴=n又因a P −1=m ⋅n,由对数定义p +q =logₐ(mn )=logₐm +logₐn.令logₐb =m,aᵐ=b∴m =log c b log c a总结：两个对数公式的证明，会让你更深刻地理解公式，从而更好地利用公式.且a,b,c 都不为1) 即九、函数零点问题1.求零点的三个方法(1)解方程f(x)=0，实数解即为函数的零点.(2)零点存在性定理,在定义域内取a 、b,f(a)·f(b)<0,说明a,b 之间至少有一个零点.(3)图像法：这是高考中最常出现的类型，首先给你一个复杂的函数，比方说方程f (x )=eˣ(2x −1)−ax +a 此函数有唯一零点，我们令f (x )=0,eˣ(2x −1)−ax +a =0移项eˣ(2x −1)=a −ax,令y₁=eˣ(2x −1),y₂=ax −a,说f(x)有唯一零点，等价于y ₁和y ₂有且只有一个交点，画出图像，让其有且只有一个交点即可.2、二次函数零点判断一元二次方程根的分布规律：设函数f(x)=ax²+bx+c,(a>0)3.ax²+bx+c=0(a>0)的一根大于m ，一根小于mf (m )<04.若ax²+bx+c=0(a>0)的两根x ₁,x ₂满足:m ₁一1.ax²+bx+c=0(a>0)有两个正根2.ax²+bx+c=0(a>0)两个根均大于m ，。