1.2.1任意角的三角函数1(张奕辉用)

任意角的三角函数定义： 任意角的三角函数定义：
如图， 是一个任意角， 如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交 于点P(x,y) 那么： P(x,y)， 于点P(x,y)，那么：
（1）y叫做α的正弦，记作sinα，即 y 叫做α的正弦，记作sinα， inα sinα=y； sinα=y； （2）x叫做α的余弦， 叫做α的余弦， 记作cosα， 记作cosα，即 cosα cosα=x； cosα=x；
结论：一全，二正，三切， 结论：一全，二正，三切，四余
终边相同的角的集合 { β | β = α + k ⋅ 2π , k ∈ z }
问题：根据三角函数的定义，终边相同的角的 同一三角函数值是否相等?
终边相同 点的坐标相同 同一函数值相同
【例3】求下列各式的值： 求下列各式的值： (1) sin 25π + tan(− 15π );
【规范解答】(1)sin 规范解答】
(2)sin810°+cos360° 125° (2)sin810°+cos360°-tan1 125° =sin(2×360°+90°)+cos(0°+360° =sin(2×360°+90°)+cos(0°+360°)tan(3×360°+45°)=sin90°+cos0° tan45°=1+1tan(3×360°+45°)=sin90°+cos0°-tan45°=1+1-1=1.
y
M0 M
x O
设角 α 的终边与单位圆交于点 P( x, y ) , 分别过点 P, P0 作 x 轴的垂线 MP, M 0 P0 ,则
P（x，y） P0 （－3，－4）
MP = − y, M 0 P0 = 4, OM = − x, OM 0 = 3
∆OMP ∽ ∆OM 0 P0 ,
,
y − MP − M 0 P0 4 sin α = y = = = =− ; 1 OP OP0 5
sin α = cos α =
y −3 3 13 ； = =− r 13 13
x 2 2 13 = = ； r 13 13 y 3 tan α = = − ． x 2
【典例】（12分）已知角α的终边过点P（m,-3m）(m≠0)， 典例】 12分 已知角α的终边过点P m,-3m）(m≠0)， 求α的正弦、余弦、正切值. 的正弦、余弦、正切值. 【审题指导】解答本题可根据三角函数定义，先求出|OP| 审题指导】解答本题可根据三角函数定义，先求出|OP| 的值，再对m进行分类讨论求解. 的值，再对m进行分类讨论求解.
x − OM − OM 0 3 cos α = x = = = =− ; 1 OP OP0 5
y
M0 M
y sin α 4 tan α = = = . x cos α 3
x O
P（x，y） P0 （－3，－4）
提升总结
若点P 若点P（x，y）为角α终边上任意一点，则 为角α终边上任意一点，
sin α = y x2 + y2
P(x,y)
α
O
A(1,0) x
y 叫做α的正切，记作tanα tanα， （3） 叫做α的正切，记作tanα，即 x tanα= y (x≠0)。 tanα= x≠0)
x
cos 对应关系 sinα = y ， α = x ， y 都是以角为自变量， tanα = (x ≠ 0) 都是以角为自变量，以单位圆 x 上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数， 上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，分 别称为正弦函数 余弦函数和正切函数， 正弦函数、 别称为正弦函数、余弦函数和正切函数，并统称 三角函数. 为三角函数.
思考：我们把锐角α放到直角坐标系中， 思考：我们把锐角α放到直角坐标系中，并使 锐角 的顶点与原点O重合 始边与x 重合, 角α的顶点与原点 重合,始边与x轴的非负半 轴重合.在角α的终边上取一点P 轴重合.在角α的终边上取一点P（x，y）,设 ， 与原点的距离为r 那么，sinα cosα 点P与原点的距离为r，那么，sinα，cosα， tanα的值分别如何表示？ tanα的值分别如何表示？
2 2
2
2
2
2
或 sinα = − 3 ,cosα = − 1 , tanα = 3.
2 2
例题与练习 的终边过点(a, 例3. 已知角α的终边过点 2a)(a≠0)， ， 的三个三角函数值． 求α的三个三角函数值．
探究：根据三角函数的定义能否确定正弦,余弦, 正切的值在四个象限内的符号?
(+ ) ( ) （+ ） ( ) ( )
110° 【变式训练】证明：log2（4sin1 110°）=1. 变式训练】证明： 110° 【证明】log2（4sin1 110°） 证明】 4sin(3×360°+30° =log2［4sin(3×360°+30°)］ 4sin30° =log2（4sin30°）=log22=1.
【例2】判断下列各式的符号： 判断下列各式的符号： （1）tan120°·sin269°; ( 2 ) cos4 ⋅ tan(− 23π ). tan120°·sin269°
1.2.1 任意角的三角函数(1) 任意角的三角函数
初中时， 初中时，我们怎样利用直角三角形定义了 锐角三角函数的呢？ 锐角三角函数的呢？
sin α = cos α = tan α =
a c b c a b
B
c
a
α
A b C
当角α不是锐角时，我们必须对sinα，cosα， 当角α不是锐角时，我们必须对sinα，cosα， sinα tanα的值进行推广，以适应任意角的需要. tanα的值进行推广，以适应任意角的需要.如何定义任 的值进行推广 意角的三角函数呢? 意角的三角函数呢?
5π 的正弦、余弦和正切值. 的正弦、余弦和正切值. 3
1 3 ). 易知 ∠AOB 的终边与单位圆的交点坐标为 ( , − 2 2
y
5π 3
5π 1 = , cos 3 2 5π tan =− 3. 3
x
1 3 P( , − ) 2 2
O
(2)一些特殊角的三角函数值： (2)一些特殊角的三角函数值： 一些特殊角的三角函数值
-
(+ )
( )
-
(+)
-
-
( )
-
(+)
(+ )
( )
-
y sin a = r
x a = cos r
y a = tan x
一全正，二正弦，三正切，四余弦. 一全正，二正弦，三正切，四余弦.
三角函数值的符号问题
y
正弦为正 正弦为正
三角函数全 三角函数全为正
x
正切为正 正切为正
o
余弦为正 余弦为正
y
P(x,y) α A(1,0)
O M
x
单位圆：在直角坐标系中。我们称以原点O为 在直角坐标系中。我们称以原点O
圆心,以单位长度为半径的圆为单位圆。 圆心,以单位长度为半径的圆为单位圆。
y
α
O
y y sinα = = = y; r 1 P(x,y) x x A(1,0) cosα = = = x; x M r 1 y tanα = x
2. 三角函数的定义域、值域 三角函数的定义域、 函数
y = sin α
定义域
值域
[−1 1 , ] [−1, 1] −
R
R
{α | α ≠
y = cos α
y = tan α
π
2
+ kπ , k ∈ Z }
R
例1 求
5π 在直角坐标系中,作 . 解： 在直角坐标系中 作 ∠AOB = 3
5π 3 sin =− , 3 2
4
【规范解答】（1）∵120°是第二象限角，∴tan120°＜0, 规范解答】 120°是第二象限角， tan120° ∵269°是第三象限角， sin269° ∵269°是第三象限角，∴sin269°＜0; ∴tan120°·sin269°＞0. ∴tan120° sin269° ∴4弧度角是第三象限角 弧度角是第三象限角， (2)∵ π＜4＜ 3π , ∴4弧度角是第三象限角， ∴cos4＜0,∵− 23π = −6π + π , cos4＜
3 4
(2)sin810°+cos360° 125° (2)sin810°+cos360°-tan1 125°.
25π 15π + tan（− ) 3 4 = sin(8π + π ) + tan(−4π + π ) 3 4 = sin π + tan π = 3 + 1 = 3 + 2 . 3 4 2 2
y
O
cos α =
x x2 + y2
y tan α = x
x
P(x， P(x，y)
P(2， 3)， 三角函数值 函数值. 2.已知角α的终边经过点 P(2，-3)，求α的三个三角函数值. 已知角α
解析: 解析: 因为 x = 2, y = −3 ，所以 r = 22 + (−3)2 = 13 ，
于是
y r P(x,y) αy x o M x
y x y sin α = ;cosα = ; tanα = r r x
y x y 问：比值 r , r , x 是否因为P(x,y)点在 α 终边上的位置发生变化而变化？
y x y sin α = ;cosα = ; tanα = r r x
当点P取在使线段 的长 当点 取在使线段OP的长 取在使线段 r=1的特殊位置上时 正弦 的特殊位置上时,正弦 的特殊位置上时 函数值,余弦函数值 余弦函数值， 函数值 余弦函数值，正切 函数值会有什么样的结果？ 函数值会有什么样的结果？