江西师大附中 鹰潭一中 宜春中学等省重点中学联考高三数学文科试卷

五校（江西师大附中、临川一中、鹰潭一中、宜春中学、新余四中）联考文科数学学科试题【试卷综评】突出考查数学主干知识 ,侧重于中学数学学科的基础知识和基本技能的考查；侧重于知识交汇点的考查。

全面考查考试说明中要求的内容，如复数、简易逻辑试卷都有所考查。

在全面考查的前提下，高中数学的主干知识如函数、三角函数、数列、立体几何、导数、圆锥曲线、概率统计等仍然是支撑整份试卷的主体内容，尤其是解答题，涉及内容均是高中数学的重点知识。

明确了中学数学的教学方向和考生的学习方向。

2.适度综合考查，提高试题的区分度 本次数学试卷的另一个特点是具有一定的综合性，很多题目是由多个知识点构成的，这有利于考查考生对知识的综合理解能力，有利于提高区分度，在适当的规划和难度控制下，效果明显。

通过考查知识的交汇点，对考生的数学能力提出了较高的要求，提高了试题的区分度. 第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【题文】1．设复数Z 满足（2+i ）·Z=1－2i3，则复数Z 对应的点位于复平面内 （ ） A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 【知识点】复数代数形式的乘除运算．L4 【答案解析】A 解析：∵（2+i ）•Z=1﹣2i3，∴．∴复数Z 对应的点的坐标为（），位于第一象限，故选：A ．【思路点拨】把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的除法运算化简，求得复数Z 对应的点的坐标，则答案可求．【题文】2．集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈≤+=Z x x x x P ,21|，集合{}032|2>-+=x x x Q ,则R P C Q =（ ）A [)03，－ B {}123－，－，－ C {}1123，－，－，－ D {}0123，－，－，－ 【知识点】交、并、补集的混合运算．A1【答案解析】C 解析：由P 中不等式，当x ＞0时，变形得：x2﹣2x+1≤0，即（x ﹣1）2≤0， 解得：x=1，当x ＜0时，变形得：x2﹣2x+1≥0，即（x ﹣1）2≥0，此时x ＜0， ∴P={x ∈Z|x=1或x ＜0}，由Q 中不等式变形得：（x ﹣1）（x+3）＞0，解得：x ＞1或x ＜﹣3，即Q={x|x ＞1或x ＜﹣3}，∵全集为R ，∴∁RQ={x|﹣3≤x≤1}， 则P∩∁RQ={﹣3，﹣2，﹣1，1}．故选：C ．【思路点拨】求出P 中不等式的解集确定出P ，求出Q 中不等式的解集确定出Q ，根据全集R 求出Q 的补集，找出P 与Q 补集的交集即可．【题文】3．已知变量x ，y 之间具有线性相关关系，其回归方程为y ^＝－3＋bx ，若∑i ＝110xi ＝20，∑i ＝110yi ＝30，则b 的值为( )A ．1B ．3C ．－3D ．－1【知识点】线性回归方程．I4【答案解析】B 解析：∵∑i ＝110xi ＝20，∑i ＝110yi ＝30，，∴=2，=3，∵回归方程为=﹣3+bx ，∴3=﹣3+2b ，∴b=3，故选：B ．【思路点拨】由样本数据可得，=2，=3，代入可求这组样本数据的回归直线方程．【题文】4．已知数列{an}满足a1＝1，2121n n n a a a +=-+ ()*n N ∈，则2014a ＝( ) A 1 B 0 C 2014D －2014【知识点】数列递推式．D1【答案解析】B 解析：由2121n n n a a a +=-+ ()*n N ∈，得()211n n a a +=-，∵a1=1，∴a2=0，a3=1，a4=0，…∴数列{an}的所有奇数项为1，偶数项为0．∴2014a =0．故选：B ．【思路点拨】由数列递推式结合已知求得数列的前几项，得到数列{an}的所有奇数项为1，偶数项为0．则答案可求．【题文】5.设x ，y 满足约束条件10103x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则z=2x －3y 的最小值是（ ）A 7-B －6C 5-D 9- 【知识点】简单线性规划．E5【答案解析】B 解析：由23z x y =－得233z y =x+，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分ABC ）：平移直线233z y =x+，由图象可知当直线233z y =x+过点C 时，直线233z y =x+截距最大，此时z 最小，由310x x y =⎧⎨-+=⎩，解得34x y =⎧⎨=⎩，即C （3，4）．代入目标函数23z x y =－，得z=2×3﹣3×4=6﹣12=﹣6．∴目标函数z=2x ﹣3y 的最小值是﹣6．故选：B ．【思路点拨】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可． 【题文】6．对某市人民公园一个月(30天)内每天游玩人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、众数、极差分别是( )A ．46,45,56B ．46,45,53C ．47,45,56D ．45,47,53【知识点】茎叶图；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差．I2 I3【答案解析】A 解析：由题意可知茎叶图共有30个数值，所以中位数为：4547462+=．众数是45，极差为：68﹣12=56．故选A ．【思路点拨】直接利用茎叶图求出该样本的中位数、众数、极差即可． 【题文】7．如图三棱锥,,,30o V ABC VA VC AB BC VAC ACB -∠=∠=⊥⊥若侧面VAC ⊥底面ABC ，则其主视图与左视图面积之比为（ ）A ．4:3B ．4:7C ．3:7D ．7:3【知识点】简单空间图形的三视图．G2【答案解析】A 解析：主视图为Rt △VAC ，左视图为以△VAC 中AC 的高VD 为一条直角边，△ABC 中AC 的高BE 为另一条直角边的直角三角形．设AC=X ，则VA=32x ，VC=12x ，VD=34x ，BE=34x ，ACB左视主视V则131133:4:3222244S S x x x x ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭左视图主视图：．故选：A ．【思路点拨】主视图为Rt△VAC，左视图为以△VAC 中AC 的高为一条直角边，△ABC 中AC的高为另一条直角边的直角三角形．【题文】8.()cos3502sin160sin 190o oo-=-( )A ．3-B ．32-C ．32D ．3【知识点】运用诱导公式化简求值；同角三角函数基本关系的运用．C2【答案解析】D 解析：原式====．故选：D ．【思路点拨】利用诱导公式化简，再利用两角差的正弦即可求值． 【题文】9．以下四个命题: ①若{}{}1,2,3,A B x x A ==⊆,则A B ⊆；②为了调查学号为1、2、3、…、69、70的某班70名学生某项数据，抽取了学号为2、12、22、32、42、52、62的学生作为数据样本，这种抽样方法是系统抽样； ③空间中一直线l ，两个不同平面,αβ，若l ∥α，l ∥β，则α∥β；④函数sin 1tan tan 2x y x x ⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭的最小正周期为π. 其中真命题的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【知识点】命题的真假判断与应用．A2 【答案解析】B 解析：①{}{}1,2,3,1,2,3A B ==，则A B ⊆；故是真命题．②学号本身有一定的规律，并没有随机编号，故不是系统抽样；假命题．③空间中一直线l ，两个不同平面,αβ，若l ∥α，l ∥β，则α∥β；从正方体中很容易找到反例；假命题．④函数sin 1tan tan 2x y x x ⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭，在x=0时有意义，而在x=π时无意义，故是假命题． 故选B ．【思路点拨】对四个命题逐一分析，第2与第4个命题较容易出错．【题文】10．以双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)中心O(坐标原点)为圆心，焦矩为直径的圆与双曲线交于M 点（第一象限），F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，过点M 作x 轴垂线，垂 足恰为OF2的中点，则双曲线的离心率为（ ） A ．31-B ．3C ．31+D ．2【知识点】双曲线的简单性质．H6【答案解析】C 解析：由题意M 的坐标为M 3,22c c ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，代入椭圆方程可得22223144c c a b +=∴e4﹣8e2+4=0，∴e2=4+23，∴e=3+1．故选：C ．【思路点拨】由题意M 的坐标为M3,22c c ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，代入椭圆方程可得e 的方程，即可求出双曲线的离心率．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分【题文】11．向量,,a b c 在单位正方形网格中的位置如图所示，则()a b c +＝ .【知识点】平面向量数量积的运算．F2【答案解析】3 解析： 如图建立平面直角坐标系，则=（1，3），=（3，﹣1）﹣（1，1）=（2，﹣2），=（（3，2）﹣（5，﹣1）=（﹣2，3），∴=（0，1），∴=（1，3）•（0，1）=3．故答案为：3．【思路点拨】首先以向量的起点为原点，分别以水平方向和竖直方向为x 轴、y 轴建立坐标系，将三个向量用坐标表示，再进行运算． 【题文】12．设等差数列{}n a 前n 项和为nS ,若2,0,111==-=+-m m m S S S ,则=m ________.【知识点】等差数列的前n 项和．D2abc【答案解析】3 解析：∵等差数列{}n a 前n 项和为n S ，满足2,0,111==-=+-m mm S S S ，∴，解得m=3．故答案为3．【思路点拨】利用等差数列的前n 项和公式即可得出。

五校（江西师大附中、临川一中、鹰潭一中、宜春中学、新余四中）联考文科数学学科试题第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设复数Z 满足（2+i ）·Z=1－2i 3，则复数Z 对应的点位于复平面内 （ ）A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限2．集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈≤+=Z x x x x P ,21|，集合{}032|2>-+=x x x Q ,则R PC Q =（ ）A [)03，－B {}123－，－，－C {}1123，－，－，－D {}0123，－，－，－3．已知变量x ，y 之间具有线性相关关系，其回归方程为y ^＝－3＋bx ，若∑i ＝110x i ＝20，∑i ＝110y i ＝30，则b 的值为( )A ．1B ．3C ．－3D ．－14．已知数列{a n }满足a 1＝1，2121n n n a a a +=-+ ()*n N ∈，则2014a ＝( )A 1B 0C 2014D －20145.设x ，y 满足约束条件10103x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则z =2x －3y 的最小值是（ ）A 7-B －6C 5-D 9-6．对某市人民公园一个月(30天)内每天游玩人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、众数、极差分别是( )A ．46,45,56B ．46,45,53C ．47,45,56D ．45,47,537．如图三棱锥,,,30oV ABC VA VC AB BC VAC ACB -∠=∠=⊥⊥若侧面VAC ⊥底面ABC ，则其主视图与左视图面积之比为（ ）A．4 B．4 CDC8.()cos3502sin160sin 190o oo-=-( )A．B．D9．以下四个命题:①若{}{}1,2,3,A B x x A ==⊆,则A B ⊆；②为了调查学号为1、2、3、…、69、70的某班70名学生某项数据，抽取了学号为2、12、22、32、42、52、62的学生作为数据样本，这种抽样方法是系统抽样； ③空间中一直线l ，两个不同平面,αβ，若l ∥α，l ∥β，则α∥β； ④函数sin 1tan tan 2x y x x ⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭的最小正周期为π. 其中真命题．．．的个数是（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个10．以双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)中心O (坐标原点)为圆心，焦矩为直径的圆与双曲线交于M 点（第一象限），F 1、F 2分别为双曲线的左、右焦点，过点M 作x 轴垂线，垂足恰为OF 2的中点，则双曲线的离心率为（ ）A1B1D ．2第Ⅱ卷二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11．向量,,a b c 在单位正方形网格中的位置如图所示，则()a b c +＝ .12．设等差数列{}n a 前n 项和为n S ,若2,0,111==-=+-m m m S S S ,则=m ________.13．函数)2||,0,0)(sin()(πφωφω<>>+=A x A x f 的部分图像如图所示，则将()y f x =的图象向左至少平移 个单位后，得到的图像解析式为cos y A x ω=．14．过椭圆221164x y +=的左焦点作直线与椭圆相交，使弦长均为整数的所有直线中，等可能地任取一条直线，所取弦长不超过4的概率为 .15．若关于x 的方程211x x m --+=有两个不同的实数根，则实数m 的取值范围为 .三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. （本题满分12分）为了增强中学生的法律意识，某中学高三年级组织了普法知识竞赛.并随机抽取了A 、B 两个班中各5名学生的成绩，成绩如下表所示：（1） 根据表中的数据，分别求出A 、B 两个班成绩的平均数和方差，并判断对法律知识的掌握哪个班更为稳定？（2） 用简单随机抽样方法从B 班5名学生中抽取2名，他们的成绩组成一个样本，求抽取的2名学生的分数差值至少是4分的概率.17. （本题满分12分）设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且(2b －3c )cos A －3a cos C =0. (1)求角A 的大小；(2)若角B ＝π6，BC 边上的中线AM 的长为7，求△ABC 的面积．18．（本题满分12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，侧棱PA 丄底面ABCD ，底面ABCD 为矩形，E 为PD 上一点，AD =2AB =2AP =2，PE =2DE ．（1）若F 为PE 的中点，求证BF ∥平面ACE ；（2）求三棱锥P ﹣ACE 的体积．P AF ED19.（本题满分12分）如图所示，程序框图的输出的各数组成数列{}n a . （1）求{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；（2）已知{}n b 是等差数列，且12b a =，3123b a a a =++，求数列{}n n a b ⋅前n 项和n T .20. （本题满分13分）如图所示，作斜率为14-的直线l 与抛物线2:2D y x =相交于不同的两点B 、C ，点A (2,1)在直线l 的右上方.（1）求证：△ABC 的内心在直线x =2上； （2）若90oBAC ∠=，求△ABC 内切圆的半径．21. （本题满分14分）已知,a b 是正实数,设函数()ln ,()ln f x x x g x a x b ==-+. (1)设()()()h x f x g x =-,求()h x 的单调递减区间; (2)若存在03[,]45a b a b x ++∈使00()()f x g x ≤成立,求ba的取值范围.五校（江西师大附中、临川一中、鹰潭一中、宜春中学、新余四中）联考文科数学学科试题 参考答案：一．选择题二．填空题11．3 12． 3 13． 6π14．51215．32m >- 三．解答题16. （本题满分12分） 解：（1）1(8788919193)905A X =++++=,1(8589919293)905B X =++++=…1分 222222124(8790)(8890)(9190)(9190)(9390)55A S ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦,…3分 2222221(8590)(8990)(9190)(9290)(9390)85A S ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦…5分 法律知识的掌握A 班更为稳定……………6分(2).从B 班抽取两名学生的成绩分数，所有基本事件有：（85，89），（85，91），（85，92），（85，93），（89，91），（89，92），（89，93），（91，92），（91，93），（92，93） 共有10个…………………………8分基本事件；抽取的2名学生的分数差值至少是4分的有（85，89），（85，91），（85，92），（85，93），（89，93）5个基本事件。

江西师大附中、鹰潭一中、宜春中学、新余四中、白鹭洲中学、南昌三中、上饶二中高三数学（文科）联考试卷命题人：师大附中 郑永盛 审题人：鹰潭一中 仇裕玲参考公式：锥体的体积13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高.球的表面积公式24S R π=，其中R 为球的半径.如果事件A B 、互斥，那么()()()P A B P A P B +=+．第Ⅰ卷 选择题（共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 请把答案涂在答题卡上）1．已知复数11iz i-=+，z 是z 的共轭复数，则z 等于A ．4B ．2C ．1D ．122．设12log 3a =，0.313b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，ln c π=，则A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b a c <<3．抛物线22y x =-的焦点坐标是A ．1(,0)2-B ．(1,0)-C ．1(0,)4-D ．1(0,)8-4．函数sin cos (0)y a x b x ab =-≠的一条对称轴的方程为4x π=,则以(,)v a b =为方向向量的直线的倾斜角为A ．45B ．60C ．120D ．1355．已知两不共线向量(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=，则下列说法不正确．．．的是 A ．()()a b a b +⊥-B ．a 与b 的夹角等于αβ-C ．2a b a b ++->D ．a 与b 在a b +方向上的投影相等6．已知函数7(13)10()x a x f x a--+⎧=⎨⎩ 66x x ≤> ,若数列{}n a 满足*()()n a f n n N =∈，且{}n a 是递减数列，则实数a 的取值范围是A ．1(,1)3B ．11(,)32C ．15(,)36D ．5(,1)67．下列说法中，正确的是A ．命题“若22am bm <，则a b <”的逆命题是真命题 B ．命题“x R ∃∈，02>-x x ”的否定是：“x R ∀∈，02≤-x x ” C ．命题“p 或q ”为真命题，则命题“p ”和命题“q ”均为真命题D ．已知R x ∈，则“1x >”是“2x >”的充分不必要条件7．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为A ．163πB ．193π C ．1912π D ．43π8．函数()cos f x x x =的导函数()f x '在区间[,]ππ-上的图像大致是10．如图，有公共左顶点和公共左焦点F 的椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴的长分别为1a 和2a ，半焦距分别为1c 和2c .则下列结论不正确．．．的是 A ．1122a c a c +>+ B ．1122a c a c -=-C ．1221a c a c <D ．1221a c a c >第Ⅱ卷 非选择题（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 其中15题是选做题, 请把答案填在答题卡的相应横线上.11．按如下程序框图运行，则输出结果为______． 开始1=i 0=S iS S 2+=2+=i i 9i ≥否S输出结束是12. 甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲在心中任想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b ，且,{1,2,3,4}a b ∈．若||1a b -≤，则称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，得出他们“心有灵犀”的概率为 ．13．某驾驶员喝了m 升酒后，血液中的酒精含量()f x （毫克/毫升）随时间x （小时）变化的规律近似满足表达式25,01()31(),153x x x f x x -⎧≤≤⎪=⎨⋅>⎪⎩．《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚》规定：驾驶员血液中酒精含量不得超过0.02毫克/毫升．此驾驶员至少要过 小时后才能开车（不足1小时部分算1小时，结果精确到1小时）．14．把正整数排列成如图甲的三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列{}n a ，若2011n a =，则n =_________. Ⅱ ⅠF15．（不等式选讲）若不等式|2||3|x x a -++<的解集为∅，则实数a 的取值范围为 ．三、解答题（本大题共计6小题，满分75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）（★请在答题卡的指定区域内作答，否则该题计为零分．） 16．（本小题满分12分）已知{}n a 是首项为19，公差为-2的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和. （1）求通项n a 及n S ；（2）设{}n n b a -是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的通项公式及其前n 项和n T .17．（本小题满分12分）为庆祝国庆，某中学团委组织了“歌颂祖国，爱我中华”知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（成绩均为整数）分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后画出如图的部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：（1）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图； （2）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分；18．（本小题满分12分）已知函数()223sin 23sin cos 5cos f x x x x x =++． （1）若()5f α=，求tan α的值；（2）设ABC ∆三内角,,A B C 所对边分别为,,,a b c 且2222222a c b ca b c a c +-=+--，求()f x 在(]0,B 上的值域．19．（本小题满分12分）如图，AB 为圆O 的直径，点E 、F 在圆O 上，AB ∥EF ，矩形ABCD 所在的平面和圆O 所在的平面互相垂直，且2AB =，1AD EF ==. （1）求证：AF ⊥平面CBF ；（2）设FC 的中点为M ，求证：OM ∥平面DAF ；（3）设平面CBF 将几何体EFABCD 分成的两个锥体的体积分别为F ABCD V -，F CBE V -， 求F ABCD V -:F CBE V -．20．（本小题满分13分）已知函数()ln f x x x =. （1）求()f x 的最小值；（2）若对所有1x ≥都有()1f x ax ≥-，求实数a 的取值范围.21．（本小题满分14分）已知双曲线221x y -=的左、右顶点分别为12A A 、，动直线:l y kx m =+与圆221x y +=相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为111222(,),(,)P x y P x y . （1）求k 的取值范围，并求21x x -的最小值； （2）记直线11P A 的斜率为1k ，直线22P A 的斜率为2k ，那么12k k ⋅是定值吗？证明你的结论.FAECO BDM参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案CADDBCBBAD二、填空题 11．17012.5813．4 14．102815．(,5]-∞ 三、解答题16．解：（1）因为}{n a 是首项为,191=a 公差2-=d 的等差数列， 所以,212)1(219+-=--=n n a n2(1)19(2)202n n n S n n n -=+⨯-=-………………………6分 （2）由题意13,n n n b a --=所以13,n n n b a -=+则 1231(133)20.2n n n n T S n n --=++++=-++…………………12分17． 解：（1）因为各组的频率和等于1，故第四组的频率：41(0.0250.01520.010.005)100.3f =-+⨯++⨯=．…………………3分 直方图如图所示．…………6分（2）依题意，及格以上的分数所在的第三、四、五、六组的频率之和为 (0.0150.030.0250.005)100.75+++⨯=，……………………9分 抽样学生成绩的合格率是75%．利用组中值估算抽样学生的平均分123456455565758595450.1550.15650.15750.3850.25950.0571f f f f f f ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=则估计这次考试的平均分是71分……………………………12分18．解：（1）由()5f α=，得223sin 23cos 5cos 5αααα++=．∴1cos 21cos 23325522ααα-++=． 3sin 2cos 21αα+=， 3sin 21cos 2αα=- 223sin cos 2sin ααα⇒=sin 03αα==或tan ∴tan 0tan 3αα==或．………………6分（2）由2cos ,2cos 2ac B c ab C a c =-即cos 1,cos 2B b C a c =-得cos 1,sin cos 2sin sin B B C A C =- 则1cos 2B =即3B π=，……………………………………8分又()223sin 23sin cos 5cos f x x x x x =++32cos 24x x =++＝F AECO B D Mπ2sin(2)46x ++………………………………………10分 由03x π<，则1πsin(2)126x +，故5()6f x ，即值域是[]5,6.……12分19．解 （1） 平面⊥ABCD 平面ABEF ,AB CB ⊥, 平面 ABCD 平面ABEF =AB ，⊥∴CB 平面ABEF ，⊂AF 平面ABEF ，CB AF ⊥∴ ,…… 2分又AB 为圆O 的直径，BF AF ⊥∴， ⊥∴AF 平面CBF 。

【三校联考】2016年江西师大附中、鹰潭一中、宜春中学高三文科联考数学试卷一、选择题（共12小题；共60分）1. 设集合，，则A. B. C. D.2. 设，则的共扼复数为A. B. C. D.3. 直线与圆相交于，两点，则“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4. 已知向量，．若向量在方向上的投影为，则实数A. B. C. D.5. 函数的部分图象如图所示，则的解析式可以是A. B.C. D.6. 在中，角，的对边分别为，且，，则的值是A. B. C. D.7. 某几何体的直观图如图所示，该几何体的正视图和侧视图可能正确的是A. B.C. D.8. 当，时，执行如图所示的程序框图，输出的值为A. B. C. D.9. 已知角的终边经过点，函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，则的值为A. B. C. D.10. 已知双曲线，过其左焦点作圆的两条切线，切点记作，，原点为，，其双曲线的离心率为A. B. C. D.11. 已知直线上存在点满足则实数的取值范围为A. B. C. D.12. 已知函数是定义域为的偶函数．当时，，若关于的方程，有且仅有个不同实数根，则实数的取值范围是A. B.C. D.二、填空题（共4小题；共20分）13. 从编号为，，，，的件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量是的样本，若编号为的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为．14. 若一个球的表面积为，现用两个平行平面去截这个球面，两个截面圆的半径为，，则两截面间的距离为．15. 已知数列的前项和为，，且满足，则．16. 设二次函数（，，为常数）的导函数为．对任意，不等式恒成立，则的最大值为．三、解答题（共8小题；共104分）17. 在中，角，，的对边分别是，，，满足．（1）求角的大小；（2）已知等差数列的公差不为零，若，且，，成等比数列，求的前项和．18. “ALS冰桶挑战赛”是一项社交网络上发起的筹款活动，活动规定：被邀请者要么在小时内接受挑战，要么选择为慈善机构捐款（不接受挑战），并且不能重复参加该活动．若被邀请者接受挑战，则他需在网络上发布自己被冰水浇遍全身的视频内容，然后便可以邀请另外个人参与这项活动．假设每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的，且互不影响．附：（1）若某参与者接受挑战后，对其他个人发出邀请，则这个人中至少有个人接受挑战的概率是多少?（2）为了解冰桶挑战赛与受邀者的性别是否有关，某调查机构进行了随机抽样调查，调查得到如下列联表：接受挑战不接受挑战合计男性女性合计根据表中数据，能否有的把握认为“冰桶挑战赛与受邀者的性别有关”?19. 如图，四棱锥中，，，侧面为等边三角形，，，．（1）证明：平面平面；（2）求点到平面的距离．20. 设抛物线：的准线被圆：所截得的弦长为．（1）求抛物线的方程；（2）设点是抛物线的焦点，为抛物线上的一动点，过作抛物线的切线交圆于，两点，求面积的最大值．21. 设函数，其图象在点处切线的斜率为．（1）求函数的单调区间（用只含有的式子表示）；（2）当时，令，设，是函数的两个根，是，的等差中项，求证：（为函数的导函数）．22. 已知的外接圆为圆，过的切线交的延长线于点，过作直线交，于点，，且．（1）求证：平分；（2）若，求的值．23. 已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）把的参数方程化为极坐标方程；（2）求与交点的极坐标（，）．24. 已知函数，．（1）当时，解不等式；（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围．答案第一部分1. C 【解析】，，．2. D 【解析】，根据共轭复数的定义，知其共扼复数是．3. A 【解析】当时，；反过来，由不能得知，此时可能取．因此“”是“的充分不必要条件．4. B 【解析】依题意得，解得．5. C【解析】图象关于原点对称且经过原点，故函数是奇函数，排除B，D；又，排除A．6. D 【解析】依题意得，，由正弦定理知．7. A 【解析】由几何体的直观图，可知该几何体可以看作由正方体割掉四个角后所得的几何体，如图所示，该几何体的正视图就是其在正方体的面上的投影，显然为正方形与的组合；该几何体的侧视图就是其在面上的投影，显然为正方形和的组合．综上，只有 A 选项正确．8. C 【解析】当，时，执行程序框图，第一次循环时，，，；第二次循环时，，，；第三次循环时，，，；第四次循环时，，此时结束循环，输出．9. D 【解析】由于角的终边经过点，可得，．再根据函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，可得周期为，解得，所以，所以．10. B【解析】连接，则有，，，于是有，即该双曲线的离心率是．11. A 【解析】在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域及直线，即，该直线的斜率是，过定点．结合图形可知，要使直线经过该平面区域内的点，则需，即，满足题意的实数的取值范围是．12. C 【解析】在坐标平面内画出函数的大致图象，当时，方程没有实根；当时，方程有唯一的实根；当或时，方程有两个不相等的实根；当时，方程有四个不相等的实根．令，则有，要使方程有且仅有个不同的实数根，则关于的方程的根满足，或，，．当，时，，即；当，时，，即．因此满足题意的实数的取值范围是．第二部分13.【解析】设该样本中产品的最小编号为，则该样本中产品的编号由小到大依次排列成以为首项、为公差的等差数列，该数列的通项公式为．，因此，该样本中产品的最大编号为．14. 或【解析】球的半径等于，球心到这两个截面的距离分别为，，因此这两个截面间的距离等于或．15.【解析】依题意得，即．又，因此数列是以为首项，为公比的等比数列，于是有，，．16.【解析】因为，对任意的恒成立，所以恒成立，故即故．令，则，当且仅当且时等号成立．故的最大值为．第三部分17. （1）因为，所以．所以．又，所以．（2）设的公差为，由已知得，且．所以．又不为零，所以．所以．所以．所以18. （1）这个人接受挑战分别记为，，，则，分别表示这个人不接受挑战．这个人参与该项活动的可能结果为，，，，，，，．共有种；其中，至少有个人接受挑战的可能结果有，，，，共有种．根据古典概型的概率公式，所求的概率为．（2）根据列联表，得到的观测值为因为，所以没有的把握认为“冰桶挑战赛与受邀者的性别有关”．19. （1）如图，取的中点，连接，，依题意四边形为矩形，所以．因为侧面为等边三角形，，则，且，而，所以满足，所以直角三角形，即．因为，所以平面，所以平面平面．（2）由（ ）可知平面，所以．因为，，所以平面，所以，所以．由题意可知四边形为梯形，且为高，所以．设点到平面的距离为，由于，则有，所以，所以，即点到平面的距离为．20. （1）因为抛物线的准线方程为，且直线被圆：所截得的弦长为，所以，解得．因此抛物线的方程为．（2）设，由于知直线的方程为，即．因为圆心到直线的距离为，所以．设点到直线的距离为，则，所以的面积当时取到“”，经检验此时直线与圆相交，满足题意．综上可知，的面积的最大值为．21. （1）函数的定义域为．，则，即．于是．①当时，，在上是单调减函数；②当时，令，得（舍负），所以在上是单调减函数，在上是单调增函数；③当时，若，则恒成立，在上为单调减函数；若，令，得（负舍），所以在上为单调增函数，在上为单调减函数．综上所述，若，的单调减区间为，单调增区间为；若，的单调减区间为；若，的单调增区间为，单调减区间为．（2）因为，，所以，即．因为的两零点为，，则相减得，因为，所以，于是令，，，则，则在上单调递减，则，又，则．22. （1）由得，，．因为是切线，所以，，所以平分．（2）由得．由得，所以，由，由．23. （1）将消去参数，化为普通方程为，即：．将代入，得．所以的极坐标方程为．（2）的普通方程为．联立，的方程解得或所以与交点的极坐标分别为，．24. （1）当时，由得，两边平方，整理得，解得或所以原不等式的解集为．（2）由，得．令，则作出函数的图象（如图所示），得，故所求实数的取值范围为．第11页（共11 页）。

江西师大附中 鹰潭一中重点中学 联考高三联考数学（文科）试卷【试卷综析】本试卷继续遵循了新课程高考方案的基本思想，试卷结构稳定，突出双基，重视能力，知识点广，容易上手，难度递增，区分提升，利于选拔，各种层次考生可以充分展现自己的真实能力。

首先考卷的结构基本是不变的，10个客观题5个填空题加6个主观题，6个主观题主要是考查三角函数、概率统计、立体几何、解析几何、数列、导数、函数这些东西。

然后从整体上看，本试卷更侧重于对重点模块的考察，这让大家也感觉比较舒服一些，因为毕竟平时的时候大家把更多的精力都放在这些重点模块上。

试题重点突出，层次分明，逐步深入，使学生解题入手容易，心理状态平和，正常发挥能力，自我满意程度提高。

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将答案填在答题卷相应表格内. 1．已知21,e e 是夹角为32π的两个单位向量，若向量2123e e a -=，则=⋅1e a A ．2 B ．4 C ．5 D ．7【思路点拨】求解两个向量的数量积等于两个向量的模长之积再乘以其夹角的余弦值.2．已知集合{}0122≥--=x x x A ，集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧--==2)1()13ln(2x y x B x ，则=B A I A ．)1,0( B ．]1,0( C ．),1(+∞ D ．),1[+∞ 【知识点】一元二次不等式的解法;函数的定义域;集合的交集运算．【答案解析】 C 解析确．【思路点拨】先求出A 、B 集合，再求它们的交集. 3．已知i 为虚数单位，R a ∈，若ia i+-2为纯虚数，则复数i a z 2)12(++=的模等于 A ．2 B ．3 C ．6 D ．11 【知识点】复数纯虚数的概念;复数的除法;复数的模长．【答案解析】 C 解析【思路点拨】先利用2ia i-+是纯虚数求出a 的值,把a 的值代入z 中用模长公式求出它的模长即可.4．已知等差数列{}n a 中，20132,a a 是方程0222=--x x 的两根，则=2014S A ．2014- B ．1007- C ．1007 D ．2014 【知识点】根与系数的关系;等差数列的性质;等差数列的前n 项和公式．【答案解析】 D 解析 ：解：因为20132,a a 是方程0222=--x x 的两根,则2a +2013a =2,120142201320142014()2014()201422a a a a S ++===g g ,答案D 正确．【思路点拨】由根与系数的关系求得2a +2013a =2,由等差数列的性质得1201422013a a a a +=+,再用等差数列的前n 项和公式()12n n n a a S +=得到结果. 5．已知命题:p 直线4π-=x 是曲线1)43sin(2)(++=πx x f 的对称轴；命题:q 抛物线24x y =的准线方程为.1-=x 则下列命题是真命题的是A ．p 且qB ．p 且q ⌝C ．p ⌝且qD ．p ⌝或q【知识点】简单的逻辑联结词;三角函数的对称轴;抛物线的准线方程． 【答案解析】 B 解析 ：解：令3,42x k k Z πππ+=+∈,解得4,3k x ππ+=当1k =-时,4x π=-,命题p 是真命题；抛物线化为标准方程为214x y =，准线方程是116y =-,命题q 是假命题,q ⌝是真命题,答案B 正确．6．如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”．给出下列函数：①x x x f cos sin )(=，②22sin 2)(+=x x f ，③)4sin(2)(π+=x x f ，④x x x f cos 3sin )(-=，其中属于“同簇函数”的是 A ．①② B ．①④ C ．②③ D ．③④【知识点】三角函数中的恒等变换应用;函数的图象与图象变化;函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换．【答案解析】 D 解析 ：解：①1()sin 22f x x =,振幅为12.②()2sin 22f x x =+,振幅为2.③()2sin()4f x x π=+,振幅为2.④()sin 3cos 2sin()3f x x x x π=-=-振幅为2.根据“同簇函数”的定义可知，两个函数的振幅必须相同，通过平移之后图象才能进行重合．故只有③④是“同簇函数,答案D 正确．【思路点拨】根据三角函数的关系将三角函数进行化简，结合“同簇函数”的定义进行判断即可.7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A ．316 B ．332 C ．16 D ．32 【知识点】由三视图求面积、体积．8．已知双曲线)0(13222>=-b by x 的左、右焦点分别为21,F F ，其一条渐近线方程为 x y 2=，点P 在该双曲线上，且821=⋅PF ，则=∆21F PF SA．4 B ．64 C ．8 D ．212 【知识点】渐近线方程;余弦定理;三角形的面积公式．【答案解析】 D 解析 ：解：由渐近线方程可求得b =则3c =.设向量1PF u u u r 与2PF u u ur 的夹角为θ,1212cos 8PF PF PF PF θ==u u u r u u u u r u u u r u u u u rg g (1),在三角形12PF F 中,由余弦定理得 22212124cos 2PF PF c PF PF θ+-=u u u r u u u u r u u u r u u u u rg (2),由双曲线的定义的12PF PF -=u u u r u u u u r联立三式得 1220PF PF =u u u r u u u u rg ,sin 5θ=,12121sin 2PF F S PF PF θ==V u u ur u u u u r 【思路点拨】先求出b,c 的值,再由向量的数量积、余弦定理和双曲线的定义求出两个向量的模的积和正弦值，最后由面积公式求的即可.9．已知定义在R 上的函数)(x f 满足(1)1f =，且对于任意的x ，21)(<'x f 恒成立，则 不等式22lg 1(lg )22x f x <+的解集为 A ．1(0,) B ．1(0,)(10,)+∞U C ．1(,10) D ．(10,)+∞102<,所以()g x 时减函数,又(1)1f =,所以1(1)2g =.222lg 1(lg )(lg )22x g x f x =-< (1)g =,即22lg 1(lg )22x f x <+,所以2lg 1x >,解得1010x <<或10x >,答案B 正确． 【思路点拨】设1()(),2g x f x x =-由1()2f x '<得()0g x '<是减函数,将所求不等式变形后,利用()g x 时减函数求出x 的范围.10．如图所示几何体中，AB ∥CD ∥EG ，ο90=∠ABC ， AB EG CD 21==，平面⊥BCEF 平面ABCD ，点M 为侧面BCEF 内的一个动点，若点M 到直线EG 的距离 与到平面ABCD 的距离相等，则点M 在侧面BCEF 内的轨迹是A ．一条线段B ．圆的一部分C ．抛物线的一部分D ．椭圆的一部分 【知识点】轨迹方程;圆锥曲线的定义、性质与方程．【答案解析】 C 解析 ：解：∵∠ABC=90°，平面BCEF ⊥平面ABCD ， ∴AB ⊥平面BCEF ，∵AB ∥EG ，∴EG ⊥平面BCEF ，∵EM ⊂平面BCEF ，∴EG ⊥EM ，即ME 为点M 到直线EG 的距离，∵点M 到直线EG 的距离与到平面ABCD 的距离相等，∴M 到定点E 的距离等于M 到直线BC 的距离，∴点M 在侧面BCEF 内的轨迹是抛物线的一部分．【思路点拨】先证明EG ⊥平面BCEF ，可得ME 为点M 到直线EG 的距离，由点M 到直线EG 的距离与到平面ABCD 的距离相等，可得M 到定点E 的距离等于M 到直线BC 的距离，利用抛物线的定义，即可得出结论.二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卷相应横线上.11．设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≤时，()232xf x x m =-+（m 为实常数），则(1)f = . 【知识点】奇函数的定义和性质． 【答案解析】 52-解析 ：解：因为()f x 是定义在R 上的奇函数,则(0)0f =,解得 12m =-,5(1)(1)2f f =--=-．【思路点拨】先求出m 的值,再利用奇函数的性质得到(1)(1)f f =--,解得即可.12．已知点),(y x P 是满足⎪⎩⎪⎨⎧≤->-≥+42244x y x y x 的区域内的动点，则12++x y 的取值范围是 .【知识点】简单的线性规划;斜率的坐标公式．【答案解析】 2,35⎡⎫⎪⎢⎣⎭解析 ：解：其可行域如下图所示,设21y k x +=+,由图象可知 当过点(4,0)时min 25k =,当过点(0,1)时max 3k =,又因为可行域不含(0,1)点,所以取值范围是2,35⎡⎫⎪⎢⎣⎭【思路点拨】画出可行域,由所求式子的可知是定点与可行域内点的斜率的取值范围. 13．如图是某算法的程序框图，当输出的结果100>T 时，整数s 的最小值是 .【答案解析】5 解析 ：解：k=2,T=2;k=3,T=11;k=4,T=92;k=5,T>100,所以整数s 的最小值为5.【思路点拨】根据框图依次写出每次循环的k 、T 的结果.14．已知x 是7,6,5,,3,2,1x 这七个数据的中位数，且y x -,,2,12这四个数据的平均数为1，则xy 1-的最小值为 ． 【知识点】中位数的意义;平均数的意义;最值求法．【答案解析】233 解析 ：解：根据题意235124x x y ≤≤⎧⎨++-=⎩,所以2111y x x x -=-- 15．已知偶函数)(x f 满足()(2)0f x f x -+=，且当]1,0[∈x 时，xe x xf ⋅=)(，若在区间]3,1[-内，函数k kx x f x g 2)()(--=有且仅有3个零点，则实数k 的取值范 围是 .【知识点】函数的周期性；函数奇偶性的性质．【答案解析】(,)53e e 解析 ：解：∵f （x ）-f （x+2）=0，∴f （x ）=f （x+2），即函数的周期是2，∵当x ∈[0，1]时，f （x ）=x •e x，∴根据增函数的性质可知，此时函数f （x ）单调递增，且f （0）=0，f （1）=e ，∴当x ∈[-1，0]时，f （x ）=f （-x ）=-x •e -x，由g （x ）=f （x ）-kx-2k=0，得到f （x ）=k （x+2），作出两个函数f （x ）和g （x ）=k （x+2）在[-1，3]的图象，由图象可知当x=1时，f （1）=e ， 当x=3时，f （3）=f （1）=e ，即B （1，e ），C （3，e ），当直线y=k （x+2）经过点B （1，e ）时，此时两个函数有2个交点，此时e=3k ，解得k=3e，直线y=k （x+2）经过点C （3，e ）时，此时两个函数有4个交点，此时e=5k ，解得k=5e，∴要想使函数g （x ）=f （x ）-kx-2k 有且仅有3个零点，则直线应该位于直线AB 和AC 之间，∴此时直线的斜率k 满足53e e k <<，故k 的取值范围是（,53e e），故答案为：（,53e e）． 【思路点拨】由f （x ）-f （x+2）=0得f （x ）=f （x+2），得到函数的周期是2，由g （x ）=f （x ）-kx-2k=0，得到f （x ）=k （x+2），作出两个函数的图象，利用数形结合即可得到结论.三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）先将函数)232cos()(π+=x x f 的图象上所有的点都向右平移12π个单位，再把所有 的点的横坐标都伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数)(x g y =的图象. （1）求函数)(x g 的解析式和单调递减区间； （2）若A 为三角形的内角，且31)(=A g ，求)2(A f 的值.【知识点】诱导公式;三角函数图象的变换;三角函数单调区间的求法;两角的和与差公式．【答案解析】 解析 ：(1）x x x f 2sin )232cos()(=+=πΘ，∴依题意，有)6sin()(π-=x x g ，由πππππk x k 223622+≤-≤+得：ππππk x k 235232+≤≤+，.Z k ∈ )6sin()(π-=∴x x g ，且它的单调递减区间为).](235,232[Z k k k ∈++ππππ………………………………………………………………6分（2）由（1）知，31)6sin()(=-=πA A g ， π<<A 0Θ， 6566πππ<-<-∴A ， 又2131)6sin(0<=-<πA ，260ππ<-<∴A ， .322)6cos(=-∴πA∴.6322213222331]6)6sin[(sin )2(+=⨯+⨯=+-==ππA A A f ………………………………………………………………12分．【思路点拨】利用诱导公式化简函数f(x),根据平移变换和伸缩变换得到函数g(x)的解析式，再利用正弦函数的递减区间求得函数g(x)的减区间；利用（1）的结论求得sin()6A π-和cos()6A π-的值，再利用两角的和与差公式求得即可.17．（本小题满分12分）某工厂生产,A B 两种元件，其质量按测试指标φ划分为：5.7≥φ为正品，5.7<φ为 次品．现从一批产品中随机抽取这两种元件各5件进行检测，检测结果记录如下：由于表格被污损，数据y x ,看不清，统计员只记得x y <，且,A B 两种元件的检测数 据的平均数相等，方差也相等． （1）求表格中x 与y 的值；（2）若从被检测的5件B 种元件中任取2件，求取出的2件都为正品的概率． 【知识点】平均数和方差的计算公式;基本事件;古典概型的应用．17.【答案解析】 解析 ：(1)Θ8)5.995.777(51=++++=A x ，)5.85.86(51y x x B ++++=，∴由B A x x =得：17x y += ①，又1.1)25.2125.011(512=++++=A s ， ])8(25.025.0)8(4[51222-+++-+=y x s B ， ∴由22B A s s =得：228+8=1x y --（）（）． ② 由①②及y x <解得：8,9x y ==． …………………………6分（2）记被检测的5件B 种元件分别为12345,,,,B B B B B ，其中2345,,,B B B B 为正品，从中任取2件,共有10个基本事件，列举如下:),,(),,(),,(413121B B B B B B).,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(54534352423251B B B B B B B B B B B B B B记“2件都为正品”为事件C ，则事件C 包含以下6个基本事件： ),,(),,(),,(),,(),,(),,(545343524232B B B B B B B B B B B B ∴63()105P C ==，即2件都为正品的概率为35. …………………………12分．【思路点拨】利用平均数和方差的定义获得关于x 、y 的方程组，求出x 、y 的值;用列举法求出满足题意的概率. 18．（本小题满分12分） 已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，ο90=∠=∠BAD ABC ，42===AD BC AB ， M 是BC 边的中点，F E ,分别是,AB CD 上的点，且EF ∥BC ，设x AE =． 如图，沿EF 将四边形AEFD 折起，使平面AEFD ⊥平面.EBCF （1）当2=x 时，求证：EM BD ⊥； （2）当x 变化时，求四棱锥BCFE D - 的体积)(x f 的函数式．【知识点】面面垂直的性质;线面垂直的判定及性质;锥体的体积公式. 【答案解析】 解析 ：（1）证明：如图，作EF DH ⊥于H ，连结EM MH BH ,,， Θ平面⊥AEFD 平面EBCF ，⊥∴DH 平面EBCF .又⊂EM 平面EBCF ， .DH EM ⊥∴BC AD EH 21==Θ，EF ∥BC ，ο90=∠EBC ， ∴四边形BMHE 为正方形， .BH EM ⊥∴ ⊥∴EM 平面.BDH又⊂BD 平面BDH ，.BD EM ⊥∴ ………6分（2）由（1）知，x AE DH ==为四棱锥BCFE D -的高，x AE =Θ， x BE -=∴4，x EF 212+=， 2111()(24)(4)2221212.4BCFE S EF BC BE x x x x ∴=+⋅=++⋅-=--+ .43212131)(23x x x x S x f BCFE +--=⋅=∴……12分 【思路点拨】利用面面垂直的性质作出DH 垂直EF 于H,易得BMHE 为正方形,所以ME 垂直BH,又DH垂直EM,所以EM 垂直平面BHD,所以EM 垂直BD;由比例线段易得EF 的长,再用锥体体积公式得函数f(x)的解析式. 19．（本小题满分12分）已知各项均为正数的等比数列{}n a 的首项21=a ，n S 为其前n 项和，若1325,,3S S S 成等差数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n n a b 2log =，12+=n n n b b c ，记数列{}n c 的前n 项和为n T . 若对于任意的 *N n ∈，)4(+≤n T n λ恒成立，求实数λ的取值范围.【知识点】等差、等比数列求解基本量；裂项相消法求和；基本不等式.【答案解析】（1）2n n a =；（2）).,92[+∞解析 ：解：（1）设{}n a 的公比为q .∵2313,,5S S S 成等差数列，.352213S S S +=∴即)(35)(21112111q a a a q a q a a ++=++，化简得0622=--q q ，解得：2=q 或.23-=q 由已知，.2=q .2n n a =∴ ……………6分 （2）由n n a b 2log =得.2log 2n b n n ==).111(2)1(221+-=+==∴+n n n n b b c n n n ).111(2)1113121211(2+-=+-++-+-=∴n n n T n Λ …………9分542)4)(1(2)4(++=++≥⇔+≤∴nn n n n n T n λλ 954254=+⋅≥++n n n n Θ，当且仅当nn 4=即2=n 时等号成立，.92542≤++∴nn ∴实数λ的取值范围是).,92[+∞ ………12分 【思路点拨】（1）先通过2313,,5S S S 成等差数列，解得q,然后写出通项.（2）先用裂项相消法求和n T ，然后利用基本不等式即可. 20．（本小题满分13分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C ，直线)(03)21()3(R m m y m x m ∈=---++恒过的定点F 为椭圆的一个焦点，且椭圆上的点到焦点的最大距离为3.（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线MN 为垂直于x 轴的动弦，且N M ,均在椭圆C 上，定点)0,4(T ，直线 MF 与直线NT 交于点S ．①求证：点S 恒在椭圆C 上； ②求MST ∆面积的最大值．【知识点】直线恒过定点的问题；椭圆方程的求法；根与系数的关系；基本不等式.【答案解析】 （1）.13422=+y x （2）①略；②92解析 ：解：（1）直线)(03)21()3(R m m y m x m ∈=---++可化为 033)12(=-++--y x y x m ， 由⎩⎨⎧=-+=--033012y x y x 得⎩⎨⎧==01y x ，)0,1(F ∴， 1=∴c ， 又3=+c a ， 2=∴a ，.3222=-=∴c a b∴椭圆的方程为.13422=+y x ………………………5分 （2）①设直线MN 的方程为s x =，则可设),(),,(t s N t s M -，且.124322=+t s直线MF 的方程为)1(1--=x s t y ，直线NT 的方程为).4(4---=x s ty联立求得交点)523,5285(---s ts s S ，代入椭圆方程124322=+y x 得，222)52(1236)85(3-=+-s t s ，化简得：.124322=+t s ∴点S 恒在椭圆C 上. ……………………………9分②直线MS 过点)0,1(F ，设其方程为1+=my x ，).,(),,(2211y x S y x M联立⎩⎨⎧=++=1243122y x my x 得096)43(22=-++my y m ， .439,436221221+-=+-=+∴m y y m m y y 2222122112)43(1184)(23321++=-+=-⨯=∆m m y y y y y y S MST， 令)1(12≥+=u m u ，则.6191)13()43(12222++=+=++uu u u m m u u 19+Θ在),1[+∞上是增函数， uu 19+∴的最小值为10..294118=⨯≤∴∆MST S ………………………………………13分【思路点拨】（1）找出直线恒过的定点，再解椭圆中的基本量.（2）①直线方程联立解出坐标后代入进行整理即可. ②直线方程与椭圆方程联立，找出根与系数的关系后利用基本不等式求出最小值. 21．（本小题满分14分） 设函数2()2(4)ln f x ax a x x =+++． （1）若()f x 在14x =处的切线与直线40x y +=平行，求a 的值； （2）讨论函数()f x 的单调区间；（3）若函数()y f x =的图象与x 轴交于,A B 两点，线段AB 中点的横坐标为0x ， 求证：0()0f x '<．【知识点】导数的几何意义；两直线平行的充要条件；利用导数研究函数的单调性；利用导数证明不等式.【答案解析】 （1）.6-=a （2）)(x f 的单调递增区间为)1,0(a -，递减区间为).,1(+∞-a（3）略- 11 - 解析 ：解：（1）由题知)(x f 的定义域为),0(+∞，且xx a ax x f 1)4(4)(2+++='． 又∵)(x f 的图象在41=x 处的切线与直线04=+y x 平行， ∴4)41(-='f ，即.4]141)4(1614[4-=+⨯++⨯a a 解得.6-=a ………4分 （2）x ax x x x a ax x f )1)(14(1)4(4)(2++=+++='，由0>x ，知xx 14+>0． ①当0≥a 时，对任意0)(,0>'>x f x ，)(x f 在),0(+∞上单调递增。

江西省师大附中、鹰潭一中2015届高三下4月联考数学（文）试题第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合A ＝{x|x 2－2x －3<0}，B ＝{y|y ＝2x ，x ∈[0,2]}，则A ∩B ＝（ ） A ．[0,2] B ．（1,3） C ．[1,3） D ．（1,4） 2．设z ＝i i-310，则z 的共轭复数为（ ）A ．－1＋3iB ．－1－3iC ．1＋3iD ．1－3i3．直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“AB =的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知向量a ＝（1，3），b ＝（3，m ）．若向量b 在a 方向上的投影为3，则实数m ＝（ ） A ．2 3 B ． 3 C ．0 D ．－ 3 5．函数f （x ）的部分图像如图所示，则f （x ）的解析式可以是（ ） A ．f （x ）＝x ＋sinxB ．f （x ）＝cosxxC ．f （x ）＝xcosxD ．f （x ）＝x （x －π2）（x －3π2）6． 在ABC ∆中，角A 、B 的对边分别为a 、b 且2A B =，3sin 5B =，则ab的值是（ ）A ．35B ．45C ．43D ．857．某几何体的直观图如图所示，该几何体的正视图和侧视图可能正确的是（ ）8．当m ＝6，n ＝3时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ） A ．6 B ．30 C ．120 D ．3609．已知角φ的终边经过点P （－4，3），函数()sin()f x x ωφ=+（ω>0）的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于2π，则()4f π的值为（ ）A ．35B ．45 C ．－35D ． －4510．已知双曲线22221x y a b -=，过其左焦点F 作圆222x y a +=的两条切线，切点记作C ，D ,原点为O ,23COD π∠=，其双曲线的离心率为（ ）A ．32B ．2 CD11．已知直线10mx y m ++-=上存在点(,)x y 满足302301x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪>⎩则实数m 的取值范围为（ ）A ．（-12，1） B ．[-12，1] C ．（-1，12） D ．[-1，12] 12．已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数． 当0x ≥时，5sin , 0x 2 44()1() 1 , x 22x x f x π⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩， 若关于x 的方程2[()]()0f x af x b ++=（,a b R ∈）,有且仅有6个不同实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．5(,1)2--B ．59(,)24--C ．599(,)(,1)244---- D ．9(-1)4-，第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分．第（13）题—第（21）题为必考题，每个考生都必须作答．第（22）题—第（24）题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2023届江西省八所重点中学高三联考文科数学试题及参考答案考试时间：120分钟分值：150分注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、非选择题的作答：用黑色墨水笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、考试结束，监考员只需将答题卡收回装订。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知{}2230A x x x =-->，{}ln 0B x x =>，则A B = （）A.()1,+∞B.()3,+∞C.()1,3D.(),1-∞-2.已知i 为虚数单位，复数()()()12i i a a R --∈是实数，则a 的值是（）A.2B.2- C.12-D.123.设向量(),3a m = ，()1,2b = ，()2c a b =- .若a c =，则m =（）A.1B.1- C.2D.2-4.若1:10l x my --=与()2:2310l m x y --+=是两条不同的直线，则“1m =-”是“12l l ∥”的（）A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件5.已知()1sin 243θ︒-=，则()()cos 66cos 2282θθ︒++︒-=（）A.29B.49C.29-D.49-6.ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若2sin sin cos 2sin A B C C =，则222a b c +=（）A.5B.4C.3D.27.已知一组数据1231,31,,31n x x x --- 的方差为1，则数据12,,,n x x x 的方差为（）A.3B.1C.13D.198.设函数()121x f x e-=-，则（）A.()f x 关于()0,1-对称B.()f x 关于()0,0对称C.()f x 关于1x =对称D.()f x 关于()1,1-对称9.刍（chú）甍（méng ）是中国古代算数中的一种几何体，其结构特征是：底面为长方形，上棱和底面平行，且长度不等于底面平行的棱长的五面体，是一个对称的楔形体.已知一个刍甍底边长为6，底边宽为4，上棱长为2，高为2，则它的表面积是（）A.242B.24242+C.24245+ D.2416285++10.已知1F ，2F 分别是双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的左、右焦点，焦距为4，若过点1F 且倾斜角为6π的直线与双曲线的左、右支分别交于A ，B 两点，2122ABF AF F S S =△△，则该双曲线的离心率为（）A.2B.3C.433D.23311.已知直三棱柱111ABC A B C -中，11AB AA ==，3BC AC =，当该三棱柱体积最大时，其外接球的体积为（）A.2053π B.556π C.4327π D.559π12.设0.1cos 0.1a =，sin 0.1b =，0.5sin 0.2c =，则（）A.a b c<< B.c a b<< C.b a c<< D.a c b<<二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

江西省5市重点中学2023届高三下学期阶段性联考数学（文科）考生注意：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.2.请将各题答案填写在答题卡上.3.本试卷主要考试内容：高考全部内容.第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}3A x x =<，{}21B x x =-<，则A B = （ ）A. {}13x x << B. {}1x x <C. {}3x x <D. ∅2. 若复数z 满足2i 2iz=-，则1z +=（ ）A.B.C. 5D. 173. 函数2221,0()log 1,0x x x f x x x ⎧--≥⎪=⎨+<⎪⎩，则()()1f f =（ ）A. －2B. －1C. 1D. 24. 已知双曲线2222:1x y C a b-=（00a b >>，）的一条渐近线的斜率为2，焦距为=a （ ）A. 1B. 2C. 3D. 45. 已知向量2= a ，1= b，且3a b -= ,a b的夹角是（ ）A.5π6B.π6C.2π3D.π36. 在直三棱柱111ABC A B C -中，ABC 是等边三角形，12AA AB =，D ，E ，F 分别是棱11B C ，1CC ，1AA 的中点，则异面直线BE 与DF 所成角的余弦值是（ ）A.B.C.D.7. 某校举行校园歌手大赛，5名参赛选手的得分分别是9，8.7，9.3，x ，y .已知这5名参赛选手的得分的平均数为9，方差为0.1，则x y -=（ ） A. 0.5B. 0.6C. 0.7D. 0.88. 设函数()f x 的导函数为()f x '，若()f x 在其定义域内存在0x ，使得()()00f x f x '=，则称()f x 为“有源”函数.已知()ln 2f x x x a =--是“有源”函数，则a 的取值范围是（ ） A. (],1-∞- B. ()1,-+∞ C.(],ln 21-∞--D. ()ln 21,--+∞9. 如图，这是第24届国际数学家大会会标的大致图案，它是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.现用红色和蓝色给这4个三角形区域涂色，每个区域只涂一种颜色，则相邻的区域所涂颜色不同的概率是（ ）A.18B.14C.13D.1210. 已知函数()π2cos 2sin 23f x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则（ ） A. ()f x 的最小正周期是πB. ()f x 在ππ,64⎡⎤⎢⎣⎦上单调递增C. ()f x 的图象关于点()ππ,0212k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z 对称D. ()f x 在π,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域是⎡-⎢⎣11. 已知球O 的半径为2，圆锥内接于球O ，当圆锥的体积最大时，圆锥内切球的半径为（ ）A.1-B.1+C.D.12. 在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c .已知cos cos b A a B a -=，则22sin B A +的取值范围是（ ）A()1B. ()1+C. (]1,3D. (]2,3第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.的.13. 已知实数,x y 满足约束条件3023x y x y --≤⎧⎪≥⎨⎪≤⎩，则z x y =+的最大值为______.14. 已知α是第二象限角，且π1sin 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πsin 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭______． 15. 已知()f x 是定义在[44]-，上的增函数，且()f x 的图像关于点(01)，对称，则关于x 的不等式()()23350f x f x x +-+->的解集为______________.16. 已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，过点F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，且直线1l ，2l 分别与抛物线C 交于A ，B 和D ，E ，则四边形ADBE 面积的最小值是______________.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17. 国际足联世界杯（FIFA World Cup ），简称“世界杯”，是由全世界国家级别球队参与，象征足球界最高荣誉，并具有最大知名度和影响力的足球赛事.2022年卡塔尔世界杯共有32支球队参加比赛，共有64场比赛.某社区随机调查了街道内男、女球迷各200名，统计了他们观看世界杯球赛直播的场次，得到下面的列联表：少于32场比赛不少于32场比赛总计 男球迷 20a +20a +女球迷 40+aa 总计（1）求a 的值，并完成上述列联表；（2）若一名球迷观看世界杯球赛直播的场次不少于32场比赛，则称该球迷为“资深球迷”，请判断能否有95%的把握认为该社区的一名球迷是否为“资深球迷”与性别有关.参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：()20P K k ≥0.10 0.05 0.010 0.001 0k2.7063.8416.63510.82818. 已知正项数列{}n a 的前n 项和n S 满足242n n n S a a =+.（1）求{}n a 通项公式； （2）设1(2)n n n b a a =+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：14n T <.19. 如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是直角梯形，AD AB ⊥，//AB CD ，22PB CD AB AD ===，PD =，PC DE ⊥，E 是棱PB 的中点.（1）证明：PD ⊥平面ABCD ；（2）若F 是棱AB 的中点，2AB =，求点C 到平面DEF 的距离.20. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，E，斜率为k 的直线l 过E 的左焦点，且直线l 与椭圆E 相交于A ，B 两点. （1）若1k =，83AB =，求椭圆E 标准方程； （2）若215AF AF =，2112BF BF =，0k <，求k 值. 21. 已知函数()2e e 7xf x ax =-+-.（1）当2a =时，求曲线()y f x =在2x =处的切线方程； （2）若对任意的0x ≥，27()4f x x ≥恒成立，求a 的取值范围. （二）选考题：共10分.请考生从第22，23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一个题目计分.［选修4—4：坐标系与参数方程］22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为23cos 3sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），以坐标原点O 为极的的的点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程是2cos sin 10ρθρθ--=. （1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； （2）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，点()0,1P -，求11PA PB+的值. ［选修4—5：不等式选讲］23. 已知函数()23f x x x =-++. （1）求()f x 的最小值；（2）若[]3,2x ∈-，不等式()f x x a ≥+恒成立，求a 的取值范围.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}3A x x =<，{}21B x x =-<，则A B = （ ）A. {}13x x << B. {}1x x <C. {}3x x <D. ∅【答案】A 【解析】【分析】解不等式求得集合B ，由交集定义可求得结果.【详解】由21x -<得：1x >，即{}1B x x =>，{}13A B x x ∴⋂=<<. 故选：A. 2. 若复数z 满足2i 2iz=-，则1z +=（ ）A.B.C. 5D. 17【答案】C 【解析】【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出． 【详解】∵2i 2iz=-， ∴()2i 2i 24i z =-=+，∴134i 5z +=+==.故选：C .3. 函数2221,0()log 1,0x x x f x x x ⎧--≥⎪=⎨+<⎪⎩，则()()1f f =（ ）A. －2B. －1C. 1D. 2【答案】D 【解析】【分析】根据函数解析式，从里到外计算即可.【详解】由2221,0()log 1,0xx x f x x x ⎧--≥⎪=⎨+<⎪⎩，得()11212f =--=-， 则()()()12112ff f =-=+=.故选：D.4. 已知双曲线2222:1x y C a b-=（00a b >>，）的一条渐近线的斜率为2，焦距为=a （ ）A 1B. 2C. 3D. 4【答案】A 【解析】【分析】根据题意列式求解,,a b c ，即可得结果.【详解】由题意可得：22222c ba ab c⎧=⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎩，解得12a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩.故选：A.5. 已知向量2= a ，1= b，且3a b -= ,a b的夹角是（ ）A.5π6B.π6C.2π3D.π3【答案】D 【解析】 【分析】由237a b-=可求得a b ⋅，根据向量夹角公式可求得结果.【详解】2223691367a b a a b b a b -=-⋅+=-⋅= ，1a b ∴⋅= ，1cos ,2a b a b a b ⋅∴<>==⋅ ，又[],0,πa b <>∈ ，π,3a b ∴<>= . .故选：D.6. 在直三棱柱111ABC A B C -中，ABC 是等边三角形，12AA AB =，D ，E ，F 分别是棱11B C ，1CC ，1AA 的中点，则异面直线BE 与DF 所成角的余弦值是（ ）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】取等边△ABC AC 边的中点O ，以O 为原点建立空间直角坐标系，运用异面直线所成角的计算公式即可得结果.【详解】取等边△ABC 的AC 边的中点O ，连接OB ，则OB AC ⊥，过O 作1AA 的平行线，则以O 为原点，分别以OB 、OC 、Oz 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，设等边△ABC 的边长为2，则B ，(0,1,2)E，1,4)2D ，(0,1,2)F -，∴(2)BE =，3(,2)2DF =--，∴|||cos ,|||||BE DF BE DF BE DF ⋅<===. 所以异面直线BE 与DF7. 某校举行校园歌手大赛，5名参赛选手的得分分别是9，8.7，9.3，x ，y .已知这5名参赛选手的得分的平均数为9，方差为0.1，则x y -=（ ） A. 0.5 B. 0.6C. 0.7D. 0.8【答案】D 【解析】的【分析】先由平均数和方差分别得到x y +和22x y +的值，再整体代入计算x y -的值即可.【详解】因为平均数为98.79.395x y++++=，所以18x y +=.因为方差为22222(99)(8.79)(9.39)(9)(9)0.15x y -+-+-+-+-=所以2222(9)(9)18181620.32x y x y x y -+-=+--+=， 所以22162.32x y +=，又因为222()2324x y x y xy +=++=， 所以2161.68xy =，所以222()20.64x y x y xy -=+-=，所以0.8x y -==.故选：D.8. 设函数()f x 的导函数为()f x '，若()f x 在其定义域内存在0x ，使得()()00f x f x '=，则称()f x 为“有源”函数.已知()ln 2f x x x a =--是“有源”函数，则a 的取值范围是（ ） A. (],1-∞- B. ()1,-+∞ C.(],ln 21-∞--D. ()ln 21,--+∞【答案】A 【解析】【分析】根据“有源”函数概念，转化为函数有解问题，利用导函数求出函数值域即可得到参数a 范围 【详解】∵()ln 2f x x x a =--，∴1()2f x x'=-， 由是“有源”函数定义知，存在0x ，使得0001ln 22x x a x --=-，即0001ln 22a x x x =--+有解， 记()000001ln 22,(0)g x x x x x =--+>，所以a 的取值范围是就是函数()0g x 的值域， 则()200000222000021(21)(1)112x x x x g x x x x x -++-+-=-+=='， 当001x <<时，()00gx '>，此时()0g x 单调递增，当01x >时，()00g x '<，此时()0g x 单调递减，的所以()()01ln12121g x g ≤=--+=-，所以1a ≤-， 即a 的取值范围是(],1-∞-. 故选：A9. 如图，这是第24届国际数学家大会会标的大致图案，它是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.现用红色和蓝色给这4个三角形区域涂色，每个区域只涂一种颜色，则相邻的区域所涂颜色不同的概率是（ ）A.18B.14C.13D.12【答案】A 【解析】【分析】根据古典概型概率的计算公式即可求解. 【详解】将四块三角形区域编号如下，由题意可得总的涂色方法有4216=种，若相邻的区域所涂颜色不同，即12同色，34同色，故符合条件的涂色方法有2种， 故所求概率21168P ==. 故选：A10. 已知函数()π2cos 2sin 23f x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则（ ） A. ()f x 的最小正周期是π B. ()f x 在ππ,64⎡⎤⎢⎣⎦上单调递增C. ()f x 的图象关于点()ππ,0212k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z 对称D. ()f x 在π,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域是⎡-⎢⎣【答案】B 【解析】【分析】利用两角和差余弦公式、二倍角和辅助角公式可化简得到()πsin 43f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，利用正弦型函数最小正周期、单调性、对称中心和值域的求法依次判断各个选项即可.【详解】()212cos 22sin 22sin 2cos 22f x x x x x x x ⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭1π4sin 4sin 423x x x ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭； 对于A ，()f x 的最小正周期2ππ42T ==，A 错误； 对于B ，当ππ,64x ∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，π4π4π,33x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，此时πsin 43y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭单调递减， ()f x \在ππ,64⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，B 正确； 对于C ，令()π4π3x k k +=∈Z ，解得：()ππ412k x k =-∈Z ，此时()0f x =， ()f x \的图象关于点()ππ,0412k k ⎛⎫-∈⎪⎝⎭Z 对称，C 错误； 对于D ，当π,04x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，π2ππ4,333x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，则πsin 43x ⎡⎛⎫+∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣，()f x \在π,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D 错误. 故选：B.11. 已知球O 的半径为2，圆锥内接于球O ，当圆锥的体积最大时，圆锥内切球的半径为（ ）A.1-B.1+C.D.【答案】C 【解析】【分析】设圆锥的底面半径为r，体积(21π23V r =+求导判断单调性求出r 的值，再根据圆锥内切球的半径等于圆锥轴截面的内切圆的半径求解内切球半径. 【详解】设圆锥的底面半径为r，则圆锥的高为2+，所以圆锥的体积(21π23V r =，[)0,2t =∈，则224r t =-，所以()21()π4(2)3V t t t =-+. 因为1()π(2)(32)3V t t t '=-+-， 所以()V t 在20,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，在2,23⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 所以当23t =，即r =83. 因为圆锥内切球的半径等于圆锥轴截面的内切圆的半径，所以圆锥内切球的半径2S R a b c ===++. 故选：C12. 在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知cos cos b A a B a -=，则22sin B A +的取值范围是（ ）A. ()1B. ()1+C. (]1,3D. (]2,3【答案】B 【解析】【分析】根据题意利用正弦定理可得2B A =22sin B A +，并求A 取值范围，结合正弦函数分析运算即可.【详解】因为cos cos b A a B a -=，由正弦定理可得sin cos sin cos sin B A A B A -=，则sin()sin B A A -=， 因为π02A <<，π02B <<，则ππ22B A -<-<， 所以B A A -=，即2B A =，2π2sin 2cos 212sin 216B A A A A ⎛⎫+=-+=-+ ⎪⎝⎭，的因为π02π022π0π32A A A ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<-<⎪⎩，解得ππ64A <<，所以πππ2663A <-<，则π22sin 2116A ⎛⎫<-+< ⎪⎝⎭，22sin B A +的取值范围是()1+. 故选：B.第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13. 已知实数,x y 满足约束条件3023x y x y --≤⎧⎪≥⎨⎪≤⎩，则z x y =+的最大值为______.【答案】9 【解析】【分析】由约束条件作出可行域，将问题转化为y x z =-+在y 轴截距最大值的求解，采用数形结合的方式可求得结果.【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示，当z x y =+取得最大值时，y x z =-+在y 轴截距最大， 由图形可知：当y x z =-+过点A 时，在y 轴截距最大， 由330y x y =⎧⎨--=⎩得：63x y =⎧⎨=⎩，即()6,3A ，max 639z ∴=+=.故答案为：9.14. 已知α是第二象限角，且π1sin 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πsin 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭______．【答案】 【解析】【分析】利用同角三角函数关系和二倍角正弦公式可直接求得结果. 【详解】αQ 是第二象限角，()π2ππ2π2k k k α∴+<<+∈Z ， ()2ππ7π2π2π366k k k α∴+<+<+∈Z，πcos 6α⎛⎫∴+== ⎪⎝⎭，πππ1sin 22sin cos 23663ααα⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=++=⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝.故答案为：. 15. 已知()f x 是定义在[44]-，上增函数，且()f x 的图像关于点(01)，对称，则关于x 的不等式()()23350f x f x x +-+->的解集为______________.【答案】(12]，【解析】【分析】观察不等式，结合函数()f x 的性质，构造新函数()()1g x f x x =+-，为[]4,4-上的增函数和奇函数，再利用其奇函数和增函数的性质求解不等式即可.【详解】设函数()()1g x f x x =+-，因为()f x 的图像关于点(01)，对称，所以()g x 的图像关于原点对称，故()g x 为定义在[44]-，上的奇函数， 因为()f x 是定义在[44]-，上的增函数，所以()g x 也是定义在[44]-，上的增函数， 由()()23350f x f x x +-+->，得()()2213310f x x f x x +-+-+-->， 即()()230g x g x +->，即()()()233g x g x g x >--=-，则23424434x x x x >-⎧⎪-≤≤⎨⎪-≤-≤⎩，，， 解得12x <≤，即不等式的解集为(12]，. 故答案为: (12]，. 16. 已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，过点F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，且直线1l ，2l 分别与抛物线C 交于A ，B 和D ，E ，则四边形ADBE 面积的最小值是______________. 【答案】128的【解析】【分析】由题意可得(2,0)F ，直线1l 的斜率存在且不为0，设直线1l ：2x my =+，联立抛物线方程，利用韦达定理和弦长公式求出AB ，由于直线1l ，2l 互相垂直，可得21:2l x y m=-+，用同样的方法求出DE ，根据四边形的面积公式和均值不等式，即可求其最小值.【详解】由题意可得(2,0)F ，直线1l 的斜率存在且不为0，设直线1l ：()20x my m =+≠，()11,A x y ，()22,B x y ， 由于直线1l ，2l 互相垂直，则21:2l x y m=-+， 联立282y x x my ⎧=⎨=+⎩，整理得28160y my --=，则128y y m +=，1216y y =-，从而28(1)AB m ==+，同理可得218(1)DE m=+， 四边形ADBE 的面积222211132(1)(1)32(2)3221282S AB DE m m m m ⎛⎫==++=++≥= ⎪ ⎪⎝⎭，当且仅当221m m=，即1m =±时，等号成立，即四边形ADBE 面积的最小值是128， 故答案为：128.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17. 国际足联世界杯（FIFA World Cup ），简称“世界杯”，是由全世界国家级别球队参与，象征足球界最高荣誉，并具有最大知名度和影响力的足球赛事.2022年卡塔尔世界杯共有32支球队参加比赛，共有64场比赛.某社区随机调查了街道内男、女球迷各200名，统计了他们观看世界杯球赛直播的场次，得到下面的列联表：少于32场比赛不少于32场比赛总计 男球迷 20a +20a +女球迷 40+aa 总计（1）求a 的值，并完成上述列联表；（2）若一名球迷观看世界杯球赛直播的场次不少于32场比赛，则称该球迷为“资深球迷”，请判断能否有95%的把握认为该社区的一名球迷是否为“资深球迷”与性别有关.参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：()20P K k ≥0.10 0.05 0.010 0.001 0k2.7063.8416.63510.828【答案】（1）80a =，列联表见解析（2）有95%的把握认为该社区的一名球迷是否为“资深球迷”与性别有关 【解析】【分析】（1）根据球迷总人数可构造方程求得a 的值，进而补全列联表； （2）由列联表数据可计算得到2 4.040 3.841K ≈>，对比临界值表可得结论. 【小问1详解】由题意得：()()()202040200200a a a a ++++++=+，解得：80a =； 补全列联表如下：少于32场比赛不少于32场比赛总计男球迷 100100 200 女球迷12080200总计 220 180 400【小问2详解】由（1）得：()2240010080100120400 4.040 3.84120020022018099K ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯， ∴有95%的把握认为该社区的一名球迷是否为“资深球迷”与性别有关.18. 已知正项数列{}n a 的前n 项和n S 满足242n n n S a a =+.（1）求{}n a 的通项公式； （2）设1(2)n n n b a a =+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：14n T <.【答案】（1）2n a n =（2）证明见解析 【解析】【分析】（1）利用,n n a S 的关系，结合已知条件以及等差数列的通项公式即可求得结果； （2）根据（1）中所求，利用裂项求和法求得n T ，即可证明. 【小问1详解】由242n n n S a a =+，得211142(2)n n n S a a n ---=+≥，两式相减得2211422n n n n n a a a a a --=-+-，整理可得11()(2)0n n n n a a a a --+--=.因为0n a >，所以12(2)n n a a n --=≥.当1n =时，21111442S a a a ==+，0n a >，则12a =，所以{}n a 是首项为2，公差为2的等差数列，所以2n a n =. 【小问2详解】 由（1）知，11111(2(22)4(1)41n b n n n n n n ===-+++，所以111111[(1()(42231n T n n =-+-++-+ ， 即11(1)41n T n =-+， 因为101n >+，所以14n T <. 19. 如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是直角梯形，AD AB ⊥，//AB CD ，22PB CD AB AD ===，PD =，PC DE ⊥，E 是棱PB 的中点.（1）证明：PD ⊥平面ABCD ；（2）若F 是棱AB 的中点，2AB =，求点C 到平面DEF 的距离. 【答案】（1）证明见解析（2 【解析】【分析】（1）由线面垂直判定可证得DE ⊥平面PBC ，进而得到DE BC ⊥；利用勾股定理和线面垂直的判定得到BC⊥平面PBD ，从而得到BC PD ⊥；利用勾股定理可证得PD BD ⊥，由此可得结论；（2）设点C 到平面DEF 的距离为d ，利用等体积转换的方式，由C DEF E CDF V V --=，结合棱锥体积公式可构造方程求得结果. 【小问1详解】 连接BD ，AB AD =，AB AD ⊥，BD ∴=，又PD =，PD BD ∴=，E 为棱PB 中点，DE PB ∴⊥，又PC DE ⊥，PC PB P = ，,PC PB ⊂平面PBC ，DE ∴⊥平面PBC ，又BC ⊂平面PBC ，DE BC ∴⊥；在直角梯形ABCD 中，取CD 中点M ，连接BM ，2CD AB = ，DM AB ∴=，又//DM AB ，AB AD =，AB AD ⊥，∴四边形ABMD 为正方形，BM AD ∴=，BM CD ⊥，BC ∴===，又BD =，222BD BC CD ∴+=，BC BD ∴⊥，BD DE D = ，,BD DE ⊂平面PBD ，BC ∴⊥平面PBD ，PD ⊂ 平面PBD ，BC PD ∴⊥；PD BD == ，2PB AB =，222PD BD PB ∴+=，PD BD ∴⊥，又BC BD B = ，,BC BD ⊂平面ABCD ，PD ∴⊥平面ABCD . 【小问2详解】2AD AB == ，24CD AB ==，AB AD ⊥，14242CDF S ∴=⨯⨯= ，由（1）知：PD ⊥平面ABCD ，PD =，则点E 到平面ABCD 的距离112d PD ==，111433E CDF CDF V S d -∴=⋅=⨯=2AD = ，PD =，PA ∴==,E F 分别为棱,PB AB 中点，12EF PA ∴==，AB AD ⊥ ，2AB AD ==，DF ∴=BD =，PD BD == 4PB ∴=，122DE PB ∴==，由余弦定理得：cos DEF ∠==，则sin DEF ∠=122DEF S ∴=⨯=， 设点C 到平面DEF 的距离为d ，2213C DEF E CDF DEF V V S d --∴==⋅==，解得：2d =即点C 到平面DEF20. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，E，斜率为k 的直线l 过E 的左焦点，且直线l 与椭圆E 相交于A ，B 两点. （1）若1k =，83AB =，求椭圆E 的标准方程； （2）若215AF AF =，2112BF BF =，0k <，求k 的值. 【答案】（1）22142x y +=（2）12-【解析】【分析】（1）结合题意可得a =，b c ==，()1,0F c -，进而得到直线l的方程为y x =联立直线和椭圆方程，结合韦达定理和弦长公式即可求解；（2）先表示出直线l 的方程，根据椭圆定义和题设可得1153aAB AF BF =+=，联立直线和椭圆方程，结合韦达定理和弦长公式即可求解. 【小问1详解】因为c e a ==，所以a =， 由222a b c =+，得b c ==因为()1,0F c -，1k =，所以直线l的方程为y x =， 将直线方程代入椭圆方程2222x y a +=并整理得230x +=. 设()11A x y ，，()22x y ，，则12x x +=120x x =，所以24833a AB x =-===， 解得2a =，所以椭圆E 的标准方程为22142x y +=.【小问2详解】由（1）知，a =，b c ==()1,0F c -， 易得直线l的方程为y k x ⎛= ⎝，椭圆E 的方程为2222x y a +=， 将直线方程代入椭圆方程并整理得()()222221210kxax k a +++-=.由215AF AF =，2112BF BF =， 得215AF AF =，122BF BF =，又因为122AF AF a +=，122BF BF a +=， 可得13a AF =，143a BF =，所以1153aAB AF BF =+=. 设()11A x y ，，()22B x y ，，则12x x +=，22122(1)12k a x x k -=-+，因为2AB x =-=所以()22215123k a a AB k +===+， 整理得241k =，又因为0k <，所以12k =-. 21. 已知函数()2e e 7xf x ax =-+-.（1）当2a =时，求曲线()y f x =在2x =处的切线方程； （2）若对任意的0x ≥，27()4f x x ≥恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）()2e 27y x =--（2）(2,e 7∞⎤--⎦ 【解析】【分析】（1）根据切点处导函数值等于切线斜率，运用点斜式求切线方程即可；（2）分0x =，0x >，两种情况解决，当0x >时，参数分离得224e 74e 284x x a x-+-≤，设()224e 74e 28x x g x x -+-=，得()()22241e 74e 28x x x g x x--+='-，设()()2241e 74e 28x h x x x =---+，求导讨论单调性，得()g x 在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增，即可解决.【小问1详解】当2a =时，()2e 2e 7xf x x =-+-， 所以()e 2xf x '=-， 所以()222e 11f =-，2(2)e 2f '=-， 所以所求切线方程为()()()222e 11e 22y x --=--，即()2e 27y x =--. 【小问2详解】对任意的0x ≥，27()4f x x ≥恒成立， 等价于对任意的0x ≥，227e e 74x ax x -+-≥恒成立. ①当0x =时，2e 60-≥显然成立. ②当0x >时，不等式227e e 74x ax x -+-≥等价于224e 74e 284x x a x -+-≤. 设()224e 74e 28x x g x x-+-=， 所以()()22241e 74e 28x x x g x x--+='-. 设()()2241e 74e 28x h x x x =---+，则()()4e 1422e 7x x h x x x x =-=-'. 当70,ln 2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，当7ln ,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0h x '>， 所以()h x 在70,ln 2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在7ln ,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增. 因为()2(0)46e 0h =-<，所以7ln 02h ⎛⎫< ⎪⎝⎭， 又因为在()()2241e 74e 280x h x x x =---+=中，(2)0h =， 所以当()0,2x ∈时，()0g x '<，当()2,x ∈+∞时，()0g x '>，所以()g x 在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增，所以()()2min 24e 28g x g ==-， 所以2e 7a ≤-，即a 的取值范围为(2,e 7⎤-∞-⎦. （二）选考题：共10分.请考生从第22，23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一个题目计分.［选修4—4：坐标系与参数方程］22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为23cos 3sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程是2cos sin 10ρθρθ--=.（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，点()0,1P -，求11PA PB +的值. 【答案】（1）()222+9x y -=；210x y --=（2【解析】【分析】（1）曲线C 的参数方程通过平方消元得到普通方程；通过极坐标方程与直角坐标方程关系得到直线l 的直角坐标方程；（2）由题可知点P 过直线l ，利用直线的参数方程中参数与定点位置关系即可列式计算.【小问1详解】23cos 23cos ,3sin 3sin ,x x y y αααα=+-=⎧⎧⇒⎨⎨==⎩⎩①②，22+①②得()222+9x y -=， 根据极坐标方程与直角坐标方程关系可知直线l 的直角坐标方程为：210x y --=.【小问2详解】由（1）可知点()0,1P -过直线l ，故直线l的参数方程可写为1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），代入曲线C的普通方程得240t --=，由韦达定理可知：12t t +=1240t t ⋅=-<，所以12121212121111t t t t PA PB t t t t t t +-+=+====⋅⋅. ［选修4—5：不等式选讲］ 23. 已知函数()23f x x x =-++.（1）求()f x 的最小值；（2）若[]3,2x ∈-，不等式()f x x a ≥+恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）5（2）23a -≤≤【解析】【分析】（1）根据x 的不同取值范围，展开化解函数，根据函数的单调性即可判断出()f x 的最小值； （2）根据（1）中解析式简化不等式，再展开绝对值计算即可.【小问1详解】当3x <-时，()()()2321f x x x x =---+=--当32x -≤≤时，()()()235f x x x =--++=当2x >时，()()()2321f x x x x =-++=+ 综上()()()()21 35 3221 2x x f x x x x ⎧--<-⎪=-≤≤⎨⎪+>⎩，由此可知()min 5f x =【小问2详解】 由（1）可知()5f x x a x a ≥+⇒≥+解得55x a x a +≥-⎧⎨+≤⎩，当[]3,2x ∈-时，欲使不等式()f x x a ≥+恒成立，则()()min max 55x a x a ⎧+≥-⎪⎨+≤⎪⎩，解得23a -≤≤。