非寿险精算理论与实验
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风险模型与非寿险精算学 (26)
风险模型与非寿险精算学
1 承保风险的一般特征 2 短期保险合同模型 3 聚合风险模型 4 真2.1题基本模型 2.2 关于基本模型简化的讨论 2.3 符号和假设
短期保险合同的一个重要特点是，保费的水平仅限于保险 期(短期)内发生的索赔.这与寿险保单形成了鲜明对比，因为死亡 率随着年龄的增长而增加，意味着早期的(水平)年保费将足以覆 盖早期的预期索赔,然后，超额金额将累计作为准备金，在以后 的几年中使用，因为单独的保费不足以满足预期的索赔成本.
响.
风险模型与非寿险精算学
1 承保风险的一般特征 2 短期保险合同模型 3 聚合风险模型 4 真2.1题基本模型 2.2 关于基本模型简化的讨论 2.3 符号和假设
将要研究的问题是： 在有、无简单再保险的情况下，根 据N 和Xi的矩和分布推导出S的矩和分布. 此外，还将研究再保 险人的相应问题，即推导再保险人在本年度支付的索赔总额的矩 和分布.
另一个简化是，假设一旦引起索赔的事件发生，索赔就会无时 滞解决，例如，保险公司的利润在年底就已经知道了.在实践 中，理赔时效平均1-3天，在某些情况下，赔付延迟可能长达多 年.当损失的程度难以确定时尤其如此，例如损失要在法院作出 决定.
风险模型与非寿险精算学
1 承保风险的一般特征 2 短期保险合同模型 3 聚合风险模型 4 真2.1题基本模型 2.2 关于基本模型简化的讨论 2.3 符号和假设
在本章中，假设所有索赔均为非负金额，因此对于 x < 0，P (Xi x) = 0.本章中的许多公式将使用 S, N 和Xi的矩 母函数(从现在起缩写为MGFs)得出.这些MGFs将分别表示 为MS(t), MN (t) and MX (t)并假定变量t取正值.对于正值t，非 负随机变量的MGF可能不存在；例如，对于任何正 值t的pareto和lognormal分布的MGF都不存在.然而，在本章中借 助MGFs推导出的所有公式都可以推导出来，不需要假设MGFs存 在正的t值.
1 承保风险的一般特征 2 短期保险合同模型 3 聚合风险模型 4 真2.1题基本模型 2.2 关于基本模型简化的讨论 2.3 符号和假设
短期保险合同的一个重要特点是，保费的水平仅限于保险 期(短期)内发生的索赔.这与寿险保单形成了鲜明对比，因为死亡 率随着年龄的增长而增加，意味着早期的(水平)年保费将足以覆 盖早期的预期索赔,然后，超额金额将累计作为准备金，在以后 的几年中使用，因为单独的保费不足以满足预期的索赔成本.
响.
风险模型与非寿险精算学
1 承保风险的一般特征 2 短期保险合同模型 3 聚合风险模型 4 真2.1题基本模型 2.2 关于基本模型简化的讨论 2.3 符号和假设
将要研究的问题是： 在有、无简单再保险的情况下，根 据N 和Xi的矩和分布推导出S的矩和分布. 此外，还将研究再保 险人的相应问题，即推导再保险人在本年度支付的索赔总额的矩 和分布.
另一个简化是，假设一旦引起索赔的事件发生，索赔就会无时 滞解决，例如，保险公司的利润在年底就已经知道了.在实践 中，理赔时效平均1-3天，在某些情况下，赔付延迟可能长达多 年.当损失的程度难以确定时尤其如此，例如损失要在法院作出 决定.
风险模型与非寿险精算学
1 承保风险的一般特征 2 短期保险合同模型 3 聚合风险模型 4 真2.1题基本模型 2.2 关于基本模型简化的讨论 2.3 符号和假设
在本章中，假设所有索赔均为非负金额，因此对于 x < 0，P (Xi x) = 0.本章中的许多公式将使用 S, N 和Xi的矩 母函数(从现在起缩写为MGFs)得出.这些MGFs将分别表示 为MS(t), MN (t) and MX (t)并假定变量t取正值.对于正值t，非 负随机变量的MGF可能不存在；例如，对于任何正 值t的pareto和lognormal分布的MGF都不存在.然而，在本章中借 助MGFs推导出的所有公式都可以推导出来，不需要假设MGFs存 在正的t值.
非寿险精算课程教学大纲
《非寿险精算》课程教学大纲一、课程基本信息课程代码：109842课程名称：非寿险精算英文名称：Non-life Insurance Actuarial Science课程类别：专业选修课学时：32学时学分：2学分适用对象:大三统计学专业学生考核方式：考试先修课程：寿险精算、精算模型二、课程简介中文简介非寿险精算是为非寿险领域的经营与管理提供数量分析方法的一门课程，它是基于统计学和保险学的一门边缘性学科。
本课程主要介绍风险度量的基本方法、统计方法在非寿险精算中的应用，了解非寿险的费率厘定和费率校正，理解非寿险的准备金评估和再保险安排等，介绍保险公司对非寿险业务常用的精算技术，主要运用数量分析方法和非寿险精算模型研究费率、赔付款和准备金问题。
对保险公司的业务经营和管理有很大的应用价值。
英文简介Non-life insurance actuarial course is to provide a quantitative analysis method for the operation and management of non- life insurance field, it is a marginal subject based on statistics and insurance. This course mainly introduces the basic methods of risk measurement, the application of statistical methods in non-life insurance, the solution of non-life insurance ratemaking and rate correction understand, non life insurance reserve assessment and reinsurance arrangements, the insurance company for the non-life insurance actuarial techniques commonly used, mainly using quantitative analysis method and model of non-life insurance actuarial rates, payment and reserve problem. There is great application value in business operation and management of insurance companies。
《非寿险精算(第4版)》课件第11讲 非寿险责任准备金评估模型1
Cu = {Ci,j : i + j ≤ I, i = 1 : I, j = 0 : I − 1}. 2 计算历史进展因子:
Fi,j = Ci,j+1/Ci,j .
3 比较 (Fi,j)i=1:I−j, 选定逐年进展因子 (age-to-age factor, development factor)fˆj(链). 常选用的进展因子包括加权平 均进展因子:
fˆj =
I −j i=1
Ci,j
Fi,j
I −j i=1
Ci,j
=
I −j i=1
Ci,j+1
I −j i=1
Ci,j
,
4 预测下三角部分的数值(梯)
j = 0, . . . , I − 2.
Cˆik = Ci,I−ifˆI−i · · · fˆk−1, k = I − i + 1, . . . , I − 1
Rˆi = Cˆi,I−1 − Ci,I−i. 4 总未决赔款准备金估计为
I
Rˆ = Rˆi
i=1
14/21
未到期责任准备金评估模型 未决赔款准备金评估模型
链梯法 (chain-ladder method) 期望赔款法 (expected claims method) Bornhütter-Ferguson 法 Cape Cod 法
5 依据预测的下三角部分, 求得未决赔款准备金.
13/21
未到期责任准备金评估模型 未决赔款准备金评估模型
链梯法 (chain-ladder method) 期望赔款法 (expected claims method) Bornhütter-Ferguson 法 Cape Cod 法
跳过第 4 步, 采用下面的步骤, , 可以直接求得每个事故年的未决 赔款准备金
非寿险实验报告一
保单数量
312
5910
8574
5392
2618
1115
453
196
82
[案例2]某保险公司某险种赔款额资料如下，试以适当的损失分布模型拟合该赔款分布并以99.5%的置信程度检验模型的拟合效果。
赔款金额
0
—2000
2000—4000
4000—6000
6000—8000
8000—10000
10000—12000
12000—14000
14000—16000
保单数量
72
11
6
4
3
2பைடு நூலகம்
1
1
二、实验环境及相关情况（包含使用软件、实验设备、主要仪器及材料等）
《非寿险精算系统》实验教学软件、保险实验室实验设备。
三、实验内容及步骤（包含简要的实验步骤流程）
四、实验结果（包括程序或图表、结论陈述、数据记录及分析等，可附页）
五、实验总结（包括心得体会、问题回答及实验改进意见，可附页）
六、教师评语
广东金融学院实验报告
课程名称：非寿险精算综合实验
实验编号
及实验名称
实验一
保险标的损失分布拟合
系别
保险系
姓名
学号
班级
实验地点
保险实验室
实验日期
2015.11
实验时数
2
指导教师
江正发
同组其他成员
成绩
一、实验目的及要求
1.掌握保险标的损失分布拟合的方法。
2.学会使用非寿险精算实验教学软件进行损失分布拟合。
实验一损失分布拟合
[案例1]某保险公司某险种赔款额资料如下，试以适当的损失分布模型拟合该赔款分布并以99.5%的置信程度检验模型的拟合效果。
312
5910
8574
5392
2618
1115
453
196
82
[案例2]某保险公司某险种赔款额资料如下，试以适当的损失分布模型拟合该赔款分布并以99.5%的置信程度检验模型的拟合效果。
赔款金额
0
—2000
2000—4000
4000—6000
6000—8000
8000—10000
10000—12000
12000—14000
14000—16000
保单数量
72
11
6
4
3
2பைடு நூலகம்
1
1
二、实验环境及相关情况（包含使用软件、实验设备、主要仪器及材料等）
《非寿险精算系统》实验教学软件、保险实验室实验设备。
三、实验内容及步骤（包含简要的实验步骤流程）
四、实验结果（包括程序或图表、结论陈述、数据记录及分析等，可附页）
五、实验总结（包括心得体会、问题回答及实验改进意见，可附页）
六、教师评语
广东金融学院实验报告
课程名称：非寿险精算综合实验
实验编号
及实验名称
实验一
保险标的损失分布拟合
系别
保险系
姓名
学号
班级
实验地点
保险实验室
实验日期
2015.11
实验时数
2
指导教师
江正发
同组其他成员
成绩
一、实验目的及要求
1.掌握保险标的损失分布拟合的方法。
2.学会使用非寿险精算实验教学软件进行损失分布拟合。
实验一损失分布拟合
[案例1]某保险公司某险种赔款额资料如下，试以适当的损失分布模型拟合该赔款分布并以99.5%的置信程度检验模型的拟合效果。
保险精算原理与实务课件 14 非寿险准备金
第14章 非寿险准备金评估
1
第一节
引言
未到期责任准备金：在准备金评估日为尚未终止的保险 责任而提取的准备金。
决赔款准备金：保险公司对尚未结案的赔案而提取的准 备金，包括已发生已报案未决赔款准备金、已发生未报 案未决赔款准备金和理赔费用准备金。
已发生已报案未决赔款准备金：为保险事故已经发生并 已向保险公司提出索赔，保险公司尚未结案的赔案而提 取的准备金。
间接理赔费用准备金 ＝[（已发生已报案未决赔款准备金＋其它IBNR准备金）
×50％＋12
7
三、准备金进展法
（1）构造已付赔款和已发生已报案未决赔款准备金的流 量三角形；
（2）用各个事故年和进展年的已付赔款观察值除以同一 个事故年在前一个进展年的已发生已报案未决赔款准备 金，求得已发生已报案未决赔款准备金的支付率，并计 算和选定各个进展年的平均支付率；
（3）用各个事故年和进展年的已发生已报案未决赔款准 备金除以同一个事故年在前一个进展年的已发生已报案 未决赔款准备金，求得已发生已报案未决赔款准备金的 结转率，并计算和选定各个进展年的平均结转率；
2
已发生未报案未决赔款准备金：为保险事故已经发生，但 尚未向保险公司提出索赔的赔案而提取的准备金。
理赔费用准备金：为尚未结案的赔案可能发生的费用而提 取的准备金。
直接理赔费用准备金：直接发生于具体赔案的专家费、律 师费、损失检验费等而提取的准备金。
间接理赔费用准备金：非直接发生于具体赔案的费用而提 取的准备金。
4
二、三百六十五分之一法
三百六十五分之一法是对保险责任尚未终止的保单，逐
单按照保单的保险期间进行未到期责任准备金评估，采
用的公式为：
保单到期日
准备金评估日
1
第一节
引言
未到期责任准备金：在准备金评估日为尚未终止的保险 责任而提取的准备金。
决赔款准备金：保险公司对尚未结案的赔案而提取的准 备金，包括已发生已报案未决赔款准备金、已发生未报 案未决赔款准备金和理赔费用准备金。
已发生已报案未决赔款准备金：为保险事故已经发生并 已向保险公司提出索赔，保险公司尚未结案的赔案而提 取的准备金。
间接理赔费用准备金 ＝[（已发生已报案未决赔款准备金＋其它IBNR准备金）
×50％＋12
7
三、准备金进展法
（1）构造已付赔款和已发生已报案未决赔款准备金的流 量三角形；
（2）用各个事故年和进展年的已付赔款观察值除以同一 个事故年在前一个进展年的已发生已报案未决赔款准备 金，求得已发生已报案未决赔款准备金的支付率，并计 算和选定各个进展年的平均支付率；
（3）用各个事故年和进展年的已发生已报案未决赔款准 备金除以同一个事故年在前一个进展年的已发生已报案 未决赔款准备金，求得已发生已报案未决赔款准备金的 结转率，并计算和选定各个进展年的平均结转率；
2
已发生未报案未决赔款准备金：为保险事故已经发生，但 尚未向保险公司提出索赔的赔案而提取的准备金。
理赔费用准备金：为尚未结案的赔案可能发生的费用而提 取的准备金。
直接理赔费用准备金：直接发生于具体赔案的专家费、律 师费、损失检验费等而提取的准备金。
间接理赔费用准备金：非直接发生于具体赔案的费用而提 取的准备金。
4
二、三百六十五分之一法
三百六十五分之一法是对保险责任尚未终止的保单，逐
单按照保单的保险期间进行未到期责任准备金评估，采
用的公式为：
保单到期日
准备金评估日
15 非寿险精算选讲
中，保险的标的一般是相应风险造成 的损失。然而，各种非寿险险种对应 的损失的分布规律并不像寿险中的生 命表那样业已阐明，需要利用概率论 和数理统计的随机不确定性方法加以 探索和近似表述，这是非寿险精算与 寿险精算的显著区别，也是非寿险精 算相对较难的主要原因。非寿险精算 的主要任务是建立风险损失的分布规 律模型，通过费率厘定来制定保险保
2.一些重要的随机变量及其分布的回 顾：泊松（Possion）分布、二项分布、 负二项分布、几何分布、指数分布、 对数正态分布、伽马分布、帕累托分 布、威布尔分布等； 3.一些随机变量重要统计数字特征回 顾：数学期望、方差、标准差、变异 系数、偏度系数。 4.费率厘定：根据保险标的的经验损 失数据和其他相关信息建立模型，并 对
帕累托分布具有性质： （1）帕累托分布总是右偏的，众数恒 为0. （2）帕累托分布乘以正数后，仍然是 帕累托分布，第二个参数乘以该正数。 （3）如果均值保持不变，当第一个参 数无限增大时，帕累托分布收敛到参 数为均值倒数的指数分布。
威布尔分布：设损失金额服从参数为 的威布尔分布，则其分布 ， 函数和密度函数分别为：
它的特点是基于人的生存规律，这一 规律已经由生命表表出，因此，它的 理论和方法十分成熟。 非寿险精算学泛指寿险精算以外的其 他保险的精算问题研究，这些保险包 括财产保险、医疗保险、健康保险、 人身意外伤害保险、社会保险等。在 财产保险中又包括房屋建筑物保险、 车辆保险、火灾保险、海上保险、航 空保险等等。在上述非寿险的保险
所厘定的费用。包括信度模型和奖惩 系统。
二. 损失模型 损失模型又可以称为索赔模型，因为保 险损失发生实际上等价于索赔发生。损 失模型即是损失随机变量的分布。通常 将损失模型分为损失次数（索赔次数） 模型和损失金额（索赔额）模型以及累 积损失模型三种。
非寿险精算教案
取值为 xi (i 1,2,3,...) ，X 取值为 xi 的概率为 pi ，记作
P(X xi ) pi
上式称为离散型随机变量的分布率 离散型随机变量的分布率可以用表格形式表示。例如投掷色子出现的点数 X 的分布律可表 示为： 表 1-1 投掷色子出现的点数 X 的分布律
X
1
2
3
4
5
6
Pi
1 6
很难得到如此丰富的统计数据，尤其是高额损失数据更是有限。因此，必须根据有限的统计 数据拟合损失次数模型或损失金额模型。事实上，即使数据比较充分，也很难找到精度较高 的、可靠性强的损失分布模型。所以，理论分布和主观概率在很多场合也大有用武之地。因 为理论分布有不少便于应用的性质，这些性质有助于简化实践问题的分析。另外，理论分布 由一个或几个参数来确定，这使得我们不必和一列长长的观察数据打交道，从而减少许多琐 碎的工作。
15 3.768333 2.082499 3.650575 2.446271 3.071841 4.912311
16 2.068195 5.485802 3.560647 2.090805 1.81703 5.076282
17 3.012554 3.326008 2.383258 3.064881 2.316347 1.433661
18 1.559046 1.99154 1.24862 5.464799 4.114744 5.249829
19 0.654145 0.181228 5.96777 1.061088 2.171866 1.839712
20 5.630432 5.109794 2.734048 0.210623 1.165172 3.079599
6 4.273923 5.042488 5.553704 1.367138 2.908034 0.827552
P(X xi ) pi
上式称为离散型随机变量的分布率 离散型随机变量的分布率可以用表格形式表示。例如投掷色子出现的点数 X 的分布律可表 示为： 表 1-1 投掷色子出现的点数 X 的分布律
X
1
2
3
4
5
6
Pi
1 6
很难得到如此丰富的统计数据，尤其是高额损失数据更是有限。因此，必须根据有限的统计 数据拟合损失次数模型或损失金额模型。事实上，即使数据比较充分，也很难找到精度较高 的、可靠性强的损失分布模型。所以，理论分布和主观概率在很多场合也大有用武之地。因 为理论分布有不少便于应用的性质，这些性质有助于简化实践问题的分析。另外，理论分布 由一个或几个参数来确定，这使得我们不必和一列长长的观察数据打交道，从而减少许多琐 碎的工作。
15 3.768333 2.082499 3.650575 2.446271 3.071841 4.912311
16 2.068195 5.485802 3.560647 2.090805 1.81703 5.076282
17 3.012554 3.326008 2.383258 3.064881 2.316347 1.433661
18 1.559046 1.99154 1.24862 5.464799 4.114744 5.249829
19 0.654145 0.181228 5.96777 1.061088 2.171866 1.839712
20 5.630432 5.109794 2.734048 0.210623 1.165172 3.079599
6 4.273923 5.042488 5.553704 1.367138 2.908034 0.827552
保险精算学实验报告(3篇)
第1篇一、实验目的本次实验旨在通过模拟保险精算的实际操作，使学生了解保险精算的基本原理和方法，提高学生运用数学、统计学和金融学知识解决实际问题的能力。
通过本次实验，学生能够：1. 掌握保险精算的基本概念和原理；2. 熟悉寿险和非寿险的精算模型；3. 学会运用相关软件进行精算计算；4. 提高数据分析、模型构建和报告撰写能力。
二、实验内容本次实验主要包括以下内容：1. 寿险精算模型：- 寿险产品定价：运用生命表和利率计算寿险产品的预定死亡率、预定利率和预定净收益；- 责任准备金计算：根据预定净收益和预定死亡率，计算责任准备金；- 保单现金价值估值：运用折现现值法，估算保单现金价值。
2. 非寿险精算模型：- 保险费率厘定：根据事故损失数据，运用损失分布模型计算保险费率；- 责任准备金计算：根据损失数据，运用损失分摊模型计算责任准备金。
3. 精算软件应用：- 使用精算软件进行寿险和非寿险精算模型的构建和计算；- 学习使用Excel、R等工具进行数据分析。
三、实验步骤1. 寿险精算模型：- 收集生命表和利率数据；- 运用生命表和利率计算预定死亡率、预定利率和预定净收益；- 根据预定净收益和预定死亡率，计算责任准备金；- 运用折现现值法，估算保单现金价值。
2. 非寿险精算模型：- 收集事故损失数据；- 运用损失分布模型计算保险费率；- 根据损失数据，运用损失分摊模型计算责任准备金。
3. 精算软件应用：- 使用精算软件进行寿险和非寿险精算模型的构建和计算；- 学习使用Excel、R等工具进行数据分析。
四、实验结果与分析1. 寿险精算模型：- 通过实验，我们得到了预定死亡率、预定利率和预定净收益等数据； - 根据预定净收益和预定死亡率，我们计算了责任准备金；- 运用折现现值法，我们估算出了保单现金价值。
2. 非寿险精算模型：- 通过实验，我们得到了保险费率和责任准备金等数据；- 分析损失数据，我们发现损失分布呈现正态分布。
非寿险精算(保险精算课件PPT)
P：纯保费 L：赔款 E：风险单位数 N：索赔次数
费用：指保险公司支出的承保费用、管理费用和
理赔费用等。 利润附加：保险公司经营保险业务应该获取的利 润水平（资本金的成本）。 赔付率：赔款与保费之比。
3.2 纯保费 讨论要点： 免赔额 赔偿限额 共同保险 通货膨胀 对索赔频率和索赔强度的影响
非寿险精算
目前，世界精算界将精算领域划分为五大 方向： 寿险精算 非寿险精算 投资精算 养老金 健康保险
Chapter 2 损失模型
2.1 基本概念 在非寿险精算中，最常见的两个随机变量 就是损失金额（用X表示）和损失次数（用 N表示）。
公式回顾
F(х )=Pr(X≤х ) E(X)=
赔付率法
首先根据赔付率计算费率的调整幅度（即费率调 整因子），然后对当前的毛保费进行调整得到新 的毛保费。 计算公式： R=AR0 其中： R表示新厘定的毛保费 R0表示当前的毛保费 A表示费率调整因子
调整费率因子（A）=经验赔付率（W）/目标赔 付率（T） 经验赔付率（W）是经验期的最终赔款与等水平 已赚保费（是指用当前费率水平计算的经验期的 已赚保费）的比率 W=经验期的最终赔款(L)/风险单位数（E)*R0 目标赔付率 T=L/(E*R)=P/R=(1-V-Q)/(1+F/P) =（1-V-Q)/(1+G) G表示固定费用与赔款之比
火灾保险
以存放在固定场所并处于相对静止状态得财 产为保险标的，由保险人负责赔偿被保险 财产遭受保险事故所造成的经济损失。 承保的保险责任 影响费率的因素 保额的确定
运输保险
运输保险承保各种交通运输工具及其所承 运的货物在保险期间因各种灾害事故造成 的意外损失。包括： 运输工具保险： 汽车保险（车身损失保险、第三者责任保险） 船舶保险 航空保险 运输货物保险
费用：指保险公司支出的承保费用、管理费用和
理赔费用等。 利润附加：保险公司经营保险业务应该获取的利 润水平（资本金的成本）。 赔付率：赔款与保费之比。
3.2 纯保费 讨论要点： 免赔额 赔偿限额 共同保险 通货膨胀 对索赔频率和索赔强度的影响
非寿险精算
目前，世界精算界将精算领域划分为五大 方向： 寿险精算 非寿险精算 投资精算 养老金 健康保险
Chapter 2 损失模型
2.1 基本概念 在非寿险精算中，最常见的两个随机变量 就是损失金额（用X表示）和损失次数（用 N表示）。
公式回顾
F(х )=Pr(X≤х ) E(X)=
赔付率法
首先根据赔付率计算费率的调整幅度（即费率调 整因子），然后对当前的毛保费进行调整得到新 的毛保费。 计算公式： R=AR0 其中： R表示新厘定的毛保费 R0表示当前的毛保费 A表示费率调整因子
调整费率因子（A）=经验赔付率（W）/目标赔 付率（T） 经验赔付率（W）是经验期的最终赔款与等水平 已赚保费（是指用当前费率水平计算的经验期的 已赚保费）的比率 W=经验期的最终赔款(L)/风险单位数（E)*R0 目标赔付率 T=L/(E*R)=P/R=(1-V-Q)/(1+F/P) =（1-V-Q)/(1+G) G表示固定费用与赔款之比
火灾保险
以存放在固定场所并处于相对静止状态得财 产为保险标的，由保险人负责赔偿被保险 财产遭受保险事故所造成的经济损失。 承保的保险责任 影响费率的因素 保额的确定
运输保险
运输保险承保各种交通运输工具及其所承 运的货物在保险期间因各种灾害事故造成 的意外损失。包括： 运输工具保险： 汽车保险（车身损失保险、第三者责任保险） 船舶保险 航空保险 运输货物保险
非寿险精算CH1 非寿险与非寿险精算
可保风险：寿险和非寿险两大类。
(1) 寿险是以人的生命为标的，以生和死作为保险事件。
(2) 非寿险包括了除寿险以外的所有可保风险。 如：财产险、责任险、信用险和人身险中健康险和 意外伤害险。
二 保险精算学
保险精算学是一门运用数学、统计学和保险学的理论和方法，对 保险经营中的计算问题作定量分析，以保证保险经营的稳定性和安全 性的学科。它解决的问题，诸如人口死亡率（生存率）的测定、生命 表的编制、保险条款的设计、费率的厘定、准备金的计提、盈余的分 配、险种创新、投资等。 保险精算学包括寿险精算学和非寿险精算学。 保险精算学最早起源于寿险业务的保费计算，即寿险精算学。 在寿险精算历史上特别值得一提的人物是哈雷和道德森。进入20世 纪以后，非寿险领域的精算问题日益增多。到了20世纪70年代非寿 险精算学已发展成为一个独立的分支学科。
y>0
Y的分布 在X>d的条件下X－d 的条件分布。记Y的分布函数记为FY(y)，
当y＝0时，
当y>0时，
FY (0) 0
FY ( y) P(Y y) P( X d y | X d )
P( X d y, X d ) F ( y d ) F (d ) P( X d ) 1 F (d )
数的理论分布：泊松分布、二项分布和负二项分布。
3. 在一般条件下赔款总量的数学模型（个体和集体）、数字特征和矩 母函数；赔款总量的计算（卷积，正态近似和平移伽马近似，递推计算,
随机模拟）
条件分布、条件期望和条件方差
(1) EX = E [ E（X|Y）] ；
(2) VarX = E [ Var（X|Y）] + Var [ E（X|Y）] .
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一、索赔次数的拟合与检验表一给出了某非寿险公司100000份机动车损失频率和累计频率，它包括n=100000辆机动车，每辆汽车签订一份保单，每辆汽车的保险责任都是一整年，既没有中途退保的汽车，也没有未及时续保的汽车。
1.泊松分布拟合与检验1.1建立零假设和备选假设H0：总体服从泊松概率分布H1：总体不服从泊松概率分布1.2对于泊松分布，参数λ的据估计和极大似然估计值均为样本均值，即λ=0.12318。
1.3运用卡方拟合优度检验。
注意到“4”、“5”类的期望频率小于5，不满足卡方检验的要求。
因此我们把“4”、“5”两类合并为一类。
带入数值，得到卡方检验统计量的值71.881395>CHIINV(0.05,4-1-1)= 5.9914645，从而拒绝原假设H0。
2.负二项分布拟合与检验2.1建立零假设和备选假设H0：总体服从负二项概率分布H1：总体不服从负二项概率分布2.2运用矩方法，参数r=3.506912,p=0.9660672.3运用极大似然估计, 参数r=3.59840748233245,p=0.966901092646243每个理赔次数类别下的期望频数=样本容量*理论频率，由此我们可以计算出负二项分布拟合的期望理赔频数，结果如表二所示。
与前相同，我们把“4”、“5”两类合并为一类。
带入数值，得到卡方检验统计量的值1.1365479<CHIINV(0.05,4-2-1)= 3.8414591，从而接受原假设H0。
显然，负二项分布是一个更优的结果。
Excel计算结果如下所示:二、损失分布的拟合与检验如下表所示, 给出了某非寿险公司近几年来的损失分布记录:3030 3120 9960 690 15660 6060 60605160 8160 2310 2970 1110 11460 15602310 9100 14910 360 435 3360 33606045 11760 6960 7860 660 1725 756012060 510 3960 3660 3210 8760 119552 3000 6000 8 0.228571 7.62E-053 6000 9000 8 0.228571 7.62E-054 9000 120005 0.142857 4.76E-055 12000 16000 3 0.085714 2.14E-05合计35画出频率分布直方图:1.对数正态分布拟合1.1对数正态分布拟合(矩估计法)建立零假设和备选假设H0：总体服从对数正态分布H1：总体不服从对数正态分布用K—S0.152400666，查表的显著性水平0.05下的临界值为0.22425，从而我们不能拒绝原假设H0，用对数正态分布拟合是合理的。
1.2对数正态分布拟合(极大似然估计法)建立零假设和备选假设H0：总体服从对数正态分布H1：总体不服从对数正态分布用K—S0.134115952，查表的显著性水平0.05下的临界值为0.22425，从而我们不能拒绝原假设H0，用对数正态分布拟合是合理的。
2. 经验分布与对数正态分布拟合（矩估计和极大似然估计）的比较三、费率厘定索赔额年增长趋势因子（1987/1986） 1.06831983 2552 39771 0.0642 0.06381984 2646 42135 0.0628 0.06301985 2844 45231 0.0629 0.06211986 3068 48583 0.0632 0.06131987 3066 52267 0.0587 0.0605 索赔频率年增长趋势因子（最小二乘拟合1987/1986）0.9868（1）佣金占保费的百分比15.00%（2）税收，执照费用占保费的百分比 2.25%（3）其他承保费用占保费的百分比 5.60%（4）一般管理费用占保费的百分比 6.00%（5）与保费相关的费用占保费的百分比29.65%（6）不可分配损失调整费用占损失与可分配损失调整费用之比6.42%（7）目标损失率T=（1-V-Q）/(1+G)(假设利润因子Q=0)(1.0-(5))/(1.0+(6))0.66114-8整体指示率变化量[1] [2] [3] [4] [5]发生年预测最终损失与可分配费用自发生年年中至1989年年中的年数到1989年7月1日的平均索赔额趋势因子至1989年7月1日的索赔频率趋势因子1985 5790094 4 1.302485549 0.947851961 1986 6760207 3 1.219213282 0.9606283171986 7917627.5 10575919 74.86%1987 8098153.3 11403572 71.01%合计23164019 31811448 72.82% 0.6611 10.14%1 1 1986 982778 1.2564 1.219213282 0.960628317 1446166.9211987 797650 1.8595 1.14126489 0.97357689 1648030.578 21985 680769 1.1070 1.302485549 0.947851961 930380.9693 1986 703406 1.2564 1.219213282 0.960628317 1035068.438 1987 456899 1.8595 1.14126489 0.97357689 944002.4108 31985 325397 1.1070 1.302485549 0.947851961 444707.6413 1986 343738 1.2564 1.219213282 0.960628317 505813.6478 1987 252790 1.8595 1.14126489 0.97357689 522291.29292 1 1985 1062395 1.1070 1.302485549 0.947851961 1451934.636 1986 1170978 1.2564 1.219213282 0.960628317 1723104.9631987 848551 1.8595 1.14126489 0.97357689 1753197.5112 1985 597044 1.1070 1.302485549 0.947851961 815957.2123 1986 575004 1.2564 1.219213282 0.960628317 846123.7069 1987 449123 1.8595 1.14126489 0.97357689 927936.35963 1985 557332 1.1070 1.302485549 0.947851961 761684.3399 1986 650645 1.2564 1.219213282 0.960628317 957430.1383 1987 469963 1.8595 1.14126489 0.97357689 970994.03813 11985 401622 1.1070 1.302485549 0.947851961 548881.435 1986 394358 1.2564 1.219213282 0.960628317 580301.4462 1987 243943 1.8595 1.14126489 0.97357689 504012.440621985 252439 1.1070 1.302485549 0.947851961 344998.7316 1986 228313 1.2564 1.219213282 0.960628317 335964.6922 1987 174954 1.8595 1.14126489 0.97357689 361473.756331985 366822 1.1070 1.302485549 0.947851961 501321.6053 1986 331397 1.2564 1.219213282 0.960628317 487653.7521 1987 225649 1.8595 1.14126489 0.97357689 466215.0716表4-10 各级别及区域的趋势化纯保费已经危险单位数趋势化纯保费对级别1的相对数对区域2的相对数7807 172.7132 1 1.3868838539 169.3602 1 1.2735159366 175.9588 1 1.4336073877 239.9745 1.389439 1.463454181 247.5648 1.461765 1.5922584551 207.4275 1.178841 1.3275821553 286.3539 1.657974 1.4774771697 298.0634 1.759938 1.3268291870 279.3002 1.587304 1.34300811659 124.5334 1 112957 132.9864 1 114284 122.7386 1 14976 163.9785 1.316744 15442 155.4803 1.169144 15939 156.2445 1.272987 13930 193.8128 1.556312 14262 224.6434 1.689221 14669 207.9662 1.694383 15760 95.29192 1 0.765192 5834 99.46888 1 0.747963 5961 84.55166 1 0.6888762639 130.7309 1.371899 0.797244 2614 128.5251 1.292114 0.826633 2591 139.5113 1.650012 0.892903 3030 165.4527 1.736272 0.853673 3057 159.5204 1.603721 0.710105 3036153.56231.8161950.73842 11985 3877 1.3894392 5386.8561986 4181 1.4617648 6111.638 1987 4551 1.178**** ****.904 21985 4976 1.3167437 6552.117 1986 5442 1.1691441 6362.482 1987 5939 1.2729867 7560.268 319852639 1.3718987 3620.441 1986 2614 1.292114 3377.586 19872591 1.6500125 4275.182合计 36810 1.3206051 48611.47当前级别2相对数 1.45 可信性因子 0.595534703信度加权相对数1.372940862选定级别2对界别1的相对数1.372 1 1985 15531.6579738 2574.833 1986 16971.7599377 2986.614 1987 1870 1.5873038 2968.258 2 1985 39301.5563122 6116.307 1986 42621.6892206 7199.458 1987 46691.6943834 7911.076 31985 30301.7362719 5260.9041986 3057 1.6037213 4902.576 19873036 1.8161947 5513.967合计27104 1.6762837 45433.99当前级别2相对数 1.8 可信性因子0.520190388 信度加权相对数 1.735643982 选定级别2对界别1的相对数 1.74表4-12对区域2的相对数区域级别发生年已经危险单位数对区域2的相对数加权相对数1 11985 7807 1.386883 10827.391986 8539 1.273515 10874.551987 9366 1.433607 13427.16 21985 3877 1.46345 5673.7971986 4181 1.592258 6657.2331987 4551 1.327582 6041.826 31985 1553 1.477477 2294.5211986 1697 1.326829 2251.6291987 1870 1.343008 2511.424 合计43441 1.394064 60559.53 当前级别2相对数 1.4 可信性因子0.634721877信度加权相对数 1.3962322743 1 1986 5834 0.747963 4363.6151987 5961 0.688876 4106.391 21985 2639 0.797244 2103.9261986 2614 0.826633 2160.8191987 2591 0.892903 2313.513 31985 3030 0.853673 2586.6281986 3057 0.710105 2170.7911987 3036 0.7384 2241.783 合计34522 0.766322 26454.97 当前级别2相对数0.85 可信性因子0.579987232信度加权相对数0.801467842选定级别2对界别1的相对数0.8表4-13对冲销进行的基础费率修正区域级别发生年均衡已经保费当前级别相对数当前区域相对数对区域2级别1的相对数选定级别相对数选定区域相对数对区域2级别1的选定相对数相对数变化的作用保费的影响1 1 1987 2097984 1.0000 1.4000 1.4000 1.0000 1.4000 1.4000 0.00%2 1987 1479075 1.4500 1.4000 2.0300 1.3700 1.4000 1.9180 -5.52% -81604.3 1987 753610 1.8000 1.4000 2.5200 1.7400 1.4000 2.4360 -3.33% -25120.2 1 1987 2285440 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.00%2 1987 1377848 1.4500 1.0000 1.4500 1.3700 1.0000 1.3700 -5.52% -76019.3 1987 1344672 1.8000 1.0000 1.8000 1.7400 1.0000 1.7400 -3.33% -44822.3 1 1987 810696 1.0000 0.8500 0.8500 1.0000 0.8000 0.8000 -5.88% -47682 1987 510427 1.4500 0.8500 1.2325 1.3700 0.8000 1.0960 -11.08% -56533 1987 743820 1.8000 0.8500 1.5300 1.7400 0.8000 1.3920 -9.02% -67089.合计11403572 -3.50% -39887表4-14各级别与区域的基本限额费率区域级别发生年级别相对数区域相对数基础费率个级别与区域费率已经危险单位新水平已经保费当前水平1987已经保费11 1987 1 1.4 183 256 9366 2399569 20979842 1987 1 1 183 183 14284 2613972 22854403 1987 1 0.8 183 146 5961 872690.4 81069621 1987 1.37 1.4 183 351 4551 1597374 14790752 1987 1.37 1 183 251 5939 1488967 13778483 1987 1.37 0.8 183 201 2591 519671.7 51042731 1987 1.74 1.4 183 446 1870 833623.6 7536102 19871.74 1 183 318 4669 1486703 13446723 1987 1.74 0.8 183 255 3036 773378.5 743820四、奖惩系统设某BMS由三个折扣级别组成，即0%，30%，50%。