[最新推荐]天津市八年级上期末数学试卷((有答案))

八年级上册天津数学期末试卷测试卷（含答案解析）一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）1．已知OP平分∠AOB，∠DCE的顶点C在射线OP上，射线CD交射线OA于点F，射线CE交射线OB于点G．（1）如图1，若CD⊥OA，CE⊥OB，请直接写出线段CF与CG的数量关系；（2）如图2，若∠AOB=120º，∠DCE=∠AOC，试判断线段CF与CG的数量关系，并说明理由．【答案】（1）CF=CG；（2）CF=CG，见解析【解析】【分析】(1)结论CF=CG，由角平分线性质定理即可判断．(2)结论：CF=CG，作CM⊥OA于M，CN⊥OB于N，证明△CMF≌△CNG，利用全等三角形的性质即可解决问题．【详解】解：（1）结论：CF=CG；证明：∵OP平分∠AOB，CF⊥OA，CG⊥OB，∴CF=CG（角平分线上的点到角两边的距离相等）；（2）CF=CG.理由如下：如图，过点C作CM⊥OA，CN⊥OB，∵OP平分∠AOB，CM⊥OA，CN⊥OB，∠AOB=120º，∴CM=CN（角平分线上的点到角两边的距离相等），∴∠AOC=∠BOC=60º（角平分线的性质），∵∠DCE=∠AOC，∴∠AOC=∠BOC=∠DCE=60º，∴∠MCO=90º-60º =30º，∠NCO=90º-60º =30º，∴∠MCN=30º+30º=60º，∴∠MCN=∠DCE，∵∠MCF=∠MCN-∠DCN，∠NCG=∠DCE-∠DCN，∴∠MCF=∠NCG，在△MCF和△NCG中，CMF CNGCM CNMCF NCG∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△MCF≌△NCG（ASA），∴CF=CG（全等三角形对应边相等）；【点睛】本题考查三角形综合题、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握角平分线的性质的应用，熟练证明三角形全等．2．如图，在ABC∆中，ACB∠为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD.以AD为直角边且在AD的上方作等腰直角三角形ADF.（1）若AB AC=，90BAC∠=︒①当点D在线段BC上时（与点B不重合），试探讨CF与BD的数量关系和位置关系；②当点D在线段C的延长线上时，①中的结论是否仍然成立，请在图2中面出相应的图形并说明理由；（2）如图3，若AB AC≠，90BAC∠≠︒，45BCA∠=︒，点D在线段BC上运动，试探究CF与BD的位置关系.【答案】（1）①CF⊥BD，证明见解析；②成立，理由见解析；（2）CF⊥BD，证明见解析.【解析】【分析】（1）①根据同角的余角相等求出∠CAF=∠BAD，然后利用“边角边”证明△ACF和△ABD全等，②先求出∠CAF=∠BAD，然后与①的思路相同求解即可；（2）过点A作AE⊥AC交BC于E，可得△ACE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AC=AE，∠AED=45°，再根据同角的余角相等求出∠CAF=∠EAD，然后利用“边角边”证明△ACF和△AED全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ACF=∠AED，然后求出∠BCF=90°，从而得到CF⊥BD．【详解】解：（1）①∵∠BAC=90°，△ADF是等腰直角三角形，∴∠CAF+∠CAD=90°，∠BAD+∠ACD=90°，∴∠CAF=∠BAD，在△ACF和△ABD中，∵AB=AC，∠CAF=∠BAD，AD=AF，∴△ACF≌△ABD(SAS)，∴CF=BD，∠ACF=∠ABD=45°，∵∠ACB=45°，∴∠FCB=90°，∴CF⊥BD；②成立，理由如下：如图2：∵∠CAB=∠DAF=90°，∴∠CAB+∠CAD=∠DAF+∠CAD，即∠CAF=∠BAD，在△ACF和△ABD中，∵AB=AC，∠CAF=∠BAD，AD=AF，∴△ACF≌△ABD(SAS)，∴CF=BD，∠ACF=∠B，∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠ACB=45°，∴∠BCF=∠ACF+∠ACB=45°+45°=90°，∴CF⊥BD；（2）如图3，过点A作AE⊥AC交BC于E，∵∠BCA=45°，∴△ACE 是等腰直角三角形，∴AC=AE ，∠AED=45°，∵∠CAF+∠CAD=90°，∠EAD+∠CAD=90°，∴∠CAF=∠EAD ，在△ACF 和△AED 中，∵AC=AE ，∠CAF=∠EAD ，AD=AF ，∴△ACF ≌△AED(SAS)，∴∠ACF=∠AED=45°，∴∠BCF=∠ACF+∠BCA=45°+45°=90°，∴CF ⊥BD ．【点睛】本题考查全等三角形的动点问题，综合性较强，有一定难度，需要熟练掌握全等三角形的判定和性质进行综合运用.3．如图，在平面直角坐标系中，A 、B 坐标为()6,0、()0,6，P 为线段AB 上的一点．（1）如图1，若P 为AB 的中点，点M 、N 分别是OA 、OB 边上的动点，且保持AM ON =，则在点M 、N 运动的过程中，探究线段PM 、PN 之间的位置关系与数量关系，并说明理由．（2）如图2，若P 为线段AB 上异于A 、B 的任意一点，过B 点作BD OP ⊥，交OP 、OA 分别于F 、D 两点，E 为OA 上一点，且PEA BDO =∠∠，试判断线段OD 与AE 的数量关系，并说明理由．【答案】（1）PM=PN ，PM ⊥PN ，理由见解析；（2）OD=AE ，理由见解析【解析】【分析】（1）连接OP ．只要证明△PON ≌△PAM 即可解决问题；（2）作AG ⊥x 轴交OP 的延长线于G ．由△DBO ≌△GOA ，推出OD=AG ，∠BDO=∠G ，再证明△PAE ≌△PAG 即可解决问题；【详解】（1）结论：PM=PN ，PM ⊥PN ．理由如下：如图1中，连接OP ．∵A 、B 坐标为（6，0）、（0，6），∴OB=OA=6，∠AOB=90°，∵P 为AB 的中点，∴OP=12AB=PB=PA ，OP ⊥AB ，∠PON=∠PAM=45°， ∴∠OPA=90°，在△PON 和△PAM 中， ON AM PON PAM OP AP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△PON ≌△PAM （SAS ），∴PN=PM ，∠OPN=∠APM ，∴∠NPM=∠OPA=90°，∴PM ⊥PN ，PM=PN ．（2）结论：OD=AE ．理由如下：如图2中，作AG ⊥x 轴交OP 的延长线于G ．∵BD ⊥OP ，∴∠OAG=∠BOD=∠OFD=90°，∴∠ODF+∠AOG=90°，∠ODF+∠OBD=90°，∴∠AOG=∠DBO ，∵OB=OA ，∴△DBO ≌△GOA ，∴OD=AG ，∠BDO=∠G ，∵∠BDO=∠PEA ，∴∠G=∠AEP ，在△PAE 和△PAG 中，AEP G PAE PAG AP AP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△PAE ≌△PAG （AAS ），∴AE=AG ，∴OD=AE ．【点睛】考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、坐标与图形性质、直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．4．如图1，在长方形ABCD 中，AB=CD=5 cm ， BC=12 cm ，点P 从点B 出发，以2cm/s 的速度沿BC 向点C 运动，设点P 的运动时间为ts ．（1）PC=___cm ；(用含t 的式子表示)（2）当t 为何值时，△ABP ≌△DCP ？．（3）如图2，当点P 从点B 开始运动，此时点Q 从点C 出发，以vcm/s 的速度沿CD 向点D 运动，是否存在这样的v 值，使得某时刻△ABP 与以P ，Q ，C 为顶点的直角三角形全等？若存在，请求出v 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）()122t -；（2）3t =；（3）存在，2v =或53v =【解析】【分析】（1）根据P 点的运动速度可得BP 的长，再利用BC 的长减去BP 的长即可得到PC 的长； （2）先根据三角形全等的条件得出当BP=CP ，列方程求解即得；（3）先分两种情况：当BP=CQ ，AB=PC 时，△ABP ≌△PCQ ；或当BA=CQ ，PB=PC 时，△ABP ≌△QCP ，然后分别列方程计算出t 的值，进而计算出v 的值．【详解】解：（1）当点P 以2cm/s 的速度沿BC 向点C 运动时间为ts 时2BP tcm =∵12BC cm =∴()122PC BC BP t cm =-=-故答案为：()122t -（2）∵ABP DCP ∆≅∆∴BP CP =∴2122t t =-解得3t =．（3）存在，理由如下：①当BP=CQ ，AB=PC 时，△ABP ≌△PCQ ，∴PC=AB=5∴BP=BC-PC=12-5=7∵2BP tcm =∴2t=7解得t=3.5∴CQ=BP=7，则3.5v=7解得2v =．②当BA CQ =，PB PC =时，ABP QCP ∆≅∆∵12BC cm = ∴162BP CP BC cm === ∵2BP tcm =∴26t = 解得3t =∴3CQ vcm =∵5AB CQ cm ==∴35v = 解得53v =． 综上所述，当2v =或53v =时，ABP ∆与以P ，Q ，C 为顶点的直角三角形全等． 【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质和矩形的性质，解题关键是将动态情况化为某一状态情况，并以这一状态为等量关系建立方程求解．5．如图1，在ABC ∆中，90ACB ∠=，AC BC =，直线MN 经过点C ，且AD MN ⊥于点D ，BE MN ⊥于点E ．易得DE AD BE =+（不需要证明）．（1）当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，其余条件不变，你认为上述结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时DE AD BE 、、之间的数量关系，并说明理由；（2）当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，其余条件不变，请直接写出此时DE AD BE 、、之间的数量关系（不需要证明）．【答案】(1) 不成立，DE=AD-BE ，理由见解析；(2) DE=BE-AD【解析】【分析】(1)DE 、AD 、BE 之间的数量关系是DE=AD-BE ．由垂直的性质可得到∠CAD=∠BCE ，证得△ACD ≌△CBE ，得到AD=CE ，CD=BE ，即有DE=AD-BE ；(2)DE 、AD 、BE 之间的关系是DE=BE-AD ．证明的方法与(1)一样．【详解】(1)不成立．DE 、AD 、BE 之间的数量关系是DE=AD-BE ，理由如下：如图，∵∠ACB=90°，BE ⊥CE ，AD ⊥CE ，AC CB =，∴∠ACD+∠CAD=90°，又∠ACD+∠BCE=90°，∴∠CAD=∠BCE ，在△ACD 和△CBE 中，90ADC CEB CAD BCE AC CB ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△CBE(AAS)，∴AD=CE ，CD=BE ，∴DE=CE-CD=AD-BE ；(2)结论：DE=BE-AD ．∵∠ACB=90°，BE ⊥CE ，AD ⊥CE ，AC CB =，∴∠ACD+∠CAD=90°，又∠ACD+∠BCE=90°，∴∠CAD=∠BCE ，在△ACD 和△CBE 中，90ADC CEB CAD BCE AC CB ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC ≌△CEB(AAS)，∴AD=CE ，DC=BE ，∴DE=CD-CE=BE-AD ．【点睛】本题考查了旋转的性质、直角三角形全等的判定与性质，旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角．6．如图，ABC ∆是等边三角形，点D 在边AC 上（ “点D 不与,A C 重合），点E 是射线BC 上的一个动点（点E 不与点,B C 重合），连接DE ，以DE 为边作作等边三角形DEF ∆，连接CF .（1）如图1，当DE 的延长线与AB 的延长线相交，且,C F 在直线DE 的同侧时，过点D 作//DG AB ，DG 交BC 于点G ，求证：CF EG =；（2）如图2，当DE 反向延长线与AB 的反向延长线相交，且,C F 在直线DE 的同侧时，求证：CD CE CF =+；（3）如图3， 当DE 反向延长线与线段AB 相交，且,C F 在直线DE 的异侧时，猜想CD 、CE 、CF 之间的等量关系，并说明理由.【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解；（3）CF =CD +CE ，理由见详解.【解析】【分析】(1)由ABC ∆是等边三角形，//DG AB ，得∠CDG=∠A=60°，∠ACB=60°，CDG ∆是等边三角形，易证∆ GDE ≅ ∆ CDF(SAS)，即可得到结论；(2)过点D 作DG ∥AB 交BC 于点G ，易证∆ GDE ≅ ∆ CDF(SAS)，即可得到结论；(3)过点D 作DG ∥AB 交BC 于点G ，易证∆ GDE ≅ ∆ CDF(SAS)，即可得到结论.【详解】（1）∵ABC ∆是等边三角形，//DG AB ，∴∠CDG=∠A=60°，∠ACB=60°，∴CDG ∆是等边三角形，∴DG=DC.∵DEF ∆是等边三角形，∴DE=DF ，∠EDF=60°，∴∠CDG-∠GDF=∠EDF-∠GDF ，即：∠GDE=∠CDF ，在∆ GDE 和∆ CDF 中，∵DE DF GDE CDF DG DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴∆ GDE ≅ ∆ CDF(SAS)，∴CF EG =；（2）过点D 作DG ∥AB 交BC 于点G ，如图2，∵ABC ∆是等边三角形，//DG AB ，∴∠CDG=∠A=60°，∠ACB=60°，∴CDG ∆是等边三角形，∴DG=DC.∵DEF ∆是等边三角形，∴DE=DF ，∠EDF=60°，∴∠CDG-∠CDE=∠EDF-∠CDE ，即：∠GDE=∠CDF ，在∆ GDE 和∆ CDF 中，∵DE DF GDE CDF DG DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴∆ GDE ≅ ∆ CDF(SAS)，∴CF GE =，∴CD CG CE GE CE CF ==+=+（3）CF =CD +CE ，理由如下：过点D 作DG ∥AB 交BC 于点G ，如图3，∵ABC∆是等边三角形，//DG AB，∴∠CDG=∠A=60°，∠ACB=60°，∴CDG∆是等边三角形，∴DG=DC=GC.∵DEF∆是等边三角形，∴DE=DF，∠EDF=60°，∴∠CDG+∠CDE=∠EDF+∠CDE，即：∠GDE=∠CDF，在∆ GDE和∆ CDF中，∵DE DFGDE CDFDG DC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴∆ GDE≅∆ CDF(SAS)，∴CF GE==GC+CE=CD+CE.【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和三角形全等的判定和性质定理，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键.7．综合与实践：我们知道“两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等”.但是，乐乐发现：当这两个三角形都是锐角三角形时，它们会全等.（1）请你用所学知识判断乐乐说法的正确性.如图，已知ABC∆、111A B C∆均为锐角三角形，且11AB A B=，11BC B C=，1C C∠=∠.求证：111ABC A B C∆∆≌.（2）除乐乐的发现之外，当这两个三角形都是______时，它们也会全等.【答案】（1）见解析；（2）钝角三角形或直角三角形.【解析】【分析】（1）过B 作BD ⊥AC 于D ，过B 1作B 1D 1⊥B 1C 1于D 1，得出∠BDA=∠B 1D 1A 1=∠BDC=∠B 1D 1C 1=90°，根据SAS 证△BDC ≌△B 1D 1C 1，推出BD=B 1D 1，根据HL 证Rt △BDA ≌Rt △B 1D 1A 1，推出∠A=∠A 1，根据AAS 推出△ABC ≌△A 1B 1C 1即可．（2）当这两个三角形都是直角三角形时，直接利用HL 即可证明；当这两个三角形都是钝角三角形时，与（1）同理可证.【详解】（1）证明：过点B 作BD AC ⊥于D ，过1B 作1111B D A C ⊥于1D ，则11111190BDA B D A BDC B D C ∠=∠=∠=∠=︒.在BDC ∆和111B D C ∆中，1C C ∠=∠，111BDC B D C ∠=∠，11BC B C =，∴111BDC B D C ∆∆≌，∴11BD B D =.在Rt BDA ∆和111Rt B D A ∆中，11AB A B =，11BD B D =，∴111Rt Rt (HL)BDA B D A ∆∆≌，∴1A A ∠=∠.在ABC ∆和111A B C ∆中，1C C ∠=∠，1A A ∠=∠，11AB A B =，∴111(AAS)ABC A B C ∆∆≌.（2）如图，当这两个三角形都是直角三角形时，∵11AB A B =，11BC B C =，190C C ∠==∠︒.∴Rt ABC ∆≌111Rt A B C ∆（HL ）；∴当这两个三角形都是直角三角形时，它们也会全等；如图，当这两个三角形都是钝角三角形时，作BD ⊥AC ，1111B D A C ⊥，与（1）同理，利用AAS 先证明111BDC B D C ∆∆≌，得到11BD B D =，再利用HL 证明111Rt Rt BDA B D A ∆∆≌，得到1A A ∠=∠，再利用AAS 证明111ABC A B C ∆∆≌；∴当这两个三角形都是钝角三角形时，它们也会全等；故答案为：钝角三角形或直角三角形.【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．解题的关键是熟练掌握证明三角形全等的方法.8．如图，A （0，4）是直角坐标系y 轴上一点，动点P 从原点O 出发，沿x 轴正半轴运动，速度为每秒1个单位长度，以P 为直角顶点在第一象限内作等腰Rt △APB ．设P 点的运动时间为t 秒．（1）若AB ∥x 轴，如图1，求t 的值；（2）设点A 关于x 轴的对称点为A ′，连接A ′B ，在点P 运动的过程中，∠OA ′B 的度数是否会发生变化，若不变，请求出∠OA ′B 的度数，若改变，请说明理由．（3）如图2，当t ＝3时，坐标平面内有一点M （不与A 重合）使得以M 、P 、B 为顶点的三角形和△ABP 全等，请直接写出点M 的坐标．【答案】（1）4；（2）∠OA ′B 的度数不变，∠OA ′B ＝45︒，理由见解析；（3）点M 的坐标为（6，﹣4），（4，7），（10，﹣1）【解析】【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质以及平行线的性质，可证明△AOP 为等腰直角三角形，从而求得答案；（2）根据对称的性质得：PA ＝PA '＝PB ，由∠PAB +∠PBA ＝90°，结合三角形内角和定理即可求得∠OA 'B ＝45°；（3）分类讨论：分别讨论当△ABP ≌△MBP 、△ABP ≌△MPB 、△ABP ≌△MPB 时，点M 的坐标的情况；过点M 作x 轴的垂线、过点B 作y 轴的垂线，利用等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定和性质求得点M 的坐标即可.【详解】（1）∵AB ∥x 轴，△APB 为等腰直角三角形，∴∠PAB ＝∠PBA ＝∠APO ＝45°，∴△AOP 为等腰直角三角形，∴OA ＝OP ＝4．∴t ＝4÷1＝4（秒），故t 的值为4．（2）如图2，∠OA ′B 的度数不变，∠OA ′B ＝45°，∵点A 关于x 轴的对称点为A ′，∴PA ＝PA '，又AP ＝PB ，∴PA ＝PA '＝PB ，∴∠PAA '＝∠PA 'A ，∠PBA '＝∠PA 'B ，又∵∠PAB +∠PBA ＝90°，∴∠PAA '+∠PA 'A +∠PA 'B +∠PBA '＝180()PAB PBA ∠∠︒-+180=︒-90°=90°，∴∠AA 'B ＝45°，即∠OA 'B ＝45°；（3）当t ＝3时，M 、P 、B 为顶点的三角形和△ABP 全等，①如图3，若△ABP ≌△MBP ，则AP ＝PM ，过点M 作MD ⊥OP 于点D ，∵∠AOP ＝∠PDM ，∠APO ＝∠DPM ，∴△AOP ≌△MDP （AAS ），∴OA ＝DM ＝4，OP ＝PD ＝3，∴M 的坐标为：（6，-4）．②如图4，若△ABP ≌△MPB ，则AB PM =，过点M 作M E ⊥x 轴于点E ，过点B 作BG ⊥x 轴于点G ，过点B 作BF ⊥y 轴于点F ，∵△APB 为等腰直角三角形，则△MPB 也为等腰直角三角形，∴∠BAP ＝∠MPB=45︒，PA PB =∵139023∠+∠=︒=∠+∠，∴12∠=∠∴Rt AOP Rt PGB ≅∴34BG OP PG AO ====，∵BG ⊥x 轴BF ，⊥y 轴∴四边形BGOF 为矩形，∴3OP BG ==，则431AF OA OF =-=-=347BF OG OP PG ==+=+=在Rt ABF 和Rt PME 中∠BAF ＝45︒+1∠，∠MPE ＝45︒+2∠，∴∠BAF ＝∠MPE ∵AB PM =∴Rt ABF Rt PME ≅∴71ME BF PE AF ====，∴M 的坐标为：（4，7），③如图5，若△ABP ≌△MPB ，则AB PM =，过点M 作M E ⊥x 轴于点D ，过点B 作BG ⊥x 轴于点E ，过点B 作BF ⊥y 轴于点F ，∵△APB 为等腰直角三角形，则△MPB 也为等腰直角三角形，∴∠BAP ＝∠MPB=45︒，PA PB =∵139023∠+∠=︒=∠+∠，∴12∠=∠∴Rt AOP Rt PEB ≅∴34BE OP PE AO ====，∵BE ⊥x 轴BF ，⊥y 轴∴四边形BEOF 为矩形，∴3OP BG ==，则431AF OA OF =-=-=347BF OE OP PE ==+=+=在Rt ABF 和Rt PMD 中∵BF ⊥y 轴∴42∠=∠∵42ABF PMD ∠∠∠+=∠+∴ABF PMD ∠∠=∵AB PM =∴Rt ABF Rt PMD ≅∴17MD AF PD BF ====，∴M 的坐标为：（10，﹣1）．综合以上可得点M 的坐标为：（6，﹣4），（4，7），（10，﹣1）．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，第(3)小题要注意分类讨论，作此类型的题要结合图形，构建适当的辅助线，寻找相等的量才能得出结论．9．如图1，在等边△ABC 中，E 、D 两点分别在边AB 、BC 上，BE =CD ，AD 、CE 相交于点F．（1）求∠AFE的度数；（2）过点A作AH⊥CE于H，求证：2FH+FD=CE ；（3）如图2，延长CE至点P，连接BP，∠BPC=30°，且CF=29CP，求PFAF的值．（提示：可以过点A作∠KAF=60°，AK交PC于点K，连接KB）【答案】（1）∠AFE=60°；（2）见解析；（3）75【解析】【分析】（1）通过证明BCE CAD≌得到对应角相等，等量代换推导出60AFE∠=︒；（2）由（1）得到60AFE∠=︒，CE AD=则在Rt AHF△中利用30°所对的直角边等于斜边的一半，等量代换可得；（3）通过在PF上取一点K使得KF=AF，作辅助线证明ABK和ACF全等，利用对应边相等，等量代换得到比值.(通过将ACF顺时针旋转60°也是一种思路.)【详解】（1）解：如图1中．∵ABC为等边三角形，∴AC=BC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，在BCE和CAD中，60BE CDCBE ACDBC CA=⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴BCE CAD≌（SAS），∴∠BCE=∠DAC，∵∠BCE+∠ACE=60°，∴∠DAC+∠ACE=60°，∴∠AFE=60°．（2）证明：如图1中，∵AH⊥EC，∴∠AHF=90°，在Rt△AFH中，∵∠AFH=60°，∴∠FAH=30°，∴AF=2FH，∵EBC DCA≌，∴EC=AD，∵AD=AF+DF=2FH+DF，∴2FH+DF=EC．（3）解：在PF上取一点K使得KF=AF，连接AK、BK，∵∠AFK=60°，AF=KF，∴△AFK为等边三角形，∴∠KAF=60°，∴∠KAB=∠FAC，在ABK和ACF中，AB ACKAB ACFAK AF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ABK ACF≌(SAS)，BK CF=∴∠AKB=∠AFC=120°，∴∠BKE=120°﹣60°=60°，∵∠BPC=30°，∴∠PBK=30°，∴29BK CF PK CP===，∴79PF CP CF CP=-=，∵45 ()99AF KF CP CF PK CP CP CP==-+=-=∴779559CPPFAF CP== .【点睛】掌握等边三角形、直角三角形的性质，及三角形全等的判定通过一定等量代换为本题的关键.10．探究与发现：如图（1）所示的图形，像我们常见的学习用品一圆规，我们，不妨把这样图形叫做“规形图（1）观察“规形图（1）”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的数量关系，并说明理由；（2）请你直接利用以上结论，解决以下问题：①如图（2），把一块三角尺XYZ放置在△ABC上使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，若∠A＝40°，则∠ABX+∠ACX＝°．②如图（3），DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求∠DCE 的度数．【答案】（1）∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C，理由见解析；（2）①50；②∠DCE＝85°．【解析】【分析】（1）首先连接AD并延长至点F，然后根据外角的性质，即可判断出∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C；（2）①由（1）可得∠A+∠ABX+∠ACX＝∠X，然后根据∠A＝40°，∠X＝90°，即可求解；（3）②由∠A＝40°，∠DBE＝130°，求出∠ADE+∠AEB的值，然后根据∠DCE＝∠A+∠ADC+∠AEC，求出∠DCE的度数即可.【详解】（1）如图，∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C，理由是：过点A、D作射线AF，∵∠FDC＝∠DAC+∠C，∠BDF＝∠B+∠BAD，∴∠FDC+∠BDF＝∠DAC+∠BAD+∠C+∠B，即∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C；（2）①如图（2），∵∠X＝90°，由（1）知：∠A+∠ABX+∠ACX＝∠X＝90°，∵∠A＝40°，∴∠ABX+∠ACX＝50°，故答案为：50；②如图（3），∵∠A＝40°，∠DBE＝130°，∴∠ADE+∠AEB＝130°﹣40°＝90°，∵DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，∴∠ADC＝12∠ADB，∠AEC＝12∠AEB，∴∠ADC+∠AEC＝1(ADB AEB)2∠+∠＝45°，∴∠DCE＝∠A+∠ADC+∠AEC＝40°+45°＝85°．【点睛】本题主要考查了三角形外角性质以及角平分线的定义的运用，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键.二、八年级数学轴对称解答题压轴题（难）11．（问题情境）学习《探索全等三角形条件》后，老师提出了如下问题：如图①，△ABC 中，若AB=12，AC=8，求BC边上的中线AD的取值范围．同学通过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE=AD，连接BE.根据SAS可证得到△ADC≌△EDB，从而根据“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是．解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中.（直接运用）如图②，AB⊥AC，AD⊥AE，AB=AC，AD=AE，AF是ACD的边CD上中线.求证：BE=2AF.（灵活运用）如图③，在△ABC中，∠C=90°，D为AB的中点，DE⊥DF，DE交AC于点E，DF交AB于点F，连接EF，试判断以线段AE、BF、EF为边的三角形形状，并证明你的结论.【答案】（1）2＜AD＜10；（2）见解析（3）为直角三角形，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据△ADC≌△EDB，得到BE=AC=8，再根据三角形的构成三角形得到AE的取值，再根据D为AE中点得到AD的取值；（2）延长AF到H，使AF=HF，故△ADF≌△HCF，AH=2AF，由AB⊥AC，AD⊥AE，得到∠BAE+∠CAD=180°，又∠ACH+∠CAH+∠AHC=180°，根据∠D=∠FCH，∠DAF=∠CHF，得到∠ACH+∠CAD=180°，故∠BAE= ACH，再根据AB=AC，AD=AE即可利用SAS证明△BAE≌△ACH，故BE=AH,故可证明BE=2AF.（3）延长FD到点G，使DG=FD，连结GA，GE，证明△DBF≌△DAG，故得到FD=GD，BF=AG,由DE⊥DF，得到EF=EG,再求出∠EAG=90°，利用勾股定理即可求解.【详解】（1）∵△ADC≌△EDB，∴BE=AC=8，∵AB=12，∴12-8＜AE＜12+8，即4＜AE＜20，∵D为AE中点∴2＜AD＜10；（2）延长AF到H，使AF=HF，由题意得△ADF≌△HCF，故AH=2AF，∵AB⊥AC，AD⊥AE，∴∠BAE+∠CAD=180°，又∠ACH+∠CAH+∠AHC=180°，∵∠D=∠FCH，∠DAF=∠CHF，∴∠ACH+∠CAD=180°，故∠BAE= ACH，又AB=AC，AD=AE∴△BAE≌△ACH（SAS），故BE=AH,又AH=2AF∴BE= 2AF.（3）以线段AE、BF、EF为边的三角形为直角三角形，理由如下：延长FD到点G，使DG=FD，连结GA，GE，由题意得△DBF≌△ADG，∴FD=GD，BF=AG,∵DE⊥DF，∴DE垂直平分GF,∴EF=EG,∵∠C=90°，∴∠B+∠CAB=90°，又∠B=∠DAG，∴∠DAG +∠CAB=90°∴∠EAG=90°，故EG2=AE2+AG2，∵EF=EG, BF=AG∴EF2=AE2+BF2，则以线段AE、BF、EF为边的三角形为直角三角形.【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是根据题意作出辅助线，根据垂直平分线与勾股定理进行求解.12．（1）已知△ABC中，∠A＝90°，∠B＝67.5°，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形．（请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来．只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）（2）已知△ABC中，∠C是其最小的内角，过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求∠ABC与∠C之间的关系．【答案】(1)图形见解析(2) ∠ABC与∠C之间的关系是∠ABC＝135°－34∠C或∠ABC＝3∠C或∠ABC＝180°－3∠C或∠ABC＝90°，∠C是小于45°的任意锐角．【解析】试题分析：（1）已知角度，要分割成两个等腰三角形，可以运用直角三角形、等腰三角形性质结合三角形内角和定理，先计算出可能的角度，或者先从草图中确认可能的情况，及角度，然后画上．（2）在（1）的基础上，由“特殊”到“一般”，需要把直角三角形分成两个等腰三角形的各种情形列方程，可得出角与角之间的关系．试题解析：(1)如图①②(共有2种不同的分割法)．(2)设∠ABC＝y，∠C＝x，过点B的直线交边AC于点D.在△DBC中，①若∠C是顶角，如图，则∠CBD＝∠CDB＝90°－12x，∠A＝180°－x－y.故∠ADB＝180°－∠CDB＝90°＋12x＞90°，此时只能有∠A＝∠ABD，即180°－x－y＝y－1902x⎛⎫-⎪⎝⎭，∴3x＋4y＝540°，∴∠ABC＝135°－34∠C.②若∠C是底角，第一种情况：如图，当DB＝DC时，∠DB C＝x.在△ABD中，∠ADB＝2x，∠ABD＝y－x.若AB＝AD，则2x＝y－x，此时有y＝3x，∴∠ABC＝3∠C.若AB＝BD，则180°－x－y＝2x，此时有3x＋y＝180°，∴∠ABC＝180°－3∠C.若AD＝BD，则180°－x－y＝y－x，此时有y＝90°，即∠ABC＝90°，∠C为小于45°的任意锐角．第二种情况：如图，当BD＝BC时，∠BDC＝x，∠ADB＝180°－x＞90°，此时只能有AD＝BD，∴∠A＝∠ABD＝12∠BDC＝12∠C＜∠C，这与题设∠C是最小角矛盾．∴当∠C是底角时，BD＝BC不成立．综上所述，∠ABC与∠C之间的关系是∠ABC＝135°－34∠C或∠ABC＝3∠C或∠ABC＝180°－3∠C或∠ABC＝90°，∠C是小于45°的任意锐角．点睛：本题考查了等腰三角形的性质；第（1）问是计算与作图相结合的探索．本问对学生运用作图工具的能力，以及运用直角三角形、等腰三角形性质等基础知识解决问题的能力都有较高的要求．第（2）问在第（1）问的基础上，由“特殊”到“一般”，“分类讨论”把直角三角形分成两个等腰三角形的各种情形并结合“方程思想”探究角与角之间的关系．本题不仅趣味性强，创造性强，而且渗透了由“特殊”到“一般”、“分类讨论”、“方程思想”、“转化思想”等数学思想，是一道不可多得的好题．13．（1）如图①，D是等边△ABC的边BA上一动点（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边，在BC上方作等边△DCF，连接AF，你能发现AF与BD之间的数量关系吗？并证明你发现的结论；（2）如图②，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线时，其他作法与（1）相同，猜想AF与BD在（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；（3）Ⅰ.如图③，当动点D在等边△ABC边BA上运动时（点D与B不重合），连接DC，以DC为边在BC上方和下方分别作等边△DCF和等边△DCF′，连接AF，BF′，探究AF，BF′与AB有何数量关系？并证明你的探究的结论；Ⅱ．如图④，当动点D在等边△ABC的边BA的延长线上运动时，其他作法与图③相同，Ⅰ中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论．【答案】（1）AF=BD，理由见解析；（2）AF与BD在（1）中的结论成立，理由见解析；（3）Ⅰ. AF+BF′=AB，理由见解析，Ⅱ．Ⅰ中的结论不成立，新的结论是AF=AB+BF′，理由见解析．【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质得BC=AC，∠BCA=60°，DC=CF，∠DCF=60°，从而得∠BCD=∠ACF，根据SAS证明△BCD≌△ACF，进而即可得到结论；（2）根据SAS证明△BCD≌△ACF，进而即可得到结论；（3）Ⅰ．易证△BCD≌△ACF（SAS），△BCF′≌△ACD（SAS），进而即可得到结论；Ⅱ．证明△BCF′≌△ACD，结合AF=BD，即可得到结论．【详解】（1）结论：AF=BD，理由如下：如图1中，∵△ABC是等边三角形，∴BC=AC，∠BCA=60°，同理知，DC=CF，∠DCF=60°，∴∠BCA-∠DCA=∠DCF-∠DCA，即：∠BCD=∠ACF，在△BCD和△ACF中，∵BC AC BCD ACF DC FC =∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩，∴△BCD ≌△ACF （SAS ），∴BD =AF ；（2）AF 与BD 在（1）中的结论成立，理由如下：如图2中，∵△ABC 是等边三角形，∴BC =AC ，∠BCA =60°，同理知，DC =CF ，∠DCF =60°，∴∠BCA +∠DCA =∠DCF +∠DCA ，即∠BCD =∠ACF ，在△BCD 和△ACF 中，∵BC AC BCD ACF DC FC =∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩，∴△BCD ≌△ACF （SAS ），∴BD =AF ；（3）Ⅰ．AF +BF ′=AB ，理由如下：由（1）知，△BCD ≌△ACF （SAS ），则BD =AF ；同理：△BCF ′≌△ACD （SAS ），则BF ′=AD ，∴AF +BF ′=BD +AD =AB ；Ⅱ．Ⅰ中的结论不成立，新的结论是AF =AB +BF ′，理由如下：同理可得：BCF ACD ∠=∠′，F C DC =′，在△BCF ′和△ACD 中，BC AC BCF ACD F C DC =∠⎧⎪=∠=⎪⎨⎩′′， ∴△BCF ′≌△ACD （SAS ），∴BF ′=AD ，又由（2）知，AF =BD ，∴AF =BD =AB +AD =AB +BF ′，即AF =AB +BF ′．【点睛】本题主要考查等边三角形的性质定理，三角形全等的判定和性质定理，熟练掌握三角形全等的判定和性质定理，是解题的关键．14．数学课上，同学们探究下面命题的正确性，顶角为36°的等腰三角形我们称之为黄金三角形，“黄金三角形“具有一种特性，即经过它某一顶点的一条直线可以把它分成两个小等腰三角形，为此，请你，解答问题：（1）已知如图1：黄金三角形△ABC 中，∠A=36°，直线BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，求证：△ABD和△DBC都是等腰三角形；（2）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，请你设计三种不同的方法，将△ABC分割成三个等腰三角形，不要求写出画法，不要求证明，但是要标出所分得的每个三角形的各内角的度数．（3）已知一个三角形可以被分成两个等腰三角形，若原三角形的一个内角为36°，求原三角形的最大内角的所有可能值．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）最大角的可能值为72°，90°，108°，126°，132°【解析】【分析】（1）通过角度转换得到∠ABD=∠BAD，和∠BDC=72°=∠C，即可判断；（2）根据等腰三角形的两底角相等及三角形内角和定理进行解答即可；（3）设原△ABD中有一个角为36°，可分成两个等腰三角形，逐个讨论：①当分割的直线过顶点B时②当分割三角形的直线过点D时情况和过点B一样的，③当分割三角形的直线过点A时，在分别求出最大角的度数即可.【详解】解：（1）证明：∵∠ABC=（180-36）÷2=72；BD平分∠ABC，∠ABD=72÷2=36°，∴∠ABD=∠BAD，∴△ABD为等腰三角形，∴∠BDC=72°=∠C，∴△BCD为等腰三角形；（2）根据等腰三角形的两底角相等及三角形内角和定理作出，如图所示：（3）设原△ABD中有一个角为36°，可分成两个等腰三角形，逐个讨论：①当分割的直线过顶点B时，【1】：第一个等腰三角形ABC以A为顶点:则第二个等腰三角形BCD只可能以C为顶点此时∠A=36°,∠D=36°，∠B=72＋36=108°，最大角的值为108°；【2】：第一个等腰三角形ABC以B为顶点：第二个等腰三角形BCD只可能以C为顶点此时：∠A=36°,∠D=18°，∠B=108+18=126°，最大角的值为126°；【3】第一个等腰三角形ABC以C为顶点：第二个等腰三角形BCD有三种情况△BCD以B为顶点：∠A=36°，∠D=72°，∴∠ABD=72°，最大角的值为72°；△BCD以C为顶点：∠A=36°，∠D=54°，∴∠ABD=90°，最大角的值为90°；△BCD以D为顶点：∠A=36°，∠D=36°∴∠ABD=108°，最大角的值为108°；②当分割三角形的直线过点D时情况和过点B一样的；③当分割三角形的直线过点A时，此时∠A=36°，∠D=12°，∠B=132°，最大角的值为132°；综上所述：最大角的可能值为72°，90°，108°，126°，132°.【点睛】本题是对三角形知识的综合考查，熟练掌握等腰三角形的性质和角度转换是解决本题的关键，难度较大，分类讨论是解决本题的关键.15．如图，△ABC中，∠ABC=∠ACB，点D在BC所在的直线上，点E在射线AC上，且AD=AE，连接DE．⑴如图①，若∠B=∠C=35°，∠BAD=80°，求∠CDE的度数；⑵如图②，若∠ABC=∠ACB=75°，∠CDE=18°，求∠BAD的度数；⑶当点D在直线BC上（不与点B、C重合）运动时，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系，并说明理由．【答案】(1)40°；（2）36°；（3）2∠CDE=∠BAD，理由见解析．【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠BAC=110°，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质即可得到结论；（2）根据三角形的外角的性质得到∠E=75°-18°=57°，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质即可得到结论；（3）设∠ABC=∠ACB=y°，∠ADE=∠AED=x°，∠CDE=α，∠BAD=β，分3种情况：①如图1，当点D 在点B的左侧时，∠ADC=x°-α，②如图2，当点D在线段BC上时，∠ADC=y°+α，③如图3，当点D在点C右侧时，∠ADC=y°-α，根据这3种情况分别列方程组即，解方程组即可得到结论．【详解】解： (1)∵∠B=∠C=35°，∴∠BAC=110° ，∵∠BAD=80°,∴∠DAE=30°，∵AD=AE ，∴∠ADE=∠AED=75°，∴∠CDE=∠AED-∠C=75°−35°=40°；(2)∵∠ACB=75°,∠CDE=18° ，∴∠E=75°−18°=57°，∴∠ADE=∠AED=57°，∴∠ADC=39°,∵∠ABC=∠ADB+∠DAB=75° ，∴∠BAD=36°.（3）设∠ABC=∠ACB=y°，∠ADE=∠AED=x°，∠CDE=α，∠BAD=β①如图1，当点D 在点B 的左侧时，∠ADC=x°﹣α∴y x y x ααβ=+⎧⎨=-+⎩①② -②得，2α﹣β=0，∴2α=β；②如图2，当点D 在线段BC 上时，∠ADC=y°+α∴+y x y x ααβ=+⎧⎨=+⎩①② -①得，α=β﹣α，∴2α=β；③如图3，当点D 在点C 右侧时，∠ADC=y°﹣α∴180180y x y x αβα-++=⎧⎨++=⎩①②-①得，2α﹣β=0，∴2α=β．综上所述，∠BAD 与∠CDE 的数量关系是2∠CDE=∠BAD ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形的内角和，熟知三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．16．已知：AD 是ABC ∆的高，且BD CD =.（1）如图1，求证：BAD CAD ∠=∠；（2）如图2，点E 在AD 上，连接BE ，将ABE ∆沿BE 折叠得到'A BE ∆，'A B 与AC 相交于点F ，若BE=BC ，求BFC ∠的大小；（3）如图3，在（2）的条件下，连接EF ，过点C 作CG EF ⊥，交EF 的延长线于点G ，若10BF =，6EG =，求线段CF 的长.图1. 图2. 图3.【答案】（1）见解析，（2）BFC ∠=60（3）8=CF .【解析】【分析】（1）根据等腰三角形三线合一，易得AB=AC ，BAD CAD ∠=∠；（2）在图2中，连接CE ，可证得BCE ∆是等边三角形，60BEC ∠= ，30BED ∠=且由折叠性质可知1'2ABE A BE ABF ∠=∠=∠，可得BFC FAB ABF ∠=∠+∠ ()2BAD ABE =∠+∠ 260BED =∠=；（3）连接CE ，过点E 分别作EH AB ⊥于点H ，EM BF ⊥于点M ，EN AC ⊥于点N ，可证得Rt BEM Rt CEN ∆≅∆，BM CN =，BF FM CF CN -=+，可得线段CF 的长.。

2022-2023学年天津市河西区八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共24.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，咸宁市积极普及科学防控知识，如图是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是( )A. 打喷嚏捂口鼻B. 防控疫情我们在一起C. 有症状早就医D. 勤洗手勤通风2. 如果一个三角形的两边长分别为2和5，则第三边长可能是( )A. 2B. 3C. 5D. 83. 我国自主研发的北斗三号新信号22纳米工艺射频基带一体化导航定位芯片已实现规模化应用．已知22纳米=0.000000022米，数据0.000000022用科学记数法表示为( )A. 2.2×108B. 2.2×10−8C. 0.22×10−7D. 22×10−94. 下列计算正确的是( )A. −a8÷a4=−a2B. a+a2=a3C. 2a⋅3a=6aD. (3a2)3=27a65. 计算(−a3)3的结果正确的是( )A. −a6B. −a9C. a6D. a96. 根据下列条件能画出唯一△ABC的是( )A. AB=2，BC=6，AC=9B. AB=7，BC=5，∠A=30°C. ∠A=50°，∠B=60°，∠C=70°D. AC=3.5，BC=4.8，∠C=70°7. 若6x=3，6y=4，则6x−2y的值为( )A. 38B. 316C. −13D. −58. 如图，在△ABC中，∠B=∠C，BF=CD，BD=CE，∠FDE=65°，则∠A的度数是( )A. 45°B. 70°C. 65°D. 50°9. 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=15°，点D是AC上一点，连接BD，∠DBC=60°，BD=4，则AD长是( )A. 4B. 5C. 6D. 810. 如图，过边长为2的等边三角形ABC的顶点C作直线l⊥BC，然后作△ABC关于直线l对称的△A′B′C，P为线段A′C上一动点，连接AP，PB，则AP+PB的最小值是( )A. 4B. 3C. 2D. 111. 某工地调来144人参加挖土和运土，已知3人挖出的土1人恰好能全部运走．怎样调配劳动力才能使挖出来的土被及时运走且不窝工(停工等待).为解决此问题，可设x人挖土，其他人运土．列方程为：①144−xx =13；②144−x=x3；③x+3x=144；④x144−x=3.上述所列方程，正确的有( )A. A.1个B. B.2个C. C.3个D. D.4个12. 若a+x2=2020，b+x2=2021，c+x2=2022，则a2+b2+c2−ab−bc−ca的值为( )A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13. 计算：abc ⋅c 2a2=______．14. 将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，则图中∠α的度数是______．15. 已知关于x的方程2x+mx−2=4的解是正数，则m的取值范围为______．16. 如图，在△ABC中，若AB=AC=8，∠A=30°，则S△ABC=______．17. a2−3a+1=0，则a2+1a2的值为______．18. 如图，已知在四边形ABCD内，DB=DC，∠DCA=60°，∠DAC=78°，∠CAB=24°，则∠ACB=______．三、解答题（本大题共7小题，共58.0分。

天津市和平区八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．将0.00002用科学记数法表示应为（）A．2×10﹣5B．2×10﹣4C．20×10﹣6D．20×10﹣53．分式方程＝的解为（）A．x＝0B．x＝3C．x＝5D．x＝94．分式﹣可变形为（）A．﹣B．C．﹣D．5．已知三角形两边长分别为3和8，则该三角形第三边的长可能是（）A．5B．10C．11D．126．如图，△ABC和△DEF中，AB＝DE、∠B＝∠DEF，添加下列哪一个条件无法证明△ABC≌△DEF（）A．AC∥DF B．∠A＝∠D C．AC＝DF D．∠ACB＝∠F7．下列计算正确的是（）A．a2•a3＝a6B．（﹣2ab）2＝4a2b2C．（a2）3＝a5D．3a3b2÷a2b2＝3ab8．如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC．将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE ＝∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS9．计算（2m2n﹣2）2•3m﹣3n3的结果等于（）A．B．C．12mn D．12mn710．边长为a，b的长方形，它的周长为14，面积为10，则a2b+ab2的值为（）A．35B．70C．140D．28011．小刚沿公路以akm/h的速度行走全程的一半，又以bkm/h的速度行走余下的一半路程；小明以akm/h的速度行走全程时间的一半，又以bkm/h的速度行走另一半时间．已知a≠b，则他们两人走完全程所用时间的关系是（）A．小明比小刚用的时间少B．小刚比小明用的时间少C．小刚比小明用的时间相等D．不能确定12．如图，△ABC中，∠B＝60°，AD，CE分别平分∠BAC，∠BCA，AD，CE交于点F，则（）A．AE+CD＞AD B．AE+CD＝AD C．AE+CD＞AC D．AE+CD＝AC二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．当x＝时，分式的值为0．14．如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠ABC＝70°，BD平分∠ABC，则∠BDC的度数是．15．如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，若AB＝6，CD＝4，则△ABC的周长是．16．已知a2+b2＝1，a﹣b＝，则（a+b）4的值为．17．如图是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间的小等边三角形的边长是a，则六边形的周长是．18．有一个等腰三角形纸片，若能从一个底角的顶点出发，将其剪成两个等腰三角形纸片，则原等腰三角形纸片的顶角为．三、解答题（本大题共8小题，共46分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．（4分）运用完全平方公式计算：992．20．（4分）计算：[（3x+1）（x+3）﹣3（6x+1）]÷2x．21．（8分）计算：（1）（+）÷（﹣）（2）+．22．（6分）如图，点B在线段AD上，BC∥DE，AB＝ED，BC＝DB．求证：∠A＝∠E．23．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，分别以点A，C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M、N，直线MN与AC，BC分别交于点D、E，连接AE．（1）∠ADE的大小等于（度）（2）当AB＝3，BC＝4时，求△ABE的周长．24．（6分）注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路，填写表格，并完成本题解答的全过程．如果你选用其他的解题方案，此时，不必填写表格，只需按照解答题的一般要求，进行解答即可．改良玉米品种后，迎春村玉米平均每公顷增加产量a吨，原来产60吨玉米的一块土地，现在的总产量增加了20吨，原来和现在玉米的平均每公顷产量各是多少？（1）设原来玉米平均每公顷产量为x吨，填写下表：（2）列出方程，并求出问题的解．25．（6分）分解因式：（1）x2+5x+6＝；（2）3x2﹣4x+1＝；（3）（a﹣3b）2﹣4c2+12ab＝．26．（6分）已知△ABC，△EFG是边长相等的等边三角形，点D是边BC，EF的中点．（1）如图①，连接AD，GD，则∠ADC的大小＝（度）；∠GDF的大小＝（度）；AD与GD的数量关系是；DC与DF的数量关系是；（2）如图②，直线AG，FC相交于点M，求∠AMF的大小．天津市和平区八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、不可以看作是轴对称图形，故本选项错误；B、不可以看作是轴对称图形，故本选项错误；C、可以看作是轴对称图形，故本选项正确；D、不可以看作是轴对称图形，故本选项错误．故选：C．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.000 02＝2×10﹣5．故选：A．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：2x＝3x﹣9，解得：x＝9，经检验x＝9是分式方程的解，故选：D．【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．4．【分析】先提取﹣1，再根据分式的符号变化规律得出即可．【解答】解：﹣＝﹣＝，故选：D．【点评】本题考查了分式的基本性质的应用，能正确根据分式的基本性质进行变形是解此题的关键，注意：分式本身的符号，分子的符号，分母的符号，变换其中的两个，分式的值不变．5．【分析】根据三角形的第三边大于两边之差，而小于两边之和求得第三边的取值范围，再进一步选择．【解答】解：根据三角形的三边关系，得第三边大于：8﹣3＝5，而小于：3+8＝11．则此三角形的第三边可能是：10．故选：B．【点评】本题考查了三角形的三边关系，即三角形的第三边大于两边之差，而小于两边之和，此题基础题，比较简单．6．【分析】根据全等三角形的判定定理，即可得出答．【解答】解：∵AB＝DE，∠B＝∠DEF，∴添加AC∥DF，得出∠ACB＝∠F，即可证明△ABC≌△DEF，故A、D都正确；当添加∠A＝∠D时，根据ASA，也可证明△ABC≌△DEF，故B正确；但添加AC＝DF时，没有SSA定理，不能证明△ABC≌△DEF，故C不正确；故选：C．【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，证明三角形全等的方法有：SSS，SAS，ASA，AAS，还有直角三角形的HL定理．7．【分析】根据同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方、整式的除法，即可解答．【解答】解：A、a2•a3＝a5，故正确；B、正确；C、（a2）3＝a6，故错误；D、3a2b2÷a2b2＝3，故错误；故选：B．【点评】本题考查了同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方、整式的除法，解决本题的关键是熟记同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方、整式的除法的法则．8．【分析】在△ADC和△ABC中，由于AC为公共边，AB＝AD，BC＝DC，利用SSS定理可判定△ADC≌△ABC，进而得到∠DAC＝∠BAC，即∠QAE＝∠PAE．【解答】解：在△ADC和△ABC中，，∴△ADC≌△ABC（SSS），∴∠DAC＝∠BAC，即∠QAE＝∠PAE．故选：D．【点评】本题考查了全等三角形的应用；这种设计，用SSS判断全等，再运用性质，是全等三角形判定及性质的综合运用，做题时要认真读题，充分理解题意．9．【分析】直接利用积的乘方运算法则化简，进而利用单项式乘以单项式运算法则计算得出答案．【解答】解：（2m2n﹣2）2•3m﹣3n3＝4m4n﹣4•3m﹣3n3＝12mn﹣1＝．故选：A．【点评】此题主要考查了积的乘方运算以及单项式乘以单项式运算，正确掌握运算法则是解题关键．10．【分析】先把所给式子提取公因式ab，再整理为与题意相关的式子，代入求值即可．【解答】解：根据题意得：a+b＝7，ab＝10，∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝70．故选：B．【点评】本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了数学整体思想和正确运算的能力．11．【分析】设全程为1，小明走完全程所用时间是x小时，用代数式表示小刚、小明所用时间，然后做减法比较大小．【解答】解：设全程为1，小刚所用时间是＝设小明走完全程所用时间是x小时．根据题意，得ax+bx＝1，x＝则小明所用时间是小刚所用时间减去小明所用时间得﹣＝＞0即小刚所用时间较多．故选：A．【点评】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键12．【分析】通过角之间的转化可得出△AGF≌△AEF，进而可得出线段之间的关系，即可得出结论．【解答】解：在AC上截取AG＝AE，连接GF，如图所示：∵∠ABC＝60°，AD，CE分别平分∠BAC，∠BCA，∴∠FAC+∠FCA＝60°，∴∠AFE＝∠FAC+∠FCA＝60°，在△AGF和△AEF中，，∴△AGF≌△AEF（SAS），∴FG＝FE，∠AFG＝∠AFE＝60°，∴∠GFC＝∠AFC﹣∠AFG＝120°﹣60°＝60°，∵∠CFD＝∠AFE＝60°，∴∠CFD＝∠CFG在△CFG和△CFD中，，∴△CFG≌△CFD（AAS），∴CG＝CD，∴AE+CD＝AG+CG＝AC．故选：D．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，关键是需要通过作辅助线证明三角形全等才能得出结论．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．【分析】根据分式值为零的条件可得x2﹣1＝0，且x+1≠0，再解即可．【解答】解：由题意得：x2﹣1＝0，且x+1≠0，解得：x＝1，故答案为：1．【点评】此题主要考查了分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．14．【分析】根据三角形内角和得出∠C＝60°，再利用角平分线得出∠DBC＝35°，进而利用三角形内角和得出∠BDC的度数．【解答】解：∵在△ABC中，∠A＝50°，∠ABC＝70°，∴∠C＝60°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝35°，∴∠BDC＝180°﹣60°﹣35°＝85°．故答案为：85°．【点评】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理等知识，解答本题的关键是根据三角形内角和得出∠C＝60°，再利用角平分线得出∠DBC＝35°．15．【分析】运用等腰三角形的性质，可得BD＝CD，再求出△ABC的周长．【解答】解：∵在△ABC中，AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形，又∵AD⊥BC于点D∴BD＝CD∵AB＝6，CD＝4∴△ABC的周长＝6+4+4+6＝20．故答案为：20．【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形中的三线合一是解题的关键．16．【分析】把a﹣b＝两边平方得到a2﹣2ab+b2＝，则2ab＝，所以（a+b）2＝，然后两边平方得到（a+b）4的值．【解答】解：∵a﹣b＝，∴（a﹣b）2＝，即a2﹣2ab+b2＝，∵a2+b2＝1，∴2ab＝，∴a2+2ab+b2＝，即（a+b）2＝，∴（a+b）4＝．故答案为．【点评】本题考查了完全平方公式：记住公式（a±b）2＝a2±2ab+b2．17．【分析】根据等边三角形的性质，如右下角的第二小的三角形，设它的边长为x，则可依次求出等边三角形的边长，进而求出六边形周长为7x+9a，由图知最大的三角形的边长等于第二小的三角形边长的2倍，即x+3a＝2x，求出x＝3a．即可求六边形周长．【解答】解：因为每个三角形都是等边的，从其中一个三角形入手，比如右下角的第二小的三角形，设它的边长为x，则等边三角形的边长依次为x，x+a，x+a，x+2a，x+2a，x+3a，所以六边形周长是，2x+2（x+a）+2（x+2a）+（x+3a）＝7x+9a，而最大的三角形的边长等于第二小的三角形边长的2倍，即x+3a＝2x，故x＝3a．所以周长为7x+9a＝30a．故答案为：30a．【点评】本题考查了等边三角形的性质，认真观察图形，找出等量关系，解一元一次方程即可．关键是要找出其中的等量关系．18．【分析】根据等腰三角形的性质可得到几组相等的角，再根据三角形外角的性质可得到∠C与∠A之间的关系，最后根据三角形内角和定理不难求解．【解答】解：①如图（1），∵AB＝AC，AD＝BD＝BC，∴∠ABC＝∠C＝∠BDC，∠A＝∠ABD，∵∠BDC＝2∠A，∴∠ABC＝2∠A，∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴5∠A＝180°，∴∠A＝36°．②如图（2）AD＝BD，BC＝CD，设∠A＝β，则∠ABD＝β，∴∠1＝2β＝∠2，∵∠ABC＝∠C，∴∠C＝∠2+∠β，∴∠C＝3β，∴7β＝180°，∴β＝；即∠A＝；③如图（3）AD＝DB＝DC，则∠ABC＝90°，不可能．故原等腰三角形纸片的顶角为36°或．【点评】此题主要考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质及三角形内角和定理的综合运用．三、解答题（本大题共8小题，共46分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．【分析】直接利用完全平方公式计算得出答案．【解答】解：992＝（100﹣1）2＝1002﹣2×100×1+12＝9801．【点评】此题主要考查了完全平方公式，正确将原式变形是解题关键．20．【分析】原式利用多项式乘以多项式、单项式乘以单项式法则计算，在运用多项式除以单项式法则即可得到结果．【解答】解：[（3x+1）（x+3）﹣3（6x+1）]÷2x．＝[3x2+9x+x+3﹣18x﹣3]÷2x．＝（3x2﹣8x）÷2x．＝x﹣4．【点评】本题考查整式混合的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，注意单项式与多项式相乘时的符号．21．【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．【解答】解：（1）原式＝÷＝•＝（2）原式＝＝【点评】本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．22．【分析】直接利用平行线的性质结合全等三角形的判定方法得出答案．【解答】证明：如图，∵BC∥DE，∴∠ABC＝∠BDE．在△ABC与△EDB中，，∴△ABC≌△EDB（SAS），∴∠A＝∠E．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．23．【分析】（1）根据线段垂直平分线的画法可判断MN垂直平分AC，从而得到∠ADE的度数；（2）根据线段垂直平分线的性质得AE＝CE，则利用等线段代换得到△ABE的周长＝AB+BC，然后把AB＝3，BC＝4代入计算即可．【解答】解：（1）利用作图得MN垂直平分AC，即DE⊥AC，AD＝CD，所以∠ADE＝90°；故答案为90；（2）∵MN垂直平分AC，∴AE＝CE，∴△ABE的周长＝AB+AE+BE＝AB+EC+BE＝AB+BC＝3+4＝7．【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了线段垂直平分线的性质．24．【分析】如果设原来玉米平均每公顷产量是x吨，则现在玉米平均每公顷产量是（x+a）吨．由于种植玉米地的面积＝这块地的总产量÷平均每公顷产量，根据改良玉米品种前后种植玉米地的面积不变列方程求解．【解答】解：（1）原来玉米平均每公顷产量是x吨，则现在玉米平均每公顷产量是（x+a）吨．这块土地的面积分别为：，；故答案为：x+a；；；（2）由题意，有，解得x＝3a．把x＝3a代入x（x+a）≠0，经检验x＝3a是原方程的根，∴x+a＝3a+a＝4a．故原来和现在玉米平均每公顷产量各是3a吨，4a吨．【点评】本题考查了分式方程的应用．关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程．25．【分析】（1）十字相乘法分解可得；（2）十字相乘法分解可得；（3）先将括号内展开，再合并同类项，最后利用公式法分解可得．【解答】解：（1）x2+5x+6＝（x+2）（x+3），故答案为：（x+2）（x+3）；（2）3x2﹣4x+1＝（x﹣1）（3x﹣1），故答案为：（x﹣1）（3x﹣1）；（3）（a﹣3b）2﹣4c2+12ab＝a2﹣6ab+9b2﹣4c2+12ab＝a2+6ab+9b2﹣4c2＝（a+3b）2﹣4c2＝（a+3b+2c）（a+3b﹣2c），故答案为：（a+3b+2c）（a+3b﹣2c）．【点评】本题主要考查因式分解，解题的关键是熟练掌握十字相乘法和公式法分解因式的能力．26．【分析】（1）如图①中，根据等边三角形的性质解答即可．（2）如图连接AD，DG，利用等边三角形的性质即可解决问题．【解答】解：（1）如图①，连接AD，GD，∵△ABC是等边三角形，BD＝DC，则∠ADC的大小＝90°；∵△EGF是等边三角形，ED＝DF，∴∠GDF＝90°；∵BC＝EF，∴AD＝GD；DC＝DF；（2）连接AD，DG，由（1）得：∠ADC＝∠GDF＝90°，∴∠ADC﹣∠GDC＝∠GDF﹣∠GDC，即∠1＝∠2，由（1）得：AD＝GD，∴∠DGA＝∠DAG＝，由（1）得：DC＝DF，∴∠3＝∠DCF＝，∴∠DGA＝∠3，∵∠AMF＝∠AGF+∠5，∴∠AMF＝∠DGA+∠5+∠4＝∠3+∠5+∠4＝180°﹣∠GDF＝180°﹣90°＝90°．故答案为：90；90；AD＝GD；DC＝DF．【点评】本题考查等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是根据等边三角形的性质解答．。

2019-2020学年天津市八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．（3分）下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（）A．x2+2x﹣1=（x﹣1）2 B．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2C．x2+4x+4=（x+2）2D．ax2﹣a=a （x2﹣1）3．（3分）要使分式有意义，x应满足的条件是（）A．x＞3 B．x=3 C．x＜3 D．x≠34．（3分）计算x3•x2的结果是（）A．x6B．x5C． x2 D．x5．（3分）已知点P（a，3）、Q（﹣2，b）关于y轴对称，则=（）A．﹣5 B．5 C．﹣D．6．（3分）下列各式：①，②，③，④，其中是分式的有（）A．①②③④B．①④C．①②④D．②④7．（3分）小朱要到距家1500米的学校上学，一天，小朱出发10分钟后，小朱的爸爸立即去追小朱，且在距离学校60米的地方追上了他．已知爸爸比小朱的速度快100米/分，求小朱的速度．若设小朱速度是x米/分，则根据题意所列方程正确的是（）A．B．C．D．8．（3分）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF 分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM 周长的最小值为（）A．6 B．8 C．10 D．12二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，将答案填在题中横线上）9．（3分）当x= 时，分式的值为零．10．（3分）一种病毒的直径为0.000023m，这个数用科学记数法表示为．11．（3分）已知x m=6，x n=3，则x2m﹣n的值为．12．（3分）分解因式：27x2+18x+3= ．13．（3分）若关于x的分式方程无解，则m的值是．14．（3分）如图，在等腰△ABC的两腰AB、BC上分别取点D和E，使DB=DE，此时恰有∠ADE=∠ACB，则∠B的度数是．15．（3分）如图，∠ABC=50°，BD平分∠ABC，过D作DE∥AB交BC于点E，若点F在AB上，且满足DF=DE，则∠DFB的度数为．16．（3分）如图，△ADB、△BCD都是等边三角形，点E，F分别是AB，AD上两个动点，满足AE=DF．连接BF与DE相交于点G，CH⊥BF，垂足为H，连接CG．若DG=a，BG=b，且a、b满足下列关系：a2+b2=5，ab=2，则GH= ．三、解答题（17、18、19、20题各8分，21、22题10分，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）（1）（﹣2a）3﹣（﹣a）•（3a）2（2）（2a﹣3b）2﹣4a（a﹣2b）18．（8分）先化简再求值：（1﹣）÷，其中x=（）﹣1+3019．（8分）解分式方程： +=1．20．（8分）已知，如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，求证：PQ=BP．21．（10分）某文具店老板第一次用1000元购进一批文具，很快销售完毕；第二次购进时发现每件文具进价比第一次上涨了2.5元．老板用2500元购进了第二批文具，所购进文具的数量是第一次购进数量的2倍，同样很快销售完毕，两批文具的售价为每件15元．（1）问第二次购进了多少件文具？（2）文具店老板第一次购进的文具有30元的损耗，第二次购进的文具有125元的损耗，问文具店老板在这两笔生意中是盈利还是亏本？请说明理由．22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以线段OA为边在第四象限内作等边三角形AOB，点C为x正半轴上一动点（OC＞1），连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边△CBD，连接DA并延长，交y轴于点E．①△OBC与△ABD全等吗？判断并证明你的结论；②当点C运动到什么位置时，以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形？2019-2020学年天津市河北区八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．（3分）下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，故本选项正确．故选：D．2．（3分）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（）A．x2+2x﹣1=（x﹣1）2 B．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2C．x2+4x+4=（x+2）2D．ax2﹣a=a （x2﹣1）【解答】解：（A）x2+2x﹣1≠（x﹣1）2，故A不是因式分解，（B）a2﹣b2=（a+b）（a﹣b），故B不是因式分解，（D）a x2﹣a=a（x2﹣1）=a（x+1）（x﹣1），故D分解不完全，故选：C．3．（3分）要使分式有意义，x应满足的条件是（）A．x＞3 B．x=3 C．x＜3 D．x≠3【解答】解：当x﹣3≠0时，分式有意义，即当x≠3时，分式有意义，故选：D．4．（3分）计算x3•x2的结果是（）A．x6B．x5C．x2D．x【解答】解：x3•x2=x3+2=x5．故选：B．5．（3分）已知点P（a，3）、Q（﹣2，b）关于y轴对称，则=（）A．﹣5 B．5 C．﹣D．【解答】解：∵点P（a，3）、Q（﹣2，b）关于y轴对称，∴a=2，b=3，则==﹣．故选：C．6．（3分）下列各式：①，②，③，④，其中是分式的有（）A．①②③④B．①④C．①②④D．②④【解答】解：式子：①，②，③，④，其中是分式的有：①，④．故选：B．7．（3分）小朱要到距家1500米的学校上学，一天，小朱出发10分钟后，小朱的爸爸立即去追小朱，且在距离学校60米的地方追上了他．已知爸爸比小朱的速度快100米/分，求小朱的速度．若设小朱速度是x米/分，则根据题意所列方程正确的是（）A．B．C．D．【解答】解：设小朱速度是x米/分，则爸爸的速度是（x+100）米/分，由题意得：=+10，即： =+10，故选：B．8．（3分）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF 分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM 周长的最小值为（）A．6 B．8 C．10 D．12【解答】解：连接AD，∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S=BC•AD=×4×AD=16，解得AD=8，△ABC∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点C关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为CM+MD的最小值，∴△CDM的周长最短=（CM+MD）+CD=AD+BC=8+×4=8+2=10．故选：C．二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，将答案填在题中横线上）9．（3分）当x= ﹣3 时，分式的值为零．【解答】解：要使分式由分子x2﹣9=0解得：x=±3．而x=﹣3时，分母x﹣3=﹣6≠0．x=3时分母x﹣3=0，分式没有意义．所以x的值为﹣3．故答案为：﹣3．10．（3分）一种病毒的直径为0.000023m，这个数用科学记数法表示为 2.3×10﹣5．．【解答】解：0.000023=2.3×10﹣5，故答案为：2.3×10﹣5．11．（3分）已知x m=6，x n=3，则x2m﹣n的值为12 ．【解答】解：x2m﹣n=（x m）2÷x n=36÷3=12．故答案为：12．12．（3分）分解因式：27x2+18x+3= 3（3x+1）2．【解答】解：27x2+18x+3，=3（9x2+6x+1），=3（3x+1）2．13．（3分）若关于x的分式方程无解，则m的值是 3 ．【解答】解：去分母，得m﹣3=x﹣1，x=m﹣2．∵关于x的分式方程无解，∴最简公分母x﹣1=0，∴x=1，当x=1时，得m=3，即m的值为3．故答案为3．14．（3分）如图，在等腰△ABC的两腰AB、BC上分别取点D和E，使DB=DE，此时恰有∠ADE=∠ACB，则∠B的度数是20°．【解答】解：设∠B=x．∵DB=DE，∴∠DEB=∠B=x，∴∠ADE=∠DEB+∠B=2x，∴∠ACB=2∠ADE=4x．∵AB=BC，∴∠ACB=∠A=4x．在△ABC中，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴4x+x+4x=180°，∴x=20°．即∠B的度数是20°．故答案为20°．15．（3分）如图，∠ABC=50°，BD平分∠ABC，过D作DE∥AB交BC于点E，若点F在AB上，且满足DF=DE，则∠DFB的度数为50°或130°．【解答】解：如图，DF=DF′=DE；∵BD平分∠ABC，由图形的对称性可知：△BDE≌△BDF，∴∠DFB=∠DEB；∵DE∥AB，∠ABC=50°，∴∠DEB=180°﹣50°=130°；∴∠DFB=130°；当点F位于点F′处时，∵DF=DF′，∴∠DF′B=∠DFF′=50°，故答案是：50°或130°．16．（3分）如图，△ADB、△BCD都是等边三角形，点E，F分别是AB，AD上两个动点，满足AE=DF．连接BF与DE相交于点G，CH⊥BF，垂足为H，连接CG．若DG=a，BG=b，且a、b满足下列关系：a2+b2=5，ab=2，则GH= ．【解答】证明：延长FB到点M，使BM=DG，连接CM∵△ABD是等边三角形，∴AD=BD，∠A=∠ABD=60°，在△AED与△DFB中，，∴△AED≌△DFB（SAS），∴∠ADE=∠DBF，∵∠CDG=∠ADC﹣∠ADE=120°﹣∠ADE，∠CBM=120°﹣∠DBF，∴∠CBM=∠CDG，∵△DBC是等边三角形，∴CD=CB，在△CDG和△CBM中，∴△CDG≌△CBM，∴∠DCG=∠BCM，CG=CM，∴∠GCM=∠DCB=60°，∴△CGM是等边三角形，∴CG=GM=BG+BM=BG+DG，∵（a+b）2=a2+b2+2ab=9，∴a+b=3，∴CG=3，∴GH=CG=．故答案为：．三、解答题（17、18、19、20题各8分，21、22题10分，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）（1）（﹣2a）3﹣（﹣a）•（3a）2（2）（2a﹣3b）2﹣4a（a﹣2b）【解答】解：（1）（﹣2a）3﹣（﹣a）•（3a）2=﹣8a3﹣（﹣a）•9a2=﹣8a3+9a3=a3；（2）（2a﹣3b）2﹣4a（a﹣2b）=4a2﹣12ab+9b2﹣4a2+8ab=﹣4ab+9b2．18．（8分）先化简再求值：（1﹣）÷，其中x=（）﹣1+30【解答】解：原式=•=，当x=（）﹣1+30=3+1=4时，原式==2．19．（8分）解分式方程： +=1．【解答】解：去分母得：x2﹣x﹣2=x2﹣3x，解得：x=1，经检验x=1是分式方程的解．20．（8分）已知，如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，求证：PQ=BP．【解答】解：AE=CD，AC=BC，∴EC=BD；∵△ABC为等边三角形，∴∠C=∠ABC=60°，AB=BC，在△BEC与△ADB中，，∴△BEC≌△ADB（SAS），∴∠EBC=∠BAD；∵∠ABE+∠EBC=60°，∴∠ABE+∠BAD=60°，∵∠BPQ是△ABP外角，∴∠ABP+∠BAP=60°=∠BPQ，又∵BQ⊥AD，∴∠PBQ=30°，∴PQ=BP．21．（10分）某文具店老板第一次用1000元购进一批文具，很快销售完毕；第二次购进时发现每件文具进价比第一次上涨了2.5元．老板用2500元购进了第二批文具，所购进文具的数量是第一次购进数量的2倍，同样很快销售完毕，两批文具的售价为每件15元．（1）问第二次购进了多少件文具？（2）文具店老板第一次购进的文具有30元的损耗，第二次购进的文具有125元的损耗，问文具店老板在这两笔生意中是盈利还是亏本？请说明理由．【解答】解：（1）设第一次购进x件文具，第二次就购进2x件文具，由题意得， =﹣2.5，解得：x=100，经检验，x=100是原方程的解，且符合题意，则2x=2×100=200．答：第二次购进200件文具；（2）第一次购进100件文具，利润为：（15﹣10）×100﹣30=470（元）；第二次购进200件文具，利润为：（15﹣12.5）×200﹣125=375（元），两笔生意是盈利：利润为470+375=845元．22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以线段OA为边在第四象限内作等边三角形AOB，点C为x正半轴上一动点（OC＞1），连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边△CBD，连接DA并延长，交y轴于点E．①△OBC与△ABD全等吗？判断并证明你的结论；②当点C运动到什么位置时，以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形？【解答】解：（1）△OBC≌△ABD．证明：∵△AOB，△CBD都是等边三角形，∴OB=AB，CB=DB，∠ABO=∠DBC，∴∠OBC=∠ABC，在△OBC和△ABD中，，∴△OBC≌△ABD（SAS）；（2）∵△OBC≌△ABD，∴∠BOC=∠BAD=60°，又∵∠OAB=60°，∴∠OAE=180°﹣60°﹣60°=60°，∴∠EAC=120°，∠OEA=30°，∴以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形时，AE和AC是腰，∵在Rt△AOE中，OA=1，∠OEA=30°，∴AE=2，∴AC=AE=2，∴OC=1+2=3，∴当点C的坐标为（3，0）时，以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形．。

八年级上册天津数学期末试卷测试卷（含答案解析）一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）1．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝20cm，BC＝16cm，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以6cm/s的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？【答案】（1）①△BPD≌△CQP，理由见解析；②V7.5Q（厘米/秒）；（2）点P、Q在AB边上相遇，即经过了803秒，点P与点Q第一次在AB边上相遇．【解析】【分析】（1）①先求出t=1时BP=BQ=6，再求出PC=10=BD，再根据∠B＝∠C证得△BPD≌△CQP；②根据V P≠V Q，使△BPD与△CQP全等，所以CQ＝BD＝10，再利用点P的时间即可得到点Q的运动速度；（2）根据V Q＞V P，只能是点Q追上点P，即点Q比点P多走AB+AC的路程，设运动x秒，即可列出方程1562202x x，解方程即可得到结果.【详解】（1）①因为t＝1（秒），所以BP＝CQ＝6（厘米）∵AB＝20，D为AB中点，∴BD＝10（厘米）又∵PC＝BC﹣BP＝16﹣6＝10（厘米）∴PC＝BD∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△BPD 与△CQP 中，BP CQ B C PC BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴△BPD ≌△CQP （SAS ），②因为V P ≠V Q ，所以BP ≠CQ ，又因为∠B ＝∠C ，要使△BPD 与△CQP 全等，只能BP ＝CP ＝8，即△BPD ≌△CPQ ，故CQ ＝BD ＝10．所以点P 、Q 的运动时间84663BP t （秒）， 此时107.543Q CQ V t （厘米/秒）．（2）因为V Q ＞V P ，只能是点Q 追上点P ，即点Q 比点P 多走AB +AC 的路程设经过x 秒后P 与Q 第一次相遇，依题意得1562202x x ， 解得x=803(秒) 此时P 运动了8061603（厘米） 又因为△ABC 的周长为56厘米，160＝56×2+48，所以点P 、Q 在AB 边上相遇，即经过了803秒，点P 与点Q 第一次在AB 边上相遇． 【点睛】此题考查三角形全等的证明，三角形与动点相结合的解题方法，再证明三角形全等时注意顶点的对应关系是证明的关键.2．如图1，在正方形ABCD 中，P 是对角线BD 上的一点，点E 在AD 的延长线上，且PA=PE ，PE 交CD 于F（1）证明：PC=PE ；（2）求∠CPE 的度数；（3）如图2，把正方形ABCD 改为菱形ABCD ，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE ，试探究线段AP 与线段CE 的数量关系，并说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）90°（3）AP=CE【解析】【分析】(1)、根据正方形得出AB=BC ，∠ABP=∠CBP=45°，结合PB=PB 得出△ABP ≌△CBP ，从而得出结论；(2)、根据全等得出∠BAP=∠BCP ，∠DAP=∠DCP ，根据PA=PE 得出∠DAP=∠E ，即∠DCP=∠E ，易得答案；(3)、首先证明△ABP 和△CBP 全等，然后得出PA=PC ，∠BAP=∠BCP ，然后得出∠DCP=∠E ，从而得出∠CPF=∠EDF=60°，然后得出△EPC 是等边三角形，从而得出AP=CE.【详解】(1)、在正方形ABCD 中，AB=BC ，∠ABP=∠CBP=45°，在△ABP 和△CBP 中，又∵ PB=PB ∴△ABP ≌△CBP （SAS ）， ∴PA=PC ，∵PA=PE ，∴PC=PE ；(2)、由（1）知，△ABP ≌△CBP ，∴∠BAP=∠BCP ，∴∠DAP=∠DCP ，∵PA=PE ， ∴∠DAP=∠E ， ∴∠DCP=∠E ， ∵∠CFP=∠EFD （对顶角相等），∴180°﹣∠PFC ﹣∠PCF=180°﹣∠DFE ﹣∠E ， 即∠CPF=∠EDF=90°；(3)、AP ＝CE理由是：在菱形ABCD 中，AB=BC ，∠ABP=∠CBP ，在△ABP 和△CBP 中， 又∵ PB=PB ∴△ABP ≌△CBP （SAS ），∴PA=PC ，∠BAP=∠DCP ，∵PA=PE ，∴PC=PE ，∴∠DAP=∠DCP ， ∵PA=PC ∴∠DAP=∠E ， ∴∠DCP=∠E∵∠CFP=∠EFD （对顶角相等）， ∴180°﹣∠PFC ﹣∠PCF=180°﹣∠DFE ﹣∠E ，即∠CPF=∠EDF=180°﹣∠ADC=180°﹣120°=60°， ∴△EPC 是等边三角形，∴PC=CE ，∴AP=CE考点：三角形全等的证明3．如图，在平面直角坐标系中，A 、B 坐标为()6,0、()0,6，P 为线段AB 上的一点．（1）如图1，若P 为AB 的中点，点M 、N 分别是OA 、OB 边上的动点，且保持AM ON =，则在点M 、N 运动的过程中，探究线段PM 、PN 之间的位置关系与数量关系，并说明理由．（2）如图2，若P 为线段AB 上异于A 、B 的任意一点，过B 点作BD OP ⊥，交OP 、OA 分别于F 、D 两点，E 为OA 上一点，且PEA BDO =∠∠，试判断线段OD 与AE 的数量关系，并说明理由．【答案】（1）PM=PN ，PM ⊥PN ，理由见解析；（2）OD=AE ，理由见解析【解析】【分析】（1）连接OP ．只要证明△PON ≌△PAM 即可解决问题；（2）作AG ⊥x 轴交OP 的延长线于G ．由△DBO ≌△GOA ，推出OD=AG ，∠BDO=∠G ，再证明△PAE ≌△PAG 即可解决问题；【详解】（1）结论：PM=PN ，PM ⊥PN ．理由如下：如图1中，连接OP ．∵A 、B 坐标为（6，0）、（0，6），∴OB=OA=6，∠AOB=90°，∵P 为AB 的中点， ∴OP=12AB=PB=PA ，OP ⊥AB ，∠PON=∠PAM=45°， ∴∠OPA=90°，在△PON 和△PAM 中， ON AM PON PAM OP AP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△PON ≌△PAM （SAS ），∴PN=PM ，∠OPN=∠APM ，∴∠NPM=∠OPA=90°，∴PM ⊥PN ，PM=PN ．（2）结论：OD=AE ．理由如下：如图2中，作AG ⊥x 轴交OP 的延长线于G ．∵BD ⊥OP ，∴∠OAG=∠BOD=∠OFD=90°，∴∠ODF+∠AOG=90°，∠ODF+∠OBD=90°，∴∠AOG=∠DBO ，∵OB=OA ，∴△DBO ≌△GOA ，∴OD=AG ，∠BDO=∠G ，∵∠BDO=∠PEA ，∴∠G=∠AEP ，在△PAE 和△PAG 中，AEP G PAE PAG AP AP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△PAE ≌△PAG （AAS ），∴AE=AG ，∴OD=AE ．【点睛】考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、坐标与图形性质、直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．4．如图（1），AB=4cm ，AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，AC=BD=3cm ，点P 在线段AB 上以1cm/s 的速度由点A 向点B 运动，同时，点Q 在线段BD 上由点B 向点D 运动，他们的运动时间为t(s).（1）若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，当t=1时，△ACP 与△BPQ 是否全等，请说明理由（2）判断此时线段PC和线段PQ的关系，并说明理由。

2022-2023学年天津市部分区八年级（上）期末数学试卷1. 碳环保理入人心共享单车已成为出行方式.下共单车图标是轴对图形的是( )A. B.C. D.2. 叶绿体是植物进行光合作用的场所，叶绿体DNA 最早发现于衣藻叶绿体，长约其中用科学记数法表示( )A. B. C. D.3. 一个三角的两边为3和7，第为偶数，则第三边为( )A. 6B. 6或8C. 4D. 4或64. 式子 ； ；；中，是分式个数为( )A. 4B. 3C. 2D. 15. 分式方程的是2，则a 的是( )A. 1B. 2C. 3D. 46. 下计算正确的是( )A.B.C.D.7. 如图在ABC 中，BE 平分，于点，果AC 3cm ，那么于( )A. 2cmB. 3cmC. 4cmD. 5cm8. 知点和关于y 对称，则的值为( )A. 0B. C. 1D.9. 不尺规作出唯一角形的是( )A. 已知角和夹边B. 已知两和夹角C. 已知两角和其中角对边D. 已知两边和其中边对角10. 如图，已知≌，CD平，DF与C交点若，，则的度数( )A.B.C.D.11. 2022年5月1日是我国14个防灾减灾日某校组织灾减灾教育活动，八级同学进行两次震急在改进撤离方案后，二次均每秒离的人数比第一多，结果360名同学全部离的时间第一次省了4秒，若第一次平均每秒离x，则x足的方程( )A.B.C.D.12.如图，已知腰的面为9，底边BC的长为3，AC的垂直平分线F分别交ACAB边E，F，点D为B边的中点直线EF上一点，则DCM的值为( )A. 6B. 9C. 10D. 1213. 若使式有意义取值范是______ .14. ______ .15. 某地地后，小娜学下面法测教室的房梁是于：在腰直角三角尺边中点O处拴一条绳，线绳的另一端一个铅锤，把这块角尺的斜边贴在房上，果线经过三角的直角顶此得出房梁是水平的即挂铅锤的绳与房直，用到的数学原理是______ .16. 如知是等边三角形点D为AB的中点，EAC点E作，交BC于点F，若则______ .17. 已知，则的值为______ .18. 张三角形纸片如其将纸片沿过点B的直线叠，使点C落到A边上的E点处，折痕为BD乙.再将片沿过点E的线折叠，点A好与点D重，折为如图丙原三角形纸AB中，大小为______19. 8m2n2n；20. ；21. 求：≌；若，求CDE的度.22. ；先化，再求值：，其中23. ；24. 中华优秀传化是中华民的“根”和“魂”，我必须世代传承的文化根脉、化基因.为传承传统文某为各购进国演义》和《浒传》连环画若干套中套《三国演义》环画价格比每套水浒传》连环的价格60元.已知该校《三国演》《水传》连环画的费用分别为300元和480元，买《国演义》连环画套数是买《水浒传画套的一，求每套《水浒传》连环画的价格.套《三国演义》连环画的为______ 购买《国演义》连环画的套数是______ 购买《浒传》连环画套数______ .列出方，完本题解答.25. 时______ ，______ ；点D从B向C运时，渐变______ 填””或小”；当时，与DCE是否全？请说明由；在点D的动过程，ADE的状可以是等腰三角形吗？可以，请接出的数；若不可，请说理由.答案和解析1.【答案】A【解析】解：是轴对图形．故选正确；不是轴对图．故选项错．不是轴对图形．选项误；故选：根轴对称形的概念求解．题主要查了轴称图形的概念对称图形的关键是寻找对称轴两边图象叠可重合．2.【答案】A【解析】解：，故选：A绝值于1的正数也可以利用科学记数法表示，一形为，数科学记数法不同的是其使用的是负指数幂数由数边起一个不为零的字前面的0的个数定．本题考查用学数法表示较小的数，一式为，其中，n为由左边起第一个不零的数字前面的的个数所决定．3.【答案】B【解析】解：设第三边x，三边长是6或．则，第边长为数，故选：利角形三边关系定理，先确第三边范围，进而就可以求第三长．此主考了三角形边关，要注意三角形形的条件：任意边之和大于第边，任边之差小于第三边．4.【答案】C【解析】解：；中的分母中均不有，因此它是整式，而不分式；；中分母含有字母，因是分式；故选：判断分的依是看分母中是否含母，如果含字母则是分式，如不含有字则不是分．本题要考查式的定，意不是字，是常数，所以不是式，是式．5.【答案】D【解析】解：把代入方程到，得故选：根据方程的解的定义，把代入原方程，原程边相等，从而原方程转为a的新方，解方程可以求a的值．解题关键是要掌方的定，使程成立的未知数的值叫做程的解．6.【答案】C【解析】解：应，故本项错；应，故本选项错．应为，故本选项错；故选：根据数幂法、同数幂的除法、幂乘方、积的乘方的运算性，利用除法求解．本考查了同底数幂的乘法，同底幂的除法，积的方和幂乘方，需掌握且区分楚才容出错．7.【答案】B【解析】解：，，故选：由角分线的质可DEEC则，求得答案．本主要考角平分线的性质，握角平分的点到角两距离相等是解题关键．8.【答案】B【解析】解：点和关于轴称，，故选：根据关于y轴对点的特点，出，，然代求值即．本题主要考查关于轴对称的坐标特点，数式求值，乘算，解题的关熟关于轴对称的点横坐标互为相数，纵坐标相同．9.【答案】D【解析】解：已知两角和夹，满SA，可知该三角形唯一；已知两边和一的对，满足SSA，不能确三形是唯一的．已两边夹角满足SAS，可知该三形是唯一；故选：把作图的唯一转化成全等三角形的定，据全三角形的定法逐项判定即可．题主要考全等角形的判定，掌握全等三角形定方是解题的关键，即SSS、SS、ASA、AAS和HL 注意AAASA证明形全等．10.【答案】D【解析】解：平分，，，≌，，≌，，，故选：根据角平分定义得到，根据全三角形的性质得到，根据角形外角、全角的性质解答即可．本考查的是全等三角形的性、三形角和定理、角平分线的定义，掌握全等三角形角相等是解题．11.【答案】A【解析】解：由题意得，，故选：根据第次均每秒撤离的人数比第一次的，结果60名同部撤离的时间比一次省了40秒，可以列的分式方程．本题查由实际问题抽象出式方程解答题的关键是明题意，相应的方程．12.【答案】A【解析】解：连接ADAM，图所示：EF线AC的垂直平分线，，的为CMMD的最小值，，，解得：，等腰三角形，D是BC的中点，当A、M、D同一线上时，最小，即CD的值小，故选：连AD，由是等腰三角形点D是C边的点得ADB，再据三角形的积式求出AD的长，由EF 是线段AC垂直平可知，，，长为的最小值，即可出答案．本题考查的最短径问题，等腰角形的性，角形面的计算解题键找出A、M、D在同一直线时最小即值最．13.【答案】【解析】解：分式有义，解得：故案为：直利用分式有意义其母不为零，得出答案．此主要考查了式有义的条件，正确把握分定义是题关键．14.【答案】【解析】解：原式故案为：根据幂的整数指运算法则计．本考查的是幂负整指数运算，先把底数化倒，然后将负整数指数幂当的进行算．15.【答案】等腰三角形的底边上的中线、底边上的高重合【解析】解：是个等腰三角形，点O是的中点，，，故案：等腰三角底边上的中线、底边的高重合．据是个腰角形得，再根点O是AB的中点，即出，后可得出结论．题主要考查了学对腰三角形的质解和掌握，此题与实际生活密切，体现从数学走向生活的指导思，从而学以致的目的．16.【答案】6【解析】解：是等边三角形，，，，点D为AB的点，A4，，，是等三角．，故答案：利用含0度角的直角三形求E的，根平行的性质、等边角的性质和判定求出EF的长．本题考0度角的直角三角，平行线的性质，等三角形的性质和判定；找出30度角对的直边为题解关键．17.【答案】9【解析】解：故答是：把前两项解因，然后把代入，化简后再利用示，代入求可．题考查了平方公式，正确对所求的式子变是关键．18.【答案】72【解析】解：设，则，，由折叠得，，，，故答案：先后用含有的式表示，，，进而得，最后利用三角的外角性质列出程求得即可求得小．题考查了折的性质、角形的内角和定、三角形的外角性，解题的关键是学会叠质将其他角的数用代数式表．19.【答案】解：；【解析】用提公因法分解因即可；先提公因式，再根方差公式运算．本主考查分解因式解的关是熟练掌握分因式的般方法，熟方公式和完全平方公式，注意分解因式一定要分到最后果．20.【答案】解：【解析】根据单项式乘式运算则进计算即可；根据整式混合运算则，结合方公和完全公式进行计算即可．本题要考查了整式合运，解的关是练掌握式混合运算法则，平方差公和完全方式，准确计算．21.【答案】，，≌；，，，，≌，证明和，【解析】据题目的条件根据SA可以证明结论成立；根据中全等角形的质和三角形内角知识可求得的度．本题考查等角形的性质与判，答本的键明题意，找出所求问题需要的件，利用全等三形的性解答．22.【答案】解：，；代入得：原式【解析】先算方，再根式乘除混合运法则进行计算即；先根据分式混算法则进行化简，再代入数据值即可．本题主考查了分式化简求，解题的关键是熟练分合算法则，准确计算．23.【答案】解：程两边同乘，检验把入得：，原方无解；是原方程的增根，知数系数化为1：，方程两边乘：，验：把x入得：是原方程的．【解析】方程边乘分方程为整程，然后解整式方程，后对方程的解进行检验即可；程两边乘分式方程变为方程，然后解整式方程，最后对方程的进检验即可．本题要考了解分式方，解的键是熟练掌握解式方程一般步骤，确计算，注意最后对方程的行检验．24.【答案】【解析】解：设套《水传连环画的格x，每套《三国演义》环画的价格为元，购买《三国义连环画的数是套，购买《水传》连套数是套；解得：x20，故答案：；；经检验原方程的，答：每套《水传》画的格120元．据每套《三国演义》画的格每套《浒传》连画的格60元，用x表示出每套《三国义》连环画的格即可；购买三国演和《水浒传》环画的用分别60元和4800表示出购买《国演义连环的套数，购买《水浒传环画套数即可；根购买《三国演义》环的套数是购买《浒传》环套数的一半出方程，方程即可．本题主要考查了代数式，分程应用，题的键是根据题目中的等量关系表示出买《三国演义》连环画的套和购买《浒传》连画套数，注解程时最后进行检．25.【答案】25 115 小【解析】解：，，，的状是等腰三形；，，，理由：，；，又，在ABD和中，，，，当的度数为时，，当点DB向C动时渐变小，，≌；，的形状是等角形．当，利，求出，再利用，即可得出≌当的度数为时，状是腰三角形．此题主要考了腰角形的判定与性，全等角形的定与性质，角形外性质，关键要考全面，分情讨论的形状是等腰三角形．。

2021-2022学年天津市部分区八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.下列图案中，属于轴对称图形的是()A. B. C. D.2.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，图中线段中可以作为△ABC的高有()A. 2条B. 3条C. 4条D. 5条3.某种花粉的直径是0.000026毫米，数据0.000026用科学记数法表示为()A. 26×10−4B. 0.26×10−5C. 2.6×10−5D. 26×10−64.下列各式：−x3，2x+3y2，4y，x+yπ，−5y+3，−32m，其中是分式的有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个5.人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是()A. 两点之间，线段最短B. 垂线段最短C. 两直线平行，内错角相等D. 三角形具有稳定性6.若一个三角形的三边长分别为5，8，a，则a的值可能是()A. 6B. 3C. 2D. 147.一个多边形的每一个外角都等于40°，则这个多边形的边数为()A. 6B. 7C. 8D. 98.如图，已知AB=AE，∠EAB=∠DAC，添加一个条件后，仍无法判定△AED≌△ABC的是()A. AD=ACB. ∠E=∠BC. ED=BCD. ∠D=∠C9.化简(m3np )2÷nmp的结果是()A. m7np2B. m7npC. mn3p2D. mn3p310.如图，把一张长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点D的对应点为点F，CF与AB交于点E，若长方形ABCD的周长为16，则△CBE的周长为()A. 8B. 16C. 32D. 411.如图，已知△ABN≌△ACM，则下列结论不正确的是()A. ∠B=∠CB. ∠BAM=∠CANC. ∠AMN=∠ANMD. ∠AMC=∠BAN12.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE交BC于点D，垂足为E，M为DE上任意一点，BA=3，AC=4，BC=6，则△AMC周长的最小值为()A. 7B. 6C. 9D. 10二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13.如图，AC⊥BC，BD⊥BC，AB=CD，AC=5，则BD的大小为______．14.点B(−2,6)关于y轴的对称点是B1，B1关于x轴的对称点是B2，则点B2的坐标为______．15.若分式2a3a+2有意义，则a的取值范围是______．16.分解因式x2y−4xy=______．17.若27×3x=39，则x的值等于______．18.如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边上的一点，点E在AC边上，AD=AE，若∠CDE=17°，则∠BAD=______(度)．三、解答题（本大题共7小题，共46.0分）19.(1)计算(12a4b2−6a2b+2ab)÷2ab；(2)计算x(9x−y)−(3x+y)(3x−y)；(3)先化简，再求值：(x−3)2+(x+1)(2x−1)，其中x=−2．20.计算：(1)(m3nq3)2÷nmq⋅q2m；(2)(1−4x−4x2)÷(1−4x2).21.解分式方程：(1)100x =110x+20；(2)2xx−1−2=3(x−1)(x+2)．22.如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，P为AD延长线上一点，PE⊥BC于点E，若∠B=76°，∠P=27°，求∠C的大小．23.如图，已知AC，BD相交于点O，AB//CD，BF=DE，∠OAE=∠OCF.求证AE=CF．24.某商店用6000元购进A款篮球，用5400元购进B款篮球，B款每个篮球的进价是A款每个篮球进价的1.2倍，B款篮球的数量比A款篮球的数量少15个．问两款篮球每个的进价各是多少元．25.如图，已知△ABC是等边三角形，点D是AC边上的中点，点E在线段BD上，连接AE，以AE为边作等边三角形AEF，连接CF．(1)求证：△ABE≌△ACF；(2)若∠CAF=12°，求∠ACF与∠DEF的大小；(3)若AB=16，连接DF，当点E在直线BD上移动时，请直接写出DF的最小值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A、沿直线折叠直线两旁的部分不能完全重合，不是轴对称图形，故A不符合题意；B、沿直线折叠直线两旁的部分不能完全重合，不是轴对称图形，故B不符合题意；C、沿直线折叠直线两旁的部分能完全重合，是轴对称图形，故C符合题意；D、沿直线折叠直线两旁的部分不能完全重合，不是轴对称图形，故D不符合题意；故选：C．根据轴对称图形的定义求解即可．本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2.【答案】B【解析】解：△ABC的高有AC、BC、CD共三条，故选：B．根据三角形的高的概念判断即可．本题考查的是三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．3.【答案】C【解析】解：0.000026=2.6×10−5．故选：C．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．4.【答案】B【解析】解：4y ，−5y+3是分式，−x3，2x+3y2，x+yπ，−32m是整式，分式有2个，故选：B．根据分式的定义知道分式的分母中含有未知数判断即可．本题考查了分式的定义，掌握分式的分母中含有未知数是解题的关键，注意π是数字．5.【答案】D【解析】【分析】此题考查了三角形的性质，关键是根据三角形的稳定性解答．根据三角形的稳定性解答即可．【解答】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”，是为了形成三角形，利用三角形具有稳定性来增加其稳定性，故选D．6.【答案】A【解析】解：根据三角形的三边关系，得3<a<13．6在第三边长的取值范围内．故选：A．根据三角形的三边关系求得第三边的取值范围，再看哪个选项内的数在这个范围内即可．考查三角形的三边关系，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．7.【答案】D【解析】解：360°÷40°=9．故选：D．根据任意多边形的外角和是360°进行计算即可．本题主要考查的是多边形的外角和定理，明确任意多边形的外角和是360°是解题的关键．8.【答案】C【解析】解：∵∠EAB=∠DAC，∴∠EAB+∠BAD=∠DAC+∠BAD，∴∠EAD=∠BAC，A.AB=AE，∠EAD=∠BAC，AD=AC，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△AED≌△ABC，故本选项不符合题意；B.∠E=∠B，AB=AE，∠EAD=∠BAC，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△AED≌△ABC，故本选项不符合题意；C.AB=AE，ED=BC，∠EAD=∠BAC，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△AED≌△ABC，故本选项符合题意；D.∠D=∠C，∠EAD=∠BAC，AB=AE，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△AED≌△ABC，故本选项不符合题意；故选：C．根据∠EAB=∠DAC求出∠EAD=∠BAC，再根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL等．9.【答案】B【解析】解：(m 3np )2÷nmp=m6n2p2⋅mp n=m7np，故选：B．根据分式乘除法的法则进行计算即可得出答案．本题考查了分式的乘除法，掌握分式乘除法的法则是解题的关键．10.【答案】A【解析】解：根据折叠的性质可知，CE=AE，∠F=∠B，在△CBE与△AFE中，{∠BEC=∠FEA ∠F=∠BCE=AE，∴△CBE≌△AFE(AAS)，∴BE=EF，∴△CBE的周长=CB+BE+CE=CB+BE+AE=CB+AB，∵长方形ABCD的周长为16，∴CB+AB=8，即△CBE的周长为8．故选：A．根据折叠的性质可知，证明△CBE≌△AFE(AAS)，则BE=EF，所以△CBE的周长=CB+ BE+CE=CB+BE+AE=CB+AB，据此解答即可．本题考查了翻折变换，根据折叠的性质△CBE≌△AFE是解题的关键．11.【答案】D【解析】解：A、∵△ABN≌△ACM，∴∠B=∠C，本选项说法正确，不符合题意；B、∵△ABN≌△ACM，∴∠BAN=∠CAM，∴∠BAN−∠MAN=∠CAN−∠MAN，∴∠BAM=∠CAN，本选项说法正确，不符合题意；C、∵△ABN≌△ACM，∴∠AMN=∠ANM，本选项说法正确，不符合题意；D、∵△ABN≌△ACM，∴∠AMC=∠ANB，本选项说法错误，符合题意；故选：D．根据全等三角形的对应角相等判断即可．本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．12.【答案】D【解析】解：如图所示，连接BM，∵DE是AB的垂直平分线，∴AM=BM，∴AM+CM=BM+CM，当B，M，C在同一直线上时，AM+CM的最小值为BC的长，又∵AC=4，BC=6，∴△AMC周长的最小值=6+4=10，故选：D．连接BM，依据DE是AB的垂直平分线，可得AM=BM，进而得到当B，M，C在同一直线上时，AM+CM的最小值为BC的长，依据AC=4，BC=6，即可得到△AMC周长的最小值．本题考查了轴对称—最短路线问题以及线段垂直平分线的性质，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．13.【答案】5【解析】解：∵AC⊥BC，BD⊥BC，∴∠ABC=∠DBC=90°，在Rt△ACB和Rt△DBC中，{AB=DCBC=CB，∴Rt△ACB和Rt△DBC(HL)，∴BD=AC=5，故答案为：5．利用HL定理证明Rt△ACB和Rt△DBC，根据全等三角形的对应边相等解答即可．本题考查的是全等三角形的判定和性质，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．14.【答案】(2,−6)【解析】解：∵点B(−2,6)关于y轴的对称点是B1，∴B1的坐标为(2,6)，∵B1关于x轴的对称点是B2，∴B2的坐标为(2,−6)．故答案为：(2,−6)．直接利用关于y轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标相同可得B1的坐标，再直接利用关于x轴对称，横坐标相同，纵坐标互为相反数，进而得出答案．此题主要考查了关于x轴、y轴对称的性质，正确掌握横纵坐标的符号关系是解题关键．15.【答案】a≠−2 3【解析】解：∵3a+2≠0，∴a≠−2．3．故答案为：a≠−23根据分式有意义的条件：分母不等于0即可得出答案．本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件：分母不等于0是解题的关键．16.【答案】xy(x−4)【解析】解：x2y−4xy=xy(x−4)．故答案为：xy(x−4)．找出公因式，提取公因式即可．本题考查了整式的因式分解，掌握提公因式法是解决本题的关键．17.【答案】6【解析】解：∵27×3x=39，∴33×3x=33+x=39，∴3+x=9，∴x=6，故答案为：6．依据“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”可将27×3x变为33×3x=33+x，即可得答案．本题考查了同底数幂相乘，关键在于利用法则求解．18.【答案】34【解析】解：如图，∠AED=∠EDC+∠C，∠ADC=∠B+∠BAD，∵AD=AE，∴∠AED=∠ADE，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠B+∠BAD=∠EDC+∠C+∠EDC，即∠BAD=2∠EDC，∵∠CDE=17°，∴∠BAD=34°．故答案为：34．根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，∠AED=∠EDC+∠C，∠ADC=∠B+∠BAD，再根据等边对等角的性质∠B=∠C，∠ADE=∠AED，代入数据计算即可求出∠BAD的度数．本题主要考查了等腰三角形的性质，利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和的性质，熟练掌握性质是解题的关键．19.【答案】解：(1)原式=6a3b−3a+1．(2)原式=9x2−xy−(9x2−y2)=9x2−xy−9x2+y2=−xy+y2．(3)原式=x2−6x+9+(2x2+x−1)=x2−6x+9+2x2+x−1=3x2−5x+8，当x=−2时，原式=3×4−5×(−2)+8=12+10+8=30．【解析】(1)根据整式的除法运算法则即可求出答案．(2)根据整式的乘法运算、加减运算法则以及平方差公式即可求出答案．(3)先根据完全平方公式以及整式的加减运算、乘法运算法则进行化简，然后将x 的值代入即可求出答案．本题考查整式的混合运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则以及乘除运算法则，本题属于基础题型．20.【答案】解：(1)(m 3n q 3)2÷n mq ⋅q 2m =m 6n 2q 6⋅mq n ⋅q 2m =m 6nq 3；(2)(1−4x−4x 2)÷(1−4x 2) =x 2−4x+4x 2÷x 2−4x 2 =(x−2)2x 2⋅x 2(x+2)(x−2) =x−2x+2．【解析】(1)先算乘方、再算乘除法即可；(2)先对括号内的式子通分，然后再算除法即可．本题考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．21.【答案】解：(1)100x =110x+20， 方程两边都乘x(x +20)，得100(x +20)=110x ，解得：x =200，检验：当x =200时，x(x +20)≠0，所以x =200是原方程的解，即原方程的解是x =200；(2)2x x−1−2=3(x−1)(x+2)，方程两边都乘(x −1)(x +2)，得2x(x +2)−2(x −1)(x +2)=3，解得：x =−12，检验：当x =−12时，(x −1)(x +2)≠0，所以x =−12是原方程的解，即原方程的解是x =−12．【解析】(1)方程两边都乘x(x +20)得出100(x +20)=110x ，求出方程的解，再进行检验即可；(2)方程两边都乘(x −1)(x +2)得出2x(x +2)−2(x −1)(x +2)=3，求出方程的解，再进行检验即可．本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．22.【答案】解：在△PDE 中，∠P =27°，PE ⊥BC ，∴∠PED =90°，∴∠ADB =∠PDE =180°−∠PED −∠P =63°．在△ABD 中，∠ADB =63°，∠B =76°，∴∠BAD =180°−∠ADB −∠B =41°．∵AD 平分∠BAC ，∴∠CAD =∠BAD =41°．在△ACD 中，∵∠ADC =180°−∠ADB =180°−63°=117°，∴∠C =180°−∠ADC −∠CAD =180°−117°−41°=22°．答：∠C 的大小为22°．【解析】在△△PDE中，利用三角形内角和定理可求出∠ADB的度数，结合角平分线的定义可得出∠CAD的度数，在△ACD中，利用三角形内角和定理可求出∠ADC的度数，结合对顶角相等可得出∠PDE的度数，再在△PDE中利用三角形内角和定理可求出∠P的度数．本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义以及对顶角，利用三角形内角和定理及角平分线的定义，求出∠ADC的度数是解题的关键．23.【答案】证明：如图，∵AB//CD，∴∠B=∠D，∠BAO=∠DCO，∵∠OAE=∠OCF，∴∠BAO−∠OAE=∠DCO−∠OCF，∴∠BAE=∠DCF，∵BF=DE，∴BF−EF=DE−EF，∴BE=DF，在△ABE和△CDF中，{∠B=∠D∠BAE=∠DCF BE=DF，∴△ABE≌△CDF(AAS)，∴AE=CF．【解析】由AB//CD得∠B=∠D，∠BAO=∠DCO，而∠OAE=∠OCF，可证明∠BAE=∠DCF，由BF=DE可证明BE=DF，于是根据“有两个角及其中一组等角的对边相等的两个三角形全等”可证明△ABE≌△CDF，得AE=CF．此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，准确地找出全等三角形的对应边和对应角是解题的关键．24.【答案】解：设A款篮球每个的进价为x元，则B款篮球每个的进价为1.2x元，由题意得：6000x −54001.2x=15，解得：x=100，经检验，x=100是原方程的解，且符合题意，则1.2x=120，答：A款篮球每个的进价为100元，则B款篮球每个的进价为120元．【解析】设A款篮球每个的进价为x元，则B款篮球每个的进价为1.2x元，由题意：某商店用6000元购进A款篮球，用5400元购进B款篮球，B款篮球的数量比A款篮球的数量少15个．列出分式方程，解方程即可．本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．25.【答案】(1)证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠ABC=60°，AB=AC∵△AEF是等边三角形，∴AE=AF，∠EAF=60°，∴∠BAC=∠EAF，即∠BAE+∠EAC=∠CAF+∠EAC，∴∠BAE=∠CAF，在△ABE和△ACF中，{AB=AC∠BAE=∠CAF AE=AF，∴△ABE≌△ACF(SAS)；(2)解：∵D是△ABC的中点，∴∠ABD=∠DBC=30°，∵△ABE≌△ACF，∴∠ABE=∠ACF=30°，∠AEB=∠AFC，∵∠CAF=12°，∴∠AFC=180°−∠ACF−∠CAF=180°−30°−12°=138°，∴∠AEB=138°，∴∠AED=180°−∠AEB=42°，∵∠AEF=60°，∴∠DEF=60°−∠AED=60°−42°=18°，即∠ACF=30°，∠DEF=18°；(3)解：如图，∵D是△ABC的中点，∴AD=CD=8，由(2)可知∠ACF=30°，∴点F在射线CF上运动，当DF⊥CF时，DF的值最小，∴DF=12DC=12×8=4．即DF的最小值为4．【解析】(1)证出∠BAE=∠CAF，根据SAS可证明△ABE≌△ACF；(2)由等腰三角形的性质得出∠ABD=∠DBC=30°，由全等三角形的性质得出∠ABE=∠ACF=30°，∠AEB=∠AFC，则可求出答案；(3)由等腰三角形的性质得出AD=CD=8，当DF⊥CF时，DF的值最小，由直角三角形的性质可求出答案．本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，证明△ABE≌△ACF是解题的关键．。

2019-2020学年天津市八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．（3分）下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（）A．x2+2x﹣1=（x﹣1）2 B．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2C．x2+4x+4=（x+2）2D．ax2﹣a=a （x2﹣1）3．（3分）要使分式有意义，x应满足的条件是（）A．x＞3 B．x=3 C．x＜3 D．x≠34．（3分）计算x3•x2的结果是（）A．x6B．x5C． x2 D．x5．（3分）已知点P（a，3）、Q（﹣2，b）关于y轴对称，则=（）A．﹣5 B．5 C．﹣D．6．（3分）下列各式：①，②，③，④，其中是分式的有（）A．①②③④B．①④C．①②④D．②④7．（3分）小朱要到距家1500米的学校上学，一天，小朱出发10分钟后，小朱的爸爸立即去追小朱，且在距离学校60米的地方追上了他．已知爸爸比小朱的速度快100米/分，求小朱的速度．若设小朱速度是x米/分，则根据题意所列方程正确的是（）A．B．C．D．8．（3分）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF 分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM 周长的最小值为（）A．6 B．8 C．10 D．12二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，将答案填在题中横线上）9．（3分）当x= 时，分式的值为零．10．（3分）一种病毒的直径为0.000023m，这个数用科学记数法表示为．11．（3分）已知x m=6，x n=3，则x2m﹣n的值为．12．（3分）分解因式：27x2+18x+3= ．13．（3分）若关于x的分式方程无解，则m的值是．14．（3分）如图，在等腰△ABC的两腰AB、BC上分别取点D和E，使DB=DE，此时恰有∠ADE=∠ACB，则∠B的度数是．15．（3分）如图，∠ABC=50°，BD平分∠ABC，过D作DE∥AB交BC于点E，若点F在AB上，且满足DF=DE，则∠DFB的度数为．16．（3分）如图，△ADB、△BCD都是等边三角形，点E，F分别是AB，AD上两个动点，满足AE=DF．连接BF与DE相交于点G，CH⊥BF，垂足为H，连接CG．若DG=a，BG=b，且a、b满足下列关系：a2+b2=5，ab=2，则GH= ．三、解答题（17、18、19、20题各8分，21、22题10分，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）（1）（﹣2a）3﹣（﹣a）•（3a）2（2）（2a﹣3b）2﹣4a（a﹣2b）18．（8分）先化简再求值：（1﹣）÷，其中x=（）﹣1+3019．（8分）解分式方程： +=1．20．（8分）已知，如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，求证：PQ=BP．21．（10分）某文具店老板第一次用1000元购进一批文具，很快销售完毕；第二次购进时发现每件文具进价比第一次上涨了2.5元．老板用2500元购进了第二批文具，所购进文具的数量是第一次购进数量的2倍，同样很快销售完毕，两批文具的售价为每件15元．（1）问第二次购进了多少件文具？（2）文具店老板第一次购进的文具有30元的损耗，第二次购进的文具有125元的损耗，问文具店老板在这两笔生意中是盈利还是亏本？请说明理由．22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以线段OA为边在第四象限内作等边三角形AOB，点C为x正半轴上一动点（OC＞1），连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边△CBD，连接DA并延长，交y轴于点E．①△OBC与△ABD全等吗？判断并证明你的结论；②当点C运动到什么位置时，以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形？2019-2020学年天津市河北区八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．（3分）下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，故本选项正确．故选：D．2．（3分）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（）A．x2+2x﹣1=（x﹣1）2 B．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2C．x2+4x+4=（x+2）2D．ax2﹣a=a （x2﹣1）【解答】解：（A）x2+2x﹣1≠（x﹣1）2，故A不是因式分解，（B）a2﹣b2=（a+b）（a﹣b），故B不是因式分解，（D）a x2﹣a=a（x2﹣1）=a（x+1）（x﹣1），故D分解不完全，故选：C．3．（3分）要使分式有意义，x应满足的条件是（）A．x＞3 B．x=3 C．x＜3 D．x≠3【解答】解：当x﹣3≠0时，分式有意义，即当x≠3时，分式有意义，故选：D．4．（3分）计算x3•x2的结果是（）A．x6B．x5C．x2D．x【解答】解：x3•x2=x3+2=x5．故选：B．5．（3分）已知点P（a，3）、Q（﹣2，b）关于y轴对称，则=（）A．﹣5 B．5 C．﹣D．【解答】解：∵点P（a，3）、Q（﹣2，b）关于y轴对称，∴a=2，b=3，则==﹣．故选：C．6．（3分）下列各式：①，②，③，④，其中是分式的有（）A．①②③④B．①④C．①②④D．②④【解答】解：式子：①，②，③，④，其中是分式的有：①，④．故选：B．7．（3分）小朱要到距家1500米的学校上学，一天，小朱出发10分钟后，小朱的爸爸立即去追小朱，且在距离学校60米的地方追上了他．已知爸爸比小朱的速度快100米/分，求小朱的速度．若设小朱速度是x米/分，则根据题意所列方程正确的是（）A．B．C．D．【解答】解：设小朱速度是x米/分，则爸爸的速度是（x+100）米/分，由题意得：=+10，即： =+10，故选：B．8．（3分）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF 分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM 周长的最小值为（）A．6 B．8 C．10 D．12【解答】解：连接AD，∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S=BC•AD=×4×AD=16，解得AD=8，△ABC∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点C关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为CM+MD的最小值，∴△CDM的周长最短=（CM+MD）+CD=AD+BC=8+×4=8+2=10．故选：C．二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，将答案填在题中横线上）9．（3分）当x= ﹣3 时，分式的值为零．【解答】解：要使分式由分子x2﹣9=0解得：x=±3．而x=﹣3时，分母x﹣3=﹣6≠0．x=3时分母x﹣3=0，分式没有意义．所以x的值为﹣3．故答案为：﹣3．10．（3分）一种病毒的直径为0.000023m，这个数用科学记数法表示为 2.3×10﹣5．．【解答】解：0.000023=2.3×10﹣5，故答案为：2.3×10﹣5．11．（3分）已知x m=6，x n=3，则x2m﹣n的值为12 ．【解答】解：x2m﹣n=（x m）2÷x n=36÷3=12．故答案为：12．12．（3分）分解因式：27x2+18x+3= 3（3x+1）2．【解答】解：27x2+18x+3，=3（9x2+6x+1），=3（3x+1）2．13．（3分）若关于x的分式方程无解，则m的值是 3 ．【解答】解：去分母，得m﹣3=x﹣1，x=m﹣2．∵关于x的分式方程无解，∴最简公分母x﹣1=0，∴x=1，当x=1时，得m=3，即m的值为3．故答案为3．14．（3分）如图，在等腰△ABC的两腰AB、BC上分别取点D和E，使DB=DE，此时恰有∠ADE=∠ACB，则∠B的度数是20°．【解答】解：设∠B=x．∵DB=DE，∴∠DEB=∠B=x，∴∠ADE=∠DEB+∠B=2x，∴∠ACB=2∠ADE=4x．∵AB=BC，∴∠ACB=∠A=4x．在△ABC中，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴4x+x+4x=180°，∴x=20°．即∠B的度数是20°．故答案为20°．15．（3分）如图，∠ABC=50°，BD平分∠ABC，过D作DE∥AB交BC于点E，若点F在AB上，且满足DF=DE，则∠DFB的度数为50°或130°．【解答】解：如图，DF=DF′=DE；∵BD平分∠ABC，由图形的对称性可知：△BDE≌△BDF，∴∠DFB=∠DEB；∵DE∥AB，∠ABC=50°，∴∠DEB=180°﹣50°=130°；∴∠DFB=130°；当点F位于点F′处时，∵DF=DF′，∴∠DF′B=∠DFF′=50°，故答案是：50°或130°．16．（3分）如图，△ADB、△BCD都是等边三角形，点E，F分别是AB，AD上两个动点，满足AE=DF．连接BF与DE相交于点G，CH⊥BF，垂足为H，连接CG．若DG=a，BG=b，且a、b满足下列关系：a2+b2=5，ab=2，则GH= ．【解答】证明：延长FB到点M，使BM=DG，连接CM∵△ABD是等边三角形，∴AD=BD，∠A=∠ABD=60°，在△AED与△DFB中，，∴△AED≌△DFB（SAS），∴∠ADE=∠DBF，∵∠CDG=∠ADC﹣∠ADE=120°﹣∠ADE，∠CBM=120°﹣∠DBF，∴∠CBM=∠CDG，∵△DBC是等边三角形，∴CD=CB，在△CDG和△CBM中，∴△CDG≌△CBM，∴∠DCG=∠BCM，CG=CM，∴∠GCM=∠DCB=60°，∴△CGM是等边三角形，∴CG=GM=BG+BM=BG+DG，∵（a+b）2=a2+b2+2ab=9，∴a+b=3，∴CG=3，∴GH=CG=．故答案为：．三、解答题（17、18、19、20题各8分，21、22题10分，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）（1）（﹣2a）3﹣（﹣a）•（3a）2（2）（2a﹣3b）2﹣4a（a﹣2b）【解答】解：（1）（﹣2a）3﹣（﹣a）•（3a）2=﹣8a3﹣（﹣a）•9a2=﹣8a3+9a3=a3；（2）（2a﹣3b）2﹣4a（a﹣2b）=4a2﹣12ab+9b2﹣4a2+8ab=﹣4ab+9b2．18．（8分）先化简再求值：（1﹣）÷，其中x=（）﹣1+30【解答】解：原式=•=，当x=（）﹣1+30=3+1=4时，原式==2．19．（8分）解分式方程： +=1．【解答】解：去分母得：x2﹣x﹣2=x2﹣3x，解得：x=1，经检验x=1是分式方程的解．20．（8分）已知，如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，求证：PQ=BP．【解答】解：AE=CD，AC=BC，∴EC=BD；∵△ABC为等边三角形，∴∠C=∠ABC=60°，AB=BC，在△BEC与△ADB中，，∴△BEC≌△ADB（SAS），∴∠EBC=∠BAD；∵∠ABE+∠EBC=60°，∴∠ABE+∠BAD=60°，∵∠BPQ是△ABP外角，∴∠ABP+∠BAP=60°=∠BPQ，又∵BQ⊥AD，∴∠PBQ=30°，∴PQ=BP．21．（10分）某文具店老板第一次用1000元购进一批文具，很快销售完毕；第二次购进时发现每件文具进价比第一次上涨了2.5元．老板用2500元购进了第二批文具，所购进文具的数量是第一次购进数量的2倍，同样很快销售完毕，两批文具的售价为每件15元．（1）问第二次购进了多少件文具？（2）文具店老板第一次购进的文具有30元的损耗，第二次购进的文具有125元的损耗，问文具店老板在这两笔生意中是盈利还是亏本？请说明理由．【解答】解：（1）设第一次购进x件文具，第二次就购进2x件文具，由题意得， =﹣2.5，解得：x=100，经检验，x=100是原方程的解，且符合题意，则2x=2×100=200．答：第二次购进200件文具；（2）第一次购进100件文具，利润为：（15﹣10）×100﹣30=470（元）；第二次购进200件文具，利润为：（15﹣12.5）×200﹣125=375（元），两笔生意是盈利：利润为470+375=845元．22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以线段OA为边在第四象限内作等边三角形AOB，点C为x正半轴上一动点（OC＞1），连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边△CBD，连接DA并延长，交y轴于点E．①△OBC与△ABD全等吗？判断并证明你的结论；②当点C运动到什么位置时，以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形？【解答】解：（1）△OBC≌△ABD．证明：∵△AOB，△CBD都是等边三角形，∴OB=AB，CB=DB，∠ABO=∠DBC，∴∠OBC=∠ABC，在△OBC和△ABD中，，∴△OBC≌△ABD（SAS）；（2）∵△OBC≌△ABD，∴∠BOC=∠BAD=60°，又∵∠OAB=60°，∴∠OAE=180°﹣60°﹣60°=60°，∴∠EAC=120°，∠OEA=30°，∴以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形时，AE和AC是腰，∵在Rt△AOE中，OA=1，∠OEA=30°，∴AE=2，∴AC=AE=2，∴OC=1+2=3，∴当点C的坐标为（3，0）时，以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形．。

八年级（上）期末数学试卷题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.下列四个图案中，不是轴对称图案的是()A. B. C. D.2.计算a6⋅a2的结果是()A. a3B. a4C. a8D. a123.下列计算正确的是()A. (x+2)(x−2)=x2−2B. (−3a−2)(3a−2)=9a2−4C. (a+b)2=a2+b2D. (x−8y)(x−y)=x2−9xy+8y24.一辆汽车bℎ行驶了a km，则它的平均速度为()A. ab km/ℎ B. bakm/ℎ C. ab km/ℎ D. a+b2km/ℎ5.化简1x+1+1x2−1的结果是()A. xx2−1B. 1x−1C. x+1D. x−16.如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD()A. ∠B=∠CB. AD=AEC. BD=CED. BE=CD7.下列分式运算，正确的是()A. (2y3x )2=2y23x2B. 1x−y−1y−x=0C. 13x +13y=13(x+y)D. (x2−y)3=−x6y38.如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB=AC，∠CAD=20°，则∠ACE的度数是()A. 20°B. 35°C. 40°D. 70°9.已知AD是△ABC的边BC上的中线，AB=12，AC=8，则边BC及中线AD的取值范围分别是()A. 4<BC<20，2<AD<10B. 4<BC<20，4<AD<20C. 2<BC<10，2<AD<10D. 2<BC<10，4<AD<2010.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是BC边的中点，分别以B，C为圆心，大于线段BC长度一半的长为半径画圆弧．两弧在直线BC上方的交点为P，直线PD交AC于点E，连接BE，则下列结论：①ED⊥BC；②∠A=∠EBA；③EB平分∠AED.一定正确的是()A. ①②③B. ①②C. ①③D. ②③11.如图所示，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC.∠EBC=∠E=60°，若BE=6，DE=2，则BC的长度是()A. 6B. 8C. 9D. 1012.甲、乙两人同时从圆形跑道(圆形跑道的总长小于700m)上一直径两端A，B相向起跑，第一次相遇时离A点100m，第二次相遇时离B点60m，则圆形跑道的总长为()A. 240mB. 360mC. 480mD. 600m二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13.当x=1时，分式x的值是______．x+214.当______时，分式x−5有意义．x−115.如图，五边形ABCDE的内角都相等，DF⊥AB，则∠CDF的大小=______(度)16.如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC的长是______．17.数学课上，张老师举了以下的例题：例1等腰三角形ABC中，∠A=110°，求∠B的度数．(答案：35°)例2等腰三角形ABC中，∠A=40°，求∠B的度数．(答案：40°或70°或100°)张老师启发同学们编题，小刚编了如下一题：(1)等腰三角形ABC中，∠A=80°，则∠B的度数为______；(2)小刚发现，∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同．如果在等腰三角形ABC中，设∠A=x°，当∠B有三个不同的度数时，x的取值范围是______．18.(1)已知x+y=5，xy=3，则x2+y2的值为______；(2)已知x−y=5，x2+y2=51，则(x+y)2的值为______；(3)已知x+y+z=1，x2+y2−3z2+4z=7，则xy−z(x+y)值为______．三、计算题（本大题共3小题，共22.0分）19.计算：(1)x2(x−1)−x(x2−x−1)；(2)(2a)2⋅b4+12a3b2．20.计算：(1)(−3x3y 3z2)2(2)3y2x+2y+2xyx2+xy21.天津市奥林匹克中心体育场---“水滴”位于天津市西南部的奥林匹克中心内，某校九年级学生由距“水滴”10千米的学校出发前往参观，一部分同学骑自行车先走，过了20分钟后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑自行车同学速度的2倍，求骑车同学的速度．(Ⅰ)设骑车同学的速度为x千米/时，利用速度、时间、路程之间的关系填写下表(要求：填上适当的代数式，完成表格)四、解答题（本大题共4小题，共24.0分）22.如图，点A，E在线段DB上，DA=EB，DF=AC，EF=BC，求证：∠C=∠F．23.如图，点D、E在△ABC的BC边上，AB=AC，AD=AE.求证：BD=CE．24.分解因式：(1)x2−2x−3=______；3x2+5x+2=______．(2)a2(a−b)+4(b−a)25.已知△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，点M是AC的中点，延长BM至点D，使DM=BM，连接AD．(1)如图①，求证：△DAM≌△BCM；(2)已知点N是BC的中点，连接AN．①如图②，求证：△BCM≌△ACN；②如图③，延长NA至点E，使AE=NA，连接DE，求证：BD⊥DE．答案和解析1.【答案】B【解析】解：A、是轴对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，故本选项正确；C、是轴对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，故本选项错误．故选：B．根据轴对称的概念对各选项分析判断利用排除法求解．本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2.【答案】C【解析】解：a6⋅a2=a8，故选：C．根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算．此题主要考查了同底数幂的乘法，关键是掌握同底数幂的乘法的计算法则．3.【答案】D【解析】解：A.(x+2)(x−2)=x2−4，此选项错误；B.(−3a−2)(3a−2)=−9a2+4，此选项错误；C.(a+b)2=a2+2ab+b2，此选项错误；D.(x−8y)(x−y)=x2−xy−8xy+8y2=x2−9xy+8y2，此选项计算正确；故选：D．根据完全平方公式、平方差公式和多项式乘多项式的法则逐一计算即可得．本题主要考查整式的混合运算，解题的关键是掌握完全平方公式、平方差公式和多项式乘多项式的法则．4.【答案】A【解析】解：一辆汽车bℎ行驶了akm，则它的平均速度为abkm/ℎ；故选：A．根据平均速度等于行驶的路程除以行驶的时间可得到汽车的平均速度解答即可．本题考查了列代数式(分式)：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．本题的关键是对平均速度的理解．5.【答案】A【解析】解：原式=x−1(x+1)(x−1)+1(x+1)(x−1)=x(x+1)(x−1)=xx2−1，故选：A．先通分，再依据法则计算可得．本题主要考查分式的加减法，解题的关键是熟练掌握分式加减运算法则．6.【答案】D【解析】【分析】此题主要考查学生对全等三角形判定定理的理解和掌握，此类添加条件题，要求学生应熟练掌握全等三角形的判定定理.欲使△ABE≌△ACD，已知AB=AC，可根据全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加条件，逐一证明即可．【解答】解：∵AB=AC，∠A为公共角，A.如添加∠B=∠C，利用ASA即可证明△ABE≌△ACD；B.如添AD=AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；C.如添BD=CE，等量关系可得AD=AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；D.如添BE=CD，因为SSA，不能证明△ABE≌△ACD，所以此选项不能作为添加的条件．故选D．7.【答案】D【解析】解：A、(2y3x )2=4y29x2，选项错误；B、1x−y −1y−x=1x−y+1x−y=2x−y，选项错误；C、13x +13y=y3xy+x3xy=x+y3xy，选项错误；D、(x2−y )3=−x6y3，选项正确．故选D．根据分式的乘方：分子和分母分别乘方；以及同分母的分式的加减法则即可求解即可判断．本题考查了分式的运算，理解分式的运算法则，正确进行通分是关键．8.【答案】B【解析】解：∵AD是△ABC的中线，AB=AC，∠CAD=20°，∴∠CAB=2∠CAD=40°，∠B=∠ACB=12(180°−∠CAB)=70°．∵CE是△ABC的角平分线，∴∠ACE=12∠ACB=35°．故选：B．先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠CAB=2∠CAD=40°，∠B=∠ACB=12(180°−∠CAB)=70°.再利用角平分线定义即可得出∠ACE=12∠ACB=35°．本题考查了等腰三角形的两个底角相等的性质，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合的性质，三角形内角和定理以及角平分线定义，求出∠ACB= 70°是解题的关键．9.【答案】A【解析】解：如图所示，在△ABC中，则AB−AC<BC<AB+AC，即12−8<BC<12+8，4<BC<20，延长AD至点E，使AD=DE，连接BE，∵AD是△ABC的边BC上的中线，∴BD=CD，又∠ADC=∠BDE，AD=DE∴△ACD≌△EBD(SAS)，∴BE=AC，在△ABE中，AB−BE<AE<AB+BE，即AB−AC<AE<AB+AC，12−8<AE<12+8，即4<AE<20，∴2<AD<10．故选：A．BC边的取值范围可在△ABC中利用三角形的三边关系进行求解，而对于中线AD的取值范围可延长AD至点E，使AD=DE，得出△ACD≌△EBD，进而在△ABE中利用三角形三边关系求解．本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形的三边关系问题，能够理解掌握并熟练运用．10.【答案】B【解析】解：作法得DE⊥BC，而D为BC的中点，所以DE垂直平分BC，则EB=EC，所以∠EBC=∠C，而∠ABC=90°，所以∠A=∠EBA，所以①②正确．故选：B．利用基本作图得到DE⊥BC，则DE垂直平分BC，所以EB=EC，根据等腰三角形的性质得∠EBC=∠C，然后根据等角的余角相等得到∠A=∠EBA，本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线)．11.【答案】B【解析】解：延长ED交BC于M，延长AD交BC于N，∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AN⊥BC，BN=CN，∵∠EBC=∠E=60°，∴△BEM为等边三角形，∴BE=EM∵BE=6，DE=2，∴DM=EM−DE═6−2=4，∵△BEM为等边三角形，∴∠EMB=60°，∵AN⊥BC，∴∠DNM=90°，∴∠NDM=30°，∴NM=2，∴BN=4，∴BC=2BN=8，故选B．作出辅助线后根据等腰三角形的性质得出BE=6，DE=2，进而得出△BEM为等边三角形，△EMD为等边三角形，从而得出BN的长，进而求出答案．此题主要考查了等腰三角形的性质和等边三角形的性质，能求出MN的长是解决问题的关键．12.【答案】C【解析】解：如图，设圆形跑道总长为2s，又设甲乙的速度分别为v，v′，再设第一次在C点相遇，根据题意得：化简得：100s−100=s+602s−60，解此方程得S=0(舍去)或S=240．所以2S=480米．经检验是方程的解；故选：C．设出两人的速度，圆形跑道长为未知数，根据相遇时所用时间相等，第二次不同的位置分情况得到相应的等量关系，消去无关的字母，求解即可．本题考查圆形跑道上的相遇问题；注意同时出发的相遇问题的等量关系是所用时间相等；应分情况探讨第二次相遇的地点问题．13.【答案】13【解析】解：当x=1时，原式=11+2=13，故答案为：13．将x=1代入分式，按照分式要求的运算顺序计算可得．本题主要考查分式的值，在解答时应从已知条件和所求问题的特点出发，通过适当的变形、转化，才能发现解题的捷径．14.【答案】x≠1【解析】解：根据题意知x−1≠0，解得x≠1，故答案为：x≠1．分式有意义，分母不为零．据此求解可得．本题考查了分式有意义的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念：(1)分式无意义⇔分母为零；(2)分式有意义⇔分母不为零；(3)分式值为零⇔分子为零且分母不为零．15.【答案】54【解析】解：∵五边形ABCDE的内角都相等，∴∠C=∠B=∠EDC=180°×(5−2)÷5=108°，∵DF⊥AB，∴∠DFB=90°，∴∠CDF=360°−90°−108°−108°=54°．故答案为：54．根据多边形内角和度数可得每一个角的度数，然后再利用四边形DFBC内角和计算出∠CDF的度数．此题主要考查了多边形内角和，关键是掌握多边形内角和定理：(n−2)⋅180°(n≥3且n为整数)．16.【答案】3【解析】解：如图，过点D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，∴DE=DF，由图可知，S△ABC=S△ABD+S△ACD，1 2×4×2+12×AC×2=7，解得AC=3．故答案为3．过点D作DF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列出方程求解即可．本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．17.【答案】50°或20°或80°0<x<90且x≠60【解析】解：(1)当∠A为顶角，∴∠B=180°−∠A2=50°；当∠B是顶角，则∠A是底角，则∠B=180°−80°−80°=20°；当∠C是顶角，则∠B与∠A都是底角，则∠B=∠A=80°，综上所述，∠B的度数为50°或20°或80°，故答案为：50°或20°或80°；(2)分两种情况：①当90≤x<180时，∠A只能为顶角，∴∠B的度数只有一个；②当0<x<90时，若∠A为顶角，则∠B=(180−x2)°；若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B=(180−2x)°；若∠A为底角，∠B为底角，则∠B=x°．当180−x2≠180−2x且180−2x≠x且180−x2≠x，即x≠60时，∠B有三个不同的度数．综上所述，可知当0<x<90且x≠60时，∠B有三个不同的度数，故答案为：0<x<90且x≠60．(1)∠A是顶角，则∠B是底角，根据等腰三角形的两个底角相等即可求解；∠B是顶角，则∠A是底角，则根据等腰三角形的两个底角相等，以及三角形的内角和定理即可求解；∠C是顶角，则∠B与∠A都是底角，根据等腰三角形的两个底角相等即可求解；(2)分两种情况：①90≤x<180；②0<x<90，结合三角形内角和定理求解即可．本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，进行分类讨论是解题的关键．18.【答案】19 77 −3【解析】(1)解：(1)x2+y2=(x+y)2−2xy∵x+y=5，xy=3∴原式=52−2×3=19．(2)∵x−y=5，∴(x−y)2=x2+y2−2xy=25，又∵x2+y2=51，∴2xy=26，∴(x+y)2=x2+y2+2xy=51+26=77；(3)∵x+y+z=1，∴x+y=1−z；∵x2+y2−3z2+4z=7，∴(x+y)2−2xy−3z2+4z=7∴(1−z)2−2xy−3z2+4z=7∴−2xy−2z2+2z=6∴xy+z2−z=−3把x+y=1−z代入xy−z(x+y)得xy−z(x+y)=xy−z(1−z)=xy+z2−z=−3，故答案为：(1)19；(2)77；(3)−3(1)将x2+y2变形为(x+y)2−2xy，然后将x+y=5，xy=3代入求解即可；(2)由x−y=5可得x2+y2−2xy=25，结合x2+y2=51，可得2xy=26，由完全平方公式计算结果，(3)由已知条件变形可得x+y=1−z，代入变形可得结果．本题考查了完全平方公式，解答本题的关键在于熟练掌握完全平方公式：(a±b)2= a2±2ab+b2.灵活运用a+b，a−b，ab，a2+b2之间关系变形．19.【答案】解：(1)原式=x3−x2−x3+x2+x=x；(2)原式=4a2b4+12a3b2．【解析】(1)先根据单项式乘多项式法则计算，再合并同类项即可得；(2)计算单项式的乘方即可得．本题主要考查单项式乘多项式，解题的关键是掌握单项式乘多项式的法则及单项式的乘方的运算法则．20.【答案】解：(1)(−3x3y3z2)2=9x6y29z4=x6y2z4；(2)原式=3y2(x+y)+2xyx(x+y)=3y2(x+y)+4y2(x+y)=7y2(x+y)=7y2x+2y．【解析】(1)根据分式的乘方的运算法则计算可得；(2)根据分式的加减混合运算顺序和运算法则计算可得．本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．乘汽车2x 102x10(Ⅱ)∵骑自行车先走20分钟，即2060=13小时，∴10x =102x+13，解得：x=15，经检验，x=15是原方程的根．答：骑车同学的速度为每小时15千米．【解析】(1)时间=路程÷速度；速度=路程÷时间．(2)等量关系为：骑自行车同学所用时间=坐汽车同学所用时间+13．本题考查分式方程的应用，注意找好等量关系方可列出方程．求解后要注意检验，要满足两个方面：①要满足方程②要满足实际问题．22.【答案】证明：∵DA=EB，∴DA+AE=BE+AE，∴DE=AB，且DF=AC，EF=BC，∴△DEF≌△ABC(SSS)∴∠C=∠F．【解析】由“SSS”可证△DEF≌△ABC，可得∠C=∠F．本题考查了全等三角形的判定和性质，证明△DEF≌△ABC是本题的关键．23.【答案】证明：如图，过点A作AP⊥BC于P．∵AB=AC，∴BP=PC；∵AD=AE，∴DP=PE，∴BP−DP=PC−PE，∴BD=CE．【解析】要证明线段相等，只要过点A作BC的垂线，利用三线合一得到P为DE及BC 的中点，线段相减即可得证．本题考查了等腰三角形的性质；做题时，两次用到三线合一的性质，由等量减去等量得到差相等是解答本题的关键；24.【答案】(x−3)(x+1)(3x+2)(x+1)【解析】解：(1)x2−2x−3=(x−3)(x+1)；3x2+5x+2=(3x+2)(x+1)；故答案为：(x−3)(x+1)；(3x+2)(x+1)；(2)原式=a2(a−b)−4(a−b)=(a−b)(a+2)(a−2)．(1)原式利用十字相乘法分解即可；(2)原式变形后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可．此题考查了因式分解−十字相乘法，以及提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．25.【答案】解：(1)∵点M是AC中点，∴AM=CM，在△DAM和△BCM中，∵{AM=CM∠AMD=∠CMB DM=BM，∴△DAM≌△BCM(SAS)；(2)①∵点M是AC中点，点N是BC中点，∴CM=12AC，CN=12BC，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC=BC，∴CM=CN，在△BCM和△ACN中，∵{CM=CN ∠C=∠C BC=AC，∴△BCM≌△ACN(SAS)；②证明：取AD中点F，连接EF，则AD=2AF，∵△BCM≌△ACN，∴AN=BM，∠CBM=∠CAN，∵△DAM≌△BCM，∴∠CBM=∠ADM，AD=BC=2CN，∴AF=CN，∴∠DAC=∠C=90°，∠ADM=∠CBM=∠NAC，由(1)知，△DAM≌△BCM，∴∠DBC=∠ADB，∴AD//BC，∴∠EAF=∠ANC，在△EAF和△ANC中，∵{AE=AN∠EAF=∠ANC AF=NC，∴△EAF≌△ANC(SAS)，∴∠NAC=∠AEF，∠C=∠AFE=90°，∴∠AFE=∠DFE=90°，∵F为AD中点，∴AF=DF，在△AFE和△DFE中，{AF=DF∠AFE=∠DFE EF=EF，∴△AFE≌△DFE(SAS)，∴∠EAD=∠EDA=∠ANC，∴∠EDB=∠EDA+∠ADB=∠EAD+∠NAC=180°−∠DAM=180°−90°=90°，∴BD⊥DE．【解析】本题是三角形的综合问题，解题的关键是掌握中点的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点．(1)由点M是AC中点知AM=CM，结合∠AMD=∠CMB和DM=BM即可得证；(2)①由点M，N分别是AC，BC的中点及AC=BC可得CM=CN，结合∠C=∠C和BC= AC即可得证；②取AD中点F，连接EF，先证△EAF≌△ANC得∠NAC=∠AEF，∠C=∠AFE=90°，据此知∠AFE=∠DFE=90°，再证△AFE≌△DFE得∠EAD=∠EDA=∠ANC，从而由∠EDB=∠EDA+∠ADB=∠EAD+∠NAC=180°−∠DAM即可得证．。

2022-2023学年天津市西青区八年级（上）期末数学试卷1. 下列等式从左到右的变形，是因式分解的是( )A. B.C. D.2. 下列计算结果正确的是( )A. B. C. D.3. 若分式有意义，则x的取值范围为( )A. B. C. D.4. KN95型口罩可以保护在颗粒物浓度很高的空间中工作的人不被颗粒物侵害，也可以帮助人们预防传染病.“KN95”表示此类型的口罩能过滤空气中的粒径约为的非油性颗粒.其中，用科学记数法表示为( )A. B. C. D.5. 如果一个多边形的内角和与外角和相等，那么这个多边形是( )A. 四边形B. 五边形C. 六边形D. 七边形6. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是( )A. B. C. D.7. 下列长度的三条线段，能构成三角形的是( )A. 3，10，5B. 4，8，4C. 5，13，12D. 2，7，48.如图，≌，，，则AC的长度等于( )A.B.C.D.9. 计算的结果是( )A. B.C. D.10. 已知，，则的值为( )A. 25B. 36C. 11D. 1611. 如图，点P为内一点，过点P的线段MN分别交AB，BC于点M，N，且M，N分别在PA，PC的垂直平分线上.若，则的度数为( )A. B. C. D.12. 如图，已知点C是的平分线AC上一点，，，点E，F为垂足，点B在AE的延长线上，点D在AF上，若，，，则AE的长为( )A. 14B. 15C. 16D. 1713. 计算：______ .14. 计算：______ .15.如图，，，要使≌，则应补充条件：______ 填写一个即可16. 若，，则的值为______ .17. 如图，已知等边，过AB边上一点P作于点E，点Q为BC延长线上一点，取，连接PQ，交AC于M，已知EM的长为2，则等边三角形的边长为______ .18. 如图，在中，，，，BD是的角平分线，点P，点N分别是BD，AC边上的动点，点M在BC上，且是否存在最小值？______ 填“是”或“否”如果存在，请直接写出此时的最小值；如果不存在，请说明理由.______ .19. 分解因式：；先化简，再求值：，其中，20. 计算：；先化简，再求值：，其中21.如图，AD是的高，AE，BF是角平分线，它们相交于点O，，，求和的度数.22. 已知平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，作出关于x轴对称的；直接写出，，三点的坐标______ ，______ ，______ ；直接写出关于直线直线n上各点的横坐标都是对称的点的坐标______ .23. 注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路，填写表格，并完成本题解答的全过程.如果你选用其他的解题方案，此时，不必填写表格，只需按照解答题的一般要求，进行解答即可.中国是最早发现并利用茶的国家，形成了具有独特魅力的茶文化，每年5月21日为国际茶日.某茶店5月份第一周绿茶、红茶的销售总额分别为1500元，900元，已知红茶每克售价是绿茶每克售价的倍，红茶的销售量比绿茶的销售量少3000克.问绿茶、红茶每克的售价分别是多少元？设绿茶每克销售价格为x元，则用含x的式子把表格补充完整；售价元/克销售量克销售总额元绿茶x______1500红茶____________900列出方程，完成本题解答.24. 如图，点C在线段AB上，，，，CF平分求证：；请你写出CF与DE的位置关系，并说明理由.25.如图，等边的边长为3，点D是AB延长线上的一个动点，以CD为边在AD 上方作等边，过点A作，连接MB并延长，交AN于点求证：；当时，求的度数；在点D的运动过程中，线段BN的长度是否会发生变化？若不变，则求出BN的长度；若变化，请说明理由.答案和解析1.【答案】C【解析】解：等式从左到右的变形是整式乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；B.等式从左到右的变形不是因式分解，故本选项不符合题意；C.等式从左到右的变形是因式分解，故本选项符合题意；D.等式从左到右的变形不是因式分解，故本选项不符合题意；故选：根据因式分解的定义逐个判断即可．本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．2.【答案】D【解析】解：，故本选项不符合题意；B.，故本选项不符合题意；C.，故本选项不符合题意；D.，故本选项符合题意；故选：先根据同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方进行计算，再得出答案即可．本题考查了同底数幂的乘法法则和幂的乘方与积的乘方法则，，能熟练掌握同底数幂的乘法法则和幂的乘方与积的乘方法则是解此题的关键．3.【答案】A【解析】解：要分式有意义，则x的取值范围为，即，故选：根据分式有意义，则要求分式分母不为0，即可求得答案．本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解题的关键．4.【答案】B【解析】用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．解：用科学记数法表示为：故选：本题考查了科学记数法，用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．5.【答案】A【解析】解：设多边形的边数为n，根据题意，解得故选：利用多边形的内角和与外角和公式列出方程，然后解方程即可．本题主要考查了多边形的内角和定理与外角和定理，熟练掌握定理是解题的关键．6.【答案】A【解析】解：选项B、C、D不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，选项A能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，故选：根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．7.【答案】C【解析】解：A、，不能够组成三角形，不符合题意；B、，不能够组成三角形，不符合题意；C、，能够组成三角形，符合题意；D、，不能组成三角形，不符合题意．故选：根据“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”对各选项进行进行逐一分析即可．本题考查了三角形的三边的关系，正确理解三边关系定理是解题关键．8.【答案】C【解析】解：≌，，，，，，，，，故选：根据全等三角形的性质得出，求出，求出DC长，再求出答案即可．本题考查了全等三角形的性质，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，全等三角形的对应边相等，对应角相等．9.【答案】C【解析】解：原式故选：直接利用单项式乘多项式，进而计算得出答案．此题主要考查了单项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．10.【答案】D【解析】解：，，故选：根据，求解即可．本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，属于中考常考题型．11.【答案】B【解析】【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据平角的概念求出，根据线段垂直平分线的性质得到，，得到，，根据三角形的外角性质、三角形内角和定理计算，得到答案．【解答】解：，，，N分别在PA，PC的垂直平分线上，，，，，，，，12.【答案】A【解析】解：点C是的平分线AC上一点，，，，，在与中，，≌，在与中，，，设，则，，，解得：故选：欲求AE的长度，需要通过证全等三角形，利用全等三角形的对应边相等，创设条件证出线段相等，进而求得AE的长，使问题得以解决．本题考查了角平分线的性质和全等三角形的判定与性质．角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．13.【答案】1314【解析】解：，故答案为：利用乘法分配律，进行计算即可解答．本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．14.【答案】【解析】解：原式故答案为：根据负整数指数幂以及单项式乘单项式的计算方法进行计算即可．本题考查单项式乘单项式以及负整数指数幂，掌握单项式乘多项式的计算方法以及负整数指数幂的运算性质是正确解答的前提．15.【答案】或或【解析】解：，，即，又，添加时，由SAS可以判定≌；当添加时，由AAS可以判定≌；当添加时，由ASA可以判定≌；故答案为：或或由推知，已知一对边和一对角对应相等，所以根据AAS或SAS或ASA都可以推知两个三角形全等．本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．16.【答案】15【解析】解：，故答案为：根据幂的乘方，可化成要求的形式，根据同底数幂的除法，可得答案．本题考查了同底数幂的除法，先化成要求的形式，再进行同底数幂的除法．17.【答案】4【解析】解：过P作交AC于F，如图所示：，是等边三角形，，，，，是等边三角形，，，，，，，在和中，，≌，，，，，故答案为：过P作交AC于F，得出等边三角形APF，推出，根据等腰三角形性质求出，证≌，推出，推出即可．本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点的应用；熟练掌握等边三角形的性质与判定，证明三角形全等是解决问题的关键．18.【答案】是【解析】解：如图所示，作点M关于BD的对称点，连接，则，，，当N，P，在同一直线上，且时，的最小值等于垂线段的长，故答案为：是；存在，理由如下：在中，，，的最小值为，故答案为：作点M关于BD的对称点，连接，则，，当N，P，在同一直线上，且时，的最小值等于垂线段的长，利用含角的直角三角形的性质，即可得到的最小值．本题主要考查了最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．19.【答案】解：原式；原式【解析】利用提公因式法以及完全平方公式解答即可；根据平方差公式和完全平方公式化简后，再把a、b的值代入计算即可．本题考查了提公因式法分解因式以及整式的混合运算，掌握乘法公式是解答本题的关键．20.【答案】解：原式；原式，当时，原式【解析】先计算乘方，再计算乘法；先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算即可．本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．21.【答案】解：在中，，，平分，BF平分，，是的高，，在中，，，【解析】AD是的高，利用三角形内角和定理，可求出的度数，结合角平分线的性质，可得出，的度数，在中，利用三角形内角和定理，可求出的度数，结合，可求出的度数，再在中，利用三角形内角和定理，可求出的度数．本题考查了三角形内角和定理以及角平分线的性质，牢记“三角形内角和是”是解题的关键．22.【答案】【解析】解：如图，即为所求．由图可得，，，故答案为：；；由题意可知，直线n即为直线，即点与点关于直线对称，点的坐标为故答案为：根据轴对称的性质作图即可．由图可直接得出答案．根据轴对称的性质可得答案．本题考查作图-轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．23.【答案】【解析】解：设绿茶每克销售价格为x元，则红茶每克销售价格为元，由题意得：绿茶的销售量为克，红茶的销售量为克，故答案为：克，，；由题意得：，解得：，经检验，是原方程的解，且符合题意，，答：绿茶每克销售价格为元，红茶每克销售价格为元．根据题意和售价销售量=销售总额即可得出结论；由题意：红茶的销售量比绿茶的销售量少3000克．列出分式方程，解方程即可．本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．24.【答案】证明：，，在和中，，≌；；解：理由：≌，，又平分，【解析】根据SAS即可证明；利用等腰三角形的三线合一的性质即可证明．本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是得到≌25.【答案】证明：，都是等边三角形，，，，，在和中，，≌，；解：≌，，，，；解：结论：BN的长度不变，理由：设CD交BM于点，，，，，，，【解析】证明≌，可得结论；利用三角形内角和定理，全等三角形的性质解决问题即可；证明，可得本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．。