《线性代数》教材习题答案(清华大学居余马)

1、22220a ab a b ab ab ab b=⋅-⋅= 2、22cos sin cos cos (sin )sin cos sin 1sin cos αααααααααα-=⋅--⋅=+=3、222()()22()2a bi b a bi a bi ab a b ab a b aa bi+=+--=+-=--4、3242123*1*(3)2*(2)*5(4)*4*23*(2)*22*4*(3)(4)*1*5423--=-+-+---------5、1234561*5*92*6*73*4*81*6*82*4*93*5*7789=++---6、2214112*1*1012*(1)*2021*4*1992*(1)*1992*4*1011*1*202202199101-=+-+----7、222234322222211101(1)(1)(1)01001w w w ww ww w w w w w w w w w w w +⨯---=-=-++=-⨯--第2行第1行()第3行第1行()8、3322232121*2*3322663x xxx x x x x x x x xx =++---=-+ 9、143000400400431(1)043425604324324321+-=-=-按第行展开10、公式：解：1010000100100200002010(1)1008000080090000910+-⋅按第行展开11、31111111*********00311*(2)8111100204111112----=-=------第行第行第行第行第行第行12、该行列式中各行元素之和均为10，所以吧第2，3，4列加到第1列，然后再把第1列后三个元素化为零，再对第1列展开，即13、5042111111112101121112102114324741204120032415311115420153-----=-=----=----------第，行交换14、先将第1行与第5行对换，第3行与第4行对换（反号两次，其值不变）根据课本20页公式（1.21），原式012112003*41203022=-=-=-（） 15、1200340012132*16001334510051-==---（）（）=3216、1234512345123678910678910213567810*220000*********01000024000240101100013-=-=-=-第，行对换17、根据课本20页公式（1.22）18、1001201*2*33!123A ===，所以 3*5*(1)||||3!5!0A AB B=-=-19、证：20、11111111211111003111110041111100xx x x x y x yyxy++----=-+-----第行第行左第行第行第行第行21、33333333333111111010b a c aabc b ac a b a c aa b c b a c a --==--=⋅----左 22、解法1：()()()()232322332233223323223311001111a a bb b a b a b ac a c a b a c c c a c a =--=------- 整理得()()()()ab bc ca b a c a c b =++---又根据范德蒙行列式有：()()()222111a a b a c a c b b b c c ---=故原式得证。

第三章 课后习题及解答将1，2题中的向量α表示成4321,,,αααα的线性组合：1．()()()()().1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,,1,1,11,,1,12,1T4T3T21T--=--=--===αααααT2．()()()()().1,1,1,0,0,0,1,1,1,3,1,2,1,0,1,1,1,0,0,04321--=====ααααα解：设存在4321,,,k k k k 使得44332211αααααk k k k +++=，整理得14321=+++k k k k24321=--+k k k k14321=-+-k k k k14321=+--k k k k解得.41,41,41,454321-=-===k k k k 所以432141414145ααααα--+=. 设存在 4321,,,k k k k 使得44332211αααααk k k k +++=，整理得02321=++k k k ，04321=+++k k k k ，0342=-k k ，1421=-+k k k .解得 .0,1,0,14321=-===k k k k 所以31ααα-=.判断3，4题中的向量组的线性相关性： 3. ()()().6,3,1,5,2,0,1,1,1T3T2T1===ααα4. ()().3,0,7,142,1,3,0,)4,2,1,1(T3T2T 1==-=βββ，解：3.设存在 321,,k k k 使得0332211=++αααk k k ，即⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+065032032132131k k k k k k k k ，由0651321101=，解得321,,k k k 不全为零， 故321,,ααα线性相关.4.设存在 321,,k k k 使得0332211=++βββk k k ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=+-=+0142407203033213212131k k k k k k k k k k 可解得321,,k k k 不全为零，故321,,βββ线性相关. 5.论述单个向量）（n a a a ,,,21 =α线性相关和线性无关的条件.解：设存在k 使得0=αk ，若0≠α，要使0=αk ，当且仅当0=k ，故，单个向量线性无关的充要条件是0≠α；相反，单个向量）（n a a a ,,,21 =α线性相关的充要条件是0=α.6.证明：如果向量组线性无关，则向量组的任一部分组都线性无关. 证：设向量组n n αααα,,,,121- 线性无关，利用反证法，假设存在该向量组的某一部分组)(,,,21n i r i i i r ≤ααα 线性相关，则向量组n n αααα,,,,121- 线性相关，与向量组n n αααα,,,,121- 线性无关矛盾， 所以该命题成立.7.证明：若21,αα线性无关，则2121,αααα-+也线性无关.证：方法一，设存在21,k k 使得0)()(212211=-++ααααk k ，整理得，0)()(221121=-++ααk k k k ，因为21,αα线性无关，所以⎩⎨⎧=-=+02121k k k k ，可解得021==k k ，故2121,αααα-+线性无关.方法二，因为=-+）（2121,αααα⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1111,21）（αα， 又因为021111≠-=-，且21,αα线性无关，所以向量组2121,αααα-+的秩为2，故2121,αααα-+线性无关.8.设有两个向量组s ααα,,,21 和,,,,21s βββ 其中,13121111⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=k a a a a α,3222122⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ks a a a a α ,,321⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ks s s s s a a a a αs βββ,,,21 是分别在s ααα,,,21 的k 个分量后任意添加m 个分量mj j j b b b ,,,21),,2,1(s j =所组成的m k +维向量，证明：(1) 若s ααα,,,21 线性无关，则s βββ,,,21 线性无关； (2) 若s βββ,,,21 线性相关，则s ααα,,,21 线性相关.证：证法1，(1)设()s A ααα,,,21 =，()s B βββ,,,21 =，因为s ααα,,,21 线性无关，所以齐次线性方程0=AX 只有零解，即,)(s A r = 且s B r =)(，s βββ,,,21 线性无关.证法2，因为s ααα,,,21 线性无关，所以齐次线性方程0=AX 只有零解，再增加方程的个数，得0=BX ，该方程也只有零解，所以s βββ,,,21 线性无关.(2) 利用反证法可证得，即假设s ααα,,,21 线性无关，再由（1）得s βββ,,,21 线性无关，与s βββ,,,21 线性相关矛盾.9. 证明：133221,,αααααα+++线性无关的充分必要条件是321,,ααα线性无关.证：方法1，（133221,,αααααα+++）=（321,,ααα）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛110011101因为321,,ααα线性无关，且02110011101≠=，可得133221,,αααααα+++的秩为3所以133221,,αααααα+++线性无关.线性无关；反之也成立.方法2，充分性，设321,,ααα线性无关，证明133221,,αααααα+++线性无关.设存在321,,k k k 使得0)()()(133322211=+++++ααααααk k k ，整理得，0)()()(332221131=+++++αααk k k k k k因为321,,ααα线性无关，所以⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+000322131k k k k k k ，可解得0321===k k k ，所以133221,,αααααα+++线性无关. 必要性，（方法1）设133221,,αααααα+++线性无关，证明321,,ααα线性无关，假设321,,ααα线性相关，则321,,ααα中至少有一向量可由其余两个向量线性表示，不妨设321,ααα可由线性表示，则向量组133221,,αααααα+++可由32,αα线性表示，且23>，所以133221,,αααααα+++线性相关，与133221,,αααααα+++线性无关矛盾，故321,,ααα线性无关.方法2，令133322211,,ααβααβααβ+=+=+=，设存在321,,k k k 使得0332211=++αααk k k ，由133322211,,ααβααβααβ+=+=+=得）（）（）（32133212321121,21,21βββαβββαβββα---=-+=+-=，代入 0332211=++αααk k k 得，0212121321332123211=++-+-+++-）（）（）（βββββββββk k k ，即 0)()()(332123211321=+-+++-+-+βββk k k k k k k k k因为321,,βββ线性无关，所以⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++-=-+000321321321k k k k k k k k k可解得0321===k k k ，所以321,,ααα线性无关.10.下列说法是否正确？如正确，证明之；如不正确，举反例：（1）m ααα,,,21 ）（2>m 线性无关的充分必要条件是任意两个向量线性无关； 解：不正确，必要条件成立，充分条件不成立，例：2维向量空间不在一条直线的3个向量，虽然两两线性无关，但这3个向量线性相关。

1、22220aab a b ab ab abb=⋅-⋅=2、22cos sin cos cos (sin )sin cos sin 1sin cos αααααααααα-=⋅--⋅=+=3、222()()22()2a bi b a bi a bi ab a b ab a b aa bi+=+--=+-=--4、3242123*1*(3)2*(2)*5(4)*4*23*(2)*22*4*(3)(4)*1*5423--=-+-+--------- 920321224205=---+++=-5、1234561*5*92*6*73*4*81*6*82*4*93*5*7789=++--- 45849648721050=++---=6、2214112*1*1012*(1)*2021*4*1992*(1)*1992*4*1011*1*202202199101-=+-+----20240479639880820218=-++--=-7、222234322222211101(1)(1)(1)011w wwww ww w w w w w w w w www+⨯---=-=-++=-⨯--第2行第1行()第3行第1行()8、3322232121*2*3322663x xxx x x x x x x x xx=++---=-+9、143000400400431(1)0434********324321+-=-=-按第行展开10、公式： 111112111222222122112212000000000000n n nn nn nn n n nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a ===11111,11(1)2,12,2,1212,1212,111,11100000000(1)0n n n n n n n n n n n n n n n n nnn n a a a a a a a a a a a a a a a a a a -------===-⋅解：101000010000100200002010(1)1008000080090000910+-⋅按第行展开 9(19)210(1)128910!+=⋅-⋅⋅⋅=11、3111111112111110200311*(2)8111100204111112----=-=------第行第行第行第行第行第行12、该行列式中各行元素之和均为10，所以吧第2，3，4列加到第1列，然后再把第1列后三个元素化为零，再对第1列展开，即 12341234123421113234113410113103110102223412*********114141231123111---=-=-----------第行第行第行第行 第行第行10*16160==13、50421111111121011211121021014324741204120032415311115420153-----=-=----=----------第，行交换14、先将第1行与第5行对换，第3行与第4行对换（反号两次，其值不变） 365641111111111111112545325453032750327536342254650328700012254653634203075002001111136564329722------===---根据课本20页公式（1.21），原式012112003*4120322=-=-=-（）15、1200340012132*160013345151-==---（）（）=3216、1234512345123678910678910213567810*220000130101143100002400024011113-=-=-=-第，行对换17、根据课本20页公式（1.22） 23001121120030212(1)30212*(5)600024031241240131258⨯--=-=-=--18、1001201*2*33!123A ===，5(51)20000100020(1)(1)(2)(3)(4)(5)5!00300040005B ---==------=----所以 3*5*(1)||||3!5!0A AB B=-=-19、证：21111111112222222222233333333311111112222222223333333(1)2*1(1)(1)(1)1*2(1)a b x a x b c a b x b x c a b xa xbc x a b xb xc a b xa xbc a b xb xc a b xb c a b c x a b xb c x x a b c a b xb c a b c +++-=++-+-+++-+=-+--=+左第列第列第列第列右20、1111111121111100311111004111110xx x x x y x y yxy++----=-+-----第行第行左第行第行第行第行144401114(1)10(1)()00xx xxy y xx xxy++--+-⋅⋅-+-⋅-⋅----按第列展开 2222222(1)()x y y x xy xy x x y y x y x x y ⎡⎤=---++-=----==⎣⎦右21、33333333333111111010b ac aab c b a c ab ac aabcb ac a--==--=⋅----左()()()()()()()()()()()()()()()()2222222222b ac a c ac a c a b a b ab a b a c a c ac ab ab a b ac a c ac bab b a c a c b a b c =--++---++=--++---=--+--=---++=右22、解法1：()()()()232322332233223323223311001111a ab b b a b a b acacabaccc ac a=--=-------整理得()()()()ab bc ca b a c a c b =++---又根据范德蒙行列式有：()()()222111a ab ac a c b b b cc---=故原式得证。

第三章课后习题及解答将1，2题中的向量α表示成4321,,,αααα的线性组合： 1．()()()()().1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,,1,1,11,,1,12,1T 4T 3T 21T --=--=--===αααααT2．()()()()().1,1,1,0,0,0,1,1,1,3,1,2,1,0,1,1,1,0,0,04321--=====ααααα 解：设存在4321,,,k k k k 使得44332211αααααk k k k +++=，整理得 解得.41,41,41,454321-=-===k k k k 所以432141414145ααααα--+=.设存在 4321,,,k k k k 使得44332211αααααk k k k +++=，整理得02321=++k k k ，04321=+++k k k k ，0342=-k k ，1421=-+k k k .解得 .0,1,0,14321=-===k k k k 所以31ααα-=.判断3，4题中的向量组的线性相关性： 3. ()()().6,3,1,5,2,0,1,1,1T 3T 2T 1===ααα4.()().3,0,7,142,1,3,0,)4,2,1,1(T 3T 2T 1==-=βββ， 解：3.设存在 321,,k k k 使得0332211=++αααk k k ，即⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+065032032132131k k k k k k k k ，由0651321101=，解得321,,k k k 不全为零， 故321,,ααα线性相关.4.设存在 321,,k k k 使得0332211=++βββk k k ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=+-=+0142407203033213212131k k k k k k k k k k 可解得321,,k k k 不全为零，故321,,βββ线性相关.5.论述单个向量）（n a a a ,,,21 =α线性相关和线性无关的条件.解：设存在k 使得0=αk ，若0≠α，要使0=αk ，当且仅当0=k ，故，单个向量线性无关的充要条件是0≠α；相反，单个向量）（n a a a ,,,21 =α线性相关的充要条件是0=α.6.证明：如果向量组线性无关，则向量组的任一部分组都线性无关.证：设向量组n n αααα,,,,121- 线性无关，利用反证法， 假设存在该向量组的某一部分组)(,,,21n i r i ii r ≤ααα 线性相关，则向量组n n αααα,,,,121- 线性相关，与向量组n n αααα,,,,121- 线性无关矛盾，所以该命题成立.7.证明：若21,αα线性无关，则2121,αααα-+也线性无关. 证：方法一，设存在21,k k 使得0)()(212211=-++ααααk k ， 整理得，0)()(221121=-++ααk k k k ，因为21,αα线性无关，所以⎩⎨⎧=-=+02121k k k k ，可解得021==k k ，故2121,αααα-+线性无关.方法二，因为=-+）（2121,αααα⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1111,21）（αα， 又因为021111≠-=-，且21,αα线性无关，所以向量组2121,αααα-+的秩为2，故2121,αααα-+线性无关.8.设有两个向量组s ααα,,,21 和,,,,21s βββ 其中s βββ,,,21 是分别在sααα,,,21 的k 个分量后任意添加m个分量mj j j b b b ,,,21),,2,1(s j =所组成的m k +维向量，证明：(1) 若sααα,,,21 线性无关，则s βββ,,,21 线性无关；(2) 若s βββ,,,21 线性相关，则sααα,,,21 线性相关.证：证法1，(1)设()s A ααα,,,21 =，()s B βββ,,,21 =，因为s ααα,,,21 线性无关，所以齐次线性方程0=AX 只有零解，即,)(s A r = 且s B r =)(，s βββ,,,21 线性无关.证法2，因为s ααα,,,21 线性无关，所以齐次线性方程0=AX 只有零解，再增加方程的个数，得0=BX ，该方程也只有零解，所以s βββ,,,21 线性无关.(2) 利用反证法可证得，即假设s ααα,,,21 线性无关，再由（1）得s βββ,,,21 线性无关，与s βββ,,,21 线性相关矛盾.9. 证明：133221,,αααααα+++线性无关的充分必要条件是321,,ααα线性无关.证：方法1，（133221,,αααααα+++）=（321,,ααα）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛110011101 因为321,,ααα线性无关，且02110011101≠=，可得133221,,αααααα+++的秩为3所以133221,,αααααα+++线性无关.线性无关；反之也成立.方法2，充分性，设321,,ααα线性无关，证明133221,,αααααα+++线性无关.设存在321,,k k k 使得0)()()(133322211=+++++ααααααk k k ，整理得，因为321,,ααα线性无关，所以⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+000322131k k k k k k ，可解得321===k k k ，所以133221,,αααααα+++线性无关.必要性，（方法1）设133221,,αααααα+++线性无关，证明321,,ααα线性无关，假设321,,ααα线性相关，则321,,ααα中至少有一向量可由其余两个向量线性表示，不妨设321,ααα可由线性表示，则向量组133221,,αααααα+++可由32,αα线性表示，且23>，所以133221,,αααααα+++线性相关，与133221,,αααααα+++线性无关矛盾，故321,,ααα线性无关.方法2，令133322211,,ααβααβααβ+=+=+=，设存在321,,k k k 使得0332211=++αααk k k ，由133322211,,ααβααβααβ+=+=+=得）（）（）（32133212321121,21,21βββαβββαβββα---=-+=+-=，代入0332211=++αααk k k 得，0212121321332123211=++-+-+++-）（）（）（βββββββββk k k ，即因为321,,βββ线性无关，所以⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++-=-+000321321321k k k k k k k k k可解得0321===k k k ，所以321,,ααα线性无关.10.下列说法是否正确？如正确，证明之；如不正确，举反例：（1）m ααα,,,21 ）（2>m 线性无关的充分必要条件是任意两个向量线性无关；解：不正确，必要条件成立，充分条件不成立，例：2维向量空间不在一条直线的3个向量，虽然两两线性无关，但这3个向量线性相关。

第三章 课后习题及解答将1,2题中的向量α暗示成4321,,,αααα的线性组合：1．()()()()().1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,,1,1,11,,1,12,1T 4T 3T 21T --=--=--===αααααT 2．()()()()().1,1,1,0,0,0,1,1,1,3,1,2,1,0,1,1,1,0,0,04321--=====ααααα 解：设消失4321,,,k k k k 使得44332211αααααk k k k +++=,整顿得 解得.41,41,41,454321-=-===k k k k 所以432141414145ααααα--+=.设消失 4321,,,k k k k 使得44332211αααααk k k k +++=,整顿得02321=++k k k ,04321=+++k k k k ,0342=-k k ,1421=-+k k k .解得 .0,1,0,14321=-===k k k k 所以31ααα-=. 断定3,4题中的向量组的线性相干性： 3. ()()().6,3,1,5,2,0,1,1,1T 3T 2T 1===ααα 4.()().3,0,7,142,1,3,0,)4,2,1,1(T 3T 2T 1==-=βββ， 解：3.设消失 321,,k k k 使得0332211=++αααk k k ,即⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+065032032132131k k k k k k k k ,由0651321101=,解得321,,k k k 不全为零, 故321,,ααα线性相干.4.设消失 321,,k k k 使得0332211=++βββk k k ,即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=+-=+0142407203033213212131k k k k k k k k k k 可解得321,,k k k 不全为零,故321,,βββ线性相干. ）（n a a a ,,,21 =α线性相干和线性无关的前提.解：设消失k 使得0=αk ,若0≠α,要使0=αk ,当且仅当0=k ,故,单个向量线性无关的充要前提是0≠α;相反,单个向量）（n a a a ,,,21 =α线性相干的充要前提是0=α.6.证实：假如向量组线性无关,则向量组的任一部分组都线性无关. 证：设向量组n n αααα,,,,121- 线性无关,应用反证法,假设消失该向量组的某一部分组)(,,,21n i r i i i r≤ααα 线性相干,则向量组n n αααα,,,,121- 线性相干,与向量组n n αααα,,,,121- 线性无关抵触,所以该命题成立.7.证实：若21,αα线性无关,则2121,αααα-+也线性无关. 证：办法一,设消失21,k k 使得0)()(212211=-++ααααk k , 整顿得,0)()(221121=-++ααk k k k , 因为21,αα线性无关,所以⎩⎨⎧=-=+02121k k k k ,可解得021==k k ,故2121,αααα-+线性无关.办法二,因为=-+）（2121,αααα⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1111,21）（αα, 又因为021111≠-=-,且21,αα线性无关,所以向量组2121,αααα-+的秩为2,故2121,αααα-+线性无关.s ααα,,,21 和,,,,21s βββ 个中s βββ,,,21 是分离在s ααα,,,21 的k 个分量后随意率性添加m 个分量mj j j b b b ,,,21),,2,1(s j =所构成的m k +维向量,证实：(1) 若s ααα,,,21 线性无关,则s βββ,,,21 线性无关; (2) 若s βββ,,,21 线性相干,则sααα,,,21 线性相干.证：证法1,(1)设()s A ααα,,,21 =,()s B βββ,,,21 =,因为s ααα,,,21 线性无关,所以齐次线性方程0=AX 只有零解,即,)(s A r = 且s B r =)(,s βββ,,,21 线性无关.证法2,因为s ααα,,,21 线性无关,所以齐次线性方程0=AX 只有零解,再增长方程的个数,得0=BX ,该方程也只有零解,所以s βββ,,,21 线性无关.(2) 应用反证法可证得,即假设s ααα,,,21 线性无关,再由（1）得s βββ,,,21 线性无关,与s βββ,,,21 线性相干抵触.9. 证实：133221,,αααααα+++线性无关的充分须要前提是321,,ααα线性无关.证：办法1,（133221,,αααααα+++）=（321,,ααα）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛110011101因为321,,ααα线性无关,且02110011101≠=,可得133221,,αααααα+++的秩为3所以133221,,αααααα+++线性无关.线性无关;反之也成立.办法2,充分性,设321,,ααα线性无关,证实133221,,αααααα+++线性无关.设消失321,,k k k 使得0)()()(133322211=+++++ααααααk k k ,整顿得,因为321,,ααα线性无关,所以⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+000322131k k k k k k ,可解得0321===k k k ,所以133221,,αααααα+++线性无关. 须要性,（办法1）设133221,,αααααα+++线性无关,证实321,,ααα线性无关,假设321,,ααα线性相干,则321,,ααα中至少有一贯量可由其余两个向量线性暗示,无妨设321,ααα可由线性暗示,则向量组133221,,αααααα+++可由32,αα线性暗示,且23>,所以133221,,αααααα+++线性相干,与133221,,αααααα+++线性无关抵触,故321,,ααα线性无关.办法2,令133322211,,ααβααβααβ+=+=+=,设消失321,,k k k 使得0332211=++αααk k k ,由133322211,,ααβααβααβ+=+=+=得）（）（）（32133212321121,21,21βββαβββαβββα---=-+=+-=,代入 0332211=++αααk k k 得,0212121321332123211=++-+-+++-）（）（）（βββββββββk k k ,即 因为321,,βββ线性无关,所以⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++-=-+000321321321k k k k k k k k k可解得0321===k k k ,所以321,,ααα线性无关.10.下列说法是否准确？如准确,证实之;如不准确,举反例： （1）m ααα,,,21 ）（2>m 线性无关的充分须要前提是随意率性两个向量线性无关;解：不准确,须要前提成立,充分前提不成立,例：2维向量空间不在一条直线的3个向量,固然两两线性无关,但这3个向量线性相干.设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=111001321ααα，，,321,,ααα两两线性无关,而321,,ααα线性相干.（2）m ααα,,,21 ）（2>m 线性相干的充分须要前提是有1-m 个向量线性相干;解：不准确,充分前提成立,但须要前提不成立,例：设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111001321ααα，，,321,,ααα线性相干,而俩321,,ααα两两线性无关.(3) 若21,αα线性相干,21,ββ线性相干,则有不全为零的数21,k k ,使得02211=+ααk k 且02211=+ββk k ,从而使得0222111=+++）（）（βαβαk k , 故2211βαβα++，线性相干.解：不准确,因为21αα，线性相干和21ββ，线性相干,不一定消失统一组不全为零的数21,k k ,使得02211=+ααk k 和02211=+ββk k 成立;或者说消失两组不全为零的数21,k k 和21,t t 使得02211=+ααk k 和02211=+ββt t 成立.(4). 若321,,ααα线性无关,则133221,,αααααα---线性无关. 解：不准确,因为取1,1,1这组常数,使得0133221=-+-+-）（）（）（αααααα,所以133221,,αααααα---线性相干.(5) 若4321,,,αααα线性无关,则14433221,,,αααααααα++++线性无关; 解：不准确,因为14433221,,,αααααααα++++线性相干, 由9题,n 为奇数个时,线性无关,n 为偶数时,线性相干.(6). 若n αααα,,,,321 线性相干,则113221,,,,αααααααα++++-n n n 线性相干;解：准确,因为n αααα,,,,321 线性相干,所以n αααα,,,,321 中至少有一贯量可由残剩的1-n 个向量线性暗示,则113221,,,,αααααααα++++-n n n 也可由那残剩的1-n 个向量线性暗示,再因为1->n n ,所以113221,,,,αααααααα++++-n n n 线性相干.4321,,,αααα线性相干,但个中随意率性3个向量都线性无关,证实必消失一组全不为零的数4321,,,k k k k ,使得044332211=+++ααααk k k k . 证：因为4321,,,αααα线性相干,所以消失不全为零的常数4321,,,k k k k ,使得044332211=+++ααααk k k k ,假设01=k ,则0443322=++αααk k k ,得432ααα，，01≠k ;同样办法可证得432,,k k k 都不为零. 所以该命题成立.r ααα,,,21 线性无关,证实：r αααβ,,,,21 线性无关的充分须要前提是β不克不及由r ααα,,,21 线性暗示.证：须要性,假设β能由r ααα,,,21 ,则r αααβ,,,,21 线性相干与r αααβ,,,,21 线性无关抵触,故β不克不及由r ααα,,,21 线性暗示.充分性,设消失r k k k k ,,,,210 使得03322110=+++++r r k k k k k ααααβ , 若00≠k ,则β能由r αααα,,,,321 线性表出,抵触,所以00=k , 是以,0332211=++++r r k k k k αααα ,又因为r ααα,,,21 线性无关, 所以021====r k k k ,故,r αααβ,,,,21 线性无关.13.求下列向量组的秩及其一个极大线性无关组,并将其余向量用极大线性无关组线性暗示： （1）;)3,1,0,1,7(),22,6,9,4,1(),4,3,2,0,1(),2,9,1,4,6(4321-=--=-==αααα（2）)0,2,1,1(,)6,5,1,2(),14,7,0,3(),2,1,3,0(),4,2,1,1(54321-====-=ααααα; （3）.)3,2,1(),0,0,1(),0,1,1(),1,1,1(4321-====αααα解：（1）()TT T T 4321,,,αααα=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----322421639092114047116→→ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00000000100005100101 所以,向量组的秩为3,421,,ααα为一个极大线性无关组,2135ααα-=. （2）相似（1）,可求得向量组的秩为3,421,,ααα为一个极大线性无关组,且2133ααα+=,2145αααα--=.（3）相似（1）,可求得向量组的秩为3,321,,ααα为一个极大线性无关组,312435αααα--=.14.设向量组：).6,5,1,2(),0,2,1,1(,)6,5,1,2(),14,7,0,3(),2,1,3,0(),4,2,1,1(545321=-====-=ξξξξξξ（1）证实21ξξ，线性无关;（2）求向量组包含21ξξ，的极大线性无关组.（1）证：设消失21,k k ,使得02111=+T T k k ξξ,求得021==k k ,所以21ξξ，线性无关;（2）解, ()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=0000011000101101030160142452712110312131,,,,T 54321 ξξξξξT T T T ,所以,421,,ξξξ为包含21ξξ，的一个极大线性无关组.B A ,皆为n 阶矩阵,n B r n A r ≤≤)(,)(,证实：（1）秩)()(00B r A r B A +=⎪⎪⎭⎫⎝⎛; （2）秩)()(0B r A r B C A +≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛,C 为随意率性n 阶矩阵. 证：（1）设21)(,)(r B r r A r ==,则消失n 阶可逆矩阵Q P ,,'',Q P , 使得,0001⎪⎪⎭⎫⎝⎛=r E PAQ ,0002''⎪⎪⎭⎫⎝⎛=r E BQ P 从而 则秩=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B A 00秩).()(00000021''B r A r r r Q Q B A P P +=+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛（2）因为秩())(A r C A≥,所以秩)()(0B r A r B C A +≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛.))(),(min()(B r A r AB r ≤.证：设B A ,分离为s n n m ⨯⨯,矩阵,将A 按列分块,则有()n AB ααα 21=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ns n n s s b b b b b bb b b212222111211的列向量组s γγ,,1 可由A 的列向量组n ααα,,,21 线性暗示,故AB AB r =)(的列秩A ≤的列秩=)(A r ,同样,将B 按行分块,得)()(B r AB r ≤,是以,该命题成立.1. 设B A ,分离为m n n m ⨯⨯,矩阵,且m n <,证实：齐次线性方程组0)(=X AB 有非零解.证：由m n B r A r AB r <≤≤))(),(min()(,所以0=AB ,故齐次线性方程组0)(=X AB 有非零解.A 是一个n s ⨯矩阵,B 是由A 的前m 行构成的n m ⨯矩阵.证实：若A的行向量组的秩为r ,则s m r B r -+≥)(.证：设,,,2,1),,,,(21s i a a a in i i i ==α⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+s m mA αααα 11,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=m B αα 1.设p B r =)(,于是,B 的行向量组的极大线性无关组{}pi i i ααα,,,21含p个向量.是以,A 的行向量组的一个极大线性无关组是向量组{}s m i i i p ααααα,,,,,,121+的一个子集,所以它所含向量个数)(m s p -+≤,即)()(m s p r A r -+≤=, 从而,s m r p B r -+≥=)(.求下列（19—22题）矩阵的秩,并指出该矩阵的一个最高阶的非零子式：19.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----12100400003210054321.解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----→→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----00000200003210054321342112100400003210054321 所以,矩阵的秩为3.04400310531≠-=--为一个最高阶的非零子式. 20. ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----10030116030242201211.解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----10030116030242201211→→ ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000000400010030012112341 所以,矩阵的秩为3.01203103111≠=--为一个最高阶的非零子式. 21. ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------165543131223123.解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------165543131223123→→ ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------213200917137039431所以,矩阵的秩为3.014554312123≠-=---为一个最高阶的非零子式. 解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10000100011000111200112001120011 所以,矩阵的秩为4.011200112001120011≠-=为一个最高阶的非零子式.A 是一个n m ⨯矩阵,证实：消失非零的s n ⨯矩阵B ,使得0=AB 的充要前提是n A r <)(.证：设齐次线性方程组0=AX ,()021≠=s B βββ ,则由0=AB , 可得s j A j ,,2,1,0 ==β,因为,()021≠=s B βββ ,至少有一个0≠j β,再由0=AX 有非零解的充要前提是n A r <)(,故,s j A j ,,2,1,0 ==β, 至少有一个0≠j β的充要前提是n A r <)(.B A ,是同形矩阵,证实：A 与B 相抵的充要前提是)()(B r A r =.证：设B A ,是n m ⨯矩阵,p B r r A r ==)(,)(,则消失可逆矩阵2121,,,Q Q P P , 使得⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00011rE AQ P ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00022p E BQ P , 充分性,因为)()(B r A r =,所以,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00011rE AQ P =⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00022pE BQ P , B Q AQ P P =--121112)(,令Q Q Q P P P ==--121112,)(,故,B PAQ =是以,A 与B 相抵.须要性,因为A 与B 相抵,所以,消失可逆矩阵Q P ,,使得B PAQ =, 是以,)()(B r A r =.A 是n m ⨯矩阵）（n m <,m A r =)(,证实：消失m n ⨯矩阵B 使得m I AB =. 证：因为m A r =)(,所以,消失可逆矩阵Q P ,,使得()0m I PAQ =,所以有()01m I P AQ -=,())0(011--==P I P AQ m, (1)(3) 右端乘m n ⨯阶矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0P T ,得m I AQT =,令B QT =,故,m I AB =.26.证实：若n 阶方阵A 的秩为r ,则必有秩为r n -的n 阶方阵B ,使得0=BA .证：因为n 阶方阵A 的秩为r ,所以T A 的秩为r ,则0=X A T 的基本解系含有r n -个线性无关的解向量,取这r n -个线性无关的解向量r n X X -,,1 为T B 的列向量,则)()(B r r n B r T =-=.是以,该命题得证.27.证实：任何秩为r 的矩阵可以暗示为r 个秩为1矩阵之和,而不克不及暗示为少于r 个秩为1的矩阵之和.证：设A 为秩为r 的矩阵,则消失可逆矩阵Q P ,使得⎪⎪⎭⎫⎝⎛=000r E PAQ , 所以,1111111111)(000--------++=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=Q B P Q B P Q B B P Q E P A r r r,个中r B B ,,1 为秩为1的矩阵是以,任何秩为r 的矩阵可以暗示为r 个秩为1矩阵之和.后部的证实,（反证法）假设A 为秩为r 的矩阵,能暗示为少于r 个秩为1的矩阵之和,无妨设A 能暗示为p 个秩为1的矩阵之和,个中,r p <,设),(1p B B A ++= 个中p B B ,,1 是秩为1的矩阵.r p B r B r A r p <=++≤)()()(1 ,与r A r =)(抵触.28.求下列齐次线性方程组的一个基本解系及一般解：（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+=++-=+-+=-+-0793083032054321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x 解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----7931181332111511→→ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0000002271012301 取43,x x 为自由未知量,令0,143==x x 和1,043==x x ,得原方程组的一个基本解系为T T X X )1,0,2,1(;)0,1,27,23(21--=-=,是以,一般解为2211X k X k X +==⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-102101272321k k ,个中21,k k 为随意率性常数.(2).⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+-=-+-+=+---=++-+03162505341211027322028354321543215432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------316251534121112732212813→→ ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----000000000100121825872183819 取543,,x x x 为自由未知量,令0,0,1543===x x x ,0,1,0543===x x x 和1,0,0543===x x x ,得原方程组的一个基本解系为是以,一般解为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=++=10001000121213825832878191332211k k k X k X k X k X ,个中,321,,k k k 为随意率性常数.29. 求下列非齐次线性方程组的一般解：（1）⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+++2749422536372432143214321x x x x x x x x x x x x解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛246714922531372→→ ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---01080000151100491取32,x x 为自由未知量,令032==x x ,得方程组的一个特解：T X )10,0,0,8(0-=,再令0,132==x x 和1,032==x x ,得其导出组的一个基本解系：T T X X )5,1,0,4(,)11,0,1,9(21-=-=.所以,方程组的一般解为22110X k X k X X ++=,个中21,k k 为随意率性常数.（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+++=+++-=-+++=++++12334523622232375432154325432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---12232713345622103112311111→→ ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----00231600000000006221051101 取,,,543x x x 为自由未知量,令0543===x x x ,得方程组的一个特解：T X )0,0,0,23,16(0-=;再取0,0,1543===x x x ,0,1,0543===x x x 和1,0,0543===x x x 得其导出组的一个基本解系：T T T X X X )1,0,0,6,5(,)0,1,0,2,1(,)0,0,1,2,1(321-==-= 所以,方程组的一般解为3322110X k X k X k X X +++=,个中321,,k k k 为随意率性常数.q p ,取何值时,下列线性方程组有解.无解,有解时求其解.(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=++++=+-+=+++3)3()1(32)1(2)3(321321321x p px x p px x p px p x x x p 解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+323)1(311213p p p pp p pp →→ ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++---++-+91536300)1(30321323222p p p p p pp p p p p所以,0=p 或1=p 时,该方程组无解,0≠p 且1≠p 时,有独一解是)1(91532231-+-+=p p p p p X ,)1(912232--+=p p p p X ,)1(912342233--++-=p p p p p X （2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+++=+++=-+++=++++q x x x x x x x x x p x x x x x x x x x x 5432154325432154321334536223231 解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--q p 3113345622103112311111→→ ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-23100000000006221011111q p所以,当0≠p 或2≠q 时,方程组无解; 当0=p 且2=q 时,方程组有无限多解,取543,,x x x 为自由变量,令0543===x x x ,得方程组的一个特解：T X )0,0,0,3,2(0-=;再取0,0,1543===x x x ,0,1,0543===x x x 和1,0,0543===x x x 得其导出组的一个基本解系：T T T X X X )1,0,0,6,5(,)0,1,0,2,1(,)0,0,1,2,1(321-=-=-=所以,方程组的一般解为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=10065010210012100032321k k k X ,个中321,,k k k 为随意率性常数.（3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-+++-=++=---=-++3)2(2337212432143243214321q x q x x x q qx px x x x x x x x x x 解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+------333122111072111211q q q q p →→ ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+------2211100032003211211q q q q p 所以,当2≠p 且1≠q 时,方程组有独一解. 当1=q 时,方程组无解;当2=p 时,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-----22111000300032101211q q q q →→ ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---q 42110000100032101211所以,当2=p 且4=q 时,方程组有无限多解,()()T T k 0,1,2,02,0,7,10--,个中k 为随意率性常数.当2=p 且4≠q 时,方程组无解.A 是n m ⨯矩阵,证实：若任一个n 维向量都是0=AX 的解,则0=A .证：因为任一个n 维向量都是0=AX 的解,则n 维向量T i )0,,0,1,0,,0( =ε（第i 个分量为1其余分量均为0的列向量）知足0),,(),,(11==n n A A A εεεε ,即0=AI ,个中I 是n 阶单位方阵,是以,0=A .32. 设A 是一个s m ⨯矩阵,B 是n s ⨯矩阵.X 是n 维列向量.证实：若0)(=X AB 与0=BX 是同解方程组,则)()(B r AB r =.证： 因为若0)(=X AB 与0=BX 是同解方程组,所以,0)(=X AB 的基本解系所含解向量的个数与0=BX 的基本解系所含解向量的个数相等.即)()(B r n AB r n -=-,是以,)()(B r AB r =. 33. 设A 是nm ⨯矩阵,B 是sn ⨯矩阵,证实：若0=AB ,则n B r A r ≤+)()(.证：设),,(1s B ββ =,个中s ββ,,1 是一组列向量,由0=AB 得,s j A j ,,1,0 ==β.若r A r =)(,则0=AX 的基本解系含有r n -个线性无关的解向量,而s ββ,,1 为0=AX 的解向量,则s ββ,,1 可由0=AX 的基本解系线性暗示, 所以,)()(A r n r n B r -=-≤. 故,n B r A r ≤+)()(.*A 是n 阶矩阵A 的陪同矩阵,证实：（1）⎪⎩⎪⎨⎧-<-===*1)(,01)(,1)(,)(n A r n A r nA r n A r（2） 1-*=n A A .证：（1）因为I A AA =*,当n A r =)(时,0≠A ,所以0≠*A ,得n A r =*)(; 当1)(-=n A r 时,即至少有一个1-n 阶子式不等于零,所以0≠*A ,且0=A ,因为0≠*A ,所以1)(≥*A r .因为0=A ,所以0=*AA ,即*A 的每一列均是齐次线性方程组0=Ax 的解,所以1)1()()(=--=-≤*n n A r n A r . 是以,1)(=*A r ;当1)(-<n A r 时,A 的任一1-n 阶子式都等于零,所以0=*A ,故0)(=*A r .（2）当0≠A 时,由I A AA =*,得1-*=n A A .当0=A 时,即1)(-≤n A r ,由（1）知,1)(≤*A r ,从而0=*A ,所以1-*=n AA 也成立,故,对随意率性n 阶方阵A ,都有：1-*=n A A .35. 设A 是n 阶可逆矩阵)2(>n ,证实：()A A A n 2-**=.证：因为A 是n 阶可逆矩阵,所所以*A n 阶可逆矩阵,且1-*=n A A . 因为()I A A A ****=,所以()1)(-****=A A A .又因为I A AA =*,所以AA A =-*1)(. 是以,()A A AA AA A A n n 211)(---****===. 36. 设A 是n 阶矩阵,证实：非齐次线性方程组b AX =对任何b 都有解的充要前提是0≠A .证：充分性,因为0≠A ,所以),()(b A r n A r ==. 是以,对于随意率性b ,),()(b A r n A r ==,b AX =有解.须要性,(反证法) 假设0=A , 则n A r <)(.设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n A ααα 21,则n ααα,,,21 线性相干,从而个中至少有一个向量能由其余向量线性表出,无妨设n α可由121,,,-n ααα 线性表出,取T b )1,0,,0,0( =,则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→→-1000),(11n b A αα,即),()(b A r A r <,所以方程组无解,抵触. 证实：这个方程组有解的充要前提是∑==510i i a ,在有解的情况下,求出它的一般解.证：因为,121a x x =-,232a x x =-,343a x x =-,454a x x =-,515a x x =-即⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----54321543211000111000011000011000011a a a a a x x x x x有⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----543211000111000011000011000011a a a a a →→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++----5432143210000011000011000011000011a a a a a a a a a令⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=1100001100001100001110001A ,增广矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=123451100001100001100001110001,a a a a a b A ）（, 方程组有解的充要前提为),()(b A r A r =即∑==510i i a .当∑==51i ia时,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----000000110000110000110000114321a a a a →→ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++----000000110001010010010100014434324321a a a a a a a a a a取5x 为自由变量,令05=x ,得方程组的一个特解：T a a a a a a a a a a X )0,,,,(44343243210++++++=;再取15=x 得其导出组的一个基本解系：T X )1,1,1,1,1(1=所以,方程组的一般解为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++=+=111110443432432110k a a a a a a a a a a kX X X ,个中k 为随意率性常数.38. 已知21ββ，是方程组b AX =的两个不合解,21,αα是对应齐次线性方程组0=AX 的基本解系, 则b AX =一般解是: (A) 2)(2121211ββααα-+++k k ; (B) 2)(2112211ββααα++-+k k ; (C) 2)(2121211ββββα-+++k k ; (D) 2)(2121211ββββα++-+k k .解:可证得，，121ααα-是线性无关的且是0=AX 的解,是以是0=AX 的一个基本解系,221ββ+是b AX =的一个解, 是以, 选(B).⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=96342321t Q ,P 为非零矩阵,0=PQ , 则:(A) 当6=t 时,1)(=P r ; (B) 当6=t 时,2)(=P r ; (C) 当6≠t 时,1)(=P r ; (D) 当6≠t 时,2)(=P r ;解: 因为0=PQ , 且⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=96342321t Q , 所以3)()(≤+Q r P r , 又因为P 为非零矩阵, 所以1)(≥P r , 当6≠t 时,2)(=Q r , 是以,1)(1≤≤P r , 即1)(=P r , 故选(C).T a a a ),,(3211=α,T b b b ),,(3212=α,T c c c ),,(3213=α,则三条直线)3,2,1(),0(,022=≠+=++i b a c y b x a i i i i i 交于一点的充要前提是:(A) 321,,ααα线性相干, (B) 321,,ααα线性无关;(C) =},,{321αααr },{21ααr ; (D) 321,,ααα线性相干,21,αα线性无关.解:因为⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+-=+333222111cy b x a c y b x a c y b x a 有独一解的充要前提是2333222111332211=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c b a c b a c b a r b a b a b a r , 2333222111=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---c b a c b a c b a r ,即321,,ααα线性相干. 2332211=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛b a b a b a r ,即21,αα线性无关.所以,选(D). A 是n m ⨯矩阵,)()(n m m A r <=,B 是n 阶矩阵,下列哪个成立?(A) A 中任一m 阶子式0≠; (B) A 中随意率性m 列线性无关;(C) 0≠A A T ; (D) 若0=AB ,则0=B ; (E) 若n B r =)(,则m AB r =)(.解：选 （E ）. n B r =)(, 所以B 可逆,m A r AB r ==)()(.42. 设)2,,,1,(,,,21>=∈m m i R n i m αααα线性无关, 下列哪个成立? (A) 对随意率性常数m k k k k ,,,,321 ,有02211=+++m m k k k ααα ;(B) 随意率性)(m k k <个向量ki i αα,,1线性相干;(C) 对随意率性,n R ∈ββαα,,,1m 线性相干; (D) 随意率性)(m k k <个向量ki i αα,,1线性无关.解：选（D ）,因为整体线性无关,部分必线性无关.γβα,,线性无关,δβα,,线性相干,下列哪个成立?(A) α必可由δγβ,,线性暗示; （B ） β必可由δγα,,线性暗示; (C) δ必可由γβα,,线性暗示; (D) δ必不成由γβα,,线性暗示.解：选（C ）.因为γβα,,线性无关,所以βα,线性无关.因为βα,线性无关,δβα,,线性相干,所以δ必可由βα,线性暗示,从而δ必可由γβα,,线性暗示.44. 设A 是34⨯矩阵,1)(=A r ,321,,ξξξ长短齐次线性方程组b AX =的三个线性无关解,下列哪个是0=AX 的基本解系？ (A) 321ξξξ++ (B)3212ξξξ-+ (C)2312,ξξξξ-- (D)3221,ξξξξ++解：因为1)(=A r ,所以0=AX 的基本解系含有2个线性无关的解,是以(A), (B)不准确.(D)的两个解不是0=AX 的解,故选(C).45. 设向量组{321,,ααα}线性相干,{432,,ααα}线性无关.答复下列问题,并证实之.（1）1α可否由{32,αα}线性暗示？ （2）4α可否由{321,,ααα}线性暗示？解：（1）因为432,,ααα线性无关,所以32,αα也线性无关, 又因为321,,ααα线性相干,所以1α可由32,αα线性暗示.（2）（反证法）假设4α能由321,,ααα线性暗示,再由（1）,1α能由32,αα线性暗示,所以4α能由32,αα线性暗示,即432,,ααα线性相干,与432,,ααα线性无关抵触.所以,4α不克不及由{321,,ααα}线性暗示.46.设A 为n 阶矩阵,若消失正整数)2(≥k k 使得0=αk A ,但01≠-αk A （个中α为n 维非零列向量）,证实：ααα1,,,-k A A 线性无关. 证实：（界说法证）若0121=+++-αααk k A t A t t , 上式双方左乘1-k A 得,022211=+++--αααk k k k A t A t A t 因为0=αk A ,所以0221===-+ααk k A A 是以,011=-αk A t ,又因为01≠-αk A ,得01=t . 应用同样办法,可求得032====k t t t ,是以,ααα1,,,-k A A 线性无关.47.设B A ,分离为n m m n ⨯⨯,矩阵（),m n < 且I AB =（n 阶单位矩阵）, 证实：B 的列向量组线性无关.证：因为I AB =,且,m n < 所以n B r A r n AB r ≤≤=))(),(min()(, 是以,n B r =)(,而B 是n m ⨯矩阵, 故,B 的列向量组线性无关.48.已知秩{321,,ααα}=秩{321,,βββ},个中,)1,0,3(,)3,2,1(21T T =-=ααT )7,6,9(3-=α;T T T b a )0,1,(,)1,2,(,)1,1,0(321==-=βββ,且3β可由321,,ααα线性暗示,求b a ,的值.解：()3321,,,βααα=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛07-13-1602b 931→→ ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+b 5-00034201-11-1 因为3β可由321,,ααα线性暗示,所以有05=-b ,是以,5=b . 所以秩{321,,ααα}=2.因为秩{321,,βββ}=秩{321,,ααα}=2,所以0315=-a ,所以,15=a .49. 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=111 a a a a a a A 为n 阶矩阵（3≥n ）,R ∈a ,且1)(-=n A r ,求a .解：因为)3(21)(≥≥-=n n A r 所以1≠a 因为1)(-=n A r ,所以01)1(=+-a n ,是以,na -=11. 50.设n 阶矩阵A 的每行元素之和均为零,又1)(-=n A r ,求齐次线性方程组0=Ax 的通解.解：因为1)(-=n A r ,所以齐次线性方程组0=Ax 的基本解系中含一个解向量.设()n A βββ 21=,因为A 的每行元素之和均为零,所以021=+++n βββ即0111=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛A ,是以⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111 是齐次线性方程组0=Ax 的一个基本解系.从而,0=Ax 的通解为：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=111 k ξ,个中k 为随意率性常数.51. 已知下列线性方程组I, II 为同解线性方程组,求参数t n m ,,之值.解：因为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------→→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------542210010101001316011311142011 所以,T )0,5,4,2(---是方程组I 的一个解,因为方程组I 与II 同解,所以它也是方程组II 的一个解,将它带入方程组II,可得：6,4,2===t n m .52.设αβαβγβαT T T T T B A =====,,)8,0,0(,)0,21,1(,)1,2,1(,求解方程γ++=x B x A x A B 44222.解：即求解非齐次线性方程组：γ=--x B A A B )2(4422因为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=--0100021010180016480816048),2(214422 γA B A B 所以γ=--x B A A B )2(4422的一个特解为：T )0,1,21(.)1,2,1(为其导出组的一个基本解系.是以,γ=--x B A A B )2(4422的一般解为：T T k )1,2,1()0,1,21(+,个中,k 为随意率性常数.53. 设n 阶矩阵),,,(21n A ααα =的行列式0≠A ,A 的前1-n 列构成的)1(-⨯n n 矩阵记为),,,(1211-=n A ααα ,问方程组n x A α=1有解否？为什么？解：无解,因为n A r n A r n =-=),(,1)(11α.54.设βα,均为非零的n 维列向量,T A αβ=,证实：A 中随意率性两行（或两列）成比例.解：因为1))(),(m in()(=≤T r r A r βα,所以A 中随意率性两行（或两列）成比例.55.设n 阶矩阵A 分块为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=22211211A A A A A ,个中11A 为k 阶可逆矩阵（n k <）,证实：消失主对角元为1的上三角矩阵U 和下三角矩阵L ,使得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B A LAU 0011. 解：由分块矩阵的初等变换,不难知道：所以,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--k n kI A A I L 111210,⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=--k n kI A A I U 012111. 56. 设B A ,皆为n 阶矩阵,证实：（1）;AB I IAB I -= （2）;BA I AB I -=-（3）)det()det(BA I AB I -=-λλ（λ为随意率性常数）.证：（1）因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛-AB I B II A B I I A I 00 所以ABI BIIA B II A I-=-00是以,AB I IAB I -=.（2）因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛-I ABA I I A B I I B I 00所以IABA I IA B I I B I 00-=-是以,BA I IAB I -=由（1）即得：BA I AB I -=-.(3)分两种情况来评论辩论.当0=λ时,BA B A AB n -=-=-)1(,成立. 当0≠λ时,因为,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-I A BA I I A B I I B I AB I B II A B I I A I λλλλλλ00,0011 所以,IA BI BA I AB I λλλ=-=-)det()det(.综上,结论成立.57. 证实：若A 是n m ⨯矩阵,r A r =)(,则消失r m ⨯矩阵B ,n r ⨯矩阵C ,且r C r B r ==)()(,使得BC A =（提醒：应用相抵尺度形）. 证实：因为,r A r =)(,所以消失可逆矩阵P (m 阶).Q (n 阶),使得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000rI PAQ ,则11000--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=Q I P A r=11000000-⨯⨯-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Q I I P nn rn m r令()⎪⎪⎭⎫⎝⎛==⨯-⨯--⨯⨯-')(1')(1,n r n n r r m m r m N N Q M M P 因为11,--Q P 为可逆矩阵,所以r m M ⨯的列向量组线性无关,n r N ⨯的行向量组线性无关.令()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯-⨯⨯0000,0000')(')(n r n r n n r n n rr m n m r r m m r m N N N I C M I M M B 即知足前提,从而此题得证.58.设B A ,皆为n 阶矩阵,n B r A r <+)()(,证实消失可逆矩阵Q ,使得0=AQB .证实：联合相抵尺度形,不难知道,消失可逆矩阵2211,,,Q P Q P ,使得：⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000,000)(22)(11B r A r I BQ P I AQ P 因为n B r A r <+)()(,所以02211=BQ P AQ P ,令21P Q Q =,则此题得证. 59. 证实：r ααα,,,21 （个中01≠α）线性相干的充要前提是消失一个)1(r i i ≤<α使得i α可由121,,,-i ααα 线性暗示,且暗示法独一. 证实：（充分性）因为消失一个)1(r i i ≤<α使得i α可由121,,,-i ααα 线性暗示所以,i ααα,,,21 线性相干,从而r ααα,,,21 线性相干.（须要性）因为r ααα,,,21 线性相干,所以消失不全为零的一组常数r k k k ,,,21 使得02211=+++r r k k k ααα在使02211=+++r r k k k ααα 成立的所有不为零的系数中,必有一个最小的下标i ,使0≠i k ,但)(0i j k j >=.下面解释r i ≤<1.假如1=i ,则0,0111≠=k k α,从而01=α抵触.最后证暗示法独一.若121,,,-i ααα 线性相干,则显然得到一组数与前面i k 的取法抵触.所以,121,,,-i ααα 线性无关.又因为i ααα,,,21 线性相干,所以暗示法独一. 60.证实：向量组s ααα,,,21 线性无关的充要前提是),,3,2(11s i k i j j j i =≠∑-=αα.提醒：此命题是59题的逆否命题.61. 设向量组r ααα,,,21 线性无关,如在向量组的前面参加一个向量β,证实：在向量组r αααβ,,,,21 中至多有一个向量)1(r i i ≤≤α可经其前面的i 个向量121,,,,-i αααβ 线性暗示.并在3R 中做几何解释. 证实：反证,设有两个向量)1(,r j i j i ≤<≤αα均可经其前面的向量线性暗示：1111--+++=i i i k k k ααβα （1） 1111--+++=j j j l l l ααβα （2）k l ⨯-⨯)2()1(得：因为r ααα,,,21 线性无关,所以j ααα,,,21 线性无关,i ααα,,,21 线性无关,是以0=k ,则由（1）知i α可由121,,,-i ααα 线性表出,与i ααα,,,21 线性无关抵触.62.证实：在n 维向量空间n R 中,若向量α可经向量组s ααα,,,21 线性暗示,则暗示法独一的充分须要前提是向量组s ααα,,,21 线性无关.证实：（充分性）设有暗示法两式相减得：0)()()(222111=-++-+-s s s l k l k l k ααα因为s ααα,,,21 线性无关,所以s s l k l k l k ===,,,2211 ,即可证暗示法独一.（须要性）反证,设s ααα,,,21 线性相干,则消失不全为零的一组数设为s p p p ,,,21 使得02211=+++s s p p p ααα因为向量α可经向量组s ααα,,,21 线性暗示,所以消失一组常数s q q q ,,,21 使得s s q q q αααα+++= 2211所以,s s s q p q p q p αααα)()()(222111++++++=因为s p p p ,,,21 不全为零,所以这是异于上面的另一种暗示法,从而与暗示法独一抵触.63.设A 是n 阶矩阵,1)(=A r .证实：证实：（1）因为1)(=A r ,所以A 的每行向量成比例,即得此成果.令()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n a a a b b b k 2121,,,即得此成果.64. 设.),,,(,),,,(,,212121212222111211Tm T m n mn m m n n x x x x b b b b y y y y a a a a a a a a a A==⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= （1）证实：如有b Ay =解,则0=x A T 的任一组解m x x x ,,,21 必知足方程.02211=+++m m x b x b x b（2）方程组b Ay =有解的充要前提是方程组⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10x b A T T 无解（个中0是1⨯n 零矩阵）.证实：（1）因为b Ay =,所以T T T A y b =.是以,对任一组m x x x ,,,21 ,若它知足0=x A T ,则必有0=x A y T T ,即0=x b T ,即.02211=+++m m x b x b x b (2) 方程组b Ay =有解⇔),()(b A r A r =⇔b 可由A 的列向量组线性表出（须要性）因为b 可由A 的列向量组线性表出,所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10)(TTT T b A r b A r A r 所以,方程组⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10x b A T T 无解. （充分性）因为方程组⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10x b A T T 无解,所以1)(10)(+≤⎪⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤T TTT T T A r b A r b A r A r是以,)(TT T A r b A r =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛,从而b 可由A 的列向量组线性表出. 65. 设A 是一个n m ⨯矩阵,n m <,m A r =)(,齐次线性方程组0=Ax 的一个基本解系为 试求齐次线性方程组的基本解系所含解向量的个数,并求出一个基本解系. 解：齐次线性方程组的基本解系所含解向量的个数为m m n n =--)(.66. 设n m ⨯矩阵A 的m 个行向量是齐次线性方程组0=Cx 的一个基本解系,又B 是一个m 阶可逆矩阵.证实：BA 的行向量也是0=Cx 的一个基本解系.证实：设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=mm m m m m m b b b b b b b b b B A21222211121121,ααα.则由已知前提：),,2,1(0m i C T i ==α,且 m ααα,,,21 线性无关.因为所以BA 的行向量是0=Cx 的解.又因为B 可逆,A 的m 个行向量线性无关,所以BA 的m 个行向量线性无关,是以BA 的行向量也是0=Cx 的一个基本解系.67.证实：若A 为n 阶矩阵（1>n ）,且0=A ,则A 中随意率性两行（或列）对应元素的代数余子式成比例.证实：因为0=A ,所以1)(-≤n A r ,是以1)(≤*A r ,即可证.68.设A 是n n ⨯-)1(矩阵,j A 暗示A 中划去第j 列所构成的行列式.证实：（1）T n n A A A ))1(,,,(21-- 是0=Ax 的一个解;（2）若j A （n j ,,2,1 =）不全为零,则（1）中的解是0=Ax 的一个基本解系.证实：（1）令)1,,1,1( =α,结构n 阶矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A B α,不难知道B 中第一行元素的代数余子式分离为：n n A A A +--121)1(,,, .所以A 中的每行元素乘以T n n A A A ))1(,,,(121+-- 均为0,是以,0))1(,,,())1(,,,(12121=---=--+T n n T n n A A A A A A A A(2) 令)0,,0,0( =β,结构n 阶矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A C β,则不难知道C 中第一行元素的代数余子式分离为：n n A A A +--121)1(,,, .因为jA （n j ,,2,1 =）不全为零,所以C 的陪同矩阵0≠*C ,即1)(≥*C r ,是以1)(-≥n C r ,又因为显然1)(-≤n C r ,所以1)(-=n C r ,所以1)(-=n A r ,从而齐次线性方程组0=Ax 的基本解系中含1)(=-A r n 个解向量.再由（1）及j A （n j ,,2,1 =）不全为零,此题得证. 69.若A 为一个n 阶矩阵,且A A =2,证实n I A r A r =-+)()(.证实：显然,)()(A I r I A r -=-.因为)()()()()()(I A r A r A I r A r A I A r I r n -+=-+≤-+== 所以n I A r A r ≥-+)()(因为A A =2,所以0)(=-I A A ,即I A -的每个列向量均为齐次线性方程组0=Ax 的解,是以)()(A r n I A r -≤-,即n I A r A r ≤-+)()( 综上,n I A r A r =-+)()(70.若A 为一个n 阶矩阵,且I A =2,证实 证实：显然,)()(A I r I A r -=-.因为)()()()()()2(I A r I A r A I r I A r A I I A r I r n -++=-++≤-++== 所以n I A r I A r ≥-++)()(因为I A =2,所以0))((=-+I A I A ,即I A -的每个列向量均为齐次线性方程组0)(=+x I A 的解,是以)()(I A r n I A r +-≤-,即n I A r I A r ≤-++)()( 综上,n I A r I A r =-++)()(71.设B A ,皆为n 阶方阵,证实：n B r A r AB r -+≥)()()(.并问：若m n ij n s ij b B a A ⨯⨯==)(,)(,上述结论是否成立？证实：给出一般情况的解释.设m n ij n s ij b B a A ⨯⨯==)(,)(, ,)(l A r =.则消失可逆矩阵n n s s Q P ⨯⨯,使得⎪⎪⎭⎫⎝⎛=000lI PAQ .记⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-n nm n n m m b b b b b bb b b B Q βββ 212122221112111则⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-00000000000))((121112112122221112111l lm l l m nm n n m m lb b b b b b b b bb b b b b b I B Q PAQ PAB ββ所以⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==l r PAB r AB r ββ 1)()(是以)()()()(211l n AB r r B Q r B r n -+≤⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-βββ ,即n B r A r AB r -+≥)()()(.72.设向量组),,2,1(),,,(21n j a a a T nj j j j ==α,证实：假如,,,2,1,1n i a a ni j j ij ii =>∑≠=则向量组n ααα,,,21 线性无关.证实：（反证法）设向量组n ααα,,,21 线性相干,取()n A ααα,,,21 =,则0=A .所以齐次线性方程组0=Ax 有非零解.无妨设Tn x x x ),,,(21为其一个非零解,即它知足),,2,1(,01n i x a nj j ij ==∑=所以),,2,1(,1n i x a x a nij j j ij i ii =-=∑≠=设{}n k x x x x ,,,max 21 =,因为T n x x x ),,,(21 为0=Ax 的一个非零解,所以0≠k x .是以,,11111∑∑∑∑∑≠=≠=≠=≠=≠==≤≤=-==nkj j ij k n kj j k ij n kj j j ij n kj j j ij n kj j j ij k kk k kk a x x a x a x a x a x a x a从而有∑≠=≤nkj j ij kk a a 1,与已知前提抵触,所以假设不成立,所以向量组n ααα,,,21 线性无关.。

1、22220a aba b ab ab ab b =⋅-⋅=2、22cos sin cos cos (sin )sin cos sin 1sin cos αααααααααα-=⋅--⋅=+=3、222()()22()2a bi ba bi a bi ab a b ab a b a a bi+=+--=+-=--4、3242123*1*(3)2*(2)*5(4)*4*23*(2)*22*4*(3)(4)*1*5423--=-+-+---------920321224205=---+++=-5、1234561*5*92*6*73*4*81*6*82*4*93*5*7789=++---45849648721050=++---=6、2214112*1*1012*(1)*2021*4*1992*(1)*1992*4*1011*1*202202199101-=+-+----20240479639880820218=-++--=-7、222234322222211101(1)(1)(1)011w w w w w ww w w w w w w w w w w w +⨯---=-=-++=-⨯--第2行第1行()第3行第1行()8、3322232121*2*3322663x xxx x x x x x x x xx =++---=-+9、143000400400431(1)0434*******4324321+-=-=-按第行展开10、公式：11111211122222212211221200000000000n n nn nn nnn n nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a ===11111,11(1)2,12,2,1212,1212,111,1110000000(1)0000n n n n n n n nn n n n n n n n nn n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a -------===-⋅解：10100001000010020*******(1)1008000080090000910+-⋅ 按第行展开9(19)210(1)128910!+=⋅-⋅⋅⋅=11、3111111112111110200311*(2)8111100204111110002----=-=------第行第行第行第行第行第行12、该行列式中各行元素之和均为10，所以吧第2，3，4列加到第1列，然后再把第1列后三个元素化为零，再对第1列展开，即123412341234211132341134101131031101022234121412022211141412311230111---=-=-----------第行第行第行第行 第行第行10*16160==13、504211111111210112111210210143247412041200324153111150420153-----=-=----=----------第，行交换14、先将第1行与第5行对换，第3行与第4行对换（反号两次，其值不变）3656411111111111111125453254530327503275363422546503287000122546536342030750020011111365640329700022------===--- 根据课本20页公式（1.21），原式012112003*41203022=-=-=-（）15、1200340012132*16001334510051-==---（）（）=3216、1234512345123678910678910213567810*22000013010114301000024000240101100013-=-=-=-第，行对换17、根据课本20页公式（1.22）23001121120030212(1)30212*(5)6000240312401240131258⨯--=-=-=--18、1001201*2*33!123A ===，5(51)20000100020(1)(1)(2)(3)(4)(5)5!030004000500B ---==------=----所以3*5*(1)||||3!5!0A AB B=-=-19、证：21111111112222222222233333333311111112222222223333333(1)2*1(1)(1)(1)1*2(1)a b x a x b c a b x b x c a b x a x b c x a b x b x c a b x a x b c a b x b x c a b xb c a b c x a b x b c x x a b c a b x b c a b c +++-=++-+-+++-+=-+--=+左第列第列第列第列右20、11111111211111003111110041111100x x x x x y x y y x y++----=-+-----第行第行左第行第行第行第行144401114(1)10(1)()000x x x xy y xx xxy++--+-⋅⋅-+-⋅-⋅----按第列展开2222222(1)()x y y x xy xy x x y y x y x x y ⎡⎤=---++-=----==⎣⎦右21、33333333333111111010b a c a ab c b ac a b a c a a b c b a c a --==--=⋅----左()()()()()()()()()()()()()()()()2222222222b a c a c ac a c a b a b ab a b a c a c ac a b ab a b a c a c ac b ab b a c a c b a b c =--++---++=--++---=--+--=---++=右22、解法1：()()()()232322332233223323223311001111a a b b b a b a b a c a c a b a c c c a c a =--=------- 整理得()()()()ab bc ca b a c a c b =++---又根据范德蒙行列式有：()()()222111a a b a c a c b bb cc ---= 故原式得证。

线性代数（第二版）清华大学出版社北　京内容简介本书为高等院校理工科教材.全书共7章,内容包括:行列式;矩阵;线性方程组;向量空间与线性变换;特征值和特征向量,矩阵的对角化;二次型及应用问题.书末附录中还介绍了内积空间,埃尔米特二次型;约当(Jordan)标准形;并汇编了历年硕士研究生入学考试中的线性代数试题.本书内容丰富,层次清晰,阐述深入浅出,简明扼要.可作为高等院校的教材(适用于35～70课时的教学)或教学参考书和考研复习用书.图书在版编目(CIP)数据线性代数/居余马等编著.—2版.—北京:清华大学出版社,2002ISBN7－302－05534－3Ⅰ.线…　Ⅱ.居…　Ⅲ.线性代数-高等学校-教材　Ⅳ.O151.2中国版本图书馆CIP数据核字(2002)第037392号出版者:清华大学出版社(北京清华大学学研大厦,邮编100084)责任编辑:刘　颖印刷者:北京四季青印刷厂发行者:新华书店总店北京发行所开 本:850×11681/32　印张:12.625　字数:316千字版 次:2002年9月第2版　2003年3月第2次印刷书 号:ISBN7－302－05534－3/O·282印 数:8001～13000定 价:16.00元第2版序言本书第2版在正文的基本内容及教材的体系框架和章节安排方面,基本上与原书(第1版)一致,保留了原书的风格.第2版的变化主要有以下几点.1.改变了部分内容的阐述方式.正文有些部分(如矩阵运算的特点,用配方法和初等变换法化二次型为标准形等)的阐述更为精炼和简明易懂.2.增加了部分内容.在第2章中增添了附录2———数域　命题　量词,着重说明了用反证法证明一个命题的思路,以及如何表述含有量词(＂,ｖ)的命题的否命题,这些内容可安排自学,它有助于学生更好地掌握一些定理的证明方法.此外,在第4章的4．6节中增添了线性变换的象(值域)和核的概念及它们的维数公式,这可使学生更清楚地理解:齐次和非齐线性方程组的求解只是向量空间的线性变换求核和原象的一个具体问题.3.对例题和习题的配置作了一些调整和充实.与原书的题目相比,第2版的例题和习题更丰富,题型也更多样,更能启迪读者运用基本概念、基本理论和基本方法去分析、解决各种具体问题.在补充题中配置了相当数量的新题目,它们与历年来考研试题的要求和题型相适应,其中有些就是考研试题.4.按本书前6章的体系汇编了历年来硕士研究生入学考试中线性代数试题,这不仅使有志于攻读硕士研究生的学生能在学习过程中就作适当的准备,而且所有学生也能从中具体理解线性代数课程的基本要求和重点.考虑到学生掌握了本教材的正文内Ⅱ第2版序言容,并能演算和证明所配置的习题和部分补充题,就不难独立完成这些考研试题,所以我们没有给出这些试题的答案(只对个别较难的题给了提示),不给答案也有利于学生在答题过程中通过思考和钻研,提高自己分析、解决问题的能力.第2版的编写是5位编著者的共同愿望,经过讨论,正文由居余马执笔编写,习题的配置和历年考研试题的汇编由林翠琴负责编写.本书第2版也是在出版社刘颖博士大力促进与支持下才顺利与读者见面的,在此特向他致以深切的谢意.由于编著者水平所限,不妥之处在所难免,恳请读者和使用本教材的教师批评指正.编著者2002年2月于清华园第1版序言本书是根据全国工科数学课程指导委员会制定的《线性代数》课程基本要求,以及我们多年来在清华大学讲授本课程的实际体会编写而成的.本书适用于教学要求不同的院校和专业,课内学时为35～72的都可选用本书作为教材.线性代数是一门基础数学课程,它的基本概念、理论和方法,具有较强的逻辑性、抽象性和广泛的实用性;它的核心内容是研究有限维线性空间的结构和线性空间的线性变换.由于数域F上的n维线性空间V(F)与n维向量空间F n是同构的,给定了n维线性空间V(F)的一组基后,V(F)的线性变换与数域F上的n阶矩阵一一对应,因此,在学时较少的情况下,教学的基本要求是:熟练掌握n维向量的线性运算,理解线性相关性的理论,搞清R n的基、向量在基下的坐标、向量的内积运算及向量的长度与夹角等概念;熟练掌握矩阵的基本运算、线性方程组的解的理论和求解方法;掌握矩阵的特征值和特征向量、矩阵的对角化及二次型的标准形和正定二次型的基本概念和理论.在上述教学内容中,要注重基本概念和理论,着重培养熟练的运算能力,适当地训练逻辑思维和推理能力.关于教材内容,作了以下一些处理:1.关于行列式.采用简便的递归法来定义n阶行列式,并相应地证明它的性质.这比用逆序法定义可节省一些学时.2.关于矩阵.从高斯消元法入手,引进矩阵和初等变换的概念.对于矩阵的运算,除了要熟练掌握加法、数乘、乘法、求逆及转置等基本运算,还要加强初等变换和分块矩阵运算,它们不仅是矩阵运算的重要方法和技巧,而且在理论分析中也有重要意义.3.关于线性方程组.将方程组放在矩阵之后讲解,可以充分利用矩阵工具,使表述简明.向量的线性相关性的概念和矩阵的秩的概念是这一章的难点,以三维几何向量在线性运算下的关系作背景,抽象出n维向量的线性相关性的概念,便于初学者理解这个重要的概念.利用初等行变换不改变矩阵的行秩和列秩以及阶梯形矩阵的行秩等于列秩,来证明矩阵的列秩等于其行秩,这样容易为读者所理解.4.关于向量空间.重点放在搞清R n的基本结构,以三维几何向量为背景,一并提出R n中的线性运算和内积运算,阐明R n的基和向量在基下的坐标的概念以及向量的几何度量性.如果教学学时允许的话,在R n的基础上再进一步讲授一般线性空间的概念和理论.至于一般的欧氏空间和内积空间的概念,则把它放在附录中,这是因为受一般工科院校的本课程学时所限,而不能列入教学要求.5.关于线性变换.以一元线性函数为背景,抽象出n维向量空间的线性变换的概念,并列举了CAD中常用的线性变换的例子.进而讲了线性变换的矩阵表示和线性变换的运算.6.关于特征值和特征向量,书中只讲矩阵的特征值和特征向量.深入讨论了矩阵可对角化的条件,学时少时可重点掌握实对称矩阵的对角化.7.关于二次型.将其放在最后,目的是用已学过的知识,全面地讨论二次型化标准形的方法和正定二次型的判定.学时少时只要求掌握通过正交变换化二次型为标准形.8.关于应用问题.书中专列一章应用问题,是为学有余力的学生提供一些材料,使他们对线性代数应用的广泛性有所了解.本书的编排情况为:(1)正文分为基本部分、引申和应用部分及附录.基本部分共6章,引申部分用打“＊”的办法安排在有关章节.(2)习题分为基本题、打“＊”题和补充题.打“＊”题主要是一些证明题和引申内容的训练题,补充题一般比打“＊”题更难一些.对于课内不超过40学时的院校,我们建议以正文的基本部分和习题的基本题作为讲授和训练的基本要求.本书由居余马(主编)与胡金德、林翠琴、王飞燕、邢文训合编,是在居余马(主编)与胡金德合编的《线性代数及其应用》的基础上作了较大修改而写成的.第1章由王飞燕、第2章及附录B由胡金德、第3,4章由居余马、第5,7章由林翠琴、第6章及附录A 由邢文训编写,最后由主编作了些修改而定稿.由于水平所限,不妥或谬误之处在所难免,恳请读者和使用本教材的教师批评指正.编　者1994年5月于清华园　目　录……………………………………………………第1章　行列式1……………………………1.1　n阶行列式的定义及性质1……………………………………1.2　n阶行列式的计算12……………………………………………1.3　克拉默法则22……………………附录1　性质1的证明　双重连加号28………………………………………习题　补充题　答案32……………………………………………………第2章　矩阵41……………………………………………2.1　高斯消元法41………………………2.2　矩阵的加法　数量乘法　乘法49………………………………2.3　矩阵的转置　对称矩阵61……………………………………2.4　可逆矩阵的逆矩阵63…………………………2.5　矩阵的初等变换和初等矩阵70……………………………………………… 2.6　分块矩阵79………………………………附录2　数域　命题　量词89………………………………………习题　补充题　答案92……………………………………………第3章　线性方程组109…………………………3.1　n维向量及其线性相关性109…………………3.2　向量组的秩及其极大线性无关组119…………………………3.3　矩阵的秩　＊相抵标准形122……3.4　齐次线性方程组有非零解的条件及解的结构132Ⅷ目录3.5　非齐次线性方程组有解的条件及解的结构138………………………………………………习题　补充题　答案146…………………………………第4章　向量空间与线性变换158………………………4.1　R n的基与向量关于基的坐标158………4.2　R n中向量的内积　标准正交基和正交矩阵165 ＊4.3　线性空间的定义及简单性质174……………………… ＊4.4　线性子空间177………………………………………… ＊4.5　线性空间的基　维数　向量的坐标182……………… ＊4.6　向量空间的线性变换189………………………………………………………………………习题　补充题　答案210第5章　特征值和特征向量　矩阵的对角化223…………………5.1　矩阵的特征值和特征向量　相似矩阵223……………5.2　矩阵可对角化的条件232………………………………………………………………5.3　实对称矩阵的对角化241习题　补充题　答案247…………………………………………………………………………………………第6章　二次型2576.1　二次型的定义和矩阵表示　合同矩阵258……………6.2　化二次型为标准形262………………………………… ＊6.3　惯性定理和二次型的规范形275……………………………………………………6.4　正定二次型和正定矩阵278 ＊6.5　其他有定二次型286……………………………………………………………………………习题　补充题　答案289＊第7章　应用问题298……………………………………………7.1　人口模型298……………………………………………7.2　马尔可夫链306…………………………………………7.3　投入产出数学模型311…………………………………7.4　图的邻接矩阵317………………………………………7.5　递推关系式的矩阵解法320……………………………7.6　矩阵在求解常系数线性微分方程组中的应用323……………………………………7.7　不相容方程组的最小二乘解328………………………习题　补充题　答案334………………………………………附录A 内积空间　埃尔米特二次型342…………………………A .1　实内积空间　欧氏空间342……………………………A .2　度量矩阵和标准正交基346……………………………A .3　复向量的内积　酉空间351……………………………A .4　酉矩阵和埃尔米特二次型353…………………………习题　答案355…………………………………………………附录B 约当标准形(简介)359..........................................习题　答案368.........................................................附录C 历年硕士研究生入学考试中线性代数试题汇编371......索引387 (Ⅸ)目录　第1章行　列　式 在线性代数中,行列式是一个基本工具,讨论很多问题时都要用到它.本章先简单介绍二、三阶行列式的定义及按第一行的展开式,再进一步讨论n阶行列式.本章主要内容:n阶行列式的定义及其性质;行列式的计算;求解一类非齐次线性方程组的克拉默(Cramer)法则,以及由此得到的方程个数与未知量个数相同的齐次线性方程组有非零解的必要条件.1.1　n阶行列式的定义及性质行列式的概念首先是在求解方程个数与未知量个数相同的一次方程组时提出来的(以后常把一次方程组称为线性方程组),例如对于一个二元一次方程组a11x1+a12x2=b1,a21x1+a22x2=b2.(1．1)当a11a22-a12a21≠0时,用消元法求解,得其解为x1=b1a22-a12b2a11a22-a12a21,　x2=a11b2-b1a21a11a22-a12a21.(1．2)人们从(1．2)式中发现,如果记D =a b c d=a d -bc ,(1．3)则(1．2)式可以表示为x 1=b 1a 12b 2a 22a 11a 12a 21a 22,　x 2=a 11b 1a 21b 2a 11a 12a 21a 22.我们把(1．3)式中的D 称为二阶行列式.对于由9个元素a i j (i,j =1,2,3)排成三行三列的式子,定义a 11a 12a 13a 21a 22a 23a 31a 32a 33=a 11a 22a 33+a 12a 23a 31+a 13a 21a 32-a 13a 22a 31-a 12a 21a 33-a 11a 23a 32,(1．4)并称它为三阶行列式(横为行,竖为列).(1．4)式中的6项是按下面(1．5)式所示的方法(称为沙路法)得到的.(1．5) 如果三元线性方程组a 11x 1+a 12x 2+a 13x 3=b 1,a 21x 1+a 22x 2+a 23x 3=b 2,a 31x 1+a 32x 2+a 33x 3=b 3的系数行列式D =a 11a 12a 13a 21a 22a 23a 31a 32a 33≠0,2第1章　行列式用消元法求解这个方程组,可得x 1=D 1D ,　x 2=D 2D ,　x 3=D 3D.(1．6)其中D j (j =1,2,3)是用常数项b 1,b 2,b 3替换D 中的第j 列所得到的三阶行列式,即D 1=b 1a 12a 13b 2a 22a 23b 3a 32a 33,　D 2=a 11b 1a 13a 21b 2a 23a 31b 3a 33,　D 3=a 11a 12b 1a 21a 22b 2a 31a 32b 3. 但是,对于n 阶行列式(n >3),不能如(1．5)式(沙路法)那样定义.因为如果像(1．5)式那样定义n 阶行列式,当n >3时,它将与二、三阶行列式没有统一的运算性质,而且对n 元线性方程组也得不到像(1．6)式那样的求解公式.因此,对一般的n 阶行列式要用另外的方法来定义.在代数中,它可以用三种不同的方法做定义,我们采用简明的递归法做定义.从二、三阶行列式的展开式中,我们发现它们遵循着一个共同的规律———可以按第一行展开,即D=a 11a 12a 13a 21a 22a 23a 31a 32a 33=a 11a 22a 23a 32a 33-a 12a 21a 23a 31a 33+a 13a 21a 22a 31a 32,(1．7)其中M 11=a 22a 23a 32a 33,　M 12=a 21a 23a 31a 33,　M 13=a 21a 22a 31a 32分别称为元素a 11,a 12,a 13的余子式,并称A 11=(-1)1+1M 11,A 12=(-1)1+2M 12,A 13=(-1)1+3M 13分别为a 11,a 12,a 13的代数余子式.如此,(1．7)式即为D =a 11A 11+a 12A 12+a 13A 13.31.1　n 阶行列式的定义及性质 同样D =a 11a 12a 21a 22=a 11A 11+a 12A 12,(1．8)其中A 11=(-1)1+1|a 22|=a 22,　A 12=(-1)1+2|a 21|=-a 21.这里|a 22|,|a 21|是一阶行列式(不是数的绝对值).我们把a 的一阶行列式|a |定义为a .如果把(1．7),(1．8)两式作为三阶、二阶行列式的定义,那么这种定义的方法是统一的,它们都是用低阶行列式定义高一阶的行列式.因此人们很自然地会想到,用这种递归的方法来定义一般的n 阶行列式.对于这样定义的各阶行列式,将会有统一的运算性质.下面我们给出n 阶行列式的递归法定义.1.1.1　n 阶行列式的定义定义　由n 2个数a i j (i,j =1,2,…,n)组成的n 阶行列式D =a 11a 12…a 1n a 21a 22…a 2n ⁝⁝⁝a n 1a n 2…a n n　(简记作|a i j |n1)(1．9)是一个算式.当n =1时,定义D =|a 11|=a 11;当n ≥2时,定义D =a 11A 11+a 12A 12+…+a 1n A 1n =∑nj =1a1jA 1j ,　(1．10)其中A 1j =(-1)1+j M 1j ,M 1j 是D 中去掉第1行第j 列全部元素后,按原顺序排成的n -1阶行列式,即M 1j =a 21…a 2j -1a 2j+1…a 2n a 31…a 3j -1a 3j+1…a 3n ⁝⁝⁝⁝a n 1…a n j -1a n j+1…a n n　(j =1,2,…,n),4第1章　行列式并称M 1j 为元素a 1j 的余子式,A 1j 为元素a 1j 的代数余子式.在(1．9)式中,a 11,a 22,…,a nn 所在的对角线称为行列式的主对角线,相应地a 11,a 22,…,a n n 称为主对角元,另一条对角线称为行列式的副对角线.由定义可见,行列式这个算式是由其n 2个元素a i j (i,j =1,2,…,n)构成的n 次齐次多项式(称作展开式),二阶行列式的展开式中共有2!项;三阶行列式的展开式中共有3!项;n 阶行列式的展开式中共有n !项,其中每一项都是不同行不同列的n 个元素的乘积,在全部n !项中,带正号的项和带负号的项各占一半(以上结论可根据定义,用数学归纳法给以证明).当第一行元素为x 1,x 2,…,x n 时,n 阶行列式是x 1,x 2,…,x n 的一次齐次多项式.例1　证明n 阶下三角行列式(当i <j 时,a i j =0,即主对角线以上元素全为0)D n =a 110…0a 21a 22…0⁝⁝ｗ⁝a n 1a n 2…a n n=a 11a 22…a nn . 证　对n 作数学归纳法.当n =2时,结论成立.假设结论对n -1阶下三角行列式成立,则由定义得D n =a 110…0a 21a 22…0⁝⁝ｗ⁝a n 1a n 2…a n n=(-1)1+1a 11a 220…0a 32a 33…0⁝⁝ｗ⁝a n 2a n 3…a n n,右端行列式是n -1阶下三角行列式,根据归纳假设得D n =a 11(a 22a 33…a nn ).■51.1　n 阶行列式的定义及性质 同理可证,n阶对角行列式(非主对角线上的元素全为0) a110 00a22 0⁝⁝ｗ⁝00…a n n=a11a22…a nn. 例2　计算n阶行列式(副对角线以上元素全为0)D n=00…0a n 00…a n-1＊⁝⁝Ｙ⁝⁝0a2…＊＊a1＊…＊＊,其中,a i≠0　(i=1,2,…,n),“＊”表示元素为任意数.解　注意,对一般的n,这个行列式不等于-a1a2…a n.利用行列式定义,可得到D n=(-1)n+1a n 00…a n-1⁝⁝Ｙ⁝0a2…＊a1＊…＊=(-1)n-1a n D n-1,再利用上面n阶与n-1阶行列式之间的关系(通常称为递推关系或递推公式),递推可得D n=(-1)n-1a n D n-1=(-1)n-1a n(-1)n-2a n-1D n-2　………………………………=(-1)(n-1)+(n-2)+…+2+1a n a n-1…a2a1=(-1)n(n-1)2a n a n-1…a2a1.6第1章　行列式 例如,当n =2,3时,D 2=-a 1a 2,D 3=-a 1a 2a 3;当n =4,5时,D 4=a 1a 2a 3a 4,D 5=a 1a 2a 3a 4a 5.此结论对副对角线以下元素全为0的行列式也成立.利用下面讲的性质2,对最后一列展开,也得同样的递推公式.1.1.2　n 阶行列式的性质直接用行列式的定义计算行列式,一般是较繁琐的.因此,我们要从定义推导出行列式的一些性质,以简化行列式的计算.性质1　行列式的行与列(按原顺序)互换,其值不变,即a 11a 12…a 1n a 21a 22…a 2n ⁝⁝⁝a n 1a n 2…a n n=a 11a 21…a n 1a 12a 22…a n 2⁝⁝⁝a 1na 2n…a n n.(1．11) 这个性质可用数学归纳法证明,由于证明的表述较繁琐,我们略去其证明,有兴趣的读者可参阅本章附录.有了这个性质,行列式对行成立的性质都适用于列.以下我们仅对行讨论行列式的性质.性质2　行列式(1．9)对任一行按下式展开,其值相等,即D =a i 1A i 1+a i 2A i 2+…+a i n A i n =∑nj =1ai jA i j(i =1,2,…,n),(1．12)其中A i j =(-1)i +jM i j ,M i j 是D 中去掉第i 行第j 列全部元素后按原顺序排成的n -1阶行列式,它称为a i j 的余子式,A i j 称为a i j 的代数余子式.71.1　n 阶行列式的定义及性质证法与性质1的证明类似,也用数学归纳法(参阅本章附录).性质3　(线性性质)有以下两条:(i)a11a12 (1)⁝⁝⁝k a i1ka i2…k a i n⁝⁝⁝a n1a n2…a n n=ka11a12 (1)⁝⁝⁝a i1a i2…a i n⁝⁝⁝a n1a n2…a n n.(1．13)(ii)a11a12 (1)⁝⁝⁝a i1+b i1a i2+b i2…a i n+b i n⁝⁝⁝a n1a n2…a n n=a11a12 (1)⁝⁝⁝a i1a i2…a i n⁝⁝⁝a n1a n2…a nn+a11a12 (1)⁝⁝⁝b i1b i2…b i n⁝⁝⁝a n1a n2…a n n.(1．14)利用性质2,将(1．13),(1．14)式中等号左端的行列式按第i 行展开,立即可得等号右端的结果.由(1．13)式又可得:推论1　某行元素全为零的行列式其值为零.性质4　行列式中两行对应元素全相等,其值为零,即当a i l= a jl(i≠j,l=1,2,…,n)时,有8第1章　行列式D =a 11a 12…a 1n ⁝⁝⁝a i 1a i 2…a i n ⁝⁝⁝a j 1a j 2…a j n ⁝⁝⁝a n 1a n 2…a n n=0.(1．15) 证　用数学归纳法证明.结果对二阶行列式显然成立,假设结论对n -1阶行列式成立,在n 阶的情况下,对第k 行展开(k ≠i,j),则D =a k 1A k 1+a k 2A k 2+…+a kn A k n =∑nl =1ak lA k l .由于余子式M k l (l =1,2,…,n)是n -1阶行列式,且其中都有两行元素相同,所以A k l =(-1)k +l M k l =0(l =1,2,…,n),故D =0.■由性质3(i )和性质4,立即可得:推论2　行列式中两行对应元素成比例(即a jl =ka i l ,i ≠j,l =1,2,…,n,k 是常数),其值为零.性质5　在行列式中,把某行各元素分别乘非零常数k,再加到另一行的对应元素上,行列式的值不变(简称:对行列式做倍加行变换,其值不变),即a 11a 12…a 1n ⁝⁝⁝a i 1a i 2…a i n⁝⁝⁝a j 1a j 2…a j n⁝⁝⁝a n 1a n 2…a nn=a 11a 12…a 1n ⁝⁝⁝a i 1a i 2…a i n ⁝⁝⁝k a i 1+a j 1k a i 2+a j 2…k a i n +a j n⁝⁝⁝a n 1a n 2…a nn.(1．16)91.1　n 阶行列式的定义及性质 利用性质3(i i )和推论2,可证明(1．16)式成立.性质6(反对称性质)　行列式的两行对换,行列式的值反号.证　重复用性质5,然后再利用性质3(i ),就有a 11a 12…a 1n ⁝⁝⁝a i 1a i 2…a i n ⁝⁝⁝a j 1a j 2…a j n ⁝⁝⁝a n 1a n 2…a n n=a 11a 12…a 1n ⁝⁝⁝a i 1+a j 1a i 2+a j 2…a i n +a j n⁝⁝⁝a j 1a j 2…a j n ⁝⁝⁝a n 1a n 2…a n n =a 11a 12…a 1n ⁝⁝⁝a i 1+a j 1a i 2+a j 2…a i n +a j n⁝⁝⁝-a i 1-a i 2…-a i n ⁝⁝⁝a n 1a n 2…a n n=a 11a 12…a 1n ⁝⁝⁝a j 1a j 2…a j n⁝⁝⁝-a i 1-a i 2…-a i n⁝⁝⁝a n 1a n 2…a n n=-a 11a 12…a 1n ⁝⁝⁝a j 1a j 2…a j n ⁝⁝⁝a i 1a i 2…a i n ⁝⁝⁝a n 1a n 2…a n n.■ 性质7　行列式某一行的元素乘另一行对应元素的代数余子式之和等于零,即01第1章　行列式∑nk =1ai kA j k =a i 1A j 1+a i 2A j 2+…+a i n A j n =0　(i ≠j ).(1．17) 证　根据性质2,行列式(1．9)对j 行展开得D =∑nk =1aj kA j k .因此,将行列式(1．9)中第j 行的元素a j 1,a j 2,…,a j n 换成a i 1,a i 2,…,a i n 后所得的行列式,其展开式就是∑nk =1a i k A j k ,即∑nk =1ai kA j k =a 11a 12…a 1n ⁝⁝⁝a i 1a i 2…a i n ⁝⁝⁝a i 1a i 2…a i n ⁝⁝⁝a n 1a n 2…a n n第i 行第j 行　. 由于上式右端的行列式第i 行和第j 行对应元素相等,故∑nk =1ai kA j k =0.■ 对于行列式(1．9),我们可以把(1．10),(1．12),(1．17)式统一地写成∑nk =1ai kA j k =δi j D ,其中δi j =1,　当i =j,0,　当i ≠j .(1．18)同样,行列式(1．9)对列展开,也有∑nk =1ak iA k j =δi j D .(1．19)111.1　n 阶行列式的定义及性质1.2　n阶行列式的计算这一节,我们通过例题来说明,利用行列式的定义和性质,计算n阶行列式的常用方法.例1　对于上三角行列式(当i>j时,a i j=0)有D=a11a12 (1)0a22 (2)⁝⁝ｗ⁝00…a n n=a11a22…a n n. 解　设D′表示将行列式D的行与列(按原顺序)互换所得的行列式,则利用1．1节中性质1和例1的结果,即得D=D′=a11a22…a n n. 例2　计算4阶行列式D=11-12-1-1-41 24-61 1242. 解　对行列式做倍加行变换和两行对换,将其化为上三角行列式.先利用性质5,把第1行分别乘1,-2,-1加到第2,3,4行上去得D=11-1200-5302-4-30150②＼④-11-12015002-4-300-5321第1章　行列式③+②×(-2)-11-12015000-14-300-53④+③×-514-11-12015000-14-300057/14=(-1)×1×1×(-14)×(57/14)=57.其中:②＼④表示第②行与第④行对换;③+②×(-2)表示第③行加第②行乘(-2);④+③×-514的意义也是类似的.此例利用性质5和性质6,把数字行列式化为上三角行列式,是计算数字行列式的基本方法.但是对于三阶数字行列式,用沙路法按对角线展开(计算6项乘积)可能更为简捷.例3　计算4阶行列式D =14-14214342311392. 解　利用性质5,把行列式某行(列)元素化为只剩一个非零元,再利用性质2,把行列式按该行(列)展开,从而降阶计算.这也是展开行列式的基本方法.注意到D 中第2列有一个0,再利用a 22=1,把第2行乘(-4)和(-2)分别加到第1和第3行上去,将第2列中其余元素化为0,然后对第2列展开,得311.2　n 阶行列式的计算D=-70-17-8214300-55392=(-1)2+2×1×-7-17-80-55392=-7-17-80-55392. 再把第3列加到第2列,按第2行展开D =-7-17-80-55392=-7-25-80053112=(-1)2+3×5×-7-25311=-5×(-77+75)=10. 例4　如果行列式D =|a i j |n 1的元素满足a i j =-a j i (i,j =1,2,…,n),就称D 是反对称行列式(其中a i i =-a i i a i i =0,i =1,…,n).证明奇数阶反对称行列式的值为零.证　设D =a 12…a 1n -a 120…a 2n ⁝⁝ｗ⁝-a 1n-a 2n….根据性质1有41第1章　行列式D=0-a12-a13…-a1na120-a23…-a2n⁝⁝⁝ｗ⁝a1n a2n a3n 0. 再利用性质3(i),将每行提出公因数(-1),即得D=(-1)n D.由于n是奇数,得D=-D,故D=0.■例5　证明a1+b1b1+c1c1+a1a2+b2b2+c2c2+a2 a3+b3b3+c3c3+a3=2a1b1c1a2b2c2a3b3c3. 证　方法1:把左端行列式的第2,3列加到第1列,提取公因子2,再把第1列乘(-1)加到第2,3列得左式=2a1+b1+c1-a1-b1a2+b2+c2-a2-b2a3+b3+c3-a3-b3.再把第2,3列加到第1列,然后分别提出2,3列的公因数(-1),再作两次列对换,等式就得证.方法2:对左式的各列依次用性质3(i i),将左式表示为23个行列式之和,其中有6个行列式各有2列相等,即左式=a1b1+c1c1+a1a2b2+c2c2+a2a3b3+c3c3+a3+b1b1+c1c1+a1b2b2+c2c2+a2b3b3+c3c3+a3=a1b1c1+a1a2b2c2+a2a3b3c3+a3+a1c1c1+a1a2c2c2+a2a3c3c3+a3+511.2　n阶行列式的计算b 1b 1c 1+a 1b 2b 2c 2+a 2b 3b 3c 3+a 3+b 1c 1c 1+a 1b 2c 2c 2+a 2b 3c 3c 3+a 3=a 1b 1c 1a 2b 2c 2a 3b 3c 3+0+0+0+0+0+0+b 1c 1a 1b 2c 2a 2b 3c 3a 3=右式.■ 例6　计算n 阶行列式D =x a a …a ax a …a a a x …a ⁝⁝⁝ｗ⁝aaa…x. 解　该行列式每行元素之和相等,此时把各列都加到第1列,提出第1列的公因子x +(n -1)a,然后将第1行乘-1分别加到其余各行,D 就化为上三角行列式,即D=[x +(n -1)a]1a a …a 1x a …a 1a x …a ⁝⁝⁝ｗ⁝1a a…x =[x +(n -1)a]1a a …a 0x -a 0 (00)0x -a …0⁝⁝⁝ｗ⁝000…x -a=[x +(n -1)a](x -a)n -1.61第1章　行列式 例7　如果x y z≠0,计算三阶行列式D=1+x2312+y3123+z. 解　方法一:将第1行乘(-1)加到第2、第3行,再将第2列乘xy、第3列乘xz并各加到第1列,化为上三角行列式,得D=1+x23-x y0-x0z=1+x+2xy+3xz230y000z =1+x+2xy+3xzy z=yz+2zx+3xy+xy z. 方法二:将D中1,2,3分别表示为1+0,2+0,3+0,根据性质3(i i),D可化为23个行列式,其中有4个为0,得D=1001y010z+x2002002z+x030y3003+x000y000z=yz+2zx+3xy+xy z. 例8　证明范德蒙(Vandermonde)行列式V n=111…1 x1x2x3…x n x21x22x23…x2n ⁝⁝⁝⁝x n-11xn-12xn-13 (x)n-1n=∏1≤j<i≤n(x i-x j),其中连乘积711.2　n阶行列式的计算∏1≤j <i ≤n(x i -x j )=x 2-x 1)(x 3-x 1)…(x n -x 1)(x 3-x 2)… (x n -x 2)…(x n -1-x n -2)(x n -x n -2)(x n -x n -1)是满足条件1≤j <i ≤n 的所有因子(x i -x j )的乘积.证　用数学归纳法证明.当n =2时,有V 2=11x 1x 2=x 2-x 1=∏1≤j <i ≤2(x i -x j ),结论成立.假设结论对n -1阶范德蒙行列式成立,下面证明对n 阶范德蒙行列式结论也成立.在V n 中,从第n 行起,依次将前一行乘-x 1加到后一行,得V n =111 (10)x 2-x 1x 3-x 1…x n -x 10x 2(x 2-x 1)x 3(x 3-x 1)…x n (x n -x 1)⁝⁝⁝⁝0x n -22(x 2-x 1)x n -23(x 3-x 1)…x n -2n(x n -x 1).按第1列展开,并分别提取公因子,得V n =(x 2-x 1)(x 3-x 1)…(x n -x 1)11…1x 2x 3…x n x 22x 23…x 2n ⁝⁝⁝x n -22x n -23…x n -2n.上式右端的行列式是n -1阶范德蒙行列式,根据归纳假设得V n =(x 2-x 1)(x 3-x 1)…(x n -x 1)∏2≤j <i ≤n(x i -x j ),故V n =∏1≤j <i ≤n(x i -x j ).■ 例9　证明81第1章　行列式D =a 11a 12…a 1k 0…0a 21a 22…a 2k 0…0⁝⁝⁝⁝⁝a k 1a k 2…a k k 0…0c 11c 12…c 1k b 11…b 1m ⁝⁝⁝⁝⁝c m 1c m 2…c m k b m 1…b m m =a 11a 12…a 1k a 21a 22…a 2k ⁝⁝⁝a k 1a k 2…a k kb 11…b 1m ⁝⁝b m 1…b m m.(1．20) 证　记|A |=|a i j |k1, |B |=|b i j |m1. 对|A |的阶数k 作数学归纳法.当k =1时,对D 的第一行展开,得D =a 11|B |=|a 11||B |(这里|a 11|是一阶行列式),(1．20)式成立.假设|A |为k -1阶时,(1．20)式成立.下面考虑|A |为k 阶的情形:此时,将D 对第1行展开,得D =a 11(-1)1+1M D11+a 12(-1)1+2M D 12+…+a 1k (-1)1+kM D1k ,①其中M D1j 是a 1j 在D 中的余子式(j =1,2,…,k).显然M D1j 也是(1．20)式类型的行列式,而且它的左上角是k -1阶的,根据归纳假设M D 1j =M |A |1j |B |, j =1,2,…,k,②其中M |A |1j 是a 1j 在|A |中的余子式.将②式代入①式,即得D =[a 11(-1)1+1M |A |11+a 12(-1)1+2M |A |12+…+a 1k (-1)1+k M |A |1k ]|B |=|A ||B |,911.2　n 阶行列式的计算所以|A |为k 阶时,(1．20)式成立.因此|A |为任意阶行列式时,(1．20)式都成立.■(1．20)式可简记为D =A 0＊B=|A ||B |. 若|A |,|B |如上所设,同样也有D =A ＊0B=|A ||B |.(1．21) 但要注意,D =0A B＊≠-|A ||B |.此时,可将|A |所在的每一列依次与其前面的m 列逐列对换(共对换k ×m 次),使之化为(1．20)式的形式,于是便有0A B＊=(-1)k ×mA 0＊B=(-1)k ×m |A ||B |.(1．22) 例10　求方程D(x)=0的根,其中D(x)=x -1x -2x -1x x -2x -4x -2x x -3x -6x -4x -1x -4x -82x -5x -2. 解　由观察可见x =0是一个根,因为x =0时,行列式第1、第2列成比例,所以D(0)=0.但要求其他根,必须展开这个行列式.将第1列乘-1加到2,3,4列;再将变换后的第2列加到第4列,即得02第1章　行列式D(x)=x -1-101x -2-202x -3-3-12x -4-4x -12=x -1-100x -2-200x -3-3-1-1x -4-4x -1-2=x -1-1x -2-2·-1-1x -1-2=-x(x +1).所以方程D(x)=0有两个根:0与-1.＊例11　计算n 阶三对角行列式D n =a b ca b ca b ｗｗｗca b ca . 解　把D n 按第1行展开,再将第2项中的行列式对第1列展开得D n =aD n -1+(-1)1+2bc b 0a b 0c a b ⁝⁝ｗｗｗ00…c a b 0…can -1阶=aD n -1-bcD n -2.①由①式(称为递推公式)可见:由D 1和D 2可算出D 3;由D 2和D 3可算出D 4;如此等等.为了利用D 1和D 2递推出D n 的计算公式,我们将①式改写成D n -kD n -1=l(D n -1-kD n -2),②121.2　n 阶行列式的计算其中k +l =a,　k l =bc .③ 在②式中,记Δn =D n -kD n -1,则②式为Δn =l Δn -1.②′由这个递推公式易得Δn =l Δn -1=l(l Δn -2)=…=l n -2Δ2,即D n -kD n -1=l n -2(D 2-kD 1),④其中D 2=a b ca=a 2-bc,　D 1=|a|=a .将它们代入④式,再利用③式,易得D 2-kD 1=l 2,于是D n =l n +kD n -1.⑤再利用递推公式⑤,可以递推出D n =l n +k(l n -1+kD n -2)=l n +k l n -1+k 2D n -2=l n +k l n -1+k 2(l n -2+kD n -3)=l n+k ln -1+k 2ln -2+k 3D n -3=…=l n+k l n -1+k 2ln -2+…+kn -2l 2+kn -1D 1,其中D 1=|a |=a =k +l,所以D n =l n+k ln -1+k 2ln -2+…+kn -2l 2+kn -1l +k n.⑥ 例如,当a =3,b =2,c =1时,由③式算得k =1,l =2,或k =2,l =1,此时D n =ln +1-kn +1l -k=2n +1-1.1.3　克拉默法则这一节讨论:n 个未知量n 个方程的线性方程组,在系数行列式不等于零时的行列式解法,通常称为克拉默(Cra m er)法则;22第1章　行列式并进一步给出n 个未知量n 个方程的线性齐次方程组有非零解的必要条件.定理(克拉默法则)　设线性非齐次方程组a 11x 1+a 12x 2+…+a 1n x n =b 1,a 21x 1+a 22x 2+…+a 2n x n =b 2,a n 1x 1+a n 2x 2+…+a n n x n =b n .(1．23)或简记为∑nj =1ai jx j =b i , i =1,2,…,n (1．24)其系数行列式D =a 11a 12…a 1n a 21a 22…a 2n ⁝⁝⁝a n 1a n 2…a n n≠0,则方程组(1．23)有唯一解x j =D jD, j =1,2,…,n .(1．25)其中D j 是用常数项b 1,b 2,…,b n 替换D 中第j 列所成的行列式,即D j =a 11…a 1j -1b 1a 1j+1…a 1n a 21…a 2j -1b 2a 2j+1…a 2n ⁝⁝⁝⁝⁝a n 1…a n j -1b na n j +1…a n n.(1．26) 证　先证(1．25)式是方程组(1．23)的解,根据(1．26)式D j =b 1A 1j +b 2A 2j +…+b n A n j =∑nk =1b kAk j,其中A k j 是系数行列式中元素a k j 的代数余子式.321.3　克拉默法则将x j =1D ∑nk =1b k A k j (j =1,2,…,n)代入(1．24)式左端,得∑nj =1a i j1D ∑nk =1b k A k j=1D ∑nj =1∑nk =1ai jA k j b k =＊1D ∑n k =1∑nj =1ai jA k j b k=1D ∑nk =1b k∑n j =1a i j A k j=1D ∑nk =1b k δi k D (k =i 时,δi k =1,k ≠i 时,δi k =0)=1D(b i ·1·D)=b i (i =1,2,…,n). (其中＊处等号成立的理由是,双重连加号求和次序可交换,请参阅本章附录.)所以(1．25)式中的x j =D j /D (j =1,2,…,n)满足方程组(1．23)中的每一个方程,因此它是方程组(1．23)的解.再证方程组(1．23)的解也必是如(1．25)式所示,设c 1,c 2,…,c n 是一组解,则a 11c 1+a 12c 2+…+a 1n c n =b 1,a 21c 1+a 22c 2+…+a 2n c n =b 2,a n 1c 1+a n 2c 2+…+a n n c n =b n .在上面n 个等式两端,分别依次乘A 1j ,A 2j ,…,A n j ,然后再把这n 个等式的两端相加,得∑ni =1ai 1A i j c 1+…+∑ni =1ai jA i j c j +…+∑ni =1ai nA i j c n　=∑ni =1b iAi j.42第1章　行列式上式左端c 1,c 2,…,c j -1,c j +1,…,c n 的系数全为零,c j 的系数为D ,右端∑ni =1b iAi j=D j ,因此Dc j =D j ,故c j =D jD.分别取j =1,2,…,n,这就证明了c 1,c 2,…,c n 如果是解,它们也必然分别等于D 1D ,D 2D ,…,D n D ,于是方程组(1．23)的解的唯一性得证.■由克拉默法则,立即可得下面的推论推论　若齐次线性方程组∑nj =1ai jx j =0 (i =1,2,…,n)(1.27)的系数行列式D =|a i j |n1≠0,则方程组只有零解x j =0,j =1,2,…,n .因为此时D j =0,j =1,2,…,n .与推论等价的命题(即逆否命题)是:若上述齐次线性方程组有非零解,则系数行列式D =|a i j |n1=0.即齐次线性方程组有非零解的必要条件是系数行列式D =0.在第3章中,我们将进一步证明,D =0也是齐次线性方程组(1．27)有非零解的充分条件.用克拉默法则求解系数行列式不等于零的n 元非齐次线性方程组,需要计算n +1个n 阶行列式,它的计算工作量很大.实际上关于数字系数的线性方程组(包括系数行列式等于零及方程个数和未知量个数不相同的线性方程组)的解法,一般都采用第2章中介绍的高斯消元法.克拉默法则主要是在理论上具有重要的意义,特别是它明确地揭示了方程组的解和系数之间的关系.521.3　克拉默法则例1　已知三次曲线y=f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3在4个点x=±1,x=±2处的值:f(1)=f(-1)=f(2)=6,f(-2)= -6,试求其系数a0,a1,a2,a3.解　将三次曲线在4个点处的值代入其方程,得到关于a0, a1,a2,a3的非齐次线性方程组a0+a1+a2+a3=6,a0+a1(-1)+a2(-1)2+a3(-1)3=6,a0+a1(2)+a2(2)2+a3(2)3=6,a0+a1(-2)+a2(-2)2+a3(-2)3=-6.它的系数行列式是范德蒙行列式(例8的行、列互换)D=11111-1(-1)2(-1)3 122223 1-2(-2)2(-2)3=(-1-1)(2-1)(-2-1)(2+1)(-2+1)·(-2-2)=72.于是,由克拉默法则可得三次曲线方程的系数a j=D jD,　j=0,1,2,3,其中D0=61116-11-16248-6-24-8=576,D1=1611161-116481-64-8=-72,62第1章　行列式。

第四章课后习题 及解答1. 证明：T ）（1,1,1,11=α, T ）（1,1,1,12--=α, T ）（1,1,1,13--=α, T ）（1,1,1,14--=α是4R 的一组基, 并求T ）（1,1,2,1=β在这组基下的坐标.证明：0161111111111111111,,,4321≠-=------=）（αααα.R ,,,44321的一组基是αααα∴设β在这组基下的坐标为x ，则x ）（4321,,,ααααβ=，从而 βαααα14321,,,-=）（x⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫--→→⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫------4141414510001000010000111211111111111111111⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=∴111541x 2. 已知3R 的两组基为.6,1,1,1,2,5,4,1,3,1,7,3,3,3,2,1,2,1T3T 2T 1T1T 2T 1）（）（）（）（）（）（-======βββααα求：（1）向量T2,6,3）（=γ在基{}321,,ααα下的坐标； （2）基{}321,,ααα到基{}321,,βββ的过渡矩阵； （3）用公式（4.7）求γ在基{}321,,βββ下的坐标。

解：（1）设γ在基{}321,,ααα下的坐标为x ，则：x ）（321,,αααγ=从而 γααα1321,,-=）（x⎪⎪⎪⎭⎫- ⎝⎛→→ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫112100010001263131732321 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=∴112x（2）设基{}321,,ααα到基{}321,,βββ的过渡矩阵为A ，则：A ,,,,321321）（）（αααβββ=从而 ）（）（3211321,,,,A βββααα-= ⎪⎪⎪⎭⎫--- ⎝⎛→→ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫-8124920941712710010001614121153131732321 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=∴81249209417127A （3）设γ在基{}321,,βββ下的坐标为y ，则：x y 1A -= ⎪⎪⎪⎭⎫-⎝⎛→→ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫----4832534153100100111281249209417127⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∴83106153414832534153y3. 已知4R 的两组基为.2,1,3,1,2,1,1,2,2,2,1,0,1,0,1,21,0,1,1,1,1,2,1,1,1,1,1,0,1,2,1T4T3T2T1T4T 3T 2T 1）（）（）（）（）（）（）（）（=-===--=-=-=-=ββββαααα（1）求基{}4321,,,αααα到基{}4321,,,ββββ的过渡矩阵；若γ在基{}4321,,,αααα下的坐标为T 0,0,0,1）（，求γ在基{}4321,,,ββββ下的坐标.（2）求基{}4321,,,ββββ到基{}4321,,,αααα的过渡矩阵；若ξ在基{}4321,,,ββββ下的坐标为T 0,1,2,1）（-，求ξ在基{}4321,,,αααα下的坐标.（3）已知向量α在基{}4321,,,αααα下的坐标为T 0,1,2,1）（-，求它在基{}4321,,,ββββ下的坐标.解：（1）设基{}4321,,,αααα到基{}4321,,,ββββ的过渡矩阵为A ，则：A ,,,,,,43214321）（）（ααααββββ=从而 ）（）（432114321,,,,,,A ββββαααα-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→→⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫------0111101011100110001000010000122211120311112021110011112121111 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∴010111010111001A 设γ在基{}4321,,,ββββ下的坐标为y ，则：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0001A 1-y⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→→⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫101-01000100001000010001010111010111001 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∴101-0y(2) 设基{}4321,,,ββββ到基{}4321,,,αααα的过渡矩阵为B ，则:B ,,,,,,43214321）（）（ββββαααα= ），，，（），，，（432114321B ααααββββ-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫----⎝⎛→→⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫------11111000001111101000100001000011110111121211112221112031111202⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=∴1111100000111110B设ξ在基{}4321,,,αααα下的坐标为x ，则：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1131012101011101011100101-21A x（3）设α在基{}4321,,,ββββ下的坐标为z ，则：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=20130121111110000011111001-21B z 4. 在4R 中找一个向量γ，它在自然基{}4321,,,εεεε和基T4T3T2T13,1,6,6,1,2,3,5,0,1,3,0,1,1,1,2）（）（）（）（===-=ββββ下有相同的坐标.解：设所求坐标为x ，则它满足：x x ）（）（43214321,,,,,,ββββεεεε= 即：0211111163216501=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-x⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-000110010101001211111163216501 ∴此齐次线性方程组的一般解为：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1111k x ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---==∴1111,,,4321k x ）（可取εεεεγ 5. 已知）（）（）（2,2,1,1,1,1,3,2,1,1,2,1---=-=-=γβα。