2021年高考数学一轮复习 第二章 第12讲 导数与函数极值、最值资料(艺术班)

第二课时导数与函数的极值、最值ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE知识梳理双基自测知识点一函数的极值1. 函数的极值(1)设函数f(x)在点X0附近有定义，如果对X0附近的所有的点，都有f(x)< f(x o)，那么f(x o) 是函数f(x)的一个极大值，记作f(x)极大值=f(x o)；如果对x o附近的所有的点，都有f(x)> f(x o),那么f(x o)是函数f(x)的一个极小值，记作f(x)极小值=f(x o).极大值与极小值统称为极值.⑵当函数f(x)在x o处连续时，判别f(x o)是极大(小)值的方法：如果x<x o有f' (x)>o , x>x o有f' (x)<o，那么f(x o)是极大值.如果x<x o有f' (x)<o , x>x o有f' (x)>o，那么f(x o)是极小值.2. 求可导函数f(x)极值的步骤(1) 求导数f'(X)；(2) 求方程f' (x)= o的根;⑶检验f' (x)在方程f' (x)= o的根左右的值的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y= f(x)在这个根处取得极大值J 口果在根的左侧附近为负，右侧附近为正，那么函数y= f(x)在这个根处取得极小值.知识点二函数的最值1. 函数的最值的概念设函数y= f(x)在［a, bl上连续，在(a, b)内可导，函数f(x)在［a, b］上一切函数值中的最大(最小)值，叫做函数y= f(x)的最大(最小)值.2. 求函数最值的步骤设函数y= f(x)在［a, b］上连续，在(a, b)内可导，求f(x)在［a, b］上的最值，可分两步进行：(1) 求f(x)在(a, b)内的极值;(2) 将f(x)的各极值与f(a), f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. _______重兰至昱1 . f' (x o)= o与x o是f(x)极值点的关系函数f(x)可导，则f' (x o)= o是x o为f(x)的极值点的必要不充分条件. 例如，f(x) = X3,f'(o) =o,但x = o不是极值点.2•极大值（或极小值）可能不止一个，可能没有，极大值不一定大于极小值. 3 .极值与最值的关系极值只能在定义域内取得（不包括端点），最值却可以在端点处取得；有极值的不一定有最 值，有最值的也未必有极值；极值有可能成为最值，非常数可导函数最值只要不在端点处取， 则必定在极值处取.4 .定义在开区间（a , b ）内的函数不一定存在最大（小）值.题组一走出误区1 .（多选题）下列结论正确的是（ABCD ） A .函数的极大值不一定比极小值大 B .导数等于0的点不一定是函数的极值点C .若x o 是函数y = f （x ）的极值点，则一定有 f ' （x o ）= 0D .函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值［解析］对于A ，如图，在x i 处的极大值比在X 2处的极小值小.II/\ ―丿7 Jb2 .侈选题）（选修2-2P 32AT4改编）若函数f （x ）的导函数f ' （x ）的图象如图所示，则下面正确的是（CD ）对于 对于 C ,对于由极点定义知显然正确.如图知正确. 故选 B 、C 、D . 题组走进教材如 y = x 3A . x=1是最小值点B. x= 0是极小值点C. x= 2是极小值点D .函数f(x)在(1,2)上单调递减［解析］由导数图象可知，x= 0, x= 2为两极值点，x = 0为极大值点，x= 2为极小值点, f (x)在(1,2)上小于0,因此f(x)单调递减，选C、D.3. (选修2-2P32AT5改编)函数f(x) = (x2—1)2+ 2的极值点是(C )A . x = 1 B. x=— 1C. x= 1 或—1 或0D. x= 0［解析］Tf(x) = x4—2x2+ 3，由f' (x)= 4x3—4x= 4x(x+ 1)(x—1)= 0,得x= 0 或x= 1 或x =—1.又当x< —1 时，f' (x)<0，当一1<x<0 时，f' (x)> 0,当0<x<1 时，f' (x)<0，当x>1 时，f' (x)>0 ,A x= 0,1，—1 都是f(x)的极值点.4. (选修2—2P32AT6改编)函数f(x) = In x—x在区间(0, e］上的最大值为(B )A . 1 —e B. —1C. —e D . 01 1 —x［解析］因为f' (x) = ^— 1 ==，当x€ (0,1)时，f' (x)>0;当x€ (1, e］时，f' (x)<0 , 所以当x= 1时，f(x)取得最大值ln 1 —1 = —1•故选B .题组三考题再现5 . (2017课标n, 11)若x=—2是函数f(x)= (x2+ ax—1)e x—1的极值点，贝V f(x)的极小值为(A )A . —1 B. —2e—3C. 5e 3D. 1［解析］由题意可得f ‘(x)= e x—1［x2+ (a + 2)x+ a —1］. '/x=—2 是函数f(x) = (x2+ ax —1)e x —1的极值点，••• f' (—2) = 0,「.a =—1, Af(x)= (x2—x—1)e x—1, f' (x) = e x—1(x2+ x—2) = e x^ 1(x —1)(x+ 2) ,「.x€ (—s,—2), (1 ,+s)时,f' (x)>0, f(x)单调递增；x€ (—2,1)时，f' (x)<0 ,f(x)单调递减.• f(x)极小值=f(1) = —1•故选A .3^36. (2018 课标I,16,5分)已知函数f(x) = 2sin x+ sin 2x,则f(x)的最小值是^ •［解析］由f(x)= 2sin x+ sin 2x, 得f' (x)= 2cos x+ 2cos 2x= 4cos2x+ 2cos x—2，令f' (x)=0,得 cos x = 2或 cos x =— 1，可得当 cos x € (— 1,㊁)时，f ' (x)<0 , f(x)为减函数；当 cos x 1 i"3€(2, 1)时，f ' (x)>0 , f(x)为增函数，所以当cos x =㊁时，f(x)取最小值，此时sin x =又因为 f(x) = 2sin x + 2sin xcos x = 2sin x(1 + cos x), 1 + cos x > 0 恒成立，二 f(x)取最小值时，sin x =■3'313J—三，A f(x)m in = 2 X ( — 2甘(1 + 2)=- 2 .KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU 考点突破互动探究角度1根据函数图象判断极值岭 例1设函数f(x)在R 上可导，其导函数为 f ' (x)，且函数y = (1 — x)f ' (x)的图象如当x>2时，f ' (x)>0.由此可以得到函数f(x)在x =— 2处取得极大值，在x = 2处取得极小值.故角度2求函数的极值 峰 例2求下列函数的极值.考点一用导数求解函数极值问题多维探究图所示，则下列结论中一定成立的是 A .函数 B .函数 f(x)有极大值 f(x)有极大值 f(2)和极小值f(1) f( — 2)和极小值f(1) C .函数f(x)有极大值 f(2)和极小值f( — 2)D .函数 f(x)有极大值 f( — 2)和极小值f(2)［解由题图可知, 当 x<— 2 时，f ' (x)>0 ;当一2<x<1 时，f ' (x)<0 ;当 1<x<2 时，f ' (x)<0 ;1(1) f(x)= 2(x — 5)2+ 6ln x ; (2) f(x)= x — aln x(a € R).［分析］求导，研究函数的单调性从而确定极值.［解析］⑴函数f(x)的定义域为(0,+ R ),令 f 'i 29由上表可知当x = 2时，极大值f(2) = + 6ln 2，当x = 3时，极小值f(3) = 2+ 6ln 3.(2)f ' (x) = 1 — a = x 7a, x>0.若a w 0，则f ' (x)>0恒成立，f(x)不存在极值. 若a>0，则x ，f ' (x)，f(x)的变化情况如下表：所以f(x)的极小值f(a) = a — aln a .无极大值.综上可知a w 0时，无极值；a>0时，极小值f(a)= a — aln a.名师点拨？可导函数求极值的步骤(1) 确定函数的定义域. (2) 求方程f ' (x)= 0的根.⑶用方程f ' (x)= 0的根和不可导点的x 的值顺次将函数的定义域分成若干个小开区间,并形成表格.f ' 6(x) = x — 5+ x =x —2 x —3x。

第十二节导数与函数的极值、最值[考纲传真] 1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次).3.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次)．1．函数的极值与导数的关系(1)函数的极小值与极小值点若函数f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值．(2)函数的极大值与极大值点若函数f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值．2．函数的最值与导数的关系(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．[常用结论]对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的极大值一定比极小值大．()(2)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0为极值点的充要条件．()(3)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．()(4)x＝0是函数f(x)＝x3的极值点． ()[答案](1)×(2)×(3)√(4)×2．(教材改编)函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内极小值点的个数为()A．1B．2C．3D．4A[导函数f′(x)的图象与x轴的交点中，左侧图象在x轴下方，右侧图象在x轴上方的只有一个，所以f(x)在区间(a，b)内有一个极小值点．]3．设函数f(x)＝2x＋ln x，则()A．x＝12为f(x)的极大值点B．x＝12为f(x)的极小值点C．x＝2为f(x)的极大值点D．x＝2为f(x)的极小值点D[函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－2x2＝x－2x2，令f′(x)＝0得x＝2，又0＜x＜2时，f′(x)＜0，x＞2时，f′(x)＞0.因此x＝2为f(x)的极小值点，故选D.]4．已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝()A．－4 B．－2 C．4 D．2D[由题意得f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝0得x＝±2，∴当x<－2或x>2时，f ′(x )>0；当－2<x <2时，f ′(x )<0，∴f (x )在(－∞，－2)上为增函数，在(－2,2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数．∴f (x )在x ＝2处取得极小值，∴a ＝2.]5．函数y ＝2x 3－2x 2在区间[－1,2]上的最大值是________．8 [y ′＝6x 2－4x ，令y ′＝0，得x ＝0或x ＝23.∵f (－1)＝－4，f (0)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝－827， f (2)＝8，∴最大值为8.]【例1】 设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)D [由题图可知，当x ＜－2时，f ′(x )＞0；当－2＜x ＜1时，f ′(x )＜0；当1＜x ＜2时，f ′(x )＜0；当x ＞2时，f ′(x )＞0.由此可以得到函数f (x )在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值．]►考法2 根据函数的解析式求极值【例2】 已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )．(1)当a ＝12时，求f (x )的极值；(2)讨论函数f (x )在定义域内极值点的个数．[解] (1)当a ＝12时，f (x )＝ln x －12x ，函数的定义域为(0，＋∞)且f ′(x )＝1x －12＝2－x2x ，令f ′(x )＝0，得x ＝2，于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表．故f (x )极大值(2)由(1)知，函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x (x ＞0)，当a ≤0时，f ′(x )＞0在(0，＋∞)上恒成立，即函数在(0，＋∞)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点；当a ＞0时，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )＞0， 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )＜0， 故函数在x ＝1a 处有极大值．综上所述，当a ≤0时，函数在定义域上无极值点，当a ＞0时，函数有一个极大值点．►考法3 已知函数的极值求参数【例3】 (1)(2020·成都模拟)若函数f (x )＝(x 2＋ax ＋3)e x 在(0，＋∞)上有且仅有一个极值点，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－22]B ．(－∞，－22)C ．(－∞，－3]D ．(－∞，－3)(2)若函数f (x )＝x (x －a )2在x ＝2处取得极小值，则a ＝________.(1)C (2)2 [(1)f ′(x )＝(2x ＋a )e x ＋(x 2＋ax ＋3)e x ＝[x 2＋(a ＋2)x ＋a ＋3]e x . 令g (x )＝x 2＋(a ＋2)x ＋a ＋3，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＋22＞0，g (0)≤0或⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＋22≤0，g (0)＜0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＋22＞0，a ＋3≤0或⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＋22≤0，a ＋3＜0，解得a ≤－3，故选C.(2)f (x )＝x (x －a )2＝x 3－2ax 2＋a 2x ，∴f ′(x )＝3x 2－4ax ＋a 2.由f ′(2)＝12－8a ＋a 2＝0，解得a ＝2或a ＝6.当a ＝2时，f ′(x )＝3x 2－8x ＋4＝(x －2)(3x －2)，函数在x ＝2处取得极小值，符合题意；当a ＝6时，f ′(x )＝3x 2－24x ＋36＝3(x －2)(x －6)，函数在x ＝2处取得极大值，不符合题意，∴a ＝2.](1)当a ＝1，且函数图象过点(0,1)时，求f (x )的极小值．(2)若f (x )在(－∞，＋∞)上无极值点，求a 的取值范围．[解] f ′(x )＝3ax 2－4x ＋1.(1)函数图象过点(0,1)时，有f (0)＝c ＝1.当a ＝1时，f ′(x )＝3x 2－4x ＋1，令f ′(x )＞0，解得x ＜13或x ＞1；令f ′(x )＜0，解得13＜x ＜1.所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13和(1，＋∞)上单调递增； 在 ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1上单调递减，极小值是f (1)＝13－2×12＋1＋1＝1.(2)若f (x )在(－∞，＋∞)上无极值点，则f (x )在(－∞，＋∞)上是单调函数，即f ′(x )≥0或f ′(x )≤0恒成立．①当a ＝0时，f ′(x )＝－4x ＋1，显然不满足条件；②当a ≠0时，f ′(x )≥0或f ′(x )≤0恒成立的充要条件是Δ＝(－4)2－4×3a ×1≤0，即16－12a ≤0，解得a ≥43.综上，a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞.【例4】 (1)求f (x )的单调区间；(2)求f (x )在区间[0,1]上的最小值．[解] (1)由f (x )＝(x －k )e x ，得f ′(x )＝(x －k ＋1)e x ，令f ′(x )＝0，得x ＝k －1.f (x )与f ′(x )的变化情况如下：所以，f (x )(k －1，＋∞)．(2)当k －1≤0，即k ≤1时，函数f (x )在[0,1]上单调递增，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (0)＝－k ，当0＜k －1＜1，即1＜k ＜2时，由(1)知f (x )在[0，k －1)上单调递减，在(k －1,1]上单调递增，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (k －1)＝－e k －1.当k －1≥1，即k ≥2时，函数f (x )在[0,1]上单调递减，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (1)＝(1－k )e.综上可知，当k ≤1时，f (x )min ＝－k ；当1＜k ＜2时，f (x )min ＝－e k －1；当k ≥2时，f (x )min ＝(1－k )e.已知函数f (x )＝1－x x ＋k ln x ，k ＜1e ，求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的最大值和最小值．[解] 因为f (x )＝1－x x ＋k ln x ，所以f ′(x )＝－x －(1－x )x 2＋k x ＝kx －1x 2. (1)若k ＝0，则f ′(x )＝－1x 2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上恒有f ′(x )＜0，所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上单调递减．所以f (x )min ＝f (e)＝1－e e ，f (x )ma x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝e －1. (2)若k ≠0，f ′(x )＝kx －1x 2＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1k x 2.①若k ＜0，则在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上恒有k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1k x 2＜0， 所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上单调递减， 所以f (x )min ＝f (e)＝1－e e ＋k ln e ＝1e ＋k －1，f (x )ma x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝e －k －1. ②若k ＞0，由k ＜1e ，得1k ＞e ，则x －1k ＜0，所以k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1k x 2＜0，所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上单调递减． 所以f (x )min ＝f (e)＝1－e e ＋k ln e ＝1e ＋k －1，f (x )ma x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝e －k －1. 综上，k ＜1e 时，f (x )min ＝1e ＋k －1，f (x )ma x ＝e －k －1.【例5】 已知函数f (x )＝e x(a ＞0)的导函数y ＝f ′(x )的两个零点为－3和0.(1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )的极小值为－e 3，求f (x )在区间[－5，＋∞)上的最大值．[解] (1)f ′(x )＝(2ax ＋b )e x －(ax 2＋bx ＋c )e x(e x )2＝－ax 2＋(2a －b )x ＋b －c e x， 令g (x )＝－ax 2＋(2a －b )x ＋b －c ，因为e x ＞0，所以y ＝f ′(x )的零点就是g (x )＝－ax 2＋(2a －b )x ＋b －c 的零点， 且f ′(x )与g (x )符号相同．又因为a ＞0，所以当－3＜x ＜0时，g (x )＞0，即f ′(x )＞0，当x ＜－3或x ＞0时，g (x )＜0，即f ′(x )＜0，所以f (x )的单调递增区间是(－3,0)，单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)．(2)由(1)知，x ＝－3是f (x )的极小值点，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ 9a －3b ＋c e －3＝－e 3，g (0)＝b －c ＝0，g (－3)＝－9a －3(2a －b )＋b －c ＝0，解得a ＝1，b ＝5，c ＝5，所以f (x )＝x 2＋5x ＋5e x. 因为f (x )的单调递增区间是(－3,0)，单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)， 所以f (0)＝5为函数f (x )的极大值，故f (x )在区间[－5，＋∞)上的最大值取f (－5)和f (0)中的最大者，而f (－5)＝5e－5＝5e 5＞5＝f (0)， 所以函数f (x )在区间[－5，＋∞)上的最大值是5e 5.若函数f (x )＝13x 3＋x 2－23在区间(a ，a ＋5)上存在最小值，则实数a 的取值范围是________．[－3,0) [由题意，得f ′(x )＝x 2＋2x ＝x (x ＋2)，故f (x )在(－∞，－2)，(0，＋∞)上是增函数，在(－2,0)上是减函数，作出其图象如图所示，令13x 3＋x 2－23＝－23得，x ＝0或x ＝－3，则结合图象可知，⎩⎨⎧－3≤a ＜0，a ＋5＞0，解得a ∈[－3,0)．]1．(2020·全国卷Ⅱ)若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1的极值点，则f (x )的极小值为( )A ．－1B ．－2e －3C ．5e －3D ．1A [函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1，则f ′(x )＝(2x ＋a )e x －1＋(x 2＋ax －1)·e x －1＝e x －1·[x 2＋(a ＋2)x ＋a －1]． 由x ＝－2是函数f (x )的极值点得f ′(－2)＝e －3·(4－2a －4＋a －1)＝(－a －1)·e －3＝0，所以a ＝－1.所以f (x )＝(x 2－x －1)e x －1，f ′(x )＝e x －1·(x 2＋x －2)．由e x －1>0恒成立，得x ＝－2或x ＝1时，f ′(x )＝0，且x <－2时，f ′(x )>0； －2<x <1时，f ′(x )<0；x >1时，f ′(x )>0.所以x ＝1是函数f (x )的极小值点．所以函数f (x )的极小值为f (1)＝－1.故选A.]2．(2020·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )．(1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围．[解] (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a .若a ≤0，则f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增．若a >0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )>0； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )<0. 所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减． (2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值；第11页 共11页 当a >0时，f (x )在x ＝1a 处取得最大值，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a ＝－ln a ＋a －1. 因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a >2a －2等价于ln a ＋a －1<0. 令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增，g (1)＝0. 于是，当0<a <1时，g (a )<0；当a >1时，g (a )>0.因此，a 的取值范围是(0,1)．。