高数第五章空间解析几何

高等数学中的空间解析几何一、引言空间解析几何是高等数学中的重要分支之一，它研究的是空间中的点、直线、平面等几何对象的性质和相互关系。

在实际应用中，空间解析几何广泛应用于物理学、工程学、计算机图形学等领域。

本教案将从基本概念入手，逐步展开论述空间解析几何的相关内容。

二、点与向量1. 点的坐标表示- 在直角坐标系中，点的坐标表示为(x, y, z)，其中x、y、z分别表示点在x轴、y轴、z轴上的投影。

- 点的坐标可以用向量表示，即P = x*i + y*j + z*k，其中i、j、k分别是x轴、y轴、z轴的单位向量。

2. 向量的基本性质- 向量的模：向量AB的模表示为|AB|，定义为AB的长度。

- 向量的方向角：向量AB的方向角表示为(α, β, γ)，其中α、β、γ分别表示向量AB与x轴、y轴、z轴的夹角。

- 向量的共线性：若向量AB与向量CD平行或共线，则存在实数k，使得AB = kCD。

三、直线与平面1. 直线的方程- 点向式方程：直线L上一点P的坐标为(x0, y0, z0)，且向量v = (a, b, c) 与直线L平行，则直线L的点向式方程为(x, y, z) = (x0, y0, z0) + t(a, b, c)，其中t为实数。

- 参数方程：直线L上一点P的坐标为(x0, y0, z0)，且向量v = (a, b, c) 与直线L平行，则直线L的参数方程为x = x0 + at，y = y0 + bt，z = z0 + ct，其中t为参数。

- 一般方程：直线L的一般方程为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C、D为常数。

2. 平面的方程- 点法式方程：平面π上一点P的坐标为(x0, y0, z0)，且法向量n = (A, B, C)垂直于平面π，则平面π的点法式方程为Ax + By + Cz + D = 0，其中D = -Ax0 -By0 - Cz0。

- 一般方程：平面π的一般方程为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C、D为常数。

高等数学教学教案第五章向量与空间解析几何授课序号012(x =b ，即b b a=，、向量的运算, 见图5-14. 以向量的终点为起点，b 向量的终点为终点的对角线向量为向量的差()b -.设λ是一个数，向量a a λ=，方向与0a =是零向量；a a a λ=，方向与1=-时，(又设α、β、γ为与三坐标轴正向之间的夹角分别为向量a cos a α=cos a cos a 、cos γ称为向量a 的方向余弦，通常用它表示向量的方向(()21a x y y =--22xa a ++(aa=、数量积 给定向量a 与b ，我们做这样的运算：a 与b 及它们的夹角与，即cos cos a b a b a b α== Pr j Pr j a b b a b b a ==； 2cos ,a a a a a a a ⋅==；）若0a ≠，0b ≠，则0a b ⋅=⇔、向量积 若由向量a 与b 所确定的一个向量c 满足下列条件：()()()y z z y x z z x x y y x a b a b i a b a b j a b a b k =---+-)x y zxyzi j k a a a j k a a a b b b += 向量的混合积(,x a a =a =a a cos AB θ=.定理2 两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在轴上的投影的和(()4,3,1M 、()7,1,2M 及例4设()111,,A x y z 和AM MB=，y 和z .例5 设3m=,4k j -(2) a b的夹角θ; (3)b.液体流过平面S上面积为A的一个区域，液体在这区域上各点处的流速均为（液体的比重为ν都垂直的单位向量授课序号021212cos n n A A n n A B θ⋅==+)2-、(2 M授课序号03，其中(s m =12s s s s m ⋅=(),,A B C ，则n ，因此Am n +=.授课序号04。

习题5・31•指出下列平面位置的特点：(1)5x - 3z +1 = 0(2)x + 2y - 7z = 0(3)y + 5 = 0(4)2)，- 9z = 0(5)x-y-5 = 0(6)x = 0. 解⑴平行于屛由.⑵过原点.⑶平行于平面.⑷ 过兀轴.(5)平行于z轴•⑹0〃平面.2.求下列各平面的方程：⑴平行于y轴且通过点(1,-5,1)和(3,2,-2);(2)平行于O私平面且通过点(5,2,-8);(3)垂直于平面兀-4y + 5z = 1且通过点(-2,7,3)及(0,0,0);⑷垂直于Oyz平面且通过点(5,-4,3)及(-2,1,8).1j k解⑴—(0 ,l,0),* = (2,7,-3),n= 0 1 0 =(-3,0,-2).27-3_3O_1)_2(Z_1)=0,3JC +2Z_5=0.⑵y = 2.i j k(3)a = (1,-4,5), 6 = (-2,7,3),n = 1 -4 5 = (-47,-13,-1).-2 7 347x+13y+ 1 = 0.i j k(4)“ = (1,0,0),〃 = (-7,5,5),〃= 1 0 0 =(0,-5,5) = 5(0, -1,1).-7 5 5_(y + 4) + (z_3) = 0,y_z + 7 = 0.3.求通过点A(2,4,8), B(-3,1,5)及C(6,—2,7)的平面方程.解 a = (一5, —3,—3),〃 = (4,-6,-1).i j kn= -5 -3 -3 =(-15,-17,42),4 -6 -1一15(兀一2) —17(y — 4) + 42(z — 8) = 0,15x + 17y —42z + 238 = 0.4.设一平而在各坐标轴上的截距都不等于零并相等,且过点(5, -7, 4),求此平而的方程.解—+ —+ — = 1, —H—+ — = l,a = 2, x + y + z — 2 = 0.a, a a a a a5已知两点4(2,-1,-2)及〃(8,7,5),求过B且与线段AB垂直的平面.解〃 =(6, & 7).6(x-8) + 8(y-7) + 7(z-5) = 0,6x + 8y + 7z-139 = 0.6.求过点(2,0, -3)且与2兀-2y + 4z + 7 = 0,3x+y-2z + 5二0垂直的平面方程.i j k解 n= 2 -24 =(0,16,8) = 8(0,2,l).2y + (z + 3) = 0,y + z + 3 = 0. 3 1 -27.求通过兀轴且与平面9兀-4y-2z + 3 = 0垂直的平面方程. 解 By + Cz=0,—4B —2C = 0,取B = 1,C = —2,y —2z = 0.8•求通过直纟划:｛；；工：二5地:仁鳥平行的平面方程. i j ki j k 解a = 1 0 2 = (-6,1,3), 6 = 1 -1 0= (1,1,1), 0 3-10 1 -1 i j kn - -6 13 =(-2,9,-7).用z ()= 0代入厶的方程，得x° =4,>\} =-8/3.1 1 1 -2(x-4) + 9(^ + 8/3)-7(z) = 0,-2x + 9y-7z + 32 = 0.x = 3r + 89.求直线厶：* +彳=•' +1 = __与直线/ ：< y = f + l 的交点坐标,3 24 _ 小， z = + 6并求通过此两直线的平面方程.解求两条直线交点坐标：3r + 8 + 3 / + 1 + 1 2/ + 6 —2 \\ t t A 163 24 3 2 23 i j kn= 3 2 4 = (0,6, -3) = 3(0,2, -l).2(y +1) - (z - 2) = 0,2y - z + 4 = 0.3 1 2 10•求通过两直线厶=^ = 凹和厶：土 = □=三的平面方程. 1 2 -1 1 -4 2 -2i j k解 两直线平行•平面过点(1,-1,-1)和(-2,2,0).川=2 — 1 1 = (—4,—5,3).-33 1一4(兀一 l)-5(y + l) + 3(z + l) = 0,-4x — 5y + 3z + 2 = 0.11证明两直线厶：口和是异面直线*-121 - 0 1 -2证首先，两直线的方向向量(-1,2,1)和(0,1,-2)不平行.x 二 _2l 2< y 二1+t —―二匕〜 力+ 3J = 5』= 0,矛盾.故两直线无公共点.-1 2 1 X Q = 一& 儿=一一牛交点(一8占弓)两-直线不平行，又无交点，故是异面直线. 12.将下列直线方程化为标准方程及参数方程：[2x+y-z + l = 0 [x-3z + 5 = 0(1* ⑵彳[3x - y + 2z - 8 = 0; [y - 2z + 8 = 0.i j k解(1)〃= 2 1 -1 =(1,-7,-5).3-12V — 7 + 1 = 0⑴中令兀0=0,{ 解Z得儿=6,Zo=7・-y+ 2z-8 = 0;标准方程—q・1 -7 -5x = t参数方程：< y = 6-lt,-oo <t < +oo.z = l-5ti j k(2)(1加=1 0 -3 =(3,2,1).0 1 -2⑵中令z° = 0,直接得x° = -5, y Q = -8.标准方程出二凹二工3 2 1x ——5 + 3t参数方程：* >' = -8 + 2r,-co<t < +oo.z = t13•求通过点(32-5)及乂轴的平面与平面3x-y-7z + 9 = 0的交线方程・ ■I j k解地第一个平面的法向量〃二1 0 0 =(0,5,2), 3 2 -5平面方程5y + 2z = 0.直线方程严+ 2*°[3 兀-y-7z + 9 = 0.i j k直线的方向向量a =0 5 2 =(一336-15) = 3(-112-5)・3 -1 -7直线方程:r 匕14 •当D 为何值时,直线产？ £弓与0z 轴相交?[x + 4y-z + D = 0解直线F ：y + 2z-6弓与Oz 轴相交O 存在(0,0,勺)在此直线上，[x + 4y-z + £> = 0f2z o -6 = O <=> < u> £> =知=3. Ho+o=o15.试求通过直线人：£一2"：弓并与直线Z. = 2平行的平面方程.[3y — z + 8 = 0 *•匕 _y + 6 = 0i J k解厶的方向向&a = 1 0 -2 =(6丄3).0 3-1i J 平面的法向量/i =6 1 1 1 Q 在的方程中令z ()二0得X 。

一、空间解析几何知识点速记一、空间解析几何1、向量代数●向量的线性运算向量加法：三角形法则或平行四边形法则：1）交换律a +b =b +a ；2）结合律（a +b ）+c =a+（b +c ）实数与向量的运算法则：设λ、μ为实数，则有：c=a+b1）结合律λ（μa ）=μ（λa ）=（λμ）a ；2）分配律（λ+μ）a =λa +μa ；λ（a +b ）=λa +λb 空间直角坐标系r M OM xi yj zk x y z −−→↔==++↔（，，）；设a =（a x ，a y ，a z ），b =（b x ，b y ，b z ）则有1）a +b =（a x +b x ，a y +b y ，a z +b z ）2）a -b =（a x -b x ，a y -b y ，a z -b z ）3）λa =（λa x ，λa y ，λa z ）4）b //a ⇔b =λa⇔（b x ，b y ，b z ）=λ（a x ，a y ，a z ）⇔zzyy xx a b a b a b ==5）向量模：222||z y x ++=r 6）两点间的距离：→212212212)()()(||||z z y y x x AB AB -+-+-==方向角：非零向量r 与三条坐标轴的夹角α、β、γ称为向量r 的方向角方向余弦：cos ||x r α=，cos ||y r β=，cos ||z r γ=●向量的数量积：a ·b =|a ||b |cos θ几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度||a 与b 在a 的方向上的投影θcos ||b 的乘积。

1）a·a =|a |22）a ⊥b ⇔a·b =012120x x y y ⇔+=3）交换律：a·b =b·a ；4）分配律：（a +b ）⋅c =a ⋅c +b ⋅c5）（λa ）·b =a·（λb ）=λ（a·b ）,（λa ）·（μb ）=λμ（a·b ）,λ、μ为数高 数6）a·b =a x b x +a y b y +a z bzcos ||||a b a b θ++⋅=●向量的向量积：c =a ⨯b c 的模|c |=|a ||b |sin θ,其中θ为a 与b 间的夹角；c 的方向垂直于a 与b 所决定的平面，c 的指向按右手规则从a 转向b 来确定。

82 第五章 向量代数与空间解析几何§5.1 向量代数(甲)内容要点内容要点一、空间直角坐标系一、空间直角坐标系 二、向量概念二、向量概念®a ＝®i x +®j y +®k z坐标()z y x ,,模®a ＝222z y x ++ 方向角g b a ,,方向余弦g b a cos ,cos ,cosa cos ＝222zy x x ++ ；b cos ＝222zy x y ++ ；g cos ＝222zy x z ++三、向量运算三、向量运算设®a ()11,1,z y x ；®b ()22,2,z y x ；®c ()33,3,z y x 1． 加（减）法加（减）法®a ±®b ＝()2121,21,z z y y x x ±±± 2． 数乘数乘 ()111,,z y x a l l l l =®3． 数量积（点乘）（ⅰ）定义®a ·®b =®a®b ÷øöçèæ®®Ðb a ,cos （ⅱ）坐标公式®a ·®b =21x x +21y y +21z z （ⅲ）重要应用®a ·®b =0Û®a ^®b4．向量积（叉乘）（ⅰ）定义®a ´®b ＝®®ba ÷øöçèæ®®Ðb a ,sin ®a ´®b 与®a 和®b 皆垂直，且®a ，®b ，®a ´®b 构成右手系构成右手系83（ⅱ）坐标公式®a ´®b =222111z y x z y x k j i®®®（ⅲ）重要应用®a ´®b =®0Û®a ，®b 共线共线5、混合积、混合积 （ⅰ）定义（ⅰ）定义（®a ，®b ，®c ）＝（®a ´®b ）·®c （ⅱ）坐标公式（®a ，®b ，®c ）=333222111z y x z y x z y x （ⅲ）÷øöçèæ®®®c b a ,,表示以®a ，®b ，®c 为棱的平行六面体的体积为棱的平行六面体的体积§5.2 平面与直线（甲）内容要点（甲）内容要点一、一、 空间解析几何空间解析几何1 空间解析几何研究的基本问题。

第五章 向量代数与空间解析几何（数学一）§5．1 向量代数一．空间直角坐标系从空间某定点O 作三条互相垂直的数轴，都以O 为原点，有相同的长度单位，分别称为x 轴，y 轴，z 轴，符合右手法则，这样就建立了空间直角坐标系，称O 为坐标原点。

1．两点间距离设点()1111,,z y x M ，()2222,,z y x M 为空间两点，则这两点间的距离可以表示为 ()()()21221221221z z y y x x M M d -+-+-==2．中点公式设()z y x M ,,为()1111,,z y x M ，()2222,,z y x M 联线的中点，则 2,2,2212121z z z y y y x x x +=+=+=二．向量的概念1．向量既有大小又有方向的量称为向量。

方向是一个几何性质，它反映在两点之间从一点A 到另一点B 的顺序关系，而两点间又有一个距离。

常用有向线段表示向量。

A 点叫起点，B 点叫终点，向量。

模为1的向量称为单位向量。

2．向量的坐标表示若将向量的始点放在坐标原点O ，记其终点M ，且点M 在给定坐标系中的坐标为()z y x ,,。

记以三个坐标轴正向为方向的单位向量依次记为k j i ,,，则向量OM 可以表示为 zk yj xi ++= 称之为向量OM 的坐标表达式，也可以表示为 ()z y x OM ,,=称zk yj xi ,,分别为向量OM 在x 轴，y 轴，z 轴上的分量。

称z y x ,,分别为向量OM 在x 轴，y 轴，z 轴上的投影。

记OM 与x 轴、y 轴、z 轴正向的夹角分别为γβα,,，则222cos zy x x ++=α222c o s zy x y ++=β 222c o s zy x z ++=γ方向余弦间满足关系1cos cos 222=++γβαcoxγβα,,描述了向量OM 的方向，常称它们为向量的方向角。

第五章 空间解析几何一、学习要点：1.理解空间向量的有关概念，掌握空间向量的坐标表示，单位向量，方向余弦；2.熟练掌握空间向量的线性运算，数量积、向量积的坐标运算法；3.熟练掌握空间向量平行、垂直的充要条件及判定；4.掌握平面的点法式方程、一般式方程、截距式方程；5.知道空间一点到平面的距离公式；6.掌握直线的对称式、参数式、一般式方程及其求方程的方法7.会判定直线和平面的位置关系(垂直、平行、直线在平面上)；8.了解母线平行于坐标轴的柱面，旋转抛物面，圆锥面，椭球面方程及图形. 二、相关知识总结：1.空间直角坐标系的建立及其空间点的直角坐标.2.空间直角坐标系中任意两点11112222(,,),(,,)p x y z p x y z 间的距离公式： 21221221221)()()(z z y y x x p p d -+-+-==.3.空间向量的有关概念及向量的坐标表示.4.空间向量的线性运算及利用坐标进行向量的线性运算.5.空间向量模的坐标表示： 设向量{,,}x y z a a a a =，其模2x a a =+向量a 的单位向量：0{cos ,cos ,cos }a i a j a k a αβγ++==.6.向量的数量积：对于给定的向量a ，b ，数c os ,a b a b ∧<>称为向量a 和b 的数量积，记作cos ,a b a b a b ∧⋅=<>.7.向量的向量积：两个向量a 和b 的向量积是一个向量，记作a b ⨯， 它的模和方向分别定义为：（1）sin ,a b a b a b ∧⨯=<>；（2）a b ⨯垂直于a 和b ，且a ，b ，a b ⨯成右手系. 8.数量积、向量积的坐标运算法： 设{,,}x y z a a a a =，{,,}x y z b b b b =，则x x y y z z a b a b a b a b ⋅=⋅+⋅+⋅，xy z xyzij k a b a a a b b b ⨯=. 9.两向量垂直、平行的条件及判定：（1）两向量//a b ⇔b a λ=⇔0a b ⨯=⇔a 与b 的对应坐标成比例y x zx y za a ab b b ==； （2）两向量a b ⊥⇔0a b ⋅=⇔0x x y y z z a b a b a b ⋅+⋅+⋅=.10.方向余弦、向量投影的坐标表达式及有关计算：设{,,}x y z a a a a =，{,,}x yz b b b b = 则向量a 的方向余弦：cosα=cosa β=，cos γ=且 222coscos cos 1αβγ++=.投影公式：0cos ,b a bprj a a a b a b b∧⋅⎛⎫===⋅ ⎪⎝⎭. 11.空间曲线的一般方程：(,,)0(,,)0F x y z G x y z =⎧⎨=⎩.12.空间曲线的参数方程：()()()x x t y y t z z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩（t 为参数）.13.空间曲线在坐标平面内的投影：(,,)0(,,)0F x y zG x y z =⎧⎨=⎩ --①①消去z 得(,)0H x y =，则(,)0H x y z =⎧⎨=⎩是曲线①在坐标面xoy 面上投影.同理，(,)00R x z y =⎧⎨=⎩和(,)00T y z x =⎧⎨=⎩是曲线①分别在xoz 面和yoz 面上的投影.14.平面的点法式方程：),,(000z y x M 是平面的一点，n Ai B j Ck =++ 是该平面的法向量,则此平面的方程为:0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A .15.平面的一般式方程：0=+++D Cx By Ax （A ，B ，C 不能同时为0）. 16.平面外一点),,(1111z y x p 到平面0:=+++D Cz By Ax π的距离d 的公式：则有：222111CB A DCz By Ax d +++++=.17.平面1π和平面2π的夹角为θ： （20πϑ<<）1π的法向量1n 和2π的法向量2n则有：cos =θ18.直线的一般式、对称式、参数式方程及其求方程的方法. 一般式 111122220A xB yC zD A x B y C z D +++=⎧⎨+++=⎩，对称式000x x y y z z m n p---==， 参数式 000x x mt y y nt z z pt=+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩（t 为参数），三种方程形式的相互转化.19.两直线垂直、平行的充分条件及其夹角公式： 设直线1L 和直线2L 的方向向量依次 为：1111{,,}S m n p =，2222{,,}S m n p =，若两直线垂直有：12L L ⊥⇔1212120m m n n p p ++=； 若两直线平行有：12//L L ⇔111222m n p m n p ==；若两直线相交有：cos ϕ=，(0)2πϕ<<.20.空间直线与平面的位置关系：设直线L 的方向向量{,,}s m n p =，平面π的法向量{,,}n A B C =， 直线L 与平面π垂直有：L π⊥⇔A B Cm n p==； 直线L 与平面π平行有：//L π⇔0Am Bn Cp ++=； 直线L 与平面π的夹角ϕ（02πϕ≤<）由下列公式给出：sin ϕ=三、重点例题剖析 （一）基础题1.一向量a 与x 轴正向，y 轴正向的夹角相等．与z 轴正向的夹角是前者的两倍，求与向量a 同方向的单位向量．【分析】 与向量a 同方向的单位向量就是以向量a 的方向余弦为坐标的向量．故问题求解的关键在于求出向量a 的方向余弦．解 设向量a 与x 轴正向、z 轴正向的夹角为α，则它与y 轴的正向夹角为α2，那么，a 的方向余弦分别是cos α，cos α，cos 2α．故1)2(cos cos cos 222=++ααα即 0)2(cos 1cos 222=+-αα由此得到 0)12(c o s 2c o s =+αα02cos =∴α或|2cos -=α 又 ],0[2πα∈ ，4πα=∴或2π，则cos 2α=，cos 2β=，cos 0γ=或cos 0α=，cos 0β=，cos 1γ=-， 因此，所求的单位向量为 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛0,22,22或()1,0,0-．2.设(4,5,3)a =-，(2,3,6)b =，求a 对应的单位向量0a 及b 的方向余弦．解 与a 对应的单位向量0a 是与a 方向相同的单位向量．因此023)4a a a ==-=+ 同上，可求出与b 方向相同的单位向量0b ：02236,,7772b b b ⎛⎫=== ⎪⎝⎭+从而，b 的方向余弦为：2cos 7α=，3cos 7β=，67coa γ=． 3.设未知向量x 与22a i j k =-+共线，且满足18a x ⋅=-，求x ． 解（方法1）由于x 与a 共线，故设 (2,,2)x a λλλλ==-(2,1,2)(2,,2)221()22918a x λλλλλλλ⋅=-⋅-=⋅-⋅-+⋅==- 2-=∴λ故 (4,2,x =--．(方法2)由于x 与a 共线，故可设x a λ=,则2222()()2(1)2918a x a a a a a λλλλλ⎡⎤⋅=⋅=⋅==+-+==-⎣⎦ 2-=∴λ故 (4,2,x =--．4.已知向量a ，b ，c 满足0a b c ++=,证明：a b b c c a ⨯=⨯=⨯. 证()a b c =-+，()b a c =-+()()a b b c b b b c b c b b c ∴⨯=-+⨯=-⨯+⨯=-⨯=⨯ ()()b c a c c a c c c a c c a ⨯=-+⨯=-⨯+⨯=-⨯=⨯ a b b c c a ∴⨯=⨯=⨯5.已知三角形三个顶点坐标是(2,1,3)A -，(1,2,3)B ，(0,1,4)C ，求ABC ∆的面积．【分析】 以向量a ，b 为邻边的三角形的面积12S a b =⨯．解 由向量积的定义，可知ABC ∆的面积为：11sin 22ABC S AB AC A AB AC ∆=⋅⋅∠=⨯由于(1,3,0)AB =-，(2,2,1)AC =-，因此13034221i j kAB AC ⨯=-=++-i j k2113432ABC S i j k ∆∴=++=+= 6.指出下列二次曲面的名称，并作草图． (1)222169925x y z --=-； (2)222169925x y z --=；(3)224y z x +=； (4)2222(1)(2)(3)0x y z -+---=．【分析】 对已给出的二次曲面方程，要求判断曲面性质的题型，应先进行简化运算将方程转化成常见的曲面方程形式，然后再进行判断．解 (1)可以将方程写成如下的标准形式：2222221555423xy z -++=⎫⎫⎫⎛⎛⎛ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎝⎝⎭⎭⎭该方程表示单叶双曲面，其草图如图5-1；图5-1(2)方程可写成如下的标准形式： 2222221555433x y z --=⎫⎫⎫⎛⎛⎛ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎝⎝⎭⎭⎭该方程表示双叶双曲面，其草图如图5-2；图5-2(3)方程可写成如下的标准形式：222222y z x =+该方程表示椭圆抛物面，其草图如图5-3；图5-3(4)方程可写成如下的标准形式：22222(1)(2)(3)1x yz--+=-⎝⎭该方程表示椭圆锥面，它是由标准椭圆锥面222221x yz+=⎝⎭的图形平移到使锥面的顶点为(1,2,3)时得到的．其草图如图5-４；图5-４7.一动点M到平面01=-x的距离等于它与x轴距离的两倍，又点M到(0,1,2)A-的距离为1，求动点M的轨迹方程．解设点M的坐标为),,(zyx，则M到平面01=-x的距离为1-x．到x轴的距离为|1|x-=，即)(4)1(222zyx+=-，又M到)2,1,0(-A的距离为l，即22221)2()1(=-+++zyx∴动点M的轨迹方程满足：⎩⎨⎧=-++++=-1)2()1()(4)1(222222zyxzyx注此类问题常用到距离公式及向量代数的工具．由所给条件确定动点的坐标所满足的约束方程，如方程是一个，则轨迹为曲面；如方程有两个，则轨迹为曲线．另外，也可以设定参数求动点的轨迹方程．若参数有两个，则轨迹为曲面；若参数只有一个，则轨迹是曲线．8.求二次曲面2222x zya c=-与三个坐标平面的交线．解求解空间曲面与坐标平面的交线，只须将已知曲面方程与坐标平面方程联立．此二次曲面为双曲抛物面，它与xOy面的交线为⎪⎩⎪⎨⎧=-=2222yczaxy，即⎪⎩⎪⎨⎧==22zaxy．这是xOy面上的抛物线22axy=．曲面与zOx面的交线为⎪⎩⎪⎨⎧=-=2222yczaxy，即⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛-yczaxczax．这说明曲面与zOx 面的交线是zOx 面上的两条相交直线x a c z =和x acz -=． 曲面与yOz 面的交线为22220x z xy a c y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，即⎪⎩⎪⎨⎧=-=022x c z y ． 这是yOz 面上的抛物线．9.一平面与原点的距离为6 ，且在三坐标轴上的截距之比::1:3:2a b c =，求该平面方程．解 因为截距之比为 ::1:3:2a b c =，故可设截距 a t =，3b t =，2c t =，则平面方程可设为 132x y zt t t++=．此平面与原点的距离：6d ==解得 7t =±，则所求平面的方程为： 172114x y z++=±即 62342x y z ++±=10.设直线l 过点0(1,1,1)P ，并且与直线1l ：23y zx ==相交，与直线2l ：123214x y z ---==垂直，试求直线l 的方程 解 直线2l 的方向向量为2(2,1,4)s =，过0(1,1,1)P 以2s 为法向量的平面方程为： π：2(1)(1)4(1)0x y z -+-+-=由题意知，所求直线l 在平面π上．因直线1l 与直线l 相交，故1l 与平面π也相交，我们可求出1l 与π的交点．将1l 转化为参数式23x ty t z t=⎧⎪=⎨⎪=⎩，代入平面方程，得716t =．故交点1P 的坐标为7721,,16816⎫⎛ ⎪⎝⎭．由于直线l 过0(1,1,1)P 和17721,,16816P ⎫⎛ ⎪⎝⎭两点，其方向向量s 与01P P =925,,161616-⎫⎛- ⎪⎝⎭平行，可选择(9,2,5)=-s ．所以，直线l 的方程为111925x y z ---==- 11.判定下列各组平面与直线间的位置关系：（1）1l ：223273x y z -+-==--与π：4223x y z --=（2）2l ：121312x y z -++==与π：1x y z -+= 解 （1）1l 的方向向量(2,7,3)=--s ，π的法向量(4,2,2)=--n ．因为()()()()2472320⋅=-⨯+-⨯-+⨯-=s n所以1//l π．将直线1l 上的定点(2,2,3)P -，代入平面方程不满足，即P 点不在平面π上，因此直线平行于平面但不在平面上．（2）2l 的方向向量(3,1,2)=s ，π的法向量(1,1,1)-n =，因为()3111210⋅=⨯+⨯-+⨯≠s n ，且312111≠≠- 所以2l 与π既不平行也不垂直，故2l 与π斜交． （二）提高题1.设空间四边形ABCD 各边的中点依次为P 、Q 、R 、S ．证明： （1）四边形PQRS 是平行四边形；（2）四边形PQRS 的周长等于四边形ABCD 的两对角线的长度之和． 证 设在四边形ABCD 中，AC 、BD 为两条对角线．（1）在ABD ∆中，由中位线定理知，12PS BD =，同理，12QR BD =，PS QR ∴= 即 //PS QR 且PS QR = 故PQRS 是平行四边形．（2）分别在ABC ∆及DAC ∆中应用中位线定理，得12PQ AC SR ==同理，12PS QR BD ==PS SR QR PQ AC BD ∴+++=+即四边形PQRS 的周长等于四边形ABCD 的两条对角线的长度之和．2.已知a i =,2b j k =-,22c i j k =-+,求一单位向量m ,使m c ⊥,且m 与a ，b 共面．解 设所求向量{},,m x y z =,依题意,有1m = 即 2221x y z ++=由m c ⊥知，0m c ⋅= 即 022=+-z y x ， 由m 与a ,b 共面知，()[]abc a b c =⨯⋅=02210001=+=-z y zy x ． 以上三式联立，解得23x =,13y =,23z =-,或 23x =,13y =23z =-212,,333m ⎧⎫∴=±-⎨⎬⎩⎭．3.设{}1,1,1a =-,{}3,4,5b =-c a b λ=+，问λ取何值时，c 最小？并证明：当c 最小时，c b ⊥．解 2()()()()c c c a b a b a a a b b a b b λλλλλλ=⋅=+⋅+=⋅+⋅+⋅+⋅2222()b a b a λλ=+⋅+∴ 当2222()13(1)(4)1512650253(4)5a b bλ⋅⨯+-⨯-+⨯=-=-=-=-+-+时，c 最小．此时6()13(1)(4)1550025c b a b b a b b b λλ-⎛⎫⋅=+⋅=⋅+⋅=⨯+-⨯-+⨯+⨯= ⎪⎝⎭c b ∴⊥4.试用向量方法证明正弦定理：sin sin sin a b cA B C==． 【分析】 由于正弦定理涉及到三角形的边与它们的夹角，并且是夹角的正弦，这使我们容易想到涉及正弦运算的向量积．证 在ABC ∆中，()0AC CB AB +⨯=AC AB CB AB BC BA BA BC ∴⨯=-⨯=-⨯=⨯ 两边取向量的模，有sin sin AC AB b c A BA BC c a B ⨯=⋅⋅=⨯=⋅⋅由此得到sin sin a bA B =． 同理可得 sin sin b cB C=故在ABC ∆中，有sin sin sin a b cA B C==． 5.根据p ，q 的不同取值情况，说明二次曲面222z x py qz =++的类型． 解 (1)当0p q ==时，2z x =是抛物柱面．(2)当0q =，0p ≠时，若0p >，22z x py =+是椭圆抛物面；若0p <，22z x py =+是双曲抛物面．(3)当0p =，0q ≠时，若20q a =>，则方程可化为2221124x az a a ⎫⎛+-= ⎪⎝⎭是椭圆柱面；若20q a =-<，则方程可化为2221124az x a a ⎫⎛+-= ⎪⎝⎭是双曲柱面．(4)当0p q ⋅≠时，若20p a =>，20q b =>，方程可化为222221122x a y bz b b ⎫⎫⎛⎛++-= ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭是椭球面；若20p a =-<，20q b =-<，方程可化为222221122a y bz x b b ⎫⎫⎛⎛+--= ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭是单叶双曲面；若20p a =>，20q b =-<，方程可化为222221122x a y bz b b ⎫⎫⎛⎛+-+=- ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭是双叶双曲面；若20p a =-<，20q b =>，方程可化为222221122x a y bz b b ⎫⎫⎛⎛-+-= ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭是单叶双曲面．6.试求到球面1∑：222(4)9x y z -++=与2∑：222(1)(1)(1)4x y z +++++=的距离之比为3:2的点的轨迹，并指出曲面的类型．解 设所求的动点坐标为(,,)M x y z ，点M 到1∑的球心(4,0,0)的距离为1d =M 到2∑的球心(1,1,1)---的距离为：2d =则点M 到1∑的球面距离为133d -，点M 到2∑的球面距离为222d -=．由已知123322d d -=-，得1223d d =．两边平方，得 2222224(4)9(1)(1)(1)x y z x y z ⎡⎤⎡⎤-++=+++++⎣⎦⎣⎦化简，得 ()222550189370x y z x y z +++++-=．这是一个球面方程． 7.求直线01x y zβα-==绕z 轴旋转而成的曲面的方程，并按,αβ的值讨论它是什么曲面．【分析】 此类问题，应先将所给的曲线方程化为参数方程，再根据旋转轴来求解．解 直线的参数方程为x t y z t αβ=⎧⎪=⎨⎪=⎩，绕z 轴旋转而成的曲面的方程为22222x y t z tαβ⎧+=+⎪⎨=⎪⎩，消去t ，得22222x y z αβ+-=．当0α=，0β≠时，222x y β+=为圆柱面；当0α≠，0β=时，22221()z x y α=+为圆锥面；当0α≠，0β≠时，22222x y z αβ+-=为旋转单叶双曲面．8.求曲线C ：2220x y zx y z ⎧=+⎪⎨+-=⎪⎩在三个坐标平面上的投影曲线方程．【分析】 从空间曲线C 的方程2220x y zx y z ⎧=+⎪⎨+-=⎪⎩中分别消去x ，y ，z 即可得曲线C 在三个坐标面上的投影柱面方程．再与坐标面方程联立方程组，即得投影曲线方程．解 在⎩⎨⎧=-++=0222z y x z y x 中，消去x ，得0222=-++z y z y这是曲线C 向yOz 平面的投影柱面．此投影柱面与yOz 面的交线即为曲线C 在yOz 面上的投影曲线，故⎩⎨⎧==-++0222x z y z y 即为所求．同理，消去y 可得曲线C 向zOx 面的投影曲线()⎪⎩⎪⎨⎧=+-=04122y z x z x ． 消去z 可得曲线C 向xOy 面的投影曲线()⎪⎩⎪⎨⎧=++=0222x y x y x ． 9.求与平面632120x y z +++=平行，而使点(0,2,1)-与这两平面的距离相等的平面方程．解 由题意，所求平面方程可设为 6320x y z D +++=由点(0,2,1)-到这两个平面的距离相等，即=得 416D +=所以 12D =或20D =- 从而所求平面的方程为：632120x y z +++=（与已知平面重合）或632200x y z ++-=.10．求通过直线50:40x y z l x z ++=⎧⎨-+=⎩且与平面π：48120x y z --+=成045角的平面方程.解 设过直线l 的平面束方程为 5(4)0x y z x z λ+++-+=整理得：(1)5(1)40x y z λλλ+++-+=在平面束中确定所求平面，使其与已知平面π成045角，故cos 4π==所以 34λ=-故所求平面为 20712x y z ++-=值得注意的是，平面束中未包含平面40x z -+=，此平面与已知平面π的夹角为cos θ==因此，该平面与π的夹角045θ=，亦为所求．所以，所求平面为207120x y z ++-=和40x z -+=．11.设平面方程为1x y za b c++=，证明：（1）22221111d a b c=++（其中d 为原点到平面的距离）；（2）平面被三坐标面所截得的三角形面积为A =证（1）平面的一般式为：11110x y z a b c++-=，所以，原点到平面的距离为d ==从而 22221111d a b c =++ （2）方法1 平面与x 轴、y 轴、z 轴的交点分别为：(,0,0)P a ，(0,,0)Q b ，(0,0,)R c 则(,,0)PQ a b =-，(,0,)PR a c =- 0(,,)0PQ PR a b bc ac ab a c⨯=-=-i j k所以 22112A PQ PR =⨯=方法2 平面与三坐标面所围的体积为1163V abc Ad ==所以11122A abc abc d =⋅==12.求过点0(2,2,4)M =，且与两个平面1π，2π都平行的直线方程，其中 1π：210x y z +--=，2π：210x y z +-+=解 设直线的方向向量为s ，根据题设条件知，s 与1π和2π的法向量都垂直，可取112(3,1,1)121=-=--i j ks所求直线方程为 24311x y z --==- 13.求与已知直线1l ：35211x y z +-==和2l ：31141x y z-+==都相交，且与3l ：213321x y z +--==平行的直线方程． 分析：所求直线l 的方向向量为(3,2,1)=s ，只要在l 上找到一个定点P ，即可使问题获解.最好选择l 与1l 或2l 的交点．解 将1l 和2l 化为参数方程：1l ： 235x t y t z t =-⎧⎪=+⎨⎪=⎩ 2l ：341x t y t z t =+⎧⎪=-⎨⎪=⎩设l 与1l 和2l 的交点分别对应参数1t 和2t ，则知交点分别为111(23,5,)P t t t -+，222(3,41,)Q t t t +-，由于//PQ s ，故()()()()121212233541321t t t t t t --++---==整理成方程组12122626t t t t -=-⎧⎨+=⎩，解得10t =．所以，P 的坐标为(3,5,0)-．故所求直线方程为：35321x y z+-==14.设矩阵111222333a b c a b c a b c ⎫⎛⎪ ⎪ ⎪⎝⎭是满秩的，则直线333122121x a y b z c a a b b c c ---==--- （ ） A.相交于一点 B.重合 C.平行但不重合 D.异面 【分析】 记111(,,)A a b c =，222(,,)B a b c =，333(,,)C a b c =由于矩阵111222333a b c a b c a b c ⎫⎛⎪⎪ ⎪⎝⎭满秩，所以A 、B 、C 三点不共线．第一条直线过点C 且平行于AB ，第二条直线过点A 且平行于BC ，故两条直线相交． 所以，正确答案为（A ）．15.求两条直线：250240x y y z ++=⎧⎨--=⎩，2l ：0240y x z =⎧⎨++=⎩的公垂线方程．【分析】 公垂线l 既在由1l 与l 确定的平面1π上，又在由2l 与l 确定的平面2π上，因此1π和2π的交线即为公垂线解 为求1π的平面方程，可在1l 上选取一个定点，如(5,0,4)A -，至于1π的法向量可作如下考虑：若直线1l 的方向向量为1s ，直线2l 的方向向量为2s ，则公垂线方向为2⨯1s =s s ，那么，由1l 与所确定的平面1π，其法向量为1⨯1n =s s ．(1,2,0)(0,2,1)(2,1,2)=⨯-=-1s (0,1,0)(1,0,2)(2,0,1)=⨯=-2s2212(1,2,2)201⨯=-=---1i j ks =s s11122(6,6,3)3(2,2,1)212⨯=--==-i j kn =s s所以1π的方程为：2(5)2(4)0x y z ++++= 即 22140x y z +++=． 同理，在2l 上选取一个定点(0,0,2)B -，又2π的法向量为 22122(2,5,4)201⨯=--=----i j kn =s s从而得平面2π的方程为 25480x y z +++= 故所求公垂线的方程为 2214025480x y z x y z +++=⎧⎨+++=⎩16.求直线l ：11111x y z --==-在平面π：210x y z -+-=上的投影直线0l 的方程，并确定0l 绕y 轴旋转一周的旋转面方程．解 首先求出l 在平面π上的投影直线0l ，0l 位于过l 且与π垂直的平面1π上．1π的法向量1n 与π的法向量n 垂直，且与l 的方向向量s 垂直，故1112(1,3,2)111⨯=-=--i j kn =n s所以1π的方程为(1)32(1)0x y z --++-=，即3210x y z --+=． 由于0l 位于平面π上，因此得其一般式方程2103210x y z x y z -+-=⎧⎨--+=⎩下面求直线0l 绕y 轴旋转的旋转曲面方程，将0l 化为参数方程形式21(1)2x t y t z t ⎧⎪=⎪=⎨⎪⎪=--⎩ 旋转面方程应满足22221(2)(1)4x z t y t R y t ⎧+=+-⎪∈⎨⎪=⎩消去参数，得旋转面一般方程222214(1)4x z y y +=+-通过配方可进一步化为222217144()41717x z y y +=+-+，即 222221717117()141744x y z +-+= 此曲面为单叶双曲面．四、测试题 1．填空题：（1）若向量a 与b 之间的夹角为23π，且3a =，5b =，则a b += ，a b -= ； （2）已知{}3,1,2a ={}1,2,3b =-，则(2)a b ⨯= ； （3）已知向量{},5,1a m =-和{}3,1,b n =共线，则m = ，n = ；（4）直线1L ：123231x y z -+-==-与直线2L ：1123x y z +==的夹角ϕ= ； （5）直线11236x y z-+==与平面2230x y z +--=的夹角ϕ= ；（6）曲线22241x y z zz ⎧++=⎪⎨=⎪⎩在xOy 平面的投影曲线的方程是 ；（7）已知2a =，5b =，2,3a b π∧⎛⎫= ⎪⎝⎭，且向量17a b αλ=+与3a b β=-垂直，则λ= ；（8）已知α,β,γ都是单位向量，且满足0αβγ++=， 则αββγγα⋅+⋅+⋅= ．2．选择题：（1）设a ，b 为非零向量，且a b ⊥，则必有（ ）. A ．a b a b +=+ B ．a b a b +=- C ．a b a b +=- D ．a b a b +=- （2）a ba b +-成立的的是（ ）.A ．2a b π∧⎛⎫< ⎪⎝⎭，B ．2a b π∧⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．2a b π∧⎛⎫= ⎪⎝⎭，D ．a b ∧⎛⎫⎪⎝⎭，任意 （3）下列说法正确的是（ ）.A ．2i j >B ．a b a b +=-C ．i j k ++不是单位向量D ．i -不是单位向量 （4）设三向量a ，b ,c 满足关系：a b c ++，则a b ⨯=（ ）. A ．c b ⨯ B ．2b bc +⨯C ．0 D. b c ⨯（5）已知有向直线L 与向量{}2,2,1a =-平行，则下列各组数中不能作为L 的方向数的是（ ）.A ．{}2,2,1--B ．{}1,1,2-C ．221,,333⎧⎫-⎨⎬⎩⎭D ．22,,333πππ⎧⎫--⎨⎬⎩⎭（6）设有直线L :321021030x y z x y z +++=⎧⎨--+=⎩及平面π:4220x y z -+-=，则直线L （ ）.A ．平行于πB ．在π上C ．垂直于πD ．与π斜交（7）已知直线L 的方程为1111222200A x B y C z D A x B y C z D +++=⎧⎨+++=⎩，其中所有系数均不为零，如果1212A A D D =，则直线L （ ）. Ａ．平行于x 轴B ．与x 轴相交 Ｃ．通过原点 Ｄ．与x 轴重合（8）给定四点1(1,1,1)M ，2(2,3,4)M ，3(3,6,10)M ，4(4,10,20)M ，则四面体1234M M M M 的体积为（ ）.A ．1B ．13C ．12D ．16（9）螺旋线cos sin x a y a z b θθθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩上任一点处的切线与Oz 轴的夹角为（ ）.A． B．C． D．（10）下列方程中，其图形是旋转曲面的是（ ）A ．22214y x z +-= B ．2224x y += C ．22212y x z -+= D ．222123y z x ++= 3．计算题：（1）已知向量a 与三个坐标轴正向构成相等的锐角，且23=a ，若a 的终点坐标为()4,3,5-，求a 的起点坐标．（2）求一平面，它平行于向量{}2,1,1l=-，且在x轴，y轴上的截距分别是3a=，2b=-．（3）已知平面通过直线L：23303210x y zx y z-+-=⎧⎨+++=⎩且在x轴上的截距为２，求此平面方程．(4)在直线210x y zx y z++=⎧⎨+--=⎩上求一点，使其到两平面210x y z+++=和230x y z++-=的距离相等．（5）求通过点()03,1,2P -且与直线L ：1021103x y z -+-==-垂直相交的直线方程．（6）求曲线240x z y ⎧=⎪⎨⎪=⎩绕z 轴旋转所形成的旋转曲面的方程，并求此曲面与平面1z =的交线在xOy 平面投影曲线的方程．（7）设,,,A B C D 是空间不共面的四点，且2=-AB a c ，3=+BC b c ，568=+-CD a b c （a ，b ，c 是不共面的向量），求连接四角形ABCD 两对角线中点的向量．（8）求通过点()2,0,0-和()0,2,0-且与锥面222x y z +=的交线为抛物线的平面方程．4．证明题：（1）证明三平面230x y z +-+=，3210x y z -++=，23320x y z -+-=共线． （2）若三向量p ，q ，r 不共面，求证：23+p q ，35-q r ，25+p r 必共面．- 21 -第五章测试题参考答案1．填空题：（17； （2）{}14,22,10-；（3）15m =，15n =-；（4）1arccos 14ϕ=；（5）5arcsin 21ϕ=；（6）2230x y z ⎧+=⎪⎨=⎪⎩；（7）40λ=；（8）32⋅+⋅+⋅=-αββγγα．2．选择题：（1）B ；（2）A ；（3）C ；（4）D ；（5）B ；（6）C ；（7）B ；（8）A ；（9）B ；（10）C ． 3．计算题：（1）解 cos cos cos 0αβγ==>，又222cos cos cos 1αβγ++=，故cos α=．设a 的起点坐标为000(,,)x y z ，于是，04c o32x a α-===，03cos 2y a β--===，05cos 2z a γ-===，解得02x =，05y =-，03z =，故a 的起点坐标为(2,5,3)-．（2）解 可设平面方程为132x y z c -+=，因此，所求平面的法向量为111,,32a c ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭．又所求平面与向量l 平行，即n l ⊥，所以0n l ⋅=，即1112()1(1)032c⋅+-⋅+⋅-=，解得6c =，于是所求平面方程为1326x y z-+=，即2360x y z -+-=．（3）解 用平面束方程求解．()2333210x y z x y z λ-+-++++=，整理得()()()()2331230x y z λλλλ++-+++-=，以点()2,0,0代入，得310λ+=，即13λ=-．故所求的平面方程为()123332103x y z x y z -+--+++=，即512100x y z -+-=． (4)解 已给直线可写成对称式方程：211321x y z -++==-，再写成参数式：32211x t y t z t =-+⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，将其代入两平面的法式方程即为距离：- 22 -=，即224t t =-，解得1t =，故所求的点为1x =-，1y =，0z =即所求点的坐标为)1,1,0-．（5）解 过点P 与直线L 垂直的平面方程为()()3320x z --+-=，即330x z -+=．令1021103x y z t -+-===-，得直线的参数方程为1013x ty z z t=-⎧⎪=-⎨⎪=+⎩，代入方程330x z -+=，得1t =，于是求得平面330x z -+=与已知直线L 的交点为()19,2,4P -，连接01,PP 的直线即为所求直线．由于{}016,1,2P P =-，故所求直线的方程为312612x y z -+-==-． （6）解 所求旋转曲面的方程为224x y z +=．此曲面与1z =的交线为2241x y z z ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，消去z 得2214x y +=，即224x y +=，旋转曲面与1z =的交线在xOy 平面投影曲线的方程为2240x y z ⎧+=⎪⎨=⎪⎩．（7）解 设AC 的中点为E ，BD 的中点为F ，所求向量为EF DF DE =-()1122DB DA DC =-+()()1122CB CD DA DC =--+ 因为AB BC CD DA +++=0，故()DA AB BC CD =-++()23568=--++++-a c b c a b c ()699=-+-a b c 699=--+a b c所以()()1122EF CB CD DA DC =--+ ()12CB DA =- ()136992=--++-b c a b c 335=+-a b c ．（8）解 设所求的平面方程为0Ax By Cz D +++=，则()()201202A D B D -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，另一方面，由圆锥线的性质可知，和锥面交成抛物线的平面与锥面的一条母线是平行的，而已知锥面是圆锥面，所以锥面上任一条母线与xOy 坐标面都成定角4π，故所求平面与xOy 面也成定- 23 -角4π=2220A B C +-=()3．由式()1，()2，()3解得：12A D =，12B D =，C =，于是所求的平面方程为20x y +++=与20x y ++=．4.证明题：（1）证 考虑如下方程组的求解230321023320x y z x y z x y z +-+=⎧⎪-++=⎨⎪-+-=⎩．在方程组中令0x =，有解73y =-，53z =-；在方程组中令0y =，有解75x =-，85z =．故1750,,33P ⎛⎫--⎪⎝⎭和278,0,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭同时在三个平面上，于是12P P 的连线也在三个平面上，从而说明题中的三面共线．（2）证 考虑 ()()()233525+⨯-⋅+⎡⎤⎣⎦p q q r p r[]()61091525=⨯-⨯+⨯-⨯⋅+p q p r q q q r p r ()()3030=-⨯⋅+⨯⋅q r p p q r0=故23+p q ，35-q r ，25+p r 是共面的．。