动能定理的应用

【知识点讲解】 动能定理(人教K)在得到动能的表达式后，21222121mv mv W -=可以写成12k k E E W -=(2) 其中2k E 表示一个过程的末动能2221mv ，1k E 表示这个过程的初动能2121mv 这个关系表明，力在一个过程中对物体所做的功，等于物体在这个过程中动能的变化.这个结论叫做动能定理(theorem of kinetic energy).如果物体受到几个力的共同作用，动能定理中的W 即为合力做的功，它等于各个力做功的代数和.例如，一架飞机在牵引力和阻力的共同作用下，在跑道上加速运动，速度越来越大，动能就越来越大.牵引力和阻力的合力做了多少功，飞机的动能就增加多少.本书中，动能定理是在物体受恒力作用，并且做直线运动的情况下得到的.当物体受变力作用，或做曲线运动时，我们仍可采用过去的方法，把过程分解成许多小段，认为物体在每小段运动中受到的是恒力，运动的轨迹是直线，这样也能得到动能定理. 正因为动能定理适用于变力做功和曲线运动的情况，所以在解决一些实际的力学问题时，它得到了广泛的应用.(人教J) (2)动能定理动能定理是一条适用范围很广的物理定理，但教材在推导这一定理时，由一个恒力做功使物体的动能变化，得出力在一个过程中所做的功等于物体在这个过程中动能的变化．然后逐步扩大几个力做功和变力做功及物体做曲线运动的情况．这个梯度是很大的．为了帮助学生真正理解动能定理，教师可以设置一些具体的问题，让学生寻找物体动能的变化与哪些力做功相对应．例如：第一种情况：置于光滑水平面上的1 kg 的物体，在水平拉力作用下匀加速前进，水平拉力F=2 N ，物体在该力作用下运动了2 m ． 第二种情况：置于粗糙水平面上的1 kg 的物体，在水平拉力作用下匀加速前进，水平拉力F=2 N ，动摩擦因数为0．4，物体在该力作用下运动了2 m ．在这两种情况下，请学生计算：拉力做的功摩擦力做的功合力做的功物体动能的变化第一种情况 第二种情况教师还可以设置更复杂的情景，在多种情况下由学生归纳总结出，合力在一个过程中所做的功，等于物体在这个过程中动能的变化． 然后再扩展到，如果是变力做功，物体又做曲线运动，我们就可以把力对物体做功的路径，分解成许多小段，认为物体在每小段运动中受到的力是恒力，运动的轨迹是直线．①合力的功：教材在“功”一节中的“做一做”栏目中，已经证明了“几个力对一个物体做功的代数和，等于这几个力的合力对这物体所做的功”．所以在使用动能定理时，可以先求出物体所受的合力，再求出合力的功；也可以先求出各个力做的功，再求出功的代数和，这二者是相同的．②动能的变化：动能只有正值，没有负值．但动能的变化却有正有负．在这里可引导学生回顾学习加速度时，求速度的变化，“变化”是指末状态的物理量减去初状态的物理量，而不是大的减小的．动能的变化量为正值，表示物体的动能增加了；动能的变化量为负值，表示物体的动能减少了．③动能定理的应用：为了让学生体会到应用动能定理的优点，教师一定要用好教材中的两道例题，让学生先试着用牛顿运动定律和运动学公式去做，然后用动能定理去做，比较两种方法的优劣，使他们感受到：在不涉及运动加速度和运动时间时，利用动能定理解决力学问题更简捷．（鲁科K ）运用牛顿第二定律和匀变速运动的规律，可以推导出恒力对物体做功与物体动能改变的关系。

设一个物体的质量为m ，初速度为νl ，在与运动方向相同的合外力F 的作用下发生一段位移s ，速度增加到ν2(图2-7)。

根据牛顿第二定律F=ma和匀变速运动的规律 as 22122νν-=可得 21222121ννm m Fs -=用W 表示合外力9在这一过程中所做的功，用E k1，表示物体的初动能专2121νm ，用E k2表示物体的末动能，于是有2221νmW=E k2-E k1上式表明，合外力对物体所做的功等于物体动能的改变。

这个结论就叫做动能定理(theorem of kinetic energy)。

从式中可以看出，当合外力对物体做正功时，末动能大于初动能，物体的动能增大。

例如，在汽车起动的过程中，牵引力对汽车做正功，汽车的动能增大。

当合外力对物体做负功，或者说物体克服合外力做功时，末动能小于初动能，物体的动能减小。

例如，在汽车刹车的过程中，摩擦阻力对汽车做负功，汽车的动能减小(图2-8)。

可见，我们可以用外力做功的多少来量度物体动能的改变量。

（鲁科J ）本节第三部分是通过理论推导得出动能定理，并通过实例来展示动能定理的应用。

这一部分内容建议让学生自行推导。

需要指出的是：(1)动能定理中的W 表示合力做的功或各分力所做的功的代数和；(2)动能定理也适用于变力做功。

（鲁科K ）拓展一步（鲁科K ）上述动能定理的公式是在物体受到恒定合外力作用，而且是做直线运动的条件下得出的。

可以证明，当外力是变力或物体做曲线运动时，该公式也是成立的。

因此，我们可以通过计算物体动能的变化，很方便地求出合外力所做的功。

这种方法在解决有关力学问题时经常用到。

(人教J)动能定理的探究探究功与物体速度变化的关系，是企图通过实验，利用已经从个案中有所领悟的功能关系，探究另一种能量——动能的表达式．因为动能与速度相关是动能的基本特征，而这一点已在第一节中就明确了．但是，这一实验探究最多只能得到E k 与物体的2v 成正比，并不能得出E k 的表达式，因此功与速度变化关系的测量只是达到目的的一个桥梁．实验并不可能解决一切问题，因此有必要将前述探究的思路转换成一个理论性研究课题，即质量为m 的物体，在恒力F 的作用下发生了一段位移l ，并且速度由1v 变为2v ，试研究在这一过程中，力对物体的功与物体速度变化的关系． 从研究结果22211122W mv mv =-中可以看出：第一，式中的212mv 与v 相关，因而与动能E k 相关，且与2v 成正比也与上面的探究相一致；第二，始末两态的212mv 之差与力的功W 相等，因而与前面个案研究相一致，即功是它的变化的量度．至此，我们可以定义212E mv =k ,并且得到W E E =-k2k1.(沪科K)合力做功与动能变化(沪科K)由动能增量计算变力做功有些问题用牛顿定律与运动学知识是很难解决的，但用动能定理却可以很方便地解决。

我们知道，当变力对物体做功时，很难根据功的公式W=Fs 求出功，但根据功与动能变化的关系就可以方便地求出功。

案例用质量为40ke 的铁锤．以50m/s 的速度打击放在铁砧上的烧红的铁块，击中铁块后锤即静止。

求铁锤对铁块做了多少功。

(沪科J)运用功能定理解决问题的步骤应该是：分析问题，包括明确相关运动的变化过程；运用动能定理处理并得到结论；解释所得结论的物 理意义。

(沪科J)从以上三个案例可以看出：牛顿定律解决的是瞬时问题，处理一些状态量之间的关系比较方便。

动能定理将状态量的变化与过程相联系，在不需关注具体过程的情况下是比较方便的。

【生活应用】 【课本习题】 (沪科K)家庭作业与活动1．(沪科K)某人用手将lLs 物体山静止向上提起1m ，这时物体的速度为2m/s ．取g=10m/s 2，下列说法中正确的是 （A 、B ） A.对物体做功12J B ．合外力做功2J C.合外力做功12J D ．物体克服重力做功lOJ2 (沪科K).质量为m 的物体静止在粗糙的水平面上．当此物体受水平力F 作用运动了距离s 时，其动能为E ，而当此物体受水平力2F 作用运动了相同的距离时．其动能为E ：，则 （C ）A.12E E =B. 122E E =C. 122E E >D. 1212E E E <<3 (沪科K) 汽车在平直的公路上由静止开始做匀加速运动，当速度达到1v 后立即关闭发动机让其滑行，直至停止。

其v-t ，图像如图3—lO 所示，设在运动的全过程中汽车的牵引力做功1W ，克服摩擦力做功2W ．那么1W ：2W 是多少?第一阶段 12121121mv E W W k =∆=- （1） 第二阶段2122221mv E W k =∆= （2） ,)2()1(,22212式式和根据W W W +=可得1:21=W W(人教K)问题与练习1．(人教K)改变汽车的质量和速度，都可能使汽车的动能发生改变，在下列几种情况下，汽车的动能各是原来的几倍？ a ．质量不变，速度增大到原来的2倍. b.速度不变，质量增大到原来的2倍. c ．质量减半，速度增大到原来的4倍. d.速度减半，质量增大到原来的4倍.(人教J)1．答：a ．动能是原来的4倍． b ．动能是原来的2倍． c ．动能是原来的8倍． d ．动能不变．2. (人教K)把一辆汽车的速度从10km/h 加速到20km/h ，或者把这辆汽车的速度从50km/h 加速到60km/h ，哪种情况做的功比较多？说明理由.(人教J)2．解：由动能定理22211()2W E E v v =-=-k2k1可知，在题目所述的两种情况下，2221()v v -较大的，需要做的功较多． 速度由10 km ／h 加速到20 km ／h 的情况下：222221()(2010)(300(v v -=-=22km/s)km/s)速度由50 km ／h 加快到60 km ／h 情况下：222221()(6050)(1100(v v -=-=22km/s)km/s)可见，后一种情况所做的功比较多．3. (人教K)量是2g 的子弹，以300m/s 的速度射入厚度是5cm 的木板(图5.7-4)，射穿后的速度是100m/s.子弹射穿木板的过程中受到的平均阻力是多大？你对题目中所说的“平均”一词有什么认识？(人教J)3．解：设平均阻力为f ，根据动能定理22211()2W m v v =-,有 22211cos180()2fs m v v ︒=- 322223122210()(300100)1022510m f v v s --⨯=-=-⨯⨯⨯N=1.6N 子弹在木板中运动5 cm 时，所受木板的阻力各处不同，题目所说的平均阻力是对这5 cm 说的．1.(人教K)我们在第四章曾用牛顿定律解答过一个问题：民航客机机舱紧急出口的气囊是一条连接出口与地面的斜面，若斜面高3.2m ，斜面长4.0m ，质量60kg 的人沿斜面滑下时所受的阻力是240N ，求人滑至底端时的速度.请用动能定理解答本题.(人教J)4．解：人在下滑过程中，重力和阻力做功，设人受到的阻力为f ，根据动能定理W E =∆k ，2102G f t W W mv +=- 212t mgh fs mv -=解方程得： 42 5.66t v =≈m/s m/s2.(人教K)质量是500g 的足球被踢出后，某人观察它在空中的飞行情况，估计上升的最大高度是10m ，在最高点的速度为20m/s.根据这个估计，计算运动员踢球时对足球做的功.(人教J)．解：设人将足球踢出的过程中，人对球做的功为W ，根据动能定理可从人踢球到球上升至最大高度的过程中：2102G t W W mv +=-即212t mgh W mv -+= 210.52010102W =⨯⨯⨯⨯J+0.5J=150J 【基础例题】(人教K)例题1 一架喷气式飞机，质量kg m 3100.5⨯=，起飞过程中从静止开始滑跑.当位移达到m l 2103.5⨯=时，速度达到起飞速度v=60m/s.在此过程中飞机受到的平均阻力是飞机重量的0.02倍.求飞机受到的牵引力.分析 滑跑过程中牵引力与阻力的合力对飞机做功.本题已知飞机滑跑过程的始末速度，因而能够知道它在滑跑过程中增加的动能，故可应用动能定理求出合力做的功，进而求出合力、牵引力.解 飞机的初动能01=k E ，末动能22221mv E k =；合力F 做的功W=Fl. 根据动能定理，有0212-=mv Fl 合力F 为牵引力牵F 与阻力阻F 之差，而阻力与重量的关系为)02.0(==k kmg F 其中阻，所以 F=牵F -kmg 代入上式后解出kmg lmv F +=22牵把数值代入后得到N F 4108.1⨯=牵. 飞机所受的牵引力是N 4108.1⨯.从这个例题可以看出，动能定理不涉及物体运动过程中的加速度和时间，因此用它处理问题有时比较方便.在应用动能定理时还应注意到，外力所做的功可正可负.如果外力做正功，物体的动能增加；外力做负功，物体的动能减少. 飞机滑行时除了地面阻力外，还受到空气阻力，后者随速度的增力D 而增加.本题说“平均阻力是飞机重量的0.02倍 ，只是一种粗略的估算(人教K)例题2 一辆质量为m 、速度为0v 的汽车在关闭发动机后于水平地面滑行了距离l 后停了下来(图5.7-3).试求汽车受到的阻力. 分析 我们讨论的是汽车从关闭发动机到静止的运动过程.这个过程的初动能、末动能都可求出，因而应用动能定理可以知道阻力做的功，进而可以求出汽车受到的阻力.解 汽车的初动能、末动能分别为2021mv 和0，阻力阻F 做的功为-阻F l.应用动能定理，有-阻F l=0-2021mv 由此解出l mv F 220=阻汽车在这段运动中受到的阻力是lmv 220.汽车实际上受到的阻力阻F 是变化的.这里以阻F l 表示阻力做的功，求出的阻F 是汽车在这段距离中受到的平均阻力. 能不能用牛顿运动定律解决这个问题？试一试. (沪科K)案例分析(沪科K)案例 汽车的制动性能，是衡量汽车性能的重要指标-在一次汽车制动性能的测试中，司机踩下刹车闸，使汽车在阻力作用下逐渐停止运动(图3—8)，下表中记录的是汽车在不同速率行驶时，制动后所经过的距离。