最新北师大版初中九年级数学上册4.5相似三角形判定定理的证明2重点习题

*4.5相似三角形判定定理的证明同步练习1.会证明相似三角形判定定理；（重点）2.运用相似三角形的判定定理解决相关问题.（难点）一、情景导入相似三角形的判定方法有哪些？答：（1）两角对应相等，两三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；（3）三边对应成比例，两三角形相似.怎样证明这些结论呢？二、合作探究探究点：相似三角形的判定定理【类型一】根据条件判定三角形相似如图所示，给出以下条件：①∠B＝∠ACD；②∠ADC＝∠ACB；③ACCD＝ABBC；④AC2＝AD·AB.其中能单独判定△ABC∽△ACD的个数为（）A.1B.2C.3D.4解析：在图中已知两个三角形有一对公共角，只要再找一对角相等，或夹公共角的两组对应边成比例即可判定两个三角形相似.题中有三个条件可以单独判定△ABC∽△ACD，分别是①②④.①②是根据有两组角分别对应相等的两个三角形相似来判定的；④是根据两组对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似来判定；③虽然两边对应成比例，但不能得到其夹角相等，所以不能判定两个三角形相似.故选C.方法总结：利用两边分别对应成比例且夹角相等的方法判定两个三角形相似时，一定要注意必须是对应成比例的两边的夹角相等，若不是夹角相等，则不能判定这两个三角形相似.【类型二】探索三角形相似的条件如图，已知AB ⊥BD ，CD ⊥BD .（1）若AB ＝9，CD ＝4，BD ＝10，请问在BD 上是否存在点P ，使以P 、A 、B 三点为顶点的三角形与以P 、C 、D 三点为顶点的三角形相似？若存在，求BP 的长；若不存在，请说明理由；（2）若AB ＝9，CD ＝4，BD ＝12，请问在BD 上存在多少个点P ，使以P 、A 、B 三点为顶点的三角形与以P 、C 、D 三点为顶点的三角形相似？并求BP 的长；（3）若AB ＝9，CD ＝4，BD ＝15，请问在BD 上存在多少个点P ，使以P 、A 、B 三点为顶点的三角形与以P 、C 、D 三点为顶点的三角形相似？并求BP 的长；（4）若AB ＝m ，CD ＝n ，BD ＝l ，请问在m 、n 、l 满足什么关系时，存在以P 、A 、B 三点为顶点的三角形与以P 、C 、D 三点为顶点的三角形相似的一个点P ？两个点P ？三个点P ？解：（1）设BP ＝x ，则DP ＝10－x .若△ABP ∽△CDP ，则AB CD ＝BP DP ，即94＝x 10－x ，解得x ＝9013；若△ABP ∽△PDC ，则ABPD ＝BP CD ，即910－x ＝x4，此时方程无解. 综上，存在这样的点P ，此时BP ＝9013；（2）设BP ＝x ，则DP ＝12－x .若△ABP ∽△CDP ，则AB CD ＝BP DP ，即94＝x 12－x ，解得x ＝10813；若△ABP ∽△PDC ，则ABPD ＝BP CD ，即912－x ＝x4，解得x ＝6. 综上所述，存在两个这样的点P ，此时BP ＝6或10813；（3）设BP ＝x ，则DP ＝15－x .若△ABP ∽△CDP ，则AB CD ＝BP DP ，即94＝x 15－x ，解得x ＝13513；若△ABP ∽△PDC ，则ABPD ＝BP CD ，即915－x ＝x4，解得x ＝3或12. 综上所述，存在三个这样的点，此时BP ＝13513，3或12；（4）设BP ＝x ，则DP ＝l －x .若△ABP ∽△CDP ，则AB CD ＝BP DP ，即m n ＝x l －x ，解得x ＝ml m ＋n ；若△ABP ∽△PDC ，则ABPD ＝BP CD ，即m l －x ＝xn，得方程x 2－lx ＋mn ＝0，Δ＝l 2－4mn . 当Δ＝l 2－4mn ＜0时，存在以P 、A 、B 三点为顶点的三角形与以P 、C 、D 三点为顶点的三角形相似的一个点P ；当Δ＝l 2－4mn ＝0时，存在以P 、A 、B 三点为顶点的三角形与以P 、C 、D 三点为顶点的三角形相似的两个点P ；当Δ＝l 2－4mn ＞0时，存在以P 、A 、B 三点为顶点的三角形与以P 、C 、D 三点为顶点的三角形相似的三个点P .方法总结：由于相似情况不明确，因此要分两种情况讨论，注意要找准对应边.三、板书设计相似三角形判定定理的证明⎩⎪⎨⎪⎧判定定理1判定定理2判定定理3本课主要是证明相似三角形判定定理，以学生的自主探究为主，鼓励学生独立思考，多角度分析解决问题，总结常见的辅助线添加方法，使学生的推理能力和几何思维都获得提高，培养学生的探索精神和合作意识.4.5 相似三角形判定定理的证明【学习目标】1．了解相似三角形判定定理的证明过程，知道构造全等三角形是一种有效的证明方法． 2．进一步掌握相似三角形的三个判定定理． 【学习重点】掌握相似三角形的三个判定定理． 【学习难点】通过已有的知识储备，相似三角形的定义以及构造三角形全等的方法完成证明过程．情景导入 生成问题我们已经学习过相似三角形的判定定理有哪些？你能证明它们一定成立吗？答：相似三角形的判定定理有：(1)两角分别相等的两个三角形相似；(2)两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；(3)三边成比例的两个三角形相似．自学互研 生成能力知识模块一 相似三角形判定定理的证明先阅读教材P 99－101的内容，然后完成下面的填空：如图，已知△ABC 和△A 1B 1C 1，∠A ＝∠A 1，AB A 1B 1＝ACA 1C 1，求证：△ABC ∽△A 1B 1C 1.证明的主要思路是，在边AD 上截取AD ＝A 1B 1，作DE ∥BC ，交AC 于E ，在△ABC 中构造△ADE ∽△ABC ，再通过比例式得AE ＝A 1C 1，证△A 1B 1C 1≌△ADE ，从而得到△A 1B 1C 1∽△ABC .1．证明：两角分别相等的两个三角形相似，见教材P 99－100页．2．证明：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，见教材P 100－101页． 3．证明：三边成比例的两个三角形相似，见教材P 101－102页． 知识模块二 相似三角形判定定理的应用解答下列各题：1．在△ABC 与△A ′B ′C ′中，有下列条件：①AB A′B′＝BC B′C′；②BC B′C′＝ACA′C′；③∠A ＝∠A ′；④∠C ＝∠C ′.如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC ∽△A ′B ′C ′的共有( C )A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组2．如图，已知E 是矩形ABCD 的边CD 上一点，BF ⊥AE 于F ，试证明：△ABF ∽△EAD . 证明：∵矩形ABCD 中，AB ∥CD ，∠D ＝90°，∴∠BAF ＝∠AED .∵BF ⊥AE ，∴∠AFB ＝90°.∴∠AFB ＝∠D ，∴△ABF ∽△EAD .典例讲解：已知，如图，D 为△ABC 内一点，连接BD 、AD ，以BC 为边在△ABC 外作∠CBE ＝∠ABD ，∠BCE ＝∠BAD ，连接DE .求证：△DBE ∽△ABC .分析：由已知条件∠ABD ＝∠CBE ，∠DBC 公用，所以∠DBE ＝∠ABC ，要证的△DBE 和△ABC ，有一对角相等，要证两个三角形相似，可再找一对角相等，或者找夹这个角的两边对应成比例．从已知条件中可看到△CBE ∽△ABD ，这样既有相等的角，又有成比例的线段，问题就可以得到解决．证明：在△CBE 和△ABD 中，∠CBE ＝∠ABD ，∠BCE ＝∠BAD ，∴△CBE ∽△ABD ，∴BC AB ＝BE BD ，即：BC BE ＝AB BD.在△DBE 和△ABC 中，∠CBE ＝∠ABD ，∴∠CBE ＋∠DBC ＝∠ABD ＋∠DBC ，∴∠DBE ＝∠ABC 且BC BE ＝ABBD，∴△DBE ∽△ABC .对应练习：1．教材P 102页习题4.9的第1题．答：相似．证明：△ABC 为等边三角形．∴∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°.又∵AE ＝BF ＝CD ，∴AD ＝FC ＝EB ，则△AED ≌△CDF ≌△BFE .∴ED ＝DF ＝EF .△EDF 为等边三角形．∴△DEF ∽△ABC .2.教材P 102页习题4.9的第3题． 证明：∵BE 为∠DBC 平分线，∴∠DBE ＝∠EBC .又∵AE ＝AB ，∴∠ABE ＝∠AEB ，∠ABE＝∠ABD ＋∠DBE ＝∠ABD ＋∠EBC ，∠AEB ＝∠EBC ＋∠C ，∴∠ABD ＝∠C ，∠A ＝∠A ，∴△ABD ∽△ACB .则AB AC ＝AD AB .∵AB ＝AE ，∴AE AC ＝ADAE，即AE 2＝AD ·AC .交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 相似三角形判定定理的证明 知识模块二 相似三角形判定定理的应用检测反馈 达成目标1．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝CD ，CE ⊥AB 于E .求证：△ABD ∽△CBE . 证明：在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝CD ，∴AD ⊥BC ，∵CE ⊥AB ，∴∠ADB ＝∠CEB ＝90°.又∵∠B ＝∠B ，∴△ABD ∽△CBE .2．如图，D 是△ABC 的边BC 上的一点，AB ＝2，BD ＝1，DC ＝3，求证：△ABD ∽△CBA . 证明：∵AB ＝2，BD ＝1，DC ＝3，∴AB 2＝4，BD ·BC ＝1×(1＋3)＝4.∴AB 2＝BD ·BC .即AB BC ＝BDBA.而∠ABD ＝∠CBA .∴△ABD ∽△CBA . 3．教材P 102页习题4.9的第4题．解：设t 秒后△PBQ 与△ABC 相似，①△PBQ ∽△ABC ，则BP BA ＝BQBC ，即8－2t 8＝4t 16，解得t ＝2s .②当△PBQ ∽△CBA ，BP BC ＝BQBA ，即8－2t 16＝4t 8，解得t ＝0.8s .答：0.8s 或2s 时，△QBP与△ABC 相似．课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________。

85DE,再根据 CF＝BC－BF＝53DE＝6,所以 DE＝10.
5 相似三角形判定定理的证明
4. 用相似三角形的定义证明平行于三角形一边的直线和其他两边
相交,所构成的三角形与原三角形相似.
解：已知：如图,在△ABC 中,DE∥BC,并分别交 AB,AC 于点 D,E. 求证：△ADE 与△ABC 相似. 证明：∵DE∥BC, ∴∠ADE＝∠B,∠AED＝∠C. 过点 D 作 DF∥AC 交 BC 于点 F, 又∵DE∥BC, ∴四边形 DFCE 是平行四边形,∴DE＝FC, ∴FBCC＝DBCE＝AADB, ∴AADB＝AAEC＝DBCE. 而∠A＝∠A,∠ADE＝∠B,∠AED＝∠C, ∴△ADE∽△ABC.
5 相似三角形判定定理的证明
13. 如图 4－5－12,已知 AB⊥DB 于点 B,CD⊥DB 于点 D,AB＝6,CD ＝4,BD＝14,问：在 DB 上是否存在点 P,使得△PCD 与△PAB 相 似？如果存在,请求出 PD 的长；如果不存在,请说明理由.
图 4－5－12
5 相似三角形判定定理的证明
AD＝1,BD＝2,则DBCE的值为( B )
1
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
1
A. 2
B. 3
C. 4
D. 9
图 4－5－1
5 相似三角形判定定理的证明
2. 如图 4－5－2,在▱ABCD 中,AC 与 BD 相交于点 O,E 为 OD 的中点, 连接 AE 并延长交 DC 于点 F,则 DF∶FC＝( D ) A. 1∶4 B. 1∶3 C. 2∶3 D. 1∶2
点,F 是 AM 的中点,EF⊥AM,垂足为 F,交 AD
的延长线于点 E,交 DC 于点 N.

﹡5 相似三角形判定定理的证明
1.相似三角形的判定方法一: (1)_两__角分别_相__等__的两个三角形相似. (2)应用格式:∵∠A_=_∠D,∠B_=_∠E, ∴△ABC_∽__△DEF.
2.相似三角形的判定方法二:
(1)_两__边__成比例且夹角_相__等__的两个三角形相似. (2)应用格式:_AD__BE___AD_CF___,∠A_=_∠D, ∴△ABC_∽__△DEF.
由(1)知△ABD∽△CAE,∴∠E=∠D=90°,
在Rt△AEC中,EC2=AC2-AE2=a( 12-a)2 8 a2 ,
39
在Rt△BEC中, B C E C 2 B E 28 a2 (3 a 1 a )2 23 a .
9
3
【想一想】 在示范题2(2)的条件下,连接CD,此时四边形ABDC是什么特殊的 四边形? 提示:平行四边形. ∵AC∥BD,AC=BD, ∴四边形ABDC是平行四边形.
【备选例题】已知四边形ABCD、四边形DCFE、四边形EFHG都是 边长为1的正方形,则∠1+∠2+∠3是多少度?
【解析】由题意知AC= 2 ,CF=1,CH=2, 所以 CF AC ，
AC CH
又∠ACF=∠HCA,所以△ACF∽△HCA,
所以∠2=∠CAH,又因为∠1=∠3+∠CAH,
所以∠1+∠2+∠3=∠1+∠CAH+∠1-∠CAH=2∠1=90°.
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13、生气是拿别人做错的事来惩罚自 己。2022/3/12022/3/12022/3/12022/3/13/1/2022
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14、抱最大的希望，作最大的努力。2022年3月1日 星期二2022/3/12022/3/12022/3/1

4.5 相似三角形 同步练习课内练习理解相似三角形的意义，会找相似三角形的对应边及对应角；能进行简单的有关相似三角形对应边及对应角的计算. 一、选择题1.△ABC ∽△A ′B ′C ′，如果∠A =55°，∠B =100°，则∠C ′的度数等于( )A.55°B.100°C.25°D.30°2.如图1，△ADE ∽△ACB ，∠AED =∠B ，那么下列比例式成立的是( )A.BC DE AB AE AC AD== B.BC DEAC AE AB AD == C.BC DE AB AC AEAD == D.BCDEEC AE AB AD ==图1 图23.如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，BC =3，B ′C ′=1.8，则△A ′B ′C ′与△ABC 的相似比为( ) A.5∶3B.3∶2C.2∶3D.3∶54.若△ABC ∽△A ′B ′C ′，AB =2，BC =3，A ′B ′=1，则B ′C ′等于( )A.1.5B.3C.2D.15.△ABC 的三边长分别为2、10、2，△A ′B ′C ′的两边长分别为1和5，如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，那么△A ′B ′C ′的第三边的长应等于( ) A.22B.2C.2D.22二、填空题6.如图2，已知△ADE ∽△ABC ，且∠ADE =∠B ，则对应角为________，对应边为________.7.如图3，已知DE ∥BC ，△ADE ∽△ABC ，则ABAD=________=________.图38. 如果△ABC 和△A ′B ′C ′的相似比等于1，则这两个三角形________. 9. 已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，A 和A ′，B 和B ′分别是对应点，若AB =5 cm ，A ′B ′=8 cm ，AC =4 cm ，B ′C ′=6 cm ，则△A ′B ′C ′与△ABC 的相似比为________，A ′C ′=________，BC =________.10.如果Rt △ABC ∽Rt △A ′B ′C ′，∠C =∠C ′=90°，AB =3，BC =2，A ′B ′=12，则A ′C ′=________. 三、解答题11.判断下列两组三角形是否相似，并说明理由.(1)△ABC 和△A ′B ′C ′都是等边三角形.(2)△ABC 中，∠C =90°，AC =BC ；△A ′B ′C ′中，∠C ′=90°，A ′C ′=B ′C ′.12.已知△ABC 中，AB =15 cm ，BC =20 cm ，AC =30 cm ，另一个与它相似的△A ′B ′C ′的最长边为40 cm ，求△A ′B ′C ′的其余两边的长.13.已知：△ABC 三边的比为1∶2∶3，△A ′B ′C ′∽△ABC ，且△A ′B ′C ′的最大边长为15 cm ，求△A ′B ′C ′的周长.*14.如图4，正方形ABCD 中，点E 是CD 的中点，点F 在BC 上，且CF ∶BC =1∶4，你能说明ECADEF AE吗？图4参考答案一、1.C 2.A 3.D 4.A 5.C二、6.∠A 与∠A ∠AED 与∠C AD 与AB ，AE 与AC ，DE 与BC 7.AC AE BCDE8.全等 9.586.4 cm 3.75 cm 10.45 三、11.(1)相似 (2)相似12.A ′B ′=20 cm ，B ′C ′=2632cm 13.30 cm 14.略课外练习一、请你填一填（1）如果两个三角形的相似比为1，那么这两个三角形________.（2）若△ABC与△A′B′C′相似，一组对应边的长为AB=3 cm，A′B′=4 cm，那么△A′B′C′与△ABC的相似比是________.（3）若△ABC的三条边长的比为3∶5∶6,与其相似的另一个△A′B′C′的最小边长为12 cm，那么△A′B′C′的最大边长是________.（4）已知△ABC的三条边长分别为3 cm,4 cm,5 cm,△ABC∽△A′B′C′，那么△A′B′C′的形状是______，又知△A′B′C′的最大边长为20 cm，那么△A′B′C′的面积为________.二、认真选一选（1）下列命题错误的是（）A.两个全等的三角形一定相似B.两个直角三角形一定相似C.两个相似三角形的对应角相等，对应边成比例D.相似的两个三角形不一定全等（2）若△ABC∽△DEF,它们的周长分别为6 cm和8 cm，那么下式中一定成立的是（）A.3AB=4DEB.4AC=3DEC.3∠A=4∠DD.4（AB+BC+AC）=3（DE+EF+DF）（3）若△ABC与△A′B′C′相似，∠A=55°,∠B=100°，那么∠C′的度数是（）A.55°B.100°C.25°D.不能确定（4）把△ABC的各边分别扩大为原来的3倍，得到△A′B′C′，下列结论不能成立的是（）A.△ABC∽△A′B′C′B.△ABC与△A′B′C′的各对应角相等1C.△ABC与△A′B′C′的相似比为41D.△ABC与△A′B′C′的相似比为3三、△ABC中，AB=12 cm，BC=18 cm，AC=24 cm，若△A′B′C′∽△ABC，△A′B′C′的周长为81 cm，求△A′B′C′各边的长.四、好好想一想如图4—5—1：分别取等边三角形ABC 各边的中点D 、E 、F ，得△DEF .若△ABC 的边长为a .（1）△DEF 与△ABC 相似吗？如果相似，相似比是多少？ （2）分别求出这两个三角形的面积.（3）这两个三角形的面积比与边长之比有什么关系吗？图4—5—1参考答案 一、（1）全等 （2）3∶４ （3）24cm （4）直角三角形 96cm 2 二、（1）B （2）D （3）C （4）C 三、解法1：设△A ′B ′C ′与△ABC 的相似比为x ，根据题意得：BCC B AC C A AB B A ''=''='' =x 将AB =12，BC =18，AC =24代入上式可得： A ′B ′=12x ,B ′C ′=18x ,A ′C ′=24x ∵△A ′B ′C ′的周长为81 cm ∴12x +18x +24x =81,解得：x =23∴A ′B ′=12x =18（cm ）,B ′C ′=18x =27（cm ） A ′C ′=24x =36（cm ）解法2：由已知得△ABC 的周长为12+18+24=54（cm ） 所以△A ′B ′C ′与△ABC 的相似比等于81∶54即3∶2 则23=''=''=''AC C A BC C B AB B A ， ∴23241812=''=''=''C A C B B A ∴A ′B ′=18（cm ）,B ′C ′=27（cm ）,A ′C ′=36（cm ） 四、（1）根据三角形中位线定理得DE =21a ,EF =DF =21a 所以△DEF 是等边三角形，△DEF 与△ABC 相似，相似比为21（2）△ABC 的面积为21AB ·A E =21a ·22243)21(a a a =- △DEF 的面积为21·21a ·163)41()21(22=-a a a 2 （3）S △DEF ∶S △ABC =163a 2∶43a 2=41∶1=1∶4 这两个三角形的面积比等于边长之比的平方.。