第三章 平面

第三章平面章节目录第一节第二节第三节第四节第八节第五节第六节第七节平面的表示法特殊位置平面平面内的直线和点平面内的特殊直线综合性作图问题举例直线与平面平行、两平面平行直线与平面相交、两平面相交直线与平面垂直、两平面垂直学习内容及学习重点❑学习内容：平面的投影表示法平面的迹线求法❑学习重点：平面的投影表示法第一节平面的表示法平面在空间的位置，可以由不在一条直线上的三个点来确定。

此外，还可以用两条相交直线、两条平行直线、一直线和线外一点或者三角形等几何形状来表示。

不在一条直线上三点一条直线和线外一点相交两直线平行两直线三角形或多边形上行平面投影特性HV OXAcb’BC a ba’c’如图，对三个投影面都倾斜的平面是一般位置平面。

一般位置平面也有上行平面和下行平面之分。

上行平面：它随着离开观者而逐渐上升。

HV OXYd DEFe’f’d’ef下行平面：它随着离开观者而逐渐下降。

下行平面的投影特性已知平面的两面投影求第三投影在无轴投影图中，根据已知三角形的水平投影和正面投影可以求作其侧面投影。

a’b’c’abc a”b”c”a’b’c’abca”y2y1y2y1b”c”方法一方法二二、平面的迹线概念平面P 与投影面的交线叫做平面的迹线，其中与H 面的交线叫做水平迹线P H ;与V 面的交线叫做正面迹线P V 。

HVOXY平面的迹线概念N 1N 2P VP HM 2M 1P X平面迹线的求法xo a’b’c’d’abc d N 1N 2P VP HM 1M 2学习内容及学习重点❑学习内容：特殊位置平面的定义特殊位置平面的投影特性垂直面的迹线表示法❑学习重点：特殊位置平面的辨识及投影特性第二节特殊位置平面§3—2 特殊位置平面一、什么是特殊位置平面对一个投影面平行或者垂直的平面叫做特殊位置平面1. 投影面的平行面(平行于一个投影面的平面)平行于水平投影面的平面叫做水平面平行于正立投影面的平面叫做正平面平行于侧立投影面的平面叫做侧平面2. 投影面的垂直面（垂直于一个投影面的平面）垂直于水平投影面的平面叫做铅垂面垂直于正立投影面的平面叫做正垂面垂直于侧立投影面的平面叫做侧垂面XYZVHWPpp"p1.投影面平行面－水平面（1）水平投影p 反映实形（2）正面投影p’及侧面投影p”均有积聚性且p ’//0X 轴；p ”//OY H 轴投影特性：OXZ Y HY Wp"p'pOXYZVHWqQ q"q'（1）正面投影q’反映实形（2）水平投影q 及侧面投影q”均有积聚性且q //0X 轴；q ”//OY H 轴投影特性：OXZHY Wq"q'qO2.投影面平行面－正平面（1）侧面投影r”反映实形（2）正面投影r’及水平投影r 均有积聚性且r’ //0Z 轴；r //OY H 轴投影特性：XYZVHWORr"r'r r'XZY HY WOr"r3.投影面平行面－侧平面（1）水平投影p 积聚成直线，并反映倾角β和γ（2）正面投影p ’和侧面投影p ”不反映实形投影特性：XYZVHWOPp"p'pβγXZY HY WOp"p p'βγ4.投影面垂直面－铅垂面XYZVHWOQqq'q"αγXY HY WOq"q'q'αγ（1）正面投影q’积聚成直线，并反映倾角α和γ（2）水平投影q 和侧面投影q”不反映实形投影特性：5.投影面平行面－正垂面XYZVHWORr'rr"αβXZY HY WOrr'r"αβ（1）侧面投影r”积聚成直线，并反映倾角α和β（2）正面投影r’和水平投影r 不反映实形投影特性：6.投影面平行面－侧垂面三、垂直面的迹线表示法平行于一个投影面的平面，必然垂直于另外两个投影面。

所以平行面可以看做垂直面的特殊情况。

这样一来，六种特殊位置的平面，都可以称为垂直面。

在投影图中，用垂直面有积聚性的那个投影(是一条直线)，就能充分地表示这个平面的位置。

事实上，这条直线也就是垂直面扩大后与它所垂直的投影面的迹线。

X OP V水平面的表示法X OQ H铅垂面的表示法学习内容及学习重点❑学习内容：直线在平面内的判定规则平面内取直线平面内取点❑学习重点：面内取线的作图方法面内取点的作图方法第三节平面内的直线和点一、直线在平面内的判定规则直线在平面内的判定规则是：(1)一直线若通过一平面内的两点，则此直线必位于该平面内；(2)一直线若通过一平面内的一点，又平行于此平面内的一直线，则此直线必位于该平面内。

二、在已知平面内取直线m’m n’na’ab’b c’c直线通过平面内点M和点N a’ab’bc’c m’md’d直线通过平面内点M且平行于平面内直线BC三、在已知平面内取点m’m n’na’ab’bc’cd’d第一步，先在已知平面内引出一条辅助直线MN；第二步，再在此辅助直线上定点D。

a’b’c’abcm’1’2’12m第一步，先在已知平面ABC内过m’任意作一条辅助直线1’2’；第二步，作该辅助直线的水平投影1 2；第三步，从m’向下引铅垂联系线，在1 2上得到M点的水平投影m。

[例题1]：已知平面内点M的正面投影，求其水平投影解题思路：首先把A 、B 、C 三点看做是三角形ABC ，而D 点则是三角形平面内的一个点。

再用前述平面内作辅助线的办法，求出点D 的正面投影；最后完成四边形的正面投影。

可得结论：绘制一平面多边形的投影图，必须保证做到此多边形的各个顶点都位于同一平面内。

a’b’c’abcdd’[例题2]：已知平面四边形ABCD 的水平投影，并知其中ABC 三个点的正面投影，求此四边形的正面投影。

a’b’ab QH 过已知直线作铅垂面a’b’abR V过已知直线作正垂面[例题3]：用迹线表示法过已知直线作投影面垂直面学习内容及学习重点❑学习内容：平面内的投影面平行线平面内的最大斜度线❑学习重点：平面内水平线的作图方法平面内正平线的作图方法对V面、H面最大斜度线的作图方法第四节平面内的特殊直线a’b’c’abcOXd’d1.在已知平面内作水平线(1)所作直线应既是水平线，同时又在已知平面内(2)过a ’作a ’d ’//OX 轴(3)求出d ’的水平投影d(4)连接ad 后，即得到平面ABC 内的水平线AD作图思路：2.在已知平面内作正平线(1)所作直线应既是正平线，同时又在已知平面内(2)过a 作ae//OX 轴(3)求出e 的正面投影e ’(4)连接a ’e ’后，即得到平面ABC 内的正平线AEa’b’c’abcOXee’作图思路：二、平面内的最大斜度线平面内对H面的最大斜度线平面内的最大斜度线就是平面内垂直于各投影面的平行线的直线。

HPACcaB(b)αP H垂直于水平线的直线叫做对H面的最大斜度线。

垂直于正平线的直线叫做对V面的最大斜度线。

（3）用直角三角形法求出BD 对H 面的倾角α。

a’b’c’abcm’mdd’α（1）在已知平面内作水平线AM 。

（2）作bd⊥am；作出b ’d ’。

BD 即对H 面的最大斜度线。

[例题1]：求作已知平面ABC 内对H 面的最大斜度线，并求该线对H 面的倾角。

作图思路：（2）用直角三角形法求出MN 对V 面的倾角β。

（1）由于直线AB 与CD 平行且均为正平线，所以不难作出AB 及CD 的垂线MN 。

直线MN 即对V 面的最大斜度线。

a’b’abc’d’cdm’n’mnβ求作已知平面ABCD 内对V 面的最大斜度线，并求该线对V 面的倾角。

作图思路：（3）连接e ’k ’，即得到正平线EK 。

（1）在H 面过k 作正平线的水平投影平行于OX 轴。

a’b’c’d’abcdk’ke ff’e’（2）作辅助线CF ，得平面内点E 。

在由两相交直线AB 和CD 组成的平面内，过交点K 作一正平线。

作图思路：（3）在平面△ADC 内求出最大斜度线AE ，进而求出倾角α。

（1）在V 面过c ’作水平线的正面投影平行于OX 轴。

（2）作a ’b ’的延长线得到d ’,进而求得cd 。

a’b’c’cabd’dee’mα[例题4]：在由直线AB 和点C 组成的平面内，过A 点作平面的最大斜度线，并求平面的坡度角α。

作图思路：学习内容及学习重点❑学习内容：直线和平面平行两平面平行❑学习重点：掌握上述平行问题的判断方法掌握上述平行问题的图示、图解方法第五节直线和平面平行、两平面平行一、直线和平面平行直线和平面平行的判定规则是：ABDC一直线和一平面内的直线平行，则此直线就该平面平行。

试判断直线AB 是否平行于△LMN 。

作辅助直线的正面投影c ’d ’∥a ’b ’。

a’b’ab l ’m’n’ln mc’d’cd求出水平投影cd 。

由于cd 不平行于ab,即CD 不平行于AB ，所以AB 不平行于△LMN 。

作图思路：试经过点A 作一条水平线平行于平面BCD 。

在平面BCD 内作水平线MN 。

过点A 作直线AE∥MN，即所求。

a’ab’bc’cd’dm’n’mne’e作图思路：当直线和投影面垂直面平行时，此垂直面有积聚性的迹线必和此直线的同面投影平行。

并且，ab 和P H 之间的距离等于直线AB 与铅垂面P 之间的距离。

P Ha’b’abHPABabP H 特殊情况：二、两平面平行平面和平面平行的判定规则是：ABCDA 1B 1C 1D 1若一平面内的相交两直线对应平行于另一平面内的相交两直线，则此两平面相互平行。

[例题1]：试判断平面ABC 和平面LMN 是否相互平行。

a’ab’bc’cl’m’n’lmnk’k思路：试图在平面ABC 内作出相交两直线平行于平面LMN 。

当在平面ABC 内过A 点作一条辅助直线不平行于平面LMN 时，即可判定两已知平面不平行。

[例题2]：试过点L 作一个平面平行ABC 。

思路：试图过点L 作两条直线LM 和LN ，其中使LM∥AB，LN∥BC。

a’ab’bc’cl ’lm’mn’n当两平面都是同一投影面的垂直面时，可直接根据迹线来判断它们是否相互平行。

并且，迹线的距离即等于两垂直面的空间距离。

Q H P HHQP HPQ H特殊情况：学习内容及学习重点❑学习内容：直线和平面相交两平面相交可见性判断❑学习重点：掌握线面相交求交点及可见性判断的方法掌握两平面相交求交线及可见性判断的方法第六节直线和平面相交、两平面相交一、直线和特殊位置平面相交直线AB 和平面P 相交，有一个交点K 。

P HPHAKBakb水平投影k 必是P H 和ab 的交点。

有了水平投影k ，就可以在直线的正面投影上定出k'。