2015年山东省泰安市中考数学试卷解析

二〇一五年初中学业考试
九年级数学
一.选择题（本大题共20小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得3分，选错,不选或选出的答案超过一个，均记零分）
题号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
题号
11 12 13 14 45 16 17 18 19 20 答案一、选择题：（本大题共20题，每小题3分，共60分.在每小题给出的代号为
ABCD 四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．3的值为
A. 3
B. －3
C. 31
D. －3
1
2．下列各图是选自历届世博会徽中的图案，其中是中心对称图形的是
A B C
D 3．在电子显微镜下测得一个圆球体细胞的直径是5×10
5cm ，3102个这样的细胞排成的细胞链的长是A ．cm 210
B ．cm 110
C ．cm 310
D ．cm 4
104．将右图所示的直角梯形绕直线l 旋转一周，得到的立体图形是
A
B C D 5．自上海世博会开幕以来
,中国馆以其独特的造型吸引了世人的目光.据预测,在会展期间，参观中国馆的人次数估计可达到
14 900 000，此数用科学记数法表示是A.61049.1 B.810149.0。

2015年山东省泰安市中考数学试卷一、选择题（本大题共20道小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）3．（3分）（2015•泰安）下列四个几何体：2）5．（3分）（2015•泰安）如图，AB∥CD，∠1=58°，FG平分∠EFD，则∠FGB的度数等于（）6．（3分）（2015•泰安）如图，在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成轴对称图形的概率是（）7．（3分）（2015•泰安）小亮的妈妈用28元钱买了甲、乙两种水果，甲种水果每千克4元，乙种水果每千克6元，且乙种水果比甲种水果少买了2千克，求小亮妈妈两种水果各买了多少千克？设小亮妈妈买了甲．8．（3分）（2015•泰安）化简：（a+）（1﹣）的结果等于（）9．（3分）（2015•泰安）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B=60°，⊙O的半径为4，则AC的长等于（）10．（3分）（2015•泰安）若十位上的数字比个位上的数字、百位上的数字都大的三位数叫做中高数，如796就是一个“中高数”．若十位上数字为7，则从3、4、5、6、8、9中任选两数，与7组成“中高数”的概11．（3分）（2015•泰安）某单位若干名职工参加普法知识竞赛，将成绩制成如图所示的扇形统计图和条形统计图，根据图中提供的信息，这些职工成绩的中位数和平均数分别是（）12．（3分）（2015•泰安）不等式组的整数解的个数为（）13．（3分）（2015•泰安）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE=2BF．给出下列四个结论：①DE=DF；②DB=DC；③AD⊥BC；④AC=3BF，其中正确的结论共有（）14．（3分）（2015•泰安）如图，轮船从B处以每小时60海里的速度沿南偏东20°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东50°方向上，轮船航行40分钟到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东10°方向上，则C处与灯塔A的距离是（）海里海里15．（3分）（2015•泰安）如图，在平面直角坐标系中，正三角形OAB的顶点B的坐标为（2，0），点A 在第一象限内，将△OAB沿直线OA的方向平移至△O′A′B′的位置，此时点A′的横坐标为3，则点B′的坐标为（））3222（）17．（3分）（2015•泰安）如图，菱形ABCD的边长为2，∠A=60°，以点B为圆心的圆与AD、DC相切，与AB、CB的延长线分别相交于点E、F，则图中阴影部分的面积为（）++π﹣+18．（3分）（2015•泰安）下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的：220．（3分）（2015•泰安）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F．若AB=6，BC=4，则FD的长为（）二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）21．（3分）（2015•泰安）分解因式：9x3﹣18x2+9x=．22．（3分）（2015•泰安）方程：（2x+1）（x﹣1）=8（9﹣x）﹣1的根为．23．（3分）（2015•泰安）如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点．若AB=8，AD=12，则四边形ENFM的周长为．24．（3分）（2015•泰安）如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，过CD延长线上一点E作⊙O 的切线，切点为F．若∠ACF=65°，则∠E=．三、解答题（本大题共5小题，满分48分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）25．（8分）（2015•泰安）某服装店购进一批甲、乙两种款型时尚T恤衫，甲种款型共用了7800元，乙种款型共用了6400元，甲种款型的件数是乙种款型件数的1.5倍，甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少30元．（1）甲、乙两种款型的T恤衫各购进多少件？（2）商店进价提高60%标价销售，销售一段时间后，甲款型全部售完，乙款型剩余一半，商店决定对乙款型按标价的五折降价销售，很快全部售完，求售完这批T恤衫商店共获利多少元？26．（8分）（2015•泰安）一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象相交于A（﹣1，4），B（2，n）两点，直线AB交x轴于点D．（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）过点B作BC⊥y轴，垂足为C，连接AC交x轴于点E，求△AED的面积S．27．（10分）（2015•泰安）如图，在△ABC中，AB=AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD=∠B．（1）求证：AC•CD=CP•BP；（2）若AB=10，BC=12，当PD∥AB时，求BP的长．28．（10分）（2015•泰安）如图，△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°，四边形BCDE是平行四边形，E 为AC中点，BD平分∠ABC，点F在AB上，且BF=BC．求证：（1）DF=AE；（2）DF⊥AC．29．（12分）（2015•泰安）如图，抛物线y=ax2+bx+c为x轴的一交点为A（﹣6，0），与y轴的交点为C （0，3），且经过点G（﹣2，3）．（1）求抛物线的表达式；（2）点P是线段OA上一动点，过P作平行于y轴的直线与AC交于点Q，设△CPQ的面积为S，求S的最大值；（3）若点B是抛物线与x轴的另一定点，点D、M在线段AB上，点N在线段AC上，∠DCB=∠CDB，CD是MN的垂直平分线，求点M的坐标．2015年山东省泰安市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共20道小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）3．（3分）（2015•泰安）下列四个几何体：2）5．（3分）（2015•泰安）如图，AB∥CD，∠1=58°，FG平分∠EFD，则∠FGB的度数等于（）GFD=×6．（3分）（2015•泰安）如图，在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成轴对称图形的概率是（）．7．（3分）（2015•泰安）小亮的妈妈用28元钱买了甲、乙两种水果，甲种水果每千克4元，乙种水果每千克6元，且乙种水果比甲种水果少买了2千克，求小亮妈妈两种水果各买了多少千克？设小亮妈妈买了甲．由题意得8．（3分）（2015•泰安）化简：（a+）（1﹣）的结果等于（）••9．（3分）（2015•泰安）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B=60°，⊙O的半径为4，则AC的长等于（）COD=OC=2AC=2CD=410．（3分）（2015•泰安）若十位上的数字比个位上的数字、百位上的数字都大的三位数叫做中高数，如796就是一个“中高数”．若十位上数字为7，则从3、4、5、6、8、9中任选两数，与7组成“中高数”的概的概率是：．11．（3分）（2015•泰安）某单位若干名职工参加普法知识竞赛，将成绩制成如图所示的扇形统计图和条形统计图，根据图中提供的信息，这些职工成绩的中位数和平均数分别是（）12．（3分）（2015•泰安）不等式组的整数解的个数为（），＞﹣＜13．（3分）（2015•泰安）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE=2BF．给出下列四个结论：①DE=DF；②DB=DC；③AD⊥BC；④AC=3BF，其中正确的结论共有（）14．（3分）（2015•泰安）如图，轮船从B处以每小时60海里的速度沿南偏东20°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东50°方向上，轮船航行40分钟到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东10°方向上，则C处与灯塔A的距离是（）海里海里×CM=BC=20，代入数据计算即可．×BC=20==CM=15．（3分）（2015•泰安）如图，在平面直角坐标系中，正三角形OAB的顶点B的坐标为（2，0），点A 在第一象限内，将△OAB沿直线OA的方向平移至△O′A′B′的位置，此时点A′的横坐标为3，则点B′的坐标为（））32OM=AM=OM=，）y=，那么OM=AM=OM=）xy=332216．（3分）（2015•泰安）在同一坐标系中，一次函数y=﹣mx+n2与二次函数y=x2+m的图象可能是（）17．（3分）（2015•泰安）如图，菱形ABCD的边长为2，∠A=60°，以点B为圆心的圆与AD、DC相切，与AB、CB的延长线分别相交于点E、F，则图中阴影部分的面积为（）++π﹣+AB=2=的半径为××=﹣）=．18．（3分）（2015•泰安）下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的：2，20．（3分）（2015•泰安）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F．若AB=6，BC=4，则FD的长为（））二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）21．（3分）（2015•泰安）分解因式：9x3﹣18x2+9x=9x（x﹣1）2．22．（3分）（2015•泰安）方程：（2x+1）（x﹣1）=8（9﹣x）﹣1的根为﹣8或．=或23．（3分）（2015•泰安）如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点．若AB=8，AD=12，则四边形ENFM的周长为20．24．（3分）（2015•泰安）如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，过CD延长线上一点E作⊙O 的切线，切点为F．若∠ACF=65°，则∠E=50°．三、解答题（本大题共5小题，满分48分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）25．（8分）（2015•泰安）某服装店购进一批甲、乙两种款型时尚T恤衫，甲种款型共用了7800元，乙种款型共用了6400元，甲种款型的件数是乙种款型件数的1.5倍，甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少30元．（1）甲、乙两种款型的T恤衫各购进多少件？（2）商店进价提高60%标价销售，销售一段时间后，甲款型全部售完，乙款型剩余一半，商店决定对乙款型按标价的五折降价销售，很快全部售完，求售完这批T恤衫商店共获利多少元？+30==16026．（8分）（2015•泰安）一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象相交于A（﹣1，4），B（2，n）两点，直线AB交x轴于点D．（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）过点B作BC⊥y轴，垂足为C，连接AC交x轴于点E，求△AED的面积S．y=；﹣，，点坐标为（﹣﹣（﹣S=×4=．27．（10分）（2015•泰安）如图，在△ABC中，AB=AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD=∠B．（1）求证：AC•CD=CP•BP；（2）若AB=10，BC=12，当PD∥AB时，求BP的长．=，即===BP=28．（10分）（2015•泰安）如图，△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°，四边形BCDE是平行四边形，E 为AC中点，BD平分∠ABC，点F在AB上，且BF=BC．求证：（1）DF=AE；（2）DF⊥AC．中，29．（12分）（2015•泰安）如图，抛物线y=ax2+bx+c为x轴的一交点为A（﹣6，0），与y轴的交点为C （0，3），且经过点G（﹣2，3）．（1）求抛物线的表达式；（2）点P是线段OA上一动点，过P作平行于y轴的直线与AC交于点Q，设△CPQ的面积为S，求S的最大值；（3）若点B是抛物线与x轴的另一定点，点D、M在线段AB上，点N在线段AC上，∠DCB=∠CDB，CD是MN的垂直平分线，求点M的坐标．，解得，x x+3k=y=PQ=PQ PO=（x x=（，的最大值为时，﹣﹣=5BC=OD=，坐标为（，。

山东省泰安市2015届中考数学模拟试题七一、选择题（本题共20个小题，在每个小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超出一个均记0分）1．的平方根是（）A．2 B．±2C．D．±2．如果用□表示1个立方体，用表示两个立方体叠加，用■表示三个立方体叠加，那么下面图是由7个立方体叠成的几何体，从正前方观察，可画出的平面图形是（）A． B． C． D．3．已知一粒米的质量是0.000021千克，这个数字用科学记数法表示为（）A．21×10﹣4千克 B．2.1×10﹣6千克C．2.1×10﹣5千克D．2.1×10﹣4千克4．不等式的解集是（）A．x≥3 B．x≥2 C．2≤x≤3D．空集5．下列运算正确的是（）A． =﹣5 B．（﹣）﹣2=16 C．x6÷x3=x2D．（x3）2=x56．点A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）都在反比例函数y=﹣的图象上，且x1＜x2＜0＜x3，则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y3＜y1＜y2B．y1＜y2＜y3C．y3＜y2＜y1D．y2＜y1＜y37．如图，在平行四边形ABCD中，过点C的直线CE⊥AB，垂足为E，若∠EAD=53°，则∠BCE的度数为（）A．53° B．37° C．47° D．123°8．某班6名同学参加体能测试的成绩如下（单位：分）：75，95，75，75，80，80．关于这组数据的表述错误的是（）A．众数是75 B．中位数是75 C．平均数是80 D．极差是209．暑假即将来临，小明和小亮每人要从甲、乙、丙三个社区中随机选取一个社区参加综合实践活动，那么小明和小亮选到同一社区参加实践活动的概率为（）A．B．C．D．10．已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=（）A．B．C．D．211．轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上，则C处与灯塔A的距离是（）海里．A．25B．25C．50 D．2512．化简的结果是（）A．B．C．D．13．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y=bx+c和反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．14．如右图所示，已知等腰梯形ABCD，AD∥BC，若动直线l垂直于BC，且向右平移，设扫过的阴影部分的面积为S，BP为x，则S关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．15．李明同学早上骑自行车上学，中途因道路施工步行一段路，到学校共用时15分钟．他骑自行车的平均速度是250米/分钟，步行的平均速度是80米/分钟．他家离学校的距离是2900米．如果他骑车和步行的时间分别为x、y分钟，列出的方程是（）A．B．C．D．16．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，则CE的长为（）A．3 B．3.5 C．2.5 D．2.817．如图，为测量某物体AB的高度，在D点测得A点的仰角为30°，朝物体AB方向前进20米，到达点C，再次测得点A的仰角为60°，则物体AB的高度为（）A．10米B．10米C．20米D．米18．如图，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC=AC，∠ACB的平分线CE交AD于E，点F是AB的中点，则S△AEF：S四边形BDEF为（）A．3：4 B．1：2 C．2：3 D．1：319．已知关于x的一元二次方程（k﹣2）2x2+（2k+1）x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞B．k≥C．k＞且k≠2D．k≥且k≠220．如图，在斜边长为1的等腰直角三角形OAB中，作内接正方形A1B1C1D1；在等腰直角三角形OA1B1中，作内接正方形A2B2C2D2；在等腰直角三角形OA2B2中，作内接正方形A3B3C3D3；…；依次作下去，则第n个正方形A n B n C n D n的边长是（）A．B．C．D．二、填空题：（本大题共4小题，共12分，只要求填写最后结果，每小题填对得3分．）21．分解因式：x3﹣6x2+9x= ．22．已知x1、x2是方程2x2+14x﹣16=0的两实数根，那么的值为．23．如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=6，点C是优弧上一点（不与A，B重合），则cosC的值为．24．如图，点A在双曲线y=上，过A作AC⊥x轴，垂足为C，OA的垂直平分线交OC于点B，当OA=4时，则△ABC周长为．三、解答题：（本大题共5小题，共48分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）25．（1）计算：|﹣2|+（﹣1）2012×（π﹣3）0﹣+（﹣2）﹣2（2）化简求值：÷•，其中a=﹣2．26．某学校后勤人员到一家文具店给九年级的同学购买考试用文具包，文具店规定一次购买400个以上，可享受8折优惠．若给九年级学生每人购买一个，不能享受8折优惠，需付款1936元；若多买88个，就可享受8折优惠，同样只需付款1936元．请问该学校九年级学生有多少人？27．如图，点A，E是半圆周上的三等分点，直径BC=2，AD⊥BC，垂足为D，连接BE交AD于F，过A作AG∥BE交BC于G．（1）判断直线AG与⊙O的位置关系，并说明理由．（2）求线段AF的长．28．如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．（1）求证：∠APB=∠BPH；（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论；（3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．29．如图，抛物线y=ax2+bx﹣4与x轴交于A（4，0）、B（﹣2，0）两点，与y轴交于点C，点P 是线段AB上一动点（端点除外），过点P作PD∥AC，交BC于点D，连接CP．（1）求该抛物线的解析式；（2）当动点P运动到何处时，BP2=BD•BC；（3）当△PCD的面积最大时，求点P的坐标．2015年山东省泰安市中考数学模拟试卷（七）参考答案与试题解析一、选择题（本题共20个小题，在每个小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超出一个均记0分）1．的平方根是（）A．2 B．±2C．D．±【考点】算术平方根；平方根．【专题】常规题型．【分析】先化简，然后再根据平方根的定义求解即可．【解答】解：∵ =2，∴的平方根是±．故选D．【点评】本题考查了平方根的定义以及算术平方根，先把正确化简是解题的关键，本题比较容易出错．2．如果用□表示1个立方体，用表示两个立方体叠加，用■表示三个立方体叠加，那么下面图是由7个立方体叠成的几何体，从正前方观察，可画出的平面图形是（）A． B． C． D．【考点】简单组合体的三视图．【专题】压轴题．【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有看到的棱都应表现在主视图中．【解答】解：从正前方观察，应看到长有三个立方体，且中间的为三个立方体叠加；高为两个立方体，在中间且有两个立方体叠加．故选B．【点评】此题主要考查三视图的知识、学生的观察能力和空间想象能力．3．已知一粒米的质量是0.000021千克，这个数字用科学记数法表示为（）A．21×10﹣4千克 B．2.1×10﹣6千克C．2.1×10﹣5千克D．2.1×10﹣4千克【考点】科学记数法—表示较小的数．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.000021=2.1×10﹣5；故选：C．【点评】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．4．不等式的解集是（）A．x≥3 B．x≥2 C．2≤x≤3D．空集【考点】解一元一次不等式组．【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，就是不等式组的解集．【解答】解：，解①得：x≥2，解②得：x≥3．则不等式组的解集是：x≥3．故选A．【点评】本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解，若x＞较小的数、＜较大的数，那么解集为x介于两数之间．5．下列运算正确的是（）A． =﹣5 B．（﹣）﹣2=16 C．x6÷x3=x2D．（x3）2=x5【考点】二次根式的性质与化简；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法；负整数指数幂．【专题】计算题．【分析】根据=|a|对A进行判断；根据负整数指数的意义对B进行判断；根据同底数的幂的除法对C进行判断；根据幂的乘方对D进行判断．【解答】解：A、=|﹣5|=5，所以A选项不正确；B、（﹣）﹣2=16，所以B选项正确；C、x6÷x3=x3，所以C选项不正确；D、（x3）2=x6，所以D选项不正确．故选B．【点评】本题考查了二次根式的性质与化简： =|a|．也考查了幂的乘方、同底数的幂的除法以及负整数指数的意义．6．点A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）都在反比例函数y=﹣的图象上，且x1＜x2＜0＜x3，则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y3＜y1＜y2B．y1＜y2＜y3C．y3＜y2＜y1D．y2＜y1＜y3【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据x1＜x2＜0＜x3即可得出结论．【解答】解：∵反比例函数y=﹣中k=﹣3＜0，∴函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大．∵x1＜x2＜0，∴A、B两点在第二象限，C点在第三象限，∴y2＞y1＞y3．故选A．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．7．如图，在平行四边形ABCD中，过点C的直线CE⊥AB，垂足为E，若∠EAD=53°，则∠BCE的度数为（）A．53° B．37° C．47° D．123°【考点】平行四边形的性质．【分析】设EC于AD相交于F点，利用直角三角形两锐角互余即可求出∠EFA的度数，再利用平行四边形的性质：即两对边平行即可得到内错角相等和对顶角相等，即可求出∠BCE的度数．【解答】解：∵在平行四边形ABCD中，过点C的直线CE⊥AB，∴∠E=90°，∵∠EAD=53°，∴∠EFA=90°﹣53°=37°，∴∠DFC=37∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠BCE=∠DFC=37°．故选B．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质和对顶角相等，根据题意得出∠E=90°和的对顶角相等是解决问题的关键．8．某班6名同学参加体能测试的成绩如下（单位：分）：75，95，75，75，80，80．关于这组数据的表述错误的是（）A．众数是75 B．中位数是75 C．平均数是80 D．极差是20【考点】极差；算术平均数；中位数；众数．【分析】根据平均数，中位数，众数，极差的概念逐项分析．【解答】解：（1）75出现的次数最多，所以众数是75，A正确；（2）把数据按大小排列，中间两个数为75，80，所以中位数是77.5，B错误；（3）平均数是80，C正确；（4）极差是95﹣75=20，D正确．故选B．【点评】此题考查学生对平均数，中位数，众数，极差的理解．属于基础题，比较简单．9．暑假即将来临，小明和小亮每人要从甲、乙、丙三个社区中随机选取一个社区参加综合实践活动，那么小明和小亮选到同一社区参加实践活动的概率为（）A．B．C．D．【考点】列表法与树状图法．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小明和小亮选到同一社区参加实践活动的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：画树状图得：∵共有9种等可能的结果，小明和小亮选到同一社区参加实践活动的有3种情况，∴小明和小亮选到同一社区参加实践活动的概率为： =．故选B．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．10．已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=（）A．B．C．D．2【考点】相似多边形的性质；翻折变换（折叠问题）．【分析】可设AD=x，根据四边形EFDC与矩形ABCD相似，可得比例式，求解即可．【解答】解：∵沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，∴四边形ABEF是正方形，∵AB=1，设AD=x，则FD=x﹣1，FE=1，∵四边形EFDC与矩形ABCD相似，∴=，=，解得x1=，x2=（负值舍去），经检验x1=是原方程的解．故选B．【点评】考查了翻折变换（折叠问题），相似多边形的性质，本题的关键是根据四边形EFDC与矩形ABCD相似得到比例式．11．轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上，则C处与灯塔A的距离是（）海里．A．25B．25C．50 D．25【考点】等腰直角三角形；方向角．【专题】计算题．【分析】根据题中所给信息，求出∠BCA=90°，再求出∠CBA=45°，从而得到△ABC为等腰直角三角形，然后根据解直角三角形的知识解答．【解答】解：根据题意，∠1=∠2=30°，∵∠ACD=60°，∴∠ACB=30°+60°=90°，∴∠CBA=75°﹣30°=45°，∴△ABC为等腰直角三角形，∵BC=50×0.5=25，∴AC=BC=25（海里）．故选D．【点评】本题考查了等腰直角三角形和方位角，根据方位角求出三角形各角的度数是解题的关键．12．化简的结果是（）A．B．C．D．【考点】分式的混合运算．【分析】首先利用分式的加法法则计算括号内的式子，然后把除法转化成乘法，即可求解．【解答】解：原式=•=．故选A．【点评】本题考查了分式的混合运算，正确理解运算顺序，理解运算法则是关键．13．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y=bx+c和反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】二次函数的图象；一次函数的图象；反比例函数的图象．【专题】压轴题；数形结合．【分析】根据二次函数图象开口方向与对称轴判断出a、b的正负情况，再根据二次函数图象与y轴的交点判断出c=0，然后根据一次函数图象与系数的关系，反比例函数图象与系数的关系判断出两图象的大致情况即可得解．【解答】解：∵二次函数图象开口向下，∴a＜0，∵对称轴x=﹣＜0，∴b＜0，∵二次函数图象经过坐标原点，∴c=0，∴一次函数y=bx+c过第二四象限且经过原点，反比例函数y=位于第二四象限，纵观各选项，只有C选项符合．故选C．【点评】本题考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，根据二次函数图象判断出a、b、c的情况是解题的关键，也是本题的难点．14．如右图所示，已知等腰梯形ABCD，AD∥BC，若动直线l垂直于BC，且向右平移，设扫过的阴影部分的面积为S，BP为x，则S关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．【考点】动点问题的函数图象．【专题】压轴题．【分析】分三段考虑，①当直线l经过BA段时，②直线l经过AD段时，③直线l经过DC段时，分别观察出面积变化的情况，然后结合选项即可得出答案．【解答】解：①当直线l经过BA段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度越来越快；②直线l经过AD段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度保持不变；③直线l经过DC段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度越来越小；结合选项可得，A选项的图象符合．故选A．【点评】本题考查了动点问题的函数图象，类似此类问题，有时候并不需要真正解出函数解析式，只要我们能判断面积增大的快慢就能选出答案．15．李明同学早上骑自行车上学，中途因道路施工步行一段路，到学校共用时15分钟．他骑自行车的平均速度是250米/分钟，步行的平均速度是80米/分钟．他家离学校的距离是2900米．如果他骑车和步行的时间分别为x、y分钟，列出的方程是（）A．B．C．D．【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．【分析】根据关键语句“到学校共用时15分钟”可得方程：x+y=15，根据“骑自行车的平均速度是250米/分钟，步行的平均速度是80米/分钟．他家离学校的距离是2900米”可得方程：250x+80y=2900，两个方程组合可得方程组．【解答】解：他骑车和步行的时间分别为x分钟，y分钟，由题意得：，故选：D．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是弄清题意，找出合适的等量关系，列出方程组．16．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，则CE的长为（）A．3 B．3.5 C．2.5 D．2.8【考点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质．【专题】计算题．【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得AE=CE，设CE=x，表示出ED的长度，然后在Rt△CDE中，利用勾股定理列式计算即可得解．【解答】解：∵EO是AC的垂直平分线，∴AE=CE，设CE=x，则ED=AD﹣AE=4﹣x，在Rt△CDE中，CE2=CD2+ED2，即x2=22+（4﹣x）2，解得x=2.5，即CE的长为2.5．故选：C．【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，勾股定理的应用，把相应的边转化为同一个直角三角形的边是解题的关键．17．如图，为测量某物体AB的高度，在D点测得A点的仰角为30°，朝物体AB方向前进20米，到达点C，再次测得点A的仰角为60°，则物体AB的高度为（）A．10米B．10米C．20米D．米【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】首先根据题意分析图形；本题涉及到两个直角三角形，应利用其公共边AB及CD=DC﹣BC=20构造方程关系式，进而可解，即可求出答案．【解答】解：∵在直角三角形ADB中，∠D=30°，∴=tan30°∴BD==AB∵在直角三角形ABC中，∠ACB=60°，∴BC==AB∵CD=20∴CD=BD﹣BC=AB﹣AB=20解得：AB=10．故选A．【点评】本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．18．如图，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC=AC，∠ACB的平分线CE交AD于E，点F是AB的中点，则S△AEF：S四边形BDEF为（）A．3：4 B．1：2 C．2：3 D．1：3【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；三角形中位线定理．【分析】由题意可推出△ADC为等腰三角形，CE为顶角∠ACD的角平分线，所以也是底边上的中线和高，因此E为AD的中点，所以EF为△ABD的中位线，这样即可判断出S△AEF：S四边形BDEF的值．【解答】解：∵DC=AC，∴△ADC是等腰三角形，∵∠ACB的平分线CE交AD于E，∴E为AD的中点（三线合一），又∵点F是AB的中点，∴EF为△ABD的中位线，∴EF=BD，△AFE∽△ABD，∵S△AFE：S△ABD=1：4，∴S△AFE：S四边形BDEF=1：3，故选D．【点评】本题主要考查等腰三角形的判定和性质、三角形中位线的定义和性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键在于求证EF为中位线，S△AFE：S△ABD=1：4．19．已知关于x的一元二次方程（k﹣2）2x2+（2k+1）x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞B．k≥C．k＞且k≠2D．k≥且k≠2【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．【专题】计算题．【分析】根据方程有两个不相等的实数根，可知△＞0，据此列出关于k的不等式，解答即可．【解答】解：∵方程为一元二次方程，∴k﹣2≠0，即k≠2，∵方程有两个不相等的实数根，∴△＞0，∴（2k+1）2﹣4（k﹣2）2＞0，∴（2k+1﹣2k+4）（2k+1+2k﹣4）＞0，∴5（4k﹣3）＞0，k＞，故k＞且k≠2．故选C．【点评】本题考查了根的判别式和一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义判断出二次项系数不为0是解题的关键．20．如图，在斜边长为1的等腰直角三角形OAB中，作内接正方形A1B1C1D1；在等腰直角三角形OA1B1中，作内接正方形A2B2C2D2；在等腰直角三角形OA2B2中，作内接正方形A3B3C3D3；…；依次作下去，则第n个正方形A n B n C n D n的边长是（）A．B．C．D．【考点】等腰直角三角形；正方形的性质．【专题】压轴题；规律型．【分析】过O作OM垂直于AB，交AB于点M，交A1B1于点N，由三角形OAB与三角形OA1B1都为等腰直角三角形，得到M为AB的中点，N为A1B1的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得出OM为AB的一半，由AB=1求出OM的长，再由ON为A1B1的一半，即为MN的一半，可得出ON 与OM的比值，求出MN的长，即为第1个正方形的边长，同理求出第2个正方形的边长，依此类推即可得到第n个正方形的边长．【解答】解：过O作OM⊥AB，交AB于点M，交A1B1于点N，如图所示：∵A1B1∥AB，∴ON⊥A1B1，∵△OAB为斜边为1的等腰直角三角形，∴OM=AB=，又∵△OA1B1为等腰直角三角形，∴ON=A1B1=MN，∴ON：OM=1：3，∴第1个正方形的边长A1C1=MN=OM=×=，同理第2个正方形的边长A2C2=ON=×=，则第n个正方形A n B n D n C n的边长．故选：B【点评】此题考查了等腰直角三角形的性质，以及正方形的性质，属于一道规律型的题，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解本题的关键．二、填空题：（本大题共4小题，共12分，只要求填写最后结果，每小题填对得3分．）21．分解因式：x3﹣6x2+9x= x（x﹣3）2．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【专题】因式分解．【分析】先提取公因式x，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．【解答】解：x3﹣6x2+9x，=x（x2﹣6x+9），=x（x﹣3）2．故答案为：x（x﹣3）2．【点评】本题考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，关键在于需要进行二次分解因式．22．已知x1、x2是方程2x2+14x﹣16=0的两实数根，那么的值为﹣．【考点】根与系数的关系．【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求得x1+x2=﹣7，x1•x2=﹣8；然后将所求的代数式转化为含有x1+x2、x1•x2形式，并将其代入求值即可．【解答】解：∵x1、x2是方程2x2+14x﹣16=0的两实数根，∴根据韦达定理知，x1+x2=﹣7，x1•x2=﹣8，∴==﹣．故答案是：﹣．【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．23．如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=6，点C是优弧上一点（不与A，B重合），则cosC的值为．【考点】圆周角定理；勾股定理；垂径定理；锐角三角函数的定义．【分析】首先构造直径所对圆周角，利用勾股定理得出BD的长，再利用cosC=cosD=求出即可．【解答】解：连接AO并延长到圆上一点D，连接BD，可得AD为⊙O直径，故∠ABD=90°，∵⊙O的半径为5，∴AD=10，在Rt△ABD中，BD===8，∵∠ADB与∠ACB所对同弧，∴∠D=∠C，∴cosC=cosD===，故答案为：．【点评】此题主要考查了勾股定理以及锐角三角函数的定义和圆周角定理，根据已知构造直角三角形ABD是解题关键．24．如图，点A在双曲线y=上，过A作AC⊥x轴，垂足为C，OA的垂直平分线交OC于点B，当OA=4时，则△ABC周长为．【考点】反比例函数综合题．【分析】根据线段垂直平分线的性质可知AB=OB，由此推出△ABC的周长=OC+AC，设OC=a，AC=b，根据勾股定理和函数解析式即可得到关于a、b的方程组，解之即可求出△ABC的周长．【解答】解：设A（a，b），则OC=a，AC=b．∵点A在双曲线y=上，∴b=，即ab=6；∵OA的垂直平分线交OC于B，∴AB=OB，∴△ABC的周长=OC+AC，则：，解得a+b=2，即△ABC的周长=OC+AC=2．故答案是：2．【点评】本题考查反比例函数图象性质和线段中垂线性质，以及勾股定理的综合应用，关键是一个转换思想，即把求△ABC的周长转换成求OC+AC，即可解决问题．三、解答题：（本大题共5小题，共48分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）25．（1）计算：|﹣2|+（﹣1）2012×（π﹣3）0﹣+（﹣2）﹣2（2）化简求值：÷•，其中a=﹣2．【考点】分式的化简求值；实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．【专题】计算题．【分析】（1）原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用乘方的意义及零指数幂法则计算，第三项化为最简二次根式，最后一项利用负指数幂法则计算即可得到结果；（2）原式利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．【解答】解：（1）原式=2+1﹣2+=﹣2；（2）原式=••=，当a=﹣2时，原式=．【点评】此题考查了分式的化简求值，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．26．某学校后勤人员到一家文具店给九年级的同学购买考试用文具包，文具店规定一次购买400个以上，可享受8折优惠．若给九年级学生每人购买一个，不能享受8折优惠，需付款1936元；若多买88个，就可享受8折优惠，同样只需付款1936元．请问该学校九年级学生有多少人？【考点】分式方程的应用．【分析】首先设九年级学生有x人，根据“给九年级学生每人购买一个，不能享受8折优惠，需付款1936元”可得每个文具包的花费是：元，根据“若多买88个，就可享受8折优惠，同样只需付款1936元”可得每个文具包的花费是：，根据题意可得方程×0.8=，解方程即可．【解答】解：设九年级学生有x人，根据题意，列方程得：×0.8=，整理得：0.8（x+88）=x，解之得：x=352，经检验x=352是原方程的解，答：这个学校九年级学生有352人．【点评】此题主要考查了分式方程的应用，关键是弄清题意，找出题目中的等量关系，列出方程，列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．27．如图，点A，E是半圆周上的三等分点，直径BC=2，AD⊥BC，垂足为D，连接BE交AD于F，过A作AG∥BE交BC于G．（1）判断直线AG与⊙O的位置关系，并说明理由．（2）求线段AF的长．【考点】切线的判定；等边三角形的判定与性质；垂径定理；解直角三角形．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）求出弧AB=弧AE=弧EC，推出OA⊥BE，根据AG∥BE，推出OA⊥AG，根据切线的判定即可得出答案；（2）求出等边三角形AOB，求出BD、AD长，求出∠EBC=30°，在△FBD中，通过解直角三角形求出DF即可．【解答】解：（1）直线AG与⊙O的位置关系是AG与⊙O相切，理由是：连接OA，∵点A，E是半圆周上的三等分点，∴弧AB=弧AE=弧EC，∴点A是弧BE的中点，∴OA⊥BE，又∵AG∥BE，∴OA⊥AG，∴AG与⊙O相切．（2）∵点A，E是半圆周上的三等分点，∴∠AOB=∠AOE=∠EOC=60°，又∵OA=OB，∴△ABO为正三角形，又∵AD⊥OB，OB=1，∴BD=OD=，AD=，又∵∠EBC=∠EOC=30°（圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半），在Rt△FBD中，FD=BD•tan∠EBC=BD•tan30°=×=，∴AF=AD﹣DF=﹣=．答：AF的长是．【点评】本题考查了解直角三角形，垂径定理，切线的判定等知识点的应用，能运用定理进行推理和计算是解此题的关键，注意：垂径定理和解直角三角形的巧妙运用，题目比较好，难度也适中．28．如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．（1）求证：∠APB=∠BPH；（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论；（3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．【考点】翻折变换（折叠问题）；二次函数的最值；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．【专题】压轴题．【分析】（1）根据翻折变换的性质得出∠PBC=∠BPH，进而利用平行线的性质得出∠APB=∠PBC即可得出答案；（2）首先证明△ABP≌△QBP，进而得出△BCH≌△BQH，即可得出PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8；（3）利用已知得出△EFM≌△BPA，进而利用在Rt△APE中，（4﹣BE）2+x2=BE2，利用二次函数的最值求出即可．【解答】（1）证明：如图1，∵PE=BE，∴∠EBP=∠EPB．又∵∠EPH=∠EBC=90°，∴∠EPH﹣∠EPB=∠EBC﹣∠EBP．即∠PBC=∠BPH．又∵AD∥BC，∴∠APB=∠PBC．。

2015年山东省泰安市中考数学试卷一、选择题（本大题共20道小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）1．若（）﹣（﹣2）=3，则括号内的数是（）A．﹣1 B．1C．5D．﹣52．下列计算正确的是（）A．a4+a4=a8B．（a3）4=a7C．12a6b4÷3a2b﹣2=4a4b2D．（﹣a3b）2=a6b23．下列四个几何体：其中左视图与俯视图相同的几何体共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．地球的表面积约为510000000km2，将510000000用科学记数法表示为（）A．0.51×109B．5.1×109C．5.1×108D．0.51×1075．如图，AB∥CD，∠1=58°，FG平分∠EFD，则∠FGB的度数等于（）A．122°B．151°C．116°D．97°6．如图，在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成轴对称图形的概率是（）A．B．C．D．7．小亮的妈妈用28元钱买了甲、乙两种水果，甲种水果每千克4元，乙种水果每千克6元，且乙种水果比甲种水果少买了2千克，求小亮妈妈两种水果各买了多少千克？设小亮妈妈买了甲种水果x千克，乙种水果y千克，则可列方程组为（）A．B．C．D．8．化简：（a+）（1﹣）的结果等于（）A．a﹣2 B．a+2 C．D．9．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B=60°，⊙O的半径为4，则AC的长等于（）A．4B．6C．2D．810．若十位上的数字比个位上的数字、百位上的数字都大的三位数叫做中高数，如796就是一个“中高数”．若十位上数字为7，则从3、4、5、6、8、9中任选两数，与7组成“中高数”的概率是（）A．B．C．D．11．某单位若干名职工参加普法知识竞赛，将成绩制成如图所示的扇形统计图和条形统计图，根据图中提供的信息，这些职工成绩的中位数和平均数分别是（）A．94分，96分B．96分，96分C．94分，96.4分D．96分，96.4分12．不等式组的整数解的个数为（）A．1B．2C．3D．413．（3分）（2015•泰安）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC 交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE=2BF．给出下列四个结论：①DE=DF；②DB=DC；③AD⊥BC；④AC=3BF，其中正确的结论共有（）A．4个B．3个C．2个D．1个14．如图，轮船从B处以每小时60海里的速度沿南偏东20°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东50°方向上，轮船航行40分钟到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东10°方向上，则C处与灯塔A的距离是（）A．20海里B．40海里C．海里D．海里15．如图，在平面直角坐标系中，正三角形OAB的顶点B的坐标为（2，0），点A在第一象限内，将△OAB沿直线OA的方向平移至△O′A′B′的位置，此时点A′的横坐标为3，则点B′的坐标为（）A．（4，2）B．（3，3）C．（4，3）D．（3，2）16．在同一坐标系中，一次函数y=﹣mx+n2与二次函数y=x2+m的图象可能是（）A．B．C．D．17．（3分）（2015•泰安）如图，菱形ABCD的边长为2，∠A=60°，以点B为圆心的圆与AD、DC相切，与AB、CB的延长线分别相交于点E、F，则图中阴影部分的面积为（）A．+B．+πC．﹣D．2+18．下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的：根据此规律确定x的值为（）A．135 B．170 C．209 D．25219．某同学在用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列出了下面的表格：x …﹣2 ﹣1 0 1 2 …y …﹣11 ﹣2 1 ﹣2 ﹣5 …由于粗心，他算错了其中一个y值，则这个错误的数值是（）A．﹣11 B．﹣2 C．1D．﹣520．如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F．若AB=6，BC=4，则FD的长为（）A．2B．4C．D．2二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）21．分解因式：9x3﹣18x2+9x=．22．方程：（2x+1）（x﹣1）=8（9﹣x）﹣1的根为．23．如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM 的中点．若AB=8，AD=12，则四边形ENFM的周长为．24．如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线，切点为F．若∠ACF=65°，则∠E=．三、解答题（本大题共5小题，满分48分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）25．某服装店购进一批甲、乙两种款型时尚T恤衫，甲种款型共用了7800元，乙种款型共用了6400元，甲种款型的件数是乙种款型件数的1.5倍，甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少30元．（1）甲、乙两种款型的T恤衫各购进多少件？（2）商店进价提高60%标价销售，销售一段时间后，甲款型全部售完，乙款型剩余一半，商店决定对乙款型按标价的五折降价销售，很快全部售完，求售完这批T恤衫商店共获利多少元？26．一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象相交于A（﹣1，4），B（2，n）两点，直线AB交x轴于点D．（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）过点B作BC⊥y轴，垂足为C，连接AC交x轴于点E，求△AED的面积S．27．如图，在△ABC中，AB=AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD=∠B．（1）求证：AC•CD=CP•BP；（2）若AB=10，BC=12，当PD∥AB时，求BP的长．28．如图，△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°，四边形BCDE是平行四边形，E为AC 中点，BD平分∠ABC，点F在AB上，且BF=BC．求证：（1）DF=AE；（2）DF⊥AC．29．如图，抛物线y=ax2+bx+c为x轴的一交点为A（﹣6，0），与y轴的交点为C（0，3），且经过点G（﹣2，3）．（1）求抛物线的表达式；（2）点P是线段OA上一动点，过P作平行于y轴的直线与AC交于点Q，设△CPQ的面积为S，求S的最大值；（3）若点B是抛物线与x轴的另一定点，点D、M在线段AB上，点N在线段AC上，∠DCB=∠CDB，CD是MN的垂直平分线，求点M的坐标．2015年山东省泰安市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共20道小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）1．（3分）（2015•泰安）若（）﹣（﹣2）=3，则括号内的数是（）A．﹣1 B．1C．5D．﹣5考点：有理数的加法．专题：计算题．分析：根据题意列出算式，计算即可得到结果．解答：解：根据题意得：3+（﹣2）=1，则1﹣（﹣2）=3，故选B．点评：此题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．（3分）（2015•泰安）下列计算正确的是（）A．a4+a4=a8B．（a3）4=a7C．12a6b4÷3a2b﹣2=4a4b2D．（﹣a3b）2=a6b2考点：整式的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方．专题：计算题．分析：原式各项计算得到结果，即可做出判断．解答：解：A、原式=2a4，错误；B、原式=a12，错误；C、原式=4a4b6，错误；D、原式=a6b2，正确．故选D．点评：此题考查了整式的除法，合并同类项，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．3．（3分）（2015•泰安）下列四个几何体：其中左视图与俯视图相同的几何体共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：简单几何体的三视图．分析：左视图、俯视图是分别从物体左面和上面看，所得到的图形．解答：解：正方体左视图、俯视图都是正方形，左视图与俯视图相同；球左视图、俯视图都是圆，左视图与俯视图相同；圆锥左视图、俯视图分别是三角形、有圆心的圆，左视图与俯视图不相同；圆柱左视图、俯视图分别是长方形、圆，左视图与俯视图不相同；即同一个几何体的左视图与俯视图相同的几何体共有2个．故选B．点评：本题考查了简单几何体的三视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．4．（3分）（2015•泰安）地球的表面积约为510000000km2，将510000000用科学记数法表示为（）A．0.51×109B．5.1×109C．5.1×108D．0.51×107考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于510000000有9位，所以可以确定n=9﹣1=8．解答：解：510 000 000=5.1×108．故选C．点评：此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．5．（3分）（2015•泰安）如图，AB∥CD，∠1=58°，FG平分∠EFD，则∠FGB的度数等于（）A．122°B．151°C．116°D．97°考点：平行线的性质．分析：根据两直线平行，同位角相等求出∠EFD，再根据角平分线的定义求出∠GFD，然后根据两直线平行，同旁内角互补解答．解答：解：∵AB∥CD，∠1=58°，∴∠EFD=∠1=58°，∵FG平分∠EFD，∴∠GFD=∠EFD=×58°=29°，∵AB∥CD，∴∠FGB=180°﹣∠GFD=151°．故选B．点评：题考查了平行线的性质，角平分线的定义，比较简单，准确识图并熟记性质是解题的关键．6．（3分）（2015•泰安）如图，在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成轴对称图形的概率是（）A．B．C．D．考点：概率公式；轴对称图形．分析：由随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，共有5种等可能的结果，使与图中阴影部分构成轴对称图形的有3种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．解答：解：∵在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，共有5种等可能的结果，使与图中阴影部分构成轴对称图形的有②④⑤，3种情况，∴使与图中阴影部分构成轴对称图形的概率是：3÷5=．故选C．点评：此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．也考查了轴对称图形的定义．7．（3分）（2015•泰安）小亮的妈妈用28元钱买了甲、乙两种水果，甲种水果每千克4元，乙种水果每千克6元，且乙种水果比甲种水果少买了2千克，求小亮妈妈两种水果各买了多少千克？设小亮妈妈买了甲种水果x千克，乙种水果y千克，则可列方程组为（）A．B．C．D．考点：由实际问题抽象出二元一次方程组．分析：设小亮妈妈买了甲种水果x千克，乙种水果y千克，根据两种水果共花去28元，乙种水果比甲种水果少买了2千克，据此列方程组．解答：解：设小亮妈妈买了甲种水果x千克，乙种水果y千克，由题意得．故选A．点评：本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组．8．（3分）（2015•泰安）化简：（a+）（1﹣）的结果等于（）A．a﹣2 B．a+2 C．D．考点：分式的混合运算．专题：计算题．分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的加减法则计算，约分即可得到结果．解答：解：•=•=a+2．故选B．点评：此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．9．（3分）（2015•泰安）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B=60°，⊙O的半径为4，则AC 的长等于（）A．4B．6C．2D．8考点：垂径定理；含30度角的直角三角形；勾股定理；圆周角定理．分析：首先连接OA，OC，过点O作OD⊥AC于点D，由圆周角定理可求得∠AOC的度数，进而可在构造的直角三角形中，根据勾股定理求得弦AC的一半，由此得解．解答：解：连接OA，OC，过点O作OD⊥AC于点D，∵∠AOC=2∠B，且∠AOD=∠COD=∠AOC，∴∠COD=∠B=60°；在Rt△COD中，OC=4，∠COD=60°，∴CD=OC=2，∴AC=2CD=4．故选A．点评：此题主要考查了三角形的外接圆以及勾股定理的应用，还涉及到圆周角定理、垂径定理以及直角三角形的性质等知识，难度不大．10．（3分）（2015•泰安）若十位上的数字比个位上的数字、百位上的数字都大的三位数叫做中高数，如796就是一个“中高数”．若十位上数字为7，则从3、4、5、6、8、9中任选两数，与7组成“中高数”的概率是（）A．B．C．D．考点：列表法与树状图法．专题：新定义．分析：首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与与7组成“中高数”的情况，再利用概率公式即可求得答案．解答：解：列表得：9 379 479 579 679 879 ﹣8 378 478 578 678 ﹣9786 376 476 576 ﹣876 9765 375 475 ﹣675 875 9754 374 ﹣574 674 874 9743 ﹣473 573 673 873 9733 4 5 6 8 9∵共有30种等可能的结果，与7组成“中高数”的有12种情况，∴与7组成“中高数”的概率是：=．故选C．点评：此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．11．（3分）（2015•泰安）某单位若干名职工参加普法知识竞赛，将成绩制成如图所示的扇形统计图和条形统计图，根据图中提供的信息，这些职工成绩的中位数和平均数分别是（）A．94分，96分B．96分，96分C．94分，96.4分D．96分，96.4分考点：中位数；扇形统计图；条形统计图；算术平均数．分析：首先利用扇形图以及条形图求出总人数，进而求得每个小组的人数，然后根据中位数的定义求出这些职工成绩的中位数，利用加权平均数公式求出这些职工成绩的平均数．解答：解：总人数为6÷10%=60（人），则94分的有60×20%=12（人），98分的有60﹣6﹣12﹣15﹣9=18（人），第30与31个数据都是96分，这些职工成绩的中位数是（96+96）÷2=96；这些职工成绩的平均数是（92×6+94×12+96×15+98×18+100×9）÷60=（552+1128+1440+1764+900）÷60=5784÷60=96.4．故选：D．点评：本题考查了统计图及中位数的定义：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．解题的关键是从统计图中获取正确的信息并求出各个小组的人数．同时考查了平均数的计算．12．（3分）（2015•泰安）不等式组的整数解的个数为（）A．1B．2C．3D．4考点：一元一次不等式组的整数解．分析：先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后写出所有的整数解即可求出个数．解答：解：，解不等式①得，x＞﹣，解不等式②得，x≤1，所以，不等式组的解集是﹣＜x≤1，所以，不等式组的整数解有﹣1、0、1共3个．故选C．点评：本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．13．（3分）（2015•泰安）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC 交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE=2BF．给出下列四个结论：①DE=DF；②DB=DC；③AD⊥BC；④AC=3BF，其中正确的结论共有（）A．4个B．3个C．2个D．1个考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；相似三角形的判定与性质．分析：根据等腰三角形的性质三线合一得到BD=CD，AD⊥BC，故②③正确；通过△CDE≌△DBF，得到DE=DF，CE=BF，故①④正确．解答：解：∵BF∥AC，∴∠C=∠CBF，∵BC平分∠ABF，∴∠ABC=∠CBF，∴∠C=∠ABC，∴AB=AC，∵AD是△ABC的角平分线，∴BD=CD，AD⊥BC，故②③正确，在△CDE与△DBF中，，∴△CDE≌△DBF，∴DE=DF，CE=BF，故①正确；∵AE=2BF，∴AC=3BF，故④正确．故选A．点评：本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，掌握等腰三角形的性质三线合一是解题的关键．14．（3分）（2015•泰安）如图，轮船从B处以每小时60海里的速度沿南偏东20°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东50°方向上，轮船航行40分钟到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东10°方向上，则C处与灯塔A的距离是（）A．20海里B．40海里C．海里D．海里考点：解直角三角形的应用-方向角问题．分析：作AM⊥BC于M．由题意得，∠DBC=20°，∠DBA=50°，BC=60×=40海里，∠NCA=10°，则∠ABC=∠ABD﹣∠CBD=30°．由BD∥CN，得出∠BCN=∠DBC=20°，那么∠ACB=∠ACN+∠BCN=30°=∠ABC，根据等角对等边得出AB=AC，由等腰三角形三线合一的性质得到CM=BC=20海里．然后在直角△ACM中，利用余弦函数的定义得出AC=，代入数据计算即可．解答：解：如图，作AM⊥BC于M．由题意得，∠DBC=20°，∠DBA=50°，BC=60×=40海里，∠NCA=10°，则∠ABC=∠ABD﹣∠CBD=50°﹣20°=30°．∵BD∥CN，∴∠BCN=∠DBC=20°，∴∠ACB=∠ACN+∠BCN=10°+20°=30°，∴∠ACB=∠ABC=30°，∴AB=AC，∵AM⊥BC于M，∴CM=BC=20海里．在直角△ACM中，∵∠AMC=90°，∠ACM=30°，∴AC===（海里）．故选D．点评：本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，余弦函数的定义，难度适中．求出CM=BC=20海里是解题的关键．15．（3分）（2015•泰安）如图，在平面直角坐标系中，正三角形OAB的顶点B的坐标为（2，0），点A在第一象限内，将△OAB沿直线OA的方向平移至△O′A′B′的位置，此时点A′的横坐标为3，则点B′的坐标为（）A．（4，2）B．（3，3）C．（4，3）D．（3，2）考点：坐标与图形变化-平移；等边三角形的性质．分析：作AM⊥x轴于点M．根据等边三角形的性质得出OA=OB=2，∠AOB=60°，在直角△OAM中利用含30°角的直角三角形的性质求出OM=OA=1，AM=OM=，则A（1，），直线OA的解析式为y=x，将x=3代入，求出y=3，那么A′（3，3），由一对对应点A与A′的坐标求出平移规律，再根据此平移规律即可求出点B′的坐标．解答：解：如图，作AM⊥x轴于点M．∵正三角形OAB的顶点B的坐标为（2，0），∴OA=OB=2，∠AOB=60°，∴OM=OA=1，AM=OM=，∴A（1，），∴直线OA的解析式为y=x，∴当x=3时，y=3，∴A′（3，3），∴将点A向右平移2个单位，再向上平移2个单位后可得A′，∴将点B（2，0）向右平移2个单位，再向上平移2个单位后可得B′，∴点B′的坐标为（4，2），故选A．点评：本题考查了坐标与图形变化﹣平移，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．也考查了等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质．求出点A′的坐标是解题的关键．16．（3分）（2015•泰安）在同一坐标系中，一次函数y=﹣mx+n2与二次函数y=x2+m的图象可能是（）A．B．C．D．考点：二次函数的图象；一次函数的图象．分析：本题可先由一次函数y=﹣mx+n2图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=x2+m的图象相比较看是否一致．解答：解：A、由直线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，n2＜0，错误；B、由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知，m＞0，由直线可知，﹣m＞0，错误；C、由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＜0，错误；D、由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＞0，正确，故选D．点评：本题考查抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法，难度适中．17．（3分）（2015•泰安）如图，菱形ABCD的边长为2，∠A=60°，以点B为圆心的圆与AD、DC相切，与AB、CB的延长线分别相交于点E、F，则图中阴影部分的面积为（）A．+B．+πC．﹣D．2+考点：扇形面积的计算；菱形的性质；切线的性质．分析：设AD与圆的切点为G，连接BG，通过解直角三角形求得圆的半径，然后根据扇形的面积公式求得三个扇形的面积，进而就可求得阴影的面积．解答：解：设AD与圆的切点为G，连接BG，∴BG⊥AD，∵∠A=60°，BG⊥AD，∴∠ABG=30°，在直角△ABG中，BG=AB=×2=，AG=AD=1，∴S△ABG=AG•BG=，圆B的半径为．在菱形ABCD中，∠A=60°，则∠ABC=120°，∴∠EBF=120°，∴S阴影=+2【﹣】=2+．故选A．点评：此题主要考查了菱形的性质以及切线的性质以及扇形面积等知识，正确利用菱形的性质和切线的性质求出圆的半径是解题关键．18．（3分）（2015•泰安）下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的：根据此规律确定x的值为（）A．135 B．170 C．209 D．252考点：规律型：数字的变化类．分析：首先根据图示，可得第n个表格的左上角的数等于n，左下角的数等于n+1；然后根据4﹣1=3，6﹣2=4，8﹣3=5，10﹣4=6，…，可得从第一个表格开始，右上角的数与左上角的数的差分别是3、4、5、…，n+2，据此求出a的值是多少；最后根据每个表格中右下角的数等于左下角的数与右上角的数的积加上左上角的数，求出x的值是多少即可．解答：解：∵a+（a+2）=20，∴a=9，∵b=a+1，∴b=a+1=9+1=10，∴x=20b+a=20×10+9=200+9=209故选：C．点评：此题主要考查了探寻数字规律问题，注意观察总结出规律，并能正确的应用规律．19．（3分）（2015•泰安）某同学在用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列出了下面的表格：x …﹣2 ﹣1 0 1 2 …y …﹣11 ﹣2 1 ﹣2 ﹣5 …由于粗心，他算错了其中一个y值，则这个错误的数值是（）A．﹣11 B．﹣2 C．1D．﹣5考点：二次函数的图象．分析：根据关于对称轴对称的自变量对应的函数值相等，可得答案．解答：解：由函数图象关于对称轴对称，得（﹣1，﹣2），（0，1），（1，2）在函数图象上，把（﹣1，﹣2），（0，1），（1，﹣2）代入函数解析式，得，解得，函数解析式为y=﹣3x2+1x=2时y=﹣11，故选：D．点评：本题考查了二次函数图象，利用函数图象关于对称轴对称是解题关键．20．（3分）（2015•泰安）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F．若AB=6，BC=4，则FD的长为（）A．2B．4C．D．2考点：翻折变换（折叠问题）．分析：根据点E是AD的中点以及翻折的性质可以求出AE=DE=EG，然后利用“HL”证明△EDF和△EGF全等，根据全等三角形对应边相等可证得DF=GF；设FD=x，表示出FC、BF，然后在Rt△BCF中，利用勾股定理列式进行计算即可得解．解答：解：∵E是AD的中点，∴AE=DE，∵△ABE沿BE折叠后得到△GBE，∴AE=EG，AB=BG，∴ED=EG，∵在矩形ABCD中，∴∠A=∠D=90°，∴∠EGF=90°，∵在Rt△EDF和Rt△EGF中，，∴Rt△EDF≌Rt△EGF（HL），∴DF=FG，设DF=x，则BF=6+x，CF=6﹣x，在Rt△BCF中，（4）2+（6﹣x）2=（6+x）2，解得x=4．故选：B．点评：本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，翻折的性质，熟记性质，找出三角形全等的条件EF=EC是解题的关键．二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）21．（3分）（2015•泰安）分解因式：9x3﹣18x2+9x=9x（x﹣1）2．考点：提公因式法与公式法的综合运用．分析：首先提取公因式9x，进而利用完全平方公式分解因式得出即可．解答：解：9x3﹣18x2+9x=9x（x2﹣2x+1）=9x（x﹣1）2．故答案为：9x（x﹣1）2．点评：此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用完全平方公式是解题关键．22．（3分）（2015•泰安）方程：（2x+1）（x﹣1）=8（9﹣x）﹣1的根为﹣8或．考点：解一元二次方程-因式分解法．分析：首先去括号，进而合并同类项，再利用十字相乘法分解因式得出即可．解答：解：（2x+1）（x﹣1）=8（9﹣x）﹣1整理得：2x2﹣x﹣1=72﹣8x﹣12x2+7x﹣72=0，则（x+8）（2x﹣9）=0，解得：x1=﹣8，x2=．故答案为：﹣8或．点评：此题主要考查了因式分解法解方程，正确利用十字相乘法分解因式是解题关键．23．（3分）（2015•泰安）如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F 分别是线段BM、CM的中点．若AB=8，AD=12，则四边形ENFM的周长为20．考点：三角形中位线定理；勾股定理；矩形的性质．分析：根据M是边AD的中点，得AM=DM=6，根据勾股定理得出BM=CM=10，再根据E、F分别是线段BM、CM的中点，即可得出EM=FM=5，再根据N是边BC的中点，得出EM=FN，EN=FM，从而得出四边形EN，FM的周长．解答：解：∵M、N分别是边AD、BC的中点，AB=8，AD=12，∴AM=DM=6，∵四边形ABCD为矩形，∴∠A=∠D=90°，∴BM=CM=10，∵E、F分别是线段BM、CM的中点，∴EM=FM=5，∴EN，FN都是△BCM的中位线，∴EN=FN=5，∴四边形ENFM的周长为5+5+5+5=20，故答案为20．点评：本题考查了三角形的中位线，勾股定理以及矩形的性质，是中考常见的题型，难度不大，比较容易理解．24．（3分）（2015•泰安）如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线，切点为F．若∠ACF=65°，则∠E=50°．考点：切线的性质．分析：连接DF，连接AF交CE于G，由AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，得到，由于EF是⊙O的切线，推出∠GFE=∠GFD+∠DFE=∠ACF=65°根据外角的性质和圆周角定理得到∠EFG=∠EGF=65°，于是得到结果．解答：解：连接DF，连接AF交CE于G，∵AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，∴，∵EF是⊙O的切线，∴∠GFE=∠GFD+∠DFE=∠ACF=65°，∵∠FGD=∠FCD+∠CFA，∵∠DFE=∠DCF，∠GFD=∠AFC，∠EFG=∠EGF=65°，∴∠E=180°﹣∠EFG﹣∠EGF=50°，故答案为：50°．点评：本题考查了切线的性质，圆周角定理，垂径定理，正确的作出辅助线是解题的关键．三、解答题（本大题共5小题，满分48分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）25．（8分）（2015•泰安）某服装店购进一批甲、乙两种款型时尚T恤衫，甲种款型共用了7800元，乙种款型共用了6400元，甲种款型的件数是乙种款型件数的1.5倍，甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少30元．（1）甲、乙两种款型的T恤衫各购进多少件？（2）商店进价提高60%标价销售，销售一段时间后，甲款型全部售完，乙款型剩余一半，商店决定对乙款型按标价的五折降价销售，很快全部售完，求售完这批T恤衫商店共获利多少元？考点：分式方程的应用．分析：（1）可设乙种款型的T恤衫购进x件，则甲种款型的T恤衫购进1.5x件，根据甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少30元，列出方程即可求解；（2）先求出甲款型的利润，乙款型前面销售一半的利润，后面销售一半的亏损，再相加即可求解．解答：解：（1）设乙种款型的T恤衫购进x件，则甲种款型的T恤衫购进1.5x件，依题意有+30=，解得x=40，经检验，x=40是原方程组的解，且符合题意，1.5x=60．答：甲种款型的T恤衫购进60件，乙种款型的T恤衫购进40件；（2）=160，160﹣30=130（元），130×60%×60+160×60%×（40÷2）﹣160×[1﹣（1+60%）×0.5]×（40÷2）=4680+1920﹣640=5960（元）答：售完这批T恤衫商店共获利5960元．点评：本题考查了列分式方程解实际问题的运用，分式方程的解法的运用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．26．（8分）（2015•泰安）一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象相交于A（﹣1，4），B（2，n）两点，直线AB交x轴于点D．（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）过点B作BC⊥y轴，垂足为C，连接AC交x轴于点E，求△AED的面积S．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．分析：（1）把A（﹣1，4）代入反比例函数y=可得m的值，即确定反比例函数的解析式；再把B（2，n）代入反比例函数的解析式得到n的值；然后利用待定系数法确定一次函数的解析式；（2）先由BC⊥y轴，垂足为C以及B点坐标确定C点坐标，再利用待定系数法求出直线AC的解析式，进一步求出点E的坐标，然后计算得出△AED的面积S．解答：解：（1）把A（﹣1，4）代入反比例函数y=得，m=﹣1×4=﹣4，所以反比例函数的解析式为y=﹣；把B（2，n）代入y=﹣得，2n=﹣4，解得n=﹣2，所以B点坐标为（2，﹣2），把A（﹣1，4）和B（2，﹣2）代入一次函数y=kx+b得，，解得，所以一次函数的解析式为y=﹣2x+2；（2）∵BC⊥y轴，垂足为C，B（2，﹣2），∴C点坐标为（0，﹣2）．设直线AC的解析式为y=px+q，∵A（﹣1，4），C（0，﹣2），∴，解，∴直线AC的解析式为y=﹣6x﹣2，当y=0时，﹣6x﹣2=0，解答x=﹣，∴E点坐标为（﹣，0），∵直线AB的解析式为y=﹣2x+2，∴直线AB与x轴交点D的坐标为（1，0），∴DE=1﹣（﹣）=，∴△AED的面积S=××4=．点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，三角形的面积，正确求出函数的解析式是解题的关键．27．（10分）（2015•泰安）如图，在△ABC中，AB=AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD=∠B．（1）求证：AC•CD=CP•BP；（2）若AB=10，BC=12，当PD∥AB时，求BP的长．考点：相似三角形的判定与性质．分析：（1）易证∠APD=∠B=∠C，从而可证到△ABP∽△PCD，即可得到=，即AB•CD=CP•BP，由AB=AC即可得到AC•CD=CP•BP；（2）由PD∥AB可得∠APD=∠BAP，即可得到∠BAP=∠C，从而可证到△BAP∽△BCA，然后运用相似三角形的性质即可求出BP的长．解答：解：（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵∠APD=∠B，∴∠APD=∠B=∠C．∵∠APC=∠BAP+∠B，∠APC=∠APD+∠DPC，∴∠BAP=∠DPC，∴△ABP∽△PCD，∴=，∴AB•CD=CP•BP．∵AB=AC，∴AC•CD=CP•BP；（2）∵PD∥AB，∴∠APD=∠BAP．∵∠APD=∠C，∴∠BAP=∠C．∵∠B=∠B，∴△BAP∽△BCA，∴=．∵AB=10，BC=12，∴=，∴BP=．点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、三角形外角的性质等知识，把证明AC•CD=CP•BP转化为证明AB•CD=CP•BP是解决第（1）小题的关键，证到∠BAP=∠C进而得到△BAP∽△BCA是解决第（2）小题的关键．28．（10分）（2015•泰安）如图，△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°，四边形BCDE是平行四边形，E为AC中点，BD平分∠ABC，点F在AB上，且BF=BC．求证：（1）DF=AE；（2）DF⊥AC．。