新人教版数学8年级下册课件17.2勾股定理的逆定理1

a＝12m2－n2， b＝mn， 其中 m＞n＞0，m、n 是互质的奇数． c＝12m2＋n2，
应用：当 n＝1 时，求有一边长为 5 的直角三角形的另外两条边长．
解：当 n＝1 时，a＝12(m2－1)，b＝m，c＝12(m2＋1)．∵直角三角形有一边长为 5，∴当 a＝5 时，12(m2－1)＝5，解得 m＝± 11(舍去)；当 b＝5 时，即 m＝5，∴a＝ 12，c＝13；当 c＝5 时，12(m2＋1)＝5，解得 m＝±3.∵m＞0，∴m＝3，∴a＝4，b＝ 3.综上所述，直角三角形的另外两条边长分别为 12,13 或 3,4.
△BCF 中，由勾股定理，得 BF＝ BC2＋CF2＝5.在 Rt△EDF 中，由勾股定理，得
EF＝ DE2＋DF2＝ 5.在△BEF 中，BE2＋EF2＝(2 5)2＋( 5)2＝25＝BF2，由勾股定
理的逆定理，得△BEF 是直角三角形，且∠BEF＝90°，∴BE⊥EF.
思维训练
15．阅读材料： 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数 a、b、c，称为勾股数．世界上第一 次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为
___________________________________
_______.
• 解析：∵(a－b)(a2＋b2－c2)＝0，∴a＝b或a2 ＋b2＝c2.当只有a＝b成立时，△ABC是等腰 三角形；当只有a2＋b2＝直c角2成立时，△ABC是 直角三角形；当两个条件同时成立时， △ABC是等腰直角三角形．
能力提升
• 8．下列定理中，没有逆定理的是 ( B ) • A．等腰三角形的两个底角相等 • B．对顶角相等 • C．三边对应相等的两个三角形全等 • D．直角三角形两个锐角的和等于90°

知识点一：勾股定理逆定理的实际应用
学以致用
1.我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有
这样一道题目:“问有沙田块，有三斜，其中小斜五里，中斜
十二里，大斜十三里，欲知为田几何?”这道题讲的是:有一
块三角形沙田，三条边长分别为5里、12里13里，问这块沙
田面积有多大?题中的“里”是我国市制长度单位，1里＝
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• 解:设AD=x,则CD=10-x.
• 在 RtABD 中，
•
DB2 AB2 AD2
在RtCDQ中，
DB2 CQ2 CD2
62 x2 82 (10 x)2
解得: x 3.6
AD长为6.4n mile
8
知识点二：勾股定理逆定理在几何中的应用
3.如图，在四边形ABCD中，AB=8，BC=6，AC=10，
①若∠C- ∠B= ∠A,则△ABC是直角三角形；
②若c2=b2-a2,则△ABC是直角三角形,且∠C=90°；
③若(c+a)(c-a)=b2,则△ABC是直角三角形;
④若∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三
角形.
以上命题中的假命题个数是（ A ）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
4.已知a、b、c是△ABC三边的长，且满足关系式 c2 +a2 - b2 + c - a = 0 ，则△ABC的形状是
典例讲评
解:根据题意: PQ=16×1.5=24 PR=12×1.5=18 QR=30
∵242+182=302, 即 PQ2+PR2=QR2 ∴∠QPR=90°
由”远航“号沿东北方向航行可知,∠1=45°.所以∠2=45°,

17.2 勾股定理的逆定理
思考： 三角形的三边长具有怎样的关系，才能得到上
面同样的结论？
两边的平方和等于第三边的平方
17.2 勾股定理的逆定理
命题2：如果三角形的三边长a，b，c满足 a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形.
问题：（1）命题1和命题2有怎样的联系？
命题1的题设是命题2的结论， 命题1的结论是命题2的题设. （2）你能举出一些类似的例子吗？
（1）a=15,b=8,c=17； 是 （2）a=13,b=14,c=15. 不是
17.2 勾股定理的逆定理
勾股数：像15,8,17这样，能够成为直角三角 形三条边长的三个正整数，称为勾股数.
17.2 勾股定理的逆定理
例2 某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航” 号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定的 方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号 每小时航行12海里.它们离开港口一个半小时后分 别位于点Q，R处，且相距30海里.如果知道“远航” 号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航 行吗？
（4）在角的内部，到角的两边距离相等的点在角 的平分线上. 角平分线上的点到角的两边的距离相等. 成立
17.2 勾股定理的逆定理
3.A，B，C三地的两两距离如图所示，A地在B地 的正东方向，C地在B地的什么方向？ C地在B地的正北方向
17.2 勾股定理的逆定理
4.如图，是一农民建房时挖地基的平面图，按标准 应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现AB＝ DC＝8m，AD＝BC＝6m，AC＝9m，请你运用所学 知识帮他检验一下挖的是否合格？
17.2 勾股定理的逆定理
如何证明命题2？ 已知：如下图，△ABC的三条边长分别为a、 b、c，且满足a2+b2=c2. 求证：△ABC为直角三角形.

逆定理
如果三角形的三边长a、b、c满足
a2 + b2 = c2
那么这个三角形是直角三角形.且边c所对的角为直角.
勾股定理
互逆命题
定理
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么
a2 + b2 = c2
定理与逆定理
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它是一个定
理,这两个定理称为互逆定理,其中一个定理称另一个定理的逆
勾股定理的逆命题
构造法
已知：在△ABC中，AB=c，BC=a，CA=b，且a2+b2=c2.
求证：△ ABC是直角三角形.
证明：作Rt△A′B′C′，使
∠ C′=90°, B′C′=a, C′A′=b.
c
A
A'
b
b
∵ ∠C′=90°，
∴ A′B′2= a2+b2 .
B
a
C
∵ a2+b2=c2,
∵ 边长取正值，
(1) a＝15 , b ＝8 , c＝17； (2) a＝13 , b ＝15 , c＝14.
解： (1) ∵152＋82＝289,
172＝289,
∴ 152＋82＝172 .
故此三角形是直角三角形.
(2) ∵132＋142＝365,
152＝225,
∴ 132＋142≠152 .
故此三角形不是直角三角形.
第十七章 勾股定理
17.2 勾股定理的逆定
理
•古埃及人曾用下面的方法得到直角：
用13个等距的结,把一根绳子分成等
长的12段,然后分别以3段，4段，5
段的长度为边长，用木桩钉成一个
三角形，其中一个角便是直角.