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【精品】人教版八年级数学上册 导学案：13.4 课题学习 最短路径问题

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第十一章 三角形
与三角形有关的线段
11.1.1 三角形的边
.
外一点，点P 与该直线l 上各点连接的所有线段中，哪条最短？
___________________________________； ______________________________ . l 的对称点？
上找到一个点，使得这个点到点
要点归纳：（1）作点B 关于直线l 的对称点B ′；（2）连接AB ′，与直线l 相交于点C ．
则点C 即为所求．如图所示.
你能用所学的知识证明你所作的点C 使AC +BC 最短吗？ 证明：
要点归纳:在解决牧人饮马问题时，通常利用轴对称，把未知问题转化为已解决的问题，从而做出最短路径的选择.
例1：如图，已知点D 、点E 分别是等边三角形ABC 中BC 、AB 边的 中点，AD=5，点F 是AD 边上的动点，则BF+EF 的最小值为（ ） A ．7.5 B ．5 C ．4 D ．不能确定
方法总结：
此类求线段和的最小值问题，找准对称点是关键，而后将求线段长的和转化为求某一线段的长，而再根据已知条件求解
.
例2：如图，在直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为（1，4）和 （3，0），点C 是y 轴上的一个动点，且A ，B ，C 三点不在同一
条直线上，当△ABC 的周长最小时点C 的坐标是（ ）
A．（0，3）B．（0，2）
C．（0，1）D．（0，0）
方法总结：求三角形周长的最小值，先确定动点所在的直线和固定点，而后作某一固定点关于动点所在直线的对称点，而后将其与另一固定点连线，连线与动点所在直线的交点即为三角形周长最小时动点的位置.
探究点2：造桥选址问题
实际问题：如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的
路径AMNB最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）？
数学问题：如图，假定任选位置造桥MN，连接AM和BN，从A到B的路径是AM+MN+BN，那么怎样确定什么情况下最短呢？
想一想：我们能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？画一画：
（1）把A平移到岸边. （2）把B平移到岸边.
（3）把桥平移到和A相连. （4）把桥平移到和B相连.
比一比：（1）（2）（3）（4）中，哪种作法使得AM+MN+BN最短？
要点归纳：如图，平移A到A1，使AA1等于河宽，连接A1B交河岸于N作桥MN，此时
路径AM+MN+BN最短
.
证明：另任作桥M1N1，连接AM1，BN1，A1N1.
1.如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄
.
欲在l上的某处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的
是（）
2.如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返回P 处，请画出旅游船的最短路径．
3.如图，小河边有两个村庄A ，B ，要在河边建一自来水厂向A 村与B 村供水．
(1)若要使厂址到A ，B 两村的距离相等，则应选择在哪建厂(要求：保留作图痕迹，写出必要的文字说明)?
(2)若要使厂址到A ，B 两村的水管最短，应建在什么地方？
二、课堂小结
1.如图，直线m 同侧有A 、B 两点，线m 与A ′B 和n 分别交于P 、Q ，下面的说法正确的是（
第1题图 第2题图 第3题图
当堂检测
最短路径问题
牧人饮马问题
造桥选址问题
2.如图，∠AOB=30°，∠AOB 内有一定点P ，且OP=10．若在OA 、OB 上分别有动点Q 、R ，则△PQR 周长的最小值是（ ）
A ．10
B ．15
C ．20
D ．30
3.如图，牧童在A 处放马，其家在B 处，A 、B 到河岸的距离分别为AC 和BD ，且AC=BD,若点A 到河岸CD 的中点的距离为500米，则牧童从A 处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离是_____ 米.
4.如图，边长为1的正方形组成的网格中，△AOB 的顶点均在格点上，点A 、B 的坐标分别是A （3，2），B （1，3）．点P 在x 轴上，当PA+PB 的值最小时，在图中画出点P ．
5.如图，荆州古城河在CC ′处直角转弯，河宽相同，从A 处到B 处，须经两座桥：DD ′,EE ′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，怎样架桥可使ADD ′E ′EB 的路程最短？
拓展提升
6.（1）如图1，在AB 直线一侧C 、D 两点，在AB 上找一点P ，使C 、D 、P 三点组成的三角形的周长最短，找出此点．
（2）如图2，在∠AOB 内部有一点P ，是否在OA 、OB 上分别存在点E 、F ，使得E 、F 、P 三点组成的三角形的周长最短，找出E 、F 两点．
（3）如图3，在∠AOB 内部有两点M 、N ，是否在OA 、OB 上分别存在点E 、F ，使得E 、F 、M 、N ，四点组成的四边形的周长最短，找出E 、F 两点．。

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13.4课题学习 最短路径问题教学设计

13.4课题学习 最短路径问题教学设计

13.4 课题学习最短路径问题（第一课时）一、内容和内容解析1.内容利用轴对称研究某些最短路径问题。

2.内容解析最短路径问题是人教版八年级上册第十三章第四节内容，本节课以一个实际问题为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生将实际问题抽象为数学中线段之和最小问题，并建立数学模型,学会用数学的眼光观察现实世界.初步了解利用图形变换——轴对称的方法来解决最值问题，体会用数学的思维思考现实世界。

从内容上来看，在本章节之前学生已经学习了“两点之间，线段最短”“三角形两边之和大于第三边”等相关理论，以及简单的轴对称知识，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。

本节课既轴对称知识运用的延续，从初中数学的角度来看，也是中考数学的热点问题之一，本节课的教学内容是解决中考最值综合问题的基础，具有承上启下作用。

本节课的教学重点:利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题。

二、目标和目标解析1.目标（1）能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想。

（2）通过实际问题的提出，能够抽象为数学问题，并建立数学模型，利用所掌握的数学知识完成严谨的推理过程，然后再解决实际问题。

体会数学在实际生活中的价值。

2.目标解析达成目标 1 的标志是:学生能将实际问题中的“地点”“河”抽象为数学中的“点”“线"，把实际问题抽象为数学的线段和最小问题；能利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题；能通过逻辑推理证明所求距离最短；在探索最短路径的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想。

达成目标 2 的标志是：课题学习本身是考察综合能力，注重现实背景，学生能从生活中自己发现问题，并抽象成数学模型，掌握转化的探究方法，将不熟悉的模型转化成所学过简单的数学模型，通过合作探究，解决问题。

三、教学问题诊断分析已形成的：我校八年级学生已经学习轴对称相关的简单知识，掌握了“两点之间，线段最短”“三角形两边之和大于第三边”等相关理论，思维活跃，敢于尝试，具备一定的动手操作能力和小组合作意识，同时也具备一定的数学抽象能力和数学建模能力。

最新人教版八年级数学上册《最短路径问题》教学设计(精品教案)

最新人教版八年级数学上册《最短路径问题》教学设计(精品教案)

13.4 课题学习最短路径问题学习目标1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想.（重点）2.利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题.（难点）教学过程一、情境导入相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？二、合作探究探究点：最短路径问题【类型一】求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题例1：如图所示，在河a两岸有A、B两个村庄，现在要在河上修建一座大桥，为方便交通，要使桥到这两村庄的距离之和最短，应在河上哪一点修建才能满足要求？（画出图形，做出说明。

）解析：利用两点之间线段最短进而得出答案.解：如图所示：连接AB交直线a于点P，此时桥到这两村庄的距离之和最短．理由：两点之间线段最短.【方法总结】求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标练习” 第2题【类型二】运用轴对称解决距离最短问题例2：在图中直线l上找到一点M，使它到A，B两点的距离和最小．解析：先确定其中一个点关于直线l的对称点，然后连接对称点和另一个点，与直线l的交点M即为所求的点．解：如图所示：(1)作点B关于直线l的对称点B′；(2)连接AB′交直线l于点M.(3)则点M即为所求的点．【方法总结】利用轴对称解决最值问题应注意题目要求根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法．解决这类最值问题时，要认真审题，不要只注意图形而忽略题意要求，审题不清导致答非所问．【类型三】最短路径选址问题如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水．（1）若要使厂部到A，B村的距离相等，则应选择在哪建厂？（要求：尺规作图，保留作图痕迹．写出必要的文字说明）（2）若要使厂部到A，B两村的水管最短，应建在什么地方？解析：（1）欲求到A、B两地的距离相等，即作出AB的中垂线与EF的交点M即可，交点即为厂址所在位置．（2）利用轴对称求最短路线的方法得出A点关于直线EF的对称点A′，再连接A′B交EF于点N，即可得出答案。

课题学习-最短路径问题 导学案 人教版八年级数学上册

课题学习-最短路径问题 导学案 人教版八年级数学上册

人教版八年级数学上册导学案第十三章轴对称13.4课题学习－最短路径问题【学习目标】1．掌握利用轴对称解决简单的最短路径问题。

2．理解图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想。

3．通过对这个实际问题的解决，体会数学的应用价值。

【课前预习】1．一个等腰三角形的周长为40 cm,以一边为边作等边三角形,这个等边三角形周长为45 cm,那么这个等腰三角形的底边长为()A．15 cm B．10 cm C．30 cm或10 cm D．15 cm或10 cm2．下列命题中,不正确的是()A．关于某条直线对称的两个三角形全等B．若两个图形关于直线对称,则对称轴是对应点连线的垂直平分线C．等腰三角形一边上的高、中线及这边所对角的平分线重合D．两个全等的三角形不一定是轴对称图形3．如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，AB△AC，EF垂直平分BC，点P为直线EF上一动点，则△ABP周长的最小值是（）A．6B．7C．8D．124．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为3，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D 为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△C DM周长的最小值为（）A．7.5B．8.5C．10.5D．13.55．如图，在△ABC中，AC＝BC＝8，△ACB＝120°，BD平分△ABC交AC于点D，点E、F分别是线段BD，BC上的动点，则CE+EF的最小值是（）A．2B．4C．5D．6【学习探究】自主学习阅读课本，完成下列问题1.两点之间，_______最短。

2.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中_______最短。

3．如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的_________。

类似的，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的_____。

4．平移性质：(1)平移前后图形的形状和大小________。

(2)对应点连线___________。

人教版八年级数学上册教案：13.4课题学习最短路径问题

人教版八年级数学上册教案：13.4课题学习最短路径问题

五、教学反思
今天我们在课堂上探讨了最短路径问题，这节课下来，我发现学生们对这个话题非常感兴趣，也提出了很多有深度的问题。他们在分组讨论和实验操作环节表现得积极主动，这让我感到很欣慰。
在讲授过程中，我注意到有些学生在理解线段连接法、射线连接法时还存在一定的困难。这让我意识到，对于这些难点知识，我需要通过更多的实例和讲解来帮助学生消化吸收。在今后的教学中，我会尽量用更直观、更生动的方式来进行讲解，让学生更好地理解这些概念。
2.教学难点
a.理解线段、射线、直线在实际问题中的运用，尤其是它们在不同情境下的适用性；
b.掌握求解最短路径的数学方法，特别是射线连接法的应用，学生容易在此处产生混淆；
c.将数学知识应用于实际问题的转化能力，如何将实际问题抽象成数学模型，进而求解；
d.学生在解决最短路径问题时，可能会忽略考虑所有可能的路径，导致无法找到最优解。
举例：讲解射线连接法时，难点在于如何确定射线的方向以及如何找到从一点出发经过其他点到达另一点的最短路径。此时，教师可以通过具体实例和图示，引导学生理解并掌握这一方法。
另外，针对难点c，教师可以设计一些实际案例，如地图上的最短路线、工程项目中的最短管道布置等，指导学生如何将问题抽象成数学模型，并运用所学知识求解。通过这种方法，帮助学生克服将实际问题转化为数学模型的难点。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调线段连接法、射线连接法这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解如何在不同情况下选择合适的方法求解最短路径。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与最短路径相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示线段连接法、射线连接法的基本原理。