《13.4 课题学习 最短路径问题》优质课件(2套)
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13.4.1最短路径问题优秀课件
A BC NhomakorabeaDl
3.在我们前面的学习中，还有哪些涉及比较线段大小的基本事实？ 三角形三边关系：两边之和大于第三边； 斜边大于直角边.
4.如图，如何做点A关于直线l的对称点？
A
l
A′
问题2 如果点A,B分别是直线l同侧的两个点，又应该如何解决？
想一想： 对于问题2，如何将点
B
B“移”到l 的另一侧B′处，满足
典例精析
练习1.如图，在△ABC中，AB=3,AC=4,BC=5，EF垂直平分BC，点P 为直线EF上的任一点，则AP+BP的最小值是（ ）
A. 7
B. 6
C. 5
D. 4
典例精析 (两线一点型)
例2：如图，牧马营地在点P处，每天牧马人要赶着马群先到草地a上吃 草，再到河边b处饮水，最后回到营地.请你设计一条放牧路线，使其所 走总路程最短.
第十三章 轴对称
13.4 课题学习 最短路径问题
学习目标
1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题.（难点） 2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟
转化思想．（重点）
情景引入
请问牛郎织女在河边哪个地方相会，能让他两人走的总路程 最短？
迢迢牵牛星，皎皎河汉女。 纤纤擢素手，札札弄机杼。 终日不成章，泣涕零如雨； 河汉清且浅，相去复几许！ 盈盈一水间，脉脉不得语。
BC =B′C，BC′=B′C′．
B
∴ AC +BC= AC +B′C = AB′，
A
∴ AC′+BC′= AC′+B′C′． 在△AB′C′中，
C
C′
l
AB′＜AC′+B′C′，
∴ AC +BC＜AC′+BC′．
3.在我们前面的学习中，还有哪些涉及比较线段大小的基本事实？ 三角形三边关系：两边之和大于第三边； 斜边大于直角边.
4.如图，如何做点A关于直线l的对称点？
A
l
A′
问题2 如果点A,B分别是直线l同侧的两个点，又应该如何解决？
想一想： 对于问题2，如何将点
B
B“移”到l 的另一侧B′处，满足
典例精析
练习1.如图，在△ABC中，AB=3,AC=4,BC=5，EF垂直平分BC，点P 为直线EF上的任一点，则AP+BP的最小值是（ ）
A. 7
B. 6
C. 5
D. 4
典例精析 (两线一点型)
例2：如图，牧马营地在点P处，每天牧马人要赶着马群先到草地a上吃 草，再到河边b处饮水，最后回到营地.请你设计一条放牧路线，使其所 走总路程最短.
第十三章 轴对称
13.4 课题学习 最短路径问题
学习目标
1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题.（难点） 2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟
转化思想．（重点）
情景引入
请问牛郎织女在河边哪个地方相会，能让他两人走的总路程 最短？
迢迢牵牛星，皎皎河汉女。 纤纤擢素手，札札弄机杼。 终日不成章，泣涕零如雨； 河汉清且浅，相去复几许！ 盈盈一水间，脉脉不得语。
BC =B′C，BC′=B′C′．
B
∴ AC +BC= AC +B′C = AB′，
A
∴ AC′+BC′= AC′+B′C′． 在△AB′C′中，
C
C′
l
AB′＜AC′+B′C′，
∴ AC +BC＜AC′+BC′．
13.4课题学习 最短路径问题 课件(共31张PPT) 初中数学人教版八年级上册
∙B A∙
l C
B′
【探究2】如图，A 和 B 两地在一条河的两岸，现要在河上 造一座桥 MN. 桥造在何处可使从 A 到 B 的路径 AMNB 最 短(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直)？
如图所示：将河的两岸看成两条平行线 a 和 b，N 为直线 b上的一个动点，MN 垂直于直线 b，交直线 a 于点 M.当 点 N 在什么位置的时候，AM+MN+NB 的值最小？
P 地把河水引向 M、N 两地.下列四种方案中，最节省材料的是( D )
A.
B.
C.
D.
解析：依据垂线段最短，以及两点之间，线段最短， 可得最节省材料的是：
故选：D.
练习 6 如图所示，某条护城河在 CC 处直角转弯，河宽均为 5m，
从 A 处到达 B 处，须经过两座桥（桥宽不计，桥与河垂直），设 护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，如何选址造桥可使从 A 处到 B 处的路程最短？请确定两座桥的位置.
∵在△A′N′B中，A′B<A′N′+BN′，
∴A′N+NB<A′N′+BN′.
A
即A′N+NB+MN<A′N′+BN′+M′N′. A′ ∴AM+NB+MN<AM′+BN′+M′N′.
即AM+NB+MN的值最小.
M′
M
N′ N
B
a b
练习 1 如图所示，军官从军营 C 出发先到河边（河流用 AB 表示）饮马，再 去同侧的 D 地开会，应该怎样走才能使路程最短？你能解决这个著名的“将
A
点C，则点C 即为所求的位置， 可以使得 AC+BC 的值最小.
l C
B′
【探究2】如图，A 和 B 两地在一条河的两岸，现要在河上 造一座桥 MN. 桥造在何处可使从 A 到 B 的路径 AMNB 最 短(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直)？
如图所示：将河的两岸看成两条平行线 a 和 b，N 为直线 b上的一个动点，MN 垂直于直线 b，交直线 a 于点 M.当 点 N 在什么位置的时候，AM+MN+NB 的值最小？
P 地把河水引向 M、N 两地.下列四种方案中，最节省材料的是( D )
A.
B.
C.
D.
解析：依据垂线段最短，以及两点之间，线段最短， 可得最节省材料的是：
故选：D.
练习 6 如图所示，某条护城河在 CC 处直角转弯，河宽均为 5m，
从 A 处到达 B 处，须经过两座桥（桥宽不计，桥与河垂直），设 护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，如何选址造桥可使从 A 处到 B 处的路程最短？请确定两座桥的位置.
∵在△A′N′B中，A′B<A′N′+BN′，
∴A′N+NB<A′N′+BN′.
A
即A′N+NB+MN<A′N′+BN′+M′N′. A′ ∴AM+NB+MN<AM′+BN′+M′N′.
即AM+NB+MN的值最小.
M′
M
N′ N
B
a b
练习 1 如图所示，军官从军营 C 出发先到河边（河流用 AB 表示）饮马，再 去同侧的 D 地开会，应该怎样走才能使路程最短？你能解决这个著名的“将
A
点C，则点C 即为所求的位置， 可以使得 AC+BC 的值最小.
人教版八年级数学上册1课题学习最短路径问题公开课课件
BC = B′C ，BC′=B′C′．
∴ AC +BC = AC +B′C = AB′，
AC′+BC′= ACAC′+B′C′，
C’ C
∴ AC +BC＜AC′+BC′．
即 AC +BC 最短．
B
l
B’
对比下活动一，你能找到两个问题的相同点与不 同点吗？你有什么启示？
13.4 课题学习 最短路径问题
1、已知如图点A和点A’关于直线l对称，直线l上有 一点P，PA=11，则PA’= 11。
2、如图，在灌溉时需要把河AB中的水引到C处 ，如何挖渠能使渠道最短？
C
A
D
B
垂线段最短
3、如图，要从A地到B地去，图中给出了3条路线，请你
在这3条路中选择一条相对近一些的路。
B
A
l
作法：
（1）作点B关于直线l 的对称
点B′；
（2）连接AB′，与直线l 相交
A
于点C．
则点C 即为所求． A’
理由：两点之间，线段最短
B
l
C
B’
你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不 重合），连接AC′，BC′，B′C′．
由轴对称的性质知，
河流
A
·P营地
草地
B
P2
变式：如图，已知牧马营地在P处，牧马人从A地出发要 赶着马群先到河边饮水，再带到草地吃草，然后回到营 地，请你替牧马人设计出最短的放牧路线。
河流
B
· · A地
P营地
草地
C
活动一图
活动二图
课题学习 最短路径问题 (共22张PPT)
A M
a
b B
N
由于河宽是固定的，因此当AM+NB最小时，
AM+MN+NB最小.
分析：
A
A’
M
a
b B
A C
l
N
B
问题1：两点在直线异侧
问题3：造桥选址问题
问题3：造桥选址问题
如图，A和B两地在同一条河的两岸，现要在河上造 一座桥MN．桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短 ？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直.）
B A
l
问题2：两点在一条直线同侧
假设他在河边点C处饮马，那么他所走的总路程就是 AC+BC。当点C在直线 l 的什么位置时，AC+BC的值最 小？
B A C
l
分析：
B
A
C
l
A
C
l
B′
问题2：两点在直线同侧
B
问题1：两点在直线异侧
问题2：两点在一条直线同侧
问题转化： 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 在直 线上，当点C 在l 的什么位置时，AC +CB 的值最小？ 作法： （1）作点B 关于直线l 的 对称点B′； （2）连接AB′，与直线l 相交于点C． 则点C 即为所求． 此时路径AC+CB最小
A A' M
M′
N′ B
N
a b
在△A′N′B中，A′N′+BN′ ＞A′B， ∴ AM′ +BN′ ＞ AM+BN ∴ AM′ +M′N′ +BN′ ＞ AM+MN+BN.
小结归纳
B A C l B′
A A' N B M
a
b B
N
由于河宽是固定的，因此当AM+NB最小时，
AM+MN+NB最小.
分析：
A
A’
M
a
b B
A C
l
N
B
问题1：两点在直线异侧
问题3：造桥选址问题
问题3：造桥选址问题
如图，A和B两地在同一条河的两岸，现要在河上造 一座桥MN．桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短 ？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直.）
B A
l
问题2：两点在一条直线同侧
假设他在河边点C处饮马，那么他所走的总路程就是 AC+BC。当点C在直线 l 的什么位置时，AC+BC的值最 小？
B A C
l
分析：
B
A
C
l
A
C
l
B′
问题2：两点在直线同侧
B
问题1：两点在直线异侧
问题2：两点在一条直线同侧
问题转化： 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 在直 线上，当点C 在l 的什么位置时，AC +CB 的值最小？ 作法： （1）作点B 关于直线l 的 对称点B′； （2）连接AB′，与直线l 相交于点C． 则点C 即为所求． 此时路径AC+CB最小
A A' M
M′
N′ B
N
a b
在△A′N′B中，A′N′+BN′ ＞A′B， ∴ AM′ +BN′ ＞ AM+BN ∴ AM′ +M′N′ +BN′ ＞ AM+MN+BN.
小结归纳
B A C l B′
A A' N B M
新人教版八年级上13.4课题学习最短路径问题 课件
问题3
你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
证明：在△AB′C′中， AB′＜AC′+B′C′， ∴ AC +BC＜AC′+BC′． 即 AC +BC 最短．
·
A
·
B
C′ C
l
B′
追问1 证明AC +BC 最短时，为什么要在直线l 上 任取一点C′（与点C 不重合），证明AC +BC ＜AC′ +BC′？这里的“C′”的作用是什么？ B · A 若直线l 上任意一点（与点 · C 不重合）与A，B 两点的距离 C′ l 和都大于AC +BC，就说明AC + C BC 最小． B′
问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直 线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？ B 作法： · A （1）作点B 关于直线l 的对称 点B′； （2）连接AB′，与直线l 相交 于点C． 则点C 即为所求．
·
C
l
B′
问题3
你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
·
A
·
B
C
l
B′
问题3
你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不 重合），连接AC′，BC′，B′C′． B 由轴对称的性质知， · A BC =B′C，BC′=B′C′． · ∴ AC +BC C′ l = AC +B′C = AB′， C AC′+BC′ = AC′+B′C′． B′
八年级上册数学
13..3.6 课题学习 最短路径问题
探索新知
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理由：由作图法可知，AF//DD′，AF=DD′，
则四边形AFD′D为平行四边形，
A
于是AD=FD′,
C
DF
同理，BE=GE′， 由两点之间线段最短可知， GF最小.
C′ D ′ E E′
BG
拓展提升
6.（1）如图①，在AB直线一侧C、D两点，在AB上找一点P，使
C、D、P三点组成的三角形的周长最短，找出此点并说明理由．
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
证明：如图，在直线l 上任取一点C′(与点C 不重合)，
连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，
BC =B′C，BC′=B′C′．
B
∴ AC +BC= AC +B′C = AB′，
∴ AC′+BC′= AC′+B′C′． A
在△AB′C′中，
AC 与CB 的和最小（如图）．
B
A
C
l
探索新知
问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直 线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？
追问1 对于问题2，如何
A
将点B“移”到l 的另一侧B′
·
处，满足直线l 上的任意一点
C，都保持CB 与CB′的长度
相等？
B
·
l
方法归纳 解决最短路径问题的方法
在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对 称、平移等变换把未知问题转化为已解决的问题， 从而作出最短路径的选择.
当堂练习
1.如图，直线m同侧有A、B两点，A、A′关于直线m 对称，A、B关于直线n对称，直线m与A′B和n分别 交于P、Q，下面的说法正确的是（ A ） A．P是m上到A、B距离之和最短的
A
点B“移”到l 的另一侧B′处，
l
满足直线l 上的任意一点C，
都保持CB 与CB′的长度相等？
利用轴对称，作出点B关于直线l的对称点B′.
方法揭晓
作法： （1）作点B 关于直线l 的对称点B′； （2）连接AB′，与直线l 相交于点C．
则点C 即为所求．
A C
几何画板：验证路径最短.gsp
B
l B′
C
AB′＜AC′+B′C′，
C′
l
∴ AC +BC＜AC′+BC′．
B′
即 AC +BC 最短．
练一练：如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某
处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，
图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（ D ）
Q
Q
P
P
MA
l Q
P
M
l
C
B
M Q
探索新知
问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直 线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？
追问2 你能利用轴对称的
A
·
有关知识，找到上问中符合条
件的点B′吗？
B
·
l
探索新知
问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直 线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？
现实生活中经常涉及到选择最短路径问题，本节 将利用数学知识探究数学史的著名的“牧马人饮马问 题”及“造桥选址问题”.
P ①
②
A ③B
A BC
Dl
如图，牧马人从点A地出发，到一条笔直的河边l
饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可
使所走的路径最短？
B
B 抽象成
A
A
l
实际问题
C
l
数学问题
作图问题：在直线l上求作一点C,使AC+BC最短问题.
13.4 课题学习 最短路径问题
引入新知
引言： 前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线 段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段 中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问 题．现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节 将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”．
探索新知
问题1 现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点，如 何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的 和最短？
连接AB,与直线l相交于一点C.
A
根据是“两点之间，线段
C
最短”，可知这个交点即
l
为所求.
B
问题2 如果点A,B分别是直线l同侧的两个点，又应该如 何解决？
B
想一想：对于问题2，如何将
（2）如图②，在∠AOB内部有一点P，是否在OA、OB上分别存
在点E、F，使得E、F、P三点组成的三角形的周长最短，找出E、
F两点，并说明理由．
（3）如图③，在∠AOB内部有两点M、N，是否在OA、OB上分
别存在点E、F，使得E、F、M、N，四点组成的四边形的周长最
短，找出E、F两点，并说明理由．
D
AM+MN+BN转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１ 转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１.
在△A１N１B中，因为A1N1+BN1＞A1B.
因此ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１＞ AM+MN+BN.
证明：由平移的性质，得 BN∥EM 且BN=EM, MN=CD, BD∥CE, BD=CE,所以A到B的路径长为
y
B
A
O
P
x
B'
5.如图，荆州古城河在CC′处直角转弯，河宽相同，从
A处到B处，须经两座桥：DD ′,EE ′（桥宽不计），设
护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，怎样架桥
可使ADD ′E ′EB的路程最短？ACDC′ D ′
E E′
B
解：作AF⊥CD,且AF=河宽，作BG ⊥CE，且BG=河宽， 连接GF,与河岸相交于E ′,D′.作DD′,EE′即为桥.
问题1 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久 负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访 海伦，求教一个百思不得其解的问题：
从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然 后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程 最短？
B A
l
探索新知
精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的 知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马 问题”．
作法： （1）作点B 关于直线l 的对称
点B′； （2）连接AB′，与直线l 相交
于点C． 则点C 即为所求．
B
·
A
·
l C
B′
探索新知
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
B
·
A
·
l C
B′
探索新知
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不
你能将这个问题抽象为数学问题吗？
B A
l
探索新知
追问1 这是一个实际问题，你打算首先做什么？
将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直 线．
·B A·
l
探索新知
追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思， 并把它抽象为数学问题吗？
（1）从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地； （2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，
二 造桥选址问题
如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造 一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短 （假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）？
A
A
M
N
B
B
如图假定任选位置造桥MN，连接AM和BN，从A 到B的路径是AM+MN+BN，那么怎样确定什么情况下 最短呢？
●A
M
M
N
N
?
接的所有线段中，哪条最短？为什么？ P
PC最短，因为垂线段最短
A BC
Dl
3.在我们前面的学习中，还有哪些涉及比较线段大小 的基本事实？
三角形三边关系：两边之和大于第三边； 斜边大于直角边. 4.如图，如何做点A关于直线l的对称点？
A
l
A′
讲授新课
一 牧人饮马问题
“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外 一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的 问题，我们称之为最短路径问题.
B．（0，2）
C′
C．（0，1）
D．（0，0）
B′
解析：作B点关于y轴对称点B′，连接AB′，
E
交y轴于点C′，此时△ABC的周长最小，
然后依据点A与点B′的坐标可得到BE、
AE的长，然后证明△B′C′O为等腰直角三
角形即可．
方法总结：求三角形周长的最小值，先确定动点 所在的直线和固定点，而后作某一固定点关于动 点所在直线的对称点，而后将其与另一固定点连 线，连线与动点所在直线的交点即为三角形周长 最小时动点的位置.
折
●B 移
思维火花 我们能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化 到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？
各抒己见 1.把A平移到岸边.
A
Ｍ
2.把B平移到岸边. 3.把桥平移到和A相连.
Ｎ
B
4.把桥平移到和B相连.
1.把A平移到岸边. AM+MN+BN长度改变了
A
Ｍ
A'
Ｎ B'
B
2.把B平移到岸边. AM+MN+BN长度改变了
3.把桥平移到和A相连.
A
Ｍ
Ｎ