《传感器原理及工程应用》习题答案王丽香第1章 传感与检测技术的理论基础（P26）1－3 用测量范围为－50～150kPa 的压力传感器测量140kPa 的压力时，传感器测得示值为142kPa ，求该示值的绝对误差、实际相对误差、标称相对误差和引用误差。
解：已知： 真值L ＝140kPa 测量值x ＝142kPa测量上限＝150kPa测量下限＝－50kPa ∴ 绝对误差 Δ＝x-L=142-140=2(kPa) 实际相对误差 ％＝＝43.11402≈∆L δ 标称相对误差 ％＝＝41.11422≈∆x δ引用误差％－－＝测量上限－测量下限＝1)50(1502≈∆γ1－10 对某节流元件（孔板）开孔直径d 20的尺寸进行了15次测量，测量数据如下（单位：mm ）： 120.42 120.43 120.40 120.42 120.43 120.39 120.30 120.40 120.43 120.41 120.43 120.42 120.39 120.39 120.40试用格拉布斯准则判断上述数据是否含有粗大误差，并写出其测量结果。
解：对测量数据列表如下：当n ＝15时，若取置信概率P ＝0.95，查表可得格拉布斯系数G ＝2.41。
则 2072.410.03270.0788()0.104d G mm v σ=⨯=<=-，所以7d 为粗大误差数据，应当剔除。
然后重新计算平均值和标准偏差。
当n ＝14时，若取置信概率P ＝0.95，查表可得格拉布斯系数G ＝2.37。
则 20 2.370.01610.0382()d i G mm v σ=⨯=>，所以其他14个测量值中没有坏值。
计算算术平均值的标准偏差200.0043()d m m σσ===20330.00430.013()dmm σ=⨯=所以，测量结果为：20(120.4110.013)()(99.73%)d m m P =±=1－14交流电路的电抗数值方程为CL X ωω1-=当角频率Hz 51=ω，测得电抗1X 为Ω8.0； 当角频率Hz 22=ω，测得电抗2X 为Ω2.0； 当角频率Hz 13=ω，测得电抗3X 为Ω-3.0。
试用最小二乘法求电感L 、电容C 的值。
解法1：1L CωωX =-，设x L =，1y C=-，则：10.85510.2220.3x y x y x y ⎫=+⎪⎪⎪=+⎬⎪-=+⎪⎪⎭所以，系数矩阵为15512211A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 直接测得值矩阵为0.80.20.3L ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，最小二乘法的最佳估计值矩阵为1ˆ()x X A A A L y -⎡⎤''==⎢⎥⎣⎦。
其中，155521303123 1.2921111152A A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥'==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦30330 1.293329.0031.29A A '==⨯-⨯=≠所以，112111222 1.29311()33029.7A A A A A A A A --⎡⎤⎡⎤'==⎢⎥⎢⎥'-⎣⎦⎣⎦ 5210.8 4.10.20.04110.3152A L ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥'==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎣⎦所以ˆx X y ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦1.293133029.7-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦4.10.04⎡⎤⎢⎥-⎣⎦＝0.1820.455⎡⎤⎢⎥-⎣⎦ 所以， 0.182L x H ==11 2.2()0.455C F y =-=-=-解法2：1L CωωX =-，设x L =，1y C=-，则：10.85510.2220.3x y x y x y ⎫=+⎪⎪⎪=+⎬⎪-=+⎪⎪⎭所以，系数矩阵为11122122313215512211a a A a a a a ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 则，由（1－39）式决定的正规方程为[][][][][][]1112121222a a x a a y a l a a x a a y a l ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 其中， []2221111112121313152130a a a a a a a a =++=++=[]12111221223132115211352a a a a a a a a =++=⨯+⨯+⨯=[]211211222132313a a a a a a a a =++=[]22222121222223232111 1.2952a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫=++=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭[]111121231350.820.21(0.3) 4.1a l a l a l a l =++=⨯+⨯+⨯-=[]2121222323110.80.21(0.3)0.0452a l a l a l a l =++=⨯+⨯+⨯-=-所以，303 4.13 1.290.04x y x y +=⎧⎨+=-⎩所以，0.180.455x y =⎧⎨=-⎩所以， 0.182L x H ==1 2.2C F y=-=第2章 传感器概述（P38）2－5 当被测介质温度为t 1，测温传感器示值温度为t 2时，有下列方程式成立：ττd dt t t 2021+=。
当被测介质温度从25℃突然变化到300℃时，测温传感器的时间常数s 1200＝τ，试确定经过300s 后的动态误差。
已知：2120dt t t d ττ=+，125(0)300(0)t t t ≤⎧=⎨>⎩，0120s τ=求：t=350s 时，12?t t -=解：灵敏度k=1时，一阶传感器的单位阶跃响应为()1t y t e τ-=-。
类似地，该测温传感器的瞬态响应函数可表示为：02()25(30025)(1)t eτττ-=+-⨯-。
当350s τ=时，350120225(30025)(1)285.15()t eC -=+-⨯-=。
所以，动态误差12300285.1514.85()t t C -=-=。
2－6 已知某传感器属于一阶环节，现用于测量100Hz 的正弦信号，如幅值误差限制在±5％以内，时间常数τ应取多少？若用该传感器测量50Hz 的正弦信号，问此时的幅值误差和相位误差各为多少？解：一阶传感器的幅频特性为：()()211ωτω+=A因为幅值误差限制在±5％以内，即 ()95.0>ωA 当Hz f 100=时，有 s 00052.0max =τ。
若用此传感器测量Hz f 50=的信号，其幅值误差为：()()()%3.1987.0100052.0502111111122=-=⋅⋅+=s Hz A πωτω＋－＝－－相位误差为：()()︒-=-=Φ28.9ωτωarctg2－8 已知某二阶系统传感器的固有频率为10kHz ，阻尼比5.0＝ξ，若要求传感器输出幅值误差小于3％，则传感器的工作范围应为多少？已知kHz n 102⋅=πω，5.0＝ξ，()%31<-ωA 。
求：传感器的工作频率范围。
解：二阶传感器的幅频特性为：222211)(⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=n nA ωωξωωω。
当0=ω时，()1=ωA ，无幅值误差。
当0>ω时，()ωA 一般不等于1，即出现幅值误差。
若要求传感器的幅值误差不大于3％，应满足()03.197.0≤≤ωA 。
解方程97.0211)(222=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n nA ωωξωωω，得n ωω03.11=；解方程03.1211)(222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n nA ωωξωωω，得n ωω25.02=，n ωω97.03=。
由于5.0＝ξ，根据二阶传感器的特性曲线可知，上面三个解确定了两个频段，即0～2ω和3ω～1ω。
前者在特征曲线的谐振峰左侧，后者在特征曲线的谐振峰右侧。
对于后者，尽管在该频段内也有幅值误差不大于3％，但是该频段的相频特性很差而通常不被采用。
所以，只有0～2ω频段为有用频段。
由kHz n 10225.025.02⋅⨯==πωω可得kHz f 5.2=，即工作频率范围为0～kHz 5.2。
第3章 应变式传感器（P60）3－6 题3－6图为等强度悬臂梁测力系统，1R 为电阻应变片，应变片灵敏系数K ＝2.05，未受应变时，1120R =Ω。
当试件受力F 时，应变片承受平均应变m m /800με＝，试求：① 应变片电阻变化量1R ∆和电阻相对变化量11/R R ∆。
② 将电阻应变片1R 置于单臂测量电桥，电桥电源电压为直流3V ，求电桥输出电压及电桥非线性误差。
③ 若要减小非线性误差，应采取何种措施？分析其电桥输出电压及非线性误差大小。
已知：K ＝2.05，1120R =Ω，4800/8.0010m m εμ-==⨯，3E V = 求：11/R R ∆，1R ∆，0U ， L γ 解：①应变片的电阻相对变化量为 4311/ 2.058.0010 1.6410R R K ε--∆==⨯⨯=⨯电阻变化量为()31111120 1.64100.1968R R R R -⎛⎫∆∆==⨯⨯=Ω ⎪⎝⎭②设电桥的倍率n ＝1，则电桥的输出电压为()()331102113 1.6410 1.2310441R R nE U E V R R n --⎛⎫⎛⎫∆∆==⨯⨯=⨯ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭电桥的非线性误差为 11311311112 1.64100.08%2 1.6410112LR R R R R R n R R γ--∆∆⎛⎫⎪⨯ ⎪====∆+⨯⎛⎫∆ ⎪+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R 1A(a )R 1A(b)③若要减小非线性误差，可以采用差动电桥电路（半桥差动电路或者全桥差动电路）。
此时可以消除非线性误差，而且可以提高电桥电压的灵敏度，同时还具有温度补偿作用。
（a ）如果采用半桥差动电路，需要在等强度梁的上下两个位置安装两个工作应变片，一个受拉应变，一个受压应变，接入电桥的相邻桥臂，构成半桥差动电路。
此时电桥的输出电压为()331013 1.6410 2.461022R E U V R --⎛⎫∆==⨯⨯=⨯ ⎪⎝⎭，是单臂工作时的两倍。
（b ）如果采用全桥差动电路，需要在等强度梁的上下四个位置安装四个工作应变片，两个受拉应变，两个受压应变，将两个应变符号相同的接入相对桥臂上，构成全桥差动电路。
此时电桥的输出电压为 ()331013 1.6410 4.9210R U E V R --⎛⎫∆==⨯⨯=⨯ ⎪⎝⎭，是单臂工作时的四倍。
