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平行四边形的判定定理（基础）
责编：杜少波
【学习目标】
1.平行四边形的四个判定定理及应用，会应用判定定理判断一个四边形是不是平行四边形．
2.会综合应用平行四边形的性质定理和判定定理解决简单的几何问题．【要点梳理】要点一、平行四边形的判定
1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
3.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
5.对角线互相平分的四边形是平行四边形 . 要点诠释：
（1）这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个行四边形时，应选择较简单的方法 .
（2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形” 的依据 .
【典型例题】类型一、平行四边形的判定
1、如图所示， E、F 分别为四边形 ABCD的边 AD、BC 上的点，且四边形 AECF 和 DEBF 都是平行四边形， AF和 BE 相交于点 G， DF和 CE相交于点 H．求证：四边形 EGFH为平行四边形．
【思路点拨】欲证四边形 EGFH为平行四边形，只需证明它的两组对边分别平行，即 EG∥ FH， FG∥ HE可用来证明四边形 EGFH为平行四边形．
【答案与解析】
证明：∵ 四边形 AECF为平行四边形，
∴ AF ∥ CE．
∵ 四边形 DEBF为平行四边形，
∴ BE ∥ DF．
∴ 四边形 EGFH为平行四边形．
【总结升华】平行四边形的定义既包含平行四边形的性质，又可以用来判定一个四边形是平行四边形，即平行四边形的两组对边分别平行，两组对边分别平行的四边形是平行四边形．举一反三：
【变式】（2015?厦门校级一模）如图，在四边形ABCD中， AB∥CD，∠BAD 的平分线交直线
BC于点 E，交直线 DC于点 F，若 CE=CF，求证：四边形 ABCD是平行四边形．
证明：∵∠ BAD 的平分线交直线
BC 于点 E ， ∴∠1=∠2，
∵AB ∥CD ，
∴∠1=∠F ，
∵CE=C ，F
∴∠F=∠3，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴AD ∥BC ，
∵AB ∥CD ，
∴四边形 ABCD 是平行四边形．
【思路点拨】 （1）根据全等三角形的判定方法，判断出△ ADE ≌△ CBF ，即可推
得 DE=BF ．
（2）首先判断出 DE ∥BF ；然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，推得四 边形 DEBF 是平行四边形即可．
【答案与解析】
证明：（ 1）∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥ CB ， AD=CB ， ∴∠ DAE=
∠BCF ， 在△ ADE 和△CBF 中，
∴△ADE ≌△ CBF ， ∴ DE=BF ．
（ 2）由（ 1），可得△ ADE ≌△ CBF ，
∴∠ ADE= ∠CBF ，
∵∠ DEF= ∠ DAE +∠ ADE ，∠ BFE=∠BCF+∠CBF ，
? ABCD 中，点 E ，F 在对角线 AC 上，且 AE=CF ．求证：
答
1）DE=BF ；
2）四边形 DEBF 是平行四边
∴∠ DEF= ∠BFE，
∴DE∥BF，又∵ DE=BF ，∴四边形 DEBF 是平行四边形．
【总结升华】此题主要考查了平行四边形的判定和性质的应用，以及全等三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握．
3、（2015?张掖校级模拟）已知：如图四边形ABCD是平行四边形， P、Q 是直线 AC上
的点，且 AP=CQ．
求证：四边形 PBQD是平行四边形．
【思路点拨】证明四边形是平行四边形有很多种方法，此题可由对角线互相平分来证明．【答案与解析】
证明：连接 BD交 AC与 O 点，
∵四边形 ABCD是平行四边形，
∴AO=C，O BO=DO，
又∵AP=CQ，
∴AP+AO=CQ+C，O
即 PO=QO，
∴四边形 PBQD是平行四边形．
【总结升华】本题主要考查平行四边形的判定，利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”来证明．
举一反三：
【变式】如图，在△ ABC中， D是 BC边上的一点， E是 AD的中点，过点 A作 BC 的平行线交 BE的延长线于 F，且 AF=DC，连接 CF．试说明： D 是 BC的中点 .
【答案】
证明：∵ AF∥ BC，
∴∠ AFE=∠ DBE，
∵E是 AD的中点，∴AE=DE，在△ AEF和△ DEB中，
AFE＝ DBE,
∵AEF＝ DEB,
AE＝DE,
∴△ AEF≌△ DEB（AAS），
∴ AF=BD，
∵ AF=DC，
∴ BD=DC，
∴ D 是 BC的中点 . 类型二、平行四边形的性质定理与判定定理的综合运用
4、如图，在平行四边形 ABCD中， E、 F 是对角线 AC上的点，且
AE=CF．（1）猜想探究： BE与 DF之间的关系：_ .
（2）请证明你的猜想．
【思路点拨】（1）BE平行且等于 DF；
（2）连接 BD交 AC于 O，根据平行四边形的性质得出 OA=O，C OD=O，B 推出
OE=OF，得出平
行四边形 BEDF即可．
【答案与解析】
（1）解： BE和 DF的关系是： BE=DF，BE∥ DF，故答案为：平行且相等．
（2）证明：连接 BD交 AC于 O，
∵ABCD是平行四边形，
∴OA=OC， OB=O，D
∵AE=CF，
