3幂级数展开 (1)
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数学物理方法_第三章_幂级数展开幂级数展开是数学物理中常用的一种方法,它是通过使用幂级数来表示一个函数,从而方便对函数进行近似计算和分析。
在许多问题中,幂级数展开可以简化计算的复杂性,帮助我们更好地理解问题的本质。
幂级数是一个无穷级数,形式为:f(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)^2+a3(x-x0)^3+...其中,a0、a1、a2...是常数系数,x0是展开点。
幂级数展开可以将一个任意函数表示成一个级数,进而通过截断级数的方式来近似求解。
这种展开方法在物理学和工程学中得到广泛应用。
幂级数展开的理论基础是泰勒级数展开,泰勒级数展开是幂级数展开的一个特殊情况。
泰勒级数展开是指将任意可导函数在其中一点x0附近展开成幂级数。
泰勒展开的前n+1项可以用n阶导数来表示,形式如下:f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+f''(x0)(x-x0)^2/2!+f'''(x0)(x-x0)^3/3!+...+f^n(x0)(x-x0)^n/n!+...幂级数展开的应用非常广泛,它在数学、物理、工程学和计算机科学中都有着重要的地位。
以下是幂级数展开的几个典型应用:1.函数逼近幂级数展开是一种有效的函数逼近方法。
通过截断幂级数,我们可以用其前几项来近似计算函数的值。
这对于高阶函数和复杂函数来说是非常有用的,因为我们可以通过截断级数来减少计算的复杂性。
2.微分方程的求解使用幂级数展开的方法可以求解一些特定的微分方程。
对于一些微分方程,无法找到解析解,但通过将解展开成幂级数的形式,可以将微分方程转化为代数方程,从而求得解的逼近解。
3.近似计算幂级数展开是一种常用的近似计算方法。
通过截取幂级数的前几项,我们可以将一个复杂的函数近似成一个简单的形式,从而方便我们进行数值计算。
4.解析几何的研究在解析几何中,幂级数展开是研究曲线和曲面的重要工具。
通过展开曲线或曲面,我们可以对其性质进行分析和计算,帮助我们更好地理解几何问题。
幂级数展开式常用公式一、概述幂级数展开是微积分中非常重要的一个概念,它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
在实际问题中,往往需要根据实际情况来拟定幂级数展开式,以便进行进一步的分析和计算。
本文将介绍一些幂级数展开式的常用公式,以帮助读者更好地理解和应用这一重要的数学工具。
二、常见的幂级数展开式1. $e^x$的幂级数展开式可以利用泰勒公式得到$e^x$的幂级数展开式:$$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots$$这个幂级数在实际计算中有着广泛的应用,特别是在微积分和概率论中。
2. $\sin x$的幂级数展开式$\sin x$函数的幂级数展开式为:$$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots$$3. $\cos x$的幂级数展开式$\cos x$函数的幂级数展开式为:$$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots$$4. $\ln(1 + x)$的幂级数展开式$\ln(1 + x)$函数的幂级数展开式为:$$\ln(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots$$5. $(1 + x)^\alpha$的幂级数展开式当$\alpha$为实数时,$(1 + x)^\alpha$的幂级数展开式为:$$(1 + x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha - 1)}{2!} x^2 + \frac{\alpha(\alpha - 1)(\alpha - 2)}{3!} x^3 + \cdots$$这个幂级数展开式在概率论和统计学中有着广泛的应用。
七个常用幂级数展开式幂级数是数学中重要的一种概念,它给出的式子可以应用于多种情况,广泛地应用到数学中。
当在解决特定问题时,一般都可以把问题表达为一个函数,设f(x)为一个函数,它在区间[a,infty)上是绝对收敛的,且有可展开形式,则称这样的函数f(x)为幂级数函数。
关于幂级数,有许多常用的展开式,七个常用的幂级数展开式如下:1.指数函数展开式:指数函数展开式可以表示为:f(x)=∑_(k=0)^n〖a_kx^k 〗,其中a_k是定值,x_k为x的次方数,k=0,1,2,...,n。
2.指数函数的减号展开式:指数函数的减号展开式可以表示为:f(x)=∑_(k=0)^n〖(-1)^ka_kx^k 〗,其中a_k是定值,x_k 为x的次方数,k=0,1,2,...,n。
3.余弦函数展开式:余弦函数展开式可以表示为:f(x)=∑_(k=0)^n〖b_kcos(kx) 〗,其中b_k是定值,cos(kx)表示余弦函数,k=0,1,2,...,n。
4.正弦函数展开式:正弦函数展开式可以表示为:f(x)=∑_(k=0)^n〖c_ksin(kx) 〗,其中c_k是定值,sin(kx)表示正弦函数,k=0,1,2,...,n。
5.双曲函数展开式:双曲函数展开式可以表示为:f(x)=∑_(k=0)^n〖d_kcosh(kx) 〗,其中d_k是定值,cosh(kx)表示双曲函数,k=0,1,2,...,n。
6.双曲函数的减号展开式:双曲函数的减号展开式可以表示为:f(x)=∑_(k=0)^n〖(-1)^kd_kcosh(kx) 〗,其中d_k是定值,cosh(kx)表示双曲函数,k=0,1,2,...,n。
7.指数函数的双括号展开式:指数函数的双括号展开式可以表示为:f(x)=∑_(k=0)^n〖e_k(2x)^k 〗,其中e_k是定值,(2x)^k为x的次方数,k=0,1,2,...,n。
这其中比较重要的展开式就是前三个,指数函数展开式、指数函数的减号展开式、余弦函数展开式。
第三章幂级数展开函数有精确表示和近似表示:精确表示(解析表示)表示为初等函数通过四则运算;近似表示:逼近 -近似表示为初等函数通过四则运算;级数表示 -表示为一个函数级数。
函数级数表示的意义:利用级数计算函数的近似值; 级数法求解微分方程;以级数作为函数的定义;奇点附近函数的性态。
§3.1 复数项级数(一)复数项级数的概念 ++++=∑∞=k k k w w w w210kk k v u w i +=级数是无穷项的和, 复无穷级数 ()∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=+=+=0000k k k k k k k k k v i u iv u w 原级数成为 ∑∞=0k k w ∑∞=0k k u ∑∞=0k k v 这样复级数 归结为两个实级数 与 , 实级数的一些性质可移用于复级数。
(二)收敛性问题1、收敛定义:2、柯西收敛判据 (级数收敛的充分必要条件): 对于任给的小正数 ε 必有N 存在,使得 n>N 时,,1ε<∑++=p n n k k w ,0∑==nk k n w S 前n+1项和当n → ∞,有确定的极限, 便称级数收敛, S 称为级数和;若极限不存在,则称级数发散。
n n S S ∞→=lim3、绝对收敛级数若 收敛,则 绝对收敛. ∑∑∞=∞=+=1220||k k k k k v u w ∑∞=0k k w , ,00B q A pk k k k ==∑∑∞=∞=ABc q p q p n n k l lk k k k k ===⋅∑∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=∞=00000∑-=nkn k n q p c 绝对收敛级数改变先后次序,和不变.两个绝对收敛级数逐项相乘,其和收敛,为两级数和之积.(三) 复变项级数++++=∑∞=)()()()(210z w z w z w z w kk k 的每一项都是复变函数。
实际上,对于 z 的一个确定值,复变项级数变成一个复数项级数。
复变项级数有一个定义域 B 。
它的收敛的概念应当是相对于这个定义域而言的。
收敛-复变项级数在其定义域 B 中每一点都收敛,则称在 B 中收敛。
柯西收敛判据 (复变项级数收敛的充分必要条件): 对B 内每点 z ,任给小正数 ε>0,必有 N (ε,z ) 存在,使得当 n>N (ε,z ) 时,,)(1ε<∑++=pn n k kz w 式中 p 为任意正整数。
N 一般随 z 不同而不同。
∑∞=1)(k k z w 但如果对任给小正数 ε>0,存在与 z 无关的 N (ε) ,使得 n>N (ε)时,上式成立,便说 在B 内一致收敛。
(四)一致收敛级数的性质记级数和为w (z )。
在B 内一致收敛的级数,如果级数的每一项 w k (z ) 都是B 内的连续函数,则级数的和w (z )也是B 内的连续函数。
∑⎰⎰∑⎰∞∞==d )(d )(d )(l k l k l z z w z z w z z w 逐项求积分 —在曲线 l 上一致收敛的级数,如果级数的每一项 w k (z )都是l 上的连续函数,则级数的和w (z )也是l 上的连续函数,而且级数可沿 l 逐项求积分。
逐项求导数—设级数 在 中一致收敛, w k (z ) (k=0,1,2 ,… )在 中单值解析,则级数的和w (z )也是 中的单值解析函数, w (z ) 的各阶导数可由 逐项求导数得到,即:且最后的级数 在 内的任意一个闭区域中一致收敛。
B B B ∑∞=0)(k k z w ∑∞==0)()()()(k n kn z w z w ∑∞=0)(k kz w B ∑∞=0)()(k n kz w(五)级数一致收敛的外氏(Weierstrass)判别法如果对于某个区域B (或曲线l )上所有各点z, 复变项级数各项的模(mk 是与z 无关的正常数),而正的常数项级数∑∞=0 kk m∑∞=0) (kkzw,|)(|kkmzw≤∑∞=0) (kkz w收敛,则在区域B (或曲线l )上绝对且一致收敛。
§3.2 幂级数(一)定义 ,)()()(20201000 +-+-+=-∑∞=z z a z z a a z z a k k k (3.2.1)最简单的解析函数项级数是幂级数,其各项均为幂函数其中 z 0, a 0 , a 1 , a 2 , … 为复常数。
这样的级数叫作以 z 0为中心的幂级数。
,|)(||||)(||||||)(|||20201000 +-+-+=-∑∞=z z a z z a a z z a k k k (二)幂级数敛散性1、比值判别法(达朗贝尔判别法)(3.2.2)若则实幂级数 (3.2.2)收敛,复幂级数 (3.2.1)绝对收敛,1||lim ||||||||lim 010101<-=--+∞→++∞→z z a a z z a z z a k k k k k k k k 1lim +∞→=k k k a a R Ra a z z k k k =<-+∞→10lim ||(3.2.3) (3.2.4) 引入记号 若 则(3.2.1) 绝对收敛.若 则R z z >-||0,1lim ||||||||lim1101=>--+++R a a z z a z z a k kk k 发散Rz 收敛发散RC 故当,绝对收敛 当,发散 R z z <-0R z z >-0R :收敛半径C R : 收敛圆2、根式判别法:若 (3.2.2)收敛,(3.2.1) 绝 对收敛 。
1||||lim 0<-∞→k k k k z z a 1||||lim 0>-∞→k kk k z z a 发散ka R ||1lim=故3、幂级数在收敛圆内部绝对且一致收敛 幂级数在收敛圆内绝对且一致收敛!kk kk Ra z z a 10|||)(|≤-∑∞=01||k k kRa)( 11R R C R <10||R z z ≤-作,在z 收敛发散RC 1R C R 1R 有对正的常数项级数 ,1lim ||||lim1111111<==+∞→++∞→R R R a a R a R a kk k k kk k k 应用比值判别法,有(三)例题例1 求 的收敛圆。
t 为复数+++++kt t t 21收敛圆内部为 ,1||<t 1).|(| 1112<-=+++++t tt t t k.111lim lim 1===∞→+∞→k k k k a a R 解:收敛圆半径 ,111120tt t t t t n nnk k --=++++=+=∑ 其实, ,1111lim lim 1t t t t n n nk kn -=--=+∞→=∞→∑对于,1||<t例 2 求 的收敛圆,z 为复数。
解:t z ≡2+-+-6421z z z+-+-321t t t .111lim lim 1===∞→+∞→k k k k a a R 1).|(| 1112642<+=+-+-z zz z z 1||=z z 平面收敛圆t 平面收敛圆1=t(四)幂级数在收敛圆内的性质1、幂级数每一项均是z 的解析函数,而且在收敛圆内任一闭区域中一致收敛,所以级数的和w (z )是收敛圆内的一个解析函数。
2、幂级数在收敛圆内可逐项积分3、幂级数在收敛圆内可逐项求导∑⎰⎰∑⎰∞=∞===00d )(d )(d )(k l k l k k l z z w z z w z z w ∑∞==0)()()()(k n kn z w z w 且幂级数逐项求导或积分后收敛半径不变。
本节作业:第37页第3题(1,3,4)。
(一)泰勒定理:设 f (z ) 在以 z 0 为圆心的圆C R 内 解析,则 对圆内的任意 z 点, f (z ) 可展为幂级数,其中展开系数为为圆C R 内包含z 且与C R 同心的圆。
∑∞=-=00,)()(k kk z z a z f ⎰=-=+1!)(d )()(210)(10R C k k k k z f z f i a ζζζπ1R C 1R C ζ为 上的点, z 0称为该级数的展开中心。
§3.3 泰勒(Taylor )级数展开证明:作 ,因为f (z )在单闭区域 上解析,由柯西公式,d )(i 21)(1ζζζπ⎰-=R C zf z f )( 11R R C R < .1 111002000000⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+--+=---z z z z z z z z z z z z ζζζζ 其中 10R z z ≤-0000111)()(11z z z z z z z z ---⋅-=---=-ζζζζ展开(注意 )0z z z ->-ζ(3.3.1)将(3.3.3)代入(3.3.1)逐项积分 ()()()()∑∑∞=+∞=--=--⋅-=-0100000011k k kk k kz z z z z z z z ζζζζ().d )(i 21)()(11000ζζζπ⎰∑+∞=-⋅-=R C k k kz f z z z f ).|(| )(!)()(0000)(R z z z z k z fz f k kk <--=∑∞=即 ——以 z 0 为中心的泰勒级数。
(3.3.3) 泰勒级数的收敛半径R 等于展开中心 z 0至被展开函数的最近奇点b 的距离,即 0z b R -=例 在 z 0=0的邻域上将 e z 展开。
解 因为1)0()(,e )()(0)()(===k k z k fz fz f.!!!2!11e 02∑∞==+++++=k kkzk zk z z z 故 ∞=+==∞→+∞→!)!1(lim lim 1k k a a R k k k k 收敛半径 (二)将解析函数展成泰勒级数的方法1、直接求导计算——最普通的办法例 在 z 0=1的邻域上将e z 展开。
解 因为e|)e (1)(==z n z ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-+-+= !)1(!2)1(!1)1(1e e 2k z z z kz∞=+==∞→+∞→!)!1(lim lim 1k k a a R k k k k 故收敛半径例 在 z 0=0 邻域的上将和 展开。
解|)(sin ;)1(|)(sin 0)2(0)12(=-===+z k k z k z z,0)( ,sin )(,1)( ,cos )(,0)0('' ,sin )('' ,1)0(' ,cos )(' ,0)0( ,sin )()4(1)4(1)3(1)3(1111111 ==-=-==-=====z fz z fz f z z f f z z f f z z f f z z f .)!12()1()!12()1(!5!3!1sin 121253∑∞+++-=++-+-+-=k kk k z k k z z z z z z z f sin )(1=z z f cos )(2=∑∞=-=+-+-+-=02242)!2()1( )!2()1(!4!21cos k kkkk zk k z z z z ∞=+==∞→+∞→)!2()!22(lim lim 1k k a a R k k k k ∞=++==∞→+∞→)!12()!32(lim lim 1k k a a R k k k k 类似收敛半径 收敛半径z z f ln )(= lnz是多值函数,各分支在支点 0, ∞ 相连。