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由 两类对象具有 某些类似特征 ，在此 基础上，根据 一类对象的某些已知特征 , 推出 另一类对象也 具有这些特征 ，我们把 这种的推理称为类比推理.
1、进行类比推理的步骤： (1)找出两类对象之间可以确切表述的相似特征； (2)用一类对象的已知特征去猜测另一类对象 的特征，从而得出一个猜想； (3)检验这个猜想. 观察、比较 联想、类推 猜想新结论 2、类比推理的一般模式: A类事物具有性质a,b,c,d, B类事物具有性质a’,b’,c’, (a,b,c与a’,b’,c’相似或相同） ’ 所以B类事物可能具有性质d .
a+b=b+a 运算律 (交换律和 (a+b)+c=a+(b+c) 结合律) 逆运算 加法的逆运算是减法,使得 方程a+x=0有唯一解x=-a
单位元
a+0=a
利用圆的性质类比得出球的性质 圆的概念和性质
圆的周长 S = 2πR 圆的面积 S =πR 2 圆心与弦(非直径)中点的连线 垂直于弦
球的概念和性质
3＋7＝10 3＋17＝20 13＋17＝30
10＝ 3＋7 20＝ 3＋17 30＝ 13＋17
一个规律： 偶数＝奇质数＋奇质数
6＝3+3， 8＝3+5, 10＝5+5, …… 1000＝29+971， 1002=139+863, ……
猜想任何一个不小于6的 偶数都等于两个奇质数的和.
归纳推理的过程： 哥德巴赫猜想的过程：
1 2 2 a 2c 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 (a c ) ( 2 2 b ) a c a b b c 4 a c 4 4 4
s s s
2 1 2 2
2 3
s s s s
2 2 1 2 2
2 3
变式练习：在三角形ABC中有结论： AB+BC>AC，类似地在四面体P-ABC中 有 . P B C S1 Ｃ S2 S3 △PAB的面积为S
A．a1a2a3…a9＝29 B．a1＋a2＋…＋a9＝29 C．a1a2a3…a9＝2×9 D．a1＋a2＋…＋a9＝2×9
解析：
在等差数列中“积”变“和”得a1＋a2＋…＋a9＝2×9.
答案： D
1 3．已知正三角形内切圆的半径是高的 ，把这个结论推 3 广到空间正四面体，类似的结论是________．
温度适合生物的生存
有生命存在
可能有生命存在
火星与地球类比的思维过程：
存在类似特征
Байду номын сангаас
地球
火星
地球上有生命存在
猜测火星上也可能有生命存在
试将平面上的圆与空间的球进行类比
.
.
圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定 长的点的集合. 球的定义：到一个定点的距离等于定长的点 的集合.
圆
弦 直径 周长 面积
截面圆 大圆 表面积 体积
华罗庚教授曾举过一个例子： 从一个袋子里摸出来一个红玻璃球，第二个是红玻璃球， 甚至第三个、第四个、第五个都是红玻璃球的时候，我们 立刻会出现一种猜想：“是不是袋里的东西全部都是红玻 璃球？”但是，当我们有一次摸出一个白玻璃球的时候， 这个猜想失败了；这时我们会出现另外一个猜想：“是不 是袋里的东西全部都是玻璃球？”但是，当我们有一次摸 出一个木球的时候，这个猜想又失败了；那时我们又会出 现第三个猜想：“是不是袋里的东西全部都是球？”这个 猜想对不对，还必须加以检验……
球的表面积 S = 4πR 2 球的体积 V = πR 3 球心与不过球心的截面(圆面) 的圆心的连线垂直于截面
4 3
与圆心距离相等的两弦相等 与球心距离相等的两截面面积相等 与圆心距离不相等的两弦不相 与球心距离不相等的两截面面积 等,距圆心较近的弦较长 不相等,距球心较近的面积较大 以点(x0,y0)为圆心, r为半径 的圆的方程为(x-x0)2+(yy0 )2 = r2 以点(x0,y0,z0)为球心, r为半 径的球的方程为(x-x0)2+(yy0)2+(z-z0)2 = r2
2、前提：矩形的对角线的平方等于其长和宽的平 方和。 结论：长方体的对角线的平方等于其长、宽、 高的平
3、前提：所有的树都是植物， 方和。 梧桐是树。 结论：梧桐是植物。 思考:这三个情境有什么共同特都由前提和结论两 部分构成 点？ 这三个情境各什么特点？ 推理的结构形式 有不同的特点
推理
推理：
B
P S1 S2 D S3 F
C
A
E
例题:类比平面内直角三角形的勾股定理，
B
P
c
试给出空间中四面体性质的猜想。
a
C
分析：
c
b
A
s1 a
D s3
s2
M
E
b
△PEF的面积为S
2 2 ？ 1 2 2
F
2 3
c2=a2+b2
直角三角形
∠C＝90° 2条直角边a，b和1条斜 边c
s s s s
3个面两两垂直的四面体
具体的材料 观察分析 猜想出一般性的结论
由某类事物的部分对象具有某些特征, 推出该类事物的 全部对象都具有这些特征 的推理,或者由个别事实概括出 一般结论 的推理,称为归纳推理(简称归纳).
例题解析： 例1. 蛇是用肺呼吸的, 鳄鱼是用肺呼吸的， 海龟也是用肺呼吸的， 蜥蜴是用肺呼吸的， 蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴都是爬行动物。 所以，所有的爬行动物都是用肺呼吸的。
归纳推理的一般模式:
S1具有P,
S2具有P, …… Sn具有P, (S1,S2,…,Sn是A类事物的对象） 所以A类事物具有P
归纳推理的几个特点;
1.归纳是依据特殊现象推断一般现象,因而, 由归纳所得的结论超越了前提所包容的范围.
2.归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象 推断尚属未知的现象,因而结论具有猜测性. 3.归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立 足于观察、经验和实验的基础之上. 归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资 料分析的基础上.提出带有规律性的结论. 需证明
1.古代工匠鲁班类比带齿的草叶
和蝗虫的牙齿,发明了锯．
2.人们仿照鱼类的外型和它们在 水中沉浮的原理,发明了潜水艇.
3、火星上是否存在生命？
地球
火星
行星、围绕太阳运行、绕 行星、围绕太阳运行、绕 轴自转 轴自转 有大气层 有大气层 一年中有四季的变更 一年中有四季的变更 大部分时间的温度适合地 球上某些已知生物的生存
（4）哥尼斯堡七桥猜想：18世纪在哥尼斯堡城 的普莱格尔河上有7座桥，将河中的两个岛和河 岸连结，如图1所示。城中的居民经常沿河过桥 散步，于是提出了一个问题：能否一次走遍7座 桥，而每座桥只许通过一次，最后仍回到起始 地点。这就是七桥问题，一个著名的图论问题。
除了归纳，在人们的创造发明活动中， 还常常应用类比。例如：
1 1 解析： 原问题的解法为等面积法，即 S＝ ah＝3× ar 2 2 1 1 1 ⇒r＝ h，类比问题的解法应为等体积法， V＝ Sh＝4× Sr 3 3 3 1 1 ⇒r＝ h，即正四面体的内切球的半径是高的 . 4 4
1 答案： 正四面体的内切球半径是高的4
例题：类比平面内直角三角形的勾股定理， 试给出空间中四面体性质的猜想。
∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90° 三个两两垂直的面S1，S2，S3和 1个“斜面” S
c
S1
P
S2
下面证明猜想是否成立：
a SD
3
b
s s s s
2 2 1 2 2
2 3
E
M
证明：设 ED a, DF b, DP c,
过D点作DM⊥EF,垂足为M，连接PM，则PM⊥EF
2 2
几何中常见的类比对象
平面几何 点 线 圆 三角形
立体几何
线 面 球 四面体（各面均为三角形）
代数中常见的类比对象
向量 无限 不等
数
有限
相等
例题解析：
例1、试根据等式的性质猜想不等式的性质。
等式的性质：
(1) a=ba+c=b+c;
猜想不等式的性质：
(1) a＞ba+c＞b+c;
(2) a=b ac=bc;
类比推理
由特殊到特殊的推理
类比推理
注意
以旧的知识为基础,推测新的 结果，具有发现的功能，启 发思路、提供线索、举一反 三、触类旁通的作用。 类比推理的结论不一定成立
• 1．下面几种推理是类比推理的是(
)
• A ．因为三角形的内角和是 180°×(3 － 2) ，四边形的内角和
是180°×(4－2)，…，所以n边形的内角和是180°×(n－2)
A
Ａ
Ｂ
S1 S2 S3 S
几何中常见的类比对象 平面图形（二维） 立体图形（三维） 点或线
点
线
线或面
空间直角坐标系
平面直角坐标系
几何中常见的类比对象
圆
三角形 四边形
球
四面体（各面均为三角形） 六面体（各面均为四边形） 代数中常见的类比对象 复数 向量
方程
函数
不等式 且，或，非运算
交集，并集，补集
(3) a=ba2=b2;
(2) a＞b ac＞bc;
(3) a＞ba2＞b2;
问：这样猜想出的结论是否一定正确？
例2 类比实数的加法和乘法,列出它们相似的运算性质.
类比角度 运算结果 实数的加法 若a,b∈R,则a+b∈R 实数的乘法 若a,b∈R,则ab∈R ab=ba (ab)c=a(bc) 乘法的逆运算是除法, 使得ax=1有唯一解 x=1/a a· 1=a
