微积分 数列的极限

. )( 为定义域的函数是以正整数集设＋Z n f } ,)( | {)( N n n f x x Z f f n n ∈==+的值域将 , 增大的次序排列出来所按自变量中的元素n x n 得到的一串数：, , , ,21n x x x 称为一个数列, 记为{ x n }.1. 定义一、数列及其简单性质2. 数列的表示法介绍几个数列x n 0242n x 1x 2……x•••••••••••••••… …例1,2 , ,8 ,4 ,2 :}2{ )1(nn.2 :nn x 通项3. 数列的性质单调性有界性则称满足若 ,}{ 21 >>>>n n x x x x. }{ , }{↓n n x x 记为严格单调增加则称满足若 ,}{ 21 ≥≥≥≥n n x x x x. }{ , }{↓n n x x 也记为单调增加(O, , || ,0 成立使得若N n M x M n ∈≤>∃.}{ .}{是无界的否则称有界则称数列n n x x 数列的有界性的定义如何定义数列无界？有界的数列在数轴上和在直角坐标系中的图形会是什么样子？想想：( )x0M*－M*••••••••••n x有些数列虽然无界, 但它或者是下方有, 或者是上方有界的.若 x n ≤ M , M ∈R ,则称 { x n } 有上界.若 x n ≥ m , m ∈R ，则称 { x n } 有下界.{ x n }: 有界 ⇐⇒ 既有上界又有下界.. * || *,* },|| |,|max{* , M x M x M m M M M x m n n n ≤≤≤-=≤≤即则取,}{ 的所有上界中的最小者数列n x .sup ,n x 记为称为数列的上确界,}{ 下界中的最大者的所有数列n x .inf ,n x 记为称为数列的下确界 一个数列有界(有上界, 有下界), 则必有 无穷多个界(上界, 下界).x x 3x 2nx 4x 2-ε-ε-εεεε( ( ( )))*•••••••••••••••••••••记为：x x 2n-ε-ε-εεεε( ( ( )))*•••••••••••••预先任意给定一个正数ε> 0, 不论它的值多么小,当n 无限增大时, 数列 { x n } 总会从某一项开始,以后的所有项都落在 U(0, ε) 中.（在 U(0, ε) 外面只有有限项）010)1(<--nn度量标准, 不存在.n →∞.N> 0 ,N = N(ε)....lim a x n n =+∞→一般地, 如果数列{x n } 当 n → ∞ 时, 列{x n } 当 n → ∞ 时以 a 为极限, 记为x n 可以无限地趋近某个常数 a , 则称数此时, 也称数列是收敛的.数列极限的定义：,1sin επ<≤nn1.唯一性定理若数列{ x n }收敛, 则其极限值必唯一.想想, 如何证明它三、数列极限的性质设数列{ x n }收敛, 但其极限不唯一, 不妨设有：证运用反证法.,lim ,lim b a b x a x n n n n ≠==+∞→+∞→,0 ,>∀ε于是;|| , ,0 11ε<->>∃a x N n N n 时当;|| , ,0 22ε<->>∃b x N n N n 时当,}, ,max{ 21时则当取N n N N N >=ε2|||||| ||<-+-≤-+-=-b x a x b x x a b a n n n n 由 ε 的任意性, 上式矛盾, 故 a = b .充分必要条件的任何一个子数列都收敛且均以a 为极限子数列的概念在数列 {x n }: x 1 , x 2 , , x n , 中, 保持各项原来的先后次序不变, 自左往右任意选取无穷多项所构成的新的数列, 称为原数列的一个子数列, 记为}.{k n xsin ,sin :}{sin } 8sin {πππk n =lim , ,0sin ∈=→n N k k π所以由于 ,25sin :} )2sin(2 {} 8sin {ππππ+=k n.11lim )22sin(lim ==++∞→+∞→n n k ππ此时( } 8sin { :即极限不存在是发散的故由推论可知πn>∃>∀εN>,0N有时当,0,nεx|-a|<n,则似乎可以得到如果固定εx{有界的结论}?n|}|,|,2N x x }收敛, 则必有界.该定理的逆命题不真, 即有界数列不一定收敛.例如, { (－1) n }.该定理的逆命题不真, 即有界数列不一定收敛. 例如, { (－1) n }.有界性定理的推论：无界数列必发散.即无界数列的极限不存在 .。

微积分的基础概念——极限微积分是数学的重要分支之一，它涉及到极限、导数和积分等概念。

其中，极限在微积分中占据了重要地位，是其他概念的基础。

本文将重点介绍微积分中的极限概念。

一、极限的定义在微积分中，极限是一个非常基础的概念，也是微积分中的核心。

极限的定义如下：对于一个数列{an}，若存在一个实数a，使得当n趋于无穷大时，an无论怎样变化，都会趋近于a，则称a为该数列的极限，记作：lim（n→∞）an=a（读作“当n趋近于无穷大时，an趋近于a”）。

lim（x→c）f（x）=L。

二、极限的性质在微积分中，极限有着一些重要的性质，这些性质是对极限的深入理解和运用至关重要的：1.极限的唯一性：如果一个数列或函数有极限，那么极限是唯一的。

也就是说，如果数列或函数有多个极限，那么它不存在极限。

2.极限的保号性：如果数列或函数的极限存在，那么当它的正项收敛时，它的极限也必然是非负的；同样地，当它的负项收敛时，它的极限也必然是非正的。

3.夹逼定理：如果一个数列或函数，它的n项大于或等于另一个数列或函数的n项，而又小于或等于另一个数列或函数的n项，则可以得到它的极限与这两个数列或函数的极限相等。

这个性质也可以反过来，即将“大于”换成“小于”即可。

4.四则运算法则：如果两个数列或函数的极限都存在，那么它们的和差积商的极限仍存在，且分别等于这些数列或函数的极限。

5.复合函数的极限：如果函数f（x）在x=c处极限存在，函数g（x）在f（c）处极限存在且不为零，那么复合函数g（f（x））在x=c处极限存在，并且满足：lim（x→c）g（f（x））=g（lim（x→c）f（x））。

三、应用举例极限的应用非常广泛，常见于微积分、数学分析、工程、物理学等领域。

下面通过一个例子，更加深入地了解极限的应用。

例1：求极限：lim（x→1）（x^2-x+2）/（x-1）。

解：首先，我们试图代入x=1进行计算，但是发现分母为零，无法计算。

㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１２０数学学习与研究㊀２０２１ ３０微积分中求数列极限的几种方法微积分中求数列极限的几种方法Һ卢㊀兰㊀（长春光华学院基础教研部，吉林㊀长春㊀１３００１７）㊀㊀ʌ摘要ɔ本文主要针对求解数列极限的具体实例，对各类求解数列极限的方法进行归纳和总结，掌握了这些求数列极限的解题方法和技巧，能够大大提高解题能力和解题效率．ʌ关键词ɔ数列极限；解题方法数列极限问题是高等数学中极限问题的重要组成部分，如何求数列的极限教材一般介绍得比较简单㊁分散．本文将根据具体的数列求极限问题探讨其解题方法．一㊁先求出ｎ项和的表达式再求极限这种方法通常适用于求数列通项为ｎ项和的极限问题．求ｎ项和的表达常常需要高中阶段求数列前ｎ项和的方法，高中问题这里不再详述．例１㊀求ｌｉｍｎңɕ１＋３２＋５２２＋７２３＋ ＋２ｎ－１２ｎ－１æèçöø÷．由于ｃｎ＝２ｎ－１２ｎ－１＝ａｎｂｎ，其中ａｎ＝２ｎ－１是等差数列，ｂｎ＝１２ｎ－１是等比数列．求这样的数列｛ａｎｂｎ｝的前ｎ项和，常用 乘公比，错位减 的方法．故设Ｓｎ＝１＋３２＋５２２＋７２３＋ ＋２ｎ－１２ｎ－１，则１２Ｓｎ＝１２＋３２２＋５２３＋７２４＋ ＋２ｎ－１２ｎ，将两式相减，可得１２Ｓｎ＝２＋１２＋１２２＋１２３＋ ＋１２ｎ－２－２ｎ－１２ｎ＝３－２ｎ＋３２ｎ，故Ｓｎ＝６－４ｎ＋６２ｎ．因为ｌｉｍｘңɕ４ｘ＋６２ｘ＝ｌｉｍｘңɕ４２ｘｌｎ２＝０，故ｌｉｍｎңɕ４ｎ＋６２ｎ＝ｌｉｍｘңɕ４ｘ＋６２ｘ＝０．所以ｌｉｍｎңɕ１＋３２＋５２２＋７２３＋ ＋２ｎ－１２ｎ－１æèçöø÷＝６－０＝６．二㊁利用两边夹准则求数列极限有时求数列通项为ｎ项和的极限问题先求ｎ项和的表达式是很难做到的，这时需要尝试其他的方法，两边夹准则就是常考虑的方法．利用两边夹准则求极限时一般需要放缩ｎ项和，常用的放缩技巧如下：（１）几个正数乘积中，略去大于１的因子就缩小，略去小于１的因子就放大；（２）分子㊁分母都是正数，分母缩小（放大），则分数放大（缩小），分子缩小（放大），则分数缩小（放大）；（３）ｎ个正数之和可缩小为ｎ个最小数之和（或缩小为最大数），也可放大为ｎ个最大数之和．例２㊀求ｌｉｍｎңɕ１ｎ２＋ｎ＋１＋２ｎ２＋ｎ＋２＋ ＋ｎｎ２＋ｎ＋ｎæèçöø÷．由于和式中各项的分子㊁分母都是正数，故可用放缩技巧（２），即ｉｎ２＋ｎ＋ｎɤｉｎ２＋ｎ＋ｉɤｉｎ２＋ｎ＋１（ｉ＝１，２， ，ｎ），于是，有ｎ（ｎ＋１）２ｎ２＋ｎ＋ｎɤðｎｉ＝１ｉｎ２＋ｎ＋ｉɤｎ（ｎ＋１）２ｎ２＋ｎ＋１，又ｌｉｍｎңɕｎ（ｎ＋１）２ｎ２＋ｎ＋ｎ＝１２，ｌｉｍｎңɕｎ（ｎ＋１）２ｎ２＋ｎ＋１＝１２，则ｌｉｍｎңɕ１ｎ２＋ｎ＋１＋２ｎ２＋ｎ＋２＋ ＋ｎｎ２＋ｎ＋ｎæèçöø÷＝１２．例３㊀求ｌｉｍｎңɕ１＋２ｎ＋３ｎ＋４ｎ()１ｎ．由于表达式的底数部分是几个正数之和，可用放缩技巧（３），即４＝（４ｎ）１ｎɤ（１＋２ｎ＋３ｎ＋４ｎ）１ｎɤ４１ｎ㊃４，ｌｉｍｎңɕ４㊃４１ｎ＝４，所以ｌｉｍｎңɕ（１＋２ｎ＋３ｎ＋４ｎ）１ｎ＝４．三㊁利用定积分定义求数列极限一般求每项为无穷小的无限项的和式极限时通常要考虑利用定积分定义求极限．例４㊀求ｌｉｍｎңɕｎｎ２＋１＋ｎｎ２＋２２＋ ＋ｎｎ２＋ｎ２æèçöø÷．将这个和式化为某个函数在某个区间上的积分和，从而可利用定积分求和式极限．先将和式改写，㊀ｎｎ２＋１＋ｎｎ２＋２２＋ ＋ｎｎ２＋ｎ２＝１ｎ１１＋１ｎ()２＋１１＋２ｎ()２＋ ＋１１＋ｎｎ()２éëêêêùûúúú．考虑用［０，１］区间上的函数ｆ（ｘ）＝１１＋ｘ２将［０，１］区间ｎ等分，取每个小区间的右端点ξｉ，故. All Rights Reserved.㊀㊀㊀解题技巧与方法１２１㊀数学学习与研究㊀２０２１ ３０ｎｎ２＋１＋ｎｎ２＋２２＋ ＋ｎｎ２＋ｎ２＝ðｎｉ＝１１１＋ξ２ｉΔｘｉ＝ðｎｉ＝１１１＋ｉｎ()２㊃１ｎ，所以ｌｉｍｎңɕｎｎ２＋１＋ｎｎ２＋２２＋ ＋ｎｎ２＋ｎ２æèçöø÷＝ʏ１０１１＋ｘ２ｄｘ＝π４．有的求数列极限问题表面上看不能利用定积分的定义来求，但经过适当的变形之后是可以用的，如例５．例５㊀求ｌｉｍｎңɕｎｎ！ｎ．求解过程如下：ｌｉｍｎңɕｎｎ！ｎ＝ｅｌｉｍｌｎｎ！ｎ＝ｅｌｉｍ㊀１ｎ［ｌｎ（ｎ！）－ｎｌｎｎ］＝ｅｌｉｍ㊀１ｎðｎｉ＝１ｌｎｉｎ＝ｅʏ１０ｌｎｘｄｘ＝１ｅ．注意，这里的ʏ１０ｌｎｘｄｘ是瑕积分，具体求瑕积分的过程此处省略了．四㊁由单调有界原理及其递推公式求数列的极限用这种方法求极限的一般步骤如下：（１）由已知条件确定数列｛ｘｎ｝的递推公式ｘｎ＋１＝ｆ（ｘｎ）；（２）利用递推公式证明此数列是单调有界数列；（３）对递推公式两边取极限得到关于此数列极限的方程，解方程得到数列极限．例６㊀设ｘ１＝２，ｘｎ＋１＝１２ｘｎ＋２ｘｎ()，ｎ＝１，２，３， ，证明：数列｛ｘｎ｝收敛，并求此极限ｌｉｍｎңɕｘｎ．由已知，显然有ｘｎ＞０ｎ＝１，２，３， ()，ｘｎ＋１＝１２ｘｎ＋２ｘｎ()ȡｘｎ㊃２ｘｎ＝２，ｎ＝１，２，３， ，即数列ｘｎ{}有下界，由此可知，ｘｎ＋１－ｘｎ＝１２２ｘｎ－ｘｎ()＝２－ｘ２ｎ２ｘｎɤ０．因此，数列ｘｎ{}单调递减且收敛，故ｌｉｍｎңɕｘｎ的极限存在．设ｌｉｍｎңɕｘｎ＝Ａ，对所给递推公式两边取极限，可得Ａ＝１２Ａ＋２Ａ()，解得Ａ＝２，注意Ａ＞０．五㊁利用级数收敛的必然条件求数列极限级数收敛的必要条件：若级数ðɕｎ＝１ｕｎ收敛，则ｌｉｍｎңɕｕｎ＝０．例７㊀求ｌｉｍｎңɕｎ！ｎｎ．考虑正项级数ðɕｎ＝１ｎ！ｎｎ．由于ｌｉｍｎңɕ（ｎ＋１）！（ｎ＋１）（ｎ＋１）ｎ！ｎｎ＝ｌｉｍｎңɕ１１＋１ｎ()ｎ＝１ｅ＜１．所以正项级数ðɕｎ＝１ｎ！ｎｎ收敛．由级数收敛的必要条件，得ｌｉｍｎңɕｎ！ｎｎ＝０．六㊁利用施笃兹定理（Ｓｔｏｌｚ）求数列极限施笃兹定理一般教材都没有介绍，它可以用来计算某些难度较大的数列极限ｌｉｍｎңɕｘｎｙｎ（无穷比无穷型）．施笃兹定理被称为数列极限的洛必达法则，其定理内容如下：设数列ｙｎ{}严格增大，且无界，若ｌｉｍｎңɕｘｎ－ｘｎ－１ｙｎ－ｙｎ－１存在或为ɕ，则ｌｉｍｎңɕｘｎｙｎ＝ｌｉｍｎңɕｘｎ－ｘｎ－１ｙｎ－ｙｎ－１．下面利用施笃兹定理再求解一遍例５．ｌｉｍｎңɕｎｎ！ｎ＝ｌｉｍｎңɕｎｎ！ｎｎ＝ｅｌｉｍ１ｎｌｎｎ！ｎｎ＝ｅｌｉｍｌｎ（ｎ！）－ｎｌｎｎｎ＝ｅｌｉｍｌｎ（ｎ！）－ｎｌｎｎ－ｌｎ（（ｎ－１）！）＋（ｎ－１）ｌｎ（ｎ－１）ｎ－（ｎ－１）＝ｅｌｉｍｌｎ（ｎ（ｎ－１）！）－ｎｌｎｎ－ｌｎ（（ｎ－１）！）＋（ｎ－１）ｌｎ（ｎ－１）ｎ－（ｎ－１）＝ｅｌｉｍ（ｎ－１）（ｌｎ（ｎ－１）－ｌｎｎ）＝ｅｌｉｍｌｎｎ－１ｎ()＝ｌｉｍｎңɕｎ－１ｎ()ｎ－１＝ｌｉｍｎңɕ１－１ｎ()－ｎ[]ｎ－１－ｎ＝１ｅ．七㊁利用中值定理求数列极限例８㊀求ｌｉｍｎңɕｎ２ａｒｃｔａｎａｎ－ａｒｃｔａｎａｎ＋１()（ａʂ０）．由极限表达式的形式考虑用拉格朗日中值定理求解，设ｆ（ｘ）＝ａｒｃｔａｎｘ，在ａｎ与ａｎ＋１构成的区间上对ｆ（ｘ）使用拉格朗日中值定理，即存在介于ａｎ与ａｎ＋１的ξ，使得ｆａｎ()－ｆａｎ＋１()＝ｆᶄ（ξ）ａｎ－ａｎ＋１()＝１ｎ（ｎ＋１）㊃ａξ２＋１＝ａｒｃｔａｎａｎ－ａｒｃｔａｎａｎ＋１，所以ｌｉｍｎңɕｎ２ａｒｃｔａｎａｎ－ａｒｃｔａｎａｎ＋１()＝ｌｉｍｎңɕｎ２ｎ（ｎ＋１）㊃ａ１＋ξ２＝ａ．ʌ参考文献ɔ［１］刘玉莲，杨奎元．数学分析讲义学习辅导书［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００３．［２］同济大学数学教研室．高等数学［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００４．. All Rights Reserved.。

极限存在与不存在的判定方法极限是微积分中的一个重要概念，它用于描述函数在趋近某一点时的行为。

然而，对于一个给定的函数，如何判定其极限是否存在呢？本文将介绍几种常用的方法来判定极限的存在与否。

一、数列极限的判定方法对于数列的极限，我们可以通过以下方法进行判定：1. 判定法则一：夹逼准则夹逼准则是常用的一种判定数列极限的方法。

它的基本思想是：如果一个数列被两个收敛的数列夹住，并且这两个数列的极限相等，那么原数列也收敛，并且极限等于这两个收敛数列的极限。

2. 判定法则二：单调有界原理单调有界原理是判定数列极限的另一种常用方法。

它的基本思想是：如果一个数列单调递增且有上界（或单调递减且有下界），那么该数列必定收敛。

3. 判定法则三：零点判别法零点判别法适用于一些特殊的数列。

它的基本思想是：如果一个数列的极限等于零，那么这个数列可以通过一些数列变换的方法来判定极限的存在。

二、函数极限的判定方法对于函数的极限，我们可以通过以下方法进行判定：1. 判定法则一：柯西收敛准则柯西收敛准则是判定函数极限的一种常用方法。

它的基本思想是：对于任意一个正数ε，存在一个正数δ，当函数定义域中任意两个点的距离小于δ时，函数值的差的绝对值也小于ε，那么该函数的极限存在且唯一。

2. 判定法则二：函数极限存在的等价定理函数极限存在的等价定理是判定函数极限存在的另一种常用方法。

它的基本思想是：如果一个函数在某一点附近连续，那么该函数在该点必定存在极限。

3. 判定法则三：函数的无穷极限函数的无穷极限判定是用来判断函数在正无穷或负无穷处的极限存在与否。

它的基本思想是：如果一个函数在某一方向上趋于无穷大或无穷小，那么相应的无穷极限也存在。

三、其他方法除了上述常用的判定方法外，还有一些特殊情况下的判定方法可以用于判定极限的存在与否，如洛必达法则、泰勒展开等等。

这些方法在具体问题中的应用较为灵活，需要根据具体情况来选择使用。

综上所述，判定极限的存在与否需要根据不同的情况选择适当的方法。