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（格式不对是因为这是经过整理后的）太原理工大学一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．设A与B是任意两个互不相容事件，则下列结论中正确的是（）A． P(A)=1-P(B)B． P(A-B)=P(B)C． P(AB)=P(A)P(B)D． P(A-B)=P(A)2．设A，B为两个随机事件，且B包含于A,P(B)>0，则P(A/B)（）A． 1B． P(A)C． P(B)D． P(AB)3．下列函数中可作为随机变量分布函数的是（）A．B．C．D．4．设离散型随机变量X的分布律为则P{-1<X<=1）（）A．0.3B．0.4C．0.6D．0.75．设二维随机变量（X，Y）的分布律为（）且X与Y相互独立，则下列结论正确的是A．a=0.2,b=0.6B．a=-0.1,b=0.9C．a=0.4,b=0.4D．a=0.6,b=0.26．设二维随机变量（X，Y）的概率密度为则P{0>X<1,0<Y<1}=（）A．1/4B．1/2C．3/4D．17．设随机变量X服从参数为的指数分布，则E（X）=（）A． 1/4B．1/2C．2D．48．设随机变量X与Y相互独立，且X~N（0，9），Y~N（0，1），令Z=X-2Y，则D（Z）=（）A．5B．7C．11D．139．设（X，Y）为二维随机变量，且D（X）>0，D（Y）>0，则下列等式成立的是（）A．E（XY）=E（X）·E（Y）B．CovC．D（X+Y）=D（X）+D（Y）D．Cov(2X,2Y)=2Cov(X,Y)_10．设总体X服从正态分布N（U,@2），其中@2未知，x1,x2,…，x n为来自该总体的样本，X为样本均值，s为样本标准差，欲检验假设，则检验统计量为（）A．B．_C．（n-1)的开方乘（X-U0)_D． n的开方乘（x-u0 )二、填空题(本大题共15小题，每小题2分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。
数理统计学复习题1．设总体(0,1)X N ，125,,,X X X 是来自总体X 的简单随机样本，试确定C 使统计量1212222345()()C X X Y X X X +=++服从t 分布。
2．设12,,,n X X X 是来自总体2(0,)X N σ 的简单随机样本，问统计量2221(1)nii X U n X ==-∑服从什么分布？试说明你的理由。
3．求总体(20,3)N 的容量分别为10、15的两独立样本的均值差的绝对值大于0.3的概率。
4．设12,,,n X X X 为取自总体2(,)X N μσ 的简单随机样本，求常数C ，使得12111()n i i i X X C-+=-∑为2σ的无偏估计量。
5．设总体X 服从参数为θ的指数分布，其分布密度函数为11,0()0,0x ex f x x θθ-⎧>⎪=⎨⎪≤⎩12,,,n X X X 为取自总体X 的样本，试求参数θ的矩估计、极大似然估计，并讨论估计的无偏性、有效性、相合性和充分性。
6．设总体X 的密度函数为22(),0xxf x ex θθ-=>，12,,,n X X X 为取自总体X 的样本，试求参数θ的极大似然估计，并讨论估计的无偏性、有效性、相合性和充分性。
7．设总体X 服从参数为λ的泊松分布，12,,,n X X X 为取自总体X 的样本，试求参数λ的矩估计、极大似然估计，并讨论估计的无偏性、有效性、相合性和充分性。
8．设总体X 的密度函数为111()(01)f x x x θθ-=<<，12,,,n X X X 为取自总体X 的简单随机样本，求参数θ的矩估计和极大似然估计量，并讨论极大似然估计量的无偏性、有效性、相合性和充分性。
9．设铅的比重近似服从正态分布，今测量比重16次，得 2.705x =，0.029s =，试求铅的比重的均值μ和标准差σ的置信水平为0.95的置信区间。
已知0.025(15) 2.1315t =，20.025(15)27.488χ=，20.975(15) 6.262χ=。
安徽大学2011 — 2012学年第一学期 《数理统计》考试试卷（B 卷）（闭卷时间120分钟）院/系 ______________ 年级 __________ 专业 _______________ 姓名 ________________ 学号 ________题号-一--二二三四五总分得分得分一、选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 1、设总体X 〜N （1,9），（X 1, X 2,, X 9）是X 的样本，贝U （3、若总体X 〜N （~；「2），其中匚2已知，当样本容量n 保持不变时，如果置信度1-：减 小，则"■的置信区间（）（A ）长度变大； （B ）长度变小； （C ）长度不变； （D ）前述都有可能.4、 在假设检验中，分别用〉，［表示犯第一类错误和第二类错误的概率，则当样本容 量n—定时，下列说法中正确的是（ ）.（A ）：减小时-也减小；（B ）:增大时-也增大； （C ） 其中一个减小，另一个会增大； （D ） （A ）和（B ）同时成立.5、 在多元线性回归分析中，设 {?是卩的最小二乘估计， ―Y- XJ ?是残差向量，则 （ ）.（A ） ； ? =0 n ；（ B ） Cov （?）x 2［l n — X （XX ），X ］；（C ） -------- 是▽2的无偏估计；（D ） （A ）、（B ）、（C ）都对.n — p TX -1 (A) ------------ N(0, 1);1X -1(C) ------------ N(0, 1);9(B ) (D ) X -13 则服从自由度为 n -1的t 分布的统计量为（)0（A ）虫」） CT (a 、J n -1 (X - 卩)(B)S n(C ) ■■■ n—1(x 」)N(0, 1)； N(0, 1) • •. n (X - ■')s X -1 1 n _2、设X 1,X 2,…,X n 为取自总体X 〜N （~；「2）的样本，X 为样本均值，S ；=-v （X i-X ）2， n ◎6、设总体X 和Y 相互独立，且都服从正态分布N （0, 32），而（X,X 2 HX 9 和（丫1飞川,绻）是分别来自X 和Y 的样本，则U = X 1+川 ％ 服从的分布是 _____________ .W 刁“丫f7、设0?与区都是总体未知参数日的估计，且0?比区有效，则9?与髭的期望与方差满足8设总体X ~ N （〜；「2），-2已知，n 为样本容量，总体均值」的置信水平为1 -：的置 信区间为（X-+肋，则k 的值为 _________________ .9、 设X 1,X 2,...,X n 为取自总体X~N （.L ,；「2）的一个样本，对于给定的显著性水平 ：•，已知关于2检验的拒绝域为2鼻（n —1）,则相应的备择假设H 1为 ________ ;10、 多元线性回归模型Y= X B 乜中，B 的最小二乘估计是0二 ___________________ .三、计算题（本大题共5小题，每小题10分，共50 分） （X 1,X 2,||（,X n ）为取自总体的一个样本，求的矩估计量，并证明该估计量是无偏估计12、设X 1,X 2，…，X n 是来自总体X 〜P （'）的样本，■・0未知，求’的最大似然估计量得分、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 得分11已知总体X 的概率密度函数为f （X ）二0,x 0其它 其中未知参数n 0,13、已知两个总体X与丫独立，Xf,；、2） , 丫~（七,/） , r,b,打，；打未知，_2（人公2,|||必口）和MY/IYJ分别是来自X和丫的样本，求冷的置信度为1-:的置信区间•14、合格苹果的重量标准差应小于0.005公斤•在一批苹果中随机取9个苹果称重，得其样本修正标准差为S =0.007公斤,试问：（1）在显著性水平〉=0.05下，可否认为该批苹果重量标准差达到要求？（2）如果调整显著性水平〉=0.025，结果会怎样？（盂.025 （9） =19.023, 翁05（9）=16.919, 監略（8） =17.535,尤0.°5 （8） =15.507 ）15、设总体X〜N（a,1），a为未知参数，a，R，，…，X.为来自于X的简单随机样本，现考虑假设：H。
1. 填空（本题共20分，共10空，每空2分）1） 三只白色棋子和两只红色棋子摆放在 5*5的棋盘上，要求每行每列只放 置一个棋子，则共有1200种不同的摆放方法。
2答案：5! C 512002） 在（5a 「2a 2+3a 3）6 的展开式中，a/?a 2?a 33 的系数是 -81000。
色 52 ( 2) 3381000答2!1!3!3）有n 个不同的整数，从中取出两组来，要求第一组数里的最小数大于第n 1二组的最大数，共有n 2 1种方案。
4）六个引擎分列两排，要求引擎的点火的次序两排交错开来，试求从一特 定引擎开始点火有12种方案。
答案：C 3 c ； C 2125） 从1到600整数中既不能被3整除也不能被5整除的整数有320 个。
6） 要举办一场晚会，共10个节目，其中6个演唱节目，4个舞蹈节目。
现 要编排节目单，要求任意两个舞蹈节目之间至少要安排一个演唱节目， 则共可以写出 604800种不同的节目单。
3答案.6! C 7 4! 60480027） 把n 男n 女排成一只男女相间的队伍，共有2 （n!）种排列方法；2若围成一圆桌坐下，又有2 （n!） /（2n ）种方法。
2n8） n 个变量的布尔函数共有n个互不相同的。
9） 把r 个相异物体放入n 个不同的盒子里，每个盒子允许放任意个物体， 而且要考虑放入同一盒中的物体的次序，这种分配方案数目为P(n r 1,r)/ 八(n r 1)! ~ / 、 …w P(n r 1,r)n(n 1)(n 2)答案：2. (本题10分)核反应堆中有a 和B 两种粒子，每秒钟内一个 a 粒子分裂成三个B 粒子，而 一个B 粒子分裂成一个a 粒子和两个B 粒子。
若在时刻t=0时，反应堆中只 有一个a 粒子，问t=100秒时反应堆中将有多少个 a 粒子？多少个B 粒子? 解：设t 秒钟的a 粒子数位a t ， B 粒子数为b t ,则a tb t i b 3a t 1 2b t 1 a 。
1. Let be a random sample from the distribution(a) ( 8 %) Find the method of moment estimates of and.(b) ( 7 %) Find the MLE of, assuming is known.(c) ( 7 %) Giving, find the Cramer-Rao lower bound of estimates of.2. ( 8 %) Giving, find the UMVUE of.3. Suppose that are iid ~,. Let.(a) ( 5 %) Show that is a sufficient statistic for.(b) ( 5 %) Let. Show that is an unbiased estimate of.4. (10%) Find the UMVUE of.5. Let be a random sample from a, , distribution. Consider testing vs.(a) (10%) Find a UMP level test,.(b) ( 7 %) For, the test rejects, if.Find the power function of the test.(c) ( 8 %) For, the test rejects, if.6. Evaluate the size and the power of the test.7. (10%) Let be iid distribution, and let the prior distribution of be a distribution, ,.Find the posterior distribution of.8. Let be a random sample from an exponential distribution with mean,.(a) ( 5 %) Show that is a sufficient statistic n for.(b) ( 5 %) Show that the Poisson family has a monotone likelihood ratio, MLR. ( 5 %) Find a UMP level test of vs by the Karlin-Rubin Theorem shown below. [Definition] A family of pdfs or pmfs has a monotone likelihood ratio, MLR, if for every, is a monotone function of.[Karlin-Rubin Theorem] Suppose that is a sufficient statistic for and the pdfs or pmfs has anon-decreasing monotone likelihood ratio. Consider testing vs. A UMPlevel test rejects if and only if, where.1. 數理統計期末考試試題答案2. (a) Since andJLet andJ・Furthermore, , ,The MME of.and are,(b)Let.Furthermore,JSo, is the MLE of.(c)CRLB =(c) Since, is an unbiased estimate of, andCRLB, is the UMVUE of.[Or]Given, is an exponential family in.is a sufficient statistic for.3. Since is an unbiased estimate of and a function of sufficient statistics, by Rao-Blackwell Theorem, is the UMVUE of.4. (a)Let and. By factorization theorem, is a sufficient statistic for.[Or]is an exponential family is a sufficient statistic.(b), so is an unbiased estimate of.(c) If, , are iid ~, then.5. By Rao-Blackwell Theorem, is the UMVUE of.6. (a) By Neyman-Pearson Lemma, a UMP level test rejects if and only if.Since, a UMP level test rejects if and only if, where is the smallest integersatisfying.[Or] is sufficient for and.By the corollary of Neyman-Pearson Lemma, a UMP level test rejects if and onlyif.(b)J(c) The size of this test is The power of this test is7. Since is sufficient for and.; and8. The posterior distribution of is.9. (a)Let and. By factorization theorem, is a sufficient statistic for.[Or]is an exponential family. is a sufficient statistic.Since is an unbiased estimate of and a function of sufficient statistics, by Rao-Blackwell Theorem, is the UMVUE of.(b),If is an increasing function of,Hence of has MLR.(c),If is increasing in. Hence of has an MLR.By Karlin-Rubin Theorem, the UMP size test rejectingif, where satisfies that; i.e.,.Word是学生和职场人士最常用的一款办公软件之一，99.99% 的人知道它，但其实，这个软件背后，还有一大批隐藏技能你不知道。
2010-2011 学年第二学期数学建模习题1当今信息时代的大量信息主要传递依靠地球同步轨道通信卫星来实现。
所谓地球同步轨道卫星就是指公转周期和地球自转周期相同的卫星，其特点是轨道倾角为0 度，卫星在赤道上空运行，卫星运行的角速度与地球自转的角速度相同，所以从地面上看，卫星犹如固定在赤道上空某一点一样，即人们看到它在天空是不动的。
(１)问地球同步轨道卫星距地面的高度h应为多少？(２)考虑到卫星信号是直线传播的，计算一颗通信卫星信号覆盖面积；(３)欲使赤道上的所有点至少与一颗通信卫星保持联系，在赤道上空需布多少颗卫星？此时尚未被通信卫星所覆盖的地球表面有多少？4在某条1 千米的长街上均匀居住着许多居民，有两个商人同时想在该长街开便利店（假设每个商人都是以最大售货量为目的）。
(1) 如果所有的居民都习惯于到最近的便利店购买商品，问这两个商人会如何选择店面位置？(2) 如果每户居民仍然到最近的便利店购货，但购买数量与他们到便利店的距离有关（简单起见，假设Q=1-D，其中Q 为购买量， D 为居民与便利店的距离）。
此时两个商人会如何选择店面位置？(3)如果居民是均匀地围绕一个圆形的湖泊居住且购买习惯不变，两个商人又会如何选择店面位置？进一步，若是三个商人开店，又会如何布局？3 、光的最短路径原理（即光沿最短路径行进）是古埃及托勒密王朝（公元前100 年~公元100 年）的希腊学者Helon 最早提出的。
我们知道，光在同种均匀介质中是沿直线传播的（A→B）。
当光遇到水面、玻璃以及其他物体的表面时会发生反射。
右图给出了平面镜反射（A→O→B）的图形，从图中可以看出：反射定律（入射角α=反射角β）实际上表明光从A 出发经O 反射到B 经过的是最短距离，这就是光的最短路径原理。
当光从一种介质射入到另一种介质时，传播方向会发生偏折，这种现象叫做光的折射。
公元168年数学家托勒密测量了光线在空气中的入射角α与进入水中的折射角β的数据并列了一张表，很多人希望通过研究这张表从而找出一个表达α，β关系的数学式子，经历了1400 多年，直到1621 年才由荷兰数学家、物理学家Snell 完成了这一工作，他提出了Snell 折射定律（光的折射定律），即：sinα= n sin β，n——折射率公元1657 年，法国数学家Fermat 提出了折射现象中的最短时间原理。
《应用数理统计》2010年期末考试试题参考答案1、 因为"NQlt) , Xn+1~N (内,且两者相互独立，所以 n-X-N(0,(l + ：)。
2),又因为 当~x?(n -1),且两者相互独立，由t 分布的定义 2、(2)计算0的矩估计：EX = e ,令8 =又，解得0 = X ； 1 1 计算0的极大似然估计：L(o) = n ：i f(xj = 1' Q ~2- X ⑴-x ^-0 + ?整理得 O others,i i L(0) = f(x J = 1, X(n ；1-2-0-X ⑴+ 2，从而e 的极大似然估计不唯一，取值 。
others,［X (n) - X (1) + ；］的任意统计量都是其极大似然估计； (3 )由上一问可知，T 为8的极大似然估计。
(1 ) E|XJ = 2 V 皋改=六(。
％一亲)广(T = JI 。
,从而有Ea = E (i BX ：］|XJ )=二 R弟 2。
=。
，故为无偏估计。
U - 94 - 1414 cor - 32 彳。
彳 - 94+141+92 ―。
6、Yi = ~ = 18.8 , y2 = 5 = 28.2 , Y3 = ~ = 18.4 , y =~ = 21.8 ,X = X"库](% - /言"冷国- 15评 =(1794 + 4259 + 1770)- 15 X 21.82=694.4 ,3 51=1j=l=5[(18.8 — 21.8)2 + (28.2 - 21.8)2 + (18.4 - 21.8)2]=307.6 , S e = Sy — S A = 694.4 — 307.6 = 386.8 ,Xjj+i 得到 但…一沁/。
；(呜) 丁舄四…)。
4、得到方差分析表如下:平方和自由度均方和组间307.6 2 153.8 组内386.8 12 32.23 总和694.4 14 检验统i+«4.772由于F=4.772>3.89 ,落入拒绝域,从而认为三种类型电路的响应时间有显著差异。
高校统计学专业数理统计期末考试试卷及答案第一部分：选择题（共60分）请在每道题目后面括号内选择正确答案并填写在答题卡上。
1. 下列哪个统计指标可以用于描述数据的集中趋势？A. 标准差B. 方差C. 中位数D. 偏度（）2. 某班级的人数的平均值为65，标准差为4。
如果一个同学的分数在80分的位置上，其标准化分数为多少？A. -3.75B. -3C. 3D. 3.75（）3. 对于一个正态分布，大约有多少个观测值在平均值的两个标准差范围内？A. 68%B. 95%C. 99.7%D. 100%（）4. 下列哪个检验方法可以用于比较两个样本均值是否有显著性差异？A. 卡方检验B. 方差分析C. T检验D. 相关分析（）5. 对于一组数据，如果众数、中位数和平均数三者相同，则数据呈现什么类型的分布？A. 正态分布B. 偏态分布C. 均匀分布D. 无法确定（）第二部分：填空题（共40分）请在下列每道题目的空格内填写正确答案。
1. 离散型随机变量的概率质量函数是由______给出的。
2. 两个事件相互独立时，它们的联合概率等于______。
3. 在正态分布中，标准差为1，均值为0的分布称为______。
4. 在假设检验中，如果p值小于显著性水平α，则拒绝______假设。
5. 相关系数的取值范围为______。
6. 在回归分析中，自变量对因变量的解释程度可以通过______来衡量。
7. 当两个事件相互独立时，它们的联合概率等于______。
8. 当置信区间越窄时，对于参数估计的精确度越______。
第三部分：简答题（共100分）请简要回答下列问题。
1. 请解释什么是统计学，并简要介绍统计学在实际生活中的应用场景。
2. 请解释什么是正态分布，并说明其性质和应用。
3. 请解释什么是假设检验，并简述其步骤。
4. 请解释什么是回归分析，并说明其与相关分析的区别。
5. 请解释什么是抽样误差，并介绍减小抽样误差的方法。
北 京 交 通 大 学2010~2011学年第一学期数理统计学期末考试试卷（A 卷）（闭卷部分）答案一．（本题满分10分）设总体X 存在二阶矩，()μ=X E ，()2v a r σ=X ，()n X X X ,,,21 是从中抽取的一个样本，X 是样本均值，2S 是样本方差．⑴ 计算()X var ；⑵ 如果()2,~σμN X ，计算()2var S ．解：⑴ ()()n n n n X nX n X ni ni in i i 22212212111var 11var var σσσ=⋅===⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑===． ⑵ 因为总体()2,~σμN X ，()n X X X ,,,21 是取自总体X 中的一个样本，所以()()1~1222--n S n χσ．所以，()()()()()()121211v a r 111v a r v a r 42422242222-=-⋅-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-=n n n S n n S n n S σσσσσσ．二．（本题满分10分） 设总体()2,~σμN X ，()921,,,X X X 是取自总体X 中的一个样本，令∑==61161i i X Y ， ∑==97231i i X Y ，()∑=-=9722221i i Y X U ．计算统计量()U Y Y Z 212-=的分布（不需求出Z 的密度函数，只需指出Z 所服从的分布及其参数）． 解：由题设可知，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛6,~21σμN Y ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛3,~22σμN Y ，所以有 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,0~221σN Y Y ．因此有()1,0~221N Y Y σ-． 又由()∑=-=9722221i i Y X U ，得()2~2222χσU ．因此由t 分布的构造，得 ()()2~21222222121t UY Y UY Y Z ⋅-=-=σσ．三．（本题满分10分） 设总体()θθ2,~U X ，其中0>θ是未知参数．()n X X X ,,,21 是从中抽取的一个样本．试求出θ的一个充分统计量． 证明：总体X 的密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它021θθθx x p ．所以，样本()n X X X ,,,21 的联合密度函数为()nni i x p θθ11=∏=；，()()n i x i ,,2,1,2 =<<θθ()()θθθ211<≤<=n x x nI ．令()θθθθ221211,,<≤<=t t nI t t g ，()1,,,21≡n x x x h ，则有 ()()()n ni i x x x h t t g x p ,,,,,21211θθ=∏=；．因此由因子分解定理，知统计量()()()n X X T ,1=是未知参数θ的充分统计量．四．（本题满分6分） 设总体X 的密度函数为()()⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它0022θθθx x x p其中0>θ是未知参数．()n X X X ,,,21 是从中抽取的一个样本．试求出θ的一个矩估计量．解：()()()3623122232032202θθθθθθθθθ=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-==⎰⎰+∞∞-x x dx x x dx x xp X E ．得方程 ()3θ=X E ，解方程，得()X E 3=θ．将()X E 替换成X ，得未知参数θ的矩估计量X 3ˆ=θ． 五．（本题满分14分）⑴ 设总体X 等可能地取值1，2，3， ，N ，其中N 是未知的正整数．()n X X X ,,,21 是取自该总体中的一个样本．试求N 的最大似然估计量．（10分）⑵ 某单位的自行车棚内存放了N 辆自行车，其编号分别为1，2，3，…，N ，假定职工从车棚中取出自行车是等可能的．某人连续12天记录下他观察到的取走的第一辆自行车的编号为12， 203， 23， 7， 239， 45， 73， 189， 95， 112， 73， 159，试求在上述样本观测值下，N 的最大似然估计值．（4分） 解：⑴ 总体X 的分布列为 {}Nx X P 1==， ()N x ,,2,1 =． 所以似然函数为 (){}n ni i i Nx X P N L 11===∏=， ()()n i N x i ,,2,1,1 =≤≤．当N 越小时，似然函数()N L 越大；另一方面，N 还要满足：()n i N x i ,,2,1,1 =≤≤，即{}()n n x x x x N =≥,,,max 21 ．所以，N 的最大似然估计量为()n X N =ˆ． ⑵ 由上面的所求，可知N 的最大似然估计值为()239ˆ==n x N ． 六．（本题满分14分） 设总体()2,~σμN X ，其中μ与2σ都是未知参数，+∞<<∞-μ，0>σ．()n X X ,,1 是取自该总体中的一个样本．试求：⑴ μ与2σ的最大似然估计量（10分）；⑵ ()5>=X P p 的最大似然估计量（4分）． 解：⑴ X 的密度函数为()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧--=-2221222exp 2,σμπσσμx x p ；，()+∞<<∞-x ． 所以，似然函数为 ()()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧--==∑∏=-=ni i nni ix x p L 1222212221exp 2,,μσπσσμσμ；． 取对数，得 ()()()∑=---=ni i x n L 12222212ln 2,ln μσπσσμ． 分别对μ与2σ求偏导数，并令其为0，得似然方程组()()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=---=∂∂=-=∂∂∑∑==0212,ln 01,ln 124222122ni i n i i x n L x L μσσσμσμσσμμ ． 解方程组，得x x n n i i ==∑=11μ，()∑=-=n i i x x n 1221σ，因此得μ与2σ的最大似然估计量为X X n n i i ==∑=11ˆμ，()∑=-=n i i X X n 1221ˆσ． ⑵ 由于⎪⎪⎭⎫⎝⎛n N X 2,~σμ，所以()()⎪⎭⎫⎝⎛-Φ-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤--=≤-=>=n n n X P X P X P p σμσμσμ5151515， 所以()5>=X P p 的极大似然估计量为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-Φ-=n SXp 51ˆ． 七．（本题满分6分） 设总体()p B X ,1~，其中10<<p 是未知参数．()n X X X ,,,21 是取自该总体中的一个样本，样本量2≥n ．试求待估函数()2p p g =一个无偏估计量． 解：令21X X T =，由于()()()()22121p X E X E X X E T E ===， 所以21X X T =就是()2p p g =的一个无偏估计量．八．（本题满分12分）设总体X 服从指数分布，其密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-001x x ex p xθθ，()n X X X ,,,21是取自该总体中的一个样本．⑴ 求出统计量()i n i X X ≤≤=11min 的密度函数()()x p 1，并指出该分布是什么分布（4分）？⑵ 求常数a ，使得i ni X a T ≤≤=1min 为θ的无偏估计（4分）；⑶ X 为样本均值，指出X 与T 哪一个更有效（4分）． 解：⑴ 由于总体X 的密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-001x x ex p xθθ，因此其分布函数为 ()()⎪⎩⎪⎨⎧>-≤==-∞-⎰0100x ex dt t p x F x xθ ．所以()i ni X X ≤≤=11min 的密度函数为()()()()()θθθθθnx x n x n e n e e n x p x F n x p -----=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=11111，()0>x ． 即随机变量()i n i X X ≤≤=11min 服从参数为nθ的指数分布．⑵ 由于随机变量()i n i X X ≤≤=11min 服从参数为n θ的指数分布，所以()()()nX E X E i n i θ==≤≤11min ．所以，若使()()()θθ=⋅==≤≤na X aE X E i ni 11min ，只需取n a =即可．即若取n a =，即i ni X n T ≤≤=1min ，则T 是未知参数θ的无偏估计量．⑶ 由于()θ=T E 以及()θ=X E ，因此i ni X n T ≤≤=1min 与X 都是未知参数θ的无偏估计量．又由于随机变量()i n i X X ≤≤=11min 服从参数为nθ的指数分布，因此()221min var n X i n i θ=≤≤，所以()()()2222121m i n v a r m i n v a r v a rθθ=⋅===≤≤≤≤n n X n X n T i ni i ni ，又 ()()nn X X 2v a r v a r θ==， 由于 ()()T nX v a r v a r 22=≤=θθ，所以X 比T 更有效．九．（本题满分8分）设总体()θ,0~U X ，其中0>θ是未知参数．()n X X X ,,,21 是从中抽取的一个样本．试验证()n X T =是参数θ的一个完备统计量． 解：()n X T =的密度函数为 ()nn n nx x p θ1-=，()θ<<x 0．设()n X T =的函数()()n X ϕ满足()()()0=n X E ϕ，即有 ()()()()()()001===⎰⎰-+∞∞-θϕθϕϕdx x x ndx x p x X E n nn n ，()0>θ． 则有 ()001=⎰-θϕdx x x n ．对θ求导，得()01=⋅-n θθϕ，()0>θ． 因此得 ()0≡θϕ，()0>θ．这表明，()()10==X P ϕ，因此()n X T =是参数θ的一个完备统计量．十．（本题满分10分） 设总体()p B X ,1~，其中10<<p 是未知参数．()n X X X ,,,21 是取自该总体中的一个样本．试求参数p 一致最小方差无偏估计量． 解：X 的分布列为 ()()xx p p x X P --==11，()1,0=x ．所以样本()n X X X ,,,21 的联合分布列为()()∑-∑====-=∏ni i n i ix n x ni i i p px X P 1111()⎭⎬⎫⎩⎨⎧-⋅-=∑=p p x p n i i n1ln exp 11令()()np p -=1α，()∑==ni i n x x x x T 121,,, ，()ppp -=1lnϕ，()1,,,21≡n x x x h ，则有 ()()()(){}()n n ni i i x x x h p x x x T p x X P ,,,,,,exp 21211ϕα⋅==∏=并且p 的定义域为()1,0，()ppp -=1lnϕ的值域为()∞+∞-,，都是一维开集， 所以()∑==ni i n X X X X T 121,,,是参数p 的充分完备统计量．又∑==ni i X n X 11是参数p 的无偏估计量，而且是()∑==ni i n X X X X T 121,,,的函数，因此∑==ni i X n X 11是参数p 的一致最小方差无偏估计量．。
