最新千题百炼——高考数学100个热点问题(二)：第33炼-向量的模长问题代数法(含模长习题)

I．题源探究·黄金母题【例1】已知错误!未找到引用源。

，错误!未找到引用源。

，错误!未找到引用源。

与错误!未找到引用源。

的夹角为错误!未找到引用源。

，求错误!未找到引用源。

、错误!未找到引用源。

．II．考场精彩·真题回放【例2】【2016年四川高考卷】在平面内，定点错误!未找到引用源。

满足错误!未找到引用源。

＝错误!未找到引用源。

＝错误!未找到引用源。

,错误!未找到引用源。

＝错误!未找到引用源。

＝错误!未找到引用源。

，动点错误!未找到引用源。

满足错误!未找到引用源。

，错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

，则错误!未找到引用源。

的最大值是（）A．错误!未找到引用源。

B．错误!未找到引用源。

C．错误!未找到引用源。

D．错误!未找到引用源。

【答案】B【解析】甴已知易得错误!未找到引用源。

，错误!未找到引用源。

．以错误!未找到引用源。

为原点，直线错误!未找到引用源。

为错误!未找到引用源。

轴建立平面直角坐标系，则错误!未找到引用源。

．设错误!未找到引用源。

由已知错误!未找到引用源。

，得错误!未找到引用源。

．又错误!未找到引用源。

，∴错误!未找到引用源。

，∴错误!未找到引用源。

，∴错误!未找到引用源。

，它表示圆错误!未找到引用源。

上点错误!未找到引用源。

与点错误!未找到引用源。

距离平方的错误!未找到引用源。

，∴错误!未找到引用源。

，故选B．【例3】【2015年湖南高考卷】已知点错误!未找到引用源。

，错误!未找到引用源。

，错误!未找到引用源。

在圆错误!未找到引用源。

上运动，且错误!未找到引用源。

，若点错误!未找到引用源。

的坐标为错误!未找到引用源。

，则错误!未找到引用源。

的最大值为（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】 B【解析】由题意，得错误!未找到引用源。

为圆的直径，故可设错误!未找到引用源。

，则错误!未找到引用源。

，错误!未找到引用源。

，错误!未找到引用源。

，所以错误!未找到引用源。

第36讲平面向量的数量积及运算知识梳理知识点一．平面向量的数量积a （1）平面向量数量积的定义已知两个非零向量a 与 b ，我们把数量||||cos a b θ 叫做a 与b的数量积（或内积），记作a b ⋅ ，即a b ⋅ =||||cos a b θ，规定：零向量与任一向量的数量积为0．（2）平面向量数量积的几何意义①向量的投影：||cos θa 叫做向量a 在b 方向上的投影数量，当θ为锐角时，它是正数；当θ为钝角时，它是负数；当θ为直角时，它是0．②⋅a b 的几何意义：数量积⋅a b 等于a 的长度||a 与b 在a 方向上射影||cos θb 的乘积．③设a，b 是两个非零向量，它们的夹角是,e θ 与b 是方向相同的单位向量，,AB a CD b == ，过AB的起点A 和终点B ，分别作CD 所在直线的垂线，垂足分别为11,A B ，得到11A B ，我们称上述变换为向量a 向向量b 投影，11A B 叫做向量a在向量b 上的投影向量．记为||cos a e θ．知识点二．数量积的运算律已知向量a 、b 、c 和实数λ，则：①⋅=⋅a b b a ；②()()()λλλ⋅⋅=⋅a b =a b a b ；③()+⋅⋅+⋅a b c =a c b c ．知识点三．数量积的性质设a 、b 都是非零向量，e 是与b 方向相同的单位向量，θ是a 与e 的夹角，则①||cos θ⋅=⋅=e a a e a ．②0⊥⇔⋅=a b a b ．③当a 与b 同向时，||||⋅=a b a b ；当a 与b 反向时，||||⋅=-a b a b ．特别地，2||⋅=a a a 或||a ．④cos ||||θ⋅=a ba b (||||0)≠a b ．⑤||||||⋅a b a b ≤．知识点四．数量积的坐标运算已知非零向量11()x y =，a ，22()x y =，b ，θ为向量a 、b 的夹角．知识点五、向量中的易错点（1）平面向量的数量积是一个实数，可正、可负、可为零，且||||||a b a b ⋅≤．（2）当0a ≠ 时，由0a b ⋅=不能推出b 一定是零向量，这是因为任一与a 垂直的非零向量b 都有0a b ⋅=．当0a ≠ 时，且a b a c ⋅=⋅时，也不能推出一定有b c = ，当b 是与a 垂直的非零向量，c是另一与a 垂直的非零向量时，有0a b a c ⋅=⋅=，但b c ≠ ．（3）数量积不满足结合律，即a b c b c a ⋅≠⋅()() ，这是因为a b c ⋅() 是一个与c共线的向量，而b c a ⋅() 是一个与a 共线的向量，而a 与c 不一定共线，所以a b c ⋅() 不一定等于b c a ⋅() ，即凡有数量积的结合律形式的选项，一般都是错误选项．（4）非零向量夹角为锐角（或钝角）．当且仅当0a b ⋅> 且(0)a b λλ≠> （或0a b ⋅<，且(0))a b λλ≠<【解题方法总结】（1）b 在a上的投影是一个数量，它可以为正，可以为负，也可以等于0．（2）数量积的运算要注意0a =时，0a b ⋅= ，但0a b ⋅= 时不能得到0a=或0b =，因为a ⊥b 时，也有0a b ⋅=．（3）根据平面向量数量积的性质：||a cos ||||a ba b θ⋅=，0a b a b ⊥⇔⋅= 等，所以平面向量数量积可以用来解决有关长度、角度、垂直的问题．（4）若a 、b 、c 是实数，则ab ac b c =⇒=（0a ≠）；但对于向量，就没有这样的性质，即若向量a 、b 、c 满足a b a c ⋅=⋅（0a ≠ ），则不一定有=b c ，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量．（5）数量积运算不适合结合律，即()()a b c a b c ⋅⋅≠⋅⋅ ，这是由于()a b c ⋅⋅表示一个与c 共线的向量，()a b c ⋅⋅ 表示一个与a 共线的向量，而a 与c不一定共线，因此()a b c ⋅⋅ 与()a b c ⋅⋅不一定相等．必考题型全归纳题型一：平面向量的数量积运算例1．（2024·吉林四平·高三四平市第一高级中学校考期末）已知向量a ，b满足|2|a b =，a 与b 的夹角为π6，则()()2a b a b +⋅-= （）A ．6B ．8C ．10D ．14例2．（2024·全国·高三专题练习）已知6a = ，3b = ，向量a 在b方向上投影向量是4e ，则a b ⋅为（）A ．12B ．8C ．-8D ．2例3．（2024·湖南长沙·周南中学校考二模）已知菱形ABCD 的边长为1，12AB AD ⋅=- ，G 是菱形ABCD 内一点，若0GA GB GC ++= ，则AG AB ⋅=（）A ．12B ．1C ．32D ．2变式1．（2024·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知单位向量,a b →→，且π,3a b →→〈〉=，若()a b c →→→+⊥，||2c →=，则a c →→⋅=（）A ．1B ．12C ．2-或2D ．1-或1变式2．（2024·广东·校联考模拟预测）将向量OP = 绕坐标原点O 顺时针旋转75︒得到1OP，则1OP OP ⋅= （）ABC D ．2变式3．（2024·全国·高三专题练习）正方形ABCD 的边长是2，E 是AB 的中点，则EC ED ⋅=（）A B ．3C ．D ．5变式4．（2024·天津和平·高三耀华中学校考阶段练习）如图，在ABC 中，π3BAC ∠=，2AD DB =，P 为CD 上一点，且满足()R 12AP mAC AB m +∈= ，若3AC =，4AB =，则AP CD ⋅的值为（）.A ．3-B ．1312-C ．1312D ．112-变式5．（2024·陕西西安·西北工业大学附属中学校考模拟预测）已知向量a ，b满足同向共线，且2b = ，1a b -=r r ，则()a b a +=⋅（）A ．3B ．15C ．3-或15D ．3或15变式6．（2024·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）在矩形ABCD 中，1,2,AB AD AC==与BD 相交于点O ，过点A 作AE BD ⊥于E ，则AE AO ⋅=（）A ．1225B ．2425C ．125D ．45【解题方法总结】（1）求平面向量的数量积是较为常规的题型，最重要的方法是紧扣数量积的定义找到解题思路．（2）平面向量数量积的几何意义及坐标表示，分别突出了它的几何特征和代数特征，因而平面向量数量积是中学数学较多知识的交汇处，因此它的应用也就十分广泛．（3）平面向量的投影问题，是近几年的高考热点问题，应熟练掌握其公式：向量a在向量b 方向上的投影为||a bb ⋅ ．（4）向量运算与整式运算的同与异（无坐标的向量运算）同：222()2a b a ab b ±=±+；a b ±=()a b c ab ac +=+公式都可通用异：整式：a b a b ⋅=±，a 仅仅表示数；向量：cos a b a b θ⋅=±（θ为a 与b 的夹角）ma nb ±= ma nb ma nb ma nb -≤±≤+ ，通常是求ma nb ±最值的时候用．题型二：平面向量的夹角例4．（2024·河南驻马店·统考二模）若单位向量a ，b满足2a b -= a ，b夹角的余弦值为____________．例5．（2024·四川·校联考模拟预测）若21,e e 是夹角为60︒的两个单位向量，则122a e e =+ 与1232b e e =-+的夹角大小为________.例6．（2024·重庆·高三重庆一中校考阶段练习）已知向量a 和b满足：1a = ，2b = ，220a b a b --⋅= ，则a 与b的夹角为__________．变式7．（2024·上海杨浦·复旦附中校考模拟预测）若向量a 与b不共线也不垂直，且a a c ab a b ⋅⎛⎫=- ⎪⋅⎝⎭，则向量夹角,a c 〈〉= ________.变式8．（2024·上海长宁·上海市延安中学校考三模）已知a b c､､是同一个平面上的向量，若a c b == ，且0,2,1a b c a c b ⋅=⋅=⋅= ，则,c a = __________.变式9．（2024·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知向量a ，b满足()1,1a =- ，1b = ，1a b ⋅= ，则向量a 与b的夹角大小为___________.变式10．（2024·四川·校联考模拟预测）已知向量(a x =+ ，()1,0b = ，2a b ⋅=-，则向量a b + 与b的夹角为______．变式11．（2024·湖南长沙·雅礼中学校考模拟预测）已知向量()1,2a =，()4,2b =，若非零向量c 与a ，b 的夹角均相等，则c的坐标为___（写出一个符合要求的答案即可）【解题方法总结】求夹角，用数量积，由||||cos a b a b q×=×得cos ||||a ba bq ×==×进而求得向量,a b的夹角．题型三：平面向量的模长例7．（2024·湖北·荆门市龙泉中学校联考模拟预测）已知平面向量a ，b ，c满足(2,1)a = ，(1,2)b = ，且a c ⊥ .若b c ⋅=，则||c = （）AB．C．D．例8．（2024·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知a ，b是非零向量，1a = ，()2a b a +⊥ ，向量a 在向量b方向上的投影为4-，则a b -=r r ________.例9．（2024·海南·高三校联考期末）已知向量a ，b满足()1,1a = ，4b = ，()2a a b -=-⋅ ，则3a b -=__________．变式12．（2024·四川南充·阆中中学校考二模）已知,a b 为单位向量，且满足a = 则2a b +=______.变式13．（2024·河南驻马店·统考三模）已知平面向量,a b满足2a b == ,且()()214a b a b +⋅-= ，则a b +=_________________．变式14．（2024·全国·高三专题练习）已知向量,a b满足a b -= 2a b a b +=- ，则b =______．变式15．（2024·河南郑州·模拟预测）已知点O 为坐标原点，()1,1OA = ，()3,4OB =-，点P 在线段AB 上，且1AP =，则点P 的坐标为______．变式16．（2024·广西·高三校联考阶段练习）已知()2,1a =- ，()4,b t = ，若2a b ⋅=，则2a b -=______．【解题方法总结】求模长，用平方，||a=．题型四：平面向量的投影、投影向量例10．（2024·上海宝山·高三上海交大附中校考期中）已知向量()3,6a =，()3,4b =- ，则a 在b方向上的数量投影为______.例11．（2024·上海虹口·华东师范大学第一附属中学校考三模）已知(2,1),(4,),a b m =--=-若向量b 在向量am =_______．例12．（2024·全国·高三专题练习）已知向量6a = ，e 为单位向量，当向量a 、e 的夹角等于45 时，则向量a 在向量e上的投影向量是________．变式17．（2024·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知向量(1,2)a =-，向量(1,1)b = ，则向量a在向量b 方向上的投影为_________.变式18．（2024·新疆喀什·统考模拟预测）已知向量a ，b满足3a b += ，2a = ，()0,1b = ，则向量a 在向量b方向上的投影为______.变式19．（2024·全国·高三专题练习）已知非零向量,a b 满足(2)(2)a b a b +⊥-，且向量b 在向量a 方向的投影向量是14a ，则向量a 与b的夹角是________.变式20．（2024·全国·模拟预测）已知向量()()1,0,0,1,1a b a c b c ==⋅=⋅= ，则向量a 在向量c上的投影向量为__________.【解题方法总结】设a，b 是两个非零向量，它们的夹角是,e θ 与b 是方向相同的单位向量，,AB a CD b == ，过AB的起点A 和终点B ，分别作CD 所在直线的垂线，垂足分别为11,A B ，得到11A B ，我们称上述变换为向量a 向向量b 投影，11A B 叫做向量a在向量b 上的投影向量．记为||cos a e θ．题型五：平面向量的垂直问题例13．（2024·四川巴中·南江中学校考模拟预测）已知向量()()1,2,2,3a b ==-，若()()ka b a b +⊥-，则k =___________.例14．（2024·全国·高三专题练习）已知向量a ，b ，c ，其中a ，b 为单位向量，且a b ⊥，若c = ______，则()()2a c b c -⊥- .注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形.例15．（2024·江西宜春·高三校联考期末）设非零向量a ，b 的夹角为θ．若2b a = ，且()()23a b a b +⊥-，则θ=____________．变式21．（2024·江西南昌·高三统考开学考试）已知两单位向量21,e e 的夹角为π3，若12122,a e e b e me =+=+ ，且a b ⊥，则实数m =_________．变式22．（2024·海南·校考模拟预测）已知a 为单位向量，向量b 在向量a上的投影向量是2a，且()3a b a λ+⊥ ，则实数λ的值为______．变式23．（2024·全国·模拟预测）向量()()1,,2,1m x n ==，且()n m n ⊥+ ，则实数x =_________．变式24．（2024·全国·高三专题练习）非零向量(cos(),sin )a αββ=- ，(1,sin )b α= ，若a b ⊥ ，则tan tan αβ=______.变式25．（2024·河南开封·校考模拟预测）已知向量()()2,3,4,5a b =-=- ，若()a b b λ-⊥ ，则λ=________．变式26．（2024·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）已知向量a ，b不共线，()2,1a =r ，()a b a ⊥- ，写出一个符合条件的向量b的坐标：______.变式27．（2024·河南开封·统考三模）已知向量(,1)a m =-，(1,3)b = ，若()a b b -⊥ ，则m =______.【解题方法总结】121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=题型六：建立坐标系解决向量问题例16．（2024·全国·高三专题练习）已知1||||||1,2a b c a b ===⋅=- ，(,R)c xa yb x y =+∈，则x y -的最小值为（）例17．（2024·安徽合肥·合肥市第七中学校考三模）以边长为2的等边三角形ABC 每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成曲边三角形，已知P 为弧AC 上的一点，且π6PBC ∠=，则BP CP ⋅ 的值为（）A ．4B ．4C ．4-D ．4+例18．（2024·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考模拟预测）下图是北京2022年冬奥会会徽的图案，奥运五环的大小和间距如图所示．若圆半径均为12，相邻圆圆心水平路离为26，两排圆圆心垂直距离为11．设五个圆的圆心分别为1O 、2O 、3O 、4O 、5O ，则()414542O O O O O O ⋅+的值为（）A ．507-B ．386-C ．338-D ．242-变式28．（2024·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）如图，在圆内接四边形ABCD 中，120,1,2BAD AB AD AC ∠=︒===.若E 为CD 的中点，则EA EB ⋅的值为（）变式29．（2024·安徽合肥·合肥市第八中学校考模拟预测）如图，已知ABC 是面积为的等边三角形，四边形MNPQ 是面积为2的正方形，其各顶点均位于ABC 的内部及三边上，且恰好可在ABC 内任意旋转，则当0BQ CP ⋅= 时，2||BQ CP +=（）A ．2+B ．4+C ．3+D ．2+变式30．（2024·河南安阳·统考三模）已知正方形ABCD 的边长为1,O 为正方形的中心，E是AB 的中点，则DE DO ⋅=（）A ．14-B ．12C ．34D ．1【解题方法总结】边长为a 的等边三角形已知夹角的任意三角形正方形矩形平行四边形直角梯形等腰梯形圆建系必备（1）三角函数知识cos ,sin x r y r q q ==；（2）向量三点共线知识(1)OC OB OA l l =+-．题型七：平面向量的实际应用例19．（2024·江西宜春·高三校考阶段练习）一质点受到同一平面上的三个力1F ，2F ，3F （单位：牛顿）的作用而处于平衡状态，已知1F ，2F 成120°角，且1F ，2F 的大小都为6牛顿，则3F 的大小为______牛顿.例20．（2024·内蒙古赤峰·统考三模）如图所示，把一个物体放在倾斜角为30 的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力G ，垂直斜面向上的弹力1F ，沿着斜面向上的摩擦力2F .已知：1160N F G == ，则2F 的大小为___________.例21．（2024·全国·高三专题练习）如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态.已知两条绳上的拉力分别是1F ，2F ，且1F ，2F 与水平夹角均为45︒，12F F == ，则物体的重力大小为___________N .变式31．（2024·全国·高三专题练习）两同学合提一捆书，提起后书保持静止，如图所示，则1F与2F大小之比为___________．变式32．（2024·浙江·高三专题练习）一条渔船距对岸4km，以2/km h的速度向垂直于对km h．岸的方向划去，到达对岸时，船的实际行程为8km，则河水的流速是________/【解题方法总结】用向量方法解决实际问题的步骤。

第35讲平面向量的概念与坐标运算知识梳理知识点一．向量的有关概念（1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）．（2）向量的模：向量AB 的大小，也就是向量AB 的长度，记作||AB ．（3）特殊向量：①零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．②单位向量：长度等于1个单位的向量．③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行．④相等向量：长度相等且方向相同的向量．⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量．知识点二．向量的线性运算和向量共线定理（1）向量的线性运算运算定义法则（或几何意义）运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则①交换律a b b a +=+ ②结合律()a b c ++ =()a b c ++ 减法求a 与b的相反向量b -的和的运算叫做a 与b的差三角形法则()a b a b -=+-数乘求实数λ与向量a的积的运算（1）||||||a a λλ=（2）当0λ>时，a λ 与a的方向相同；当0λ<时，a λ 与a的方向相同；当0λ=时，0a λ=()()a a λμλμ= ()a a aλμλμ+=+()a b a bλλλ+=+【注意】（1）向量表达式中的零向量写成0，而不能写成0．（2）两个向量共线要区别与两条直线共线，两个向量共线满足的条件是：两个向量所在直线平行或重合，而在直线中，两条直线重合与平行是两种不同的关系．（3）要注意三角形法则和平行四边形法则适用的条件，运用平行四边形法则时两个向量的起点必须重合，和向量与差向量分别是平行四边形的两条对角线所对应的向量；运用三角形法则时两个向量必须首尾相接，否则就要把向量进行平移，使之符合条件．（4）向量加法和减法几何运算应该更广泛、灵活如：OA OB BA -= ，AM AN NM -=，+OA OB CA OA OB CA BA CA BA AC BC =⇔-=⇔-=+= ．知识点三．平面向量基本定理和性质1、共线向量基本定理如果()a b R λλ=∈ ，则//a b ；反之，如果//a b且0b ≠ ，则一定存在唯一的实数λ，使a b λ=．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）．2、平面向量基本定理如果1e 和2e 是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量a，都存在唯一的一对实数12,λλ，使得1122a e e λλ=+，我们把不共线向量1e ，2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{}12,e e ，1122e e λλ+ 叫做向量a关于基底{}12,e e 的分解式．注意：由平面向量基本定理可知：只要向量1e 与2e 不共线，平面内的任一向量a都可以分解成形如1122a e e λλ=+的形式，并且这样的分解是唯一的．1122e e λλ+ 叫做1e ，2e 的一个线性组合．平面向量基本定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础．推论1：若11223142a e e e e λλλλ=+=+，则1324,λλλλ==．推论2：若11220a e e λλ=+=，则120λλ==．3、线段定比分点的向量表达式如图所示，在ABC △中，若点D 是边BC 上的点，且BD DC λ=（1λ≠-），则向量1AB ACAD λλ+=+ ．在向量线性表示（运算）有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽为神奇”之功效，建议熟练掌握．DACB4、三点共线定理平面内三点A ，B ，C 共线的充要条件是：存在实数,λμ，使OC OA OB λμ=+，其中1λμ+=，O 为平面内一点．此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握．A 、B 、C 三点共线⇔存在唯一的实数λ，使得AC AB λ=；⇔存在唯一的实数λ，使得OC OA AB λ=+；⇔存在唯一的实数λ，使得(1)OC OA OB λλ=-+；⇔存在1λμ+=，使得OC OA OB λμ=+．5、中线向量定理如图所示，在ABC △中，若点D 是边BC 的中点，则中线向量1(2AD AB =+ )AC，反之亦正确．DACB知识点四．平面向量的坐标表示及坐标运算（1）平面向量的坐标表示．在平面直角坐标中，分别取与x 轴，y 轴正半轴方向相同的两个单位向量,i j作为基底，那么由平面向量基本定理可知，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数,x y 使a xi yj =+ ，我们把有序实数对(,)x y 叫做向量a 的坐标，记作(,)a x y =．（2）向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即有向量(,)x y 一一对应向量OA 一一对应点(,)A x y ．（3）设11(,)a x y =，22(,)b x y = ，则1212(,)a b x x y y +=++ ，1212(,)a b x x y y -=-- ，即两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差．若(,)a x y = ，λ为实数，则(,)a x y λλλ=，即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的相应坐标．（4）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则AB OB OA =-=12(,x x -12)y y -，即一个向量的坐标等于该向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标．知识点五．平面向量的直角坐标运算①已知点11()A x y ，，22()B x y ，，则2121()AB x x y y =--，，||AB ②已知11(,)a x y = ，22(,)b x y = ，则a b ± 1212()x x y y =±±，，11(,)a x y λλλ=，=a b ⋅1212x x y y +，||a = ．a b ∥⇔12210x y x y -=，a b ⊥⇔12120x x y y +=【解题方法总结】（1）向量的三角形法则适用于任意两个向量的加法，并且可以推广到两个以上的非零向量相加，称为多边形法则．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量．即122311n n n A A A A A A A A -+++= ．（2）||||||||||||a b b a a b -≤±≤+ ，当且仅当,b a至少有一个为0 时，向量不等式的等号成立．（3）特别地：||||||||b b a a -≤± 或||||||a a b b ±≤+ 当且仅当,b a至少有一个为0 时或者两向量共线时，向量不等式的等号成立．（4）减法公式：AB AC CB -=，常用于向量式的化简．（5）A 、P 、B 三点共线⇔(1)OP t OA tOB =-+()t R ∈，这是直线的向量式方程．必考题型全归纳题型一：平面向量的基本概念例1．（2024·全国·高三专题练习）下列说法中正确的是（）A ．单位向量都相等B ．平行向量不一定是共线向量C ．对于任意向量,a b ，必有||||||a b a b +≤+r r r rD ．若,a b 满足||||a b > 且a 与b同向，则a b> 【答案】C 【解析】依题意，对于A ，单位向量模都相等，方向不一定相同，故错误；对于B ，平行向量就是共线向量，故错误；对于C ，若,a b 同向共线，||||||a b a b +=+r r r r，若,a b 反向共线，||||||a b a b +<+r r r r ，若,a b不共线，根据向量加法的三角形法则及两边之和大于第三边知||||||a b a b +<+r r r r.综上可知对于任意向量,a b ，必有||||||a b a b +≤+r r r r，故正确；对于D ，两个向量不能比较大小，故错误.故选：C.例2．（2024·全国·高三专题练习）给出如下命题：①向量AB的长度与向量BA 的长度相等；②向量a 与b 平行，则a 与b的方向相同或相反；③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；④两个公共终点的向量，一定是共线向量；⑤向量AB与向量CD 是共线向量，则点A ，B ，C ，D 必在同一条直线上．其中正确的命题个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】对于①，向量AB与向量BA ，长度相等，方向相反，故①正确；对于②，向量a 与b 平行时，a 或b为零向量时，不满足条件，故②错误；对于③，两个有共同起点且相等的向量，其终点也相同，故③正确；对于④，两个有公共终点的向量，不一定是共线向量，故④错误；对于⑤，向量AB 与CD是共线向量，点A ，B ，C ，D 不一定在同一条直线上，故⑤错误．综上，正确的命题是①③．故选：B ．例3．（2024·全国·高三专题练习）下列命题中正确的是（）A ．若a b =，则32a b > B ．BC BA DC AD --= C ．a b a b a +=+⇔ 与b的方向相反D ．若a b c == ，则a b c==【答案】B【解析】对于A 选项，由于任意两个向量不能比大小，故A 错；对于B 选项，BC BA DC AC CD AD --=+=，故B 对；对于C 选项，a b a b a +=+⇔ 与b 的方向相同，故C 错；对于D 选项，若a b c == ，但a 、b 、c 的方向不确定，故D 错.故选：B.变式1．（2024·全国·高三专题练习）下列说法正确的是（）A ．若a b →→>，则a b→→>B ．若a b →→=，则a b→→=C ．若a b →→=，则//a b →→D ．若a b¹，则,a b →→不是共线向量【答案】C【解析】A.因为向量不能比较大小，所以该选项错误；B.若a b →→=，则,a b →→不一定相等，有可能它们方向不同，但是模相等，所以该选项错误；C.若a b →→=，则//a b →→，所以该选项正确；D.若a b¹，则,a b →→也有可能是共线向量，有可能方向相同模不相等，有可能方向相反，所以该选项错误.故选：C变式2．（2024·全国·高三对口高考）给出下列四个命题：①若||||a b = ，则,a b a b ==- ；②若AB DC =，则A ，B ，C ，D 是一个平行四边形的四个顶点；③若,a b b c == ，则a c = ；④若//a b ，//b c，则//a c ；其中正确的命题的个数为（）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】D【解析】①若||||a b = ，只能说明,a b模相等，它们方向不一定相同或相反，错；②若AB DC =，若//AB DC 且AB DC =，即A ，B ，C ，D 是一个平行四边形的四个顶点，若,,,A B C D 四点共线，不能构成平行四边形，错；③若,a b b c == ，即,a b 、,a c 分别为相等向量，故a c =，对；④若//a b ，//b c ，当b为零向量时//a c 不一定成立，错.故选：D变式3．（2024·全国·高三对口高考）若0a b c ++= ，则a ，b ，c（）A ．都是非零向量时也可能无法构成一个三角形B ．一定不可能构成三角形C ．都是非零向量时能构成三角形D ．一定可构成三角形【答案】A【解析】ACD 选项，若非零向量,,a b c 共线时，也能满足0a b c ++=，但无法构成一个三角形，A 正确，CD 错误；B 选项，当非零向量,,a b c两两不共线时，可构成三角形，B 错误.故选：A【解题方法总结】准确理解平面向量的基本概念是解决向量题目的关键．共线向量即为平行向量，非零向量平行具有传递性，两个向量方向相同或相反就是共线向量，与向量长度无关，两个向量方向相同且长度相等，就是相等向量．共线向量或相等向量均与向量起点无关．题型二：平面向量的线性表示例4．（2024·山东泰安·统考模拟预测）在ABC 中，点D 为AC 中点，点E 在BC 上且2BE EC =.记,AB a AC b == ，则ED = （）A ．1136a b -+B ．1136a b --C ．1163a b -- D ．1136a b-【答案】B【解析】如图所示：由,AB a AC b == ，所以BC AC AB b a =-=- ，又2BE EC = ，()1133EC BC b a ∴==- ，又因为D 为AC 中点，12CD b ∴=-，则1136ED EC CD a b =+=-- ，故选：B.例5．（2024·河北邯郸·统考三模）已知等腰梯形ABCD 满足//AB CD ，AC 与BD 交于点P ，且22AB CD BC ==，则下列结论错误．．的是（）A ．2AP PC= B ．||2||AP PD =C ．2133AP AD AB =+D ．1233AC AD AB=+【答案】D 【解析】依题意，显然APB DPC ∽，故有21AB AP PB CD PC PD ===，即2=AP PC ，2PB PD =，则2AP PC =，故A 正确；又四边形ABCD 是等腰梯形，故AP PB =，即2AP PD = ，故B 正确；在ABD △中，()11213333AP AD DP AD DB AD AB AD AD AB =+=+=+-=+，故C 正确；又3321122332AC AP AD AB AD AB ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭，所以D 错误；故选：D.例6．（2024·河北·统考模拟预测）已知D 为ABC 所在平面内一点，且满足13CD DB =，则（）A ．3122AD AB AC=-B ．2133AD AB AC=+ C ．43AB AD AC=- D ．34AB AD AC=-【答案】C【解析】如图，因为13CD DB =，所以D 是线段BC 的四等分点，且3BD DC =,所以()33134444AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+ ,故A,B 错误；由1344AD AB AC =+ ，可得43AB AD AC =-，故C 正确，D 错误，故选:C.变式4．（2024·河北·高三学业考试）化简PA PB AB -+所得的结果是（）A ．2AB B ．2BAC ．0D ．PA【答案】C【解析】0PA PB AB PA AB PB P P B B -++=-=-=.故选：C变式5．（2024·贵州贵阳·校联考模拟预测）在ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD的中点，则EC =（）A ．3144AB AC - B ．1344AB AC --C ．3144AB AC+D ．1344AB AC-+【答案】D 【解析】由D 为BC 中点，根据向量的运算法则，可得()12AD AB AC =+，在ABC 中，1131()2444EC AC AE AC AD AB AC AC AC AB =-=--++=-=.故选:D ．变式6．（2024·贵州黔东南·高三校考阶段练习）已知在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是边CD ，BC 的中点，则EF =（）A ．12AB AD - B ．12AB BC -C ．1122AB AD + D ．1122AB BC -【答案】D【解析】如图所示，由中位线定理和平行四边形的性质得：()()111222EF DB AB AD AB BC ==-=- ，故选：D变式7．（2024·山东滨州·校考模拟预测）如图所示，点E 为ABC 的边AC 的中点，F 为线段BE 上靠近点B 的四等分点，则AF =（）A ．3588BA BC+B ．5344BA BC+C ．8718BA BC-+D ．3144BA BC-+【答案】C【解析】1313()2424AF AE EF AC EB AC AB AE =+=+=+-1331324884AC AB AC AC BA =+-=-1371()8488BC BA BA BA BC =--=-+.故选：C.变式8．（2024·全国·高三专题练习）在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，若AB AD AO λ+=，则λ=（）A ．12B ．2C ．13D ．32【答案】B【解析】在平行四边形ABCD 中，AC AB AD AO λ=+=，所以2λ=．故选：B ．变式9．（2024·河南·襄城高中校联考三模）已知等腰梯形ABCD 中，//AB DC ，222AB DC AD ===，BC 的中点为E ，则AE =（）A ．1533DB AC+B ．1536DB AC+C ．1132DB AC+D ．2536DB AC+【答案】B【解析】∵()12AB DB DA DB DC CA DB DC CA DB AB CA =-=-+=--=--，∴32AB DB CA =-，∴2233AB DB AC =+ ，∴()11221152233236AE AB AC DB AC AC DB AC ⎛⎫=+=++=+ ⎪⎝⎭．故选：B.【解题方法总结】（1）两向量共线问题用向量的加法和减法运算转化为需要选择的目标向量即可，而此类问题又以“爪子型”为几何背景命题居多，故熟练掌握“爪子型”公式更有利于快速解题．（2）进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解．（3）除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．题型三：向量共线的运用例7．（2024·广东广州·统考模拟预测）在ABC 中，M 是AC 边上一点，且1,2AM MC N= 是BM 上一点，若19AN AC mBC =+，则实数m 的值为（）A ．13-B ．16-C ．16D ．13【答案】D【解析】由12AM MC = ，得出3AC AM =，由19AN AC mBC =+ 得()1199⎛⎫=+=+ ⎪⎝-⎭-AN AC m AC AB m AC mAB 313⎛⎫+ ⎪⎝-⎭=m AM mAB ，因为,,B N M 三点共线，所以()1133⎛⎫++= ⎪⎝-⎭m m ，解得13m =.故选：D.例8．（2024·湖南长沙·长沙市实验中学校考三模）如图，在ABC 中，M 为线段BC 的中点，G 为线段AM 上一点，2AG GM =，过点G 的直线分别交直线AB ，AC 于P ，Q 两点，()0AB xAP x => ，()0AC y AQ y => ，则411x y ++的最小值为（）．A ．34B ．94C ．3D ．9【答案】B【解析】因为M 为线段BC 的中点，所以1()2AM AB AC =+ ，又因为2AG GM =，所以21()33AG AM AB AC ==+ ，又()0AB xAP x => ，()0AC y AQ y => ，所以33x y AG AP AQ =+，又,,P G Q 三点共线，所以133x y+=，即3x y +=，所以[]4114114(1)19()(1)41(521414144x y x y x y x y y x ⎡⎤++=+++=+++≥+⎢⎥+++⎣⎦，当且仅当4(1)1x y y x +=+，即81,33x y ==时取等号.故选：B.例9．（2024·山西·高三校联考阶段练习）如图，在ABC 中，D 是BC 边中点13AP AD =，CP 的延长线与AB 交于AN ，则（）A ．14AN AB= B ．15AN AB= C ．16AN AB= D ．17AN AB= 【答案】B【解析】设AB AN λ=，则()1111113326666AP AD AB AC AB AC AN AC λ==⨯+=+=+ ，因为N ，P ，C 三点共线，所以1166λ+=，解得5λ=，所以5AB AN =，所以15AN AB = .故选：B.变式10．（2024·全国·高三专题练习）如图所示，已知点G 是△ABC 的重心，过点G 作直线分别与AB ，AC 两边交于M ，N 两点，设x AB ＝AM ，y AC ＝AN ，则11x y+的值为（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A【解析】由题意(1)AG AM AN λλ=+- 且01λ≤≤，而x AB＝AM ，y AC ＝AN ，所以(1)AG x AB y AC λλ=+- ，又G 是△ABC 的重心，故211()()323AG AB AC AB AC =⨯+=+，所以131(1)3x y λλ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，可得11133x y +=，即113x y +=.故选：A变式11．（2024·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）在ABC 中，E 为AC 上一点，3,AC AE P = 为线段BE 上任一点（不含端点），若AP xAB yAC =+ ，则13x y+的最小值是（）A ．8B ．10C ．13D ．16【答案】D【解析】由题意，如下示意图知：(1)AP AB AE λλ=+- ，且01λ<<，又3AC AE =，所以13AP AB AC λλ-=+ ，故13x y λλ=⎧⎪-⎨=⎪⎩且01λ<<，故131919()[(1)]101021611x y λλλλλλλλ-+=++-=++≥+--，仅当191λλλλ-=-，即14λ=时等号成立.所以13x y+的最小值是16.故选：D变式12．（2024·全国·高三专题练习）已知向量a 、b不共线，且(),21c xa b d a x b =+=+- ，若c 与d共线，则实数x 的值为（）A ．1B ．12-C ．1或12-D ．1-或12-【答案】C【解析】因为c 与d 共线，则存在k R ∈，使得d kc =，即()21a x b kxa kb +-=+ ，因为向量a 、b 不共线，则121kx k x =⎧⎨=-⎩，整理可得()211x x -=，即2210x x --=，解得12x =-或1.故选：C.变式13．（2024·全国·高三专题练习）已知直线l 上有三点A ，B ，C ，O 为l 外一点，又等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1310()2OA a a OB a OC =++，则11S =（）A ．114B ．3C ．112D ．132【答案】A【解析】 点A 、B 、C 是直线l 上不同的三点，∴存在非零实数λ，使AB BC λ=⇒()(1)OB OA OC OB OA OB OC λλλ-=-⇒=+- ； 若1310()2OA a a OB a OC =++，131a a λ∴+=+，102a λ-=；131021a a a ∴++=；数列{}n a 是等差数列，21021011112212a a a a a a ∴+=⇒+==+；1111111()1124a a S +∴==．故选：A ．变式14．（2024·全国·高三对口高考）设两个非零向量a 与b不共线．(1)若AB a b =+uu u r r r ，28BC a b =+uu u r r r ，()3CD a b =-，求证A B D ，，三点共线．(2)试确定实数k ，使ka b + 和a kb +r r共线．【解析】（1）因为AB a b =+uu u r r r ，28BC a b =+uu u r r r ，()3CD a b =- ，，所以()283BD BC CD a b a b=+=++-()283355a b a b a b AB=++-=+= 所以AB，BD 共线，又因为它们有公共点B ，所以,,A B D 三点共线；（2）因为ka b + 和a kb +r r共线，所以存在实数λ，使()ka b a kb λ+=+ ，所以ka b a k b λλ+=+，即()()1k a k b λλ-=-.又a ，b是两个不共线的非零向量，所以10k k λλ-=-=所以210k -=，所以1k =或1k =-.变式15．（2024·全国·高三对口高考）如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，2,,3AE AD AB a AC b === .(1)用,a b 表示,,,,AD AE AF BE BF ；(2)求证：B ，E ，F 三点共线．【解析】（1）在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，则()111111222222AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC a b =+=+=+-=+=+，故211333AE AD a b ==+ ，1122== AF AC b ，11123333BE AE AB a b a b a =-=+-=- ，12BF AF AB b a =-=- ；（2）证明：因为()1212333BE b a b a =-=-，()122b a BF =- ，所以23BE BF = ，所以BE BF ∕∕，又因,BE BF有公共点B ，所以B ，E ，F 三点共线．【解题方法总结】要证明A ，B ，C 三点共线，只需证明AB 与BC 共线，即证AB=λBC （R λ∈）．若已知A ，B ，C 三点共线，则必有AB 与BC 共线，从而存在实数λ，使得AB=λBC ．题型四：平面向量基本定理及应用例10．（2024·上海·高三专题练习）设12e e、是两个不平行的向量，则下列四组向量中，不能组成平面向量的一个基底的是（）A ．12e e + 和12e e -B ．122e e + 和212e e +C ．1232e e - 和2146e e - D ．2e 和21e e +【答案】C【解析】依题意，12e e、不共线，A 选项，不存在R λ∈使()1212e e e e λ+=-，所以12e e + 和12e e -可以组成基底.B 选项，不存在R λ∈使()122122e e e e λ=++ ，所以122e e + 和212e e +可以组成基底.C 选项，()211246223e e e e =---，所以1232e e - 和2146e e -不能构成基底.D 选项，不存在R λ∈使()221e e e λ+= ，所以2e 和21e e +可以组成基底.故选：C例11．（2024·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）已知向量21,e e是平面内所有向量的一组基底，则下面的四组向量中，不能作为基底的是（）A ．{}112,e e e - B ．{}1212,3e e e e +- C ．{}12122,36e e e e --+ D ．{}121223,23e e e e +- 【答案】C【解析】对于A ，假设112,e e e -共线，则存在R λ∈，使得()112e e e λ=- ，因为21,e e不共线，所以没有任何一个R λ∈能使该等式成立，即假设不成立，也即112,e e e -不共线，则能作为基底；对于B ，假设1212,3e e e e +-共线，则存在R λ∈，使得()12123e e e e λ+=- ，即131λλ=⎧⎨-=⎩无解，所以没有任何一个R λ∈能使该等式成立，即假设不成立，也即1212,3e e e e +-不共线，则能作为基底；对于C ，因为1212363(2)e e e e -+=--，所以两向量共线，不能作为一组基底，C 错误；对于D ，假设121223,23e e e e +-共线，则存在R λ∈，使得()12122323e e e e λ+=- ，即2233λλ=⎧⎨-=⎩无解，所以没有任何一个R λ∈能使该等式成立，即假设不成立，也即121223,23e e e e +-不共线，则能作为基底，故选:C.例12．（2024·河北沧州·校考模拟预测）在ABC 中(),1122BE EC BF BA BC ==+，点P 为AE 与BF 的交点，AP AB AC λμ=+，则λμ-=（）A ．0B ．14C ．12D ．34【答案】B【解析】因为()12BF BA BC =+，所以F 为AC 中点，,,B P F 三点共线，故可设BP k BF =，即()AP k AF AB AB -=- ，整理得()()1112AP k AF k k AB A AB k C ==+--+，因为12BE EC = ，所以1122A A AB A E C E --= ，即2331B A C A E A =+ ，,,A P E 三点共线，可得12123333AP mAE m AC AB mAC mAB ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭，所以213132m k m k ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得1234k m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得1124A AB A PC =+ ，则11,24λμ==，14λμ-=.故选：B变式16．（2024·全国·模拟预测）如图，在ABC 中，CM CB λ= ，NC AC μ=，其中01λ<<，01μ<<，若AM 与BN 相交于点Q ，且35BQ BN =，则（）A ．λμλμ=+B ．2λμλμ=+C ．523λλμ=+D ．325λλμ=+【答案】C 【解析】由题意得()()()3333(1)15555BQ BN BA AN BA AC BA BC BA μμ⎡⎤⎡⎤==+=+-=+--⎣⎦⎣⎦3331(1)5551BA BC BA BM μμμμλ-⎡⎤=+-=+⋅⎣⎦- ，因为Q ，M ，A 三点共线，由三点共线可得向量的线性表示中的系数之和为1，所以3311551μμλ-+⋅=-，化简整理得523λλμ=+．故选：C ．变式17．（2024·广东汕头·统考三模）如图，点D 、E 分别AC 、BC 的中点，设AB a =，AC b = ，F 是DE 的中点，则AF =（）A ．1122a b+ B ．1122a b -+C ．1142a b+D ．1142a b -+【答案】C【解析】因为点D 、E 分别AC 、BC 的中点，F 是DE 的中点，所以1122AF AD DF AC DE =+=+ 1124AC AB =+.即1142AF a b =+ .故选：C.变式18．（2024·山西大同·统考模拟预测）在△ABC 中，D 为BC 中点，M 为AD 中点，BM mAB nAC =+，则m n +=（）A ．12-B ．12C ．1D ．1-【答案】A 【解析】因为D 是BC 的中点，所以1122AD AB AC =+ ，()21122112C B C A AB C AB D B A -===-⨯.又因为M 是AD 的中点，所以，1122BM BA BD =+ ()1124AB AC AB =-+- 3144AB AC =-+，又BM mAB nAC =+ ，所以34m =-，14n =，所以12m n +=-．故选：A ．变式19．（2024·广东·统考模拟预测）古希腊数学家帕波斯在其著作《数学汇编》的第五卷序言中，提到了蜂巢，称蜜蜂将它们的蜂巢结构设计为相同并且拼接在一起的正六棱柱结构，从而储存更多的蜂蜜，提升了空间利用率，体现了动物的智慧，得到世人的认可.已知蜂巢结构的平面图形如图所示，则AB =（）A ．3526CE DE-+B ．5362CE DE-+C ．2536CE DE -+D ．5263CE DE -+ 【答案】B【解析】以D 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系.不妨设2AD =，则(A -，(5B ，()00D ，，(9E，(0C ，故(6AB =，(9CE =- ，，(9DE =.设AB xCE yDE =+，则699x y =+⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得5632x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以5362AB CE DE =-+.故选：B.变式20．（2024·吉林长春·统考模拟预测）如图，在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为BC ，CD 上的点，且BM MC = ，23CN CD = ，连接AM ，BN 交于P 点，若AP PM λ= ，BP PN μ=，则λμ+=（）A ．135B ．257C ．185D ．195【答案】C【解析】在ABCD Y 中，取{,}AB AD为平面的基底，由BM MC =，得12AM AB BM AB AD =+=+ ，由AP PM λ= ，得112(1)AP AM AB AD λλλλλλ==++++ ，由23CN CD = ，知23BN BC CN AB AD =+=-+，由BP PN μ= ，得213(1)1BP BN AB AD μμμμμμ==-++++，因此33(1)1AP AB BP AB AD μμμμ+=+=+++ ，则313(1)2(1)1λμλμλμλμ+⎧=⎪++⎪⎨⎪=⎪++⎩，解得33,5λμ==，所以185λμ+=.故选：C变式21．（2024·湖北黄冈·浠水县第一中学校考模拟预测）如图，在四边形ABCD 中，//AB CD ，4AB CD =，点E 在线段CB 上，且2CE EB =，设AB a=，AD b = ，则AE = （）A ．5182a b+ B ．1528a b+C ．1334a b+ D ．3143a b+ 【答案】D【解析】在梯形ABCD 中，//AB CD ，且4AB CD =，则14DC AB =，因为E 在线段CB 上，且2CE EB =，则13BE BC =，1344BC BA AD DC a b a b a =++=-++=- ，所以，1133133443AE AB BE AB BC a b a a b ⎛⎫=+=+=+-=+ ⎪⎝⎭ .故选：D.变式22．（2024·安徽·校联考二模）如图，在ABC 中，点D 为线段BC 的中点，点E ，F 分别是线段AD 上靠近D ，A 的三等分点，则AD =（）A ．13BE CF-- B ．13BE CF--C ．BE CF-- D ．49BE CF--【答案】C【解析】13BE BD DE BD AD =+=- ，则133222AD BD BE =-①；23CF CD DF CD AD =+=- ，则3322AD CD CF =-②；①+②两式相加，333222AD CF BE =--，即AD BE CF =-- ，故选：C.变式23．（2024·全国·模拟预测）如图，平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，3EB DE=，若AO AE BC λμ=+ (),λμ∈R ，则λμ=（）A ．12-B ．2-C ．12D ．2【答案】B【解析】因为平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，可得O 为BD 的中点，由3EB DE =，可得E 为OD 的中点，所以11112222AE AO AD AO BC =+=+ ，可得2AO AE BC =- ，又由AO AE BC λμ=+ ，所以2,1λμ==-，所以2λμ=-.故选：B ．【解题方法总结】应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加法、减法或数乘运算，基本方法有两种：（1）运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行化简，直至用基底表示为止．（2）将向量用含参数的基底表示，然后列方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解．（3）三点共线定理：A ，B ，P 三点共线的充要条件是：存在实数,λμ，使OP OA OB λμ=+，其中1λμ+=，O 为AB 外一点．题型五：平面向量的直角坐标运算例13．（2024·全国·高三对口高考）AC 为平行四边形ABCD 的对角线，(2,4),(1,3)AB AC ==，则AD =____．【答案】(1,1)--【解析】如图在平行四边形ABCD 中，(2,4)AB DC ==，在ACD 中，AC AD DC AD AB +==+，所以()(1,3)(2,4)1,1AD AC AB -===---，故答案为：(1,1)--.例14．（2024·全国·高三专题练习）已知向量(2,1)a =- ，(3,2)b =r ，(5,8)c =，且c a b λμ=+r r r ，则λμ=_____.【答案】23【解析】(23,2)c a b λμλμλμ=+=-++，由(5,8)c =可知235,28,λμλμ-+=⎧⎨+=⎩解得2,3,λμ=⎧⎨=⎩故23λμ=．故答案为：23例15．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知()2,4A -，()3,4C --，且3CM CA =，则点M 的坐标为______.【答案】()0,20【解析】由题意得()()23,441,8CA =-++= ，所以()33,24CM CA ==.设(),M x y ，则()()3,43,24CM x y =++=，所以33424x y +=⎧⎨+=⎩，解得020x y =⎧⎨=⎩，故点M 的坐标为()0,20.故答案为：()0,20变式24．（2024·全国·高三专题练习）如图，已知平面内有三个向量OA ，OB ，OC ，其中OC 与OA和OB 的夹角分别为30︒和90︒，且||||1OA OB ==，||OC = ，若(,)OC OA OB R λμλμ=+∈，则2λμ+=________．【答案】8【解析】如图所示，过点C 作向量,OA OB的平行线与它们的延长线分别交于,D E 两点，所以四边形ODCE 平行四边形，则OC OD OE =+，因为向量OC 与OA和OB 的夹角分别为30︒和90︒，即90,30BOC AOC ∠=∠= ,则90,30OCD OCE ∠=∠= ,在直角OCD ∆中，||OC = ，AOC 30∠= ，所以||4cos30OC OD ==，在直角OCE ∆中，||OC = 30OCE ∠=，所以||tan 302OE OC =⋅== ，又由||||1OA OB == ，可得42OC OA OB =+ ，又因为(,)OC OA OB R λμλμ=+∈，所以4,2λμ==，所以28λμ+=．故答案为：8．变式25．（2024·河南·郑州一中校联考模拟预测）已知向量(),2a x =，(),1b x =- ，且2a b +=x =______．【答案】±1【解析】由题意，得()2,5a b x += ，所以2a b +== ，解得1x =±．故答案为：±1.变式26．（2024·全国·高三对口高考）已知向量(0,2)a b ==- ．若实数k 与向量c满足2a b kc +=，则c 可以是（）A ．1)-B ．(1,-C ．(1)-D ．(-【答案】D【解析】设(),c x y =，因为向量(0,2)a b ==-，所以)22(0,2)3a b +=+-=- ，又2a b kc += ，所以)()3,3kx k x y ky ⎧=⎪-=⇒⎨=-⎪⎩0k =时不成立，所以0k ≠，所以y =，选项A ，1)c =-不满足y =，选项B ，(1,c =-不满足y =，选项C ，(1)c =-不满足y =，选项D ，(c =-满足y =，故选：D.变式27．（2024·河北·统考模拟预测）在正六边形ABCDEF 中，直线ED 上的点M 满足AM AC mAD =+，则m =（）A ．1B ．12C ．13D ．14【答案】B【解析】在正六边形ABCDEF 中，以A 为原点，分别以,AB AE 所在直线为,x y 轴建立平面直角坐标系，不妨令1AB =，则33(0,0),(,),(1,3),(,3)22A C D M t，33(,),(1,3),(,3)22AC AD AM t ===,由AM AC mAD =+ ，可得323332t m m ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解之得122m t ⎧=⎪⎨⎪=⎩故选：B变式28．（2024·内蒙古赤峰·校联考三模）如图，在四边形ABCD 中，120DAB ∠=︒，30DAC ∠=︒，1AB =，3AC =，2AD =，AC xAB y AD =+，则x y +=（）A ．23B ．2C ．3D ．6【答案】A【解析】以A 为坐标原点，以AD 为x 轴，过点A 作AD 的垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，则13(0,0),(,),(2,0)22A B C D -,故31),((2,0)22AC AB AD ==-= ,则由AC xAB y AD =+可得31(,)(,)(2,0)2222AC x y ==-+ ，即122,32x y x y x =-+⎧=⎪∴⎨⎨=⎪⎪⎩=⎪⎩故x y +=故选：A变式29．（2024·全国·高三专题练习）已知O 为坐标原点，122P P PP =-，若()11,2P 、()22,1P -，则与OP共线的单位向量为（）A ．()3,4-B ．()3,4-或()3,4-C ．34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】C【解析】由122P P PP =- 得1220PP PP += ，即1220PP PP += ，122PP P P =，212OP OP OP OP -=- ，2122(2,1)(1,2)(3,4)OP OP OP =-=--=-，5OP ==，与OP同向的单位向量为34(,)55OP OP =- ，反向的单位向量为34(,)55-．故选：C ．【解题方法总结】（1）向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．（2）解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程（组）来进行求解．题型六：向量共线的坐标表示例16．（2024·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）在平面直角坐标系中，向量(1,4)PA = ，(2,3)PB = ，(,1)PC x =，若A ，B ，C 三点共线，则x 的值为（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C【解析】因为A ，B ，C 三点共线，则PC PA PB λμ=+，()1λμ+=，即()()()(,1)1,42,32,43x λμλμλμ=+=++，则21431x λμλμλμ=+⎧⎪=+⎨⎪+=⎩，解得324x μλ=⎧⎪=-⎨⎪=⎩.故选：C例17．（2024·全国·高三专题练习）已知()()(),0,0,1,3,1A m B C -，且,,A B C 三点共线，则m =（）A ．32B ．23C ．32-D ．23-【答案】A【解析】由()()(),0,0,1,3,1A m B C -，得()(),1,3,2AB m BC =-=-,因为,,A B C 三点共线，所以//AB BC ，即()()2130m -⨯--⨯=，解得32m =.所以32m =.故选：A.例18．（2024·甘肃定西·统考模拟预测）已知向量()1,3a = ，()4,1b =- ，若向量m a ∥，且m 与b 的夹角为钝角，写出一个满足条件的m的坐标为______.【答案】()1,3m =-- （答案不唯一）【解析】设(),m x y = ，因为向量m a ，且m 与b 的夹角为钝角，所以134(1)04(1)y x x y y x ⋅=⋅⎧⎪⋅+-⋅<⎨⎪⋅≠-⋅⎩，所以0x <，不妨令=1x -，则=3y -，故()1,3m =-- ，故答案为：()1,3m =-- （答案不唯一）.变式30．（2024·全国·高三专题练习）已知向量()1,2a =- ，()1,2022b = ，向量2m a b =+ ，2n a kb =- ，若m n u r r ∥，则实数k =______.【答案】4-【解析】根据题意可知a ，b 不共线若m n u r r ∥，则R λ∃∈，使得=m n λu r r ，即()222a b a kb a k b λλλ+--==r r r r r r 则可得122k λλ=⎧⎨=-⎩，解得124k λ⎧=⎪⎨⎪=-⎩故答案为：4-．变式31．（2024·北京·北京四中校考模拟预测）已知向量()(),4,1,a t b t == ，若a b ∥，则实数t =______.【答案】2±【解析】因为向量()(),4,1,a t b t == 且a b ∥，所以410t t ⨯-⨯=,解得2t =±，故答案为：2±变式32．（2024·上海普陀·上海市宜川中学校考模拟预测）已知(),1a k = ，()2,3b =- ，若a 与b 互相平行，则实数k 的值是__________．【答案】23-【解析】因为a b ∥，所以32k =-，解得23k =-，故答案为：23-．变式33．（2024·全国·高三对口高考）已知向量(1,2),(1,),(3,4)a b c λ=== ．若a b + 与c 共线，则实数λ=__________．【答案】23【解析】由题意知向量(1,2),(1,),(3,4)a b c λ===，故(2,2)a b λ+=+ ，由于a b + 与c 共线，故2243(2)0,3λλ⨯-+=∴=，故答案为：23变式34．（2024·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知()()1,2,3,2a b ==- ，若ka b+ 与2a b - 平行，则实数k =______________．【答案】12-/0.5-【解析】因为()()1,2,3,2a b ==- ，所以(3,22)ka b k k +=-+ ，2(7,2)a b -=- ，因为ka b + 与2a b - 平行，所以2(3)7(22)k k --=+，得12k =-.故答案为：12-.变式35．（2024·全国·高三专题练习）已知点()()(40426)4A B C ，，，，，，O 为坐标原点，则AC 与OB 的交点P 的坐标为________.【答案】(3,3)【解析】法一:由O ，P ，B 三点共线，可设(4,4)OP OB λλλ== ,则(44,4)AP OP OA λλ=-=- ,又(2,6)AC OC OA =-=- ，由,AP AC 共线，得4464((2)0)λλ-⨯-⨯-=，解得34λ=，所以3(3,3)4OP OB == ,所以点P 的坐标为(3,3),故答案为：(3,3)法二:设点P (x ,y )，则()OP x y =， ，因为(4,4)OB = ，且OP 与OB 共线，所以440x y -=，即x =y .又(4)AP x y -=， ，2()6AC =-， ，且,AP AC 共线，所以()40()62x y ⨯-⨯-=-，解得x =y =3，所以点P 的坐标为(3,3)，故答案为：(3,3)【解题方法总结】（1）两平面向量共线的充要条件有两种形式：①若11(,)a x y = ，22()b x y = ,，则a b ∥的充要条件是12210x y x y -=；②若(0)a b b ≠ ∥，则a b λ =．（2）向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解。

I .题源探究•黄金母题【例1】已知心卜巧，|6|=2,五与6的夹角为30。

，求|3+b|^ |a-b| 【眸析】v|fi+S|a.\|3-6|=1.II.考场精彩•真题回放【例2】【2019年四川高考卷】在平面内，定点A B, C, D 满足|DC |,DA DB = DB DC =DC DA=- 2,动点P, M 满足阿卜1, 的最大值是（）434937+ 6石 37-2>/33A.彳B. 71C. 彳D.彳【答案】B 【解析】由己知易得ZADC = ZADB = ZBDC = 120°，网T 55卜风卜？.以°为原点,直线为x 轴建立平而直角坐标系，则A （2,0）,B （-l,-^）,C （-l,V3） P （x,y ）,由已知仗-2『+ 丁=1 PM = MC=|a|2H-2^-Scos30°*|J|2■13, /.|5+J|=-^3 .=|5|-2^.ScosW+|^|2它表示圆(x-2)2 + y 2=l 卜占(x y)耳占(-1,-3^)£ 距离平方的7,・・・点P 的坐标为2°),则卩人+ +卩°的域人值为()A. 6B. 7C. 8D. 9 【答案】B【解析】由题意，得AC 为圆的直径，故可设A(m,n)，C(-m,-ii),B(x,y),则 PA= (m- 2』) PR = (x-2,y) PC = (-m-2,-n)所以PA+PB+PC = (x-6,y)于是 |PA+ PB+PC| = {(xrr + y 2 ,其最大值为圆疋+于=1上的动点到定———点(6°)距离的最犬值，从而根据图形特征知当I" °时，PA+PB + PC 的最犬值为7, 故选B.【例41(2019年浙江高考文科)己知©是平面单位向量，且勺'3.若平面向量比满 足「叮 g",则b =2的【答案】3BM 2 =(x-l)3 + (y+3>/3)故选【例31(2019年C 在圆X +【解折】不妨勺=亿0"则由G 召二亍可得 又设八（“）,贝莎a51，且 “寺諾日，联立解得X 半’则 da.半）•所以仰三尼二攀. 直 P cosa =【例5】（2019年江西高考文科）已知单位向量，知勺的夹角为°,且 项向量3=3^-2e 2 贝yla |= _________【答案】3【解析】由题意,得1讦=(塢-2@$ =9頁--12頁$ + 4b = 9-12xcosQ + 4 =Z X P,所以陆3【例5] [2019湖南高考卷】）己知氣6是单位向量，a b = 0.若向量'满足Ic- 则21的取值范闱是（）A [72-1,72 4-1]B [x/2-l,V2 + 2]-b|=lc [1,72+1] D . I】'运+ 2]【答案】A【解析】因为a，b 是单位向量，a b = 0,所以I a+b 1= Jl a F + |6 F +2a li = >/2设向最a + B 与c的夹角为0,于是由|c —a —B|=l,两边平方，得 | c|2 +1 a |2 + |b|2 -2(a + b)-c + 2a b = l 叩 | C |~ +1 + 1 ~ 2'yJ^ | C | COS & = 1 p 卩>0|c|2 -2>/2 |c|+l <1^ 解得V2-l^c|<72+l t 故选人 精彩解读【试题來源】人教版A 版必修四第119页复习参考题A 组第13题.【母题评析】本题中3山是利用两个己知向量的模及它们夹角，求由它们线性关系构造出的两 个新向最的模，求解时通常直接利用模的公式\^\=^=^可直接解决.高考命题常 常以此题为母题加以改编，结合平面图形计算两个向最的模.【思路方法】求由两个己知的模及夹角的两个向量通过线性运算构造出的两个新向量的模， 通常利用模的公式I a|= 倆7=丁爲 结合乘法法则展开，然后利用两个己知向量模与夹角 进行求解.【命题意图】本类题主要考査平面向最的模的求法.【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中等或 较小.也有时可能与三角函数、解三角形等知识交汇，渗透于解答题中. 【难点中心】（1）利用模公式|a|=JTF=>/n 转化后，如何求新的向量式的值，是一个难点：（2）在平面几何图中进 fj 向量数量积的计算通常要选择两个向量为基底，相对较困难，选择基底时通常选择的两个 向量的模及夹角是已知的.川•理论基础•解题原理 考点一向量模的定义 向量晶的人小，也就是向量AE ；的长度（或称模），记作|AB|长度为°的向量叫做零向 量，长度等于1的向量叫做单位向量.cos 6 =I 讦+1 2^2 | c||讦+12>/2 |c|<1考点二向呈模的计算公式（2）坐标形式：若a =（x ，y ），则I a 1= Jx' + y 2.考点三向屋模的性质（2）|a-b|£a| + |b|,当且仅当a,b 异向共线时，等号成立.【考试方向】这类试题在考査题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中等偏卜，有时也会 与三角函数、解三角形等知识交汇. 【技能方法】（1） 求已知向量的模，通常直接利用公式进行计算即可：（2）根据向最的模的大小求解相关的参数及其它问题，解答时通常是利用平面向量模的公式 建立方程（组）来解决，主要步骤分为三步：①简化向量的表达式：②利用向量的模的公式 建立方程（组）：③解方程（组）求得参数： 【易错指导】（1） 不能正确将非坐标形式的向量利用公式进行转化：（2） 错误利用向量模的性质，特别是性质不等式中，在什么情况等号成立易出现错误. V.举一反三•触类旁通 考向1求向量的模【例1X2019黑龙江哈尔滨六中高三下期中］igxG R ,a = （x,l ） #b = a,-2）且a 丄6,=（ ）B.応C. 2“D. 10Bv alb. A a b=x-2 = 0, x=2,则 a + 6=（3,-l ）,所以俪，故选B.i 1【例2】［2019山东寿光现代中学高三下开学检测】平面向量°与b 的夹角为（1）ih|a + 6 凶訂+当II 仅当仏b 同向共线时，等号成立;a +b【答案】 【解析】 A. 2\H B . ° C ・ &D. 【答案】D【解析】堀意，得|刁=何而=2,所叫:一聊=[+ 4匸—曲=|显44向y 亍崗心彳= 22 + 4xL a -4x2xlxl = 4,所叫:胡=2,故选D.【归纳总结】求两个向最的模主要有两种题型：(1)求给出坐标的向最a =(耳y)的模，利用 公式|a|=X+ y2求解：(2)求非坐标形式的向量的模，利用公式l a l=7^F=^"求解.【答案】2考向2根据平面向最的模求解参数问题【例2] [2019宁夏六盘山高中高三下第二次月考】已知向= (^,1),6= (2+2,1) 若 3 + 6= 3_6,则实数久的值为()A. 1B. 2C. -1D. -2【答案】C【解析】阳)04■耳一耳丄匚 ^ = a.l)-U+2.1> = 0=>^(l+2)+l=0,得乂 术值为一 1,枚选c.【名师点睛】根据向量的模的大小，或几何向最的模司关系等求相关参数的值或取值范I 韦I, 解答此类问题通常要建立方程(组)来解决.■■e【跟踪训练】已知平面向量* = (0,-1), b=(2,l)> |^a+b|=2f 则兄的值为() A. 1 + V? B. V^-l c . 2 D ・ 1【答案】D[解析]因为加*+6=(2,1-/0,所以|^a + b|2=22 + (l-A)2 = 4 又A>0,解得2 = 1, 故选D. 考向3求向量的模的般值或取值范閑【例3] [2019浙江嘉兴-中高三期中】己知平面向/满足k 卜的“与弓+ 4 = 12 a =22 ,解得【跟踪训练】己知平面向量a a + 2b 卜2y/3的两边同时平方可得,a +与6的夹角为亍，且【 解 ma + (l -n) " f« (+1 臥「0一押 J (1-m)~ |/?-a" + 2(l-m)x 7J x ]='a( 1+ 可 &(2 4 )ni L a )/2<7(1-m)' \p-ct n& + （l-m ）【跟踪训练】在平面若点p （M ）,则脚 + BP +OP I 的取值范围是（）A. [5,6]B. [6,7]C. [6刃D.〔切 【答案】D【解祈】假设*（co“Q"（0,為0）, G F [0.2町，冋乔=（1 一ros0O ）.丽=（0,护-吊0）, =所以有2?十丽十°?=（3-8S &3P §一血叭,阿十丽十闵 =7（3_8s&〕2+（3辰站询2 _切-6COS&-"血0 =（37- 12（cos0-.因为•■e一匚 a =] — — 已知向量a*满足-,a 与b 的夹b则的取值范闱是（）-l ＜（c O s t?-^【例4] [2019n 角为亍，若xa + 2b > a + bA.卄) C •山+°°)D ・(h+s )的夹角如0。

千题百炼高考数学100个热点问题（一）：第4炼函数值域的求法千题百炼-高考数学100个热点问题（一）：第4炼函数值域的求法第二章第4章值域函数及其精化函数的性质第4炼求函数的值域函数值域问题作为函数的三要素之一，也是高考中的一个重要考点，值域问题往往渗透到各种问题中，成为问题解决过程的一部分。

因此，掌握一些求取取值范围的基本方法。

当你需要找到函数的取值范围时，你可以掌握解析式的特点，找到相应的方法冷静地解决它。

1、基本知识：1。

寻找值域的步骤：（1）确定函数的定义域（2）分析解析式的特点，并寻找相对应的方法（此为关键步骤）（3）计算出函数的值域2.寻找数值范围的常用工具：虽然有时，寻找数值范围就像仙女的拼写公式。

分析特征对应于寻找值范围的方法。

只要你掌握了每种方法并对功能进行了分类，你就可以进行操作，但你也应该掌握一些常用的想法和工具。

（1）函数的单调性：决定函数图像的形状，同时对函数的值域起到决定性作用。

若f?x?为单调函数，则在边界处取得最值（临界值）。

（2）函数图像（数字与形状的组合）：如果可以制作函数图像，则值范围一目了然（3）换元法：f?x?的解析式中可将关于x的表达式视为一个整体，通过换元可将函数解析式化归为可求值域的形式。

（4）最大值法：如果函数f？十、哪里a、 b？连续的，f？十、M的最大值和最小值，然后是f？十、数值范围是多少？m、 m？注：一定在f?x?连续的前提下，才可用最值来解得值域3.常用函数的取值范围：在处理常用函数的取值范围时，通常可以通过组合数字和形状以及使用函数图像来求解取值范围。

巧妙地处理公共函数的取值范围，也便于通过变形和变换将复杂的解析公式转换为公共函数。

（1）一次函数（y?kx?b）：一次函数为单调函数，图像为一条直线，所以可利用边界点来确定值域（2）二次函数（y？Ax？BX？C）：二次函数的图像是抛物线。

一般来说，这个公式可以用来确定函数的对称轴，然后用图像来求解它。

第36讲平面向量的数量积及运算知识梳理知识点一．平面向量的数量积a （1）平面向量数量积的定义已知两个非零向量a 与 b ，我们把数量||||cos a b θ 叫做a 与b的数量积（或内积），记作a b ⋅ ，即a b ⋅ =||||cos a b θ，规定：零向量与任一向量的数量积为0．（2）平面向量数量积的几何意义①向量的投影：||cos θa 叫做向量a 在b 方向上的投影数量，当θ为锐角时，它是正数；当θ为钝角时，它是负数；当θ为直角时，它是0．②⋅a b 的几何意义：数量积⋅a b 等于a 的长度||a 与b 在a 方向上射影||cos θb 的乘积．③设a ，b 是两个非零向量，它们的夹角是,e θ与b 是方向相同的单位向量，,AB a CD b == ，过AB 的起点A 和终点B ，分别作CD 所在直线的垂线，垂足分别为11,A B ，得到11A B ，我们称上述变换为向量a 向向量b 投影，11A B 叫做向量a在向量b 上的投影向量．记为||cos a e θ．知识点二．数量积的运算律已知向量a 、b 、c 和实数λ，则：①⋅=⋅a b b a ；②()()()λλλ⋅⋅=⋅a b =a b a b ；③()+⋅⋅+⋅a b c =a c b c ．知识点三．数量积的性质设a 、b 都是非零向量，e 是与b 方向相同的单位向量，θ是a 与e 的夹角，则①||cos θ⋅=⋅=e a a e a ．②0⊥⇔⋅=a b a b ．③当a 与b 同向时，||||⋅=a b a b ；当a 与b 反向时，||||⋅=-a b a b ．特别地，2||⋅=a a a 或||a ．④cos ||||θ⋅=a ba b (||||0)≠a b ．⑤||||||⋅a b a b ≤．知识点四．数量积的坐标运算已知非零向量11()x y =，a ，22()x y =，b ，θ为向量a 、b 的夹角．知识点五、向量中的易错点（1）平面向量的数量积是一个实数，可正、可负、可为零，且||||||a b a b ⋅≤．（2）当0a ≠ 时，由0a b ⋅=不能推出b 一定是零向量，这是因为任一与a 垂直的非零向量b 都有0a b ⋅=．当0a ≠ 时，且a b a c ⋅=⋅时，也不能推出一定有b c = ，当b 是与a 垂直的非零向量，c是另一与a 垂直的非零向量时，有0a b a c ⋅=⋅=，但b c ≠ ．（3）数量积不满足结合律，即a b c b c a ⋅≠⋅()() ，这是因为a b c ⋅() 是一个与c共线的向量，而b c a ⋅() 是一个与a 共线的向量，而a 与c 不一定共线，所以a b c ⋅() 不一定等于b c a ⋅() ，即凡有数量积的结合律形式的选项，一般都是错误选项．（4）非零向量夹角为锐角（或钝角）．当且仅当0a b ⋅> 且(0)a b λλ≠> （或0a b ⋅<，且(0))a b λλ≠<【解题方法总结】（1）b 在a上的投影是一个数量，它可以为正，可以为负，也可以等于0．（2）数量积的运算要注意0a =时，0a b ⋅= ，但0a b ⋅= 时不能得到0a=或0b =，因为a ⊥b 时，也有0a b ⋅=．（3）根据平面向量数量积的性质：||a cos ||||a ba b θ⋅=，0a b a b ⊥⇔⋅= 等，所以平面向量数量积可以用来解决有关长度、角度、垂直的问题．（4）若a 、b 、c 是实数，则ab ac b c =⇒=（0a ≠）；但对于向量，就没有这样的性质，即若向量a 、b 、c 满足a b a c ⋅=⋅（0a ≠ ），则不一定有=b c ，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量．（5）数量积运算不适合结合律，即()()a b c a b c ⋅⋅≠⋅⋅ ，这是由于()a b c ⋅⋅ 表示一个与c共线的向量，()a b c ⋅⋅ 表示一个与a 共线的向量，而a 与c不一定共线，因此()a b c ⋅⋅ 与()a b c ⋅⋅不一定相等．必考题型全归纳题型一：平面向量的数量积运算例1．（2024·吉林四平·高三四平市第一高级中学校考期末）已知向量a ，b满足|2|a b =，a 与b 的夹角为π6，则()()2a b a b +⋅-= （）A ．6B ．8C ．10D ．14【答案】B 【解析】`由|2|a b == ，a 与b的夹角为π6，所以()()2222a b a b a a b b+⋅-=+⋅-r r r r r r r r 222co 6s πa a b b=+⋅-r r r r222228=⨯+⨯=.故选：B.例2．（2024·全国·高三专题练习）已知6a = ，3b = ，向量a 在b方向上投影向量是4e ，则a b ⋅为（）A ．12B ．8C ．-8D ．2【答案】A【解析】a 在b方向上投影向量为cos 4a e e ⋅= θ，cos 4a ∴θ= ，∴cos 4312a b a b ⋅==⨯=θ.故选：A例3．（2024·湖南长沙·周南中学校考二模）已知菱形ABCD 的边长为1，12AB AD ⋅=- ，G 是菱形ABCD 内一点，若0GA GB GC ++= ，则AG AB ⋅=（）A ．12B ．1C ．32D ．2【答案】A【解析】在菱形ABCD ，菱形ABCD 的边长为1，12AB AD ⋅=- ，所以1cos cos 2AB AD AB AD BAD BAD ⋅=⋅∠=∠=- ，所以120BAD ∠=︒，则ABC 为等边三角形，因为0GA GB GC ++=，所以()GA GB GC =-+ ，设点M 为BC 的中点，则2GA GD =- ，所以GA GD ∥ ，所以G ，A ，M 三点共线，所以AM 为BC 的中线，所以AM ==同理可得点AB ，AC 的中线过点G ，所以点G 为ABC 的重心，故23AG AM ==在等边ABC 中，M 为BC 的中点，则30BAM ︒∠=，所以1cos 12AG AB AG AB BAM ⋅=⋅∠=⨯.故选：A变式1．（2024·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知单位向量,a b →→，且π,3a b →→〈〉=，若()a b c →→→+⊥，||2c →=，则a c →→⋅=（）A ．1B ．12C ．2-或2D ．1-或1【答案】D【解析】由题意单位向量,a b →→，且π,3a b →→〈〉=，可知a b →→+与a →的夹角为π6，因为()a b c +⊥ ，所以π3,a c = 或2π3，故当π3,a c = 时，1cos 1212a c a c a c ⋅=⋅⋅=⨯⨯=r r r r r r ；当23,πa c = 时，1cos 12(12a c a c a c ⋅=⋅⋅=⨯⨯-=-r r r r r r ，故选：D.变式2．（2024·广东·校联考模拟预测）将向量OP =绕坐标原点O 顺时针旋转75︒得到1OP，则1OP OP ⋅= （）ABC D ．2【答案】B【解析】因为OP =，所以2OP ==，因为向量OP 绕坐标原点O 顺时针旋转75︒得到1OP ，所以向量OP 与向量1OP的夹角为75︒，且12OP = ，所以11cos7522cos(3045)OP OP OP OP ⋅=⋅⋅=⨯⨯+12=-故选：B变式3．（2024·全国·高三专题练习）正方形ABCD 的边长是2，E 是AB 的中点，则EC ED ⋅=（）A B ．3C ．D ．5【答案】B【解析】方法一：以{},AB AD为基底向量，可知2,0AB AD AB AD ==⋅=uu u r uuu r uu u r uuu r ，则11,22EC EB BC AB AD ED EA AD AB AD =+=+=+=-+uu u r uu r uu u r uu u r uuu r uu u r uu r uuu r uu u r uuu r ，所以22111143224EC ED AB AD AB AD AB AD ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+=-+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭uu u r uu u r uu u r uuu r uu u r uuu r uu ur uuu r ；方法二：如图，以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，则()()()1,0,2,2,0,2E C D ，可得()()1,2,1,2EC ED ==-uu u r uu u r，所以143EC ED ⋅=-+=uu u r uu u r；方法三：由题意可得：2ED EC CD ===，在CDE 中，由余弦定理可得2223cos25DE CE DC DEC DE CE +-∠==⋅，所以3cos 35EC ED EC ED DEC ⋅=∠==uu u r uu u r uu u r uu u r .故选：B.变式4．（2024·天津和平·高三耀华中学校考阶段练习）如图，在ABC 中，π3BAC ∠=，2AD DB =，P 为CD 上一点，且满足()R 12AP mAC AB m +∈= ，若3AC =，4AB =，则AP CD ⋅的值为（）.A ．3-B ．1312-C ．1312D ．112-【答案】C【解析】∵()R 12AP mAC AB m +∈= ，2AD DB =，即23AD AB = 且2133CD CB CA =+ ，∴()R 34AP mAC AD m +∈=，又C 、P 、D 共线，有314m +=，即14m =，即1142AP AC AB =+ ，而CB CA AB =+ ，∴2122()3333CD CA AB CA CA AB AB AC=++=+=- ∴AP CD ⋅ =2211211116913()()24233343412AC AB AB AC AB AB AC AC +-=-⋅-=--= .故选：C变式5．（2024·陕西西安·西北工业大学附属中学校考模拟预测）已知向量a ，b满足同向共线，且2b = ，1a b -=r r ，则()a b a +=⋅ （）A ．3B ．15C ．3-或15D ．3或15【答案】D【解析】因为向量a ，b满足同向共线，所以设(0)a b λλ=> ，又因为1a b -=r r ，2b = ，所以22222(1)(1)4(1)1b b b b λλλλ-=-=-=-=r r r r ，所以12λ=或32λ=，即12a b =或32a b = .①当12a b=时，()23133224a b a b b b ⎛⎫⎛⎫+=⎭⋅== ⎪ ⎪⎝⎭⎝ ；②当32a b =时，()2531515224a b a b b b ⎛⎫⎛⎫+⎭⋅=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝ ；所以()a ab +⋅ 的值为3或15.故选：D.变式6．（2024·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）在矩形ABCD 中，1,2,AB AD AC==与BD 相交于点O ，过点A 作AE BD ⊥于E ，则AE AO ⋅=（）A ．1225B ．2425C ．125D ．45【答案】D【解析】建立如图所示直角坐标系：则(0,1),(0,0),(2,0),(2,1)A B C D ，设(,)E x y ，则()(,1),(,),2,1AE x y BE x y BD =-==AE BD AE BD ⊥∴⊥ 且//BE BD，21020x y x y +-=⎧∴⎨-=⎩，解得2515x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，481(,,5212(,55555AE EC E ⎛⎫=-=- ∴⎪⎝⎭，在矩形ABCD 中，O 为BD 的中点，所以11,2O ⎛⎫⎪⎝⎭，由(0,1)A ，所以11.2AO ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，4141+52525AE AO ⎛⎫⎛⎫-⨯-= ⎪⎝⋅⎪⎝⎭⎭=⨯ ，故选：D.【解题方法总结】（1）求平面向量的数量积是较为常规的题型，最重要的方法是紧扣数量积的定义找到解题思路．（2）平面向量数量积的几何意义及坐标表示，分别突出了它的几何特征和代数特征，因而平面向量数量积是中学数学较多知识的交汇处，因此它的应用也就十分广泛．（3）平面向量的投影问题，是近几年的高考热点问题，应熟练掌握其公式：向量a在向量b 方向上的投影为||a bb ⋅ ．（4）向量运算与整式运算的同与异（无坐标的向量运算）同：222()2a b a ab b ±=±+；a b ±=()a b c ab ac +=+公式都可通用异：整式：a b a b ⋅=±，a 仅仅表示数；向量：cos a b a b θ⋅=±（θ为a 与b 的夹角）ma nb ±= ma nb ma nb ma nb -≤±≤+ ，通常是求ma nb ±最值的时候用．题型二：平面向量的夹角例4．（2024·河南驻马店·统考二模）若单位向量a ，b 满足2a b -= a ，b夹角的余弦值为____________．【答案】14-/0.25-【解析】设向量a ，b 的夹角为θ，因为2a b -= 22446a a b b -⋅+= ．又1a b == ，所以44cos 16θ-+=，所以1cos 4θ=-．故答案为：14-例5．（2024·四川·校联考模拟预测）若21,e e 是夹角为60︒的两个单位向量，则122a e e =+与1232b e e =-+的夹角大小为________.【答案】120︒/23π【解析】12,e e 是夹角为60︒的两个单位向量，则1212e e e e ⋅=⋅ 1cos 602︒=，()()221212112217232626222e e e e e e a e b e ∴⋅=+⋅-+=-+⋅+=-++=-，||a ====||b====1cos,2||||a ba ba b⋅∴〈〉==-⋅，0,180a b︒≤〈〉≤︒，,120a b∴〈〉=︒.故答案为：120︒例6．（2024·重庆·高三重庆一中校考阶段练习）已知向量a和b满足：1a=，2b=，220a b a b--⋅=，则a与b的夹角为__________．【答案】3π/60︒【解析】记向量a和b的夹角为θ，将22·a b a b-=平方得到：22222214||||4||||cos4||||cos2cos cos10cos2a b a b a bθθθθθ+-=⇒+-=⇒=或1-，又因为22·0cos1a b a bθ-=≥⇒≠-，即1πcos23θθ=⇒=．故答案为：π3.变式7．（2024·上海杨浦·复旦附中校考模拟预测）若向量a与b不共线也不垂直，且a ac a ba b⋅⎛⎫=- ⎪⋅⎝⎭，则向量夹角,a c〈〉=________.【答案】2π【解析】由题意可得：()2220a a a aa c a ab a a b a aa b a b⎛⋅⎫⋅⎛⎫⋅=⋅-=-⨯⋅=-=⎪⎪⋅⋅⎝⎭⎝⎭，故：a c⊥，即向量a与c的夹角为π2.故答案为：π2变式8．（2024·上海长宁·上海市延安中学校考三模）已知a b c､､是同一个平面上的向量，若a c b==，且0,2,1a b c a c b⋅=⋅=⋅=，则,c a=__________.【答案】【解析】设a c b m===，则2cos,2c a m c a⋅==，2cos,1c b m c b⋅==，故cos,2cos,c a c b=，[]0,,0,πa b a b ⋅=∈，则π,2a b =，20c a ⋅=> ，10c b ⋅=>，故π,,2c a c b += ，设,c a θ= ，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则πcos 2cos 2sin 2θθθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，又22sin cos 1θθ+=，解得sin θ=，故,c a =.故答案为：变式9．（2024·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知向量a ，b满足()1,1a =- ，1b = ，1a b ⋅= ，则向量a 与b的夹角大小为___________.【答案】π4【解析】由于()1,1a =-，所以a =所以cos ,02a b a b a b⋅=>⋅，所以,a b 为锐角，所以π,4a b = .故答案为：π4变式10．（2024·四川·校联考模拟预测）已知向量(a x =+ ，()1,0b = ，2a b ⋅=- ，则向量a b + 与b的夹角为______．【答案】2π3【解析】2123a b x x ⋅=-⇒+=-⇒=-，则(a b +=- ，则()12cos ,a b b a b b a b b+⋅+==-+ ，又0,,πa b b ⎡⎤+∈⎣⎦ ，则23π,a b b += 故答案为：2π3.变式11．（2024·湖南长沙·雅礼中学校考模拟预测）已知向量()1,2a=，()4,2b = ，若非零向量c 与a ，b 的夹角均相等，则c的坐标为___（写出一个符合要求的答案即可）【答案】（1，1），答案不唯一，只需满足横纵坐标相等即可.【解析】设(),c x y = ，因为()1,2a=，()4,2b = ，所以cos ,a c a c a c ⋅=cos ,b c b c b c ⋅=因为c 与a ，b的夹角均相等，所以cos ,cos ,a c b c =，=化简得x y =，所以(,)c x x =，因为c为非零向量，可取1x =，此时(1,1)c = .故答案为：（1，1），答案不唯一，只需满足横纵坐标相等即可.【解题方法总结】求夹角，用数量积，由||||cos a b a bq×=×得cos ||||a ba bq +×==×进而求得向量,a b的夹角．题型三：平面向量的模长例7．（2024·湖北·荆门市龙泉中学校联考模拟预测）已知平面向量a ，b ，c满足(2,1)a = ，(1,2)b = ，且a c ⊥ .若b c ⋅=，则||c = （）AB．C．D．【答案】A【解析】令(,)c x y =，则202a c x y b c x y ⋅=+=⎧⎪⎨⋅=+=⎪⎩x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以||c =故选：A例8．（2024·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知a ，b是非零向量，1a = ，()2a b a +⊥ ，向量a 在向量b方向上的投影为4-，则a b -=r r ________.【答案】2【解析】∵()2a b a +⊥ ，∴()2220a b a a b a +⋅=+⋅= ，∴21122b a a ⋅=-=- ，∵向量a 在向量b方向上的投影为4，∴4a b b ⋅=-，∴b b =⋅=∴22221212242a b a a b b ⎛⎫-=-⋅+=-⨯-+= ⎪⎝⎭，∴2a b -=.故答案为：2例9．（2024·海南·高三校联考期末）已知向量a ，b满足()1,1a = ，4b = ，()2a a b -=-⋅ ，则3a b -=__________．【解析】因为()1,1a = ，4b = ，()2a a b -=-⋅，则a = 所以()22a a b a a b ⋅-=-⋅=- ，所以()22a a b a b ⋅-=-⋅=- ，解得：4a b ⋅=，3a b -==.变式12．（2024·四川南充·阆中中学校考二模）已知,a b为单位向量，且满足a =则2a b +=______.【解析】,a b为单位向量，且满足a =，所以2256a b b -⋅+=，即156b -⋅+=，解得0a b ⋅= ，所以2a b +==变式13．（2024·河南驻马店·统考三模）已知平面向量,a b满足2a b == ,且()()214a b a b +⋅-= ，则a b +=_________________．【答案】【解析】由()()222220414a b a b a a b b a b +⋅-=-⋅-=-⋅-= ,得2a b ⋅=,所以a b +===故答案为：变式14．（2024·全国·高三专题练习）已知向量,a b满足a b - ，2a b a b +=- ，则b =______．【解析】由a b -=r r 2223a a b b -⋅+= ，即2223a b a b ⋅=+- ①．又由2a b a b +=- ，得2222244a a b b a a b b +⋅+=-⋅+r r r r r r r r ，即2360a a b -⋅=，代入①，得()2223330a a b -+-= ，整理，得23b =，所以b =．变式15．（2024·河南郑州·模拟预测）已知点O 为坐标原点，()1,1OA = ，()3,4OB =-，点P 在线段AB 上，且1AP =，则点P 的坐标为______．【答案】18(,)55【解析】由题知，()0,0O ，设()()1122,,,A x y B x y ，()1,1OA = ，()3,4OB =-，()()110,01,1x y ∴--=，()()220,03,4x y --=-，1111x y =⎧∴⎨=⎩，2234x y =-⎧⎨=⎩，()()1,1,3,4A B ∴-，34AB k =-，则直线AB 方程为3744y x =-+，设P 点坐标为0037,44x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，031x -<<，00331,44AP x x ⎛⎫∴=--+⎝⎭，1AP ∴== ，求解可得，015x =，085y ∴=，即P 点坐标为18(,)55.故答案为：18(,55变式16．（2024·广西·高三校联考阶段练习）已知()2,1a =- ，()4,b t = ，若2a b ⋅=，则2a b -=______．【答案】【解析】因为()2,1a =- ，()4,b t = 且2a b ⋅=，所以2412a b t ⋅=-⨯+⨯=，解得10t =，所以()4,10b = ，所以()()()222,14,108,8a b -=--=--，所以2a b -==故答案为：【解题方法总结】求模长，用平方，||a=．题型四：平面向量的投影、投影向量例10．（2024·上海宝山·高三上海交大附中校考期中）已知向量()3,6a =，()3,4b =- ，则a 在b方向上的数量投影为______.【答案】3-【解析】因为向量()3,6a =，()3,4b =- ，所以a 在b方向上的数量投影为336415cos ,35a b a a b b⨯+⨯-⋅-<>====- .故答案为：3-.例11．（2024·上海虹口·华东师范大学第一附属中学校考三模）已知(2,1),(4,),a b m =--=-若向量b在向量am =_______．【答案】3【解析】由条件可知，向量b 在向量a方向上的数量投影为a b b⋅= ，解得：3m =.故答案为：3例12．（2024·全国·高三专题练习）已知向量6a = ，e 为单位向量，当向量a 、e的夹角等于45 时，则向量a 在向量e上的投影向量是________．【答案】【解析】因为向量a 、e的夹角等于45 ，所以向量a 在向量e上的投影向量是cos 45a e 鬃= ，故答案为：.变式17．（2024·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知向量(1,2)a =-，向量(1,1)b = ，则向量a在向量b 方向上的投影为_________.【答案】2【解析】cos ,a ba ab b→→→→→→⋅⋅=.故答案为：2变式18．（2024·新疆喀什·统考模拟预测）已知向量a ，b满足3a b += ，2a = ，()0,1b = ，则向量a 在向量b方向上的投影为______.【答案】2【解析】因为()0,1b = ，所以1b = ，又3a b +=，2a = ，所以()22222229a b a a b b a a b b +=+⋅+=+⋅+= ，所以2a b ⋅=，所以向量a 在向量b方向上的投影为2a b b⋅=.故答案为：2变式19．（2024·全国·高三专题练习）已知非零向量,a b 满足(2)(2)a b a b +⊥-，且向量b在向量a 方向的投影向量是14a ，则向量a 与b的夹角是________.【答案】π3【解析】因为(2)(2)a b a b +⊥-，所以22(2)(2)40a b a b a b +⋅-=-= ，即2a b = ①.因为向量b 在向量a方向的投影向量是14a ，所以1cos ,4a b a b a a ⋅= .所以1cos ,4b a b a = ②，将①代入②得，1cos ,2a b = ，又[],0,π∈ a b ，所以π,3a b =.故答案为：π3变式20．（2024·全国·模拟预测）已知向量()()1,0,0,1,1a b a c b c ==⋅=⋅= ，则向量a在向量c上的投影向量为__________.【答案】11,22⎛⎫⎪⎝⎭【解析】设(),c a b = ，因为()()1,0,0,1,1a b a c b c ==⋅=⋅=所以10110111a b a a b b ⨯+⨯==⎧⎧⇒⎨⎨⨯+⨯==⎩⎩所以()1,1c =则向量a 在向量c上的投影向量为：1,111,22⋅⎛⎫⋅== ⎪⎝⎭ a c c c c.故答案为：11,22⎛⎫⎪⎝⎭.【解题方法总结】设a ，b 是两个非零向量，它们的夹角是,e θ与b 是方向相同的单位向量，,AB a CD b == ，过AB 的起点A 和终点B ，分别作CD 所在直线的垂线，垂足分别为11,A B ，得到11A B ，我们称上述变换为向量a 向向量b 投影，11A B 叫做向量a在向量b 上的投影向量．记为||cos a e θ．题型五：平面向量的垂直问题例13．（2024·四川巴中·南江中学校考模拟预测）已知向量()()1,2,2,3a b ==-，若()()ka b a b +⊥-，则k =___________.【答案】14-/0.25-【解析】由题意可得()()2,23,3,1ka b k k a b +=-+-=-，因为()()ka b a b +⊥- ，则()()()()32230ka b a b k k +⋅-=--+= ，解得9k =.故答案为：14-例14．（2024·全国·高三专题练习）已知向量a ，b ，c ，其中a ，b 为单位向量，且a b ⊥ ，若c = ______，则()()2a c b c -⊥- .注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形.【答案】1（答案不唯一）【解析】因为,a b是相互垂直的单位向量，不妨设()()()1,0,0,1,,a b c x y ===r r r ()()()()2,20a c b c a c b c -⊥-∴--= ，即2220a b a c b c c --+=，222220x y x y ∴+--=，即221152416x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，即向量c 的端点在圆心为11,24⎛⎫ ⎪⎝⎭，半的圆周上，故可以取()1,0c =，即1c = ；故答案为：1.例15．（2024·江西宜春·高三校联考期末）设非零向量a ，b的夹角为θ．若2b a = ，且()()23a b a b +⊥-，则θ=____________．【答案】60°/3π【解析】由题设22(2)(3)3520a b a b a a b b +⋅-=+⋅-= ，所以22222||3||5||1cos 25||||10||b a a a b a θ-=== ，又0180θ︒≤≤︒，所以60θ=︒.故答案为：60︒变式21．（2024·江西南昌·高三统考开学考试）已知两单位向量21,e e 的夹角为π3，若12122,a e e b e me =+=+ ，且a b ⊥，则实数m =_________．【答案】45-/-0.8【解析】因为单位向量21,e e 的夹角为π3，所以12π111cos 32e e ⋅=⨯⨯= ；因为a b ⊥，所以()()12122a b e e e me ⋅=+⋅+ ()()()112212(2)2m m e e e e e e =++⋅⋅⋅+ 112(2)2m m =+++⨯5202m =+=，所以45m =-．故答案为：45-.变式22．（2024·海南·校考模拟预测）已知a 为单位向量，向量b 在向量a上的投影向量是2a，且()3a b a λ+⊥ ，则实数λ的值为______．【答案】32-/ 1.5-【解析】因为向量b 在a 上的投影向量为2a，所以2a b a ⋅= ，又a 为单位向量，所以22a b a ⋅==，因为()3a b a λ+⊥ ，所以()30a b a λ+⋅=，所以230a a b λ+⋅=，所以320λ+=，故32λ=-，故答案为：32-.变式23．（2024·全国·模拟预测）向量()()1,,2,1m x n ==，且()n m n ⊥+ ，则实数x =_________．【答案】7-【解析】因为向量()()1,,2,1m x n == ，所以()3,1m n x +=+，又()n m n ⊥+ ，所以()0n m n ⋅+= ，得610x ++=，解得7x =-．故答案为：7-.变式24．（2024·全国·高三专题练习）非零向量(cos(),sin )a αββ=- ，(1,sin )b α= ，若a b ⊥，则tan tan αβ=______.【答案】12-/-0.5【解析】因为a b ⊥，所以()()cos ,sin a b αββ⋅=-⋅(1,sin )cos()sin sin ααβαβ=-+cos cos 2sin sin 0αβαβ=+=，由题易知π2α≠，π2β≠，所以sin sin sin sin 1tan tan cos cos 2sin sin 2αβαβαβαβαβ===--.故答案为：12-变式25．（2024·河南开封·校考模拟预测）已知向量()()2,3,4,5a b =-=-，若()a b b λ-⊥ ，则λ=________．【答案】4123-【解析】因为()2,3a =- ，()4,5b =- ，所以()()()2,34,524,35a b λλλλ-=---=--+，又()a b b λ-⊥ ，所以()()()2453504a b b λλλ-⋅-=--+= ，解得4123λ=-.故答案为：4123-变式26．（2024·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）已知向量a ，b不共线，()2,1a =r ，()a b a ⊥- ，写出一个符合条件的向量b的坐标：______.【答案】()1,3（答案不唯一）【解析】由题意得a = 20a b a ⋅-= ，则5a b ⋅= ，设(),b x y = ，得25x y +=，且2x y ≠，满足条件的向量b 的坐标可以为()1,3（答案不唯一或者1,42⎛⎫⎪⎝⎭）.故答案为：()1,3（答案不唯一）变式27．（2024·河南开封·统考三模）已知向量(,1)a m =-，(1,3)b = ，若()a b b -⊥ ，则m =______.【答案】13【解析】∵(,1)a m =- ，(1,3)b = ，(1,4)a b m -=--，又∵()a b b -⊥，∴()1120a b b m -⋅=--=，解得13m =.故答案为：13【解题方法总结】121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=题型六：建立坐标系解决向量问题例16．（2024·全国·高三专题练习）已知1||||||1,2a b c a b ===⋅=- ，(,R)c xa yb x y =+∈ ，则x y -的最小值为（）A ．2-B．3-C．D ．1-【答案】B【解析】设,a b 的夹角为θ，1a b == ，12a b ⋅=- ，1cos 2θ∴=-，[]0,πθ∈ ，π3=2θ∴，又1c = ，不妨设1=(1,0),=22a b ⎛ ⎝⎭-，，[)(cos ,sin ),0,2πc ααα=∈，=,22y c xa yb x y ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭，所以cos 2sin y x yαα⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即cos x y ααα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，ππcos sin cos()cos()3636x y αααα∴-=+=+，由[)0,2πα∈ππ13π+666α⎡⎫∴∈⎪⎢⎣⎭，，∴当π3π+=62α时，即4π=3α时，x y -有最小值故选：B例17．（2024·安徽合肥·合肥市第七中学校考三模）以边长为2的等边三角形ABC 每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成曲边三角形，已知P 为弧AC 上的一点，且π6PBC ∠=，则BP CP ⋅ 的值为（）A ．4B ．4C ．4-D ．4+【答案】C【解析】如图所示，以B 为坐标原点，直线BC 为x 轴，过点B 且垂直于BC 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则()0,0B ，()2,0C ，由π6PBC ∠=，得)P ，所以)BP = ，)2,1CP =，所以)2114BP CP ⋅=+⨯=-故选：C.例18．（2024·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考模拟预测）下图是北京2022年冬奥会会徽的图案，奥运五环的大小和间距如图所示．若圆半径均为12，相邻圆圆心水平路离为26，两排圆圆心垂直距离为11．设五个圆的圆心分别为1O 、2O 、3O 、4O 、5O ，则()414542O O O O O O ⋅+的值为（）A ．507-B ．386-C ．338-D ．242-【答案】B【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，做4O A x ⊥轴于A 点，所以411O A =，由已知可得()126,0O -，()413,11O --，()513,11O -，所以()4113,11O O =- ，()4526,0O O = ，()4213,11O O = ，所以()()()41454213,1139,11507121386O O O O O O ⋅+=-⋅=-+=-.故选：B.变式28．（2024·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）如图，在圆内接四边形ABCD中，120,1,2BAD AB AD AC ∠=︒===.若E 为CD 的中点，则EA EB ⋅的值为（）A ．-3B ．13-C ．32D ．3【答案】C【解析】连接BD ，由余弦定理知22211121132BD ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以BD =由正弦定理得2sin120BDAC ==︒，所以AC 为圆的直径，所以CD AD ⊥，所以CD =CD BD =，又18012060BCD ∠=︒-︒=︒，所以BCD △为等边三角形，以D 为原点，以DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系.则()31,0,,2A E B ⎛⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，31,,,02EA EB ⎛⎛⎫== ⎪ ⎝⎭⎝⎭所以EA EB ⋅=331,,022⎛⎛⎫⋅= ⎪ ⎝⎭⎝⎭.故选：C.变式29．（2024·安徽合肥·合肥市第八中学校考模拟预测）如图，已知ABC是面积为的等边三角形，四边形MNPQ 是面积为2的正方形，其各顶点均位于ABC 的内部及三边上，且恰好可在ABC 内任意旋转，则当0BQ CP ⋅= 时，2||BQ CP +=（）A ．2+B ．4+C ．3+D ．2+【答案】A【解析】因为ABC 是面积为记ABC 边长为a ，所以212a =解得a =，记ABC 内切圆的半径为r ，根据12S Cr =，可得：132r =⨯⨯，解得1r =，因为正方形MNPQ 的面积为2，所以正方形边长为记正方形MNPQ 外接圆半径为R ，所以其外接圆直径等于正方形的对角线2，即1R =，根据正方形的对称性和等边三角形的对称性可知.正方形外接圆即为等边三角形的内切圆，因为正方形MNPQ 可在ABC 内任意旋转，可知正方形MNPQ 各个顶点均在该ABC 的内切圆上，以ABC 的底边BC 为x 轴，以BC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系如图所示：故可知())(),,0,3B CA ，圆的方程为22(1)1y x +-=，故设()()ππcos ,1sin ,cos ,1sin ,0,2π22P Q ααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++∈⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即()()cos ,1sin ,sin ,1cos P Q αααα+-+，)()(()sin ,1cos cos sin 1cos sin 20BQ CP αααααα⋅=+⋅+=+-=，cos sin 1αα∴+==，22222||(cos sin )(2cos sin )(cos sin )1)BQ CP αααααα+=-+++=-+222(cos sin )1)2αα=-++=+故选:A.变式30．（2024·河南安阳·统考三模）已知正方形ABCD 的边长为1,O 为正方形的中心，E是AB 的中点，则DE DO ⋅=（）A ．14-B ．12C ．34D ．1【答案】C【解析】如图，以A 为坐标原点，,AB AD 所在直线为x 轴，y 轴，建立平面直角坐标系，则(0,1)D ，1(,0)2E ，11(,)22O ，所以1(,1)2DE =- ，11(,)22DO =- ，所以113424DE DO ⋅=+= 故选：C.【解题方法总结】边长为a 的等边三角形已知夹角的任意三角形正方形矩形平行四边形直角梯形等腰梯形圆建系必备（1）三角函数知识cos ,sin x r y r q q ==；（2）向量三点共线知识(1)OC OB OA l l =+-．设a ，b 是两个非零向量，它们的夹角是,e θ与b 是方向相同的单位向量，,AB a CD b == ，过AB 的起点A 和终点B ，分别作CD 所在直线的垂线，垂足分别为11,A B ，得到11A B ，我们称上述变换为向量a 向向量b 投影，11A B 叫做向量a在向量b 上的投影向量．记为||cos a e θ．题型七：平面向量的实际应用例19．（2024·江西宜春·高三校考阶段练习）一质点受到同一平面上的三个力1F ，2F ，3F （单位：牛顿）的作用而处于平衡状态，已知1F ，2F 成120°角，且1F ，2F 的大小都为6牛顿，则3F 的大小为______牛顿.【答案】6【解析】设三个力1F ，2F ，3F 分别对于的向量为：,,a b c则由题知++=0a b c 所以(+)c a b =-所以(+)c a b =- 又1=6,=6,cos12066()182a b a b a b ==⨯⨯-=-所以6c =所以3F 的大小为：6故答案为：6例20．（2024·内蒙古赤峰·统考三模）如图所示，把一个物体放在倾斜角为30 的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力G，垂直斜面向上的弹力1F ，沿着斜面向上的摩擦力2F .已知：1160N F G == ，则2F的大小为___________.【答案】80N【解析】由题设，21||||cos60160802F G =︒=⨯= N ，故答案为：80N.例21．（2024·全国·高三专题练习）如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态.已知两条绳上的拉力分别是1F ，2F ，且1F ，2F与水平夹角均为45︒，12F F == ，则物体的重力大小为___________N .【答案】8【解析】设1F ，2F 的合力为F，则12F F F =+ ，∵1F ，2F 的夹角为90︒，∴()22221212122323264F F F F F F F =+=++⋅=+=，∴8F =，∵物体平衡状态.∴物体的重力大小为||G=8.故答案为：8.变式31．（2024·全国·高三专题练习）两同学合提一捆书，提起后书保持静止，如图所示，则1F 与2F 大小之比为___________．【答案】62【解析】物体处于平衡状态，所以水平方向的合力为0所以12cos 45cos30F F ︒=︒ ，所以123cos3062cos 45222F F ︒===︒故答案为：62变式32．（2024·浙江·高三专题练习）一条渔船距对岸4km ，以2/km h 的速度向垂直于对岸的方向划去，到达对岸时，船的实际行程为8km ，则河水的流速是________/km h ．【答案】23【解析】如图，用t v表示河水的流速，2v 表示船的速度，则12v v v =+为船的实际航行速度．由图知，4OA = ，8OB = ，则60AOB ∠= ．又22v =，所以12tan 602v v ===即河水的流速是/km h ．故答案为：【解题方法总结】用向量方法解决实际问题的步骤。

合用文档第 100 炼 利用同构特点解决问题一、基础知识：1、同构式：是指除了变量不同样，其余地方均同样的表达式2、同构式的应用：（1）在方程中的应用：若是方程f a 0 和 f b 0 表现同构特点，则 a,b 可视为方程f x 0的两个根（ 2）在不等式中的应用：若是不等式的两侧表现同构特点，则可将同样的构造构造为一个函数，进而和函数的单调性找到联系。

可比较大小或解不等式（3）在解析几何中的应用： 若是 A x 1, y 1 ,B x 2 , y 2 满足的方程为同构式， 则 A,B 为方程 所表示曲线上的两点。

特其余，若满足的方程是直线方程，则该方程即为直线 AB 的方程（ 4）在数列中的应用：可将递推公式变形为“依序同构”的特点，即关于a n ,n 与a n 1, n 1 的同构式，进而将同构式设为辅助数列便于求解二、典型例题：x 1 例 1：（ 2015 天津十二校联考） 设 x, y R ，满足y1（）552 x sin x1 3，则 x y2 y sin y11A.B.2C.4D. 6思 路 ： 本 题 研 究 对 象 并 非 x, y ， 而 是 x 1 , y1，进而可变形为x15 x1 sin x1 125，观察上下式子左边构造同样，进而可将同样的构造y 1 y 1 sin y112视为一个函数， 而等式右边两个结果互为相反数， 可联想到函数的奇偶性， 进而利用函数性质求解5x 1 解：5y 12x sin x1 3 x 15x 1 sin x 1 12 2 y sin y 11y 1 5y1 sin y112设 f tt 5 2t sin t ，可得 ft 为奇函数，由题意可得：f x 11 f y 1f y 1f x 11x 1y 1x y2答案： B例 2：若函数 fxx 1 m 在区间 a,b 上的值域为a ,b b a 1 ，则实数 m 的2 2取值范围是 _____________a 1 maa, f b思路：注意到f x 是增函数，进而获取f ab，即2，发现22b 1 mb2两个式子为 a,b 的同构式， 进而将同构式视为一个方程，而 a,b 为该方程的两个根， m 的取值只需要保证方程有两根即可解：f x 为增函数a1 aa mf ab2 , f bb221b m2a, b 为方程 x 1 mx 在 1,上的两个根，即 mx x 1 有两个不同样的根2 2令 tx 1 t 0xt 2 1所以方程变形为：m 1 t21 t1 t2 2t 1 ，结合图像可得：m0,1222答案： m0,12例 3：设 a,b ? R ，则 | “ a > b ”是“ a a > b b ”的（ ）A. 充分不用要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充要又不用要条件思路：观察 a a > b b 可发现其同构的特点，所以将这种构造设为函数f xx x ，解析f xx xx 2 , xf x a > b ? f ( a )f( )其单调性。

第33专题训练 向量的模长问题——代数法一、基础知识:利用代数方法处理向量的模长问题,主要采取模长平方——数量积和坐标两种方式 1、模长平方:通过22cos0a a a a =⋅=可得:22a a =,将模长问题转化为数量积问题,从而能够与条件中的已知向量(已知模长,夹角的基向量)找到联系。

要注意计算完向量数量积后别忘记开方2、坐标运算:若(),a x y =,则2a x =+,则只要确定所求向量的坐标,即可求出(或表示)出模长3、有关模长的不等问题:通常考虑利用“模长平方”或“坐标化”得到模长与某个变量间的函数关系,从而将问题转化为求函数最值问题 二、典型例题例1:在ABC 中,O 为BC 中点,若1,3,60AB AC A ==∠=,则OA = _____ 思路:题目条件有1,3,60AB AC A ==∠=,进而AB AC ⋅可求,且OA 可用,AB AC 表示,所以考虑模长平方转化为数量积问题解:O 为BC 中点 ∴可得:()12AO AB AC =+ ()()2222211224AO AO AB AC AB AB AC AC ⎡⎤∴==+=+⋅+⎢⎥⎣⎦3cos 2AB AC AB AC A ⋅=⋅=代入可求出:213=4AO 13AO ∴= 答案 例2:若,,a b c 均为单位向量,且()()0,0a b ac b c ⋅=-⋅-≤,则a b c +-的最大值为( ) 1B.1 D. 2思路:题目中所给条件与模和数量积相关,几何特征较少,所以考虑将a b c +-平方,转化为数B量积问题,再求最值。

解:()()200a c b c a b b c a c c -⋅-≤⇒⋅-⋅-⋅+≤ ①0,1a b c ⋅== ∴①转化为101b c a c b c a c -⋅-⋅+≤⇒⋅+⋅≥()22222222a b c a b ca b c a b a c b c ∴+-=+-=+++⋅-⋅-⋅()1112321b c a c =++-⋅+⋅≤-=1a b c ∴+-≤答案:B例3:平面上的向量,MA MB 满足24MA MB +=,且0MA MB ⋅=,若1233MC MA MB =+,则MC 的最小值为___________思路:发现所给条件均与,MA MB 相关,且MC 可以用,MA MB 表示,所以考虑MC 进行模长平方,然后转化为,MA MB 的运算。