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对数的运算法则及公式例题
对数的运算法则主要包括以下几个方面：
1. 对数的乘法法则：
logₐ(MN) = logₐM + logₐN
2. 对数的除法法则：
logₐ(M/N) = logₐM - logₐN
3. 对数的幂法法则：
logₐMᵇ= b * logₐM
4. 对数的换底法则：
logₐM = logᵦM / logᵦa
公式例题：
1. 求log₃(9)的值。
解：根据对数的定义，3的多少次方等于9，很明显3的2次方等于9，即log₃(9) = 2。
2. 求log₄(16)的值。
解：同样根据对数的定义，4的多少次方等于16，显然4的2次方等于16，因此log₄(16) = 2。
3. 求log₂(8)的值。
解：根据对数的定义，2的多少次方等于8，很明显2的3次方等于8，即log₂(8) = 3。
4. 求log₈(2)的值。
解：根据对数的定义，8的多少次方等于2，很明显8的-1次方等于2，因此log₈(2) = -1。
5. 求log₅(25)的值。
解：根据对数的定义，5的多少次方等于25，很明显5的2次方等于25，因此log₅(25) = 2。
对数函数的运算法则对数函数是数学中的重要概念，广泛应用于各个领域，具有许多重要的运算法则。
在本文中，将详细介绍对数函数的运算法则，包括对数的乘法法则、对数的除法法则、对数的幂法法则以及对数的换底法则。
1.对数的乘法法则：对数的乘法法则是指，在相同底数下，两个数的对数的和等于这两个数的乘积的对数。
具体表达式为：log_a(x * y) = log_a(x) + log_a(y)。
例如，log_2(4 * 8) = log_2(4) + log_2(8) = 2 + 3 = 52.对数的除法法则：对数的除法法则是指，在相同底数下，两个数的对数的差等于这两个数的商的对数。
具体表达式为：log_a(x / y) = log_a(x) - log_a(y)。
例如，log_2(16 / 4) = log_2(16) - log_2(4) = 4 - 2 = 23.对数的幂法法则：对数的幂法法则是指，在相同底数下，一个数的对数与这个数的幂之间存在关系。
具体表达式为：log_a(x^b) = b * log_a(x)。
例如，log_3(4^2) = 2 * log_3(4)。
4.对数的换底法则：对数的换底法则是指，可以通过换底公式将一个底数为a的对数转化为底数为b的对数。
具体表达式为：log_a(x) = log_b(x) / log_b(a)。
例如，log_2(16) = log_10(16) / log_10(2)。
通过运用以上的对数函数的运算法则，可以简化对数函数的运算和求解过程。
对数函数的运算法则在数学的各个领域中都有广泛的应用，特别是在解决指数增长、复利计算、数据压缩等问题中具有重要作用。
此外，还有一些其他的对数函数的运算法则值得注意，包括：- 对数的对数法则：log_a(log_a(x)) = 1，即对数的反函数是指数函数。
-对数函数的性质：对数函数的图像为一条增长缓慢的曲线，且在定义域内满足单调性和有界性。
对数的运算法则的推导过程嘿，朋友们！今天咱们来聊聊对数的运算法则，这可真是个有趣又有点小复杂的玩意儿。
咱们先从对数的定义说起。
假设 a 的 b 次方等于 N（a＞0 且a≠1），那么 b 就叫做以 a 为底 N 的对数，记作logₐN。
这就好比我们有一堆苹果，a 是每次装苹果的篮子的大小，b 是装的次数，N 就是苹果的总数。
那这和运算法则有啥关系呢？咱来看看乘法的对数运算。
logₐ(MN)，这就好比是两个篮子装苹果，一个能装 M 个，一个能装 N 个，那合起来的次数不就是分别装的次数相加嘛！你说是不是这个理儿？再说说除法的对数运算，logₐ(M/N)，这就好像把两个装了不同数量苹果的篮子，大篮子 M 个苹果，小篮子 N 个苹果，把大篮子里的苹果减去小篮子里的苹果，那装的次数不就是大篮子装的次数减去小篮子装的次数嘛！还有那个幂的对数运算，logₐMⁿ，这就好比装苹果的次数翻了n 倍，那总的苹果数量不也就跟着变化了嘛，装的次数自然就是原来的 n 倍啦！咱们来实际推导一下乘法的对数运算。
设logₐM = p，logₐN = q，那就是 a 的 p 次方等于 M，a 的 q 次方等于 N。
所以 MN 就等于 a 的 p 次方乘以 a 的 q 次方，也就是 a 的（p + q）次方。
那logₐ(MN)不就等于 p + q 嘛，也就是logₐM + logₐN。
这不就推导出来啦！除法的对数运算也类似。
还是设logₐM = p，logₐN = q，M 除以 N就等于 a 的 p 次方除以 a 的 q 次方，也就是 a 的（p - q）次方。
那logₐ(M/N)不就等于 p - q 嘛，也就是logₐM - logₐN。
幂的对数运算呢，设 l ogₐM = p，那 M 等于 a 的 p 次方。
M 的 n 次方就是（a 的 p 次方）的 n 次方，等于 a 的（pn）次方。
所以logₐMⁿ不就等于 pn 嘛，也就是n logₐM 。
对数的运算法则及公式是什么在数学中，对数是指一个数以另一个数为底的指数。
对数的运算法则和公式是数学中对数运算的基本准则和表达方式。
本文将重点介绍对数的运算法则及公式。
一、对数的定义和符号对数是指数的逆运算，主要用于求指数运算的未知数。
以底数为a，对数为n的运算表达为：a^n = x，其中n为指数，a为底数，x为真数。
对数的符号为log。
例如，对于底数为2的对数运算：2^3 = 8，可以表示为log2(8)=3。
其中，2为底数，3为指数，8为真数。
二、对数运算法则1. 对数的基本运算法则(1) 乘法法则：loga(M*N) = loga(M) + loga(N)。
(2) 除法法则：loga(M/N) = loga(M) - loga(N)。
(3) 幂运算法则：loga(M^k) = k*loga(M)。
(4) 开方法则：loga√M = 1/2 * loga(M)。
2. 对数换底公式对数换底公式是指当底数不同时，如何在不同底数之间进行换算。
常用的对数换底公式有以下两种形式：(1) loga(M) = logc(M) / logc(a)，其中c为任意常数。
(2) loga(M) = ln(M) / ln(a)，其中ln表示自然对数。
三、对数公式1. 对数幂的对数公式对数幂的对数公式是指对数运算中底数为幂的情况，常用的对数幂的对数公式有以下两种形式：(1) loga(a^k) = k，其中k为任意常数。
(2) loga(1) = 0。
2. 对数的乘法公式对数的乘法公式是指对数运算中底数相同，真数相乘的情况。
常用的对数的乘法公式有以下两种形式：(1) loga(M*N) = loga(M) + loga(N)。
(2) loga(a) = 1。
3. 对数的除法公式对数的除法公式是指对数运算中底数相同，真数相除的情况。
常用的对数的除法公式有以下两种形式：(1) loga(M/N) = loga(M) - loga(N)。
对数的运算法则及公式对数是数学中的一个重要概念，它在科学计算、工程技术、经济金融等领域中都有广泛的应用。
对数的运算法则能够帮助我们简化计算并解决一些复杂的问题。
在本文中，我们将讨论对数的运算法则及公式，包括基本法则和常用公式。
一、对数的基本法则1.对数的定义对任意正数a和正数b，以a为底，b为真数的对数记作loga b，其中a被称为底数，b被称为真数。
公式的意义是以a为底，对数值得到b。
例如，如果2^3 = 8，那么log2 8 = 32.对数的换底公式对数的换底公式是loga b = logc b / logc a，其中a、b、c为正数，且a、b不等于1、这个公式可以用来将对数的底数从一个常用的底数转换为另一个常用的底数。
例如，要计算log2 16，可以使用换底公式将其转换为log10 16 / log10 23.对数的乘法法则对数的乘法法则是loga (b * c) = loga b + loga c，其中a、b、c为正数，且a、b不等于1、这个法则说明，对数中的乘法可以转换为对数的加法。
4.对数的除法法则对数的除法法则是loga (b / c) = loga b - loga c，其中a、b、c为正数，且a、b不等于1、这个法则说明，对数中的除法可以转换为对数的减法。
5.对数的幂法法则对数的幂法法则是loga (bn) = n * loga b，其中a、b为正数，且a、b不等于1，n为任意实数。
这个法则说明，对数中的幂运算可以转换为对数的乘法。
6.对数的倒数法则对数的倒数法则是loga (1/b) = -loga b，其中a、b为正数，且a、b不等于1、这个法则说明，对数中的倒数可以转换为对数的相反数。
7.对数的幂运算法则对数的幂运算法则是a^loga x = x，其中a、x为正数，且a不等于1、这个法则说明，一个数的对数值乘以底数的指数幂等于这个数本身。
二、常用的对数公式1.常用对数公式常用对数公式是以10为底的对数函数，记作lg x。
对数的换底公式及其推论一、复习引入：对数的运算法则如果 a > 0，a 丰 1，M > 0， N > 0 有:log a (MN) Jog a M gN ⑴ 蛰lo (2)log.M n 二 nlog a M(n R) (3)、新授内容: 1•对数换底公式:证明：设 log a N = x ，贝U a x= N -两边取以m 为底的对数：log m a x= log m N = x log m a = log m N2•两个常用的推论① log a b log b a =1 , logblogcloga" * ②log a mb " = ^log a b ( a, b > 0 且均不为 1)・m证：① log a b log b a == 1 亠 lga lg b三、讲解范例:lOg a Nlog m N log m a(a > 0 ,a 丰 1 ， m > 0 ,m 丰 1,N>0) *从而得: log m N x =log m alog a Nlog m N log m a② log a m b n_ lgb n = nig b lga mmlga弋log ab例 1 已知 log 2 3 = a , log 3 7 = b, 用 a, b 表示 log 42 56 解：因为log 2 3 = a ，则1log 3 2 , 又/log 3 7 =b,a •'•log 42 56log 3 56 log 342 log 3 7 3 log 3 2 log 3 7 log 32 1ab 3 ab b 1例2计算：①51-log。
/log 4 3 log 9 2 - log 1 4322解: ①原式55叫.23 5r log5-5 34=153 ②原式=~log 232log 32x, y,z (0,::)且3x=4y=111求证+ ：；2x 2y z例3设 1 =6z =k =4y 1 :设 3x 6z十彳log 2 2比较3x,4y,6z 的大小-证明 •/x, y, z (0, ::) /.k 1 取对数得:yJ gkz=3 lg4lg6••丄丄 x 2y _ lg3 . lg4 _lgk 2lgk 2lg3 lg4 2lgk 2lg3 2lg22lgklg6 lgk3 23—(浜—)lgk 二 lg4 lg6^lg81lgk lg3lg464 lg klg -81::: 0 lg3lg4•'•3x ：： 4y又：4y-6z=(二lg4 lg6 lg k lg -96、「 lg36 -lg64 16小)lg klg k16：： 0lg2lg6lg2lg6•'4y ::: 6z•'•3x ::: 4y ::: 6z .例 4 已知 log a x= log a C+b ，求 x.分析：由于x 作为真数，故可直接利用对数定义求解；另外，由于等式右端为两实数和的形式，b 的存在使变形产生困难，故可考虑将 log a C 移到等式左端,或者将b 变为对数形式• 解法由对数定义可知： 乂二才叫小口吋a b=c a b. 解法二：x由已知移项可得log a x-log a c =b ，即log a b cx b b由对数定义知：a • x 二c a •c解法三：b=log a a b log a x = log a c Tog a a b = log a c a b . x=ca b四、课堂练习:①已知 log 18 9 = a , 18 = 5 ,用 a, b 表小 log 36 45解：••• 18 log 18 9 = a /.log 18 —1 -log 18 •log 182 = 1 _a••• 18b= 5 • log 185 = bl o g 8 9 l o g 8 5 a b 1 l o g 8 2 2 - a②若 log 8 3 = p , log 3 5 = q ,求 lg 5log 36 45log i8 45 log i8 36三、小结 本节课学习了以下内容：换底公式及其推论 四、课后作业：1 .证明：log ax =1 log ablog ab x证法 1:设 log a X 二 p , log ab X 二 q , log a b 二 r贝U ： x=a px=(ab)q=a q b qb=a r•a P= (ab)q = aq(1 r)从而 p = q(1 ■ r)•••q=0 •- =1 r 即:log a x= 1 log a b (获证) q log ab xlog a x log x ab 证法2:由换底公式 左边=- - log a ab = 1 log a b =右边 log ab x log x a2•已知 lo g a ! b 1 = lo g a 2 b2 = = log a n bn ='求证：Sg a^ a n (b 1b2bn)二，证明：由换底公式 业二眶二•…二皿二■由等比定理得:lg a 1 lg a 2lg a .lg d +lg b 2 + …+lgb n _ ? . lg(db2…b n )lga 1 lga 2 lg a nlg(a£2 a n )•log a 1a 2 a n 隔b n )巒解：T log 8 3 = p•」og 23 3= P =■ log 2 3 = 3 p =• log 3 21 3p又 v log 3 5 二 qlog 3 5 log 3 5log 310 log 3 2 log 353pq 1 3pqlg(a1a2 a n)THANKS !!! 致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习打造全网一站式需求欢迎您的下载，资料仅供参考。
对数函数的运算法则及公式对数函数是数学中常见的一种函数类型，它在许多领域中都有着重要的应用。
本文将介绍对数函数的运算法则及公式，以及其在实际问题中的应用。
一、对数函数的定义对数函数是指以某个正数为底数的幂函数的反函数，即函数f(x) = loga(x)，其中a为正数且a≠1，x为正实数。
对数函数的定义域为正实数集合，值域为实数集合。
二、对数函数的运算法则1. 对数函数的乘法法则loga(MN) = logaM + logaN这个法则表明，两个数的乘积的对数等于这两个数的对数之和。
例如，log10(1000) = log10(10×10×10) = log1010 + log1010 + log1010 = 3。
2. 对数函数的除法法则loga(M/N) = logaM - logaN这个法则表明，两个数的商的对数等于这两个数的对数之差。
例如，log10(100/10) = log10(100) - log10(10) = 2 - 1 = 1。
3. 对数函数的幂次法则loga(Mp) = plogaM这个法则表明，一个数的幂的对数等于该数的对数乘以这个幂。
例如，log10(1000²) = 2log101000 = 6。
4. 对数函数的换底公式logaM = logbM / logba这个公式表明，一个数在不同底数下的对数之间存在一个比例关系。
例如，log10(1000) = log2(1000) / log210 = 3log22/ log210 = 3/ log210。
三、对数函数的公式1. 常用对数函数常用对数函数是以10为底数的对数函数，记作log(x)。
它的定义域为正实数集合，值域为实数集合。
2. 自然对数函数自然对数函数是以e为底数的对数函数，记作ln(x)。
它的定义域为正实数集合，值域为实数集合。
3. 对数函数的反函数对数函数的反函数是指底数为a的指数函数，记作f(x) = a^x。
对数运算法则及推论一、对数运算法则：1. 对数乘法法则：logb(xy) = logb(x) + logb(y)这个法则表明，两个数的乘积的对数等于这两个数的对数之和。
可以通过将乘积拆分为两个因子的方法来证明这个法则。
2. 对数除法法则：logb(x/y) = logb(x) - logb(y)这个法则表明，两个数的商的对数等于这两个数的对数之差。
在这个法则中可以应用对数乘法法则。
3. 对数幂法则：logb(x^r) = r * logb(x)这个法则表明，一个数的幂的对数等于该幂乘以这个数的对数。
也可以通过将幂转化为乘积的形式来证明这个法则。
4. 对数底换底法则：logb(x) = logc(x) / logc(b)这个法则可以用来将一个底为c的对数转化为底为b的对数。
通过这个法则可以将一个底为c的对数转化为自然对数或者以10为底的对数。
5. 对数的加法法则：logb(x + y) ≠ logb(x) + logb(y)对数的加法法则是错误的。
对数的加法法则只适用于两者没有相乘关系的情况，且不能直接将两个对数相加。
二、对数运算推论：1.对数运算与指数运算的关系：通过对数运算法则可以得到指数运算与对数运算的关系。
对于任意实数a和b，如果a^x = b，那么x=loga(b)。
2.对数的换底公式：通过对数底换底法则可以推导出对数的换底公式。
对于任意实数a、b和c，有loga(b) = logc(b) / logc(a)。
3.对数运算与幂运算的关系：幂运算可以看作对数运算的逆运算。
也就是说，对于任意实数a和b，如果loga(b) = c，那么a^c = b。
4.对数的倒数和负数：对于任意实数a和b，如果loga(b) = c，那么logb(a) = 1/c。
而如果a=a，则loga(1/a) = -1，loga(a^(-c)) = -c。
5.对数的幂等性：对于任意实数a和b，如果loga(a) = b，那么a^b = a。
对数与对数运算教学目标1、 理解对数的概念；能够说明对数与指数的关系；2、 掌握对数式与指数式的相互转化，并能运用指对互化关系研究一些问题.知识梳理一、对数的定义一般地，如果 ()1,0≠>a a a 的b 次幂等于N , 就是 N a b=，那么数 b 叫做 以a 为底 N 的对数，记作 b N a =log ，a 叫做对数的底数，N 叫做真数。
特别提醒： 1、对数记号log a N 只有在01a a ≠且>，0N >时才有意义，就是说负数和零是没有对数的。
2、记忆两个关系式：①log 10a =；②log 1a a =。
3、常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数。
为了简便, N 的常用对数N 10log ， 简记作：lg N 。
例如：10log 5简记作lg 5 5.3log 10简记作lg 3.5。
4、自然对数：在科学技术中常常使用以无理数e 为底的对数，以e 为底的对数叫自然对数。
为了简便，N 的自然对数N e log ，简记作：ln N 。
如：3log e 简记作ln 3；10log e 简记作ln10。
二、对数运算性质：如果 0,1,0,0,a a M N n R ≠∈>>> 有：log ()log log a a a MN M N =+log log log a a a MM N N=- log log () n a a M n M n R =∈特别提醒：1、对于上面的每一条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数记号都有意义时，等式才成立。
如[]2log (3)(5)--是存在的，但[]222log (3)(5)log (3)log (5)--=-+-是不成立的。
2、注意上述公式的逆向运用：如lg5lg 2lg101+==；三、对数的换底公式及推论： 对数换底公式：()log log 0,1,0,1,0log m a m NN a a m m N a=≠≠>>>两个常用的推论:（1）1log log =⋅a b b a（2）1log log log =⋅⋅a c b c b a四、两个常用的恒等式：N a N a =log ，log log m n a a nb b m=()0,1,0,0a a b N ≠>>>例题讲解类型一 指数式与对数式的相互转化例1：将下列指数式与对数式进行互化．(1)3x＝127；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫14x＝64； (3)5－12 ＝15；(4)4＝4；(5)lg0.001＝－3; (6)11)＝－1.解析：(1)log 3127＝x .(2) log 14 64＝x .(3)log 515＝－12.(4)(2)4＝4. (5)10－3＝0.001. (6)(2－1)－1＝2＋1.答案：见解析练习1：将下列指数式与对数式进行互化． (1)e 0＝1；(2)(2＋3)－1＝2－3； (3)log 327＝3； (4)log 0.10.001＝3.答案：(1)ln1＝0.(2)2log -＝－1.(3)33＝27.(4)0.13＝0.001.练习2：将下列对数式与指数式进行互化．(1)2－4＝116；(2)53＝125；(3)lg a ＝2；(4)log 232＝5.答案：(1)log 2116＝－4.(2)log 5125＝3. (3)102＝a . (4)25＝32.类型二 对数基本性质的应用 例2：求下列各式中x 的值．(1)log 2(log 5x )＝0； (2)log 3(lg x )＝1； 解析：(1)∵log 2(log 5x )＝0， ∴log 5x ＝1，∴x ＝5.(2)∵log 3(lg x )＝1，∴lg x ＝3，∴x ＝103＝1 000.答案：（1）x ＝5.（2） x ＝1 000.练习1：已知log 2(log 3(log 4x ))＝log 3(log 4(log 2y ))＝0，求x ＋y 的值． 答案：80练习2：已知4a＝2，lg x ＝a ，则x ＝______. 答案：10类型三 对数的运算法则例3：计算(1)log a 2＋log a 12(a >0且a ≠1)；(2)log 318－log 32； (3)2log 510＋log 50.25；解析：(1)log a 2＋log a 12＝log a (2×12)＝log a 1＝0.(2)log 318－log 32＝log 3(18÷2)＝log 39＝2. (3)2log 510＋log 50.25＝log 5100＋log 50.25 ＝log 5(100×0.25)＝log 525＝2. 答案: （1）0（2）2（3）2练习1：计算log 535＋2log 22－log 5150－log 514的值．答案:4练习2：计算：2log 510＋log 50.25的值为________． 答案：2类型四 带有附加条件的对数式的运算例4：lg2＝a ，lg3＝b ，试用a 、b 表示lg108，lg 1825.解析：lg108＝lg(27×4)＝lg(33×22)＝lg33＋lg22＝3lg3＋2lg2＝2a ＋3b .lg 1825＝lg18－lg25＝lg(2×32)－lg 10222＝lg2＋lg32－lg102＋lg22＝lg2＋2lg3－2＋2lg2＝3a ＋2b －2.答案：3a ＋2b －2.练习1：已知lg2＝0.3010，lg3＝0.4771，求lg 45.答案：0.8266练习2：若lg x －lg y ＝a ，则lg(x2)3－lg(y2)3等于( )A ．a2B ．aC ．3a2D ．3a答案:D类型五 应用换底公式求值例5: 计算：lg 12－lg 58＋lg12.5－log 89·log 278.解析：lg 12－lg 58＋lg12.5－log 89·log 278＝lg 12－lg 58＋lg 252－lg9lg8·lg8lg27＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×85×252－2lg33lg3＝1－23＝13. 答案：13练习1:计算(log 2125＋log 425＋log 85)·(log 52＋log 254＋log1258)．答案：13练习2:log 89·log 32的值为( ) A ．23 B ．1C ．32D ．2答案：A类型六 应用换底公式化简例6: 已知log 89＝a ，log 25＝b ，用a 、b 表示lg3. 解析：∵log 89＝lg9lg8＝2lg33lg2＝a ，①又∵log 25＝lg5lg2＝1－lg2lg2＝b ，②由①②消去lg2可得：lg3＝3a21＋b .答案：lg3＝3a21＋b.练习1: 已知log 23＝a ，log 37＝b ，则log 1456＝( ) A ．ab ＋3ab ＋1B ．a b ＋3ab ＋1C ．b ＋3ab ＋1D ．ab －3ab ＋1答案：A练习2: 已知log 72＝p ，log 75＝q ，则lg5用p 、q 表示为( ) A ．pq B ．qp ＋qC ．1＋pq p ＋qD ．pq1＋pq答案：B自我练习1、使对数log a (－2a ＋1)有意义的a 的取值范围为( ) A ．0＜a ＜12且a ≠1B ．0＜a ＜12C ．a ＞0且a ≠1D ．a ＜12答案： B2、已知x 、y 为正实数，则下列各式正确的是( )A ．2lg x ＋lg y 2＝2lg x ＋2lg yB ．2lg(x ＋y )＝2lg x ·2lg yC ．2(lg x ·lg y )＝2lg x ＋2lg yD ．2lg(xy )＝2lg x ·2lg y答案：A3、若lg2＝a ，lg3＝b ，则lg12lg15等于( )A ．2a ＋b 1－a ＋bB ．2a ＋b1＋a ＋bC ．a ＋2b 1－a ＋bD ．a ＋2b 1＋a ＋b答案：A 4、．log 52·log 425等于( ) A ．－1 B ．12C ．1D ．2答案：C5、化简log 1a b －log a 1b 的值为( )A ．0B ．1C ．2log a bD ．－2log a b答案:A课后作业基础巩固1．已知log 7[log 3(log 2x )]＝0，那么x －12等于( )A ．13B ．123C ．122D ．133答案：C2．若f (10x )＝x ，则f (3)的值为( ) A ．log 310 B ．lg3 C ．103 D ．310答案：B3．如果lg x ＝lg a ＋3lg b －5lg c ，那么( ) A ．x ＝a ＋3b －cB ．x ＝3ab5cC ．x ＝ab 3c 5D ．x ＝a ＋b 3－c 3答案：C4．方程2log 3x ＝14的解是( )A ．33B ．3C ．19D ．9答案：C 5．e ln3－e －ln2等于( )A ．1B ．2C ．52D ．3答案: C能力提升6．若log (1－x )(1＋x )2＝1，则x ＝________. 答案：-37．若log x (2＋3)＝－1，则x ＝________. 答案：2－38．已知log 32＝a ，则2log 36＋log 30.5＝________. 答案：2＋a9. (1)设log a 2＝m ，log a 3＝n ，求a 2m＋n的值；(2)设x ＝log 23，求22x ＋2－2x ＋22x ＋2－x 的值． 答案：(1)12.(2)103. 10. 已知log a x ＋3log x a －log x y ＝3(a ＞1)． (1)若设x ＝a t ，试用a 、t 表示y ；(2)若当0＜t ≤2时，y 有最小值8，求a 和x 的值． 答案：(1)y ＝at 2－3t ＋3(t ≠0)． (2)a ＝16，x ＝64.。
对数及其运算知识图谱对数及其运算知识精讲一.对数的定义在指数函数(0,1)x y a a a =>≠且中，对于实数集R 内的每一个值x ，在正实数集内部都有唯一确定的y 和它对应；反之，对于正实数集内的每一个确定的值y ，在R 内部有唯一确定的x 和它对应，幂指数x ，又叫做以a 为底y 的对数．一般的，对于指数式b a N =，我们把“以a 为底N 的对数b ”，记作log a N ，即()log 01a b N a a =>≠且.其中，数a 叫做对数的底数，N 叫做真数，读作“b 等于以a 为底N 的对数”．二．对数的性质对数()log 01a N a a >≠且有以下性质：1.负数和0没有对数，即0N >；2.1的对数等于0，即log 1=0a ()01a a >≠且；3.底数的对数等于1，即log =1a a ()01a a >≠且三．对数恒等式1.对数恒等式()log 01x a a x a a =>≠且()log =01,0a N a N a a N >≠>且2.指数式与对数式的互化根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系.即，当01a a >≠且时，log x a a N x N =⇔=.三．常用对数与自然对数1.常用对数以10为底的对数叫做常用对数.为了简便，通常把底10略去不写，并把“log ”写成“lg ”，即把10log N 记作lg N .2.自然对数以常数e 为底的对数叫做自然对数，简记作ln N ，e 是无理数， 2.71828e ≈.四.对数的运算法则已知log a M ，log a N （00M N >>，），设log =,log a a M p N q =，则=,p qM a N a =则有：1.积的对数：()log log log a a a MN M N =+()01a a >≠且．证明：=p q p q MN a a a += ()log log log a a a MN p q M N∴=+=+2.商的对数：log log log a a a M M N N=-()01a a >≠且．证明：pp q q M a a N a-== log =log -log a a M p q M N N ∴=-3.幂的对数：log log n a a M n M =．（00M N >>，，0a >，1a ≠）证明：()=log log nn p pn n a a M a a M np n M=∴== 五．对数换底公式及其推论1.换底公式log log log b a b N N a=( 0 , 1a a >≠；0,1m m >≠)证明：设log a N x =，则x a N =，两边取以a 为底的对数，得log log x b b a N =，即log log b b x a N =，所以log log b b N x a=，即log log log b a b N N a=2.常用推论（1）log log 1a b b a ⋅=（,0a b >且均不为1）log log log 1a b c b c a ⋅⋅=（,,0a b c >且均不为1）（2）log log m m a a b b =（,0a b >且均不为1）log log m n a a n b b m=（,0a b >且均不为1）1log log 1n m N N N a a a m n n m==log c b () 0 , 1a a >≠．（3）log log log log a a b b m n n m ⋅=⋅（,0a b >且均不为1，,0m n >）（4）log log c c b a a b =()0 c 1,,0c a b >≠>且三点剖析一.注意事项对数log (0,1)a y N a a =>≠且，定义中规定0a >且1a ≠的原因：1.若0a <且y 为某些数值时，x 不存在，如方程(2)3x -=没有实数解，所以2log 3-不存在，因此规定a 不能小于0.2.若0a =，且0y ≠时，log a y 不存在；0y =时，log 0a 有无数个值，不能确定，因此规定0a ≠；3.若1a =，且y 不为1时，x 不存在；1log 2不存在；而1a =且1y =时，x 可以为任何实数，不能确定，因此规定0a ≠．一.方法点拨1.对数式的化简与求值（1）同底数的对数式的化简、求值①一是“拆”，将积、商的对数拆成对数的和差.如3333339log log 5log 9log 5log 5log 925+=-+==②二是“合”，将同底的对数和、差合成积、商的对数.如333399log log 5log 5log 9255⎛⎫+=⨯== ⎪⎝⎭③三是“拆”与“合”结合（2）不同底数的对数式的化简、求值常用方法①先分别换底，化简后将底数统一，再计算.如22232323log 9log 4log 3log 2=2log 32log 2=4=⋅⋅ ②统一将不同底的对数换为常用对数，在进行化简、求值如23lg9lg 42lg32lg 2log 9log 44lg 2lg3lg 2lg3=⋅=⋅= 2.利用已知对数表示其他对数用对数log a x 和log b x 等表示其他对数时，解决此类问题，通常用到对数的运算法则和换底公式：①首先，观察a b 、和所要表示的对数底数的关系；②利用换底公式所要表示的对数底数换为a b 、.如：已知18log 9=,185b a =，求36log 45.()()1818181836181818log 59log 5log 9185log 5,log 45log 218log 2log 182b a b b a⨯++=∴=∴===⨯+- ，对数及指对互化例题1、552100.252log log --+=（）A.0B.-1C.-2D.-4例题2、下列计算正确的是（）A.（a 3）2＝a 9B.log 26－log 23＝1C.11220a a -= D.log 3（－4）2＝2log 3（－4）例题3、1（）11120lg9lg 2322170.027()(2)(1)10079π--+--+--+；2（）已知2log 3a =，3log 7b =，试用,a b 表示14log 56．例题4、1（）已知3log 21x = ，求42x x -+的值；2（）化简求值：2log 53948(log 2log 2)(log 3log 3)2+++．随练1、已知2a ＝5b ＝M ，且212a b +=，则M 的值是（）A.20 B.5 C.25± D.400随练2、2log (21)2log (32_______--=．对数的运算例题1、8log 23612432lg 8100- 的值为________．例题2、（1）计算41320.753440.0081(4)(8)16---++-的值．（2）计算211log 522lg 5lg 2lg502+++的值．{提示lg 25＝（lg5）2，log a N a N =}．例题3、不用计算器求下列各式的值（1）112032710(2)0.1(2)3π927-++-．（2） 2.51log 6.25lg 100e ++．例题4、设函数⎩⎨⎧≥<-+=-1,21),2(log 1)(12x x x x f x ，则=+-)12(log )2(2f f （）A.3B.6C.9D.12随练1、log 0.50.125+log 2[log 3（log 464）]等于（）A.-3 B.3C.4D.-4随练2、计算：（1）52log 20332715(2017)()log 83--+（2）（log 32＋log 92）（log 43＋log 83）随练3、计算：（11144432(3)(0.008)(0.25))2---π+-⨯；（2）21log 31324lg 824522493+-++．对数式之间的相互转化例题1、已知log 73＝a ，log 74＝b ，用a ，b 表示log 4948为________．例题2、（I ）321231102lg (2)10027-+-+；（II ）已知2.5x ＝1000，0.25y ＝1000，求311log ()x y -的值．例题3、若lg lg x y a -=，则33lg lg 22y x -=（）（）．随练1、若3log 41a =，则2______2a a -+=．拓展1、（2014四川雅安重点中学高一上期末模拟）已知2a =5b =M ，且2a +1b =2，则M 的值是（）A.20B.25C.±25D.4002、函数51f x ax bx =+-（），若5105f lg log =（（）），求5f lg lg （（））的值（）A.-3 B.5C.-5D.-93、92427log log =（）（）（）A.1B.12 C.2 D.34、已知log 2log 3a a m n ==，，则2m n a +=（）A.6B.7C.11D.125、化简或求值1（）121511336622123a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫÷ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；2（）lg 92lg 2941243310ln lo 931g 68log e -+⎛⎫- ⎪⎝⎭+ 6、（1）（245）0+22-×（214）12--（827）13；（2）（2516）0.5+（278）13--2π0+44log 5-ln e 5+lg200-lg2．7、lg 1002(4)π-=．8、已知x ，y ，z 都是大于1的正数，m ＞0，且log x m =24，log y m =40，log xyz m =12，则log z m 的值为．9、（1-+--0；（2）（log 43+log 83）•（log 32+log 92）．10、已知3log 2a =，那么用a 表示33log 8log 34-是（）A.a -2B.51a -C.231a a -+（） D.231a a --。
