高考数学二轮复习 第一部分 专题篇 专题七 系列4选讲 第二讲 不等式选讲课时作业 文

2017届高考数学二轮复习 第一部分 专题篇 专题七 系列4选讲 第

二讲 不等式选讲课时作业 文

1．(2015·高考福建卷)已知a >0，b >0，c >0，函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c 的最小值为4.

(1)求a ＋b ＋c 的值；

(2)求14a 2＋19b 2＋c 2的最小值． 解析：(1)因为f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c ≥|(x ＋a )－(x －b )|＋c ＝|a ＋b |＋c ， 当且仅当－a ≤x ≤b 时，等号成立．

又a >0，b >0，所以|a ＋b |＝a ＋b ，

所以f (x )的最小值为a ＋b ＋c .

又已知f (x )的最小值为4，

所以a ＋b ＋c ＝4.

(2)由(1)知a ＋b ＋c ＝4，由柯西不等式，得

⎝ ⎛⎭⎪⎫14a 2＋19b 2＋c 2(4＋9＋1)≥⎝ ⎛⎭

⎪⎫a 2×2＋b 3×3＋c ×12＝(a ＋b ＋c )2＝16， 即14a 2＋19b 2＋c 2≥87

. 当且仅当12a 2＝13b 3＝c 1，即a ＝87，b ＝187，c ＝27

时等号成立， 故14a 2＋19b 2＋c 2的最小值是87

. 2．(2015·高考陕西卷)已知关于x 的不等式|x ＋a |

(1)求实数a ，b 的值；

(2)求at ＋12＋bt 的最大值．

解析：(1)由|x ＋a |

则⎩⎪⎨⎪⎧ －b －a ＝2，b －a ＝4，

解得⎩⎪⎨⎪

⎧

a ＝－3，

b ＝1. (2)－3t ＋12＋t ＝3·4－t ＋t ≤[32＋12][4－t 2＋t 2]

＝24－t ＋t ＝4，

当且仅当4－t 3＝t 1，即t ＝1时等号成立， 故(－3t ＋12＋t )max ＝4.

3．(2015·高考湖南卷)设a >0，b >0，且a ＋b ＝1a ＋1b

.证明： (1)a ＋b ≥2；

(2)a 2＋a <2与b 2＋b <2不可能同时成立．

证明：由a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋b ab

，a >0，b >0，得ab ＝1. (1)由基本不等式及ab ＝1，有a ＋b ≥2ab ＝2，即a ＋b ≥2.

(2)假设a 2＋a <2与b 2＋b <2同时成立，则由a 2

＋a <2及a >0得0

4．设函数f (x )＝|x －3|－|x ＋1|，x ∈R.

(1)解不等式f (x )<－1；

(2)设函数g (x )＝|x ＋a |－4，且g (x )≤f (x )在x ∈[－2,2]上恒成立，求实数a 的取值范围． 解析：(1)∵函数f (x )＝|x －3|－|x ＋1|

＝⎩⎪⎨⎪⎧ 4，x <－1，2－2x ，－1≤x ≤3，

－4，x >3，

故由不等式f (x )<－1可得x >3或⎩⎪⎨⎪⎧ 2－2x <－1，－1≤x ≤3.

解得x >32

. (2)函数g (x )≤f (x )在x ∈[－2,2]上恒成立，

即|x ＋a |－4≤|x －3|－|x ＋1|在x ∈[－2,2]上恒成立，

在同一个坐标系中画出函数f (x )和g (x )的图象，如图所示．

故当x ∈[－2,2]时，若0≤－a ≤4时，则函数g (x )在函数f (x )的图象的下方，g (x )≤f (x )在x ∈[－2,2]上恒成立，

求得－4≤a ≤0，故所求的实数a 的取值范围为[－4,0]．