2017年高考数学浙江卷-答案

2017年浙江省高考数学试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．（4分）椭圆+=1的离心率是（）A．B．C．D．2．（4分）已知集合P={x|﹣1＜x＜1}，Q={x|0＜x＜2}，那么P∪Q=（）A．（﹣1，2）B．（0，1） C．（﹣1，0）D．（1，2）3．（4分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（）A．+1 B．+3 C．+1 D．+34．（4分）若x、y满足约束条件，则z=x+2y的取值范围是（）A．[0，6]B．[0，4]C．[6，+∞）D．[4，+∞）5．（4分）若函数f（x）=x2+ax+b在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M﹣m（）A．与a有关，且与b有关B．与a有关，但与b无关C．与a无关，且与b无关D．与a无关，但与b有关6．（4分）已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，则“ｄ＞0”是“Ｓ4+S6＞2S5”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（4分）函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，则函数y=f（x）的图象可能是（）A．B．C．D．8．（4分）已知随机变量ξi满足P（ξi=1）=p i，P（ξi=0）=1﹣p i，i=1，2．若0＜p1＜p2＜，则（）A．E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）B．E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2）C．E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）D．E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2）9．（4分）如图，已知正四面体D﹣ABC（所有棱长均相等的三棱锥），P、Q、R 分别为AB、BC、CA上的点，AP=PB，==2，分别记二面角D﹣PR﹣Q，D﹣PQ﹣R，D﹣QR﹣P的平面角为α、β、γ，则（）A．γ＜α＜β B．α＜γ＜β C．α＜β＜γ D．β＜γ＜α10．（4分）如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，AC与BD交于点O，记I1=?，I2=?，I3=?，则（）A．I1＜I2＜I3B．I1＜I3＜I2C．I3＜I1＜I2D．I2＜I1＜I3二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分11．（4分）我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度，祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6，S6= ．12．（6分）已知a、b∈R，（a+bi）2=3+4i（i是虚数单位），则a2+b2= ，ab= ．13．（6分）已知多项式（x+1）3（x+2）2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5，则a4= ，a5= ．14．（6分）已知△ABC，AB=AC=4，BC=2，点D为AB延长线上一点，BD=2，连结CD，则△BDC的面积是，cos∠BDC= ．15．（6分）已知向量、满足||=1，||=2，则|+|+|﹣|的最小值是，最大值是．16．（4分）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有种不同的选法．（用数字作答）17．（4分）已知a∈R，函数f（x）=|x+﹣a|+a在区间[1，4]上的最大值是5，则a的取值范围是．三、解答题（共5小题，满分74分）18．（14分）已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣2sinx cosx（x∈R）．（Ⅰ）求f（）的值．（Ⅱ）求f（x）的最小正周期及单调递增区间．19．（15分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：CE∥平面PAB；（Ⅱ）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．20．（15分）已知函数f（x）=（x﹣）e﹣x（x≥）．（1）求f（x）的导函数；（2）求f（x）在区间[，+∞）上的取值范围．21．（15分）如图，已知抛物线x2=y，点A（﹣，），B（，），抛物线上的点P（x，y）（﹣＜x＜），过点B作直线AP的垂线，垂足为Q．（Ⅰ）求直线AP斜率的取值范围；（Ⅱ）求|PA|?|PQ|的最大值．22．（15分）已知数列{x n}满足：x1=1，x n=x n+1+ln（1+x n+1）（n∈N*），证明：当n ∈N*时，（Ⅰ）0＜x n+1＜x n；（Ⅱ）2x n+1﹣x n≤；（Ⅲ）≤x n≤．2017年浙江省高考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．（4分）椭圆+=1的离心率是（）A．B．C．D．【分析】直接利用椭圆的简单性质求解即可．【解答】解：椭圆+=1，可得a=3，b=2，则c==，所以椭圆的离心率为：=．故选：B．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．2．（4分）已知集合P={x|﹣1＜x＜1}，Q={x|0＜x＜2}，那么P∪Q=（）A．（﹣1，2）B．（0，1） C．（﹣1，0）D．（1，2）【分析】直接利用并集的运算法则化简求解即可．【解答】解：集合P={x|﹣1＜x＜1}，Q={x|0＜x＜2}，那么P∪Q={x|﹣1＜x＜2}=（﹣1，2）．故选：A．【点评】本题考查集合的基本运算，并集的求法，考查计算能力．3．（4分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（）A．+1 B．+3 C．+1 D．+3【分析】根据几何体的三视图，该几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成，画出图形，结合图中数据即可求出它的体积．【解答】解：由几何的三视图可知，该几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成，圆锥的底面圆的半径为1，三棱锥的底面是底边长2的等腰直角三角形，圆锥的高和棱锥的高相等均为3，故该几何体的体积为××π×12×3+××××3=+1，故选：A．【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，解题的关键是根据三视图得出原几何体的结构特征，是基础题目．4．（4分）若x、y满足约束条件，则z=x+2y的取值范围是（）A．[0，6]B．[0，4]C．[6，+∞）D．[4，+∞）【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解即可．【解答】解：x、y满足约束条件，表示的可行域如图：目标函数z=x+2y经过C点时，函数取得最小值，由解得C（2，1），目标函数的最小值为：4目标函数的范围是[4，+∞）．故选：D．【点评】本题考查线性规划的简单应用，画出可行域判断目标函数的最优解是解题的关键．5．（4分）若函数f（x）=x2+ax+b在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M﹣m（）A．与a有关，且与b有关B．与a有关，但与b无关C．与a无关，且与b无关D．与a无关，但与b有关【分析】结合二次函数的图象和性质，分类讨论不同情况下M﹣m的取值与a，b的关系，综合可得答案．【解答】解：函数f（x）=x2+ax+b的图象是开口朝上且以直线x=﹣为对称轴的抛物线，①当﹣＞1或﹣＜0，即a＜﹣2，或a＞0时，函数f（x）在区间[0，1]上单调，此时M﹣m=|f（1）﹣f（0）|=|a+1|，故M﹣m的值与a有关，与b无关②当≤﹣≤1，即﹣2≤a≤﹣1时，函数f（x）在区间[0，﹣]上递减，在[﹣，1]上递增，且f（0）＞f（1），此时M﹣m=f（0）﹣f（﹣）=，故M﹣m的值与a有关，与b无关③当0≤﹣＜，即﹣1＜a≤0时，函数f（x）在区间[0，﹣]上递减，在[﹣，1]上递增，且f（0）＜f（1），此时M﹣m=f（1）﹣f（﹣）=1+a+，故M﹣m的值与a有关，与b无关综上可得：M﹣m的值与a有关，与b无关故选：B．【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．6．（4分）已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，则“ｄ＞0”是“Ｓ4+S6＞2S5”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据等差数列的求和公式和S4+S6＞2S5，可以得到d＞0，根据充分必要条件的定义即可判断．【解答】解：∵S4+S6＞2S5，∴4a1+6d+6a1+15d＞2（5a1+10d），∴21d＞20d，∴d＞0，故“ｄ＞0”是“Ｓ4+S6＞2S5”充分必要条件，故选：C．【点评】本题借助等差数列的求和公式考查了充分必要条件，属于基础题7．（4分）函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，则函数y=f（x）的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】根据导数与函数单调性的关系，当f′（x）＜0时，函数f（x）单调递减，当f′（x）＞0时，函数f（x）单调递增，根据函数图象，即可判断函数的单调性，然后根据函数极值的判断，即可判断函数极值的位置，即可求得函数y=f（x）的图象可能【解答】解：由当f′（x）＜0时，函数f（x）单调递减，当f′（x）＞0时，函数f（x）单调递增，则由导函数y=f′（x）的图象可知：f（x）先单调递减，再单调递增，然后单调递减，最后单调递增，排除A，C，且第二个拐点（即函数的极大值点）在x轴上的右侧，排除B，故选：D．【点评】本题考查导数的应用，考查导数与函数单调性的关系，考查函数极值的判断，考查数形结合思想，属于基础题．8．（4分）已知随机变量ξi满足P（ξi=1）=p i，P（ξi=0）=1﹣p i，i=1，2．若0＜p1＜p2＜，则（）A．E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）B．E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2）C．E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）D．E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2）【分析】由已知得0＜p1＜p2＜，＜1﹣p2＜1﹣p1＜1，求出E（ξ1）=p1，E（ξ2）=p2，从而求出D（ξ1），D（ξ2），由此能求出结果．【解答】解：∵随机变量ξi满足P（ξi=1）=p i，P（ξi=0）=1﹣p i，i=1，2，…，0＜p1＜p2＜，∴＜1﹣p2＜1﹣p1＜1，E（ξ1）=1×p1+0×（1﹣p1）=p1，E（ξ2）=1×p2+0×（1﹣p2）=p2，D（ξ1）=（1﹣p1）2p1+（0﹣p1）2（1﹣p1）=，D（ξ2）=（1﹣p2）2p2+（0﹣p2）2（1﹣p2）=，D（ξ1）﹣D（ξ2）=p1﹣p12﹣（）=（p2﹣p1）（p1+p2﹣1）＜0，∴E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）．故选：A．【点评】本题考查离散型随机变量的数学期望和方差等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．9．（4分）如图，已知正四面体D﹣ABC（所有棱长均相等的三棱锥），P、Q、R 分别为AB、BC、CA上的点，AP=PB，==2，分别记二面角D﹣PR﹣Q，D﹣PQ﹣R，D﹣QR﹣P的平面角为α、β、γ，则（）A．γ＜α＜β B．α＜γ＜β C．α＜β＜γ D．β＜γ＜α【分析】解法一：如图所示，建立空间直角坐标系．设底面△ABC的中心为O．不妨设OP=3．则O（0，0，0），P（0，﹣3，0），C（0，6，0），D（0，0，6），Q，R，利用法向量的夹角公式即可得出二面角．解法二：如图所示，连接OP，OQ，OR，过点O分别作垂线：OE⊥PR，OF⊥PQ，OG⊥QR，垂足分别为E，F，G，连接DE，DF，DG．．可得tanα＝．tanβ＝，tanγ＝．由已知可得：OE＞OG＞OF．即可得出．【解答】解法一：如图所示，建立空间直角坐标系．设底面△ABC的中心为O．不妨设OP=3．则O（0，0，0），P（0，﹣3，0），C（0，6，0），D（0，0，6），B（3，﹣3，0）．Q，R，=，=（0，3，6），=（，6，0），=，=．设平面PDR的法向量为=（x，y，z），则，可得，可得=，取平面ABC的法向量=（0，0，1）．则cos==，取α=arccos．同理可得：β=arccos．γ=arccos．∵＞＞．∴α＜γ＜β．解法二：如图所示，连接OP，OQ，OR，过点O分别作垂线：OE⊥PR，OF⊥PQ，OG⊥QR，垂足分别为E，F，G，连接DE，DF，DG．设OD=h．则tanα＝．同理可得：tanβ＝，tanγ＝．由已知可得：OE＞OG＞OF．∴tanα＜tanγ＜tanβ，α，β，γ为锐角．∴α＜γ＜β．故选：B．【点评】本题考查了空间角、空间位置关系、正四面体的性质、法向量的夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．10．（4分）如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，AC与BD交于点O，记I1=?，I2=?，I3=?，则（）A．I1＜I2＜I3B．I1＜I3＜I2C．I3＜I1＜I2D．I2＜I1＜I3【分析】根据向量数量积的定义结合图象边角关系进行判断即可．【解答】解：∵AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，∴AC=2，∴∠AOB=∠COD＞90°，由图象知OA＜OC，OB＜OD，∴0＞?＞?，?＞0，即I3＜I1＜I2，故选：C．【点评】本题主要考查平面向量数量积的应用，根据图象结合平面向量数量积的定义是解决本题的关键．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分11．（4分）我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度，祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6，S6= ．【分析】根据题意画出图形，结合图形求出单位圆的内接正六边形的面积．【解答】解：如图所示，单位圆的半径为1，则其内接正六边形ABCDEF中，△AOB是边长为1的正三角形，所以正六边形ABCDEF的面积为S6=6××1×1×sin60°=．故答案为：．【点评】本题考查了已知圆的半径求其内接正六边形面积的应用问题，是基础题．12．（6分）已知a、b∈R，（a+bi）2=3+4i（i是虚数单位），则a2+b2= 5 ，ab= 2 ．【分析】a、b∈R，（a+bi）2=3+4i（i是虚数单位），可得3+4i=a2﹣b2+2abi，可得3=a2﹣b2，2ab=4，解出即可得出．【解答】解：a、b∈R，（a+bi）2=3+4i（i是虚数单位），∴3+4i=a2﹣b2+2abi，∴3=a2﹣b2，2ab=4，解得ab=2，，．则a2+b2=5，故答案为：5，2．【点评】本题考查了复数的运算法则、复数的相等、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．13．（6分）已知多项式（x+1）3（x+2）2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5，则a4= 16 ，a5= 4 ．【分析】利用二项式定理的展开式，求解x的系数就是两个多项式的展开式中x 与常数乘积之和，a5就是常数的乘积．【解答】解：多项式（x+1）3（x+2）2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5，（x+1）3中，x的系数是：3，常数是1；（x+2）2中x的系数是4，常数是4，a4=3×4+1×4=16；a5=1×4=4．故答案为：16；4．【点评】本题考查二项式定理的应用，考查计算能力，是基础题．14．（6分）已知△ABC，AB=AC=4，BC=2，点D为AB延长线上一点，BD=2，连结CD，则△BDC的面积是，cos∠BDC= ．【分析】如图，取BC得中点E，根据勾股定理求出AE，再求出S△ABC，再根据S=S△ABC即可求出，根据等腰三角形的性质和二倍角公式即可求出△BDC【解答】解：如图，取BC得中点E，∵AB=AC=4，BC=2，∴BE=BC=1，AE⊥BC，∴AE==，∴S△ABC=BC?AE=×2×=，∵BD=2，∴S△BDC=S△ABC=，∵BC=BD=2，∴∠BDC=∠BCD，∴∠ABE=2∠BDC在Rt△ABE中，∵cos∠ABE==，∴cos∠ABE=2cos2∠BDC﹣1=，∴cos∠BDC=，故答案为：，【点评】本题考查了解三角形的有关知识，关键是转化，属于基础题15．（6分）已知向量、满足||=1，||=2，则|+|+|﹣|的最小值是 4 ，最大值是．【分析】通过记∠AOB=α（0≤α≤π），利用余弦定理可可知|+|=、|﹣|=，进而换元，转化为线性规划问题，计算即得结论．【解答】解：记∠AOB=α，则0≤α≤π，如图，由余弦定理可得：|+|=，|﹣|=，令x=，y=，则x2+y2=10（x、y≥1），其图象为一段圆弧MN，如图，令z=x+y，则y=﹣x+z，则直线y=﹣x+z过M、N时z最小为z min=1+3=3+1=4，当直线y=﹣x+z与圆弧MN相切时z最大，由平面几何知识易知z max即为原点到切线的距离的倍，也就是圆弧MN所在圆的半径的倍，所以z max=×=．综上所述，|+|+|﹣|的最小值是4，最大值是．故答案为：4、．【点评】本题考查函数的最值及其几何意义，考查数形结合能力，考查运算求解能力，涉及余弦定理、线性规划等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．16．（4分）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有660 种不同的选法．（用数字作答）【分析】由题意分两类选1女3男或选2女2男，再计算即可【解答】解：第一类，先选1女3男，有C63C21=40种，这4人选2人作为队长和副队有A42=12种，故有40×12=480种，第二类，先选2女2男，有C62C22=15种，这4人选2人作为队长和副队有A42=12种，故有15×12=180种，根据分类计数原理共有480+180=660种，故答案为：660【点评】本题考查了分类计数原理和分步计数原理，属于中档题17．（4分）已知a∈R，函数f（x）=|x+﹣a|+a在区间[1，4]上的最大值是5，则a的取值范围是（﹣∞，]．【分析】通过转化可知|x+﹣a|+a≤5且a≤5，进而解绝对值不等式可知2a﹣5≤x+≤5，进而计算可得结论．【解答】解：由题可知|x+﹣a|+a≤5，即|x+﹣a|≤5﹣a，所以a≤5，又因为|x+﹣a|≤5﹣a，所以a﹣5≤x+﹣a≤5﹣a，所以2a﹣5≤x+≤5，又因为1≤x≤4，4≤x+≤5，所以2a﹣5≤4，解得a≤，故答案为：（﹣∞，]．【点评】本题考查函数的最值，考查绝对值函数，考查转化与化归思想，注意解题方法的积累，属于中档题．三、解答题（共5小题，满分74分）18．（14分）已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣2sinx cosx（x∈R）．（Ⅰ）求f（）的值．（Ⅱ）求f（x）的最小正周期及单调递增区间．【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数的解析式，（Ⅰ）代入可得：f（）的值．（Ⅱ）根据正弦型函数的图象和性质，可得f（x）的最小正周期及单调递增区间【解答】解：∵函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣2sinx cosx=﹣sin2x﹣cos2x=2sin （2x+）（Ⅰ）f（）=2sin（2×+）=2sin=2，（Ⅱ）∵ω=2，故T=π，即f（x）的最小正周期为π，由2x+∈[﹣+2kπ，+2kπ]，k∈Z得：x∈[﹣+kπ，﹣+kπ]，k∈Z，故f（x）的单调递增区间为[﹣+kπ，﹣+kπ]或写成[kπ+，kπ+]，k ∈Z．【点评】本题考查的知识点是三角函数的化简求值，三角函数的周期性，三角函数的单调区间，难度中档．19．（15分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：CE∥平面PAB；（Ⅱ）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）取AD的中点F，连结EF，CF，推导出EF∥PA，CF∥AB，从而平面EFC∥平面ABP，由此能证明EC∥平面PAB．（Ⅱ）连结BF，过F作FM⊥PB于M，连结PF，推导出四边形BCDF为矩形，从而BF⊥AD，进而AD⊥平面PBF，由AD∥BC，得BC⊥PB，再求出BC⊥MF，由此能求出sinθ．【解答】证明：（Ⅰ）取AD的中点F，连结EF，CF，∵E为PD的中点，∴EF∥PA，在四边形ABCD中，BC∥AD，AD=2DC=2CB，F为中点，∴CF∥AB，∴平面EFC∥平面ABP，∵EC?平面EFC，∴EC∥平面PAB．解：（Ⅱ）连结BF，过F作FM⊥PB于M，连结PF，∵PA=PD，∴PF⊥AD，推导出四边形BCDF为矩形，∴BF⊥AD，∴AD⊥平面PBF，又AD∥BC，∴BC⊥平面PBF，∴BC⊥PB，设DC=CB=1，由PC=AD=2DC=2CB，得AD=PC=2，∴PB===，BF=PF=1，∴MF=，又BC⊥平面PBF，∴BC⊥MF，∴MF⊥平面PBC，即点F到平面PBC的距离为，∵MF=，D到平面PBC的距离应该和MF平行且相等，为，E为PD中点，E到平面PBC的垂足也为垂足所在线段的中点，即中位线，∴E到平面PBC的距离为，在，由余弦定理得CE=，设直线CE与平面PBC所成角为θ，则sinθ＝=．【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．20．（15分）已知函数f（x）=（x﹣）e﹣x（x≥）．（1）求f（x）的导函数；（2）求f（x）在区间[，+∞）上的取值范围．【分析】（1）求出f（x）的导数，注意运用复合函数的求导法则，即可得到所求；（2）求出f（x）的导数，求得极值点，讨论当＜x＜1时，当1＜x＜时，当x＞时，f（x）的单调性，判断f（x）≥0，计算f（），f（1），f（），即可得到所求取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）=（x﹣）e﹣x（x≥），导数f′（x）=（1﹣??2）e﹣x﹣（x﹣）e﹣x=（1﹣x+）e﹣x=（1﹣x）（1﹣）e﹣x；（2）由f（x）的导数f′（x）=（1﹣x）（1﹣）e﹣x，可得f′（x）=0时，x=1或，当＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）递减；当1＜x＜时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x＞时，f′（x）＜0，f（x）递减，且x≥?x2≥2x﹣1?（x﹣1）2≥0，则f（x）≥0．由f（）=e，f（1）=0，f（）=e，即有f（x）的最大值为e，最小值为f（1）=0．则f（x）在区间[，+∞）上的取值范围是[0，e]．【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查化简整理的运算能力，正确求导是解题的关键，属于中档题．21．（15分）如图，已知抛物线x2=y，点A（﹣，），B（，），抛物线上的点P（x，y）（﹣＜x＜），过点B作直线AP的垂线，垂足为Q．（Ⅰ）求直线AP斜率的取值范围；（Ⅱ）求|PA|?|PQ|的最大值．【分析】（Ⅰ）通过点P在抛物线上可设P（x，x2），利用斜率公式结合﹣＜x ＜可得结论；（Ⅱ）通过（I）知P（x，x2）、﹣＜x＜，设直线AP的斜率为k，联立直线AP、BQ方程可知Q点坐标，进而可用k表示出、，计算可知|PA|?|PQ|=（1+k）3（1﹣k），通过令f（x）=（1+x）3（1﹣x），﹣1＜x＜1，求导结合单调性可得结论．【解答】解：（Ⅰ）由题可知P（x，x2），﹣＜x＜，所以k AP==x﹣∈（﹣1，1），故直线AP斜率的取值范围是：（﹣1，1）；（Ⅱ）由（I）知P（x，x2），﹣＜x＜，所以=（﹣﹣x，﹣x2），设直线AP的斜率为k，则AP：y=kx+k+，BQ：y=﹣x++，联立直线AP、BQ方程可知Q（，），故=（，），又因为=（﹣1﹣k，﹣k2﹣k），故﹣|PA|?|PQ|=?=+=（1+k）3（k﹣1），所以|PA|?|PQ|=（1+k）3（1﹣k），令f（x）=（1+x）3（1﹣x），﹣1＜x＜1，则f′（x）=（1+x）2（2﹣4x）=﹣2（1+x）2（2x﹣1），由于当﹣1＜x＜时f′（x）＞0，当＜x＜1时f′（x）＜0，故f（x）max=f（）=，即|PA|?|PQ|的最大值为．【点评】本题考查圆锥曲线的最值问题，考查运算求解能力，考查函数思想，注意解题方法的积累，属于中档题．22．（15分）已知数列{x n}满足：x1=1，x n=x n+1+ln（1+x n+1）（n∈N*），证明：当n ∈N*时，（Ⅰ）0＜x n+1＜x n；（Ⅱ）2x n+1﹣x n≤；（Ⅲ）≤x n≤．【分析】（Ⅰ）用数学归纳法即可证明，（Ⅱ）构造函数，利用导数判断函数的单调性，把数列问题转化为函数问题，即可证明，（Ⅲ）由≥2x n+1﹣x n得﹣≥2（﹣）＞0，继续放缩即可证明【解答】解：（Ⅰ）用数学归纳法证明：x n＞0，当n=1时，x1=1＞0，成立，假设当n=k时成立，则x k＞0，那么n=k+1时，若x k+1＜0，则0＜x k=x k+1+ln（1+x k+1）＜0，矛盾，故x n+1＞0，因此x n＞0，（n∈N*）∴x n=x n+1+ln（1+x n+1）＞x n+1，因此0＜x n+1＜x n（n∈N*），（Ⅱ）由x n=x n+1+ln（1+x n+1）得x n x n+1﹣4x n+1+2x n=x n+12﹣2x n+1+（x n+1+2）ln（1+x n+1），记函数f（x）=x2﹣2x+（x+2）ln（1+x），x≥0∴f′（x）=+ln（1+x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴f（x）≥f（0）=0，因此x n+12﹣2x n+1+（x n+1+2）ln（1+x n+1）≥0，故2x n+1﹣x n≤；（Ⅲ）∵x n=x n+1+ln（1+x n+1）≤x n+1+x n+1=2x n+1，∴x n≥，由≥2x n+1﹣x n得﹣≥2（﹣）＞0，∴﹣≥2（﹣）≥…≥2n﹣1（﹣）=2n﹣2，∴x n≤，综上所述≤x n≤．【点评】本题考查了数列的概念，递推关系，数列的函数的特征，导数和函数的单调性的关系，不等式的证明，考查了推理论证能力，分析解决问题的能力，运算能力，放缩能力，运算能力，属于难题。

2017年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数 学本试题卷分选择题和非选择题两部分。

全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分3至4页。

满分150分。

考试用时120分钟。

考生注意：1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题纸规定的位置上。

2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。

参考公式：球的表面积公式 锥体的体积公式24S R =π13V Sh =球的体积公式其中S 表示棱锥的底面面积，h 表示棱锥的高 343V R =π台体的体积公式其中R 表示球的半径1()3a ab b V h S S S S =+⋅+柱体的体积公式 其中S a ，S b 分别表示台体的上、下底面积 V =Sh h 表示台体的高 其中S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知}11|{<<-=x x P ，}02{<<-=x Q ，则=Q P Y A ．)1,2(- B ．)0,1(- C ．)1,0( D ．)1,2(--2．椭圆22194x y +=的离心率是A ．133B ．53C ．23D ．593．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ）， 则该几何体的体积（单位：cm 3）是 A ．π2+1 B ．π2+3C ．3π2+1 D ．3π2+3 4．若x ,y 满足约束条件03020x x y x y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则z =x +2y 的取值范围是A ．[0,6]B ．[0,4]C ．[6，+∞]D ．[4,+∞]5．若函数f (x )=x 2+ ax +b 在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M – m A ．与a 有关，且与b 有关 B ．与a 有关，但与b 无关 C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关6．已知等差数列[a n ]的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4 + S 6”>2S 5的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．函数y=f (x )的导函数()y f x '=的图像如图所示，则函数y=f (x )的图像可能是8．已知随机变量ξ1满足P （1ξ=1）=p i ，P （1ξ=0）=1—p i ，i =1，2.若0<p 1<p 2<12，则 A ．1E()ξ<2E()ξ，1D()ξ<2D()ξ B ．1E()ξ<2E()ξ，1D()ξ>2D()ξ C ．1E()ξ>2E()ξ，1D()ξ<2D()ξD ．1E()ξ>2E()ξ，1D()ξ>2D()ξ9．如图，已知正四面体D –ABC （所有棱长均相等的三棱锥），PQR 分别为AB ，BC ，CA 上的点，AP=PB ，2BQ CRQC RA==，分别记二面角D –PR –Q ，D –PQ –R ，D –QR –P 的平面较为α,β,γ，则A ．γ<α<βB ．α<γ<βC ．α<β<γD ．β<γ<α10．如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O ，记1·I OA OB u u u r u u u r ＝，2·I OB OC u u u r u u u r ＝，3·I OC OD u u u r u u u r＝，则 A ．I １<I ２<I ３ B ．I １<I ３<I ２ C ． I ３<I １<I ２ D ．I ２<I １<I ３非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

2017年浙江省高考数学试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．（4分）已知集合P={x|﹣1＜x＜1}，Q={x|0＜x＜2}，那么P∪Q=（）A．（﹣1，2）B．（0，1）C．（﹣1，0）D．（1，2）2．（4分）椭圆+=1的离心率是（）A．B．C．D．3．（4分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（）A．+1B．+3C．+1D．+34．（4分）若x、y满足约束条件，则z=x+2y的取值范围是（）A．[0，6]B．[0，4]C．[6，+∞）D．[4，+∞）5．（4分）若函数f（x）=x2+ax+b在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M﹣m（）A．与a有关，且与b有关B．与a有关，但与b无关C．与a无关，且与b无关D．与a无关，但与b有关6．（4分）已知等差数列{an }的公差为d，前n项和为Sn，则“d＞0”是“S4+S6＞2S5”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（4分）函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，则函数y=f（x）的图象可能是（）A．B．C．D．8．（4分）已知随机变量ξi 满足P（ξi=1）=pi，P（ξi=0）=1﹣pi，i=1，2．若0＜p1＜p2＜，则（）A．E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）B．E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2）C．E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）D．E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2）9．（4分）如图，已知正四面体D﹣ABC（所有棱长均相等的三棱锥），P、Q、R 分别为AB、BC、CA上的点，AP=PB，==2，分别记二面角D﹣PR﹣Q，D ﹣PQ﹣R，D﹣QR﹣P的平面角为α、β、γ，则（）A．γ＜α＜βB．α＜γ＜βC．α＜β＜γD．β＜γ＜α10．（4分）如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，AC与BD交于点O，记I1=•，I2=•，I3=•，则（）A．I1＜I2＜I3B．I1＜I3＜I2C．I3＜I1＜I2D．I2＜I1＜I3二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分11．（4分）我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度，祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6，S6= ．12．（6分）已知a、b∈R，（a+bi）2=3+4i（i是虚数单位），则a2+b2= ，ab= ．13．（6分）已知多项式（x+1）3（x+2）2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5，则a4= ，a5= ．14．（6分）已知△ABC，AB=AC=4，BC=2，点D为AB延长线上一点，BD=2，连结CD，则△BDC的面积是，cos∠BDC= ．15．（6分）已知向量、满足||=1，||=2，则|+|+|﹣|的最小值是，最大值是．16．（4分）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有种不同的选法．（用数字作答）17．（4分）已知a∈R，函数f（x）=|x+﹣a|+a在区间[1，4]上的最大值是5，则a的取值范围是．三、解答题（共5小题，满分74分）18．（14分）已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣2sinx cosx（x∈R）．（Ⅰ）求f（）的值．（Ⅱ）求f（x）的最小正周期及单调递增区间．19．（15分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：CE∥平面PAB；（Ⅱ）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．20．（15分）已知函数f（x）=（x﹣）e﹣x（x≥）．（1）求f（x）的导函数；（2）求f（x）在区间[，+∞）上的取值范围．21．（15分）如图，已知抛物线x2=y，点A（﹣，），B（，），抛物线上的点P（x，y）（﹣＜x＜），过点B作直线AP的垂线，垂足为Q．（Ⅰ）求直线AP斜率的取值范围；（Ⅱ）求|PA|•|PQ|的最大值．22．（15分）已知数列{xn }满足：x1=1，xn=xn+1+ln（1+xn+1）（n∈N*），证明：当n∈N*时，（Ⅰ）0＜xn+1＜xn；（Ⅱ）2xn+1﹣xn≤；（Ⅲ）≤xn≤．2017年浙江省高考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．（4分）已知集合P={x|﹣1＜x＜1}，Q={x|0＜x＜2}，那么P∪Q=（）A．（﹣1，2）B．（0，1）C．（﹣1，0）D．（1，2）【考点】1D：并集及其运算．【专题】11：计算题；37：集合思想；5J：集合．【分析】直接利用并集的运算法则化简求解即可．【解答】解：集合P={x|﹣1＜x＜1}，Q={x|0＜x＜2}，那么P∪Q={x|﹣1＜x＜2}=（﹣1，2）．故选：A．【点评】本题考查集合的基本运算，并集的求法，考查计算能力．2．（4分）椭圆+=1的离心率是（）A．B．C．D．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】11：计算题；35：转化思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】直接利用椭圆的简单性质求解即可．【解答】解：椭圆+=1，可得a=3，b=2，则c==，所以椭圆的离心率为：=．故选：B．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．3．（4分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（）A．+1B．+3C．+1D．+3【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5Q：立体几何．【分析】根据几何体的三视图，该几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成，画出图形，结合图中数据即可求出它的体积．【解答】解：由几何的三视图可知，该几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成，圆锥的底面圆的半径为1，三棱锥的底面是底边长2的等腰直角三角形，圆锥的高和棱锥的高相等均为3，故该几何体的体积为××π×12×3+××××3=+1，故选：A．【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，解题的关键是根据三视图得出原几何体的结构特征，是基础题目．4．（4分）若x、y满足约束条件，则z=x+2y的取值范围是（）A．[0，6]B．[0，4]C．[6，+∞）D．[4，+∞）【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；5T：不等式．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解即可．【解答】解：x、y满足约束条件，表示的可行域如图：目标函数z=x+2y经过C点时，函数取得最小值，由解得C（2，1），目标函数的最小值为：4目标函数的范围是[4，+∞）．故选：D．【点评】本题考查线性规划的简单应用，画出可行域判断目标函数的最优解是解题的关键．5．（4分）若函数f（x）=x2+ax+b在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M﹣m（）A．与a有关，且与b有关B．与a有关，但与b无关C．与a无关，且与b无关D．与a无关，但与b有关【考点】3V：二次函数的性质与图象．【专题】32：分类讨论；4C：分类法；51：函数的性质及应用．【分析】结合二次函数的图象和性质，分类讨论不同情况下M﹣m的取值与a，b 的关系，综合可得答案．【解答】解：函数f（x）=x2+ax+b的图象是开口朝上且以直线x=﹣为对称轴的抛物线，①当﹣＞1或﹣＜0，即a＜﹣2，或a＞0时，函数f（x）在区间[0，1]上单调，此时M﹣m=|f（1）﹣f（0）|=|a+1|，故M﹣m的值与a有关，与b无关②当≤﹣≤1，即﹣2≤a≤﹣1时，函数f（x）在区间[0，﹣]上递减，在[﹣，1]上递增，且f（0）＞f（1），此时M﹣m=f（0）﹣f（﹣）=，故M﹣m的值与a有关，与b无关③当0≤﹣＜，即﹣1＜a≤0时，函数f（x）在区间[0，﹣]上递减，在[﹣，1]上递增，且f（0）＜f（1），此时M﹣m=f（1）﹣f（﹣）=1+a+，故M﹣m的值与a有关，与b无关综上可得：M﹣m的值与a有关，与b无关故选：B．【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．6．（4分）已知等差数列{an }的公差为d，前n项和为Sn，则“d＞0”是“S4+S6＞2S5”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；54：等差数列与等比数列；5L：简易逻辑．【分析】根据等差数列的求和公式和S4+S6＞2S5，可以得到d＞0，根据充分必要条件的定义即可判断．【解答】解：∵S4+S6＞2S5，∴4a1+6d+6a1+15d＞2（5a1+10d），∴21d＞20d，∴d＞0，故“d＞0”是“S4+S6＞2S5”充分必要条件，故选：C．【点评】本题借助等差数列的求和公式考查了充分必要条件，属于基础题7．（4分）函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，则函数y=f（x）的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【专题】31：数形结合；44：数形结合法；52：导数的概念及应用．【分析】根据导数与函数单调性的关系，当f′（x）＜0时，函数f（x）单调递减，当f′（x）＞0时，函数f（x）单调递增，根据函数图象，即可判断函数的单调性，然后根据函数极值的判断，即可判断函数极值的位置，即可求得函数y=f（x）的图象可能【解答】解：由当f′（x）＜0时，函数f（x）单调递减，当f′（x）＞0时，函数f（x）单调递增，则由导函数y=f′（x）的图象可知：f（x）先单调递减，再单调递增，然后单调递减，最后单调递增，排除A，C，且第二个拐点（即函数的极大值点）在x轴上的右侧，排除B，故选：D．【点评】本题考查导数的应用，考查导数与函数单调性的关系，考查函数极值的判断，考查数形结合思想，属于基础题．8．（4分）已知随机变量ξi 满足P（ξi=1）=pi，P（ξi=0）=1﹣pi，i=1，2．若0＜p1＜p2＜，则（）A．E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）B．E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2）C．E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）D．E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2）【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5I：概率与统计．【分析】由已知得0＜p1＜p2＜，＜1﹣p2＜1﹣p1＜1，求出E（ξ1）=p1，E（ξ2）=p2，从而求出D（ξ1），D（ξ2），由此能求出结果．【解答】解：∵随机变量ξi 满足P（ξi=1）=pi，P（ξi=0）=1﹣pi，i=1，2，…，0＜p1＜p2＜，∴＜1﹣p2＜1﹣p1＜1，E（ξ1）=1×p1+0×（1﹣p1）=p1，E（ξ2）=1×p2+0×（1﹣p2）=p2，D（ξ1）=（1﹣p1）2p1+（0﹣p1）2（1﹣p1）=，D（ξ2）=（1﹣p2）2p2+（0﹣p2）2（1﹣p2）=，D（ξ1）﹣D（ξ2）=p1﹣p12﹣（）=（p2﹣p1）（p1+p2﹣1）＜0，∴E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）．故选：A．【点评】本题考查离散型随机变量的数学期望和方差等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．9．（4分）如图，已知正四面体D﹣ABC（所有棱长均相等的三棱锥），P、Q、R 分别为AB、BC、CA上的点，AP=PB，==2，分别记二面角D﹣PR﹣Q，D ﹣PQ﹣R，D﹣QR﹣P的平面角为α、β、γ，则（）A．γ＜α＜βB．α＜γ＜βC．α＜β＜γD．β＜γ＜α【考点】MJ：二面角的平面角及求法．【专题】5F：空间位置关系与距离；5G：空间角；5H：空间向量及应用．【分析】解法一：如图所示，建立空间直角坐标系．设底面△ABC的中心为O．不妨设OP=3．则O（0，0，0），P（0，﹣3，0），C（0，6，0），D（0，0，6），Q，R，利用法向量的夹角公式即可得出二面角．解法二：如图所示，连接OP，OQ，OR，过点O分别作垂线：OE⊥PR，OF⊥PQ，OG⊥QR，垂足分别为E，F，G，连接DE，DF，DG．．可得tanα=．tanβ=，tanγ=．由已知可得：OE＞OG＞OF．即可得出．【解答】解法一：如图所示，建立空间直角坐标系．设底面△ABC的中心为O．不妨设OP=3．则O（0，0，0），P（0，﹣3，0），C（0，6，0），D（0，0，6），B（3，﹣3，0）．Q，R，=，=（0，3，6），=（，6，0），=，=．设平面PDR的法向量为=（x，y，z），则，可得，可得=，取平面ABC的法向量=（0，0，1）．则cos==，取α=arccos．同理可得：β=arccos．γ=arccos．∵＞＞．∴α＜γ＜β．解法二：如图所示，连接OP，OQ，OR，过点O分别作垂线：OE⊥PR，OF⊥PQ，OG⊥QR，垂足分别为E，F，G，连接DE，DF，DG．设OD=h．则tanα=．同理可得：tanβ=，tanγ=．由已知可得：OE＞OG＞OF．∴tanα＜tanγ＜tanβ，α，β，γ为锐角．∴α＜γ＜β．故选：B．【点评】本题考查了空间角、空间位置关系、正四面体的性质、法向量的夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．10．（4分）如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，AC与BD交于点O，记I1=•，I2=•，I3=•，则（）A．I1＜I2＜I3B．I1＜I3＜I2C．I3＜I1＜I2D．I2＜I1＜I3【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】31：数形结合；48：分析法；5A：平面向量及应用．【分析】根据向量数量积的定义结合图象边角关系进行判断即可．【解答】解：∵AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，∴AC=2，∴∠AOB=∠COD＞90°，由图象知OA＜OC，OB＜OD，∴0＞•＞•，•＞0，即I3＜I1＜I2，故选：C．【点评】本题主要考查平面向量数量积的应用，根据图象结合平面向量数量积的定义是解决本题的关键．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分11．（4分）我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度，祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6，S6= ．【考点】CE：模拟方法估计概率．【专题】31：数形结合；4O：定义法；5B：直线与圆．【分析】根据题意画出图形，结合图形求出单位圆的内接正六边形的面积．【解答】解：如图所示，单位圆的半径为1，则其内接正六边形ABCDEF中，△AOB是边长为1的正三角形，所以正六边形ABCDEF的面积为S6=6××1×1×sin60°=．故答案为：．【点评】本题考查了已知圆的半径求其内接正六边形面积的应用问题，是基础题．12．（6分）已知a、b∈R，（a+bi）2=3+4i（i是虚数单位），则a2+b2= 5 ，ab=2 ．【考点】A5：复数的运算．【专题】34：方程思想；35：转化思想；5N：数系的扩充和复数．【分析】a、b∈R，（a+bi）2=3+4i（i是虚数单位），可得3+4i=a2﹣b2+2abi，可得3=a2﹣b2，2ab=4，解出即可得出．【解答】解：a、b∈R，（a+bi）2=3+4i（i是虚数单位），∴3+4i=a2﹣b2+2abi，∴3=a2﹣b2，2ab=4，解得ab=2，，．则a2+b2=5，故答案为：5，2．【点评】本题考查了复数的运算法则、复数的相等、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．13．（6分）已知多项式（x+1）3（x+2）2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5，则a4= 16 ，a5= 4 ．【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题；35：转化思想；5P：二项式定理．【分析】利用二项式定理的展开式，求解x的系数就是两个多项式的展开式中x与常数乘积之和，a5就是常数的乘积．【解答】解：多项式（x+1）3（x+2）2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5，（x+1）3中，x的系数是：3，常数是1；（x+2）2中x的系数是4，常数是4，a4=3×4+1×4=16；a5=1×4=4．故答案为：16；4．【点评】本题考查二项式定理的应用，考查计算能力，是基础题．14．（6分）已知△ABC，AB=AC=4，BC=2，点D为AB延长线上一点，BD=2，连结CD，则△BDC的面积是，cos∠BDC= ．【考点】HT：三角形中的几何计算．【专题】11：计算题；35：转化思想；44：数形结合法；58：解三角形．【分析】如图，取BC得中点E，根据勾股定理求出AE，再求出S△ABC ，再根据S△BDC =S△ABC即可求出，根据等腰三角形的性质和二倍角公式即可求出【解答】解：如图，取BC得中点E，∵AB=AC=4，BC=2，∴BE=BC=1，AE⊥BC，∴AE==，∴S△ABC=BC•AE=×2×=，∵BD=2，∴S△BDC =S△ABC=，∵BC=BD=2，∴∠BDC=∠BCD，∴∠ABE=2∠BDC在Rt△ABE中，∵cos∠ABE==，∴cos∠ABE=2cos2∠BDC﹣1=，∴cos∠BDC=，故答案为：，【点评】本题考查了解三角形的有关知识，关键是转化，属于基础题15．（6分）已知向量、满足||=1，||=2，则|+|+|﹣|的最小值是 4 ，最大值是．【考点】3H：函数的最值及其几何意义；91：向量的概念与向量的模．【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；51：函数的性质及应用．【分析】通过记∠AOB=α（0≤α≤π），利用余弦定理可可知|+|=、|﹣|=，进而换元，转化为线性规划问题，计算即得结论．【解答】解：记∠AOB=α，则0≤α≤π，如图，由余弦定理可得：|+|=，|﹣|=，令x=，y=，则x2+y2=10（x、y≥1），其图象为一段圆弧MN，如图，令z=x+y，则y=﹣x+z，=1+3=3+1=4，则直线y=﹣x+z过M、N时z最小为zmin当直线y=﹣x+z与圆弧MN相切时z最大，由平面几何知识易知zmax即为原点到切线的距离的倍，也就是圆弧MN所在圆的半径的倍，所以zmax=×=．综上所述，|+|+|﹣|的最小值是4，最大值是．故答案为：4、．【点评】本题考查函数的最值及其几何意义，考查数形结合能力，考查运算求解能力，涉及余弦定理、线性规划等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．16．（4分）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有660 种不同的选法．（用数字作答）【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【专题】11：计算题；32：分类讨论；4O：定义法；5O：排列组合．【分析】由题意分两类选1女3男或选2女2男，再计算即可【解答】解：第一类，先选1女3男，有C63C21=40种，这4人选2人作为队长和副队有A42=12种，故有40×12=480种，第二类，先选2女2男，有C62C22=15种，这4人选2人作为队长和副队有A42=12种，故有15×12=180种，根据分类计数原理共有480+180=660种，故答案为：660【点评】本题考查了分类计数原理和分步计数原理，属于中档题17．（4分）已知a∈R，函数f（x）=|x+﹣a|+a在区间[1，4]上的最大值是5，则a的取值范围是（﹣∞，] ．【考点】3H：函数的最值及其几何意义．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．【分析】通过转化可知|x+﹣a|+a≤5且a≤5，进而解绝对值不等式可知2a﹣5≤x+≤5，进而计算可得结论．【解答】解：由题可知|x+﹣a|+a≤5，即|x+﹣a|≤5﹣a，所以a≤5，又因为|x+﹣a|≤5﹣a，所以a﹣5≤x+﹣a≤5﹣a，所以2a﹣5≤x+≤5，又因为1≤x≤4，4≤x+≤5，所以2a﹣5≤4，解得a≤，故答案为：（﹣∞，]．【点评】本题考查函数的最值，考查绝对值函数，考查转化与化归思想，注意解题方法的积累，属于中档题．三、解答题（共5小题，满分74分）18．（14分）已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣2sinx cosx（x∈R）．（Ⅰ）求f（）的值．（Ⅱ）求f（x）的最小正周期及单调递增区间．【考点】3G：复合函数的单调性；GF：三角函数的恒等变换及化简求值；H1：三角函数的周期性；H5：正弦函数的单调性．【专题】35：转化思想；4R：转化法；57：三角函数的图像与性质．【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数的解析式，（Ⅰ）代入可得：f（）的值．（Ⅱ）根据正弦型函数的图象和性质，可得f（x）的最小正周期及单调递增区间【解答】解：∵函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣2sinx cosx=﹣sin2x﹣cos2x=2sin （2x+）（Ⅰ）f（）=2sin（2×+）=2sin=2，（Ⅱ）∵ω=2，故T=π，即f（x）的最小正周期为π，由2x+∈[﹣+2kπ，+2kπ]，k∈Z得：x∈[﹣+kπ，﹣+kπ]，k∈Z，故f（x）的单调递增区间为[﹣+kπ，﹣+kπ]或写成[kπ+，kπ+]，k∈Z．【点评】本题考查的知识点是三角函数的化简求值，三角函数的周期性，三角函数的单调区间，难度中档．19．（15分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：CE∥平面PAB；（Ⅱ）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．【考点】LS：直线与平面平行；MI：直线与平面所成的角．【专题】14：证明题；31：数形结合；41：向量法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．【分析】（Ⅰ）取AD的中点F，连结EF，CF，推导出EF∥PA，CF∥AB，从而平面EFC∥平面ABP，由此能证明EC∥平面PAB．（Ⅱ）连结BF，过F作FM⊥PB于M，连结PF，推导出四边形BCDF为矩形，从而BF⊥AD，进而AD⊥平面PBF，由AD∥BC，得BC⊥PB，再求出BC⊥MF，由此能求出sinθ．【解答】证明：（Ⅰ）取AD的中点F，连结EF，CF，∵E为PD的中点，∴EF∥PA，在四边形ABCD中，BC∥AD，AD=2DC=2CB，F为中点，∴CF∥AB，∴平面EFC∥平面ABP，∵EC⊂平面EFC，∴EC∥平面PAB．解：（Ⅱ）连结BF，过F作FM⊥PB于M，连结PF，∵PA=PD，∴PF⊥AD，推导出四边形BCDF为矩形，∴BF⊥AD，∴AD⊥平面PBF，又AD∥BC，∴BC⊥平面PBF，∴BC⊥PB，设DC=CB=1，由PC=AD=2DC=2CB，得AD=PC=2，∴PB===，BF=PF=1，∴MF=，又BC⊥平面PBF，∴BC⊥MF，∴MF⊥平面PBC，即点F到平面PBC的距离为，∵MF=，D到平面PBC的距离应该和MF平行且相等，为，E为PD中点，E到平面PBC的垂足也为垂足所在线段的中点，即中位线，∴E到平面PBC的距离为，在，由余弦定理得CE=，设直线CE与平面PBC所成角为θ，则sinθ==．【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．20．（15分）已知函数f（x）=（x﹣）e﹣x（x≥）．（1）求f（x）的导函数；（2）求f（x）在区间[，+∞）上的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．【专题】35：转化思想；48：分析法；53：导数的综合应用．【分析】（1）求出f（x）的导数，注意运用复合函数的求导法则，即可得到所求；（2）求出f（x）的导数，求得极值点，讨论当＜x＜1时，当1＜x＜时，当x＞时，f（x）的单调性，判断f（x）≥0，计算f（），f（1），f（），即可得到所求取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）=（x﹣）e﹣x（x≥），导数f′（x）=（1﹣••2）e﹣x﹣（x﹣）e﹣x=（1﹣x+）e﹣x=（1﹣x）（1﹣）e﹣x；（2）由f（x）的导数f′（x）=（1﹣x）（1﹣）e﹣x，可得f′（x）=0时，x=1或，当＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）递减；当1＜x＜时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x＞时，f′（x）＜0，f（x）递减，且x≥⇔x2≥2x﹣1⇔（x﹣1）2≥0，则f（x）≥0．由f（）=e，f（1）=0，f（）=e，即有f（x）的最大值为e，最小值为f（1）=0．则f（x）在区间[，+∞）上的取值范围是[0，e]．【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查化简整理的运算能力，正确求导是解题的关键，属于中档题．21．（15分）如图，已知抛物线x2=y，点A（﹣，），B（，），抛物线上的点P（x，y）（﹣＜x＜），过点B作直线AP的垂线，垂足为Q．（Ⅰ）求直线AP斜率的取值范围；（Ⅱ）求|PA|•|PQ|的最大值．【考点】KI：圆锥曲线的综合；KN：直线与抛物线的综合．【专题】11：计算题；33：函数思想；49：综合法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（Ⅰ）通过点P在抛物线上可设P（x，x2），利用斜率公式结合﹣＜x ＜可得结论；（Ⅱ）通过（I）知P（x，x2）、﹣＜x＜，设直线AP的斜率为k，联立直线AP、BQ方程可知Q点坐标，进而可用k表示出、，计算可知|PA|•|PQ|=（1+k）3（1﹣k），通过令f（x）=（1+x）3（1﹣x），﹣1＜x＜1，求导结合单调性可得结论．【解答】解：（Ⅰ）由题可知P（x，x2），﹣＜x＜，所以k==x﹣∈（﹣1，1），AP故直线AP斜率的取值范围是：（﹣1，1）；（Ⅱ）由（I）知P（x，x2），﹣＜x＜，所以=（﹣﹣x，﹣x2），设直线AP的斜率为k，则k==x﹣，即x=k+，则AP：y=kx+k+，BQ：y=﹣x++，联立直线AP、BQ方程可知Q（，），故=（，），又因为=（﹣1﹣k，﹣k2﹣k），故﹣|PA|•|PQ|=•=+=（1+k）3（k﹣1），所以|PA|•|PQ|=（1+k）3（1﹣k），令f（x）=（1+x）3（1﹣x），﹣1＜x＜1，则f′（x）=（1+x）2（2﹣4x）=﹣2（1+x）2（2x﹣1），由于当﹣1＜x＜时f′（x）＞0，当＜x＜1时f′（x）＜0，故f（x）max=f（）=，即|PA|•|PQ|的最大值为．【点评】本题考查圆锥曲线的最值问题，考查运算求解能力，考查函数思想，注意解题方法的积累，属于中档题．22．（15分）已知数列{xn }满足：x1=1，xn=xn+1+ln（1+xn+1）（n∈N*），证明：当n∈N*时，（Ⅰ）0＜xn+1＜xn；（Ⅱ）2xn+1﹣xn≤；（Ⅲ）≤xn≤．【考点】8H：数列递推式；8K：数列与不等式的综合．【专题】15：综合题；33：函数思想；35：转化思想；49：综合法；4M：构造法；53：导数的综合应用；54：等差数列与等比数列；55：点列、递归数列与数学归纳法；5T：不等式．【分析】（Ⅰ）用数学归纳法即可证明，（Ⅱ）构造函数，利用导数判断函数的单调性，把数列问题转化为函数问题，即可证明，（Ⅲ）由≥2xn+1﹣xn得﹣≥2（﹣）＞0，继续放缩即可证明【解答】解：（Ⅰ）用数学归纳法证明：x n ＞0， 当n=1时，x 1=1＞0，成立， 假设当n=k 时成立，则x k ＞0，那么n=k+1时，若x k+1＜0，则0＜x k =x k+1+ln （1+x k+1）＜0，矛盾， 故x n+1＞0，因此x n ＞0，（n ∈N*） ∴x n =x n+1+ln （1+x n+1）＞x n+1， 因此0＜x n+1＜x n （n ∈N *），（Ⅱ）由x n =x n+1+ln （1+x n+1）得x n x n+1﹣4x n+1+2x n =x n+12﹣2x n+1+（x n+1+2）ln （1+x n+1）， 记函数f （x ）=x 2﹣2x+（x+2）ln （1+x ），x ≥0 ∴f′（x ）=+ln （1+x ）＞0，∴f （x ）在（0，+∞）上单调递增， ∴f （x ）≥f （0）=0，因此x n+12﹣2x n+1+（x n+1+2）ln （1+x n+1）≥0， 故2x n+1﹣x n ≤；（Ⅲ）∵x n =x n+1+ln （1+x n+1）≤x n+1+x n+1=2x n+1， ∴x n ≥，由≥2x n+1﹣x n 得﹣≥2（﹣）＞0， ∴﹣≥2（﹣）≥…≥2n ﹣1（﹣）=2n ﹣2，∴x n ≤， 综上所述≤x n ≤．【点评】本题考查了数列的概念，递推关系，数列的函数的特征，导数和函数的单调性的关系，不等式的证明，考查了推理论证能力，分析解决问题的能力，运算能力，放缩能力，运算能力，属于难题。

2017年浙江省高考数学试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．（4分）已知集合P={x|﹣1＜x＜1}，Q={x|0＜x＜2}，那么P∪Q=（）A．（﹣1，2）B．（0，1） C．（﹣1，0）D．（1，2）2．（4分）椭圆+=1的离心率是（）A．B．C．D．3．（4分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（）A．+1 B．+3 C．+1 D．+34．（4分）若x、y满足约束条件，则z=x+2y的取值范围是（）A．[0，6]B．[0，4]C．[6，+∞）D．[4，+∞）5．（4分）若函数f（x）=x2+ax+b在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M﹣m（）A．与a有关，且与b有关B．与a有关，但与b无关C．与a无关，且与b无关D．与a无关，但与b有关6．（4分）已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，则“d＞0”是“S4+S6＞2S5”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（4分）函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，则函数y=f（x）的图象可能是（）A．B．C．D．8．（4分）已知随机变量ξi满足P（ξi=1）=p i，P（ξi=0）=1﹣p i，i=1，2．若0＜p1＜p2＜，则（）A．E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）B．E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2）C．E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）D．E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2）9．（4分）如图，已知正四面体D﹣ABC（所有棱长均相等的三棱锥），P、Q、R 分别为AB、BC、CA上的点，AP=PB，==2，分别记二面角D﹣PR﹣Q，D﹣PQ﹣R，D﹣QR﹣P的平面角为α、β、γ，则（）A．γ＜α＜β B．α＜γ＜β C．α＜β＜γ D．β＜γ＜α10．（4分）如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，AC与BD交于点O，记I1=•，I2=•，I3=•，则（）A．I1＜I2＜I3B．I1＜I3＜I2C．I3＜I1＜I2D．I2＜I1＜I3二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分11．（4分）我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度，祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6，S6=．12．（6分）已知a、b∈R，（a+bi）2=3+4i（i是虚数单位），则a2+b2=，ab=．13．（6分）已知多项式（x+1）3（x+2）2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5，则a4=，a5=．14．（6分）已知△ABC，AB=AC=4，BC=2，点D为AB延长线上一点，BD=2，连结CD，则△BDC的面积是，cos∠BDC=．15．（6分）已知向量、满足||=1，||=2，则|+|+|﹣|的最小值是，最大值是．16．（4分）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有种不同的选法．（用数字作答）17．（4分）已知a∈R，函数f（x）=|x+﹣a|+a在区间[1，4]上的最大值是5，则a的取值范围是．三、解答题（共5小题，满分74分）18．（14分）已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣2sinx cosx（x∈R）．（Ⅰ）求f（）的值．（Ⅱ）求f（x）的最小正周期及单调递增区间．19．（15分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：CE∥平面PAB；（Ⅱ）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．20．（15分）已知函数f（x）=（x﹣）e﹣x（x≥）．（1）求f（x）的导函数；（2）求f（x）在区间[，+∞）上的取值范围．21．（15分）如图，已知抛物线x2=y，点A（﹣，），B（，），抛物线上的点P（x，y）（﹣＜x＜），过点B作直线AP的垂线，垂足为Q．（Ⅰ）求直线AP斜率的取值范围；（Ⅱ）求|PA|•|PQ|的最大值．22．（15分）已知数列{x n}满足：x1=1，x n=x n+1+ln（1+x n+1）（n∈N*），证明：当n ∈N*时，＜x n；（Ⅰ）0＜x n+1﹣x n≤；（Ⅱ）2x n+1（Ⅲ）≤x n≤．2017年浙江省高考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．（4分）已知集合P={x|﹣1＜x＜1}，Q={x|0＜x＜2}，那么P∪Q=（）A．（﹣1，2）B．（0，1） C．（﹣1，0）D．（1，2）【分析】直接利用并集的运算法则化简求解即可．【解答】解：集合P={x|﹣1＜x＜1}，Q={x|0＜x＜2}，那么P∪Q={x|﹣1＜x＜2}=（﹣1，2）．故选：A．【点评】本题考查集合的基本运算，并集的求法，考查计算能力．2．（4分）椭圆+=1的离心率是（）A．B．C．D．【分析】直接利用椭圆的简单性质求解即可．【解答】解：椭圆+=1，可得a=3，b=2，则c==，所以椭圆的离心率为：=．故选：B．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．3．（4分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（）A．+1 B．+3 C．+1 D．+3【分析】根据几何体的三视图，该几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成，画出图形，结合图中数据即可求出它的体积．【解答】解：由几何的三视图可知，该几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成，圆锥的底面圆的半径为1，三棱锥的底面是底边长2的等腰直角三角形，圆锥的高和棱锥的高相等均为3，故该几何体的体积为××π×12×3+××××3=+1，故选：A．【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，解题的关键是根据三视图得出原几何体的结构特征，是基础题目．4．（4分）若x、y满足约束条件，则z=x+2y的取值范围是（）A．[0，6]B．[0，4]C．[6，+∞）D．[4，+∞）【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解即可．【解答】解：x、y满足约束条件，表示的可行域如图：目标函数z=x+2y经过C点时，函数取得最小值，由解得C（2，1），目标函数的最小值为：4目标函数的范围是[4，+∞）．故选：D．【点评】本题考查线性规划的简单应用，画出可行域判断目标函数的最优解是解题的关键．5．（4分）若函数f（x）=x2+ax+b在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M﹣m（）A．与a有关，且与b有关B．与a有关，但与b无关C．与a无关，且与b无关D．与a无关，但与b有关【分析】结合二次函数的图象和性质，分类讨论不同情况下M﹣m的取值与a，b的关系，综合可得答案．【解答】解：函数f（x）=x2+ax+b的图象是开口朝上且以直线x=﹣为对称轴的抛物线，①当﹣＞1或﹣＜0，即a＜﹣2，或a＞0时，函数f（x）在区间[0，1]上单调，此时M﹣m=|f（1）﹣f（0）|=|a+1|，故M﹣m的值与a有关，与b无关②当≤﹣≤1，即﹣2≤a≤﹣1时，函数f（x）在区间[0，﹣]上递减，在[﹣，1]上递增，且f（0）＞f（1），此时M﹣m=f（0）﹣f（﹣）=，故M﹣m的值与a有关，与b无关③当0≤﹣＜，即﹣1＜a≤0时，函数f（x）在区间[0，﹣]上递减，在[﹣，1]上递增，且f（0）＜f（1），此时M﹣m=f（1）﹣f（﹣）=1+a+，故M﹣m的值与a有关，与b无关综上可得：M﹣m的值与a有关，与b无关故选：B．【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．6．（4分）已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，则“d＞0”是“S4+S6＞2S5”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据等差数列的求和公式和S4+S6＞2S5，可以得到d＞0，根据充分必要条件的定义即可判断．【解答】解：∵S4+S6＞2S5，∴4a1+6d+6a1+15d＞2（5a1+10d），∴21d＞20d，∴d＞0，故“d＞0”是“S4+S6＞2S5”充分必要条件，故选：C．【点评】本题借助等差数列的求和公式考查了充分必要条件，属于基础题7．（4分）函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，则函数y=f（x）的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】根据导数与函数单调性的关系，当f′（x）＜0时，函数f（x）单调递减，当f′（x）＞0时，函数f（x）单调递增，根据函数图象，即可判断函数的单调性，然后根据函数极值的判断，即可判断函数极值的位置，即可求得函数y=f（x）的图象可能【解答】解：由当f′（x）＜0时，函数f（x）单调递减，当f′（x）＞0时，函数f（x）单调递增，则由导函数y=f′（x）的图象可知：f（x）先单调递减，再单调递增，然后单调递减，最后单调递增，排除A，C，且第二个拐点（即函数的极大值点）在x轴上的右侧，排除B，故选：D．【点评】本题考查导数的应用，考查导数与函数单调性的关系，考查函数极值的判断，考查数形结合思想，属于基础题．8．（4分）已知随机变量ξi满足P（ξi=1）=p i，P（ξi=0）=1﹣p i，i=1，2．若0＜p1＜p2＜，则（）A．E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）B．E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2）C．E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）D．E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2）【分析】由已知得0＜p1＜p2＜，＜1﹣p2＜1﹣p1＜1，求出E（ξ1）=p1，E（ξ2）=p2，从而求出D（ξ1），D（ξ2），由此能求出结果．【解答】解：∵随机变量ξi满足P（ξi=1）=p i，P（ξi=0）=1﹣p i，i=1，2，…，0＜p1＜p2＜，∴＜1﹣p2＜1﹣p1＜1，E（ξ1）=1×p1+0×（1﹣p1）=p1，E（ξ2）=1×p2+0×（1﹣p2）=p2，D（ξ1）=（1﹣p1）2p1+（0﹣p1）2（1﹣p1）=，D（ξ2）=（1﹣p2）2p2+（0﹣p2）2（1﹣p2）=，D（ξ1）﹣D（ξ2）=p1﹣p12﹣（）=（p2﹣p1）（p1+p2﹣1）＜0，∴E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）．故选：A．【点评】本题考查离散型随机变量的数学期望和方差等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．9．（4分）如图，已知正四面体D﹣ABC（所有棱长均相等的三棱锥），P、Q、R 分别为AB、BC、CA上的点，AP=PB，==2，分别记二面角D﹣PR﹣Q，D﹣PQ﹣R，D﹣QR﹣P的平面角为α、β、γ，则（）A．γ＜α＜β B．α＜γ＜β C．α＜β＜γ D．β＜γ＜α【分析】解法一：如图所示，建立空间直角坐标系．设底面△ABC的中心为O．不妨设OP=3．则O（0，0，0），P（0，﹣3，0），C（0，6，0），D（0，0，6），Q，R，利用法向量的夹角公式即可得出二面角．解法二：如图所示，连接OP，OQ，OR，过点O分别作垂线：OE⊥PR，OF⊥PQ，OG⊥QR，垂足分别为E，F，G，连接DE，DF，DG．．可得tanα=．tanβ=，tanγ=．由已知可得：OE＞OG＞OF．即可得出．【解答】解法一：如图所示，建立空间直角坐标系．设底面△ABC的中心为O．不妨设OP=3．则O（0，0，0），P（0，﹣3，0），C（0，6，0），D（0，0，6），B（3，﹣3，0）．Q，R，=，=（0，3，6），=（，6，0），=，=．设平面PDR的法向量为=（x，y，z），则，可得，可得=，取平面ABC的法向量=（0，0，1）．则cos==，取α=arccos．同理可得：β=arccos．γ=arccos．∵＞＞．∴α＜γ＜β．解法二：如图所示，连接OP，OQ，OR，过点O分别作垂线：OE⊥PR，OF⊥PQ，OG⊥QR，垂足分别为E，F，G，连接DE，DF，DG．设OD=h．则tanα=．同理可得：tanβ=，tanγ=．由已知可得：OE＞OG＞OF．∴tanα＜tanγ＜tanβ，α，β，γ为锐角．∴α＜γ＜β．故选：B．【点评】本题考查了空间角、空间位置关系、正四面体的性质、法向量的夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．10．（4分）如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，AC与BD交于点O，记I1=•，I2=•，I3=•，则（）A．I1＜I2＜I3B．I1＜I3＜I2C．I3＜I1＜I2D．I2＜I1＜I3【分析】根据向量数量积的定义结合图象边角关系进行判断即可．【解答】解：∵AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，∴AC=2，∴∠AOB=∠COD＞90°，由图象知OA＜OC，OB＜OD，∴0＞•＞•，•＞0，即I3＜I1＜I2，故选：C．【点评】本题主要考查平面向量数量积的应用，根据图象结合平面向量数量积的定义是解决本题的关键．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分11．（4分）我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度，祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6，S6=．【分析】根据题意画出图形，结合图形求出单位圆的内接正六边形的面积．【解答】解：如图所示，单位圆的半径为1，则其内接正六边形ABCDEF中，△AOB是边长为1的正三角形，所以正六边形ABCDEF的面积为S6=6××1×1×sin60°=．故答案为：．【点评】本题考查了已知圆的半径求其内接正六边形面积的应用问题，是基础题．12．（6分）已知a、b∈R，（a+bi）2=3+4i（i是虚数单位），则a2+b2=5，ab= 2．【分析】a、b∈R，（a+bi）2=3+4i（i是虚数单位），可得3+4i=a2﹣b2+2abi，可得3=a2﹣b2，2ab=4，解出即可得出．【解答】解：a、b∈R，（a+bi）2=3+4i（i是虚数单位），∴3+4i=a2﹣b2+2abi，∴3=a2﹣b2，2ab=4，解得ab=2，，．则a2+b2=5，故答案为：5，2．【点评】本题考查了复数的运算法则、复数的相等、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．13．（6分）已知多项式（x+1）3（x+2）2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5，则a4=16，a5=4．【分析】利用二项式定理的展开式，求解x的系数就是两个多项式的展开式中x 与常数乘积之和，a5就是常数的乘积．【解答】解：多项式（x+1）3（x+2）2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5，（x+1）3中，x的系数是：3，常数是1；（x+2）2中x的系数是4，常数是4，a4=3×4+1×4=16；a5=1×4=4．故答案为：16；4．【点评】本题考查二项式定理的应用，考查计算能力，是基础题．14．（6分）已知△ABC，AB=AC=4，BC=2，点D为AB延长线上一点，BD=2，连结CD，则△BDC的面积是，cos∠BDC=．【分析】如图，取BC得中点E，根据勾股定理求出AE，再求出S△ABC，再根据S△BDC =S△ABC即可求出，根据等腰三角形的性质和二倍角公式即可求出【解答】解：如图，取BC得中点E，∵AB=AC=4，BC=2，∴BE=BC=1，AE⊥BC，∴AE==，∴S△ABC=BC•AE=×2×=，∵BD=2，∴S△BDC =S△ABC=，∵BC=BD=2，∴∠BDC=∠BCD，∴∠ABE=2∠BDC在Rt△ABE中，∵cos∠ABE==，∴cos∠ABE=2cos2∠BDC﹣1=，∴cos∠BDC=，故答案为：，【点评】本题考查了解三角形的有关知识，关键是转化，属于基础题15．（6分）已知向量、满足||=1，||=2，则|+|+|﹣|的最小值是4，最大值是．【分析】通过记∠AOB=α（0≤α≤π），利用余弦定理可可知|+|=、|﹣|=，进而换元，转化为线性规划问题，计算即得结论．【解答】解：记∠AOB=α，则0≤α≤π，如图，由余弦定理可得：|+|=，|﹣|=，令x=，y=，则x2+y2=10（x、y≥1），其图象为一段圆弧MN，如图，令z=x+y，则y=﹣x+z，则直线y=﹣x+z过M、N时z最小为z min=1+3=3+1=4，当直线y=﹣x+z与圆弧MN相切时z最大，由平面几何知识易知z max即为原点到切线的距离的倍，也就是圆弧MN所在圆的半径的倍，所以z max=×=．综上所述，|+|+|﹣|的最小值是4，最大值是．故答案为：4、．【点评】本题考查函数的最值及其几何意义，考查数形结合能力，考查运算求解能力，涉及余弦定理、线性规划等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．16．（4分）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有660种不同的选法．（用数字作答）【分析】由题意分两类选1女3男或选2女2男，再计算即可【解答】解：第一类，先选1女3男，有C63C21=40种，这4人选2人作为队长和副队有A42=12种，故有40×12=480种，第二类，先选2女2男，有C62C22=15种，这4人选2人作为队长和副队有A42=12种，故有15×12=180种，根据分类计数原理共有480+180=660种，故答案为：660【点评】本题考查了分类计数原理和分步计数原理，属于中档题17．（4分）已知a∈R，函数f（x）=|x+﹣a|+a在区间[1，4]上的最大值是5，则a的取值范围是（﹣∞，] ．【分析】通过转化可知|x+﹣a|+a≤5且a≤5，进而解绝对值不等式可知2a﹣5≤x+≤5，进而计算可得结论．【解答】解：由题可知|x+﹣a|+a≤5，即|x+﹣a|≤5﹣a，所以a≤5，又因为|x+﹣a|≤5﹣a，所以a﹣5≤x+﹣a≤5﹣a，所以2a﹣5≤x+≤5，又因为1≤x≤4，4≤x+≤5，所以2a﹣5≤4，解得a≤，故答案为：（﹣∞，]．【点评】本题考查函数的最值，考查绝对值函数，考查转化与化归思想，注意解题方法的积累，属于中档题．三、解答题（共5小题，满分74分）18．（14分）已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣2sinx cosx（x∈R）．（Ⅰ）求f（）的值．（Ⅱ）求f（x）的最小正周期及单调递增区间．【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数的解析式，（Ⅰ）代入可得：f（）的值．（Ⅱ）根据正弦型函数的图象和性质，可得f（x）的最小正周期及单调递增区间【解答】解：∵函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣2sinx cosx=﹣sin2x﹣cos2x=2sin （2x+）（Ⅰ）f（）=2sin（2×+）=2sin=2，（Ⅱ）∵ω=2，故T=π，即f（x）的最小正周期为π，由2x+∈[﹣+2kπ，+2kπ]，k∈Z得：x∈[﹣+kπ，﹣+kπ]，k∈Z，故f（x）的单调递增区间为[﹣+kπ，﹣+kπ]或写成[kπ+，kπ+]，k ∈Z．【点评】本题考查的知识点是三角函数的化简求值，三角函数的周期性，三角函数的单调区间，难度中档．19．（15分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：CE∥平面PAB；（Ⅱ）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）取AD的中点F，连结EF，CF，推导出EF∥PA，CF∥AB，从而平面EFC∥平面ABP，由此能证明EC∥平面PAB．（Ⅱ）连结BF，过F作FM⊥PB于M，连结PF，推导出四边形BCDF为矩形，从而BF⊥AD，进而AD⊥平面PBF，由AD∥BC，得BC⊥PB，再求出BC⊥MF，由此能求出sinθ．【解答】证明：（Ⅰ）取AD的中点F，连结EF，CF，∵E为PD的中点，∴EF∥PA，在四边形ABCD中，BC∥AD，AD=2DC=2CB，F为中点，∴CF∥AB，∴平面EFC∥平面ABP，∵EC⊂平面EFC，∴EC∥平面PAB．解：（Ⅱ）连结BF，过F作FM⊥PB于M，连结PF，∵PA=PD，∴PF⊥AD，推导出四边形BCDF为矩形，∴BF⊥AD，∴AD⊥平面PBF，又AD∥BC，∴BC⊥平面PBF，∴BC⊥PB，设DC=CB=1，由PC=AD=2DC=2CB，得AD=PC=2，∴PB===，BF=PF=1，∴MF=，又BC⊥平面PBF，∴BC⊥MF，∴MF⊥平面PBC，即点F到平面PBC的距离为，∵MF=，D到平面PBC的距离应该和MF平行且相等，为，E为PD中点，E到平面PBC的垂足也为垂足所在线段的中点，即中位线，∴E到平面PBC的距离为，在，由余弦定理得CE=，设直线CE与平面PBC所成角为θ，则sinθ==．【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．20．（15分）已知函数f（x）=（x﹣）e﹣x（x≥）．（1）求f（x）的导函数；（2）求f（x）在区间[，+∞）上的取值范围．【分析】（1）求出f（x）的导数，注意运用复合函数的求导法则，即可得到所求；（2）求出f（x）的导数，求得极值点，讨论当＜x＜1时，当1＜x＜时，当x＞时，f（x）的单调性，判断f（x）≥0，计算f（），f（1），f（），即可得到所求取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）=（x﹣）e﹣x（x≥），导数f′（x）=（1﹣••2）e﹣x﹣（x﹣）e﹣x=（1﹣x+）e﹣x=（1﹣x）（1﹣）e﹣x；（2）由f（x）的导数f′（x）=（1﹣x）（1﹣）e﹣x，可得f′（x）=0时，x=1或，当＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）递减；当1＜x＜时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x＞时，f′（x）＜0，f（x）递减，且x≥⇔x2≥2x﹣1⇔（x﹣1）2≥0，则f（x）≥0．由f（）=e，f（1）=0，f（）=e，即有f（x）的最大值为e，最小值为f（1）=0．则f（x）在区间[，+∞）上的取值范围是[0，e]．【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查化简整理的运算能力，正确求导是解题的关键，属于中档题．21．（15分）如图，已知抛物线x2=y，点A（﹣，），B（，），抛物线上的点P（x，y）（﹣＜x＜），过点B作直线AP的垂线，垂足为Q．（Ⅰ）求直线AP斜率的取值范围；（Ⅱ）求|PA|•|PQ|的最大值．【分析】（Ⅰ）通过点P在抛物线上可设P（x，x2），利用斜率公式结合﹣＜x ＜可得结论；（Ⅱ）通过（I）知P（x，x2）、﹣＜x＜，设直线AP的斜率为k，联立直线AP、BQ方程可知Q点坐标，进而可用k表示出、，计算可知|PA|•|PQ|=（1+k）3（1﹣k），通过令f（x）=（1+x）3（1﹣x），﹣1＜x＜1，求导结合单调性可得结论．【解答】解：（Ⅰ）由题可知P（x，x2），﹣＜x＜，所以k AP==x﹣∈（﹣1，1），故直线AP斜率的取值范围是：（﹣1，1）；（Ⅱ）由（I）知P（x，x2），﹣＜x＜，所以=（﹣﹣x，﹣x2），设直线AP的斜率为k，则AP：y=kx+k+，BQ：y=﹣x++，联立直线AP、BQ方程可知Q（，），故=（，），又因为=（﹣1﹣k，﹣k2﹣k），故﹣|PA|•|PQ|=•=+=（1+k）3（k﹣1），所以|PA|•|PQ|=（1+k）3（1﹣k），令f（x）=（1+x）3（1﹣x），﹣1＜x＜1，则f′（x）=（1+x）2（2﹣4x）=﹣2（1+x）2（2x﹣1），由于当﹣1＜x＜时f′（x）＞0，当＜x＜1时f′（x）＜0，故f（x）max=f（）=，即|PA|•|PQ|的最大值为．【点评】本题考查圆锥曲线的最值问题，考查运算求解能力，考查函数思想，注意解题方法的积累，属于中档题．22．（15分）已知数列{x n}满足：x1=1，x n=x n+1+ln（1+x n+1）（n∈N*），证明：当n ∈N*时，＜x n；（Ⅰ）0＜x n+1﹣x n≤；（Ⅱ）2x n+1（Ⅲ）≤x n≤．【分析】（Ⅰ）用数学归纳法即可证明，（Ⅱ）构造函数，利用导数判断函数的单调性，把数列问题转化为函数问题，即可证明，（Ⅲ）由≥2x n+1﹣x n得﹣≥2（﹣）＞0，继续放缩即可证明【解答】解：（Ⅰ）用数学归纳法证明：x n＞0，当n=1时，x1=1＞0，成立，假设当n=k时成立，则x k＞0，那么n=k+1时，若x k+1＜0，则0＜x k=x k+1+ln（1+x k+1）＜0，矛盾，故x n+1＞0，因此x n＞0，（n∈N*）∴x n=x n+1+ln（1+x n+1）＞x n+1，因此0＜x n+1＜x n（n∈N*），（Ⅱ）由x n=x n+1+ln（1+x n+1）得x n x n+1﹣4x n+1+2x n=x n+12﹣2x n+1+（x n+1+2）ln（1+x n+1），记函数f（x）=x2﹣2x+（x+2）ln（1+x），x≥0∴f′（x）=+ln（1+x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴f（x）≥f（0）=0，因此x n+12﹣2x n+1+（x n+1+2）ln（1+x n+1）≥0，故2x n+1﹣x n≤；（Ⅲ）∵x n=x n+1+ln（1+x n+1）≤x n+1+x n+1=2x n+1，∴x n≥，由≥2x n+1﹣x n得﹣≥2（﹣）＞0，∴﹣≥2（﹣）≥…≥2n﹣1（﹣）=2n﹣2，∴x n≤，综上所述≤x n≤．【点评】本题考查了数列的概念，递推关系，数列的函数的特征，导数和函数的单调性的关系，不等式的证明，考查了推理论证能力，分析解决问题的能力，运算能力，放缩能力，运算能力，属于难题。

【高考试题】2017年浙江省高考数学试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．（4分）已知集合{|11}P x x =-<<，{|02}Q x x =<<，那么(P Q =U ) A ．(1,2)-B ．(0,1)C ．(1,0)-D ．(1,2)【解答】解：集合{|11}P x x =-<<，{|02}Q x x =<<，那么{|12}(1,2)P Q x x =-<<=-U ． 故选：A ．2．（4分）椭圆22194x y +=的离心率是( )A ．133B ．53C ．23 D ．59【解答】解：椭圆22194x y +=，可得3a =，2b =，则945c =-=，所以椭圆的离心率为：53c a =．故选：B ． 3．（4分）某几何体的三视图如图所示（单位：)cm ，则该几何体的体积（单位：3)cm 是()A ．12π+ B ．32π+ C ．312π+ D ．332π+ 【解答】解：由几何的三视图可知，该几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成，圆锥的底面圆的半径为1，三棱锥的底面是底边长2的等腰直角三角形，圆锥的高和棱锥的高相等均为3，故该几何体的体积为2111113223123322ππ⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+，故选：A ．4．（4分）若x 、y 满足约束条件03020x x y x y ⎧⎪+-⎨⎪-⎩……„，则2z x y =+的取值范围是( )A ．[0，6]B ．[0，4]C ．[6，)+∞D ．[4，)+∞【解答】解：x 、y 满足约束条件03020x x y x y ⎧⎪+-⎨⎪-⎩……„，表示的可行域如图：目标函数2z x y =+经过C 点时，函数取得最小值，由3020x y x y +-=⎧⎨-=⎩解得(2,1)C ，目标函数的最小值为：4，目标函数的范围是[4，)+∞．故选：D ．5．（4分）若函数2()f x x ax b =++在区间[0，1]上的最大值是M ，最小值是m ，则(M m -)A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关【解答】解：函数2()f x x ax b =++的图象是开口朝上且以直线2ax =-为对称轴的抛物线，①当12a ->或02a-<，即2a <-，或0a >时，函数()f x 在区间[0，1]上单调，此时|M m f -=（1）(0)||1|f a -=+，故M m -的值与a 有关，与b 无关②当1122a-剟，即21a --剟时，函数()f x 在区间[0，]2a -上递减，在[2a -，1]上递增， 且(0)f f >（1），此时2(0)()24a a M m f f -=--=，故M m -的值与a 有关，与b 无关③当1022a -<„，即10a -<„时，函数()f x 在区间[0，]2a -上递减，在[2a -，1]上递增，且(0)f f <（1），此时M m f -=（1）2()124a a f a --=++，故M m -的值与a 有关，与b 无关，综上可得：M m -的值与a 有关，与b 无关，故选：B ．6．（4分）已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，则“0d >”是“4652S S S +>”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：4652S S S +>Q ，111466152(510)a d a d a d ∴+++>+，2120d d ∴>，0d ∴>，故“0d >”是“4652S S S +>”充分必要条件，故选：C ．7．（4分）函数()y f x =的导函数()y f x ='的图象如图所示，则函数()y f x =的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：由当()0f x '<时，函数()f x 单调递减，当()0f x '>时，函数()f x 单调递增， 则由导函数()y f x ='的图象可知：()f x 先单调递减，再单调递增，然后单调递减，最后单调递增，排除A ，C ，且第二个拐点（即函数的极大值点）在x 轴上的右侧，排除B ， 故选：D ．8．（4分）已知随机变量i ξ满足(1)i i P p ξ==，(0)1i i P p ξ==-，1i =，2．若12102p p <<<，则( )A ．12()()E E ξξ<，12()()D D ξξ<B ．12()()E E ξξ<，12()()D D ξξ>C ．12()()E E ξξ>，12()()D D ξξ< D ．12()()E E ξξ>，12()()D D ξξ>【解答】解：Q 随机变量i ξ满足(1)i i P p ξ==，(0)1i i P p ξ==-，1i =，2，⋯，12102p p <<<，∴2111112p p <-<-<，1111()10(1)E p p p ξ=⨯+⨯-=， 2222()10(1)E p p p ξ=⨯+⨯-=，2221111111()(1)(0)(1)D p p p p p p ξ=-+--=-， 2222222222()(1)(0)(1)D p p p p p p ξ=-+--=-，221211222112()()()()(1)0D D p p p p p p p p ξξ-=---=-+-<， 12()()E E ξξ∴<，12()()D D ξξ<．故选：A ．9．（4分）如图，已知正四面体D ABC -（所有棱长均相等的三棱锥），P 、Q 、R 分别为AB 、BC 、CA 上的点，AP PB =，2BQ CRQC RA==，分别记二面角D PR Q --，D PQ R --，D QR P --的平面角为α、β、γ，则( )A ．γαβ<<B ．αγβ<<C ．αβγ<<D ．βγα<<【解答】解法一：如图所示，建立空间直角坐标系．设底面ABC ∆的中心为O ．不妨设3OP =．则(0O ，0，0)，(0P ，3-，0)，(0C ，6，0)，(0D ，0，62)，(33B 3-，0)．(3,3,0)Q ，(23,0,0)R -，(23,3,0)PR =-u u u r ，(0PD =u u u r ，3，62)，(3PQ =u u u r 6，0)，(33,3,0)QR =--u u u r， (3,3,62)QD =--u u u r．设平面PDR 的法向量为(n x =r ，y ，)z ，则00n PR n PD ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u r r g u u u rr g ，可得23303620x y y z ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩， 可得(6,22,1)n =-r ，取平面ABC 的法向量(0m =r，0，1)．则cos ,||||15m n m n m n <>==r r g r rr r ，取arccos 15α=．同理可得：arccos681β=．2arccos95γ=．Q21595681>>．αγβ∴<<．解法二：如图所示，连接OP ，OQ ，OR ，过点O 分别作垂线：OE PR ⊥，OF PQ ⊥，OG QR ⊥，垂足分别为E ，F ，G ，连接DE ，DF ，DG ．设OD h =．则tan ODOEα=． 同理可得：tan OD OF β=，tan ODOGγ=．由已知可得：OE OG OF >>． tan tan tan αγβ∴<<，α，β，γ为锐角．αγβ∴<<．故选：B ．10．（4分）如图，已知平面四边形ABCD ，AB BC ⊥，2AB BC AD ===，3CD =，AC 与BD 交于点O ，记1I OA OB =u u u r u u u r g ，2I OB OC =u u u r u u u r g ，3I OC OD =u u u r u u u r g ，则( )A ．123I I I <<B ．132I I I <<C ．312I I I <<D ．213I I I <<【解答】解：AB BC ⊥Q ，2AB BC AD ===，3CD =，22AC ∴=，90AOB COD ∴∠=∠>︒，由图象知OA OC <，OB OD <， 0OA OB OC OD ∴>>u u u r u u u r u u u r u u u r g g ，0OB OC >u u u r u u u r g ，即312I I I <<，故选：C ．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分11．（4分）我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度，祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积6S ，6S =33． 【解答】解：如图所示，单位圆的半径为1，则其内接正六边形ABCDEF 中，AOB ∆是边长为1的正三角形，所以正六边形ABCDEF 的面积为 6133611sin 602S =⨯⨯⨯⨯︒=．故答案为：33．12．（6分）已知a 、b R ∈，2()34(a bi i i +=+是虚数单位），则22a b += 5 ，ab = ． 【解答】解：a 、b R ∈，2()34(a bi i i +=+是虚数单位），22342i a b abi ∴+=-+， 223a b ∴=-，24ab =，解得2ab =，21a b =⎧⎨=⎩，21a b =-⎧⎨=-⎩．则225a b +=，故答案为：5，2． 13．（6分）已知多项式32543212345(1)(2)x x x a x a x a x a x a ++=+++++，则4a = 16 ，5a = ．【解答】解：多项式32543212345(1)(2)x x x a x a x a x a x a ++=+++++，3(1)x +中，x 的系数是：3，常数是1；2(2)x +中x 的系数是4，常数是4， 4341416a =⨯+⨯=；5144a =⨯=．故答案为：16；4．14．（6分）已知ABC ∆，4AB AC ==，2BC =，点D 为AB 延长线上一点，2BD =，连。

绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学本试题卷分选择题和非选择题两部分。

全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分3至4页。

满分150分。

考试用时120分钟。

考生注意：1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题纸规定的位置上。

2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。

参考公式：球的表面积公式 锥体的体积公式24S R =π13V Sh =球的体积公式 其中S 表示棱锥的底面面积，h 表示棱锥的高 343V R =π台体的体积公式其中R 表示球的半径 1()3a b V h S S =柱体的体积公式其中S a ，S b 分别表示台体的上、下底面积V =Sh h 表示台体的高其中S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知}11|{<<-=x x P ，}02{<<-=x Q ，则=Q P A ．)1,2(-B ．)0,1(-C ．)1,0(D ．)1,2(--【答案】A【解析】取Q P ,所有元素，得=Q P )1,2(-.2．椭圆22194x y +=的离心率是 A．3B．3C ．23D ．59【答案】B【解析】e == B. 3．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是A ．π2+1 B ．π2+3 C ．3π2+1 D ．3π2+3 【答案】A 【解析】2π1211π3(21)1322V ⨯=⨯⨯+⨯⨯=+，选A. 4．若x ,y 满足约束条件03020x x y x y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则z =x +2y 的取值范围是A ．[0,6]B ．[0,4]C ．[6，+∞]D ．[4,+∞]【答案】D【解析】可行域为一开放区域，所以直线过点(2,1)时取最小值4，无最大值，选D. 5．若函数f (x )=x 2+ ax +b 在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M – mA ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关【答案】B【解析】因为最值在2(0),(1)1,()24a a fb f a b f b ==++-=-中取，所以最值之差一定与b 无关，选B.6．已知等差数列[a n ]的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4 + S 6”>2S 5的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】4652S S S d +-=，所以为充要条件，选C.7．函数y=f (x )的导函数()y f x '=的图像如图所示，则函数y=f (x )的图像可能是【答案】D【解析】原函数先减再增，再减再增，因此选D.8．已知随机变量ξ1满足P （1ξ=1）=p i ，P （1ξ=0）=1—p i ，i =1，2.若0<p 1<p 2<12，则 A ．1E()ξ<2E()ξ，1D()ξ<2D()ξ B ．1E()ξ<2E()ξ，1D()ξ>2D()ξ C ．1E()ξ>2E()ξ，1D()ξ<2D()ξD ．1E()ξ>2E()ξ，1D()ξ>2D()ξ8.【答案】A 【解析】112212(),(),()()E p E p E E ξξξξ==∴<111222121212()(1),()(1),()()()(1)0D p p D p p D D p p p p ξξξξ=-=-∴-=---<，选A.9．如图，已知正四面体D –ABC （所有棱长均相等的三棱锥），PQR 分别为AB ，BC ，CA 上的点，AP=PB ，2BQ CRQC RA==，分别记二面角D –PR –Q ，D –PQ –R ，D –QR –P 的平面较为α,β,γ，则A ．γ<α<βB ．α<γ<βC ．α<β<γD ．β<γ<α【答案】B【解析】设O 为三角形ABC 中心，则O 到PQ 距离最小，O 到PR 距离最大，O 到RQ 距离居中，而高相等，因此αγβ<<所以选B10．如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O ，记1·I O A O B ＝，2·I OB OC ＝，3·I OC OD ＝，则A ．I １<I ２<I ３B ．I １<I ３<I ２C ． I ３<I １<I ２D ．I ２<I １<I ３【答案】C【解析】因为90AOB COD ∠=∠> ,所以0(,)OB OC OA OB OC OD OA OC OB OD ⋅>>⋅>⋅<< 选C非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

2017浙江一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知P ＝{x |－1＜x ＜1}，Q ＝{x |0＜x ＜2}，则P ∪Q ＝( ) A ．(－1，2) B ．(0，1) C ．(－1，0) D ．(1，2) 【解析】利用数轴，取P ，Q 所有元素，得P ∪Q ＝(－1，2)．2．椭圆x 29＋y 24＝1的离心率是A ．133B ．53C ．23D ．59解析 根据题意知，a ＝3，b ＝2，则c ＝a 2－b 2＝5，故椭圆的离心率e ＝c a ＝53，故选B ．3．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )A ．π2＋1B ．π2＋3C ．3π2＋1D ．3π2＋3【解析】由几何体的三视图可得，该几何体是由半个圆锥和一个三棱锥组成的，故该几何体的体积×12π×3＋13×12×2×1×3＝π2＋1，故选A ．V ＝134．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y －3≥0，x －2y ≤0，则z ＝x ＋2y 的取值范围是A ．[0，6]B ．[0，4]C ．[6，＋∞)D ．[4，＋∞)【解析】作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，由z ＝x＋2y ，得y ＝－12x ＋z 2，故z 2是直线y ＝－12x ＋z2在y 轴上的截距，根据图形知，当直线y ＝－12x ＋z 2过A 点时，z2取得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，x ＋y －3＝0，得x ＝2，y ＝1，即A (2，1)，此时，z ＝4，故z ≥4，故选D ．5．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0，1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M – m ( ) A ．与a 有关，且与b 有关 B ．与a 有关，但与b 无关 C ．与a 无关，且与b 无关 D ．与a 无关，但与b 有关【解析】f (x )＝(x ＋a 2)2－a 24＋b ，①．当0≤－a 2≤1时，f (x )min ＝m ＝f (－a 2)＝－a 24＋b ，f (x )max ＝M ＝max{f (0)，f (1)}＝max{b ，1＋a＋b }，故M －m ＝max{a 24，1＋a ＋a 24}与a 有关，与b 无关；②．当－a2＜0时，f (x )在[0，1]上单调递增，故M －m ＝f (1)－f (0)＝1＋a 与a 有关，与b 无关；③．当－a2＞1时，f (x )在[0，1]上单调递减，故M －m ＝f (0)－f (1)＝－1－a 与a 有关，与b 无关．综上所述，M －m 与a 有关，但与b 无关，故选B ．6．已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d ＞0”是“S 4＋S 6＞2S 5”的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【解析】因为{a n }为等差数列，故S 4＋S 6＝4a 1＋6d ＋6a 1＋15d ＝10a 1＋21d ，2S 5＝10a 1＋20d ，S 4＋S 6－2S 5＝d ，故d ＞0⇔S 4＋S 6＞2S 5，故选C ．7．函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图像如图所示，则函数y ＝f (x )的图像可能是 ( )【解析】原函数先减再增，再减再增，且由增变减时，极值点大于0，因此选D ．8．已知随机变量ξi 满足P (ξi ＝1)＝p i ，P (ξi ＝0)＝1－p i ，i ＝1，2．若0＜p 1＜p 2＜12，则( )A ．E (ξ1)＜E (ξ2)，D (ξ1)＜D (ξ2)B ．E (ξ1)＜E (ξ2)，D (ξ1)＞D (ξ2)C ．E (ξ1)＞E (ξ2)，D (ξ1)＜D (ξ2) D ．E (ξ1)＞E (ξ2)，D (ξ1)＞D (ξ2)【解析】由题设可知E (ξ1)＝p 1，E (ξ2)＝p 2，从而E (ξ1)＜E (ξ2)，又D (ξ1)＝p 1(1－p 1)，D (ξ2)＝p 2(1－p 2)，故D (ξ1)－D (ξ2)＝(p 1－p 2)(1－p 1－p 2)＜0．故D (ξ1)＜D (ξ2)．9．如图，已知正四面体D –ABC (所有棱长均相等的三棱锥)，P ，Q ，R 分别为AB ，BC ，CA 上的点，AP ＝PB ，BQ QC ＝CRRA ＝2，分别记二面角D －PR －Q ，D －PQ －R ，D －QR －P 的平面角为α，β，γ，则 ( )A ．γ＜α＜βB ．α＜γ＜βC ．α＜β＜γD ．β＜γ＜α 【解析】设O 为ΔABC 的中心，则点O 到PQ 的距离最小，O 到PR 的距离最大，O 到RQ 的距离最居中，而高相等，故α＜γ＜β，故选B ． 解析如图1，设O 是点D 在底面ABC 内的射影，过O 作OE ⊥PR ，OF ⊥PQ ，OG ⊥RQ ，垂足分别为E ，F ，G ，连接ED ，FD ，GD ，易得ED ⊥PR ，故∠OED 就是二面角D －PR －Q 的平面角，故α＝∠OED ，tan α＝OD OE ，同理tan β＝OD OF ，tan γ＝ODOG.底面的平面图如图2所示，以P 为原点建立平面直角坐标系，不妨设|AB |＝2，则A (－1，0)，B (1，0)，C (0，3)，O (0，33)，因|AP |＝|PB |，|BQ ||QC |＝|CR ||RA |＝2，故Q (13，233)，R (－23，33)，则直线RP 的方程为y ＝－32x ，直线PQ 的方程为y ＝23x ，直线RQ 的方程为y ＝33x ＋539，根据点到直线的距离公式，知|OE |＝22121，|OF |＝3939，|OG |＝13，故|OE |＞|OG |＞|OF |，故tan α＜tan γ＜tan β，又α，β，γ为锐角，故α＜γ＜β，故选B ．10．如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O ，记I 1＝OA →·OB →，I 2＝OB →·OC →，I 3＝OC →·OD →，则( )A ．I 1＜I 2＜I 3B ．I 1＜I 3＜I 2C ．I 3＜I 1＜I 2D ．I 2＜I 1＜I 3【解析】如图所示，四边形ABCE 是正方形，F 为正方形的对角线的交点，易得AO ＜AF ，而∠AFB ＝90°，故∠AOB 与∠COD 为钝角，∠AOD 与∠BOC 为锐角，根据题意，I 1－I 2＝OA →·OB →－OB →·OC →＝OB →·(OA →－OC →)＝OB →·CA →＝|OB →||CA →|·cos ∠AOB ＜0，故I 1＜I 2，同理I 2＞I 3，作AG ⊥BD 于G ，又AB ＝AD ，故OB ＜BG ＝GD ＜OD ，而OA ＜AF ＝FC ＜OC ，故|OA →||OB →|＜|OC →||OD →|，而cos ∠AOB ＝cos ∠COD ＜0，故OA →·OB →＞OC →·OD →，即I 1＞I 3．故I 3＜I 1＜I 2．法二：如图，建立平面直角坐标系，则B (0，0)，A (0，2)，C (2，0)．设D (m ，n )，由AD ＝2和CD ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋(n －2)2＝4，(m －2)2＋n 2＝9，从而有n －m ＝54＞0，∴n ＞m .从而∠DBC ＞45°，又∠BCO ＝45°，∴∠BOC 为锐角．从而∠AOB 为钝角．故I 1＜0，I 3＜0，I 2＞0.又OA ＜OC ，OB ＜OD ，故可设OD ―→＝－λ1OB ―→ (λ1＞1)，OC ―→＝－λ2OA ―→ (λ2＞1)，从而I 3＝OC ―→·OD ―→＝λ1λ2OA ―→·OB ―→＝λ1λ2I 1，又λ1λ2＞1，I 1＜0，I 3＜0，∴I 3＜I 1，∴I 3＜I 1＜I 2.二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11．我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S 内，S 内＝ ．【解析】将正六边形分割为6个等边三角形，则S 内＝6(12×1×1×sin π3)＝332．12．已知a ，b ∈R ，(a ＋b i)2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则a 2＋b 2＝ ，ab ＝ ．解析 由已知(a ＋b i)2＝3＋4i ．即a 2－b 2＋2ab i ＝3＋4i ．从而有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝3，ab ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，则a 2＋b 2＝5，ab ＝2．13．已知多项式(x ＋1)(x ＋2)2＝x 3＋a 1x 4＋a 2x 3＋a 3x 2＋a 4x ＋a 5，则a 4＝_______，a 5＝________．解析 令x ＝0，得a 5＝(0＋1)3(0＋2)2＝4，而(x ＋1)3(x ＋2)2＝(x ＋1)3[(x ＋1)2＋2(x ＋1)＋1]＝(x ＋1)5＋2(x ＋1)4＋(x ＋1)3；则a 4＝C 45＋2C 34＋C 23＝5＋8＋3＝16．14．已知△ABC ，AB ＝AC ＝4，BC ＝2． 点D 为AB 延长线上一点，BD ＝2，连结CD ，则△BDC 的面积是______，cos ∠BDC ＝_______．【解析】依题意作出图形，如图所示，则sin ∠DBC ＝sin ∠ABC ．由题意知AB ＝AC ＝4，BC ＝BD ＝2，则sin ∠ABC ＝154，cos ∠ABC ＝14．故S △BDC ＝12BC ·BD ·sin ∠DBC ＝12×2×2×154＝152．因为cos ∠DBC＝－cos ∠ABC ＝－14＝BD 2＋BC 2－CD 22BD ·BC ＝8－CD 28，故CD ＝10．由余弦定理得，cos ∠BDC ＝4＋10－42×2×10＝104．15．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，则|a ＋b |＋|a －b |的最小值是________，最大值是_______．【解析】由题意，不妨设b ＝(2，0)，a ＝(cos θ，sin θ)，则a ＋b ＝(2＋cos θ，sin θ)，a －b ＝(cos θ－2，sin θ)．令y ＝|a ＋b |＋|a －b |＝（2＋cos θ）2＋sin 2θ＋（cos θ－2）2＋sin 2θ＝5＋4cos θ＋5－4cos θ，令y ＝5＋4cos θ＋5－4cos θ，则y 2＝10＋225－16cos 2θ∈[16，20]．由此可得(|a ＋b |＋|a －b |)max ＝20＝25，(|a ＋b |＋|a －b |)min ＝16＝4，即|a ＋b |＋|a －b |的最小值是4，最大值是25．16．从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有______中不同的选法．(用数字作答) 66017．已知a ∈R ，函数f (x )＝| x ＋4x －a |＋a 在区间[1，4]上的最大值是5，则a 的取值范围是_____．【解析】因x ∈[1，4]，故x ＋4x∈[4，5]，② 当a ≤92时，f (x )max ＝|5－a |＋a ＝5－a ＋a ＝5，符合题意；②当a ＞92时，f (x )max ＝|4－a |＋a ＝2a －4＝5，故a ＝92(矛盾)，故a 的取值范围是(－∞，92]．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．(本题满分14分)已知函数f (x )＝sin 2x －cos 2x －23sin x cos x (x ∈R )．(1)求f (2π3)的值；(2)求f (x )的最小正周期及单调递增区间．【解】(1)f (x )＝sin 2x －cos 2x －23sin x cos x ＝－cos 2x －3sin 2x ＝－2sin(2x ＋π6)，则f (2π3)＝－2sin(4π3＋π6)＝2． (2)f (x )的最小正周期为π．由正弦函数的性质得令2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3，k ∈Z ．故函数f (x )的单调递增区间为[k π＋π6，k π＋2π3]，k ∈Z ．19．(本题满分15分)如图，已知四棱锥P –ABCD ，△PAD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，BC ∥AD ，CD ⊥AD ，PC ＝AD ＝2DC ＝2CB ，E 为PD 的中点．(Ⅰ)证明：CE ∥平面PAB ；(Ⅱ)求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值．【解析】(Ⅰ)如图，设PA 中点为F ，连结EF ，FB ．因E ，F 分别为PD ，PA 中点，故EF ∥AD 且EF＝12AD ，又BC ∥AD ，BC ＝12AD ，故EF ∥BC 且EF ＝BC ，即四边形BCEF 为平行四边形，故CE ∥BF ，因此CE ∥平面PAB ． F H Q P A D E P A D E⑵．分别取BC ，AD 的中点M ，N ．连结PN 交EF 于点Q ，连结MQ ．因E ，F ，N 分别为PD ，PA ，AD 的中点，故Q 为EF 的中点，在平行四边形BCEF 中，MQ ∥CE ，由ΔPAD 为等腰三角形得，PN ⊥AD ．由DC ⊥AD ，N 为AD 的中点得，BN ⊥AD ．故AD ⊥面BNP ，由BC ∥AD 得，BC ⊥面BNP ，故面BCP ⊥面BNP ，过点Q 作BP 的垂线，垂足为H ，连结HM ，HM 为MQ 在面BCP 上的射影，故∠HMQ 为CE 与平面BCP 所成的角．设CD ＝1．在△PCD 中，由PC ＝2，CD ＝1，PD ＝2得CE ＝2，在△PBN中，由PN ＝BN ＝1，PB ＝3得QH ＝14，在Rt △MQH 中，QH ＝14，MQ ＝2，故sin ∠QMH ＝28，故直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值是28．法二 过P 作PH ⊥CD ，交CD 的延长线于点H ．不妨设AD ＝2，∵BC ∥AD ，CD ⊥AD ，则易求DH ＝12，过P 作底面的垂线，垂足为O ，连接OB ，OH ，易得OH ∥BC ，且OP ，OB ，OH 两两垂直．故可以O 为原点，以OH ，OB ，OP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示．(1)证明 由PC ＝AD ＝2DC ＝2CB ，E 为PD 的中点，则可得：D (－1，12，0)，C (－1，32，0)，P (0，0，32)，A (1，12，0)，B (0，32，0)，E (－12，14，34)，则CE →＝(12，－54，34)，P A →＝(1，12，－32)，PB →＝(0，32，－32)．设平面P AB 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·P A →＝x ＋12y －32z ＝0，n ·PB →＝32y －32z ＝0.令y ＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，z ＝3，故n ＝(1，1，3)，故CE →·n ＝12×1＋(－54)×1＋34×3＝0．又CE ⊄平面P AB ，故CE ∥平面P AB ．(2)解 由(1)得PC →＝(－1，32，－32)．设平面PBC 的法向量m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧m ·PB →＝32y －32z ＝0，m ·PC →＝－x ＋32y －32z ＝0.令y ＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，z ＝3，故m ＝(0，1，3)．设直线CE 与平面PBC 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈m ，CE →〉|＝|m ·CE →||m ||CE →|＝124×2＝28．故直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值为28． 20．(本题满分15分)已知函数f (x )＝(x －2x －1)e －x (x ≥12)．(1)求f (x )的导函数；(2)求f (x )在区间[12，＋∞)上的取值范围．【解析】(1)f ′(x )＝(x －2x －1)′e －x ＋(x －2x －1)(e －x )′＝(1－12x －1)e －x －(x －2x －1)e －x ＝(1－x ＋2x －1－12x －1)e －x＝(1－x )⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22x －1e －x(x ＞12)． (2)令f ′(x )＝0，解得x ＝1或52．当x 变化时，f (x )，f ′(x )的变化如下表：x 12 (12，1) 1 (1，52)52 (52，＋∞) f ′(x ) － 0 ＋ 0 － f (x )12e12e －52又f (12)＝12e ，f (1)＝0，f (52)＝12e －52，则f (x )在区间[12，＋∞)上的最大值为12e．又f (x )＝(x －2x －1)e－x＝12(2x －1－1)2e －x ≥0．综上，f (x )在区间[12，＋∞)上的取值范围是[0，12e]． 21．(本题满分15分)如图，已知抛物线x 2＝y ，点A (－12，14)，B (32，94)，抛物线上的点P (x ，y )(－12＜x ＜32)．过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q ．(1)求直线AP 斜率的取值范围； (2)求|P A |·|PQ |的最大值．【解析】(1)设直线AP 的斜率为k ，k ＝x 2－14x ＋12＝x －12，因－12＜x ＜32，故直线AP 斜率的取值范围是(－1，1)．(2)联立直线AP 与BQ 的方程⎩⎨⎧kx －y ＋12k ＋14＝0，x ＋ky －94k －32＝0，解得点Q 的横坐标是x Q ＝－k 2＋4k ＋32（k 2＋1）．因|P A |＝ 1＋k 2(x ＋12)＝1＋k 2(k ＋1)，|PQ |＝ 1＋k 2(x Q －x )＝－（k －1）（k ＋1）2k 2＋1，故|P A |·|PQ |＝－(k －1)(k ＋1)3．令f (k )＝－(k －1)(k ＋1)3，因f ′(k )＝－(4k －2)(k ＋1)2，故f (k )在区间(－1，12)上单调递增，(12，1)上单调递减，因此当k ＝12时，|P A |·|PQ |取得最大值2716．22．(本题满分15分)已知数列{x n }满足：x 1＝1，x n ＝x n ＋1＋ln(1＋x n ＋1)(n ∈N *)．证明：当n ∈N *时， ⑴．0＜x n ＋1＜x n ；⑵．2x n ＋1− x n ≤12x n x n ＋1；⑶．12n －1≤x n ≤12n －2．【解析】⑴．用数学归纳法证明：x n ＞0(n ∈N *)． 当n ＝1时，x 1＝1＞0；假设当n ＝k 时，x k ＞0，那么当n ＝k ＋1时，若x k ＋1≤0，则0＜x k ＝x k ＋1＋ln(1＋x k ＋1)≤0，矛盾，故x k ＋1＞0．因此x n ＞0(n ∈N *)，故x n ＝x n ＋1＋ln(1＋x n ＋1)＞x n ＋1，故0＜x n ＋1＜x n (n ∈N *)； ⑵．由x n ＝x n ＋1＋ln(1＋x n ＋1)＞x n ＋1得，x n x n ＋1－4x n ＋1＋2x n ＝x 2n ＋1－2x n ＋1＋(x n ＋1＋2)ln(1＋x n ＋1)，记函数f (x )＝x 2－2x ＋(x ＋2)ln(1＋x )(x ≥0)，函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增，故f (x )≥f (0)＝0，故x 2n ＋1－2x n ＋1＋(x n ＋1＋2)ln(1＋x n ＋1)＝f (x n ＋1)≥0，2x n ＋1－x n ＝12x n x n ＋1(n ∈N *)；⑶．因x n ＝x n ＋1＋ln(1＋x n ＋1)≤x n ＋1＋x n ＋1，故x n ≥12n －1得，12x n x n ＋1≥2x n ＋1－x n ，1x n ＋1－12≥2(1x n －12)＞0，1x n －12≥2⎝⎛⎭⎫1x n －1－12≥…2n －1(1x 1－12)＝2n －2，故x n ≤12n －2，故12n －1≤x n ≤12n －2(n ∈N *)． 证明 (1)用数学归纳法证明：x n ＞0． 当n ＝1时，x 1＝1＞0．假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，x k ＞0，那么n ＝k ＋1时，若x k ＋1≤0，则0＜x k ＝x k ＋1＋ln(1＋x k ＋1)≤0，矛盾，故x k ＋1＞0，因此x n ＞0(n ∈N *)．所以x n ＝x n ＋1＋ln(1＋x n ＋1)＞x n ＋1，因此0＜x n ＋1＜x n (x ∈N *)．(2)由x n ＝x n ＋1＋ln(1＋x n ＋1)得，x n x n ＋1－4x n ＋1＋2x n ＝x 2n ＋1－2x n ＋1＋(x n ＋1＋2)ln(1＋x n ＋1)．记函数f (x )＝x 2－2x ＋(x ＋2)ln(1＋x )(x ≥0)．f ′(x )＝2x 2＋xx ＋1＋ln(1＋x )＞0(x ＞0)，函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增，所以f (x )≥f (0)＝0，因此x 2n ＋1－2x n ＋1＋(x n ＋1＋2)ln(1＋x n ＋1)＝f (x n ＋1)≥0，故2x n ＋1－x n ≤x n x n ＋12(n ∈N *)． (3)因为x n ＝x n ＋1＋ln(1＋x n ＋1)≤x n ＋1＋x n ＋1＝2x n ＋1，所以x n ≥12x n －1≥122x n －2≥…≥12n －1x 1＝12n －1．故x n ≥12n －1．由x n x n ＋12≥2x n ＋1－x n 得1x n ＋1－12≥2(1x n －12)＞0，所以1x n －12≥2⎝⎛⎭⎫1x n －1－12≥…≥2n －1(1x 1－12)＝2n －2，故x n ≤12n －2．综上，12n －1≤x n ≤12n －2(n ∈N *)．已知a ，b ，c ，d 为实数，且a 2＋b 2＝4，c 2＋d 2＝16，证明：ac ＋bd ≤8．解：由柯西不等式可得：(ac ＋bd )2≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)．因为a 2＋b 2＝4，c 2＋d 2＝16，故(ac ＋bd )2≤64，因此ac ＋bd ≤8．。

数学试卷 第1页（共18页） 数学试卷 第2页（共18页）绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)数 学本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.参考公式：球的表面积公式椎体的体积公式24πS R =1h3V S =球的体积公式其中S 代表椎体的底面积24π3V R =h 表示椎体的高其中R 表示球的半径 台体的体积公式柱体的体积公式()b1h 3a V S S =h V S =其中的a S ，b S 分别表示台体的h 表示柱体的高上、下底面积h 表示台体的高选择题部分(共40分)一、选择题:本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合{}{}-1<1Q=02P x x x x =<<<，，那么PUQ = A .(-1，2)B .(0，1)C .(-1，0)D .(1，2)2.椭圆2214x y +=的离心率是AB C .23 D .593.某几何体的三视图如图所示(单位：cm )，则该几何体的体积(单位：3cm )是第3题图A .π+12B .π+32 C .3π+12D .3π+32 4.若x ，y 满足约束条件0+-30-20x x y x y ⎧⎪⎨⎪⎩≥≥≤，则z 2x y =+的取值范围是A .[0]6,B .[0]4,C .[6+)∞,D .[4+)∞,5.若函数2()=f x x ax b ++在区间[0]1，上的最大值是M ，最小值是m ，则-m M A .与a 有关，且与b 有关 B .与a 有关，但与b 无关 C .与a 无关，且与b 无关D .与a 无关，但与b 有关6.已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，则“0d >”是465"+2"S S S >的 A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件7.函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象如图所示，则函数()y f x =的图象可能是第7题图毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共18页） 数学试卷 第4页（共18页）ABCD8.已知随机变量i ξ满足i 1()i P p ξ==，i ()01P pi ξ==-，12i =，.若12201p p <<<，则 A .12E()E()ξξ＜，12D()D()ξξ＜ B .12E()E()ξξ＜，12D()D()ξξ＞ C .12E()E()ξξ＞，12D()D()ξξ＜ D .12E()E()ξξ＞，12D()D()ξξ＞9.如图，已知正四面体–D ABC （所有棱长均相等的三棱锥），P ，Q ，R 分别为AB ，BC ，CA 上的点，AP PB =，2BQ CRQC RA==.分别记二面角––D PR Q ，––D PQ R ，––D QR P 的平面角为αβγ，，，则A .γαβ<<B .αγβ<<C .αβγ<<D .βγα<<10.如图，已知平面四边形ABCD ，AB BC ⊥，2AB BC AD ＝＝＝，3CD ＝，AC 与BD 交于点O ，记1I OA OB ＝，2I OB OC ＝，3I OC OD ＝，则A .123I I I <<B .132I I I <<C .312I I I <<D .213I I I <<非选择题部分(共110分)二、填空题:本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11.我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度.祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积6S ，6=S ________.12.已知a b R ∈，，2i 34i a b +=+（）(i 是虚数单位)，则22a b +=________，ab =________.13.已知多项式()()5432123453212=x x x a x a x a x a x a +++++++，则4=a ________，5=a ________.14.已知ABC △，4AB AC ==，2BC =.点D 为AB 延长线上一点，2BD =，连接CD ，则BDC △的面积是________，cos BDC ∠=________.15.已知向量a ,b 满足1=a ，2=b ，则+-a +b a b 的最小值是________，最大值是________.16.从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有________种不同的选法.(用数字作答)17.已知a ∈R ，函数4()f x x a a x =+-+在区间[]14，上的最大值是5，则a 的取值范围是________.三、解答题:本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.(本题满分14分)已知函数()22()sin cos cos R f x x x x x x =--∈.(I)求2()3f π的值； (II)求()f x 的最小正周期及单调递增区间.（第9题图）（第10题图）数学试卷 第5页（共18页） 数学试卷 第6页（共18页）19.(本题满分15分) 如图，已知四棱锥P ABCD -，PAD △是以AD 为斜边的等腰直角三角形，BC AD ∥，CD AD ⊥，22PC AD DC CB ===，E 为PD 的中点. (I)证明：CE ∥平面PAB ；(II)求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值.20.(本题满分15分)已知函数(1()e 2x f x x x -⎛⎫= ⎪⎝⎭≥.(I)求()f x 的导函数；(II)求()f x 在区间1+2⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭，上的取值范围.-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________数学试卷 第7页（共18页） 数学试卷 第8页（共18页）21.(本题满分15分)如图，已知抛物线2x y =，点1124A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，3924B ⎛⎫⎪⎝⎭，，抛物线上的点()12,32P x x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭＜＜，过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q .(I )求直线AP 斜率的取值范围；(II )求PA PQ 的最大值.22.(本题满分15分)已知数列{}n x 满足：1=1x ，()()*11ln 1N n n n x x x n ++=++∈. 证明：当*N n ∈时， (I )10n n x x +＜＜；(I I )1122n n n n x x x x ++-≤； (III )1-21122n n n x -≤≤.数学试卷 第9页（共18页） 数学试卷 第10页（共18页）2017年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)数学答案解析选择题部分一、选择题 1.【答案】A【解析】根据集合的并集的定义,得2(1)PUQ =-，. 2.【答案】B【解析】根据题意知,3a =,b 2=,则c ==∴椭圆的离心率c e a =故选B . 3.【答案】A【解析】由几何体的三视图可得,该几何体是由半个圆锥和一个三棱锥组成的,故该几何体的体积1111ππ3+213=+132322V =⨯⨯⨯⨯⨯⨯,故选A . 4.【答案】D【解析】作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示,由z 2x y =+,得1y=22zx -+,∴2z 是直线1=22z y x -+在y 轴上的截距,根据图形知,当直线1=22z y x -+过A 点时,2z取得最小值.由20+30x y x y -=⎧⎨-=⎩,得2x =,1y =,即21A （，）,此时,4z =,∴4x ≥,故选D .5.【答案】B【解析】22()=++b 24a af x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭,①当012a ≤-≤时,min ()=m =()2a f x f -{}{}2max +b ()max (0)(1)max b ++b 4a f x M f f a =-===，，1，∴22max 1+44a a M m a ⎧⎫-=+⎨⎬⎩⎭，与a 有关,与b 无关；②当02a -＜时,()f x 在[]01，上单调递增,∴(1)(0)1M m f f a -==+-与a 有关,与b 无关；③当12a-＞时,()f x 在[]01，上单调递减,∴(0)(1)1f f M m a -=---=与a 有关,但与b 无关,故选B . 6.【答案】C【解析】因为{}n a 为等差数列,所以46111+=466151021a a a S S d d d+++=+,512=1020a S d +,465+2=S S S d -,所以4650+2d S S S ⇔＞＞,故选C .7.【答案】D【解析】根据题意,已知导函数的图象有三个零点,且每个零点的两边导函数值的符号相反,因此函数()f x 在这些零点处取得极值,排除A 、B ；记导函数()f x '的零点从左到右分别为123x x x ，，,又在()1x -∞，()0f x '＜,在()12x x ，上()0f x '＞,所以函数()f x 在()1x -∞，上单调递减,排除C ,故选D .8.【答案】A【解析】根据题意得,1()i E p ξ=，11(-)i i p D p ξ=（），12i =，,∵12102p p ＜＜＜,∴12()()E E ξξ＜,令()f x 在102（，）上单调递增,所以12(p )(p )f f ＜,即12()()D D ξξ＜,故选A . 9.【答案】B【解析】如图1,设O 是点D 在底面ABC 的射影,过O 作OE PR ⊥，OF PQ ⊥，OG RQ ⊥,垂足分别为E 、F 、G ,连接ED 、FD 、GD ,易得ED PR ⊥,∴OED ∠就是二面角D PR Q --的平面角,∴=OED α∠,tan =OD OE α,同理tan =OD OF β,tan =ODOGγ.底面的平面图如图2所示,以P 为原点建立平面直角坐标系,不妨设2AB =,则0,1)A（,数学试卷 第11页（共18页） 数学试卷 第12页（共18页）,0)B （1,C （,O （,∵AP PB =,2BQ CRQC RA ==,∴13Q （,23R （-,则直线RP的方程为y =,直线PQ的方程为y =,直线RQ的方程为y =+,根据点到直线的距离公式,知OE =,OF =,13OG =,∴OE OG OF ＞＞,∴tan tan tan αγβ＜＜,又α，β，γ为锐角,∴αγβ＜＜，故选B .10.【答案】C【解析】如图所示,四边形ABCE 是正方形,F 为正方形的对角线的交点,易得AO ＜AF ,而90AFB ∠=︒,∴AOB ∠与COD ∠为钝角,AOD ∠与BOC ∠为锐角,根据题意,12()cos 0I I OA OB OB OC OB OA OC OB CA OB CA AOB -=-=-==∠＜,∴12I I ＜,同理得23I I ＞,作AG BD ⊥于G ,又AB AD =,∴OB BG GD OD =＜＜,而OA AF FC OC =＜＜,∴OA OB OC OD ＜,而cos =cos 0AOB COD ∠∠＜,∴OA OB OC OD ＞,即13I I ＞,∴312I I I ＜＜,故选C .非选择题二.填空题. 11. 【解析】如图,单位圆内接正六边形由六个边长为1的正三角形组成,所以,正六边形的面积61=612S ⨯⨯. 12.【答案】5 2【解析】∵222+2bi 2i 34i a a b ab =-+=+（）,∴22324a b ab ⎧-=⎨=⎩,∴21a b =⎧⎨=⎩或21a b =-⎧⎨=-⎩,∴225a b +=,2ab =.13.【答案】16 4【解析】由题意知4a 为含x 的项的系数,根据二项式定理得222233143232121216a C C C C =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=,5a是常数项,所以332532124a C C =⨯⨯⨯=. 14. 【解析】在ABC △中,4AB AC ==,2BC =,由余弦定理得2222224241cos ABC=224AB BC AC AB BC +-+-==∠,则sin ABC=sin CBD ∠∠,所以B D C 15=B D BC s 2SCBD △∠.因为2B D B C ==,所以12C DB A BC =∠∠,则cos CDB ∠. 15.【答案】4【解析】解法一：()()()222222222a b a b a b a b a b a b a b a b a b++-=++-++-=+++-=10+2a b a b+-,而()()223a b a b a b a b a b +-+-=-=≥,∴()216a b a b ++-≥,即4a b a b++-≥,即a b a b++-的最小值为4.又2a b a b+-≤,∴a b a b ++-的最大值为.解法二：由向量三角不等式得,()()24a b a b a b a b b ++-+--==≥,又数学试卷 第13页（共18页）数学试卷 第14页（共18页）2a b a b++-==∴a b a b ++-的最大值为16.【答案】660【解析】分两步,第一步,选出4人,由于至少1名女生,故有448655C C -=种不同的选法；第二步,从4人中选出队长、副队长各1人,有2412A =种不同的选法.根据分步乘法计数原理知共有55 12 660⨯=种不同的选法.17.【答案】(92⎤-∞⎥⎦，【解析】∵[]1,4x ∈,∴[]44,5x x +∈,①当92a ≤时,max ()=555f x a a a a -+=-+=,符合题意,②当分92a ＞时,max ()=4245f x a a a -+=-=,∴92a =(矛盾),故a 的取值范围是(92⎤-∞⎥⎦，.三、解答题. 18.【答案】（Ⅰ）2π()23f = （Ⅱ）()f x 的的单调递增区间是()π2ππ,π63k k k Z ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【解析】(Ⅰ)由2πsin 32=,2π1cos 32=-,222π11()32222f ⎛⎫⎛⎫=---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,得2π()23f =. (Ⅱ)由22cos2cos sin x x x =-与sin22sin cos x x x =得π()cos 222sin 26f x x x x ⎛⎫=--=-+ ⎪⎝⎭.所以()f x 的最小正周期是π. 由正弦函数的性质得ππ3π2π22π262k x k +++≤≤,k Z ∈, 解得π2πππ63k x k ++≤≤,k Z ∈,所以()f x 的的单调递增区间是()π2ππ,π63k k k Z ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. 19.【答案】(Ⅰ)如图,设PA 中点为F ,连接EF ,FB .因为E 、F 分別为PD ,PA 中点,所以EF AD∥且1=2EF AD ,又因为BC AD ∥,1=2BC AD ,所以EF BC ∥且=EF BC ,即四边形BCEF 为平行四边形,所以CE BF ∥,因此CE ∥平面PAB . （Ⅱ）直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值是8【解析】(Ⅰ)如图,设PA 中点为F ,连接EF ,FB .因为E 、F 分別为PD ,PA 中点,所以EF AD ∥且1=2EF AD ,又因为BC AD ∥,1=2BC AD ,所以EF BC ∥且=EF BC , 即四边形BCEF 为平行四边形,所以CE BF ∥,因此CE ∥平面PAB . (Ⅱ)分别取BC ,AD 的中点为M ,N .连接PN 交EF 于点Q ,连接MQ .因为E 、F 、N 分别是PD ,PA ,AD 的中点,所以Q 为EF 中点,在平行四边形BCEF 中,MQ CE ∥.由PAD ∆为等腰直角三角形得PN AD ⊥. 由DC AD ⊥,N 是AD 的中点得BN AD ⊥. 所以AD ⊥平面PBN ,由BC AD ∥得BC ⊥平面PBN ,那么平面PBC ⊥平面PBN . 过点Q 作PB 的垂线,垂足为H ,连接MH .MH 是MQ 在平面PBC 上的射影,所以QMH ∠是直线CE 与平面PBC 所成的角.设1CD =.在PCD △中,由2PC =,1CD =,PD =CE , 在PBN △中,由1PN BN ==,PB 得14QH =, 在t R MQH △中,14QH =,MQ = 所以sin =8MQH ∠, 所以,直线CE 与平面PBC .20.【答案】(Ⅰ)因为(1x'=()e ex x--'=-,所以(()12e1()1e e2xx xxf x x x----⎛⎫'=--=⎪⎭⎝＞.(Ⅱ)由()12e()xxf x--'=,解得1x=,52x=.因为又())211e02xf x-=≥,所以()f x在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上的取值范围是1210,e2-⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【解析】(Ⅰ)因为(1x'=,()e ex x--'=-,所以(()12e1()1e e2xx xxf x x x----⎛⎫'=--=⎪⎭⎝＞.(Ⅱ)由()12e()xxf x--'=,解得1x=,52x=.因为又())211e02xf x-=≥,所以()f x在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上的取值范围是1210,e2-⎡⎤⎢⎥⎣⎦.21.【答案】（Ⅰ）()1,1-（Ⅱ）2716【解析】(Ⅰ)设直线AP的斜率为k,2114122xk xx-==-+,因为1322x-＜＜,所以直线AP斜率的取值范围是()1,1-.(Ⅱ)联立直线AP与BQ的方程110,24930,42kx y kx ky k⎧-++=⎪⎪⎨⎪+--=⎪⎩解得点Q的横坐标是()224321Qk kxk-++=+.因为)1x+12PA k⎫==+⎪⎭,)211xQk kPQ x-+-=所以()()311PA PQ k k=--+.令()()()311f k k k=--+,因为()()2()421f k k k'=--+,所以()f k在区间11,2⎛⎫--⎪⎝⎭上单调递增,1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减,因此当12k=时,PA PQ取得最大值2716.22.【答案】(Ⅰ)用数学归纳法证明：0nx＞.当1n=时,110x=＞.假设n k=时,0kx＞,那么+1n k=时,若1kx+≤,则()110=+ln1+0k k kx x x++≤＜,矛盾,故1kx+＞.因此()nN*x n∈＞.数学试卷第15页（共18页）数学试卷第16页（共18页）数学试卷 第17页（共18页） 数学试卷 第18页（共18页）所以()111=+ln 1+n n n n x x x x +++＞. 因此()10N*n n x x n +∈＜≤. (Ⅱ)由()11=+ln 1+n n n x x x ++得,()()2111111x -4=+2=22ln 1+n n n n n n n n n x x x x x x x x ++++++-++.记函数()()()2()22ln 1+0f x x x x x x =-++≥,()()22()ln 1+001x xf x x x x +'=++＞≥,函数()f x 在[)0+∞，上单调递增,所以()(0)=0f x f ≥,因此 ()()211111x22ln 1+=()n n n n n x x x f x +++++-++≥0,故()112N*2n n n n x x x x n ++-≤∈. (III )因为()11111x ln 1+2n n n n n n x x x x x +++++=+≤+=, 所以112n n x -≥. 由1122n n n n x x x x ++-≥得111112022n n x x +⎛⎫-- ⎪⎝⎭≥＞, 所以1-21111111-22=2222n n n n n x x x --⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥≥…≥,故212n n x -≤.综上,()1211N*22n n n x n --∈≤≤.【解析】(Ⅰ)用数学归纳法证明：0n x ＞. 当1n =时,110x =＞. 假设n k =时,0k x ＞,那么+1n k =时,若10k x +≤,则()110=+ln 1+0k k k x x x ++≤＜,矛盾,故10k x +＞. 因此()n 0N*x n ∈＞.所以()111=+ln 1+n n n n x x x x +++＞. 因此()10N*n n x x n +∈＜≤. (Ⅱ)由()11=+ln 1+n n n x x x ++得,()()2111111x -4=+2=22ln 1+n n n n n n n n n x x x x x x x x ++++++-++.记函数()()()2()22ln 1+0f x x x x x x =-++≥,()()22()ln 1+001x xf x x x x +'=++＞≥,函数()f x 在[)0+∞，上单调递增,所以()(0)=0f x f ≥,因此 ()()211111x 22ln 1+=()n n n n n x x x f x +++++-++≥0,故()112N*2n n n n x x x x n ++-≤∈. (III )因为()11111x ln 1+2n n n n n n x x x x x +++++=+≤+=, 所以112n n x -≥. 由1122n n n n x x x x ++-≥得111112022n n x x +⎛⎫-- ⎪⎝⎭≥＞, 所以1-21111111-22=2222n n n n n x x x --⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥≥…≥,故212n n x -≤.综上,()1211N*22n n n x n --∈≤≤.。

数 学（理科)选择题部分(共50分）1.（2017年浙江)已知集合P={x|—1＜x ＜1}，Q=｛0＜x ＜2｝,那么P ∪Q=（ ） A ．（1，2）B ．(0，1）C ．（-1，0）D ．（1，2）1。

A 【解析】利用数轴，取P ，Q 所有元素，得P ∪Q=(—1，2）.2。

(2017年浙江)椭圆错误!+错误!=1的离心率是（ ） A ．错误!B ．错误!C ．错误!D ．错误!2。

B 【解析】e=错误!=错误!.故选B ．3。

（2017年浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位:cm 3）是（ )(第3题图) A ．12π+ B ．32π+ C ．312π+ D ．332π+ 3. A 【解析】根据所给三视图可还原几何体为半个圆锥和半个棱锥拼接而成的组合体,所以，几何体的体积为V=13×3×（错误!+错误!×2×1）=错误!+1.故选A.4. （2017年浙江）若x,y 满足约束条件错误!则z=x+2y 的取值范围是（ ) A ．［0，6］B ．［0，4]C ．［6,+∞）D ．［4，+∞)4。

D 【解析】如图,可行域为一开放区域，所以直线过点(2,1)时取最小值4，无最大值，选D．5。

(2017年浙江)若函数f(x）=x2+ ax+b在区间［0，1］上的最大值是M，最小值是m，则M–m（）A．与a有关，且与b有关B．与a有关，但与b无关C．与a无关，且与b无关D．与a无关，但与b有关5. B 【解析】因为最值f（0）=b，f（1)=1+a+b，f（-错误!）=b-错误!中取，所以最值之差一定与b无关.故选B.6. (2017年浙江)已知等差数列｛a n｝的公差为d，前n项和为S n，则“d〉0”是“S4 + S6〉2S5"的( ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6。

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保持平常心，顺其自然绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学本试题卷分选择题和非选择题两部分。

全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分3至4页。

满分150分。

考试用时120分钟。

考生注意：1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题纸规定的位置上。

2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。

参考公式：球的表面积公式 锥体的体积公式24S R =π13V Sh =球的体积公式 其中S 表示棱锥的底面面积，h 表示棱锥的高 343V R =π台体的体积公式其中R 表示球的半径 1()3a b V h S S =柱体的体积公式其中S a ，S b 分别表示台体的上、下底面积V =Sh h 表示台体的高其中S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知}11|{<<-=x x P ，}02{<<-=x Q ，则=Q P Y A ．)1,2(-B ．)0,1(-C ．)1,0(D ．)1,2(--【答案】A【解析】取Q P ,所有元素，得=Q P Y )1,2(-.2．椭圆221 94x y+=的离心率是A．133B．53C．23D．59【答案】B【解析】945e-==，选B.3．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是A．π2+1 B．π2+3 C．3π2+1 D．3π2+3【答案】A【解析】2π1211π3(21)1322V⨯=⨯⨯+⨯⨯=+，选A.4．若x,y满足约束条件3020xx yx y≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则z=x+2y的取值范围是A．[0,6] B．[0,4] C．[6，+∞]D．[4,+∞]【答案】D【解析】可行域为一开放区域，所以直线过点(2,1)时取最小值4，无最大值，选D.5．若函数f(x)=x2+ ax+b在区间[0,1]上的最大值是M，最小值是m，则M–mA．与a有关，且与b有关B．与a有关，但与b无关C．与a无关，且与b无关D．与a无关，但与b有关【答案】B【解析】因为最值在2(0),(1)1,()24a af b f a b f b==++-=-中取，所以最值之差一定与b无关，选B.6．已知等差数列[a n ]的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4 + S 6”>2S 5的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】4652S S S d +-=，所以为充要条件，选C.7．函数y=f (x )的导函数()y f x '=的图像如图所示，则函数y=f (x )的图像可能是【答案】D【解析】原函数先减再增，再减再增，因此选D.8．已知随机变量ξ1满足P （1ξ=1）=p i ，P （1ξ=0）=1—p i ，i =1，2.若0<p 1<p 2<12，则 A ．1E()ξ<2E()ξ，1D()ξ<2D()ξ B ．1E()ξ<2E()ξ，1D()ξ>2D()ξ C ．1E()ξ>2E()ξ，1D()ξ<2D()ξD ．1E()ξ>2E()ξ，1D()ξ>2D()ξ8.【答案】A【解析】112212(),(),()()E p E p E E ξξξξ==∴<Q111222121212()(1),()(1),()()()(1)0D p p D p p D D p p p p ξξξξ=-=-∴-=---<Q ，选A.9．如图，已知正四面体D –ABC （所有棱长均相等的三棱锥），PQR 分别为AB ，BC ，CA 上的点，AP=PB ，2BQ CRQC RA==，分别记二面角D –PR –Q ，D –PQ –R ，D –QR –P 的平面较为α,β,γ，则A ．γ<α<βB ．α<γ<βC ．α<β<γD ．β<γ<α【答案】B【解析】设O 为三角形ABC 中心，则O 到PQ 距离最小，O 到PR 距离最大，O 到RQ 距离居中，而高相等，因此αγβ<<所以选B10．如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O ，记1·I OA OB u u u r u u u r ＝，2·I OB OC u u u r u u u r ＝，3·I OC OD u u u r u u u r＝，则A ．I １<I ２<I ３B ．I １<I ３<I ２C ． I ３<I １<I ２D ．I ２<I １<I ３【答案】C【解析】因为90AOB COD ∠=∠>o,所以0(,)OB OC OA OB OC OD OA OC OB OD ⋅>>⋅>⋅<<u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rQ选C非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

2017年浙江省高考数学试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1、（4分）已知集合P={x|﹣1＜x＜1}，Q={x|0＜x＜2}，那么P∪Q=（）A、（﹣1，2）B、（0，1）C、（﹣1，0）D、（1，2）2、（4分）椭圆+=1的离心率是（）A、B、C、D、3、（4分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（）A、+1B、+3C、+1D、+34、（4分）若x、y满足约束条件，则z=x+2y的取值范围是（）A、[0，6]B、[0，4]C、[6，+∞）D、[4，+∞）5、（4分）若函数f（x）=x2+ax+b在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M﹣m（）A、与a有关，且与b有关B、与a有关，但与b无关C、与a无关，且与b无关D、与a无关，但与b有关6、（4分）已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，则“d＞0”是“S4+S6＞2S5”的（）A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充分必要条件D、既不充分也不必要条件7、（4分）函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，则函数y=f（x）的图象可能是（）A、B、C、D、8、（4分）已知随机变量ξi满足P（ξi=1）=p i，P（ξi=0）=1﹣p i，i=1，2、若0＜p1＜p2＜，则（）A、E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）B、E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2）C、E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）D、E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2）9、（4分）如图，已知正四面体D﹣ABC（所有棱长均相等的三棱锥），P、Q、R 分别为AB、BC、CA上的点，AP=PB，==2，分别记二面角D﹣PR﹣Q，D﹣PQ﹣R，D﹣QR﹣P的平面角为α、β、γ，则（）A、γ＜α＜βB、α＜γ＜βC、α＜β＜γD、β＜γ＜α10、（4分）如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，AC与BD交于点O，记I1=•，I2=•，I3=•，则（）A、I1＜I2＜I3B、I1＜I3＜I2C、I3＜I1＜I2D、I2＜I1＜I3二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分11、（4分）我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度，祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6，S6=、12、（6分）已知a、b∈R，（a+bi）2=3+4i（i是虚数单位），则a2+b2=，ab=、13、（6分）已知多项式（x+1）3（x+2）2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5，则a4=，a5=、14、（6分）已知△ABC，AB=AC=4，BC=2，点D为AB延长线上一点，BD=2，连结CD，则△BDC的面积是，cos∠BDC=、15、（6分）已知向量、满足||=1，||=2，则|+|+|﹣|的最小值是，最大值是、16、（4分）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有种不同的选法、（用数字作答）17、（4分）已知a∈R，函数f（x）=|x+﹣a|+a在区间[1，4]上的最大值是5，则a的取值范围是、三、解答题（共5小题，满分74分）18、（14分）已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣2sinx cosx（x∈R）、（Ⅰ）求f（）的值、（Ⅱ）求f（x）的最小正周期及单调递增区间、19、（15分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E为PD的中点、（Ⅰ）证明：CE∥平面PAB；（Ⅱ）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值、20、（15分）已知函数f（x）=（x﹣）e﹣x（x≥）、（1）求f（x）的导函数；（2）求f（x）在区间[，+∞）上的取值范围、21、（15分）如图，已知抛物线x2=y，点A（﹣，），B（，），抛物线上的点P（x，y）（﹣＜x＜），过点B作直线AP的垂线，垂足为Q、（Ⅰ）求直线AP斜率的取值范围；（Ⅱ）求|PA|•|PQ|的最大值、22、（15分）已知数列{x n}满足：x1=1，x n=x n+1+ln（1+x n+1）（n∈N*），证明：当n ∈N*时，＜x n；（Ⅰ）0＜x n+1﹣x n≤；（Ⅱ）2x n+1（Ⅲ）≤x n≤、参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1、（4分）已知集合P={x|﹣1＜x＜1}，Q={x|0＜x＜2}，那么P∪Q=（）A、（﹣1，2）B、（0，1）C、（﹣1，0）D、（1，2）题目分析：直接利用并集的运算法则化简求解即可、试题解答：解：集合P={x|﹣1＜x＜1}，Q={x|0＜x＜2}，那么P∪Q={x|﹣1＜x＜2}=（﹣1，2）、故选：A、点评：本题考查集合的基本运算，并集的求法，考查计算能力、2、（4分）椭圆+=1的离心率是（）A、B、C、D、题目分析：直接利用椭圆的简单性质求解即可、试题解答：解：椭圆+=1，可得a=3，b=2，则c==，所以椭圆的离心率为：=、故选：B、点评：本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力、3、（4分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（）A、+1B、+3C、+1D、+3题目分析：根据几何体的三视图，该几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成，画出图形，结合图中数据即可求出它的体积、试题解答：解：由几何的三视图可知，该几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成，圆锥的底面圆的半径为1，三棱锥的底面是底边长2的等腰直角三角形，圆锥的高和棱锥的高相等均为3，故该几何体的体积为××π×12×3+××××3=+1，故选：A、点评：本题考查了空间几何体三视图的应用问题，解题的关键是根据三视图得出原几何体的结构特征，是基础题目、4、（4分）若x、y满足约束条件，则z=x+2y的取值范围是（）A、[0，6]B、[0，4]C、[6，+∞）D、[4，+∞）题目分析：画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解即可、试题解答：解：x、y满足约束条件，表示的可行域如图：目标函数z=x+2y经过C点时，函数取得最小值，由解得C（2，1），目标函数的最小值为：4目标函数的范围是[4，+∞）、故选：D、点评：本题考查线性规划的简单应用，画出可行域判断目标函数的最优解是解题的关键、5、（4分）若函数f（x）=x2+ax+b在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M﹣m（）A、与a有关，且与b有关B、与a有关，但与b无关C、与a无关，且与b无关D、与a无关，但与b有关题目分析：结合二次函数的图象和性质，分类讨论不同情况下M﹣m的取值与a，b的关系，综合可得答案、试题解答：解：函数f（x）=x2+ax+b的图象是开口朝上且以直线x=﹣为对称轴的抛物线，①当﹣＞1或﹣＜0，即a＜﹣2，或a＞0时，函数f（x）在区间[0，1]上单调，此时M﹣m=|f（1）﹣f（0）|=|a+1|，故M﹣m的值与a有关，与b无关②当≤﹣≤1，即﹣2≤a≤﹣1时，函数f（x）在区间[0，﹣]上递减，在[﹣，1]上递增，且f（0）＞f（1），此时M﹣m=f（0）﹣f（﹣）=，故M﹣m的值与a有关，与b无关③当0≤﹣＜，即﹣1＜a≤0时，函数f（x）在区间[0，﹣]上递减，在[﹣，1]上递增，且f（0）＜f（1），此时M﹣m=f（1）﹣f（﹣）=1+a+，故M﹣m的值与a有关，与b无关综上可得：M﹣m的值与a有关，与b无关故选：B、点评：本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键、6、（4分）已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，则“d＞0”是“S4+S6＞2S5”的（）A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充分必要条件D、既不充分也不必要条件题目分析：根据等差数列的求和公式和S4+S6＞2S5，可以得到d＞0，根据充分必要条件的定义即可判断、试题解答：解：∵S4+S6＞2S5，∴4a1+6d+6a1+15d＞2（5a1+10d），∴21d＞20d，∴d＞0，故“d＞0”是“S4+S6＞2S5”充分必要条件，故选：C、点评：本题借助等差数列的求和公式考查了充分必要条件，属于基础题7、（4分）函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，则函数y=f（x）的图象可能是（）A、B、C、D、题目分析：根据导数与函数单调性的关系，当f′（x）＜0时，函数f（x）单调递减，当f′（x）＞0时，函数f（x）单调递增，根据函数图象，即可判断函数的单调性，然后根据函数极值的判断，即可判断函数极值的位置，即可求得函数y=f （x）的图象可能试题解答：解：由当f′（x）＜0时，函数f（x）单调递减，当f′（x）＞0时，函数f（x）单调递增，则由导函数y=f′（x）的图象可知：f（x）先单调递减，再单调递增，然后单调递减，最后单调递增，排除A，C，且第二个拐点（即函数的极大值点）在x轴上的右侧，排除B，故选：D、点评：本题考查导数的应用，考查导数与函数单调性的关系，考查函数极值的判断，考查数形结合思想，属于基础题、8、（4分）已知随机变量ξi满足P（ξi=1）=p i，P（ξi=0）=1﹣p i，i=1，2、若0＜p1＜p2＜，则（）A、E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）B、E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2）C、E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）D、E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2）题目分析：由已知得0＜p1＜p2＜，＜1﹣p2＜1﹣p1＜1，求出E（ξ1）=p1，E （ξ2）=p2，从而求出D（ξ1），D（ξ2），由此能求出结果、试题解答：解：∵随机变量ξi满足P（ξi=1）=p i，P（ξi=0）=1﹣p i，i=1，2，…，0＜p1＜p2＜，∴＜1﹣p2＜1﹣p1＜1，E（ξ1）=1×p1+0×（1﹣p1）=p1，E（ξ2）=1×p2+0×（1﹣p2）=p2，D（ξ1）=（1﹣p1）2p1+（0﹣p1）2（1﹣p1）=，D（ξ2）=（1﹣p2）2p2+（0﹣p2）2（1﹣p2）=，D（ξ1）﹣D（ξ2）=p1﹣p12﹣（）=（p2﹣p1）（p1+p2﹣1）＜0，∴E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）、故选：A、点评：本题考查离散型随机变量的数学期望和方差等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题、9、（4分）如图，已知正四面体D﹣ABC（所有棱长均相等的三棱锥），P、Q、R 分别为AB、BC、CA上的点，AP=PB，==2，分别记二面角D﹣PR﹣Q，D﹣PQ﹣R，D﹣QR﹣P的平面角为α、β、γ，则（）A、γ＜α＜βB、α＜γ＜βC、α＜β＜γD、β＜γ＜α题目分析：解法一：如图所示，建立空间直角坐标系、设底面△ABC的中心为O、不妨设OP=3、则O（0，0，0），P（0，﹣3，0），C（0，6，0），D（0，0，6），Q，R，利用法向量的夹角公式即可得出二面角、解法二：如图所示，连接OP，OQ，OR，过点O分别作垂线：OE⊥PR，OF⊥PQ，OG⊥QR，垂足分别为E，F，G，连接DE，DF，DG、、可得tanα=、tanβ=，tanγ=、由已知可得：OE＞OG＞OF、即可得出、试题解答：解法一：如图所示，建立空间直角坐标系、设底面△ABC的中心为O、不妨设OP=3、则O（0，0，0），P（0，﹣3，0），C（0，6，0），D（0，0，6），B（3，﹣3，0）、Q，R，=，=（0，3，6），=（，6，0），=，=、设平面PDR的法向量为=（x，y，z），则，可得，可得=，取平面ABC的法向量=（0，0，1）、则cos==，取α=arccos、同理可得：β=arccos、γ=arccos、∵＞＞、∴α＜γ＜β、解法二：如图所示，连接OP，OQ，OR，过点O分别作垂线：OE⊥PR，OF⊥PQ，OG⊥QR，垂足分别为E，F，G，连接DE，DF，DG、设OD=h、则tanα=、同理可得：tanβ=，tanγ=、由已知可得：OE＞OG＞OF、∴tanα＜tanγ＜tanβ，α，β，γ为锐角、∴α＜γ＜β、故选：B、点评：本题考查了空间角、空间位置关系、正四面体的性质、法向量的夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题、10、（4分）如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，AC与BD交于点O，记I1=•，I2=•，I3=•，则（）A、I1＜I2＜I3B、I1＜I3＜I2C、I3＜I1＜I2D、I2＜I1＜I3题目分析：根据向量数量积的定义结合图象边角关系进行判断即可、试题解答：解：∵AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，∴AC=2，∴∠AOB=∠COD＞90°，由图象知OA＜OC，OB＜OD，∴0＞•＞•，•＞0，即I3＜I1＜I2，故选：C、点评：本题主要考查平面向量数量积的应用，根据图象结合平面向量数量积的定义是解决本题的关键、二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分11、（4分）我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度，祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6，S6=、题目分析：根据题意画出图形，结合图形求出单位圆的内接正六边形的面积、试题解答：解：如图所示，单位圆的半径为1，则其内接正六边形ABCDEF中，△AOB是边长为1的正三角形，所以正六边形ABCDEF的面积为S6=6××1×1×sin60°=、故答案为：、点评：本题考查了已知圆的半径求其内接正六边形面积的应用问题，是基础题、12、（6分）已知a、b∈R，（a+bi）2=3+4i（i是虚数单位），则a2+b2=5，ab= 2、题目分析：a、b∈R，（a+bi）2=3+4i（i是虚数单位），可得3+4i=a2﹣b2+2abi，可得3=a2﹣b2，2ab=4，解出即可得出、试题解答：解：a、b∈R，（a+bi）2=3+4i（i是虚数单位），∴3+4i=a2﹣b2+2abi，∴3=a2﹣b2，2ab=4，解得ab=2，，、则a2+b2=5，故答案为：5，2、点评：本题考查了复数的运算法则、复数的相等、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题、13、（6分）已知多项式（x+1）3（x+2）2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5，则a4=16，a5=4、题目分析：利用二项式定理的展开式，求解x的系数就是两个多项式的展开式中x与常数乘积之和，a5就是常数的乘积、试题解答：解：多项式（x+1）3（x+2）2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5，（x+1）3中，x的系数是：3，常数是1；（x+2）2中x的系数是4，常数是4，a4=3×4+1×4=16；a5=1×4=4、故答案为：16；4、点评：本题考查二项式定理的应用，考查计算能力，是基础题、14、（6分）已知△ABC，AB=AC=4，BC=2，点D为AB延长线上一点，BD=2，连结CD，则△BDC的面积是，cos∠BDC=、题目分析：如图，取BC得中点E，根据勾股定理求出AE，再求出S△ABC，再根据S△BDC=S△ABC即可求出，根据等腰三角形的性质和二倍角公式即可求出试题解答：解：如图，取BC得中点E，∵AB=AC=4，BC=2，∴BE=BC=1，AE⊥BC，∴AE==，∴S△ABC=BC•AE=×2×=，∵BD=2，∴S△BDC =S△ABC=，∵BC=BD=2，∴∠BDC=∠BCD，∴∠ABE=2∠BDC在Rt△ABE中，∵cos∠ABE==，∴cos∠ABE=2cos2∠BDC﹣1=，∴cos∠BDC=，故答案为：，点评：本题考查了解三角形的有关知识，关键是转化，属于基础题15、（6分）已知向量、满足||=1，||=2，则|+|+|﹣|的最小值是4，最大值是、题目分析：通过记∠AOB=α（0≤α≤π），利用余弦定理可可知|+|=、|﹣|=，进而换元，转化为线性规划问题，计算即得结论、试题解答：解：记∠AOB=α，则0≤α≤π，如图，由余弦定理可得：|+|=，|﹣|=，令x=，y=，则x2+y2=10（x、y≥1），其图象为一段圆弧MN，如图，令z=x+y，则y=﹣x+z，则直线y=﹣x+z过M、N时z最小为z min=1+3=3+1=4，当直线y=﹣x+z与圆弧MN相切时z最大，由平面几何知识易知z max即为原点到切线的距离的倍，也就是圆弧MN所在圆的半径的倍，所以z max=×=、综上所述，|+|+|﹣|的最小值是4，最大值是、故答案为：4、、点评：本题考查函数的最值及其几何意义，考查数形结合能力，考查运算求解能力，涉及余弦定理、线性规划等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题、16、（4分）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有660种不同的选法、（用数字作答）题目分析：由题意分两类选1女3男或选2女2男，再计算即可试题解答：解：第一类，先选1女3男，有C63C21=40种，这4人选2人作为队长和副队有A42=12种，故有40×12=480种，第二类，先选2女2男，有C62C22=15种，这4人选2人作为队长和副队有A42=12种，故有15×12=180种，根据分类计数原理共有480+180=660种，故答案为：660点评：本题考查了分类计数原理和分步计数原理，属于中档题17、（4分）已知a∈R，函数f（x）=|x+﹣a|+a在区间[1，4]上的最大值是5，则a的取值范围是（﹣∞，] 、题目分析：通过转化可知|x+﹣a|+a≤5且a≤5，进而解绝对值不等式可知2a ﹣5≤x+≤5，进而计算可得结论、试题解答：解：由题可知|x+﹣a|+a≤5，即|x+﹣a|≤5﹣a，所以a≤5，又因为|x+﹣a|≤5﹣a，所以a﹣5≤x+﹣a≤5﹣a，所以2a﹣5≤x+≤5，又因为1≤x≤4，4≤x+≤5，所以2a﹣5≤4，解得a≤，故答案为：（﹣∞，]、点评：本题考查函数的最值，考查绝对值函数，考查转化与化归思想，注意解题方法的积累，属于中档题、三、解答题（共5小题，满分74分）18、（14分）已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣2sinx cosx（x∈R）、（Ⅰ）求f（）的值、（Ⅱ）求f（x）的最小正周期及单调递增区间、题目分析：利用二倍角公式及辅助角公式化简函数的解析式，（Ⅰ）代入可得：f（）的值、（Ⅱ）根据正弦型函数的图象和性质，可得f（x）的最小正周期及单调递增区间试题解答：解：∵函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣2sinx cosx=﹣sin2x﹣cos2x=2sin （2x+）（Ⅰ）f（）=2sin（2×+）=2sin=2，（Ⅱ）∵ω=2，故T=π，即f（x）的最小正周期为π，由2x+∈[﹣+2kπ，+2kπ]，k∈Z得：x∈[﹣+kπ，﹣+kπ]，k∈Z，故f（x）的单调递增区间为[﹣+kπ，﹣+kπ]或写成[kπ+，kπ+]，k ∈Z、点评：本题考查的知识点是三角函数的化简求值，三角函数的周期性，三角函数的单调区间，难度中档、19、（15分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E为PD的中点、（Ⅰ）证明：CE∥平面PAB；（Ⅱ）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值、题目分析：（Ⅰ）取AD的中点F，连结EF，CF，推导出EF∥PA，CF∥AB，从而平面EFC∥平面ABP，由此能证明EC∥平面PAB、（Ⅱ）连结BF，过F作FM⊥PB于M，连结PF，推导出四边形BCDF为矩形，从而BF⊥AD，进而AD⊥平面PBF，由AD∥BC，得BC⊥PB，再求出BC⊥MF，由此能求出sinθ、试题解答：证明：（Ⅰ）取AD的中点F，连结EF，CF，∵E为PD的中点，∴EF∥PA，在四边形ABCD中，BC∥AD，AD=2DC=2CB，F为中点，∴CF∥AB，∴平面EFC∥平面ABP，∵EC⊂平面EFC，∴EC∥平面PAB、解：（Ⅱ）连结BF，过F作FM⊥PB于M，连结PF，∵PA=PD，∴PF⊥AD，推导出四边形BCDF为矩形，∴BF⊥AD，∴AD⊥平面PBF，又AD∥BC，∴BC⊥平面PBF，∴BC⊥PB，设DC=CB=1，由PC=AD=2DC=2CB，得AD=PC=2，∴PB===，BF=PF=1，∴MF=，又BC⊥平面PBF，∴BC⊥MF，∴MF⊥平面PBC，即点F到平面PBC的距离为，∵MF=，D到平面PBC的距离应该和MF平行且相等，为，E为PD中点，E到平面PBC的垂足也为垂足所在线段的中点，即中位线，∴E到平面PBC的距离为，在，由余弦定理得CE=，设直线CE与平面PBC所成角为θ，则sinθ==、点评：本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题、20、（15分）已知函数f（x）=（x﹣）e﹣x（x≥）、（1）求f（x）的导函数；（2）求f（x）在区间[，+∞）上的取值范围、题目分析：（1）求出f（x）的导数，注意运用复合函数的求导法则，即可得到所求；（2）求出f（x）的导数，求得极值点，讨论当＜x＜1时，当1＜x＜时，当x＞时，f（x）的单调性，判断f（x）≥0，计算f（），f（1），f（），即可得到所求取值范围、试题解答：解：（1）函数f（x）=（x﹣）e﹣x（x≥），导数f′（x）=（1﹣••2）e﹣x﹣（x﹣）e﹣x=（1﹣x+）e﹣x=（1﹣x）（1﹣）e﹣x；（2）由f（x）的导数f′（x）=（1﹣x）（1﹣）e﹣x，可得f′（x）=0时，x=1或，当＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）递减；当1＜x＜时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x＞时，f′（x）＜0，f（x）递减，且x≥⇔x2≥2x﹣1⇔（x﹣1）2≥0，则f（x）≥0、由f（）=e，f（1）=0，f（）=e，即有f（x）的最大值为e，最小值为f（1）=0、则f（x）在区间[，+∞）上的取值范围是[0，e]、点评：本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查化简整理的运算能力，正确求导是解题的关键，属于中档题、21、（15分）如图，已知抛物线x2=y，点A（﹣，），B（，），抛物线上的点P（x，y）（﹣＜x＜），过点B作直线AP的垂线，垂足为Q、（Ⅰ）求直线AP斜率的取值范围；（Ⅱ）求|PA|•|PQ|的最大值、题目分析：（Ⅰ）通过点P在抛物线上可设P（x，x2），利用斜率公式结合﹣＜x＜可得结论；（Ⅱ）通过（I）知P（x，x2）、﹣＜x＜，设直线AP的斜率为k，联立直线AP、BQ方程可知Q点坐标，进而可用k表示出、，计算可知|PA|•|PQ|=（1+k）3（1﹣k），通过令f（x）=（1+x）3（1﹣x），﹣1＜x＜1，求导结合单调性可得结论、试题解答：解：（Ⅰ）由题可知P（x，x2），﹣＜x＜，所以k AP==x﹣∈（﹣1，1），故直线AP斜率的取值范围是：（﹣1，1）；（Ⅱ）由（I）知P（x，x2），﹣＜x＜，所以=（﹣﹣x，﹣x2），设直线AP的斜率为k，则AP：y=kx+k+，BQ：y=﹣x++，联立直线AP、BQ方程可知Q（，），故=（，），又因为=（﹣1﹣k，﹣k2﹣k），故﹣|PA|•|PQ|=•=+=（1+k）3（k﹣1），所以|PA|•|PQ|=（1+k）3（1﹣k），令f（x）=（1+x）3（1﹣x），﹣1＜x＜1，则f′（x）=（1+x）2（2﹣4x）=﹣2（1+x）2（2x﹣1），由于当﹣1＜x＜时f′（x）＞0，当＜x＜1时f′（x）＜0，故f（x）max=f（）=，即|PA|•|PQ|的最大值为、点评：本题考查圆锥曲线的最值问题，考查运算求解能力，考查函数思想，注意解题方法的积累，属于中档题、22、（15分）已知数列{x n}满足：x1=1，x n=x n+1+ln（1+x n+1）（n∈N*），证明：当n ∈N*时，＜x n；（Ⅰ）0＜x n+1（Ⅱ）2x n﹣x n≤；+1（Ⅲ）≤x n≤、题目分析：（Ⅰ）用数学归纳法即可证明，（Ⅱ）构造函数，利用导数判断函数的单调性，把数列问题转化为函数问题，即可证明，﹣x n得﹣≥2（﹣）＞0，继续放缩即可证明（Ⅲ）由≥2x n+1试题解答：解：（Ⅰ）用数学归纳法证明：x n＞0，当n=1时，x1=1＞0，成立，假设当n=k时成立，则x k＞0，那么n=k+1时，若x k＜0，则0＜x k=x k+1+ln（1+x k+1）＜0，矛盾，+1＞0，故x n+1因此x n＞0，（n∈N*）∴x n=x n+1+ln（1+x n+1）＞x n+1，因此0＜x n+1＜x n（n∈N*），（Ⅱ）由x n=x n+1+ln（1+x n+1）得x n x n+1﹣4x n+1+2x n=x n+12﹣2x n+1+（x n+1+2）ln（1+x n+1），记函数f（x）=x2﹣2x+（x+2）ln（1+x），x≥0∴f′（x）=+ln（1+x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴f（x）≥f（0）=0，因此x n+12﹣2x n+1+（x n+1+2）ln（1+x n+1）≥0，故2x n+1﹣x n≤；（Ⅲ）∵x n=x n+1+ln（1+x n+1）≤x n+1+x n+1=2x n+1，∴x n≥，由≥2x n+1﹣x n得﹣≥2（﹣）＞0，∴﹣≥2（﹣）≥…≥2n﹣1（﹣）=2n﹣2，∴x n≤，综上所述≤x n≤点评：本题考查了数列的概念，递推关系，数列的函数的特征，导数和函数的单调性的关系，不等式的证明，考查了推理论证能力，分析解决问题的能力，运算能力，放缩能力，运算能力，属于难题。

2021浙江m、选择题：本大题共 10小题,每题4分,共40分.在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项 符合题目要求的.1. P= {x| —1vxv 1}, Q={x|0vxv 2},那么 PU Q=()B. (0, 1)C. (-1, 0)D. (1 , 2) P, Q 所有元素,得PU Q=(-1, 2).A. 2+ 1 B •#3 C.32J+ 1D. 325+ 3【解析】由几何体的三视图可得,该几何体是由半个圆锥和一个三棱锥组成的,故该几何体的体积 1 11 1 兀V= 3 X 2 7t x 3 + IX5X 2X 1 X3 = 2+1 ,应选 A.x> 0,4.假设x, y 满足约束条件 x+ y-3>0,那么z=x+ 2y 的取值范围 x — 2y< 0, 是 A. [0, 6] B. [0, 4]C, [6, +00) D. [4, +8)【解析】作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影局部所示, 由z= x一 1 z 一 Z 一... 1 z ......................... ... .,一一 + 2y,得y= —/+于 故5是直线y= —1x + 2在y 轴上的截距,根据图 形知,当直线y= —1x + z 过A 点时,z 取得最小值.由x 2y 0'得x=2, y= 1,即A(2, 1),2 2 2x+y- 3=0,此时,z=4,故z>4,应选D.5 .假设函数f(x) = x 2+ax+b 在区间[0, 1]上的最大值是 M ,最小值是 m,那么M -m( )A.与 a 有关,且与 b 有关B.与 a 有关,但与 b 无关A. (—1, 2)【解析】利用数轴,取 上…x 2 y 2 ,2.椭圆 9+4=1 的离心率是解析根据题意知,D.a= 3, b = 2,那么c= J a 2— b 2 =15,故椭圆的离心率 e= c =^—,应选B. a 33.某几何体的三视图如下图(单位：cm),那么该几何体的体积(单位:cm 3)>( )C.与a 无关,且与b 无关D.与a 无关,但与b 有关 a 一 a 2 【解析】f(x)= (x + 2)2—了+ b, aa a 2.①.当 0W —a & 1 时,f(x)min= m= f ( -2)= — —+ b, f(x)max= M = max{f(0), f(1)}=max{b, 2 2a 2. a2+ b},故 M — m = max{—, 1 + a+ 4}与 a 有关,与 b 无关;一 . a②.当一-< 0时,f(x)在［0, 1］上单倜递增,故 M —m=f(1) —f(0) = 1+a 与a 有关,与b 无关；③.当一|> 1时,f(x)在［0, 1］上单调递减,故 M —m=f(0)—f(1)=—1 —a 与a 有关,与b 无 关. 综上所述,M —m 与a 有关,但与b 无关,应选B.6 .等差数列｛a n ｝的公差为d,前n 项和为那么“d>0〞是“ S t+Ss>28〞的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】由于｛a n ｝为等差数列,故 Si+S6=4a 1+6d+6a 1+15d=10a I+21d, 2s=10a I+20d, S t+ S5-2S5=d,故 d>0?& + Ss>28,应选 C.7 .函数y=f(x)的导函数y= f'x)的图像如下图,那么函数y=f(x)的图像可能是( )18 .随机变量&满足 P(&=1)=pi, P(&=0)=1—pi, i=1, 2.假设 0vp1vp2<5,那么()C. E(3)>E(2), D(3)VD(a)D. E(3)>E(2), D(&)>D(2)【解析】由题设可知 E(H)=p 1, E (垣)= p 2,从而 E(8)vE (为,又 D(&)= p 〔(1—p 1),D(垣)=p 2(1 —p 2), 故 D(8)—D(&) = (p ［一 p 2)(1— p ［一 p 2)<0.故 D(3)vD(2).9 .如图,正四面体 D*BQ 所有棱长均相等的三棱锥),巳Q, R 分别为AB, BC, CA 上的 点,AP= PB, QQ= 券 2,分别记二面角 D — PR — Q, D- PQ — R, D-QR- P 的平面角为a,以〞 那么( )A. y< a< 3B. a< 3C. a< 3V 丫D. 3V a【解析】设.为A ABC 的中央,那么点 .至ij PQ 的距离最小,.到 PR 的距离最大,.到RQ 的距离最居中,而高相等,故“V 伯3, 太 应选B.解析如图1,设O 是点D 在底面ABC 内的射影,过.作OE^PR, Z/7 \\OFXPQ, OGXRQ,垂足分别为 E, F, G,连接 ED , FD , GD , 川 \ \易得EDXPR,故/ OED 就是二面角D —PR —Q 的平面角,故a 蚌三 =O OED, tan a =器",同理tan 3= OD, tan 尸OD.底面的平面图 H如图2所示,以P 为原点建立平面直角坐标系,不妨设|AB|=2,那么A(-1, 0), B(1, 0), C(0, V 3),.(0,乎),因|AP|=|PB|,黑=鬻=2,故Q(1 2® R(-2号),那么直线RP 的方程为y=-当 3|QC| |RA| 333 3 2x,直线PQ 的方程为y=2\5x,直线RQ 的方程为y =J 33x +593,根据点到直线的距离公式, 知|OE|1 +aA. E(3)VE(a), D ⑶VD(a)B. E(3)〈E( 2), D(d)>D(a)=2^1^,|OF|=^3P,QG| = (,故|OE|> |OG|> |OF|,故tan a< tan y<tan 3,又a, 3, 丫为锐角,故a< y<氏应选B .10 .如图,平面四边形ABCD, ABXBC, AB=BC = AD=2, CD = 3, AC与BD交于点O, 记I I = O A-O B,I2=OB O C,I3=OC(O D,那么()A . Iivl2V 13 B. Iivl3V I2 C. I3V I1V I2 D. I2V I1V I3【解析】如下图,四边形ABCE是正方形,F为正方形的对角线的交点, 易得AOVAF,而/ AFB= 90°,故/ AOB与/ COD为钝角,/ AOD与/ BOC为锐角,根据题意,l i- I2—— jTi. - —=OA OB- OB OC = OB (OA-OC)= OB CA= |OB||CA| cos/ AOB< 0,故I K |2,同理|2>|3,作AG^BD 于G,又AB=AD,故OB< BG=GD<OD,而OA〈AF = FCvOC,故|OA||OB|v |OC||O D|,而cos/ AOB = cos Z CODV0,故OA QB>O C O D,即l1>l3.故|3< l l< |2.法二：如图,建立平面直角坐标系,那么 B(0, 0), A(0, 2), C(2, 0).设D(m, n),由AD = 2和 CD=3,得 m + n 24' 从而有 n —m=5>0,,n>m.从而/ DBC>45°,又/BCO=45° ,m — 2 2+ n 2= 9, 4、 > ------------ > - ----- > …一=-ROB (为>1), OC =-灰OA (力>1),从而 I lV 0, I 3< 0 ,I 3< I 1 ,I 3V I 1V I 2.二、填空题：本大题共 7小题,多空题每题 6分,单空题每题 4分,共36分.11 .我国古代数学家刘徽创立的“割圆术〞可以估算圆周率 兀,理论上能把 兀的值计算到任意 精度.祖冲之继承并开展了 “割圆术〞, 将兀的值精确到小数点后七位, 其结果领先世界一千多年, “割圆术〞的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积 S 内,$内= _________ . 【解析】将正六边形分割为 6个等边三角形,那么 S 内=6(2x1X1Xsin 3) = 32^.12 . a, bC R, (a+bi)2=3 + 4i(i 是虚数单位),那么 a 2+b 2= , ab=.a 2—b 2= 3,a 2= 4, 解析 由(a+bi)2= 3+4i.即a 2—b 2+2abi = 3+4i.从而有解得 o 那么a 2+b 2ab = 2, b 2=1,=5, ab = 2.13 .多项式(x+1)(x+ 2)2= x 3+a [x 4+a 2x 3 +a 3x 2+a 4x+a 5,那么 a 4=, a 5 =. 解析 令 x=0,得 a 5=(0+1)3(0+2)2 = 4,而(x+1)3(x+ 2)2 = (x+1)3[(x+1)2+2(x+1)+1] = (x+1)5 + 2(x+ 1)4+(x+1)3;那么 a4=C4+2C3 + C3=5+8+3= 16.14 .△ ABC, AB= AC= 4, BC= 2.点 D 为 AB 延长线上一点, BD= 2,连结 CD,那么△ BDC 的面积是, cos/ BDC=.【解析】依题意作出图形,如下图,那么 sinZ DBC= sin/ABC.由题意知AB= AC= 4, BC= BD= 2, 贝 Usin/ABC=cos/ ABC= 7.故 S\ BDA 1BC BD sinZ DBC= ~x 2X^2^=^~~.由于 cos/ DBC4 4 2 2 4 21 BD 2+BC 2—CD2 8- CD 2 一 -eq=—cosZ ABC=：= 丁 = " , 故 CD= %'10. 由余弦TE 理得,4 2BD BC 810 4|b| =2,那么| a+b| +|a-b|的最小值是【解析】由题意,不妨设 b=(2, 0), a = (cos 0, sin 0),那么 a+b = (2+cos 0, sin 0), a — b= (cos 0 —2, sin 0).令 y = | a + b| + | a-b I = V (2 + cos 0) 2 + sin 2,( cos 0-2)~2+ sin 2.5+ 4cos 0十、5 — 4cos 0,令 y=\：‘5+4cos 0+ \'5-4cos 0,那么 y 2= 10 + 2同25 — 16cos 2.£ [16, 20],由此可得 (|a + b| + |a 二 b|)max =V 20=2j 5, (|a+b| +| a-b|) min =\''16 = 4,即 |a+b| +|a —b| 的最小值是 4, 最大值是2嗡5. 16 .从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人效劳队,要 求效劳队中至少有1名女生,共有 中不同的选法.(用数字作答)66017 .aC R,函数f(x)= | x+4— a| +a 在区间[1 ,4]上的最大值是 5,那么a 的取值范围是 . x4【解析】因xC [1, 4],故x+xe [4, 5],D 当 aw2时,f(x)max= |5 — a|+a=5—a + a= 5,符合题意;BOC 为锐角.从而/ AOB 为钝角.故I i 〈0,I3<0, I2>0.又 OAvOC, OBvOD,故可设 OD I3= C )C OD =加OA 6B =不闷1,又加？2>1,/ cc — 4 + 10 - 4 cos/BDC 2X 2X1015.向量a, b 满足|a|=1,②当a >2时,f(x)max= |4 — a|+a= 2a —4= 5,故a=2(矛盾),故a 的取值范围是(一°°,1].三、解做题：本大题共 5小题,共74分.解容许写出文字说明、证实过程或演算步骤.18 .(此题总分值 14 分)函数 f(x)= sin 2x- cos 2x- 2y3sin xcos x(xC R). ,、2 兀 ⑴求f (胃)的值;3(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.- 4一 ■一 c c I — J —兀 2 7t 4 7t 【斛】(1)f(x)= sin 2x —cos 2x — 2J3sin xcos x= —cos 2x —V 3sin 2x= — 2sin(2x+6),那么 f("3") = — 2sin(-,兀 + -) = 2 6)(2)f(x)的最小正周期为冗由正弦函数的性质得令20+2& 2x + 6< 2k 兀+ 3^, kC Z,得.+6& x< kJ.故函数f(x)的单调递增区间为［旧6, E %L kJ.体题?茜分15分)如图,四棱锥 P 力BCD △ PAD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形, CD± AD, PC= AD= 2DC= 2CB, E 为 PD 的中点. BCPL 面BNP,过点Q 作BP 的垂线,垂足为H,连结HM , HM 为MQ 在面BCP 上的射影,故/ HMQ 为CE 与平面BCP 所成的角.设CD= 1 .在APCD 中,由PC= 2,CD= 1,PD =・/2得CE=戏,在4PBN 中,由 PN=BN=1, PB=值得 QH=： 在 Rt^MQH 中,QH = 1, MQ = \j 2,故 sin/QMH = (,4 482故直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值是六2.8法二 过P 作PHXCD,交CD 的延长线于点 H.不妨设 AD=2, •「BC//AD, CDXAD,那么易求 1DH = £,过P 作底面的垂线,垂足为 O,连接OB, OH,易得 直.故可以.为原点,以OH, OB, OP 所在直线分别为x 轴、 图所示.⑴证实 由PC = AD = 2DC = 2CB, E 为PD 的中点,那么可得:2兀 kit+ 可,3 19.BC// AD, (I )证实：CE//晋(n )求直线CE;【解析】(iw = |AD ,因独屋//3面_⑵A' PAB; PBC 所成角的正弦值. 为F,连结EF, FB.因E, F 分别率 D\故EF// BC 且EF= BC,即四边彘B _ _AD 的中点M,PN 交EF 于点Q,yEF 为平行四边用飞牧 CE// BF, 刀DD,形得, AD 的中点,「Q 为EF 的中,一 在平行四边形 BCEF 中,MQ // CES AD,由 DC, AD, N 为 AD 的吩得,BNXAD,故 AD,面 BNP,由 B BC// AD M 导,BCC 面 BNP, PA, PNI± 故面OH // BC,且 OP, OB, OH 两两垂 y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,如13D (-I , 2, 0), C (-I , 2, 0), P .BC,BC= PEF// AD 且 EF APAD 叨等腰不M0, -23), A (I , 2,o ), B (O , 2,o ), E (—1,4,43)),那么CE =(2, -4,3,PA =(1, 2' -g, PB n PA=x+ 2y — ^2^z = 0,x= 1,令 y= 1,那么 y= 1,3 k 3 r-n PB = -y --,2-z = 0. z = T 3,故 n = (1, 1,串),故 CE n = 2*1 + (—4)x 1+乎*\3=0.又 CE?平面 FAB,故 CE //平面 FAB.(2)解 由⑴得P C=(—1,3,—%.设平面PBC 的法向量m=(x,y,z),那么mx= 0,令y=1,那么y=1, 故m=(0, 1, \3).设直线 CE 与平面PBC 所成的角为 9,那么sin 0= |cos <m, z= *J 3, -1CE 〉 mC 旦=2序故直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值为 乎. |m||CE|4X288...... ......i ----- -120.(此题总分值 15 分)函数 f(x)= (x-^2x-1)e x (x>2). ⑴求f(x)的导函数;1(2)求f(x)在区间［2,+ 00止的取值范围. _ ___ .---- ,一 ........... 一—1 一 1 -------------- 一—【解析】(1)f x)= (x- y 2x — 1) e x + (x- \2x — 1)(e x ) =(1 - ■ )e x —(x —\ 2x- 1)e x =(1 —x+2x- 1 1 1 —、, ,, 、) \ 2x — 1 —啦——^)e x = (1 — x) 1 -5(2)令f x)=0,解得x= 1或2.当x 变化时,f(x), f x)的变化如下表:x-1-1)2e x >0,综上,f(x)在区间［；+8止的取值范围是［0, 21e ］1 1 3 921.(此题总分值15分)如图,抛物线x 2=y ,点A( —2, 3), B£, 3),抛物线上的点P(x, y)(— 2<x<2).过点B 作直线AP 的垂线,垂足为 Q.x1 2 1 (£,1)1 (1,2)5 2 .+ °°)f'x)一十 0 一f(x)12\i'e1 5 2e 215 一 .一、一 1 .一 一. _ 1t -----------2e 2,那么f(x)在区间［2, +8止的最大值为 又f(x)=(x —J2x —1)e=(°,2,—乎).设平面PAB 的法向量为n=(x,y,z),那么r 33cPB=2y_ 丁 z=0, _ 13 3cPC= - x+ 2y-J2z = 0.12 e'f(1)=0,〔1〕求直线AP 斜率的取值范围;〔2〕求|RA| |PQ|的最大值.X 2—； 1「1 3k= -----1 = x —2,因一 ^vxV],故直线 AP 斜率的取值氾围是 〔一x+21,1). 〔2〕联立直线AP 与BQ 的方程 , 1 1 ckx-y+^k+ -= 0, 解得点 9 3x+ ky — ~k —~= 0, -k 2+4k+ 3Q 的横坐标是XQ = 2 (k 2+1) .因c 1c c|FA|= V 1+ k 2(x+ 2)=V 1 + k 2(k+ 1), |PQ|= >/1 + k 2(xQ-x) = (k — 1) ( k+ 1) 2 k 2+1,故 |PA| |PQ| = 1-(k-1)(k+1)3.令 f(k) = —(k — 1)(k+1)3,因 f'k)=—(4k —2)(k+1)2,故 f(k)在区间(一1,夕上单调 .... 1 1 27 递增,g, 1〕上单倜递减,因此当 k=1时,|PA| • |PQ |取得最大值27. 22.(此题总分值 15 分)数列｛x n ｝满足:x 1=1, x n=x n+1+ln(1+x n+1)(nC N *). 证实：当nC N *时, ⑴・ 0 V x n +1 V xn ； 1⑵.2x n +1 - x n^ 2x n x n +1 jc 1 - 1 ⑶.2门-1W xnW 2n-2. 【解析】⑴.用数学归纳法证实： x n>0(n€ N *). 当 n = 1 时,x[ = 1 > 0; 假设当 n=k 时,x k>0,那么当 n=k+1 时,假设 x k+ 1W 0,那么 0vx k= x k+1 + ln(1 + x k+1)w 0,矛盾, 故 x k+1 >0.因此 x n> 0(n GN *),故 x n=x n+1+ ln(1 +x n+1)>x n+1,故 0<x n+1V x n (n C N *)； ⑵.由 x n= x n+1+ln(1 + x n+1)> x n+1 得,x n x n+1 — 4x n+1 + 2x n = x n+1 — 2x n+1 + (x n +1 + 2)ln(1 + x n + 1),记函 数 f(x)=x 2—2x+(x+2)ln(1+x)(x>0),函数 f(x)在[0, + 8)上单调递增,故 f(x)>f(0) = 0,故 x2+一 1*、2x n+ 1 + (x n+1+ 2)ln(1 + x n+1) = f(x n+ 1) >0, 2xn+ 1 — x n= 24*门 + 1(门 C N )； ⑶.因 x n = x n + 1 + ln(1 + x n+1)W x n+1+x n+1,故 x n ^l F T 得,Qx n x n+1 > 2x n+1 — x n , 二一 22(1>0,1 1 ——->2 x n 21 — x n 1 1、…, 11 c C 4 1 4 1 - 1 *2 2n 1(1—2) = 2n 2,故 X n WQ ,故k <x n <2n -2(nC N ). 证实〔1〕用数学归纳法证实：xn>0.当 n = 1 时,x[ = 1 > 0. 假设 n = k(k> 1, kCN *)时,xk>0, 那么 n= k+ 1 时,假设 x k+ 1W 0,那么 0vx k=x k+1 + ln(1 + x k+1)W0,矛盾,故 x k+1> 0,因此 x n>0(n £ N *).所 以 x n= x n+1 + ln(1 + xn+1) >x n+1,因此 0 V xn + 1 V x n (x C N *).【解析】〔1〕设直线AP 的斜率为k(2)由 X n= X n+1+ ln(1 + X n +1)得,X n X n+1 — 4x n + 1 + 2x n= X2 + 1 — 2x n+1 +(X n+1 + 2)ln(1 + X n+1).记函数 f(x) . 2X 2+ x,= x 2—2x+(x+2)ln(1 + x)(x> 0). f'x)= -------------------- F ln(1 +x)>0(x>0),函数 f(x)在［0 , + 00止单调递增,x+ 1 所以 f(x) > f(0) = 0,因此 Xn+ 1— 2X n+1+ (X n+1+ 2)ln(1 + X n+ 1) = f(X n+1) > 0,故 2X n+ 1 —XnW -2-(n N*).1 1 11(3)由于 X n= X n+1 + ln(1 + X n+1)W X n+1+X n+1 = 2X n+1 ,所以 X n> nX n 1 >22X n 2> - - > 27^1 X 1 = ^^-^ • 故2n -2,故 Xn<2112-1 一 1 -*万上,2n 1 & Xn W 2n-2(n C N ).a, b, c, d 为实数,且 a 2 + b 2 = 4, c 2+d 2=16,证实：ac+ bd< 8.解：由柯西不等式可得：(ac+bd)2w(a 2+b 2)(c 2+d 2).由于 a 2+b 2=4, c 2+d 2=16,故(ac+bd)2 <64,因此 ac+bd<8.X n X n+11 . X n X n + 1、- '口 1 1 X n > n _ 1 ・由 Z > 2X n+ 1 — X n 得 不 n + 1〜1 1 - 11cli2(x ;—2)>0,所以7—2^2 丁;-2。

2017年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．（1）【2017年浙江，1，4分】已知，，则（ ）{|11}P x x =-<<{20}Q x =-<<P Q = （A ） （B ） （C ） （D ）(2,1)-(1,0)-(0,1)(2,1)--【答案】A【解析】取所有元素，得，故选A ．,P Q P Q = (2,1)-【点评】本题考查集合的基本运算，并集的求法，考查计算能力．（2）【2017年浙江，2，4分】椭圆的离心率是（ ）22194x y +=（A （B （C ） （D）2359【答案】B【解析】B ．e ==【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．（3）【2017年浙江，3，4分】某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是（ ）（A ） （B ）（C ） （D ）12π+32π+312π+332π+【答案】A【解析】由几何的三视图可知，该几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成，圆锥的底面圆的半径为1，三棱锥的底面是底边长2的等腰直角三角形，圆锥的高和棱锥的高相等均为3，故该几何体的体积为，故选A ．2111π3(21)13222V π⨯=⨯⨯+⨯⨯=+【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，解题的关键是根据三视图得出原几何体的结构特征，是基础题目．（4）【2017年浙江，4，4分】若，满足约束条件，则的取值范围x y 03020x x y x y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩2z x y =+是（ ）（A ）（B ）（C ）（D ）[]0,6[]0,4[]6,+∞[]4,+∞【答案】D【解析】如图，可行域为一开放区域，所以直线过点时取最小值4，无最大值，故选D ．()2,1【点评】本题考查线性规划的简单应用，画出可行域判断目标函数的最优解是解题的关键．（5）【2017年浙江，5，4分】若函数在区间上的最大值是，最小值是，则（()2f x x ax b =++[]01（M m –M m ）（A ）与a 有关，且与b 有关 （B ）与a 有关，但与b 无关（C ）与a 无关，且与b 无关 （D ）与a 无关，但与b 有关【答案】B【解析】解法一：因为最值在中取，所以最值之差一定与b无关，故选2(0),(1)1,(24a af b f a b f b==++-=-B．解法二：函数的图象是开口朝上且以直线为对称轴的抛物线，①当或()2f x x ax b=++2ax=-12a->，即，或时，函数在区间上单调，此时，故2a-<2a<-0a>()f x[]0,1()()10M m f f a-=-=的值与有关，与无关；②当，即时，函数在区间上递减，M m-a b1122a≤-≤21a-≤≤-()f x0,2a⎡⎤-⎢⎥⎣⎦在上递增，且，此时，故的值与有关，与无,12a⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()()01f f>()224a aM m f f⎛⎫-=--=⎪⎝⎭M m-a b 关；③当，即时，函数在区间上递减，在上递增，且122a≤-<10a-<≤()f x0,2a⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,12a⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，此时，故的值与有关，与无关．综上可得：()()01f f<()224a aM m f f a⎛⎫-=--=-⎪⎝⎭M m-a b的值与有关，与无关，故选B．M m-a b【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．（6）【2017年浙江，6，4分】已知等差数列的公差为，前项和为，则“”是“”的（[]na d nnS0d>4652S S S+>）（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由，可知当时，有，即，()46511210212510S S S a d a d d+-=+-+=0d>46520S S S+->4652S S S+>反之，若，则，所以“”是“”的充要条件，故选C．4652S S S+>0d>0d>4652S S S+>【点评】本题借助等差数列的求和公式考查了充分必要条件，属于基础题．（7）【2017年浙江，7，4分】函数的导函数的图像如图所示，则函数()y f x=()y f x'=的图像可能是（）()y f x=（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】解法一：由当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，则由导函数()0f x'<f x（（()0f x'>f x（（的图象可知：先单调递减，再单调递增，然后单调递减，最后单调递增，排除A，C，()y f x='()f x且第二个拐点（即函数的极大值点）在x轴上的右侧，排除B，，故选D．解法二：原函数先减再增，再减再增，且位于增区间内，故选D．x=【点评】本题考查导数的应用，考查导数与函数单调性的关系，考查函数极值的判断，考查数形结合思想，属于基础题．（8）【2017年浙江，8，4分】已知随机变量满足，，．若1ξ()11iP pξ==()101iP pξ==-1,2i=，则（）1212p p<<<（A），（B），12E()E()ξξ<12D()D()ξξ<12E()E()ξξ<12D()D()ξξ>（C），（D），12E()E()ξξ>12D()D()ξξ<12E()E()ξξ>12D()D()ξξ<【答案】A【解析】，112212(),(),()()E p E p E Eξξξξ==∴<111222()(1),()(1)D p p D p pξξ=-=-，故选A．121212()()()(1)0D D p p p pξξ∴-=---<【点评】本题考查离散型随机变量的数学期望和方差等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想i象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．（9）【2017年浙江，9，4分】如图，已知正四面体（所有棱长均相等的三棱锥），–D ABCPQR分别为，，上的点，，，分别记二面角，AB BC CA AP PB=2BQ CRQC RA==––D PR Q，的平面较为，，，则（）––D PQ R––D QR Pαβγ（A）（B）（C）（D）γαβ<<αγβ<<αβγ<<βγα<<【答案】B【解析】解法一：如图所示，建立空间直角坐标系．设底面的中心为．不妨ABC∆O设．则3OP=，，，，，，()0,0,0O()0,3,0P-()0,6,0C-(D)Q()R-，，，，()PR=-(PD=)PQ=()2,0QR=--．设平面的法向量为，则，可得(QD=-PDR(),,n x y z=n PRn PD⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，可得，取平面的法向量．3030yy⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩)1n=-ABC()0,0,1m=则．同理可得：．cos,m nm nm n⋅==α=β=．∴．γ=>>αγβ<<解法二：如图所示，连接，过点发布作垂线：，，OD OQ OR（（O OE DR⊥OF DQ⊥，垂足分别为，连接．设．则OG QR⊥E F G（（PE PF PG（（OP h=cos ODRPDRS OES PEα∆∆==c，．=cosOFPFβ==cosOGPGγ==由已知可得：．∴，为锐角．∴α＜γ＜β，故选B．OE OG OF>>cos cos cosαγβ>>αβγ（（【点评】本题考查了空间角、空间位置关系、正四面体的性质、法向量的夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．（10）【2017年浙江，10，4分】如图，已知平面四边形，ABCD，，，AB BC⊥2AB BC AD（（（3CD（与交于点O，记，，，则（）AC BD1·I OA OB＝2·I OB OC＝3·I OC OD＝（A）（B）（C）（D）123I I I<<132I I I<<312I I I<<223I I I<<【答案】C【解析】∵，，，∴，∴，AB BC⊥2AB BC AD===3CD=AC=90AOB COD∠=∠>︒由图象知，，∴，，即，故选C．OA OC<OB OD<0OA OB OC OD>⋅>⋅OB OC⋅>312I I I<<【点评】本题主要考查平面向量数量积的应用，根据图象结合平面向量数量积的定义是解决本题的关键．第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．（11）【2017年浙江，11，4分】我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度。

绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数 学一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分。

每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合}{11P x x =-<<，}{02Q x x =<<，那么 P Q ∪（ ） A.（-1,2） B.（0，1） C.（-1,0） D.（1,2）【答案】A【解析】取P ，Q 所有元素，得 P Q ∪=（-1,2），故选A.2.椭圆22194x y +=的离心率是（ ）A.133 B.53C.23D.59【答案】B 【解析】e =943-=53，故选B. 3.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是（ ）（WYM80）第3题图A.π+12B. π+32C.3π+12 D. 3π+32 【答案】A【解析】V =13×3×(2π12⨯+12×2×1)=π2+1，故选A ．4.若x ,y 满足约束条件03020x x y x y ⎧⎪+-⎨⎪-⎩………， z =x +2y 的取值范围是（ ）A.[0,6]B. [0,4]C.[6, +∞）D.[4, +∞） 【答案】D【解析】可行域为一开放区域，直线过点(2,1)时取最小值4，无最大值，故选D. 5.若函数f (x )=x 2+ax +b 在区间[0，1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ( ) A.与a 有关，且与b 有关 B.与a 有关，但与b 无关 C.与a 无关，且与b 无关 D.与a 无关，但与b 有关 【答案】B【解析】二次函数f (x )=x 2+ax +b 的图象开口向上，对称轴为x =－2a ， ∴①若1022a-剟，即－1≤a ≤0，则此时M =f (1)=1+a +b ，m =f (－2a )=b －24a ，∴M －m =1+a +24a ； ②若1122a <-…，即－2≤a <－1，则此时M =f (0)=b ，m =f (－2a )=b －24a ，∴M －m =24a ；③若02a-<，即a >0，则此时M =f (1)=1+a +b ，m =f (0)=b ，∴M －m =1+a ； ④若12a->，即a <－2，则此时M =f (0)=b ，m =f (1)=1+a +b ，∴M －m =－1－a ；综上所述，M －m =221,2,,21,41,10,41,0,a a a a a a a a a --<-⎧⎪⎪-<-⎪⎨⎪++-⎪⎪+>⎩…剟∴M －m 与a 有关，但与b 无关，故答案选B.6.已知等差数列}{n a 的公差为d ,前n 项和为S n ,则“d >0”是“S 4+S 6>2S 5”（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】由S 4+S 6-2S 5=10a 1+21d -2(5a 1+10d )=d ,可知当d >0时，有S 4+S 6-2S 5>0,即S 4+S 6>2S 5，反之，若S 4+S 6>2S 5,则d >0，所以“d >0”是“S 4+S 6>2S 5”的充要条件，故选C. 7.函数y =f (x )的导数f ´(x )的图像如图所示，则函数y =f (x )的图像可能是（WYM81）第7题图A ． （WYM82） B. （WYM83）C ． （WYM84） D.（WYM85）【答案】D【解析】原函数先减再增，再减再增，且x =0位于增区间内，故选D ． 8．已知随机变量i ξ满足P （i ξ=1）=p i ，P （i ξ=0）=1-p i ，i =1，2.若0<p 1<p 2<12，则 A ．1()E ξ<2()E ξ，1()D ξ<2()D ξ B ．1()E ξ<2()E ξ，1()D ξ>2()D ξ C ．1()E ξ>2()E ξ，1()D ξ<2()D ξD ．1()E ξ>2()E ξ，1()D ξ>2()D ξ【答案】A【解析】∵1()E ξ=p 1,2()E ξ=p 2，∴1()E ξ<2()E ξ，∵1()D ξ=p 1(1-p 1),2()D ξ=p 2(1-p 2), ∴1()D ξ-2()D ξ=(p 1-p 2)(1-p 1-p 2)<0,故选A ．9．如图，已知正四面体D –ABC （所有棱长均相等的三棱锥），P ，Q ，R 分别为AB ，BC ，CA 上的点，AP=PB ，BQ CRQC RA==2，分别记二面角D –PR –Q ，D –PQ –R ，D –QR –P 的平面角为α,β,γ，则（WYM86）第9题图A ．γ<α<βB ．α<γ<βC ．α<β<γD ．β<γ<α 【答案】B【解析】设O 为三角形ABC 中心，则O 到PQ 距离最小，O 到PR 距离最大，O 到RQ 距离居中，而高相等，因此α<γ<β，故选B.10．如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O ，记1I O A O B =，2I OB OC = ，3I OC OD =，则（WYM87）第10题图 A ．I 1<I 2<I 3 B ．I 1<I 3<I 2C ．I 3<I 1<I 2D ．I 2<I 1<I 3【答案】C【解析】因为∠AOB =∠COD >90°，OA <OC ，OB <OD ，所以0OB OC OA OB OC OD ⋅>>⋅>⋅，故选C ．二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.) 11．我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度.祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S 6，S 6= . 【答案】332【解析】将正六边形分割为6个等边三角形，则S6=6×(12×1×1×sin60°)=332.故填332. 12．已知a ，b ∈R ，(a +b i)2=3+4i （i 是虚数单位）则a 2+b 2= ，ab = .【答案】5,2【解析】由题意可得a 2-b 2+2ab i=3+4i,则2232a b ab ⎧-=⎨=⎩，解得2241a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，则a 2+b 2=5,ab =2.故填5,2.13．已知多项式(x +1)3(x +2)2=x 5+a 1x 4+a 2x 3+a 3x 2+a 4x +a 5，则a 4=_________，a 5=________.【答案】16，4【解析】由二项式展开式可得通项公式为：223232C C 2C C 2r r m m m r m m r m x x x --+⋅=⋅⋅⋅，分别取r =0,m =1和r =1,m =0,可得，a 4=4+12=16，取r +m =0,可得a 5=1×22=4．故填16,4.14．已知△ABC ，AB =AC =4，BC =2. 点D 为AB 延长线上一点，BD =2，连接CD ，则△BDC 的面积是___________,cos ∠BDC =__________. 【答案】152,104【解析】取BC 中点E ，由题意：AE ⊥BC ， △ABE 中，cos ∠ABC =BE AB =14，∴cos ∠DBC =-14，sin ∠DBC =1116-=154，∴S △BCD =12×BD ×BC×sin ∠DBC =152. ∠ABC=2∠BDC ,∴cos ∠ABC =cos2∠BDC =2cos 2∠BDC -1=14，解得cos ∠BDC =104或cos ∠BDC =-104(舍去).综上可得，△BCD 面积为152，cos ∠BDC=104.故填152,104. 15.已知向量a,b 满足1=a 2=b ，则++-a b a b 的最小值是 ，最大值是 . 【答案】4，25【解析】设向量a 、b 的夹角为θ，由余弦定理有：2212212cos 54cos θθ-=+-⨯⨯⨯=-a b ，2212212cos (π-5+4cos θθ-=+-⨯⨯⨯=）a b ，则： +5+4cos +54cos θθ-=-a +b a b ，令y =5+4cos +54cos θθ-，则y 2=10+222516cos θ-∈[16,20]则， 据此可得：（+-a +b a b ）max =20=25，（+-a +b a b ）min =16=4，即+-a +b a b 的最小值是4，最大值是25．故填4，25.16.从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有 种不同的选法.（用数字作答） 【答案】660【解析】由题意可得，“从8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队”总的选择方法为411843C C C ⨯⨯（种）方法，其中“服务队中没有女生”的选法有411643C C C ⨯⨯（种）方法，则满足题意的选法有：411843C C C ⨯⨯-411643C C C ⨯⨯=660（种）.故填660. 17.已知a ∈R ，函数f (x )=4x a a x+-+在区间[1,4]上的最大值是5，则a 的取值范围是 . 【答案】(-∞，92] 【解析】x ∈[1,4]，x +4x ∈ [4,5]，分类讨论： ①当a …5时，f (x )=a -x -4x +a =2a -x -4x,函数的最大值2a -4=5,∴a =92,舍去；②当a …4时，f (x )=x +4x -a +a =x +4x…5,此时命题成立；③当4<a <5时，[f (x )]max =max{4a -+a ,5a -+a },则：4545a a a a a a ⎧-+-+⎪⎨-+=⎪⎩…，或4555a a a aa a ⎧-+<-+⎪⎨-+=⎪⎩，解得：a =92或a <92, 综上可得，实数a 的取值范围是(-∞，92]．故填(-∞，92].三、解答题(本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 18.（本题满分14分）已知函数f (x )=sin 2x -cos 2x -23sin x cos x (x ∈R ). （1）求f (2π3)的值; （2）求f (x )的最小正周期及单调递增区间. 【解】（1）由sin2π3=32, cos 2π3=-12, f 222π3131()()()23()32222=---⨯⨯-得f 2π()3=2. （2）由cos2x =cos 2x -sin 2x 与sin2x =2sin x cos x 得,f (x )=-cos2x -3sin2x =-2sin(2x +π6), 所以()f x 的最小正周期是π, 由正弦函数的性质得,π2+2k π…2x +π6…3π2+2k π，k ∈Z ，解得，π6+k π…x …2π3+k π，k ∈Z ， 所以()f x 的单调递增区间是[π6+k π，2π3+k π]，k ∈Z . 19. （本题满分15分）如图，已知四棱锥P -ABCD ，△P AD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，BC ∥AD ，CD ⊥AD ，PC=AD =2DC =2CB ,E 为PD 的中点. （1）证明：CE ∥平面P AB ；（2）求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值.（WYM88）第19题图【解】（1）证明：如图，设P A 中点为F ，连接EF 、FB .（WYM89）第19题图因为E 、F 分别为PD ，P A 中点，所以EF ∥AD 且错误！未找到引用源。

2017年浙江省高考数学试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．（4分）已知集合P={x|﹣1＜x＜1}，Q={x|0＜x＜2}，那么P∪Q=（）A．（﹣1，2）B．（0，1）C．（﹣1，0）D．（1，2）2．（4分）椭圆A．+=1的离心率是（）B．C．D．3．（4分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（）A．+1B．+3C．+1D．+34．（4分）若x、y满足约束条件A．[0，6]B．[0，4]，则z=x+2y的取值范围是（）C．[6，+∞）D．[4，+∞）5．（4分）若函数f（x）=x2+ax+b在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M﹣m（）A．与a有关，且与b有关C．与a无关，且与b无关B．与a有关，但与b无关D．与a无关，但与b有关6．（4分）已知等差数列{a}的公差为d，前n项和为S，则“d＞0”是“S+Sn n4＞2S”的（）56A．充分不必要条件C．充分必要条件B．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件7．（4分）函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，则函数y=f（x）1的图象可能是（）A．B．C．D．8．（4分）已知随机变量ξ满足P（ξ=1）=p，P（ξ=0）=1﹣p，i=1，2．若i i i i i0＜p＜p＜，则（）12A．E（ξ）＜E（ξ），D（ξ）＜D（ξ）B．E（ξ）＜E（ξ），D（ξ）1212121＞D（ξ）2C．E（ξ）＞E（ξ），D（ξ）＜D（ξ）D．E（ξ）＞E（ξ），D（ξ）1212121＞D（ξ）29．（4分）如图，已知正四面体D﹣ABC（所有棱长均相等的三棱锥），P、Q、R 分别为AB、BC、CA上的点，AP=PB，==2，分别记二面角D﹣PR﹣Q，D ﹣PQ﹣R，D﹣QR﹣P的平面角为α、β、γ，则（）A．γ＜α＜βB．α＜γ＜βC．α＜β＜γD．β＜γ＜α10．（4分）如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，AC与BD交于点O，记I=•，I=•，I=•，则（）1232（ 3 2A ．I ＜I ＜I 123B ．I ＜I ＜I 1 32C ．I ＜I ＜I 3 12D ．I ＜I ＜I 2 13二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分11．（4 分）我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率 π，理论上能把 π 的值计算到任意精度，祖冲之继承并发展了“割圆术”，将 π 的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积 S ，S =．6612．（6 分）已知 a 、b∈R ，（a+bi ）2=3+4i （i 是虚数单位），则 a 2+b 2=，ab=．13． 6 分）已知多项式（x+1）（x+2） =x 5+a x 4+a x 3+a x 2+a x+a ，则 a = ，12 3 4 5 4a =．514．（6 分）已知△ABC，AB=AC=4，BC=2，点 D 为 AB 延长线上一点，BD=2，连结△C D ，则 BDC 的面积是 ，cos∠BDC= ．15 ．（ 6 分）已知向量、 满足 | |=1 ， | |=2 ，则 | + |+| ﹣ | 的最小值是，最大值是．16．（4 分）从 6 男 2 女共 8 名学生中选出队长 1 人，副队长 1 人，普通队员 2人组成 4 人服务队，要求服务队中至少有 1 名女生，共有种不同的选法．（用数字作答）17．（4 分）已知 a∈R，函数 f （x ）=|x+ ﹣a|+a 在区间[1，4]上的最大值是 5，则 a 的取值范围是．三、解答题（共 5 小题，满分 74 分）18．（14 分）已知函数 f （x ）=sin 2x ﹣cos 2x ﹣2（Ⅰ）求 f （）的值．（Ⅱ）求 f （x ）的最小正周期及单调递增区间．sinx cosx （x∈R ）．319．（15分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：CE∥平面PAB；（Ⅱ）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．20．（15分）已知函数f（x）=（x﹣）e﹣x（x≥）．（1）求f（x）的导函数；（2）求f（x）在区间[，+∞）上的取值范围．421．（15分）如图，已知抛物线x2=y，点A（﹣，），B（，），抛物线上的点P（x，y）（﹣＜x＜），过点B作直线AP的垂线，垂足为Q．（Ⅰ）求直线AP斜率的取值范围；（Ⅱ）求|PA||PQ|的最大值．22．（15分）已知数列{x}满足：x=1，x=x+ln（1+x）（n∈N*），证明：当nn1n n+1n+1∈N*时，（Ⅰ）0＜x＜x；n+1n（Ⅱ）2x﹣x≤n+1n （Ⅲ）≤x≤n；．52017年浙江省高考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．（4分）已知集合P={x|﹣1＜x＜1}，Q={x|0＜x＜2}，那么P∪Q=（）A．（﹣1，2）B．（0，1）C．（﹣1，0）D．（1，2）【考点】1D：并集及其运算．【专题】11：计算题；37：集合思想；5J：集合．【分析】直接利用并集的运算法则化简求解即可．【解答】解：集合P={x|﹣1＜x＜1}，Q={x|0＜x＜2}，那么P∪Q={x|﹣1＜x＜2}=（﹣1，2）．故选：A．【点评】本题考查集合的基本运算，并集的求法，考查计算能力．2．（4分）椭圆A．+=1的离心率是（）B．C．D．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】11：计算题；35：转化思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】直接利用椭圆的简单性质求解即可．【解答】解：椭圆+=1，可得a=3，b=2，则c==，所以椭圆的离心率为：=．故选：B．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．63．（4分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（）A．+1B．+3C．+1D．+3【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5Q：立体几何．【分析】根据几何体的三视图，该几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成，画出图形，结合图中数据即可求出它的体积．【解答】解：由几何的三视图可知，该几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成，圆锥的底面圆的半径为1，三棱锥的底面是底边长2的等腰直角三角形，圆锥的高和棱锥的高相等均为3，××3=+1，故该几何体的体积为××π×12×3+××故选：A．【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，解题的关键是根据三视图得出原几何体的结构特征，是基础题目．74．（4分）若x、y满足约束条件，则z=x+2y的取值范围是（）A．[0，6]B．[0，4]C．[6，+∞）D．[4，+∞）【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；5T：不等式．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解即可．【解答】解：x、y满足约束条件，表示的可行域如图：目标函数z=x+2y经过C点时，函数取得最小值，由解得C（2，1），目标函数的最小值为：4目标函数的范围是[4，+∞）．故选：D．【点评】本题考查线性规划的简单应用，画出可行域判断目标函数的最优解是解题的关键．5．（4分）若函数f（x）=x2+ax+b在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M﹣m（）A．与a有关，且与b有关C．与a无关，且与b无关B．与a有关，但与b无关D．与a无关，但与b有关8【考点】3V：二次函数的性质与图象．【专题】32：分类讨论；4C：分类法；51：函数的性质及应用．【分析】结合二次函数的图象和性质，分类讨论不同情况下M﹣m的取值与a，b 的关系，综合可得答案．【解答】解：函数f（x）=x2+ax+b的图象是开口朝上且以直线x=﹣为对称轴的抛物线，①当﹣＞1或﹣＜0，即a＜﹣2，或a＞0时，函数f（x）在区间[0，1]上单调，此时M﹣m=|f（1）﹣f（0）|=|a+1|，故M﹣m的值与a有关，与b无关②当≤﹣≤1，即﹣2≤a≤﹣1时，函数f（x）在区间[0，﹣]上递减，在[﹣，1]上递增，且f（0）＞f（1），此时M﹣m=f（0）﹣f（﹣）=，故M﹣m的值与a有关，与b无关③当0≤﹣＜，即﹣1＜a≤0时，函数f（x）在区间[0，﹣]上递减，在[﹣，1]上递增，且f（0）＜f（1），此时M﹣m=f（1）﹣f（﹣）=1+a+，故M﹣m的值与a有关，与b无关综上可得：M﹣m的值与a有关，与b无关故选：B．【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．6．（4分）已知等差数列{a}的公差为d，前n项和为S，则“d＞0”是“S+S6n n4＞2S”的（）59A．充分不必要条件C．充分必要条件B．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；54：等差数列与等比数列；5L：简易逻辑．【分析】根据等差数列的求和公式和S+S＞2S，可以得到d＞0，根据充分必要465条件的定义即可判断．【解答】解：∵S+S＞2S，465∴4a+6d+6a+15d＞2（5a+10d），111∴21d＞20d，∴d＞0，故“d＞0”是“S+S＞2S”充分必要条件，465故选：C．【点评】本题借助等差数列的求和公式考查了充分必要条件，属于基础题7．（4分）函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，则函数y=f（x）的图象可能是（）A．B．C．D．10E【考点】3A ：函数的图象与图象的变换．【专题】31：数形结合；44：数形结合法；52：导数的概念及应用．【分析】根据导数与函数单调性的关系，当 f′（x ）＜0 时，函数 f （x ）单调递减，当 f′（x ）＞0 时，函数 f （x ）单调递增，根据函数图象，即可判断函数的单调性，然后根据函数极值的判断，即可判断函数极值的位置，即可求得函数 y=f （x ）的图象可能【解答】解：由当 f′（x ）＜0 时，函数 f （x ）单调递减，当 f′（x ）＞0 时，函数 f （x ）单调递增，则由导函数 y=f′（x ）的图象可知：f （x ）先单调递减，再单调递增，然后单调递减，最后单调递增，排除 A ，C ，且第二个拐点（即函数的极大值点）在 x 轴上的右侧，排除 B ，故选：D ．【点评】本题考查导数的应用，考查导数与函数单调性的关系，考查函数极值的判断，考查数形结合思想，属于基础题．8．（4 分）已知随机变量 ξ 满足 P （ξ =1）=p ，P （ξ =0）=1﹣p ，i=1，2．若iiiii0＜p ＜p ＜ ，则（）12A ．E （ξ ）＜E （ξ ），D （ξ ）＜D （ξ ）B ．E （ξ ）＜E （ξ ），D （ξ ）1212121＞D （ξ ）2C ．E （ξ ）＞E （ξ ），D （ξ ）＜D （ξ ） D ．E （ξ ）＞E （ξ ），D （ξ ）12 1 2 1 2 1＞D （ξ ）2【考点】CH ：离散型随机变量的期望与方差．【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5I ：概率与统计．【分析】由已知得 0＜p ＜p ＜ ， ＜1﹣p ＜1﹣p ＜1，求出 E （ξ ）=p ，（ξ ）1221112=p ，从而求出 D （ξ ），D （ξ ），由此能求出结果．21 2【解答】解：∵随机变量 ξ 满足 P （ξ =1）=p ，P （ξ =0）=1﹣p ，i=1，2，…，iiiii0＜p ＜p ＜ ，1211∴＜1﹣p＜1﹣p＜1，21E（ξ）=1×p+0×（1﹣p）=p，1111E（ξ）=1×p+0×（1﹣p）=p，2222D（ξ）=（1﹣p）2p+（0﹣p）2（1﹣p）= 11111D（ξ）=（1﹣p）2p+（0﹣p）2（1﹣p）= 22222，，D（ξ）﹣D（ξ）=p﹣p2﹣（1211）=（p﹣p）（p+p﹣1）＜0，2112∴E（ξ）＜E（ξ），D（ξ）＜D（ξ）．1212故选：A．【点评】本题考查离散型随机变量的数学期望和方差等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．9．（4分）如图，已知正四面体D﹣ABC（所有棱长均相等的三棱锥），P、Q、R 分别为AB、BC、CA上的点，AP=PB，==2，分别记二面角D﹣PR﹣Q，D ﹣PQ﹣R，D﹣QR﹣P的平面角为α、β、γ，则（）A．γ＜α＜βB．α＜γ＜βC．α＜β＜γD．β＜γ＜α【考点】MJ：二面角的平面角及求法．【专题】5F：空间位置关系与距离；5G：空间角；5H：空间向量及应用．【分析】解法一：如图所示，建立空间直角坐标系．设底面△ABC的中心为O．不妨设OP=3．则O（0，0，0），P（0，﹣3，0），C（0，6，0），D（0，0，6），Q，R，利用法向量的夹角公式即可得出二面角．解法二：如图所示，连接OP，OQ，OR，过点O分别作垂线：OE⊥PR，OF⊥PQ，12OG⊥QR，垂足分别为E，F，G，连接DE，DF，DG．．可得tanα=．tanβ=，tanγ=．由已知可得：OE＞OG＞OF．即可得出．【解答】解法一：如图所示，建立空间直角坐标系．设底面△ABC的中心为O．不妨设OP=3．则O（0，0，0），P（0，﹣3，0），C（0，6，0），D（0，0，6），B（3 ==，﹣3，0）．Q，=（0，3，6．，R），=（，，6，0），=，设平面PDR的法向量为=（x，y，z），则，可得，可得=，取平面ABC的法向量=（0，0，1）．则cos==，取α=arccos．同理可得：β=arccos．γ=arccos．∵＞＞．∴α＜γ＜β．解法二：如图所示，连接OP，OQ，OR，过点O分别作垂线：OE⊥PR，OF⊥PQ，OG⊥QR，垂足分别为E，F，G，连接DE，DF，DG．设OD=h．则tanα=．同理可得：tanβ=，tanγ=．由已知可得：OE＞OG＞OF．∴tanα＜tanγ＜tanβ，α，β，γ为锐角．∴α＜γ＜β．故选：B．13【点评】本题考查了空间角、空间位置关系、正四面体的性质、法向量的夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．10．（4分）如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，AC与BD 交于点O，记I=•，I=•，I=•，则（）123A．I＜I＜I123B．I＜I＜I132C．I＜I＜I312D．I＜I＜I213【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】31：数形结合；48：分析法；5A：平面向量及应用．【分析】根据向量数量积的定义结合图象边角关系进行判断即可．【解答】解：∵AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，14∴AC=2，∴∠AOB=∠COD＞90°，由图象知OA＜OC，OB＜OD，∴0＞•＞•，•＞0，即I＜I＜I，312故选：C．【点评】本题主要考查平面向量数量积的应用，根据图象结合平面向量数量积的定义是解决本题的关键．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分11．（4分）我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度，祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S，S=．66【考点】CE：模拟方法估计概率．【专题】31：数形结合；4O：定义法；5B：直线与圆．【分析】根据题意画出图形，结合图形求出单位圆的内接正六边形的面积．【解答】解：如图所示，单位圆的半径为1，则其内接正六边形ABCDEF中，△AOB是边长为1的正三角形，所以正六边形ABCDEF的面积为S=6××1×1×sin60°=．6故答案为：．15【点评】本题考查了已知圆的半径求其内接正六边形面积的应用问题，是基础题．12．（6分）已知a、b∈R，（a+bi）2=3+4i（i是虚数单位），则a2+b2=5，ab= 2．【考点】A5：复数的运算．【专题】34：方程思想；35：转化思想；5N：数系的扩充和复数．【分析】a、b∈R，（a+bi）2=3+4i（i是虚数单位），可得3+4i=a2﹣b2+2abi，可得3=a2﹣b2，2ab=4，解出即可得出．【解答】解：a、b∈R，（a+bi）2=3+4i（i是虚数单位），∴3+4i=a2﹣b2+2abi，∴3=a2﹣b2，2ab=4，解得ab=2，，．则a2+b2=5，故答案为：5，2．【点评】本题考查了复数的运算法则、复数的相等、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．13．（6分）已知多项式（x+1）3（x+2）2=x5+a x4+a x3+a x2+a x+a，则a=16，123454 a=4．5【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题；35：转化思想；5P：二项式定理．【分析】利用二项式定理的展开式，求解x的系数就是两个多项式的展开式中x 16与常数乘积之和，a就是常数的乘积．5【解答】解：多项式（x+1）3（x+2）2=x5+a x4+a x3+a x2+a x+a，12345（x+1）3中，x的系数是：3，常数是1；（x+2）2中x的系数是4，常数是4，a=3×4+1×4=16；4a=1×4=4．5故答案为：16；4．【点评】本题考查二项式定理的应用，考查计算能力，是基础题．14．（6分）已知△ABC，AB=AC=4，BC=2，点D为AB延长线上一点，BD=2，连结△C D，则BDC的面积是，cos∠BDC=．【考点】HT：三角形中的几何计算．【专题】11：计算题；35：转化思想；44：数形结合法；58：解三角形．【分析】如图，取BC得中点E，根据勾股定理求出AE，再求出△SABC，再根据△SBDC =△SABC即可求出，根据等腰三角形的性质和二倍角公式即可求出【解答】解：如图，取BC得中点E，∵AB=AC=4，BC=2，∴BE=BC=1，AE⊥BC，∴AE==，∴△SABC=BC AE=×2×=，∵BD=2，∴△SBDC =△SABC=，∵BC=BD=2，∴∠BDC=∠BCD，∴∠ABE=2∠BDC 在△R t ABE中，∵cos∠ABE==，17（ |∴cos∠ABE=2cos 2∠BDC﹣1= ，∴cos∠BDC=故答案为：，，【点评】本题考查了解三角形的有关知识，关键是转化，属于基础题15． 6 分）已知向量 、 满足| |=1，|=2，则| + |+| ﹣ |的最小值是 4 ，最大值是．【考点】3H ：函数的最值及其几何意义；91：向量的概念与向量的模．【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；51：函数的性质及应用．【分析】通过记∠AOB=α（0≤α≤π），利用余弦定理可可知| + |=| ﹣ |=，进而换元，转化为线性规划问题，计算即得结论．【解答】解：记∠AOB=α，则 0≤α≤π，如图，由余弦定理可得：、| + |=| ﹣ |=令 x=，，，y= ，则 x 2+y 2=10（x 、y≥1），其图象为一段圆弧 MN ，如图，令 z=x+y ，则 y=﹣x+z ，则直线 y=﹣x+z 过 M 、N 时 z 最小为 z =1+3=3+1=4，min18当直线y=﹣x+z与圆弧MN相切时z最大，由平面几何知识易知z即为原点到切线的距离的倍，max倍，也就是圆弧MN所在圆的半径的所以z=×=．max．综上所述，|+|+|﹣|的最小值是4，最大值是故答案为：4、．【点评】本题考查函数的最值及其几何意义，考查数形结合能力，考查运算求解能力，涉及余弦定理、线性规划等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．16．（4分）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有660种不同的选法．（用数字作答）【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【专题】11：计算题；32：分类讨论；4O：定义法；5O：排列组合．【分析】由题意分两类选1女3男或选2女2男，再计算即可【解答】解：第一类，先选1女3男，有C3C1=40种，这4人选2人作为队长和6219副队有A2=12种，故有40×12=480种，4第二类，先选2女2男，有C2C2=15种，这4人选2人作为队长和副队有A2=12624种，故有15×12=180种，根据分类计数原理共有480+180=660种，故答案为：660【点评】本题考查了分类计数原理和分步计数原理，属于中档题17．（4分）已知a∈R，函数f（x）=|x+﹣a|+a在区间[1，4]上的最大值是5，则a的取值范围是（﹣∞，]．【考点】3H：函数的最值及其几何意义．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．【分析】通过转化可知|x+﹣a|+a≤5且a≤5，进而解绝对值不等式可知2a﹣5≤x+≤5，进而计算可得结论．【解答】解：由题可知|x+﹣a|+a≤5，即|x+﹣a|≤5﹣a，所以a≤5，又因为|x+﹣a|≤5﹣a，所以a﹣5≤x+﹣a≤5﹣a，所以2a﹣5≤x+≤5，又因为1≤x≤4，4≤x+≤5，所以2a﹣5≤4，解得a≤，故答案为：（﹣∞，]．【点评】本题考查函数的最值，考查绝对值函数，考查转化与化归思想，注意解题方法的积累，属于中档题．三、解答题（共5小题，满分74分）18．（14分）已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣2sinx cosx（x∈R）．20f f（Ⅰ）求 f （）的值．（Ⅱ）求 f （x ）的最小正周期及单调递增区间．【考点】3G ：复合函数的单调性；GF ：三角函数的恒等变换及化简求值；H1：三角函数的周期性；H5：正弦函数的单调性．【专题】35：转化思想；4R ：转化法；57：三角函数的图像与性质．【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数的解析式，（Ⅰ）代入可得：f （）的值．（Ⅱ）根据正弦型函数的图象和性质，可得 f （x ）的最小正周期及单调递增区间【解答】解：∵函数 （x ）=sin 2x ﹣cos 2x ﹣2 sinx cosx=﹣ sin2x ﹣cos2x=2sin（2x+（Ⅰ）f （））=2sin （2× + ）=2sin =2，（Ⅱ）∵ω=2，故 T=π，即 f （x ）的最小正周期为 π，由 2x+x∈[﹣∈[﹣ +2kπ， +2kπ]，k∈Z 得：+kπ，﹣ +kπ]，k∈Z，故 （x ）的单调递增区间为[﹣ +kπ，﹣ +kπ]或写成[kπ+ ，kπ+ ]，k∈Z．【点评】本题考查的知识点是三角函数的化简求值，三角函数的周期性，三角函数的单调区间，难度中档．19．（15 分）如图，已知四棱锥 P ﹣ABCD ，△PAD 是以 AD 为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB ，E 为 PD 的中点．（Ⅰ）证明：CE∥平面 PAB ；（Ⅱ）求直线 CE 与平面 PBC 所成角的正弦值．21【考点】LS：直线与平面平行；MI：直线与平面所成的角．【专题】14：证明题；31：数形结合；41：向量法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．【分析】（Ⅰ）取AD的中点F，连结EF，CF，推导出EF∥PA，CF∥AB，从而平面EFC∥平面ABP，由此能证明EC∥平面PAB．（Ⅱ）连结BF，过F作FM⊥PB于M，连结PF，推导出四边形BCDF为矩形，从而BF⊥AD，进而AD⊥平面PBF，由AD∥BC，得BC⊥PB，再求出BC⊥MF，由此能求出sinθ．【解答】证明：（Ⅰ）取AD的中点F，连结EF，CF，∵E为PD的中点，∴EF∥PA，在四边形ABCD中，BC∥AD，AD=2DC=2CB，F为中点，∴CF∥AB，∴平面EFC∥平面ABP，∵EC平面EFC，∴EC∥平面PAB．解：（Ⅱ）连结BF，过F作FM⊥PB于M，连结PF，∵PA=PD，∴PF⊥AD，推导出四边形BCDF为矩形，∴BF⊥AD，∴AD⊥平面PBF，又AD∥BC，∴BC⊥平面PBF，∴BC⊥PB，设DC=CB=1，由PC=AD=2DC=2CB，得AD=PC=2，∴PB===，BF=PF=1，∴MF=，又BC⊥平面PBF，∴BC⊥MF，22∴MF⊥平面PBC，即点F到平面PBC的距离为，∵MF=，D到平面PBC的距离应该和MF平行且相等，为，E为PD中点，E到平面PBC的垂足也为垂足所在线段的中点，即中位线，∴E到平面PBC的距离为，，在由余弦定理得CE=，设直线CE与平面PBC所成角为θ，则sinθ==．【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．20．（15分）已知函数f（x）=（x﹣）e﹣x（x≥）．（1）求f（x）的导函数；（2）求f（x）在区间[，+∞）上的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．【专题】35：转化思想；48：分析法；53：导数的综合应用．【分析】（1）求出f（x）的导数，注意运用复合函数的求导法则，即可得到所求；（2）求出f（x）的导数，求得极值点，讨论当＜x＜1时，当1＜x＜时，当x＞时，f（x）的单调性，判断f（x）≥0，计算f（），f（1），f（），23即可得到所求取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）=（x﹣）e﹣x（x≥），导数f′（x）=（1﹣••2）e﹣x﹣（x﹣）e﹣x=（1﹣x+）e﹣x=（1﹣x）（1﹣）e﹣x；（2）由f（x）的导数f′（x）=（1﹣x）（1﹣）e﹣x，可得f′（x）=0时，x=1或，当＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）递减；当1＜x＜时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x＞时，f′（x）＜0，f（x）递减，且x≥⇔x2≥2x﹣1⇔（x﹣1）2≥0，则f（x）≥0．由f（）=e，f（1）=0，f（）=e，即有f（x）的最大值为e，最小值为f（1）=0．则f（x）在区间[，+∞）上的取值范围是[0，e]．【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查化简整理的运算能力，正确求导是解题的关键，属于中档题．21．（15分）如图，已知抛物线x2=y，点A（﹣，），B（，），抛物线上的点P（x，y）（﹣＜x＜），过点B作直线AP的垂线，垂足为Q．（Ⅰ）求直线AP斜率的取值范围；（Ⅱ）求|PA|•|PQ|的最大值．24【考点】KI：圆锥曲线的综合；KN：直线与抛物线的综合．【专题】11：计算题；33：函数思想；49：综合法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（Ⅰ）通过点P在抛物线上可设P（x，x2），利用斜率公式结合﹣＜x ＜可得结论；（Ⅱ）通过（I）知P（x，x2）、﹣＜x＜，设直线AP的斜率为k，联立直线AP、BQ方程可知Q点坐标，进而可用k表示出、，计算可知|PA||PQ|=（1+k）3（1﹣k），通过令f（x）=（1+x）3（1﹣x），﹣1＜x＜1，求导结合单调性可得结论．【解答】解：（Ⅰ）由题可知P（x，x2），﹣＜x＜，所以k==x﹣∈（﹣1，1），AP故直线AP斜率的取值范围是：（﹣1，1）；（Ⅱ）由（I）知P（x，x2），﹣＜x＜，所以=（﹣﹣x，﹣x2），设直线AP的斜率为k，则k==x﹣，即x=k+，则AP：y=kx+k+，BQ：y=﹣x+联立直线AP、BQ方程可知Q（+，，），25•=故=（ ，），又因为=（﹣1﹣k ，﹣k 2﹣k ），故﹣|PA|• |PQ|=+ =（1+k ）3（k ﹣1），所以|PA|• |PQ|=（1+k ）3（1﹣k ），令 f （x ）=（1+x ）3（1﹣x ），﹣1＜x ＜1，则 f′（x ）=（1+x ）2（2﹣4x ）=﹣2（1+x ）2（2x ﹣1），由于当﹣1＜x ＜ 时 f′（x ）＞0，当 ＜x ＜1 时 f′（x ）＜0，故 f （x ） =f （ ）=，即|PA|• |PQ|的最大值为 ．max【点评】本题考查圆锥曲线的最值问题，考查运算求解能力，考查函数思想，注意解题方法的积累，属于中档题．22．（15 分）已知数列{x }满足：x =1，x =x +ln （1+x ）（n∈N *），证明：当 nn1 n n+1 n+1∈N *时，（Ⅰ）0＜x ＜x ；n+1n（Ⅱ）2x ﹣x ≤n+1n；（Ⅲ） ≤x ≤n．【考点】8H ：数列递推式；8K ：数列与不等式的综合．【专题】15：综合题；33：函数思想；35：转化思想；49：综合法；4M ：构造法；53：导数的综合应用； 54：等差数列与等比数列； 55：点列、递归数列与数学归纳法；5T ：不等式．【分析】（Ⅰ）用数学归纳法即可证明，（Ⅱ）构造函数，利用导数判断函数的单调性，把数列问题转化为函数问题，即可证明，（Ⅲ）由 ≥2x ﹣x 得﹣ ≥2（ ﹣ ）＞0，继续放缩即可证明n+1n26【解答】解：（Ⅰ）用数学归纳法证明：x＞0，n当n=1时，x=1＞0，成立，1假设当n=k时成立，则x＞0，k那么n=k+1时，若x＜0，则0＜x=x+ln（1+x）＜0，矛盾，k+1k k+1k+1故x＞0，n+1因此x＞0，（n∈N*）n∴x=x+ln（1+x）＞x，n n+1n+1n+1因此0＜x＜x（n∈N*），n+1n（Ⅱ）由x=x+ln（1+x）得x x﹣4x+2x=xn n+1n+1n n+1n+1n n+12﹣2x+（x+2）ln（1+x），n+1n+1n+1记函数f（x）=x2﹣2x+（x+2）ln（1+x），x≥0∴f′（x）=+ln（1+x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴f（x）≥f（0）=0，因此xn+12﹣2x+（x+2）ln（1+x）≥0，n+1n+1n+1故2x﹣x≤；n+1n（Ⅲ）∵x=x+ln（1+x）≤x+x=2x，n n+1n+1n+1n+1n+1∴x≥n 由，≥2x﹣x得n+1n﹣≥2（﹣）＞0，∴﹣≥2（﹣）≥…≥2n﹣1（﹣）=2n﹣2，∴x≤n，综上所述≤x≤．n【点评】本题考查了数列的概念，递推关系，数列的函数的特征，导数和函数的单调性的关系，不等式的证明，考查了推理论证能力，分析解决问题的能力，运算能力，放缩能力，运算能力，属于难题27。

数学试卷 第1页（共18页） 数学试卷 第2页（共18页）绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)数 学本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.参考公式：球的表面积公式椎体的体积公式24πS R =1h3V S =球的体积公式其中S 代表椎体的底面积24π3V R =h 表示椎体的高其中R 表示球的半径 台体的体积公式柱体的体积公式()b1h 3a V S S =h V S =其中的a S ，b S 分别表示台体的h 表示柱体的高上、下底面积h 表示台体的高选择题部分(共40分)一、选择题:本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合{}{}-1<1Q=02P x x x x =<<<，，那么PUQ = A .(-1，2)B .(0，1)C .(-1，0)D .(1，2)2.椭圆2214x y +=的离心率是AB C .23 D .593.某几何体的三视图如图所示(单位：cm )，则该几何体的体积(单位：3cm )是第3题图A .π+12B .π+32 C .3π+12D .3π+32 4.若x ，y 满足约束条件0+-30-20x x y x y ⎧⎪⎨⎪⎩≥≥≤，则z 2x y =+的取值范围是A .[0]6,B .[0]4,C .[6+)∞,D .[4+)∞,5.若函数2()=f x x ax b ++在区间[0]1，上的最大值是M ，最小值是m ，则-m M A .与a 有关，且与b 有关 B .与a 有关，但与b 无关 C .与a 无关，且与b 无关D .与a 无关，但与b 有关6.已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，则“0d >”是465"+2"S S S >的 A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件7.函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象如图所示，则函数()y f x =的图象可能是第7题图毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共18页） 数学试卷 第4页（共18页）ABCD8.已知随机变量i ξ满足i 1()i P p ξ==，i ()01P pi ξ==-，12i =，.若12201p p <<<，则 A .12E()E()ξξ＜，12D()D()ξξ＜ B .12E()E()ξξ＜，12D()D()ξξ＞ C .12E()E()ξξ＞，12D()D()ξξ＜ D .12E()E()ξξ＞，12D()D()ξξ＞9.如图，已知正四面体–D ABC （所有棱长均相等的三棱锥），P ，Q ，R 分别为AB ，BC ，CA 上的点，AP PB =，2BQ CRQC RA==.分别记二面角––D PR Q ，––D PQ R ，––D QR P 的平面角为αβγ，，，则A .γαβ<<B .αγβ<<C .αβγ<<D .βγα<<10.如图，已知平面四边形ABCD ，AB BC ⊥，2AB BC AD ＝＝＝，3CD ＝，AC 与BD 交于点O ，记1I OA OB ＝，2I OB OC ＝，3I OC OD ＝，则A .123I I I <<B .132I I I <<C .312I I I <<D .213I I I <<非选择题部分(共110分)二、填空题:本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11.我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度.祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积6S ，6=S ________.12.已知a b R ∈，，2i 34i a b +=+（）(i 是虚数单位)，则22a b +=________，ab =________.13.已知多项式()()5432123453212=x x x a x a x a x a x a +++++++，则4=a ________，5=a ________.14.已知ABC △，4AB AC ==，2BC =.点D 为AB 延长线上一点，2BD =，连接CD ，则BDC △的面积是________，cos BDC ∠=________.15.已知向量a ,b 满足1=a ，2=b ，则+-a +b a b 的最小值是________，最大值是________.16.从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有________种不同的选法.(用数字作答)17.已知a ∈R ，函数4()f x x a a x =+-+在区间[]14，上的最大值是5，则a 的取值范围是________.三、解答题:本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.(本题满分14分)已知函数()22()sin cos cos R f x x x x x x =--∈.(I)求2()3f π的值； (II)求()f x 的最小正周期及单调递增区间.（第9题图）（第10题图）数学试卷 第5页（共18页） 数学试卷 第6页（共18页）19.(本题满分15分) 如图，已知四棱锥P ABCD -，PAD △是以AD 为斜边的等腰直角三角形，BC AD ∥，CD AD ⊥，22PC AD DC CB ===，E 为PD 的中点. (I)证明：CE ∥平面PAB ；(II)求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值.20.(本题满分15分)已知函数(1()e 2x f x x x -⎛⎫= ⎪⎝⎭≥.(I)求()f x 的导函数；(II)求()f x 在区间1+2⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭，上的取值范围.-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________数学试卷 第7页（共18页） 数学试卷 第8页（共18页）21.(本题满分15分)如图，已知抛物线2x y =，点1124A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，3924B ⎛⎫⎪⎝⎭，，抛物线上的点()12,32P x x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭＜＜，过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q .(I )求直线AP 斜率的取值范围；(II )求PA PQ 的最大值.22.(本题满分15分)已知数列{}n x 满足：1=1x ，()()*11ln 1N n n n x x x n ++=++∈. 证明：当*N n ∈时， (I )10n n x x +＜＜；(I I )1122n n n n x x x x ++-≤； (III )1-21122n n n x -≤≤.数学试卷 第9页（共18页） 数学试卷 第10页（共18页）2017年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)数学答案解析选择题部分一、选择题 1.【答案】A【解析】根据集合的并集的定义,得2(1)PUQ =-，. 2.【答案】B【解析】根据题意知,3a =,b 2=,则c ==∴椭圆的离心率c e a =故选B . 3.【答案】A【解析】由几何体的三视图可得,该几何体是由半个圆锥和一个三棱锥组成的,故该几何体的体积1111ππ3+213=+132322V =⨯⨯⨯⨯⨯⨯,故选A . 4.【答案】D【解析】作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示,由z 2x y =+,得1y=22zx -+,∴2z 是直线1=22z y x -+在y 轴上的截距,根据图形知,当直线1=22z y x -+过A 点时,2z取得最小值.由20+30x y x y -=⎧⎨-=⎩,得2x =,1y =,即21A （，）,此时,4z =,∴4x ≥,故选D .5.【答案】B【解析】22()=++b 24a af x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭,①当012a ≤-≤时,min ()=m =()2a f x f -{}{}2max +b ()max (0)(1)max b ++b 4a f x M f f a =-===，，1，∴22max 1+44a a M m a ⎧⎫-=+⎨⎬⎩⎭，与a 有关,与b 无关；②当02a -＜时,()f x 在[]01，上单调递增,∴(1)(0)1M m f f a -==+-与a 有关,与b 无关；③当12a-＞时,()f x 在[]01，上单调递减,∴(0)(1)1f f M m a -=---=与a 有关,但与b 无关,故选B . 6.【答案】C【解析】因为{}n a 为等差数列,所以46111+=466151021a a a S S d d d+++=+,512=1020a S d +,465+2=S S S d -,所以4650+2d S S S ⇔＞＞,故选C .7.【答案】D【解析】根据题意,已知导函数的图象有三个零点,且每个零点的两边导函数值的符号相反,因此函数()f x 在这些零点处取得极值,排除A 、B ；记导函数()f x '的零点从左到右分别为123x x x ，，,又在()1x -∞，()0f x '＜,在()12x x ，上()0f x '＞,所以函数()f x 在()1x -∞，上单调递减,排除C ,故选D .8.【答案】A【解析】根据题意得,1()i E p ξ=，11(-)i i p D p ξ=（），12i =，,∵12102p p ＜＜＜,∴12()()E E ξξ＜,令()f x 在102（，）上单调递增,所以12(p )(p )f f ＜,即12()()D D ξξ＜,故选A . 9.【答案】B【解析】如图1,设O 是点D 在底面ABC 的射影,过O 作OE PR ⊥，OF PQ ⊥，OG RQ ⊥,垂足分别为E 、F 、G ,连接ED 、FD 、GD ,易得ED PR ⊥,∴OED ∠就是二面角D PR Q --的平面角,∴=OED α∠,tan =OD OE α,同理tan =OD OF β,tan =ODOGγ.底面的平面图如图2所示,以P 为原点建立平面直角坐标系,不妨设2AB =,则0,1)A（,数学试卷 第11页（共18页） 数学试卷 第12页（共18页）,0)B （1,C （,O （,∵AP PB =,2BQ CRQC RA ==,∴13Q （,23R （-,则直线RP的方程为y =,直线PQ的方程为y =,直线RQ的方程为y =+,根据点到直线的距离公式,知OE =,OF =,13OG =,∴OE OG OF ＞＞,∴tan tan tan αγβ＜＜,又α，β，γ为锐角,∴αγβ＜＜，故选B .10.【答案】C【解析】如图所示,四边形ABCE 是正方形,F 为正方形的对角线的交点,易得AO ＜AF ,而90AFB ∠=︒,∴AOB ∠与COD ∠为钝角,AOD ∠与BOC ∠为锐角,根据题意,12()cos 0I I OA OB OB OC OB OA OC OB CA OB CA AOB -=-=-==∠＜,∴12I I ＜,同理得23I I ＞,作AG BD ⊥于G ,又AB AD =,∴OB BG GD OD =＜＜,而OA AF FC OC =＜＜,∴OA OB OC OD ＜,而cos =cos 0AOB COD ∠∠＜,∴OA OB OC OD ＞,即13I I ＞,∴312I I I ＜＜,故选C .非选择题二.填空题. 11. 【解析】如图,单位圆内接正六边形由六个边长为1的正三角形组成,所以,正六边形的面积61=612S ⨯⨯. 12.【答案】5 2【解析】∵222+2bi 2i 34i a a b ab =-+=+（）,∴22324a b ab ⎧-=⎨=⎩,∴21a b =⎧⎨=⎩或21a b =-⎧⎨=-⎩,∴225a b +=,2ab =.13.【答案】16 4【解析】由题意知4a 为含x 的项的系数,根据二项式定理得222233143232121216a C C C C =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=,5a是常数项,所以332532124a C C =⨯⨯⨯=. 14. 【解析】在ABC △中,4AB AC ==,2BC =,由余弦定理得2222224241cos ABC=224AB BC AC AB BC +-+-==∠,则sin ABC=sin CBD ∠∠,所以B D C 15=B D BC s 2SCBD △∠.因为2B D B C ==,所以12C DB A BC =∠∠,则cos CDB ∠. 15.【答案】4【解析】解法一：()()()222222222a b a b a b a b a b a b a b a b a b++-=++-++-=+++-=10+2a b a b+-,而()()223a b a b a b a b a b +-+-=-=≥,∴()216a b a b ++-≥,即4a b a b++-≥,即a b a b++-的最小值为4.又2a b a b+-≤,∴a b a b ++-的最大值为.解法二：由向量三角不等式得,()()24a b a b a b a b b ++-+--==≥,又数学试卷 第13页（共18页）数学试卷 第14页（共18页）2a b a b++-==∴a b a b ++-的最大值为16.【答案】660【解析】分两步,第一步,选出4人,由于至少1名女生,故有448655C C -=种不同的选法；第二步,从4人中选出队长、副队长各1人,有2412A =种不同的选法.根据分步乘法计数原理知共有55 12 660⨯=种不同的选法.17.【答案】(92⎤-∞⎥⎦，【解析】∵[]1,4x ∈,∴[]44,5x x +∈,①当92a ≤时,max ()=555f x a a a a -+=-+=,符合题意,②当分92a ＞时,max ()=4245f x a a a -+=-=,∴92a =(矛盾),故a 的取值范围是(92⎤-∞⎥⎦，.三、解答题. 18.【答案】（Ⅰ）2π()23f = （Ⅱ）()f x 的的单调递增区间是()π2ππ,π63k k k Z ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【解析】(Ⅰ)由2πsin 32=,2π1cos 32=-,222π11()32222f ⎛⎫⎛⎫=---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,得2π()23f =. (Ⅱ)由22cos2cos sin x x x =-与sin22sin cos x x x =得π()cos 222sin 26f x x x x ⎛⎫=--=-+ ⎪⎝⎭.所以()f x 的最小正周期是π. 由正弦函数的性质得ππ3π2π22π262k x k +++≤≤,k Z ∈, 解得π2πππ63k x k ++≤≤,k Z ∈,所以()f x 的的单调递增区间是()π2ππ,π63k k k Z ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. 19.【答案】(Ⅰ)如图,设PA 中点为F ,连接EF ,FB .因为E 、F 分別为PD ,PA 中点,所以EF AD∥且1=2EF AD ,又因为BC AD ∥,1=2BC AD ,所以EF BC ∥且=EF BC ,即四边形BCEF 为平行四边形,所以CE BF ∥,因此CE ∥平面PAB . （Ⅱ）直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值是8【解析】(Ⅰ)如图,设PA 中点为F ,连接EF ,FB .因为E 、F 分別为PD ,PA 中点,所以EF AD ∥且1=2EF AD ,又因为BC AD ∥,1=2BC AD ,所以EF BC ∥且=EF BC , 即四边形BCEF 为平行四边形,所以CE BF ∥,因此CE ∥平面PAB . (Ⅱ)分别取BC ,AD 的中点为M ,N .连接PN 交EF 于点Q ,连接MQ .因为E 、F 、N 分别是PD ,PA ,AD 的中点,所以Q 为EF 中点,在平行四边形BCEF 中,MQ CE ∥.由PAD ∆为等腰直角三角形得PN AD ⊥. 由DC AD ⊥,N 是AD 的中点得BN AD ⊥. 所以AD ⊥平面PBN ,由BC AD ∥得BC ⊥平面PBN ,那么平面PBC ⊥平面PBN . 过点Q 作PB 的垂线,垂足为H ,连接MH .MH 是MQ 在平面PBC 上的射影,所以QMH ∠是直线CE 与平面PBC 所成的角.设1CD =.在PCD △中,由2PC =,1CD =,PD =CE , 在PBN △中,由1PN BN ==,PB 得14QH =, 在t R MQH △中,14QH =,MQ = 所以sin =8MQH ∠, 所以,直线CE 与平面PBC .20.【答案】(Ⅰ)因为(1x'=()e ex x--'=-,所以(()12e1()1e e2xx xxf x x x----⎛⎫'=--=⎪⎭⎝＞.(Ⅱ)由()12e()xxf x--'=,解得1x=,52x=.因为又())211e02xf x-=≥,所以()f x在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上的取值范围是1210,e2-⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【解析】(Ⅰ)因为(1x'=,()e ex x--'=-,所以(()12e1()1e e2xx xxf x x x----⎛⎫'=--=⎪⎭⎝＞.(Ⅱ)由()12e()xxf x--'=,解得1x=,52x=.因为又())211e02xf x-=≥,所以()f x在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上的取值范围是1210,e2-⎡⎤⎢⎥⎣⎦.21.【答案】（Ⅰ）()1,1-（Ⅱ）2716【解析】(Ⅰ)设直线AP的斜率为k,2114122xk xx-==-+,因为1322x-＜＜,所以直线AP斜率的取值范围是()1,1-.(Ⅱ)联立直线AP与BQ的方程110,24930,42kx y kx ky k⎧-++=⎪⎪⎨⎪+--=⎪⎩解得点Q的横坐标是()224321Qk kxk-++=+.因为)1x+12PA k⎫==+⎪⎭,)211xQk kPQ x-+-=所以()()311PA PQ k k=--+.令()()()311f k k k=--+,因为()()2()421f k k k'=--+,所以()f k在区间11,2⎛⎫--⎪⎝⎭上单调递增,1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减,因此当12k=时,PA PQ取得最大值2716.22.【答案】(Ⅰ)用数学归纳法证明：0nx＞.当1n=时,110x=＞.假设n k=时,0kx＞,那么+1n k=时,若1kx+≤,则()110=+ln1+0k k kx x x++≤＜,矛盾,故1kx+＞.因此()nN*x n∈＞.数学试卷第15页（共18页）数学试卷第16页（共18页）数学试卷 第17页（共18页） 数学试卷 第18页（共18页）所以()111=+ln 1+n n n n x x x x +++＞. 因此()10N*n n x x n +∈＜≤. (Ⅱ)由()11=+ln 1+n n n x x x ++得,()()2111111x -4=+2=22ln 1+n n n n n n n n n x x x x x x x x ++++++-++.记函数()()()2()22ln 1+0f x x x x x x =-++≥,()()22()ln 1+001x xf x x x x +'=++＞≥,函数()f x 在[)0+∞，上单调递增,所以()(0)=0f x f ≥,因此 ()()211111x22ln 1+=()n n n n n x x x f x +++++-++≥0,故()112N*2n n n n x x x x n ++-≤∈. (III )因为()11111x ln 1+2n n n n n n x x x x x +++++=+≤+=, 所以112n n x -≥. 由1122n n n n x x x x ++-≥得111112022n n x x +⎛⎫-- ⎪⎝⎭≥＞, 所以1-21111111-22=2222n n n n n x x x --⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥≥…≥,故212n n x -≤.综上,()1211N*22n n n x n --∈≤≤.【解析】(Ⅰ)用数学归纳法证明：0n x ＞. 当1n =时,110x =＞. 假设n k =时,0k x ＞,那么+1n k =时,若10k x +≤,则()110=+ln 1+0k k k x x x ++≤＜,矛盾,故10k x +＞. 因此()n 0N*x n ∈＞.所以()111=+ln 1+n n n n x x x x +++＞. 因此()10N*n n x x n +∈＜≤. (Ⅱ)由()11=+ln 1+n n n x x x ++得,()()2111111x -4=+2=22ln 1+n n n n n n n n n x x x x x x x x ++++++-++.记函数()()()2()22ln 1+0f x x x x x x =-++≥,()()22()ln 1+001x xf x x x x +'=++＞≥,函数()f x 在[)0+∞，上单调递增,所以()(0)=0f x f ≥,因此 ()()211111x 22ln 1+=()n n n n n x x x f x +++++-++≥0,故()112N*2n n n n x x x x n ++-≤∈. (III )因为()11111x ln 1+2n n n n n n x x x x x +++++=+≤+=, 所以112n n x -≥. 由1122n n n n x x x x ++-≥得111112022n n x x +⎛⎫-- ⎪⎝⎭≥＞, 所以1-21111111-22=2222n n n n n x x x --⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥≥…≥,故212n n x -≤.综上,()1211N*22n n n x n --∈≤≤.。

2017浙江省高考理科数学试卷一、选择题（共10小题,每小题4分，满分40分)1．（4分）已知集合P=｛x ｜﹣1＜x ＜1}，Q={x ｜0＜x ＜2｝，那么P ∪Q=（ ） A ．(﹣1，2） B ．（0,1） C ．（﹣1,0） D ．(1，2）2．（4分)椭圆+=1的离心率是（ ）A ．B ．C ．D ．3．（4分)某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积(单位：cm 3）是( ）A ．+1B ．+3C ．+1D ．+34．（4分）若x 、y 满足约束条件，则z=x+2y 的取值范围是（ ）A ．［0,6］B ．［0，4］C ．[6，+∞）D ．[4，+∞）5．（4分）若函数f （x ）=x 2+ax+b 在区间[0，1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M ﹣m( ) A ．与a 有关，且与b 有关 B ．与a 有关，但与b 无关 C ．与a 无关，且与b 无关 D ．与a 无关，但与b 有关6．(4分）已知等差数列{a n ｝的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d＞0”是“S 4+S 6＞2S 5”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件7．（4分)函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，则函数y=f（x）的图象可能是( ）A．B．C．D．8．（4分)已知随机变量ξi 满足P（ξi=1）=pi，P（ξi=0）=1﹣pi，i=1，2．若0＜p1＜p2＜，则（）A．E(ξ1）＜E（ξ2),D(ξ1）＜D（ξ2）B．E（ξ1)＜E（ξ2)，D（ξ1）＞D（ξ2）C．E(ξ1）＞E(ξ2），D（ξ1)＜D（ξ2）D．E（ξ1）＞E（ξ2），D(ξ1)＞D（ξ2）9．（4分）如图，已知正四面体D﹣ABC（所有棱长均相等的三棱锥），P、Q、R分别为AB、BC、CA上的点，AP=PB，==2，分别记二面角D﹣PR﹣Q，D﹣PQ﹣R，D﹣QR﹣P的平面角为α、β、γ,则（)A．γ＜α＜βB．α＜γ＜βC．α＜β＜γD．β＜γ＜α10．(4分）如图,已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=AD=2,CD=3,AC与BD交于点O，记I 1=•,I2=•，I3=•，则（)A．I1＜I2＜I3B．I1＜I3＜I2C．I3＜I1＜I2D．I2＜I1＜I3二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分11．（4分)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π,理论上能把π的值计算到任意精度，祖冲之继承并发展了“割圆术",将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6,S6= ．12．（6分）已知a、b∈R，（a+bi）2=3+4i（i是虚数单位）,则a2+b2= ，ab= ．13．（6分）已知多项式（x+1）3(x+2)2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5，则a4= ,a5= ．14．（6分)已知△ABC,AB=AC=4，BC=2，点D为AB延长线上一点，BD=2，连结CD，则△BDC的面积是，cos∠BDC= ．15．（6分)已知向量、满足｜｜=1,|｜=2,则｜+|+|﹣|的最小值是，最大值是．16．（4分)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有种不同的选法．(用数字作答）17．（4分）已知a∈R，函数f(x）=｜x+﹣a｜+a在区间［1,4］上的最大值是5，则a的取值范围是．三、解答题（共5小题，满分74分）18．（14分）已知函数f(x）=sin2x﹣cos2x﹣2sinx cosx（x∈R)．（Ⅰ)求f（）的值．（Ⅱ)求f（x)的最小正周期及单调递增区间．19．（15分)如图，已知四棱锥P﹣ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD ⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：CE∥平面PAB；（Ⅱ）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．20．(15分）已知函数f（x）=（x﹣）e﹣x(x≥）．（1）求f（x）的导函数；（2）求f(x）在区间[,+∞)上的取值范围．21．（15分）如图，已知抛物线x2=y，点A(﹣，），B(，)，抛物线上的点P（x,y）（﹣＜x ＜），过点B作直线AP的垂线，垂足为Q．（Ⅰ）求直线AP斜率的取值范围;（Ⅱ）求|PA|•|PQ|的最大值．22．（15分）已知数列｛x n }满足:x 1=1，x n =x n+1+ln （1+x n+1）（n ∈N ＊），证明：当n ∈N ＊时， （Ⅰ)0＜x n+1＜x n ；(Ⅱ）2x n+1﹣x n ≤；（Ⅲ）≤x n ≤．2017年浙江省高考理科数学参考答案与试题解析一、选择题(共10小题,每小题4分,满分40分）1．（4分）已知集合P={x|﹣1＜x＜1}，Q={x｜0＜x＜2｝，那么P∪Q=（）A．（﹣1，2） B．（0，1) C．（﹣1，0） D．(1，2）【分析】直接利用并集的运算法则化简求解即可．【解答】解：集合P=｛x｜﹣1＜x＜1｝,Q=｛x|0＜x＜2｝，那么P∪Q={x｜﹣1＜x＜2｝=(﹣1，2）．故选：A．【点评】本题考查集合的基本运算,并集的求法,考查计算能力．2．(4分）椭圆+=1的离心率是（）A．B．C．D．【分析】直接利用椭圆的简单性质求解即可．【解答】解：椭圆+=1，可得a=3，b=2，则c==，所以椭圆的离心率为：=．故选:B．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．3．(4分)某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积(单位：cm3）是（）A．+1 B．+3 C．+1 D．+3【分析】根据几何体的三视图，该几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成，画出图形,结合图中数据即可求出它的体积．【解答】解:由几何的三视图可知，该几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成，圆锥的底面圆的半径为1,三棱锥的底面是底边长2的等腰直角三角形，圆锥的高和棱锥的高相等均为3，故该几何体的体积为××π×12×3+××××3=+1,故选：A【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题,解题的关键是根据三视图得出原几何体的结构特征，是基础题目．4．（4分）若x、y满足约束条件,则z=x+2y的取值范围是（）A．［0，6］B．[0，4] C．［6,+∞）D．[4，+∞）【分析】画出约束条件的可行域,利用目标函数的最优解求解即可．【解答】解：x、y满足约束条件,表示的可行域如图：目标函数z=x+2y经过C点时，函数取得最小值,由解得C（2,1)，目标函数的最小值为：4目标函数的范围是［4，+∞)．故选:D．【点评】本题考查线性规划的简单应用,画出可行域判断目标函数的最优解是解题的关键．5．(4分)若函数f（x）=x2+ax+b在区间［0，1］上的最大值是M，最小值是m，则M﹣m（）A．与a有关，且与b有关B．与a有关，但与b无关C．与a无关，且与b无关D．与a无关，但与b有关【分析】结合二次函数的图象和性质，分类讨论不同情况下M﹣m的取值与a，b的关系，综合可得答案．【解答】解：函数f（x）=x2+ax+b的图象是开口朝上且以直线x=﹣为对称轴的抛物线，①当﹣＞1或﹣＜0，即a＜﹣2，或a＞0时，函数f （x)在区间[0，1]上单调, 此时M ﹣m=｜f （1）﹣f （0）|=|a+1|， 故M ﹣m 的值与a 有关，与b 无关②当≤﹣≤1，即﹣2≤a ≤﹣1时，函数f （x)在区间[0,﹣]上递减，在[﹣，1］上递增， 且f （0）＞f （1）,此时M ﹣m=f(0）﹣f （﹣)=， 故M ﹣m 的值与a 有关，与b 无关③当0≤﹣＜，即﹣1＜a ≤0时,函数f （x ）在区间［0，﹣］上递减,在[﹣，1］上递增, 且f （0）＜f(1）,此时M ﹣m=f （1）﹣f(﹣）=1+a+， 故M ﹣m 的值与a 有关，与b 无关 综上可得：M ﹣m 的值与a 有关,与b 无关 故选:B【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．6．（4分)已知等差数列{a n ｝的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d＞0"是“S 4+S 6＞2S 5”的( ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】根据等差数列的求和公式和S4+S6＞2S5，可以得到d＞0,根据充分必要条件的定义即可判断．【解答】解：∵S4+S6＞2S5,∴4a1+6d+6a1+15d＞2（5a1+10d），∴21d＞20d,∴d＞0，故“d＞0”是“S4+S6＞2S5"充分必要条件,故选：C【点评】本题借助等差数列的求和公式考查了充分必要条件，属于基础题7．（4分）函数y=f（x）的导函数y=f′(x)的图象如图所示，则函数y=f(x）的图象可能是( ）A．B．C．D．【分析】根据导数与函数单调性的关系，当f′（x）＜0时,函数f（x）单调递减，当f′（x）＞0时，函数f（x）单调递增,根据函数图象,即可判断函数的单调性，然后根据函数极值的判断，即可判断函数极值的位置，即可求得函数y=f（x）的图象可能【解答】解：由当f′(x）＜0时，函数f（x)单调递减，当f′（x）＞0时,函数f(x）单调递增，则由导函数y=f′（x）的图象可知：f（x）先单调递减，再单调递增，然后单调递减，最后单调递增，排除A,C，且第二个拐点（即函数的极大值点）在x轴上的右侧，排除B，故选D【点评】本题考查导数的应用,考查导数与函数单调性的关系，考查函数极值的判断，考查数形结合思想,属于基础题．8．（4分）已知随机变量ξi 满足P(ξi=1）=pi，P（ξi=0)=1﹣pi，i=1，2．若0＜p1＜p2＜，则（）A．E(ξ1）＜E(ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）B．E（ξ1）＜E(ξ2),D（ξ1）＞D（ξ2）C．E（ξ1）＞E(ξ2）,D（ξ1）＜D(ξ2）D．E(ξ1）＞E（ξ2)，D（ξ1）＞D（ξ2）【分析】由已知得0＜p1＜p2＜，＜1﹣p2＜1﹣p1＜1,求出E（ξ1）=p1，E（ξ2)=p2，从而求出D(ξ1）,D（ξ2）,由此能求出结果．【解答】解：∵随机变量ξi 满足P（ξi=1）=pi，P（ξi=0）=1﹣pi，i=1,2，…，0＜p1＜p2＜,∴＜1﹣p2＜1﹣p1＜1，E(ξ1）=1×p1+0×(1﹣p1）=p1,E(ξ2)=1×p2+0×（1﹣p2）=p2，D（ξ1)=(1﹣p1）2p1+（0﹣p1）2（1﹣p1）=,D（ξ2）=(1﹣p2）2p2+（0﹣p2）2（1﹣p2）=，D（ξ1）﹣D(ξ2)=p1﹣p12﹣（）=(p2﹣p1）（p1+p2﹣1)＜0，∴E（ξ1)＜E(ξ2），D(ξ1)＜D（ξ2)．故选：A．【点评】本题考查离散型随机变量的数学期望和方差等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．9．（4分）如图，已知正四面体D﹣ABC(所有棱长均相等的三棱锥），P、Q、R分别为AB、BC、CA上的点,AP=PB，==2，分别记二面角D﹣PR﹣Q，D﹣PQ﹣R,D﹣QR﹣P的平面角为α、β、γ，则( ）A．γ＜α＜βB．α＜γ＜βC．α＜β＜γD．β＜γ＜α【分析】解法一:如图所示，建立空间直角坐标系．设底面△ABC的中心为O．不妨设OP=3．则O（0，0，0），P（0，﹣3，0），C（0，6，0)，D（0,0，6)，Q，R，利用法向量的夹角公式即可得出二面角．解法二：如图所示,连接OP，OQ,OR,过点O分别作垂线：OE⊥PR,OF⊥PQ,OG⊥QR,垂足分别为E，F，G，连接DE,DF，DG．．可得tanα=．tanβ=，tanγ=．由已知可得:OE＞OG＞OF．即可得出．【解答】解法一：如图所示,建立空间直角坐标系．设底面△ABC的中心为O．不妨设OP=3．则O（0，0，0），P（0，﹣3，0），C（0，6，0），D（0，0，6），B（3,﹣3，0)．Q,R，=，=（0,3，6)，=（,6，0),=，=．设平面PDR的法向量为=（x，y,z)，则,可得，可得=，取平面ABC的法向量=（0,0，1）．则cos==，取α=arccos．同理可得：β=arccos．γ=arccos．∵＞＞．∴α＜γ＜β．解法二：如图所示，连接OP，OQ，OR，过点O分别作垂线:OE⊥PR,OF⊥PQ，OG⊥QR，垂足分别为E,F,G，连接DE,DF，DG．设OD=h．则tanα=．同理可得：tanβ=，tanγ=．由已知可得：OE＞OG＞OF．∴tanα＜tanγ＜tanβ，α，β，γ为锐角．∴α＜γ＜β．故选:B．【点评】本题考查了空间角、空间位置关系、正四面体的性质、法向量的夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．10．（4分）如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC,AB=BC=AD=2，CD=3，AC与BD交于点O,记I 1=•，I2=•，I3=•，则（）A．I1＜I2＜I3B．I1＜I3＜I2C．I3＜I1＜I2D．I2＜I1＜I3【分析】根据向量数量积的定义结合图象边角关系进行判断即可．【解答】解：∵AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，∴AC=2，∴∠AOB=∠COD＞90°,由图象知OA＜OC，OB＜OD，∴0＞•＞•,•＞0，即I3＜I1＜I2，故选:C ．【点评】本题主要考查平面向量数量积的应用,根据图象结合平面向量数量积的定义是解决本题的关键．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分,共36分11．（4分）我国古代数学家刘徽创立的“割圆术"可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度,祖冲之继承并发展了“割圆术"，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年,“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S 6，S 6= ．【分析】根据题意画出图形，结合图形求出单位圆的内接正六边形的面积． 【解答】解:如图所示，单位圆的半径为1,则其内接正六边形ABCDEF 中， △AOB 是边长为1的正三角形， 所以正六边形ABCDEF 的面积为S 6=6××1×1×sin60°=．故答案为：．【点评】本题考查了已知圆的半径求其内接正六边形面积的应用问题，是基础题．12．（6分）已知a 、b ∈R,(a+bi ）2=3+4i （i 是虚数单位），则a 2+b 2= 5 ,ab= 2 ．【分析】a、b∈R，（a+bi）2=3+4i（i是虚数单位），可得3+4i=a2﹣b2+2abi，可得3=a2﹣b2，2ab=4，解出即可得出．【解答】解：a、b∈R,（a+bi）2=3+4i（i是虚数单位），∴3+4i=a2﹣b2+2abi，∴3=a2﹣b2，2ab=4，解得ab=2，,．则a2+b2=5，故答案为：5，2．【点评】本题考查了复数的运算法则、复数的相等、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．13．（6分）已知多项式（x+1）3(x+2)2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5,则a4= 16 ，a5= 4 ．【分析】利用二项式定理的展开式，求解x的系数就是两个多项式的展开式中x与常数乘积之和，a5就是常数的乘积．【解答】解：多项式（x+1）3（x+2）2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5,（x+1)3中，x的系数是：3，常数是1;(x+2）2中x的系数是4，常数是4，a4=3×4+1×4=16；a5=1×4=4．故答案为：16；4．【点评】本题考查二项式定理的应用，考查计算能力，是基础题．14．（6分）已知△ABC，AB=AC=4，BC=2,点D为AB延长线上一点，BD=2,连结CD，则△BDC的面积是，cos∠BDC= ．【分析】如图,取BC得中点E，根据勾股定理求出AE，再求出S△ABC ，再根据S△BDC=S△ABC即可求出，根据等腰三角形的性质和二倍角公式即可求出【解答】解：如图，取BC得中点E，∵AB=AC=4，BC=2，∴BE=BC=1，AE⊥BC，∴AE==，∴S△ABC=BC•AE=×2×=,∵BD=2，∴S△BDC =S△ABC=,∵BC=BD=2，∴∠BDC=∠BCD，∴∠ABE=2∠BDC在Rt△ABE中，∵cos∠ABE==，∴cos∠ABE=2cos2∠BDC﹣1=，∴cos∠BDC=，故答案为：,【点评】本题考查了解三角形的有关知识,关键是转化,属于基础题15．（6分）已知向量、满足｜｜=1，|｜=2，则|+｜+|﹣｜的最小值是 4 ,最大值是．【分析】通过记∠AOB=α（0≤α≤π)，利用余弦定理可可知｜+｜=、｜﹣|=,进而换元，转化为线性规划问题，计算即得结论．【解答】解：记∠AOB=α,则0≤α≤π，如图,由余弦定理可得:｜+｜=，|﹣|=,令x=，y=，则x2+y2=10(x、y≥1）,其图象为一段圆弧MN，如图,令z=x+y，则y=﹣x+z,则直线y=﹣x+z过M、N时z最小为z=1+3=3+1=4，min当直线y=﹣x+z与圆弧MN相切时z最大，即为原点到切线的距离的倍，由平面几何知识易知zmax也就是圆弧MN所在圆的半径的倍，=×=．所以zmax综上所述，|+|+｜﹣｜的最小值是4，最大值是．故答案为：4、．【点评】本题考查函数的最值及其几何意义,考查数形结合能力，考查运算求解能力，涉及余弦定理、线性规划等基础知识,注意解题方法的积累，属于中档题．16．(4分)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生,共有 660 种不同的选法．（用数字作答) 【分析】由题意分两类选1女3男或选2女2男,再计算即可【解答】解：第一类，先选1女3男，有C 63C 21=40种，这4人选2人作为队长和副队有A 42=12种,故有40×12=480种,第二类，先选2女2男,有C 62C 22=15种，这4人选2人作为队长和副队有A 42=12种，故有15×12=180种，根据分类计数原理共有480+180=660种， 故答案为：660【点评】本题考查了分类计数原理和分步计数原理，属于中档题17．（4分）已知a∈R，函数f（x）=|x+﹣a|+a在区间［1，4]上的最大值是5，则a的取值范围是（﹣∞，］．【分析】通过转化可知｜x+﹣a|+a≤5且a≤5，进而解绝对值不等式可知2a﹣5≤x+≤5，进而计算可得结论．【解答】解：由题可知|x+﹣a|+a≤5，即|x+﹣a|≤5﹣a，所以a≤5,又因为｜x+﹣a｜≤5﹣a，所以a﹣5≤x+﹣a≤5﹣a，所以2a﹣5≤x+≤5，又因为1≤x≤4,4≤x+≤5，所以2a﹣5≤4，解得a≤，故答案为:（﹣∞，］．【点评】本题考查函数的最值，考查绝对值函数，考查转化与化归思想，注意解题方法的积累,属于中档题．三、解答题(共5小题，满分74分）18．（14分)已知函数f(x）=sin2x﹣cos2x﹣2sinx cosx(x∈R）．（Ⅰ）求f（）的值．（Ⅱ）求f（x）的最小正周期及单调递增区间．【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数的解析式,（Ⅰ）代入可得：f（)的值．（Ⅱ）根据正弦型函数的图象和性质，可得f(x)的最小正周期及单调递增区间【解答】解:∵函数f(x）=sin2x﹣cos2x﹣2sinx cosx=﹣sin2x﹣cos2x=2sin(2x+）（Ⅰ）f（）=2sin(2×+)=2sin=2，（Ⅱ）∵ω=2,故T=π，即f(x）的最小正周期为π，由2x+∈［﹣+2kπ,+2kπ]，k∈Z得：x∈[﹣+kπ,﹣+kπ］,k∈Z，故f(x)的单调递增区间为［﹣+kπ，﹣+kπ］或写成[kπ+，kπ+］，k∈Z．【点评】本题考查的知识点是三角函数的化简求值，三角函数的周期性，三角函数的单调区间，难度中档．19．（15分)如图,已知四棱锥P﹣ABCD,△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E为PD的中点．(Ⅰ）证明:CE∥平面PAB;(Ⅱ）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ)取AD的中点F，连结EF，CF，推导出EF∥PA，CF∥AB，从而平面EFC∥平面ABP,由此能证明EC∥平面PAB．（Ⅱ）连结BF，过F作FM⊥PB于M，连结PF，推导出四边形BCDF为矩形,从而BF⊥AD，进而AD⊥平面PBF,由AD∥BC，得BC⊥PB，再求出BC⊥MF，由此能求出sinθ．【解答】证明：（Ⅰ）取AD的中点F，连结EF,CF，∵E为PD的中点，∴EF∥PA，在四边形ABCD中,BC∥AD,AD=2DC=2CB，F为中点,∴CF∥AB，∴平面EFC∥平面ABP,∵EC⊂平面EFC，∴EC∥平面PAB．解：（Ⅱ）连结BF,过F作FM⊥PB于M，连结PF，∵PA=PD，∴PF⊥AD，推导出四边形BCDF为矩形，∴BF⊥AD，∴AD⊥平面PBF,又AD∥BC,∴BC⊥平面PBF，∴BC⊥PB，设DC=CB=1,由PC=AD=2DC=2CB,得AD=PC=2，∴PB===，BF=PF=1，∴MF=，又BC⊥平面PBF，∴BC⊥MF，∴MF⊥平面PBC，即点F到平面PBC的距离为,∵MF=,D到平面PBC的距离应该和MF平行且相等，为，E为PD中点,E到平面PBC的垂足也为垂足所在线段的中点，即中位线，∴E到平面PBC的距离为，在，由余弦定理得CE=，设直线CE与平面PBC所成角为θ，则sinθ==．【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力,考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．20．（15分）已知函数f（x）=(x﹣）e﹣x（x≥）．(1）求f（x)的导函数;(2）求f(x）在区间[，+∞）上的取值范围．【分析】（1）求出f（x）的导数，注意运用复合函数的求导法则，即可得到所求；（2)求出f(x）的导数,求得极值点，讨论当＜x＜1时，当1＜x＜时，当x＞时，f(x）的单调性,判断f（x）≥0，计算f(），f（1），f(），即可得到所求取值范围．【解答】解：（1)函数f（x）=（x﹣)e﹣x（x≥），导数f′（x)=(1﹣••2）e﹣x﹣（x﹣）e﹣x=（1﹣x+）e﹣x=（1﹣x）（1﹣）e﹣x；（2)由f（x)的导数f′（x）=（1﹣x）（1﹣）e﹣x,可得f′（x）=0时，x=1或,当＜x＜1时，f′（x)＜0，f（x）递减；当1＜x＜时，f′（x)＞0,f(x）递增；当x＞时,f′(x)＜0，f(x）递减，且x≥⇔x2≥2x﹣1⇔（x﹣1）2≥0，则f（x）≥0．由f()=e，f（1）=0，f(）=e,即有f（x）的最大值为e,最小值为f(1）=0．则f(x）在区间［，+∞）上的取值范围是［0，e]．【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值,考查化简整理的运算能力,正确求导是解题的关键,属于中档题．21．（15分）如图，已知抛物线x2=y，点A（﹣，），B(，)，抛物线上的点P（x，y)（﹣＜x＜）,过点B作直线AP的垂线，垂足为Q．（Ⅰ）求直线AP斜率的取值范围；（Ⅱ）求｜PA|•｜PQ｜的最大值．【分析】（Ⅰ)通过点P在抛物线上可设P（x,x2），利用斜率公式结合﹣＜x＜可得结论；（Ⅱ）通过（I)知P（x，x2）、﹣＜x＜，设直线AP的斜率为k，联立直线AP、BQ方程可知Q点坐标，进而可用k表示出、,计算可知|PA|•｜PQ｜=（1+k)3（1﹣k），通过令f(x)=（1+x)3(1﹣x），﹣1＜x＜1，求导结合单调性可得结论．【解答】解:(Ⅰ)由题可知P（x,x2),﹣＜x＜,==x﹣∈(﹣1，1），所以kAP故直线AP斜率的取值范围是：（﹣1，1）;（Ⅱ）由（I)知P(x，x2）,﹣＜x＜,所以=（﹣﹣x，﹣x2)，设直线AP的斜率为k，则AP：y=kx+k+，BQ：y=﹣x++，联立直线AP、BQ方程可知Q（，）,故=（,），又因为=（﹣1﹣k，﹣k2﹣k）,故﹣|PA|•|PQ|=•=+=（1+k）3（k﹣1），所以｜PA|•|PQ｜=（1+k)3(1﹣k),令f（x）=（1+x）3（1﹣x）,﹣1＜x＜1，则f′（x)=（1+x）2(2﹣4x）=﹣2(1+x）2（2x﹣1），由于当﹣1＜x＜时f′（x）＞0，当＜x＜1时f′(x）＜0,故f（x）max=f(）=，即｜PA|•|PQ｜的最大值为．【点评】本题考查圆锥曲线的最值问题，考查运算求解能力，考查函数思想，注意解题方法的积累，属于中档题．22．（15分）已知数列{xn ｝满足：x1=1,xn=xn+1+ln(1+xn+1)（n∈N*),证明：当n∈N*时，(Ⅰ）0＜xn+1＜xn；(Ⅱ）2xn+1﹣xn≤;（Ⅲ)≤xn≤．【分析】（Ⅰ）用数学归纳法即可证明，(Ⅱ）构造函数，利用导数判断函数的单调性,把数列问题转化为函数问题,即可证明，（Ⅲ）由≥2xn+1﹣xn得﹣≥2（﹣）＞0，继续放缩即可证明【解答】解：(Ⅰ)用数学归纳法证明：x n ＞0， 当n=1时，x 1=1＞0,成立， 假设当n=k 时成立,则x k ＞0，那么n=k+1时，若x k+1＜0，则0＜x k =x k+1+ln （1+x k+1）＜0，矛盾, 故x n+1＞0，因此x n ＞0,（n ∈N ＊) ∴x n =x n+1+ln(1+x n+1)＞x n+1， 因此0＜x n+1＜x n （n ∈N ＊），（Ⅱ）由x n =x n+1+ln(1+x n+1）得x n x n+1﹣4x n+1+2x n =x n+12﹣2x n+1+(x n+1+2）ln （1+x n+1）， 记函数f （x ）=x 2﹣2x+（x+2）ln （1+x)，x ≥0∴f′（x ）=+ln （1+x ）＞0，∴f （x ）在（0，+∞）上单调递增, ∴f （x ）≥f （0）=0，因此x n+12﹣2x n+1+（x n+1+2)ln(1+x n+1）≥0,故2x n+1﹣x n ≤;（Ⅲ)∵x n =x n+1+ln （1+x n+1）≤x n+1+x n+1=2x n+1，∴x n ≥，由≥2x n+1﹣x n 得﹣≥2（﹣）＞0，∴﹣≥2（﹣)≥…≥2n ﹣1（﹣）=2n ﹣2，∴x n ≤,综上所述≤x≤．n【点评】本题考查了数列的概念，递推关系，数列的函数的特征,导数和函数的单调性的关系,不等式的证明，考查了推理论证能力，分析解决问题的能力,运算能力,放缩能力，运算能力，属于难题。