概率论与数理统计课本_百度文库

概率论与数理统计(8)假设检验第八章假设检验第一节假设检验问题第二节正态总体均值的假设检验第三节正态总体方差的检验第四节大样本检验法第五节 p值检验法第六节假设检验的两类错误第七节非参数假设检验第一节假设检验问题前一章我们讨论了统计推断中的参数估计问题，本章将讨论另一类统计推断问题——假设检验.在参数估计中我们按照参数的点估计方法建立了参数的估计公式，并利用样本值确定了一个估计值，认为参数真值。

由于参数是未知的，只是一个假设（假说，假想），它可能是真，也可能是假，是真是假有待于用样本进行验证（检验）.下面我们先对几个问题进行分析，给出假设检验的有关概念，然后总结给出检验假设的思想和方法.一、统计假设某大米加工厂用自动包装机将大米装袋,每袋的标准重量规定为10kg，每天开工时，需要先检验一下包装机工作是否正常. 根据以往的经验知道,自动包装机装袋重量X服从正态分布N( )．某日开工后，抽取了8袋，如何根据这8袋的重量判断“自动包装机工作是正常的”这个命题是否成立？请看以下几个问题：问题1引号内的命题可能是真，也可能是假，只有通过验证才能确定．如果根据抽样结果判断它是真，则我们接受这个命题，否则就拒绝接受它，此时实际上我们接受了“机器工作不正常”这样一个命题．若用H0表示“”，用H1表示其对立面，即“”，则问题等价于检验H0：是否成立，若H0不成立，则H1：成立．一架天平标定的误差方差为10-4(g2)，重量为的物体用它称得的重量X服从N( )．某人怀疑天平的精度，拿一物体称n次，得n 个数据，由这些数据(样本)如何判断“这架天平的精度是10-4(g2)”这个命题是否成立？问题2记H0: =10-4，H1: ，则问题等价于检验H0成立，还是H1成立．某种电子元件的使用寿命X服从参数为的指数分布，现从一批元件中任取n个，测得其寿命值（样本），如何判定“元件的平均寿命不小于5000小时”这个命题是否成立？记问题3则问题等价于检验H0成立，还是H1成立．某种疾病，不用药时其康复率为，现发明一种新药（无不良反应），为此抽查n位病人用新药的治疗效果，设其中有s人康复，根据这些信息，能否断定“该新药有效”？记问题4则问题等价于检验H0成立，还是H1成立．自1965年1月1日至1971年2月9日共2231天中，全世界记录到震级4级及以上的地震共计162次，问相继两次地震间隔的天数X是否服从指数分布？问题5记服从指数分布，不服从指数分布．则问题也等价于检验H0成立，还是H1成立．在很多实际问题中，我们常常需要对关于总体的分布形式或分布中的未知参数的某个陈述或命题进行判断，数理统计学中将这些有待验证的陈述或命题称为统计假设，简称假设．如上述各问题中的H0和H1都是假设.利用样本对假设的真假进行判断称为假设检验。

概率论与数理统计电子版教材概率论与数理统计是一门重要的数学学科，它旨在研究随机现象和数据的统计规律，是自然科学、社会科学和工程技术等领域中不可或缺的基础学科。

本文将简要介绍概率论与数理统计的基本概念、分布、随机变量、随机过程和大数定律等内容。

一、概率论的基本概念概率是指一个事件在所有可能性中出现的可能性大小，它是一个0和1之间的实数。

概率论是一个基于集合论的数学理论，它研究随机事件，即不确定性事件的概率规律。

基本的概念包括样本空间、样本点、基本事件、和事件、差事件、交事件等。

样本空间是指所有可能的结果的集合，样本点是指样本空间中的一个元素，基本事件是指随机事件中最简单的一种，和事件是指随机事件中两个或多个事件发生的交集，差事件是指B事件不包含A事件的部分，交事件是指随机事件中两个或多个事件发生的并集。

二、分布概率论中的分布是指随机变量的概率分布模型，通常用于描述随机变量的概率密度函数或累积分布函数。

常见的分布包括离散分布和连续分布。

离散分布适用于描述一些离散的取值，像二项分布和泊松分布，而连续分布适用于描述取值连续的情况，像正态分布和t分布。

三、随机变量随机变量是指一个随机事件对应于一个实数或者一组实数的函数。

随机变量可以是离散的或连续的，离散的随机变量通常用概率质量函数描述，而连续的随机变量则用概率密度函数描述。

随机变量的期望和方差是随机变量的两个重要指标，它们可以用来描述随机变量的总体性质。

四、随机过程随机过程是指随机事件随时间变化的过程，它尤其适用于描述在不断变化的状态下的随机事件。

随机过程主要包括马尔科夫链、布朗运动和泊松过程等。

其中，马尔科夫链是指每一个状态都只依赖于前一步的状态，布朗运动是指在固定时间段内任意时刻的随机步长相加所得的路径，而泊松过程则是以随机变量为时间间隔的增量为标记的过程。

五、大数定律大数定律是概率论中的重要结果之一，它意味着随着试验次数的增加，随机事件的频率将趋近于其真实概率。

第六章 数理统计的基本概念第一节 基本概念1、概念网络图正态总体下的四大分布统计量样本函数样本个体总体数理统计的基本概念→⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧ 2、重要公式和结论例6．1：从正态总体)6,4.3(2N 中抽取容量为n 的样本，如果要求其样本均值位于区间（1.4, 5.4）内的概率不小于0.95，问样本容量n 至少应取多大？第二节 重点考核点统计量的分布第三节 常见题型1、统计量的性质例6．2：设),,,(721X X X 取自总体)5.0,0(~2N X ，则=⎪⎭⎫⎝⎛>∑=7124i i X P。

例6．3：设总体X 服从正态分布),(21σμN ,总体Y 服从正态分布),(22σμN ,1,,21n X X X 和 2,,21n Y Y Y 分别是来自总体X 和Y 的简单随机样本, 则=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+-+-∑∑==2)()(21212121n n Y Y X X E n j j n i i .2、统计量的分布例6．4：设),,,(21n X X X 是来自正态总体),(2σμN 的简单随机样本，X 是样本均值，记,)(111221∑=--=ni i X X n S,)(11222∑=-=ni i X X n S,)(111223∑=--=ni i X n S μ,)(11224∑=-=ni i X n S μ则服从自由度为n-1的t 分布的随机变量是 （A ）.1/1--=n S X t μ（B ）.1/2--=n S X t μ（C ）./3nS X t μ-=（D ）./4nS X t μ-=[ ]例6．5：设总体X ～N （0，12），从总体中取一个容量为6的样本),,,(621X X X ，设26542321)()(X X X X X X Y +++++=，试确定常数C ，使随机变量CY 服从2χ分布。

第四节 历年真题数学一：1（98，4分） 从正态总体)6,4.3(2N 中抽取容量为n 的样本，如果要求其样本均值位于区间（1.4, 5.4）内的概率不小于0.95，问样本容量n 至少应取多大？ [附表]：dt eZ t Z2221)(-∞-⎰=Φπ990.0975.0950.0900.0)(33.296.1645.128.1Z Z Φ2（01，7分） 设总体)0)(,(~2>σσμN X ，从该总体中抽取简单随机样本)2(,,,221≥n X X X n ，其样本的均值∑==ni i X n X 21,21求统计量∑=+-+=ni i n i X X X Y 12)2(的数学期望E （Y ）。

概率论与数理统计电子版教材概率论与数理统计是一门重要的数学学科，是大多数理工科专业中必修的一门课程。

概率论与数理统计的研究对象是随机现象和随机变量，其中概率论研究随机现象的概率计算问题，数理统计研究随机变量的统计分析问题。

本文将详细介绍概率论与数理统计的相关内容。

一、概率论概率论是研究随机现象中不同结果发生的可能性和概率分布的数学理论。

在概率论中，事件是指任何可能发生的结果，而样本空间是所有可能结果的集合。

概率是事件发生的可能性大小的度量，一般用0到1之间的实数表示。

1.基本概念在概率论中，有一些基本概念需要了解和掌握，包括事件、样本空间、概率与概率分布等。

事件：在随机现象中，任何一种可能发生的结果称为事件，用大写字母表示，比如事件A、事件B等。

样本空间：在随机现象中，所有可能结果的集合称为样本空间，用Ω表示。

比如掷一枚硬币，样本空间为{正面，反面}。

概率：概率是事件发生的可能性大小的度量，用P(A)表示，范围为0到1之间的实数。

如果一个事件A发生的概率是0，那么称该事件为不可能事件；如果一个事件A发生的概率是1，那么称该事件为必然事件。

概率分布：指各种可能结果的概率，是随机变量的概率分布函数，也是描述随机变量性质的核心概念。

2.条件概率与独立性条件概率是指在已知一些相关信息的条件下，某事件发生的概率。

设A、B是两个事件，并且P(B)>0，那么事件A在事件B发生的条件下发生的概率为：P(A|B)=P(A∩B)/P(B)其中A∩B表示事件A和事件B同时发生的结果集合。

独立性是指两个事件的发生没有任何联系，也就是说一个事件的发生不会影响另一个事件的发生。

设A、B是两个事件，如果P(A|B)=P(A)，那么称事件A和事件B是相互独立的。

3.随机变量随机变量是概率论中的重要概念，是定义在样本空间Ω上的实值函数X，即X(ω)，其中ω∈Ω。

通常用大写字母X、Y、Z等变量表示。

在概率论中，随机变量是指取值不确定的变量，它的值取决于随机现象的结果。

概率论与数理统计电子版教材《概率论与数理统计》是一门重要的数学学科，包括两个部分：概率论和数理统计。

概率论可以帮助我们分析随机现象的规律性；数理统计则是通过对样本数据的分析和推断，推断总体特征和参数。

在实际应用中，概率论和数理统计被广泛应用于自然科学、社会科学和工程技术等领域。

概率论主要研究随机现象的规律性，其中一个关键的概念就是概率。

概率是指某个事件出现的可能性大小，通常用P表示。

事件的概率大小与该事件发生的次数有关，记作：$$P(A)=\frac{N(A)}{N}$$ 其中，N(A)表示事件A发生的次数，N表示总次数。

概率不可能小于0或大于1，其值在0~1之间。

事件的互斥与独立是概率论中的另外两个关键概念。

互斥事件是指两个或多个事件不能同时发生的情况，例如掷骰子出现1和出现2是互斥事件。

而独立事件是指事件之间互不影响，例如抛硬币出现正面和出现反面是独立事件。

数理统计是一门通过数据分析来推断总体参数的学科。

其基本步骤包括数据的收集、描述、分析和推断。

描述统计分析是指使用方法来汇总和描述数据的中心趋势、分散程度和分布情况。

常用的描述统计量有均值、中位数、众数、方差、标准差和分位数等。

推断统计分析是指通过样本数据推断总体特征的一种方法。

推断统计分析通常包括点估计和区间估计。

其中，点估计是指用样本数据估计总体参数的值，例如用样本均值估计总体均值。

而区间估计是指在某个置信水平下，使用样本数据得到一个总体参数范围，例如在95%置信水平下，总体均值在样本均值的±1.96倍标准误范围内的概率为95%。

总之，概率论和数理统计是数学学科中的重要分支。

应用广泛，涵盖自然科学、社会科学和工程技术等领域。

有了概率论和数理统计的理论基础，我们可以更好地分析数据、做出合理的决策，并推断出总体参数，为实际应用提供了可靠的依据。

概率论与数理统计电子版教材概率论与数理统计是一门研究随机现象的规律性和定量化描述的学科，也是现代科学中广泛应用的一种数学工具。

它对于物理、化学、生物、计算机、经济学等领域都有重要的意义，是一种基本的数学概念，对于理解和应用这些领域的理论和方法具有重要影响。

概率论是指在相同条件下，某种事件发生的可能性大小的数学理论。

概率论的基础是随机试验和随机事件。

随机试验是指在相同条件下的重复试验，其结果不确定，但具有一定的规律性。

随机事件是试验中可能发生的结果，具有随机性。

在概率论中，有几个重要概念：样本空间、事件概率、条件概率、全概率公式、贝叶斯公式等等。

样本空间是指所有可能结果的集合，例如掷一枚硬币得到正反两种结果的样本空间是{正，反}。

事件概率是事件可能发生的概率，通常用P(A)表示，例如掷一枚硬币得到正面的概率是1/2。

条件概率是指在已知发生了另一事件的条件下，某一事件发生的概率，例如从一副牌中摸一张红色的A和一张黑色的A的条件概率分别是1/52和1/26。

全概率公式和贝叶斯公式是两个概率论中比较关键的公式，前者用于计算一系列相互独立的事件的概率，后者则用于已知一个事件的条件下，推导另一个事件的概率。

数理统计是应用概率论的方法，对数据的整理、分析和推断进行科学处理的一个学科。

数理统计分为描述统计和推断统计两个方面。

描述统计是指对收集到的数据进行汇总、排列、分组和图表等方式，对数据的一些特征进行概括和描述。

推断统计则是利用抽样方法将样本的一些统计性质推广到总体，并给出推断的可靠程度，如利用置信区间判断平均数的大小，并利用假设检验方法判断总体平均数和样本平均数是否相等等等。

常见的统计方法有基本统计量、直方图、概率密度函数、假设检验、方差分析等等。

其中基本统计量包括均值、中位数、众数、方差、标准差等等，可用于描述样本的分布特征；直方图则是展示数据分布的一种方法，其将数据分成若干组，并将每组数据用柱状图表示出来；概率密度函数则是描述随机变量取值的分布规律的一种数学表达式，其可以用于计算出某个随机变量落在某个区间内的概率；假设检验则是判断某个统计性质是否合理的方法，例如在对两个样本的方差进行比较时，可以利用假设检验方法判断它们之间是否有显著性差异；方差分析则是用于比较两个或多个组之间的差异，例如不同性别的身高是否存在显著性差异等等。