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第1章 一元二次方程 1.1 一元二次方程课程标准课标解读1．理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意义，会把一元二次方程化为一般形式；2．掌握直接开平方法解方程，会应用此判定方法解决有关问题；3．理解解法中的降次思想，直接开平方法中的分类讨论与换元思想.1、理解并掌握一元二次方程的定义.2、正确识别一元二次方程的二次项、一次项、常数项及各项的系数知识点01 一元二次方程的概念1．一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程． 【微点拨】识别一元二次方程必须抓住三个条件： （1）整式方程； （2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可. 【即学即练1】1．下列方程是一元二次方程的是（ ） A ．10x += B ．11x x-= C ．223x y +=D ．2310x x -+=【答案】D 【分析】根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．目标导航知识精讲【详解】解：A 、10x +=是一元一次方程，故错误； B 、11x x-=不是整式方程，故错误； C 、223x y +=是二元二次方程，故错误； D 、2310x x -+=是一元二次方程，故正确． 故选：D ．知识点02 一元二次方程的一般形式一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项．【微点拨】 (1) 只有当时，方程才是一元二次方程；(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.【即学即练2】2．下列方程中，常数项为0的是（ ） A ．210x x ++= B ．221212x x --= C ．()2213(1)x x -=- D ．()2212x x +=+【答案】D 【分析】要确定方程的常数项，首先要把方程化成一般形式． 【详解】解：A 、x 2+x+1=0，常数项为1，故本选项不符合； B 、2x 2-x -24=0，常数项为-24，故本选项不符合； C 、2x 2-3x+1=0，常数项为1，故本选项不符合； D 、2x 2-x=0，常数项为0，故本选项符合． 故选：D ．知识点03 一元二次方程的解使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 【即学即练3】3．已知m 是方程210x x --=的一个根，则代数式22m m --的值为（ ） A ．1- B ．0C ．1D ．5【答案】A 【分析】把x=m 代入210x x --=即可求解． 【详解】解：把x=m 代入210x x --=，得210m m --=，∴221m m --=-， 故选A ．知识点04 一元二次方程根的重要结论（1）若a+b+c=0,则一元二次方程必有一根x=1；反之也成立，即若x=1是一元二次方程的一个根，则a+b+c=0.（2）若a-b+c=0,则一元二次方程必有一根x=-1；反之也成立，即若x=-1是一元二次方程的一个根，则a-b+c=0.（3）若一元二次方程有一个根x=0，则c=0；反之也成立，若c=0，则一元二次方程必有一根为0.【即学即练4】4．已知2x =-是关于x 方程2530bx ax ++=的根，则代数式17208a b -+的值为（ ） A ．11 B ．14C ．20D ．23【答案】A 【分析】将2x =-代入方程2530bx ax ++=可得41030b a -+=，然后适当整理变形即可求解． 【详解】解：将2x =-代入方程2530bx ax ++=可得41030b a -+= ∴1043a b -=∴17208a b -+()172104a b =-⨯-1723=-⨯11=故选：A考法01 一元二次方程的定义1.一元二次方程的定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次项的次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程 【典例1】下列方程是一元二次方程的是（ ） A ．620x -+= B ．2210x y C ．212x x+= D ．220x x +=【答案】D 【分析】根据一元二次方程的定义求解即可． 【详解】解：A 、是一元一次方程，故A 不符合题意； B 、是二元二次方程，故B 不符合题意； C 、是分式方程，故C 不符合题意； D 、是一元二次方程，故D 符合题意； 故选：D ．考法02 一元二次方程的解方程的解的定义：使方程两边左右相等的未知数的值，叫做这个方程的解。
北师版九年级上册数学同步精品讲义四边形平行四边形第01讲菱形温故知新我们之前学习了平行四边形及矩形，下面简单的回顾一下：1、四边形2、平行四边形的性质：边：角：对角线：3、我们又学习了哪种特殊的平行四边形？满足什么条件即可？它相比平行四边形而言，特殊在哪？智慧乐园探究活动：让我们一起通过折纸、剪纸的方法得到菱形。
我们一起这样做的：将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打开即可.观察得到的菱形，猜想菱形有什么性质？边：菱形的两组对边分别平行。
（这是平行四边形具有的性质）菱形的四条边都相等。
（这是菱形特有的性质，如何进行证明呢？）角：菱形的两组对角分别相等。
菱形的邻角互补。
对角线：菱形的对角线互相平分、垂直，且每条对角线平分一组对角。
知识要点一菱形的定义与性质1、定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
注意：（1）菱形必须满足两个条件：一是平行四边形；二是一组邻边相等。
二者必须同时具备，缺一不可。
（2）菱形的定义既是菱形的基本性质，也是菱形的基本判定方法。
2、性质：（1）菱形的四条边都相等；（2）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；（3）菱形具有平行四边形的一切性质；（4）菱形是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在直线；（5）利用菱形的性质可证线段相等，角相等；（6）菱形的面积计算：①菱形的面积等于底乘高；②菱形的面积等于对角线乘积的一半，对角线互相垂直的四边形的面积都可以用两条对角线乘积的一半来进行计算。
典例分析例1、菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A．对边相等B．对角相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直例2、如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，则DH等于（）A．B．C．5D．4例3、如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB=2，∠ABC=60°，则BD的长为（）A．2B．3C．D．2例4、如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC=8，BD=6，过点O作OH⊥AB，垂足为H，则点O到边AB的距离OH等于（）A．2B．C．D．例5、如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为60°的菱形，剪口与折痕所成的角a的度数应为．例6、如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，OE⊥BC，垂足为点E，则OE=．例7、如图，在菱形ABCD中，点E为AB的中点，请只用无刻度的直尺作图（1）如图1，在CD上找点F，使点F是CD的中点；（2）如图2，在AD上找点G，使点G是AD的中点．举一反三1、如图，菱形ABCD的周长为24cm，对角线AC、BD相交于O点，E 是AD的中点，连接OE，则线段OE的长等于（）A．3cmB．4cmC．2.5cmD．2cm2、如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，点E、F分别在边AB、BC 上，△BEF与△GEF关于直线EF对称，点B的对称点是点G，且点G在边AD上．若EG⊥AC，AB=6，则FG的长为．（1）求证：△ABE≌△ADE；（2）若AB=AE，∠BAE=36°，求∠CDE的度数．知识要点二菱形的判定判定的方法：1、（定义法）：有一组邻边相等的平行四边形是菱形2、（对角线）：对角线互相垂直的平行四边形是菱形；3、（边）：四条边相等的四边形是菱形。
圆的基本性质知识点圆的定义几何定义：线段OA，绕O点旋转一周得到的图形，叫做圆。
其中，O为圆心，OA为半径。
集合定义：到定点等于定长的所有点的集合。
其中，定点为圆心，定长为半径。
圆的书写格式：圆的对称性（1）圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。
（2）圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。
（3）圆是旋转对称图形。
与圆有关的线段半径：圆上一点与圆心的连线段。
确定一个圆的要素是圆心和半径。
弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。
直径：经过圆心的弦叫做直径。
弦心距：圆心到弦的垂线段的长。
弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
劣弧：小于半圆周的圆弧叫做劣弧。
表示方法：优弧：大于半圆周的圆弧叫做优弧。
表示方法：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
注意：同弧或等弧对应的弦相等。
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
注意:定理中的“垂直于弦的直径”可以是直径，也可以是半径，深圳可以是过圆心的直线或线段；该定理也可以理解为：若一条直线具有两条性质：①过圆心；②垂直于一条弦，则此直线具有另外三条性质：①平分此弦；②平分此弦所对的优弧；③平分此弦所对的劣弧.推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
在下列五个条件中:①CD是直径;②CD⊥AB;③AM=BM;④AC=BC;⑤AD=BD.只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.注意：(1)在圆中，与已知弦（非直径）相等的弦共有条；共端点且相等的弦共有条。
（2）在圆中，与已知弦（非直径）平行的弦共有条；平行且相等的弦共有条。
例1.如图：OA、OB为⊙O的半径，C、D分别为OA、OB的中点，求证：AD=BC.例2.如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足是E，如果AB=10cm，CD=8cm，求AE的长。
一元二次方程一、本讲学习目标 1. 正确理解一元二次方程概念，会识别，在综合题中，做到合理应用。
熟练用各种方法解一元二次方程，注意旧知识的应用，体会知识的融汇贯通，及转化思2.想的重要性、普遍性。
3. 灵活应用根的判别式及根系关系，提高分析、解决、归纳问题的能力，加强分类思想。
从实际生活出发，应用数学解决问题，建立方程思想，立足相等关系，列一元二次方程，4.通过对它们的求解，经实际情况检验，最终解决实际应用题。
二、重点难点考点分析重点是一元二次方程及其解法，判别式和根系关系的应用。
1. 难点是配方法和列方程解应用题及综合题。
2. 三、概念解析一元二次方程1. 只含有一个未知数，未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程.2?ax?0bx?c?)?0.其中称为一元二次方程的一般形式（ 2.一元二次方程的解. 使一元二次方程左、右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解. 3.一元二次方程的解法：配方法；公式法；因式分解法配方法(1)用配方法解一元二次方程的原理是：开平方2x??a)x?a(a?0转化为一元一次方程2ax?bx??c0(a?0)用配方法解一元二次方程的一般步骤1、二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；2、移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；2)?0n(n?(x?m)把方程化为方程两边都加上一次项系数一般的平方，配方：3、的形式； 4、用直接开平方法解变形后的方程。
0n?注意：当时，方程无解公式法 (2)2)?0a?c?0(?axb用公式法解一元二次方程的依据是：将一般形式配方为22ac4bb?????x??22aa4??2)0(a??axbx?c?0的求根公式：再开平方并整理，得出一元二次方程2ac?4b?b?2?x?b?0)ac4（ . a21专心爱心用心．2)0(a?0ax?bx??c用公式法解一元二次方程一般步骤： 1、将方程化为一般形式2)(a?0ax?bx??c0；2acb?4、确定方程的各系数a，b，c ，计算的值； 222ac4?4ac?0b?b的值代入求根公式，得出方程的根以及，b，c，将、当3a2c?4a?b?b?x a22?0b4ac?、当时，方程无解；b、公式法是解一元二次方程的万能方法；注意: a2ac4b? c、利用的值，可以不解方程就能判断方程根的情况；分解因式法（3）分解因式法的理论依据是：若两个因式的积等于零，则这两个因式中至少有一个等于.零转化为一元一次方程a?0或b?0.0ab?原理是：一般步骤如下：1、将方程右边得各项移到方程左边，使方程右边为0；2、将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式；3、令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；4、解这两个一元一次方程，他们的解就是原方程的解。
第18课弧长与扇形面积l1.弧长：如果弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r，那么，弧长=2.扇形面积计算：s方法一：如果已知扇形圆心角为n，半径为r，那么扇形面积=s方法二：如果已知扇形弧长为l，半径为r，那么扇形面积=※3.圆锥的侧面积与表面积:（1）h为圆锥的，a为圆锥的，r为圆锥的，由勾股定理可得：a、h、r之间的关系为：（2）圆锥的侧面展开后一个：圆锥的母线是扇形的而扇形的弧长恰好是圆锥底面的。
故:圆锥的侧面积就是圆锥的侧面展开后的扇形的。
圆锥的表面积=+【例1】如图，分别以△ABC的三个顶点为圆心，6cm为半径作三个等圆，与三边的交点分别是E、G、H、N、M、F，求弧EF、弧GH、弧MN的长度的和l．【例2】已知扇形的圆心角为150°，弧长为20πcm，求此扇形的面积。
【例3】如图，把直角三角形ABC的斜边AB放在定直线l上，按顺时针方向在l上转动两次，使它转到△A″B′C″的位置，设BC=1，AC=2，则顶点A运动到A//的位置时，点A经过的路线与直线l所围成的面积是____________（计算结果不取近似值）【例4】如图，ABCD 是矩形，AD=2，AB=1，弧DE 的圆心是点A.(1)求弧DE 的长；(2)求阴影部分的面积.【例5】如图，把Rt△ABC 的斜边AB 放在定直线l 上，按顺时针方向在l 上转动两次，使它转到△A″B′C′的位置，设BC=1，∠A=30°，则顶点A 运动到点A″的位置时.(1)求点A 经过的路线长是多少？(2)点A所经过的路线与l 所围成的面积是多少?(计算结果不取近似值)1.在半径为6的⊙O 中，1200圆心角所对的弧长是()A.πB.π2C.π4 D.π62.已知扇形的面积为4π，扇形的弧长是π，则该扇形半径为（）A.4B.8C.6D.8π3.如图,⊙O 的半径是1,A,B,C 是圆周上的三点,∠BAC=360,则劣弧BC 的长是（）A.5π B.π52C.π53D.π54第3题图第4题图4.一个商标图案如图中阴影部分,在长方形ABCD 中,AB=8cm,BC=4cm,以点A 为圆心，AD 为半径作圆与BA 的延长线相交于点F,则商标图案的面积是()A.（4π+8）cm 2B.（4π+16）cm 2C.（3π+8）cm 2D.（3π+16）cm 25.某花园内有一块五边形的空地如图所示，为了美化环境，现计划在以五边形各顶点为圆心，2m 长为半径的扇形区域（阴影部分）种上花草，那么种上花草的扇形区域总面积是（）A.26m πB.25m πC.24m πD.23m π 6.半径为4cm，圆心角为600的扇形的面积为cm 27.已知圆上一段弧长为6π，它所对的圆心角为120°，则该圆的半径为．8.已知扇形的圆心角为1500,它所对应的弧长20πcm，则此扇形的半径是cm，面积是cm 2。
第04课 一元二次方程的解法（三）--因式分解法课程标准课标解读1.掌握因式分解法解方程的原理和常见方法；2.掌握基础的十字相乘法解方程的简便算法。
掌握一元二次方程的简便算法；知识点01 因式分解法解一元二次方程因式分解法的原理为：如果0a b ，那么0a或0b；推广到一元二次方程中：若一元二次方程()()0ax b mx n ，那么或，解得两个实数根。
1.c 特殊因式分解法解一元二次方程： 我们已知20(0)axbx c a 中，c=0时，方程必有一根为0：因此，当一元二次方程中常数项c=0时，该一元二次方程可以用因式分解法简便运算。
2.常用的因式分解法提公因式分法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 提公因式法 2()()0ax b ax b 使用场景：有公因式，可将多项式化为乘积方式； 完全平方公式法2222()a abb ab使用场景：等号一侧为完全平方式（即计算△=0） 平方差公式法22()()a b a b a b使用场景：平方减平方形式：例如22()-()0axb mx n十字相乘法2121212()=()()x x x x x x x x x x使用场景：前两种方法都不能用时；【知识拓展】（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的知识精讲目标导航积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0； （3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.知识点02十字相乘法解一元二次方程若一元二次方程20axbx c有两个实数根12,x x ，那么可以将一元二次方程写成：12()()0xx x x ，化简得21212()0x x x xx x ；有对应相等得：22221212121200()0()0b c x x ax bx c a axx x xx x x x x x x x可得：当二次项系数为1时，一次项系数b 为两实数根和的相反数；常数项c 为两实数根的积； 对于简单的方程可以进行因式分解法解方程来简化运算。
九年级数学上册 同步提高讲义 共20课第01课 根与系数的关系知识点：一元二次方程解法：(1) ; (2) ; (3) ; (4) ; 求根公式：根与系数的关系式：一元二次方程的根与系数的关系 ：(1)如果一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x 1，x 2，那么x 1+x 2=_________，x 1x 2=____________(2)如果方程x 2+px+q=0的两个根是x 1，x 2，那么x 1+x 2=______，x 1x 2=________(3)以x 1，x 2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是 ______________________．变形公式：(1) 2221x x += ; (2) 2111x x += ; (3)221)(x x -= ; (4)21x x -= ;(5))1)(1(21--x x = ; (6))1)(1(21x x --= ;例1.设21,x x 是一元二次方程01522=+-x x 的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：（1）2221x x +；（2）1221x x x x +（3）221221x x x x +（4）2221)1()1(+++x x（5）)3)(3(21--x x（6）||21x x -（7）3622121+--x x x （8）3621222+--x x x例2.若方程062=+-m x x 的一个根是23-，则另一根是 ，m 的值是 .例3.若关于x 的方程02352=++m x x 的一个根是－5，求另一个根及m 的值.例4.不解方程，判别方程07322=-+x x 两根的符号。
例5.若关于x 的方程03)2(2=---+m x m x 两根的平方和是9. 求m 的值.例6.已知方程032=--m x x 的两根之差的平方是7，求m 的值.例7.已知α、β是方程0522=-+x x 的两个实数根，求αα22++ap 的值。
例8.用两段等长的铁丝恰好可以分别围成一个正五边形和一个正六边形，其中正五边形的边长为（217x +）cm ，正六边形的边长为（22x x +）cm (0)x >其中.求这两段铁丝的总长.课堂练习：1.下列方程中，两个实数根之和为2的一元二次方程是（ ）A.0322=-+x xB.0322=+-x xC.0322=--x xD.0322=++x x2.关于x 的方程0)1(2)13(2=+++-a x a ax 有两个不相等的实根1x 、2x ，且有a x x x x -=+-12211，则a 的值是（ ）A.1B.－1C.1或－1D.23.已知方程0122=-+x x 的两根是1x ，2x ，那么=++1221221x x x x （ ）A.－7B.3C.7D.－34.若方程04)103(422=+--+a x a a x 的两根互为相反数，则a 的值是（ ）A.5或－2B.5C.－2D.－5或25.已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程22870x x -+=的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（ ）6.若一元二次方程)0(,02≠=++a c bx ax 有一个根为-1,则a 、b 、c 的关系是______.7.方程0)1(2=-++n mx x 的两个根是2和－4，那么m = ，n = .8.若方程01)1(2=----k x k x 的两根互为相反数，则k = ，若两根互为倒数，则k = .9.已知a 、b 是一元二次方程0122=--x x 的两个实数根，则代数式ab b a b a +-+-)2)((的值=______.10.如果关于x 的方程062=++k x x 的两根之差为2，那么k=11.已知关于x 的方程0)1(232=-+-m mx x 的两根为x 1,x 2，且431121-=+x x ，则m= 。
12.已知21,x x 是方程04722=--x x 的两个根，那么：2221x x += ；)1)(1(21++x x = ；21x x -= 。
13.已知关于x 的一元二次方程0642=--x mx 的两根为x 1和x 2，且221-=+x x ，则m= ；21)(21x x x x ⋅+= 。
14.如果一元二次方程022=++a x x 的一个根是21-，那么另一个根是 ，a 的值为 。
15.若α、β为实数且0)2(32=-+-+αββα，则以α、β为根的一元二次方程为 。
(其中二次项系数为1)16.解一元二次方程：(1))2(5)2(3+=+x x x (2)0122=--x x (3)032=+--x x17.已知一元二次方程0142=+-x x 的两根分别为21,x x ,求：(1)2221x x +； (2)1221x x x x +； (3)221)(x x -； (4)7522121+--x x x18.关于x 的方程)0(01)3(222≠=+-+m x m x m 的两实数根为21,x x ，若2111x x m +=，求m 的值。
19.当m 为何值时，关于x 的一元二次方程0)5()1(22=-++--m m x m x 的两个根互为倒数。
20.关于x 的方程0)2()14(322=++--m m x m x 的两实数根之和等于两实数根的倒数和，求m 的值.21.关于x 的方程04)2(222=++-+m x m x 有两个实数根，且这两根平方和比两根积大21. 求m 的值.22.在解方程02=++q px x 时，小张看错了p ，解得方程的根为1与-3；小王看错了q, 解得方程的根为4与-2。
这个方程的根应该是什么？14.解方程：(1)072)3(82=--x （2）0)21()12(2=---x x x （3）0562=-+x x15.不解方程，判别方程011522=+--x x 两根的符号。
16.已知方程的一个根为2，求另一个根及的值。
17.已知方程0)54(22=+--+m x m m x 的两根互为相反数，求m 的值.18.已知α、β是方程0522=-+x x 的两个实数根，求a 22++αβα的值。
第02课 韦达定理及应用知识点：一元二次方程根的判别式 ：当△>0时⇔方程有 ，当△=0时⇔方程有 ，当△<0时⇔方程 .韦达定理的应用：1.已知方程的一个根，求另一个根和未知系数2.求与已知方程的两个根有关的代数式的值3.已知方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值4.已知两数的和与积，求这两个数例1.关于x 的一元二次方程0483222=-+--m m mx x .求证：当m>2时,原方程永远有两个实数根.例2.已知关于x 的方程01)1(22=-++-k x x kx 有两个不相等的实数根.(1)求k 的取值范围;(2)是否存在实数k ，使此方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在，求出k 的值;若不存在，说明理由.例3.已知关于x 的方程014)3(222=--+--k k x k x .(1)若这个方程有实数根，求k 的取值范围;(2)若这个方程有一个根为1，求k 的值;例4.已知关于x 的一元二次方程0321)2(2=-+-+m x m x (1)求证：无论取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根。
(2)若这个方程的两个实数根21,x x 满足1221+=+m x x ，求m 的值。
例5.当m 为何值时，方程07)1(82=-+--m x m x 的两根：(1)均为正数; (2)均为负数; (3)一个正数，一个负数; (4)一根为零; (5)互为倒数; (6)都大于2.例6.已知a,b,c,是△ ABC 的三边长，且关于x 的方程0)1(2)1(22=++--x c ax x b 有两个相等的实根， 求证：这个三角形是直角三角形。
例7.若0>n ，关于x 的方程041)2(2=+--mn x n m x 有两个相等的正的实数根，求n m 的值。
课堂练习：1.下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）A.0122=-+x xB.02222=++x xC.0122=++x xD.022=++-x x2.已知12,x x 是方程2310x x -+=的两个实数根，则2111x x +的值是（ ） A.3 B.-3 C.13D.1 3.关于x 的二次方程22(1)230m x x m m -+++-=的一个根为0，则m 的值为（ ）A.1B.-3C.1或－3D.不等于1的实数4.方程0)2()25(22=-+--k x k x 的两根互为相反数，k 的值为（ ）A.5=k 或5-B.5=kC.5-=kD.以上都不对5.若方程x 2＋mx ＋4=0的两根之差的平方为48，则m 的值为（ ）A.±8B.8C.-8D.±46.已知关于x 的方程07)3(102=-++-m x m x ，若有一个根为0，则m=________ ，这时方程的另一个根是 ________；若两根之和为53-，则m=_______ ，这时方程的两个根为____________ 7.已知方程012=-+px x 的一个根为52-+，可求得p=_______8.若32-是关于x 的方程0822=+-k x x 的一个根，则另一个根为_____，_____=k 。
9.方程05622=--x x 两根为α，β，则α2+β2= ，2)(βα-= 。
10.要使6429+-n n a 与n a 3是同类项，则n=11.解下列方程：(1)16)12(2=-x (2)0342=+-x x (3)02352=--x x12.关于x 的方程0)3()12(2=-+--a x a ax 有实数根，求a 的取值范围。
13.设21,x x 是方程01422=--x x 的两根，利用根与系数关系求下列各式的值：(1))1)(1(21++x x ； (2)1221x x x x +； (3)2221x x +.14.关于x 的方程0)3()12(2=-+--a x a x ，试说明无论a 为任何实数，方程总有两个不等实数根。
15.已知关于x 的方程0113)1(222=-+-+m x m x ，（1）m 为何值时，方程有两个相等的实数根？（2）是否存在实数m ，使方程的两根x 1、x 2满足12211x x x x +=-？若存在，求出方程的根；若不存在，请说明理由。
16.关于x 一元二次方程()()022=-+-+-b a x a b x b c 有两个相等的实数根,其中c b a ,,是三角形三边的长,试判断这个三角形的形状。
17.已知ABC R ∆t 中，两直角边长为方程0)2(4)72(2=-++-m m x m x 的两根，且斜边长为13，求ABC S ∆的值.第03课 一元二次方程应用题--经济利润问题知识点：解应用题步骤：1．审题； 2．设未知数，包括直接设未知数和间接设未知数两种； 3．找等量关系列方程； 4．解方程；5．判断解是否符合题意； 6．写出正确的解．平均增长率问题：平均增长率公式为a(1+x)n =b(a 为原来数，x 为平均增长率，n 为增长次数，b 为增长后的量.)平均降低率问题：平均降低率公式为a(1-x)n =b(a 为原来数，x 为平均降低率，n 为降低次数，b 为降低后的量.)商品销售问题利润(销售)问题中常用的等量关系：利润=售价-进价(成本)；总利润=每件的利润×总件数%100⨯=进价（成本）利润利润率；实际售价打折数标价=⨯10；101打折数标价利润率）（进价⨯=+⨯ 例1.某工厂第一季度的一月份生产电视机是1万台，第一季度生产电视机的总台数是3.31万台，求二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率是多少？例2.某种商品，原价50元，受金融危机影响，1月份降价10％，从2月份开始涨价，3月份的售价为64.8元，求2、3月份价格的平均增长率。
