高中数学第三章直线与方程3.1直线的倾斜角与斜率3.1.2两条直线平行与垂直的判定检测新人教A版必修2

第课时两条直线平行与垂直的判定[核心必知]．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材～，回答下列问题：()观察教材图－，设对于两条不重合的直线与，其倾斜角分别为α与α，斜率分别为、，若∥，α与α之间有什么关系？与之间有什么关系？α之间的关系为与α提示：α＝α≠°＝时，＝，因为α；对于与之间的关系，当ααα，所以＝＝，即＝αα时，、不存在．＝.α°当α＝()观察教材图－，设直线与的倾斜角分别为α与α，斜率分别为、，且α<α，若⊥，α与α之间有什么关系？为什么？＝αα提示：°任意一外角等于不相邻两内角之和．，因为三角形＋．归纳总结，核心必记()两直线平行的判定①对于两条不重合的直线，，其斜率分别为，，有＝.∥⇔②若直线和可能重合时，我们得到＝∥⇔或与重合．若直线和的斜率都不存在，且不重合时，得到③.∥()两直线垂直的判定如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于①－；反之，如果，即它们的斜率之积等于－，那么它们垂直⊥⇔.＝－②若两条直线中的一条直线没有斜率，另一条直线的斜率为时，它们互相垂直．[问题思考]()若两条直线平行，斜率一定相等吗？提示：不一定，垂直于轴的两条直线，虽然平行，但斜率不存在．()若两条直线垂直，它们的斜率之积一定为－吗？提示：不一定，如果两条直线，中的一条与轴平行(或重合)，另一条与轴垂直(也即与轴平行或重合)，即两条直线中一条的倾斜角为°，另一条的倾斜角为°，从而一条直线的斜率为，另一条直线的斜率不存在，但这两条直线互相垂直．[课前反思]通过以上预习，必须掌握的几个知识点．()怎样判定两条直线平行？；()怎样判断两条直线垂直？.[思考] 对两直线平行与斜率的关系要注意哪几点？名师指津：对两直线平行与斜率的关系要注意以下几点：()∥⇔＝成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②与不重合．()当两条直线不重合且斜率都不存在时，与的倾斜角都是°，则∥.()两条不重合直线平行的判定的一般结论是：∥⇔＝或，斜率都不存在．讲一讲．根据下列给定的条件，判断直线与直线的位置关系．()经过点()，(－)，经过点(，－)，(，－)；()的倾斜角为°，经过点()，(－，－)．[尝试解答] ()由题意知＝＝－，＝＝－.因为＝，且，，，四点不共线，所以∥.()由题意知＝°＝，＝＝.因为＝，所以∥或与重合．判断两条直线是否平行的步骤练一练．试确定的值，使过点(＋)，(－，)的直线与过点(－)，()的直线平行．解：由题意直线的斜率存在，则与其平行的直线的斜率也存在．＝＝，＝＝，由于∥，所以＝，即＝，得＝－.经验证＝－时直线的斜率存在，所以＝－.名师指津：对两直线垂直与斜率的关系要注意以下几点：()⊥⇔·＝－成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②≠且≠.()两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直．()判定两条直线垂直的一般结论为：⊥⇔·＝－或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零．讲一讲．已知直线经过点(，)，(－，－)，直线经过点()，(－，－)，如果⊥，求的值．[尝试解答] 设直线，的斜率分别为，.∵直线经过点()，(－，－)，且≠－，∴的斜率存在．当＝时，－＝，则＝，此时不存在，符合题意．当≠时，即≠，此时≠，由·＝－，得·＝－，解得＝－.综上可知，的值为或－.()一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在只需看另一条直线的两点的纵坐标是否相等，若相等，则垂直，若不相等，则进行第二步．()二代：就是将点的坐标代入斜率公式．()三求：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论．练一练．已知定点(－)，()，以、为直径作圆，与轴有交点，则交点的坐标是．解析：以线段为直径的圆与轴的交点为，则⊥.设()，则＝，＝，所以·＝－，得＝或，所以()或()．答案：()或()讲一讲．已知(－)，()，()，(－)四点，若顺次连接，，，四点，试判定图形的形状．(链接教材—例) [思路点拨] 画出图形，通过求四条边所在直线的斜率，分析它们之间的关系判断图形形状．[尝试解答] 由题意知，，，四点在坐标平面内的位置，如图所示，由斜率公式可得＝＝，＝＝，＝＝－，＝＝－.所以＝，由图可知与不重合，所以∥.由≠，所以与不平行．又因为·＝×(－)＝－，所以⊥，故四边形为直角梯形．利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤练一练．已知()，(－)，()，求点的坐标，使四边形为直角梯形(，，，按逆时针方向排列)．解：设所求点的坐标为(，)，如图，由于＝，＝，∴·＝≠－，即与不垂直，故，都不可作为直角梯形的直角腰．若是直角梯形的直角腰，则⊥，⊥.∵＝，＝，由于⊥，∴·＝－.①又∥，∴＝.②解①②两式可得(\\(＝()，＝().))此时与不平行．若为直角梯形的直角腰，则⊥，且∥.∵＝，∴的斜率不存在．故＝，又∥，则＝.故点坐标为()．综上可知，使四边形为直角梯形的点的坐标可以为()或.——————————[课堂归纳·感悟提升]—————————————．本节课的重点是理解两条直线平行或垂直的判定条件，会利用斜率判断两条直线平行或垂直，难点是利用斜率判断两条直线平行或垂直．．本节课要重点掌握的规律方法()判断两条直线平行的步骤，见讲.()利用斜率公式判断两条直线垂直的方法，见讲.()判断图形形状的方法步骤，见讲.．本节课的易错点是利用斜率判断含字母参数的两直线平行或垂直时，对字母分类讨论，如讲.课下能力提升(十六)[学业水平达标练]题组两条直线平行的判定及应用．若与为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别是α、α，斜率分别为、，有下列命题：①若∥，则斜率＝；②若＝，则∥；③若∥，则倾斜角α＝α；④若α＝α，则∥.其中真命题的个数是( )．个．个．个．个解析：选①错，两直线不一定有斜率．．已知过(－，)和()的直线与斜率为－的直线平行，则的值是( )．－．．．解析：选由题意可知，＝＝－，所以＝－.．过点()和点(－)的直线与直线＝的位置关系为．解析：∵直线＝的斜率为＝，过()，(－)的直线的斜率＝＝, ∴两条直线平行．答案：平行．已知△中，()、(，－)，、分别为、的中点，则直线的斜率为．解析：∵、分别为、的中点，∴∥.∴＝＝＝－.答案：－题组两条直线垂直的判定及应用．(·淄博高一检测)直线，的斜率是方程－－＝的两根，则与的位置关系是( )．平行．重合．相交但不垂直．垂直解析：选设，的斜率分别为，，则·＝－.．若不同两点、的坐标分别为(，)，(－－)，则线段的垂直平分线的斜率为．解析：由两点的斜率公式可得：＝＝，所以线段的垂直平分线的斜率为－.答案：－．已知直线⊥，若直线的倾斜角为°，则直线的斜率为．解析：由题意可知直线的斜率＝°＝，设直线的斜率为，则·＝－，∴＝－.答案：－题组两条直线平行与垂直的综合应用．以(－)，(，－)，()为顶点的三角形是( )．锐角三角形．钝角三角形．以点为直角顶点的直角三角形．以点为直角顶点的直角三角形解析：选＝＝－，＝＝，∵·＝－，∴⊥，∴△是以点为直角顶点的直角三角形．．已知直线经过点(，)，(－)，直线经过点()，(－，＋)．()若∥，求的值．()若⊥，求的值．解：设直线的斜率为，则＝＝－.()若∥，则直线的斜率为＝，所以＝－，解得＝或＝，经检验当＝或＝时，∥. ()若⊥，①当＝时，此时＝，＝－，不符合题意；②当≠时，的斜率存在，＝，由·＝－得到×＝－，解得＝或＝－.．已知()，()，()，点满足⊥，且∥，试求点的坐标．解：设(，)，则＝＝，＝＝－，＝，＝.因为⊥，∥，所以·＝－，＝，即(\\(×(－)＝－，,(－)＝－().))解得(\\(＝，＝－.))即(，－)．[能力提升综合练]．下列说法正确的有( )①若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行；②若∥，则＝；③若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直；④若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行．．个．个．个．个解析：选若＝，则这两条直线平行或重合，所以①错；当两条直线垂直于轴时，两条直线平行，但斜率不存在，所以②错；若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为时，才有这两条直线垂直，所以③错；④正确．．已知点(－，－)，()，点在轴上，且∠＝°，则点的坐标为( )．(，－) ．()．(，－)或() ．(－)或()解析：选由题意可设点的坐标为(，)．因为∠＝°，所以⊥，且直线与直线的斜率都存在．又＝，＝，·＝－，即·＝－，解得＝－或＝.所以点的坐标为(，－)或()．．(·邯郸高一检测)若点(，)与(－，＋)关于直线对称，则的倾斜角为( )．° ．° ．° ．°解析：选＝＝－，·＝－，∴的斜率为，倾斜角为°.．已知点()，(－)，()，()，则以，，，为顶点的四边形是( )．梯形．平行四边形．菱形．矩形解析：选如图所示，易知＝－，＝，＝－，＝＝－，＝，所以＝，＝，·＝，·＝－，故∥，∥，与不垂直，与不垂直．所以四边形为平行四边形．．若(－)，(，－)，()，()，给出下面四个结论：①∥；②⊥；③∥；④⊥.其中正确的是．(把正确选项的序号填在横线上)解析：∵＝－，＝－，＝，＝－，∴∥，⊥.答案：①④．过点()，(－)，过点()，()，且∥，则＝.解析：∵∥，且＝＝－，∴＝＝－，∴＝.答案：．直线经过点()，(－)，直线经过点(，)，(－，＋)，当∥或⊥时，分别求实数的值．解：当∥时，由于直线的斜率存在，则直线的斜率也存在，则＝，即＝，解得＝；当⊥时，由于直线的斜率存在且不为，则直线的斜率也存在，则·＝－，即·＝－，解得＝－.综上，当∥时，的值为；当⊥时，的值为－.．已知△三个顶点坐标分别为(－，－)，()，()，求此三角形三边的高所在直线的斜率．解：由斜率公式可得＝＝，＝＝，＝＝.由＝知直线∥轴，∴边上的高线与轴垂直，其斜率不存在．设、边上高线的斜率分别为、，由·＝－，·＝－，即·＝－，·＝－，解得＝－，＝－.∴边上的高所在直线的斜率不存在；边上的高所在直线的斜率为－；边上的高所在直线的斜率为－.。

高中数学必修2知识点总结：第三章_直线与方程2直线与方程3.1直线的倾斜角和斜率3.1 倾斜角和斜率1、直线的倾斜角的概念：当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α= 0°.2、倾斜角α的取值范围：0°≤α＜180°. 当直线l与x轴垂直时, α= 90°.3、直线的斜率:一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示, k = tanα⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; ⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在. ．．．．．4、直线的斜率公式:给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率：斜率公式: k = y2-y1/x2-x1 3.1.2 两条直线的平行与垂直1、两条直线的平行① 若两条直线的斜率都存在，则：k1 = k2 = L1∥L2或者．．L1与L2重合② 两条不重合直线平行的判定条件：⑴ 两条直线的斜率都不存在；⑵ 两条直线的斜率存在，且k1 = k2．．．（若已知两条直线的斜率存在且平行，则应k1 = k2 且纵截距不相等；若已知两条直线的斜率不存在且平行，则应横截距不相等）2、两条直线垂直①若两条直线的斜率都存在，则：k1 k2 = - 1 = L1 ⊥ L2 ．．．．．②两条直线垂直的判定条件：⑴ 两条直线：一条斜率不存在，另外一条k =0 ；⑵ 两条直线的斜率存在：k1 k2 = - 1 3、利用系数来判断平行与垂直★ 已知L1: A1x+B1y+C1=0 , L2 : A2x+B2y+C2=0 那么：① A1B2-A2B1=0两条直线平行或重合．．．．两条直线相交③ A1A2 + B1B2 = 0．．② A1B2-A2B1 ≠0两条直线垂直．．★ 如果已知两条直线的一般式方程，则可以通过系数关系求解相应的参数的值。

直线的倾斜角与斜率一、考纲要求1、学习目标:知识与技能：正确理解直线的倾斜角和斜率的概念．理解直线的倾斜角的唯一性.掌握直线的倾斜角与斜率的关系.过程与方法：理解直线的斜率的存在性.斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式．情感态度与价值观：通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力．通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．2、学习重、难点学习重点: 直线的倾斜角、斜率的概念和斜率公式的应用.学习难点: 直线的倾斜角、斜率的对应关系，求直线的倾斜角和斜率的范围.学习重点: 直线的倾斜角、斜率的概念和斜率公式的应用.学习难点: 直线的倾斜角、斜率的对应关系，求直线的倾斜角和斜率的范围.二、自主学习阅读教材P82-86完成下面问题并填空知识点一：直线的倾斜角【提出问题】在平面直角坐标系中，直线l经过点P.问题1: 直线l的位置能够确定吗？问题2: 过点P可以作与l相交的直线多少条？问题3:上述问题中的所有直线有什么区别？【导入新知】1.定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准,叫做直线l的倾斜角．．．.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α=.2.范围：倾斜角α的取值范围是 .特别：当时，称直线l与x 轴垂直.知识点二：直线的斜率【提出问题】日常生活中，常用坡度（=升高量坡度前进量）表示倾斜程度，例如，“进2升3”与“进2升2”比较，前者更陡一些，因为坡度3222>问题1:对于直线可利用倾斜角描述倾斜程度，可否借助于坡度来描述直线的倾斜程度？问题2: 如材料里描述的坡度为升高量与水平前进量的比值，那么对于平面直角坐标系中直线的倾斜程度能否如此度量？问题3:通过坐标比，你会发现它与倾斜角有何关系？【导入新知】1.定义：一条直线的倾斜角α (α≠90°)的值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k 表示,即k = . ①当直线l 与x 轴平行或重合时, α= , k = ; ②当直线l 与x 轴垂直时, α= , k . 2. 直线的斜率公式:①已知直线的倾斜角α,则k=②经过两个定点 P 1(x 1,y 1) , P 2(x 2,y 2) 的直线：若x 1≠x 2，则直线P 1P 2 的斜率存在，k= 若x 1＝x 2，则直线P 1P 2的斜率3. 斜率作用：用实数反映了平面直角坐标系内的直线的 . 三、考点突破例1⑴若直线l 的向上方向与y 轴的正方向成030角，则直线的倾斜角为（ ） A. 030 B. 060 C. 0030或150 D. 0060或120⑵下列说法中，正确的是（ ）A.直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为αtanB. 直线的斜率为αtan ，则此直线的倾斜角为αC.若直线的倾斜角为α，则sin 0α>D.任意直线都有倾斜角α，且090α≠时，斜率为αtan 变式训练1. 直线l 经过第二、四象限，则此直线l 的倾斜角范围是（ ）A. 00[0,90)B. 0[90,180) C. 0(90,180) D. 00(0,180)2.设直线l 过原点，其倾斜角为α，将直线l 绕坐标原点沿逆时针方向旋转045，得到直线1l ，则直线1l 的倾斜角为（ ）A. 045α+B. 0135α-C. 0135α-D.当000135α≤<时为045α+，当00135180α≤<时为0135α-例2 ⑴已知过两点(4,),(2,3)A y B -的直线的倾斜角为0135，则y = ⑵已知过(3,1),(,2)A B m -的直线的斜率为1，则m 的值为 ⑶过点(2,),(,4)P m Q m -的直线的斜率为1，则m 的值为 变式训练3.若直线过点(1,2),(4,2+，则此直线的倾斜角是（ ） A. 030 B. 045 C. 060 D. 090例3 已知实数,x y 满足28y x =-+，且23x ≤≤，求yx的最大值与最小值.变式训练4.点(,)M x y 在函数28y x =-+的图像上，当[2,5]x ∈时，求11y x ++的取值范围.四、考点巩固1.关于直线的倾斜角和斜率，下列说法正确的是（ ） A.任一直线都有倾斜角，都存在斜率。

教学课题 人教版必修二第三章直线与方程一、知识框架3.1 直线的倾斜角与斜率1. 倾斜角与斜率（1）倾斜角（2）斜率定义 当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．规定当直线l 与x 轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为︒0 记法 α图示范围0°≤α<180° 作用(1)用倾斜角表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度。

(2)确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可。

定义α≠90°一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率 α＝90° 斜率不存在③当直线l 1∥直线l 2时，可能它们的斜率都存在且相等，也可能斜率都不存在．④对于不重合的直线l 1，l 2，其倾斜角分别为α，β，有l 1∥l 2⇔α＝β.（2）垂直如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于-1；如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直．有12121-=⋅⇔⊥k k l l①当直线l 1⊥直线l 2时，可能它们的斜率都存在且乘积为定值－1，也可能一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0；②较大的倾斜角总是等于较小倾斜角与直角的和．3.2 直线的方程1. 直线的点斜式方程（1）直线的点斜式方程①定义：如下图所示，直线l 过定点P (x 0，y 0)，斜率为k ，则把方程)(00x x k y y -=-叫做直线l 的点斜式方程，简称点斜式．特别地，当倾斜角为︒0时，有0=k ，此时直线与x 轴平行或重合，方程为00=-y y 或者0y y =。

②说明：如下图所示，过定点P (x 0，y 0)，倾斜角是90°的直线没有点斜式，其方程为x －x 0＝0，或0x x =（2）直线的斜截式方程 ①定义：如下图所示，直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为(0，b )，则方程b kx y +=叫做直线l 的斜截式方程，简称斜截式．②说明：左端y 的系数恒为1，一条直线与y 轴的交点(0，b )的纵坐标b 叫做直线在y 轴上的截距．倾斜角是︒90的直线没有斜截式方程．2. 直线的两点式方程（1）直线的两点式方程①定义：如图所示，直线l 经过点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(其中x 1≠x 2，y 1≠y 2)，则方程y －y 1y 2－y 1＝121x x x x --叫做直线l 的两点式方程，简称两点式．②说明：与坐标轴垂直的直线没有两点式方程，当x 1＝x 2时，直线方程为x ＝x 1；当y 1＝y 2时，直线方程为y ＝y 1.（2）直线的截距式方程①定义：如图所示，直线l 与两坐标轴的交点分别是P 1(a,0)，P 2(0，b )(其中a ≠0，b ≠0)，则方程为1=+by a x 叫做直线l 的截距式方程，简称截距式．2. 利用三种直线方程求直线方程时，要注意这三种直线方程都有适用范围，利用它们都不能求出垂直于x 轴的直线方程。

第三章直线与方程3.1.1直线的倾斜角和斜率教学目标:知识与技能(1)正确理解直线的倾斜角和斜率的概念．(2)理解直线的倾斜角的唯一性.(3)理解直线的斜率的存在性.(4)斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式．情感态度与价值观(1) 通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力．(2) 通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．重点与难点:直线的倾斜角、斜率的概念和公式.教学用具：计算机教学方法：启发、引导、讨论.教学过程：（一）直线的倾斜角的概念我们知道, 经过两点有且只有(确定)一条直线. 那么, 经过一点P的直线l的位置能确定吗? 如图, 过一点P可以作无数多条直线a,b,c, …易见,答案是否定的.这些直线有什么联系呢?(1)它们都经过点P. (2)它们的‘倾斜程度’不同. 怎样描述这种‘倾斜程度’的不同?引入直线的倾斜角的概念:当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．．．.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α= 0°.问: 倾斜角α的取值范围是什么? 0°≤α＜180°.当直线l与x轴垂直时, α= 90°.因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度, 引入直线的倾斜角之后, 我们就可以用倾斜角α来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度.如图, 直线a∥b∥c, 那么它们YXcbaO的倾斜角α相等吗? 答案是肯定的.所以一个倾斜角α不能确定一条直线.确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素: 一个点．．．P．和一个倾斜角．．．．．．α．.(二)直线的斜率:一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是k = tanα⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0;⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在.由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.例如, α=45°时, k = tan45°= 1;α=135°时, k = tan135°= tan(180°－45°) = - tan45°= - 1.学习了斜率之后, 我们又可以用斜率来表示直线的倾斜程度.(三) 直线的斜率公式:给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,如何用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率?可用计算机作动画演示: 直线P1P2的四种情况, 并引导学生如何作辅助线,共同完成斜率公式的推导.(略)斜率公式:对于上面的斜率公式要注意下面四点：(1)当x1=x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角α= 90°, 直线与x轴垂直；(2)k与P1、P2的顺序无关, 即y1,y2和x1,x2在公式中的前后次序可以同时交换, 但分子与分母不能交换;(3)斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得;(4) 当 y1=y2时, 斜率k = 0, 直线的倾斜角α=0°，直线与x 轴平行或重合. (5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到．(四)例题:例1 已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线AB, BC, CA 的斜率, 并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.(用计算机作直线, 图略)分析: 已知两点坐标, 而且x1≠x2, 由斜率公式代入即可求得k 的值; 而当k = tanα<0时, 倾斜角α是钝角; 而当k = tanα>0时, 倾斜角α是锐角; 而当k = tanα=0时, 倾斜角α是0°.略解: 直线AB 的斜率k1=1/7>0, 所以它的倾斜角α是锐角; 直线BC 的斜率k2=-0.5<0, 所以它的倾斜角α是钝角; 直线CA 的斜率k3=1>0, 所以它的倾斜角α是锐角.例2 在平面直角坐标系中, 画出经过原点且斜率分别为1, -1, 2, 及-3的直线a, b, c, l. 分析:要画出经过原点的直线a, 只要再找出a 上的另外一点M. 而M 的坐标可以根据直线a 的斜率确定; 或者k=tanα=1是特殊值,所以也可以以原点为角的顶点,x 轴的正半轴为角的一边, 在x 轴的上方作45°的角, 再把所作的这一边反向延长成直线即可. 略解: 设直线a 上的另外一点M 的坐标为(x,y),根据斜率公式有 1=(y －0)／(x －0)所以 x = y可令x = 1, 则y = 1, 于是点M 的坐标为(1,1).此时过原点和点 M(1,1), 可作直线a.同理, 可作直线b, c, l.(用计算机作动画演示画直线过程)(五)练习: P91 1. 2. 3. 4. (六)小结:(1)直线的倾斜角和斜率的概念． (2) 直线的斜率公式. (七)课后作业: P94 习题3.1 1. 3. (八)板书设计:3.1.2两条直线的平行与垂直教学目标(一)知识教学理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直. (二)能力训练通过探究两直线平行或垂直的条件，培养学生运用已有知识解决新问题的能力,以及数形结合能力．(三)学科渗透通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，合作交流的学习方式,激发学生的学习兴趣．重点：两条直线平行和垂直的条件是重点，要求学生能熟练掌握，并灵活运用．难点：启发学生, 把研究两条直线的平行或垂直问题, 转化为研究两条直线的斜率的关系问题．注意：对于两条直线中有一条直线斜率不存在的情况, 在课堂上老师应提醒学生注意解决好这个问题．教学过程(一)先研究特殊情况下的两条直线平行与垂直上一节课, 我们已经学习了直线的倾斜角和斜率的概念, 而且知道,可以用倾斜角和斜率来表示直线相对于x轴的倾斜程度, 并推导出了斜率的坐标计算公式. 现在, 我们来研究能否通过两条直线的斜率来判断两条直线的平行或垂直．讨论: 两条直线中有一条直线没有斜率, (1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，它们互相平行；(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直．(二)两条直线的斜率都存在时, 两直线的平行与垂直设直线L1和L2的斜率分别为k1和k2. 我们知道, 两条直线的平行或垂直是由两条直线的方向决定的, 而两条直线的方向又是由直线的倾斜角或斜率决定的. 所以我们下面要研究的问题是: 两条互相平行或垂直的直线, 它们的斜率有什么关系?首先研究两条直线互相平行(不重合)的情形．如果L1∥L2(图1-29)，那么它们的倾斜角相等：α1=α2．(借助计算机, 让学生通过度量, 感知α1, α2的关系)∴tanα1=tanα2．即k1=k2．反过来，如果两条直线的斜率相等: 即k1=k2，那么tgα1=tgα2．由于0°≤α1＜180°，0°≤α＜180°，∴α1=α2．又∵两条直线不重合，∴L1∥L2．结论: 两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在．．．．．．．．的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果k1=k2, 那么一定有L1∥L2; 反之则不一定.下面我们研究两条直线垂直的情形．如果L1⊥L2，这时α1≠α2，否则两直线平行．设α2＜α1(图1-30)，甲图的特征是L1与L2的交点在x轴上方；乙图的特征是L1与L2的交点在x轴下方；丙图的特征是L1与L2的交点在x轴上，无论哪种情况下都有α1=90°+α2．因为L1、L2的斜率分别是k1、k2，即α1≠90°，所以α2≠0°．，可以推出: α1=90°+α2．L1⊥L2．结论: 两条直线都有斜率．．．．．．．．，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即注意: 结论成立的条件. 即如果k1·k2 = -1, 那么一定有L1⊥L2; 反之则不一定.(借助计算机, 让学生通过度量, 感知k1, k2的关系, 并使L1(或L2)转动起来, 但仍保持L1⊥L2, 观察k1, k2的关系, 得到猜想, 再加以验证. 转动时, 可使α1为锐角,钝角等).例题例1已知A(2,3), B(-4,0), P(-3,1), Q(-1,2), 试判断直线BA与PQ的位置关系, 并证明你的结论.分析: 借助计算机作图, 通过观察猜想:BA∥PQ, 再通过计算加以验证.(图略)解: 直线BA的斜率k1=(3-0)/(2-(-4))=0.5, 直线PQ的斜率k2=(2-1)/(-1-(-3))=0.5, 因为k1=k2=0.5, 所以直线BA∥PQ.例2 已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0), B(2,-1), C(4,2), D(2,3), 试判断四边形ABCD的形状,并给出证明. (借助计算机作图, 通过观察猜想:四边形ABCD是平行四边形,再通过计算加以验证)解同上.例3已知A(-6,0), B(3,6), P(0,3), Q(-2,6), 试判断直线AB与PQ的位置关系.解: 直线AB的斜率k1= (6-0)/(3-(-6))=2/3,直线PQ的斜率k2= (6-3)(-2-0)=-3/2, 因为k1·k2 = -1 所以AB⊥PQ.例4已知A(5,-1), B(1,1), C(2,3), 试判断三角形ABC的形状.分析: 借助计算机作图, 通过观察猜想: 三角形ABC是直角三角形, 其中AB⊥BC, 再通过计算加以验证.(图略)课堂练习P94 练习 1. 2.课后小结(1)两条直线平行或垂直的真实等价条件；(2)应用条件, 判定两条直线平行或垂直.(3) 应用直线平行的条件, 判定三点共线.布置作业 P94 习题3.1 5. 8. 板书设计3.2.1 直线的点斜式方程一、教学目标 1、知识与技能（1）理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围； （2）能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程。