高中数学第三章直线与方程3.1直线的倾斜角与斜率3.1.2两条直线平行与垂直的判定检测新人教A版必修2

第课时两条直线平行与垂直的判定[核心必知]．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材～，回答下列问题：()观察教材图－，设对于两条不重合的直线与，其倾斜角分别为α与α，斜率分别为、，若∥，α与α之间有什么关系？与之间有什么关系？α之间的关系为与α提示：α＝α≠°＝时，＝，因为α；对于与之间的关系，当ααα，所以＝＝，即＝αα时，、不存在．＝.α°当α＝()观察教材图－，设直线与的倾斜角分别为α与α，斜率分别为、，且α<α，若⊥，α与α之间有什么关系？为什么？＝αα提示：°任意一外角等于不相邻两内角之和．，因为三角形＋．归纳总结，核心必记()两直线平行的判定①对于两条不重合的直线，，其斜率分别为，，有＝.∥⇔②若直线和可能重合时，我们得到＝∥⇔或与重合．若直线和的斜率都不存在，且不重合时，得到③.∥()两直线垂直的判定如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于①－；反之，如果，即它们的斜率之积等于－，那么它们垂直⊥⇔.＝－②若两条直线中的一条直线没有斜率，另一条直线的斜率为时，它们互相垂直．[问题思考]()若两条直线平行，斜率一定相等吗？提示：不一定，垂直于轴的两条直线，虽然平行，但斜率不存在．()若两条直线垂直，它们的斜率之积一定为－吗？提示：不一定，如果两条直线，中的一条与轴平行(或重合)，另一条与轴垂直(也即与轴平行或重合)，即两条直线中一条的倾斜角为°，另一条的倾斜角为°，从而一条直线的斜率为，另一条直线的斜率不存在，但这两条直线互相垂直．[课前反思]通过以上预习，必须掌握的几个知识点．()怎样判定两条直线平行？；()怎样判断两条直线垂直？.[思考] 对两直线平行与斜率的关系要注意哪几点？名师指津：对两直线平行与斜率的关系要注意以下几点：()∥⇔＝成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②与不重合．()当两条直线不重合且斜率都不存在时，与的倾斜角都是°，则∥.()两条不重合直线平行的判定的一般结论是：∥⇔＝或，斜率都不存在．讲一讲．根据下列给定的条件，判断直线与直线的位置关系．()经过点()，(－)，经过点(，－)，(，－)；()的倾斜角为°，经过点()，(－，－)．[尝试解答] ()由题意知＝＝－，＝＝－.因为＝，且，，，四点不共线，所以∥.()由题意知＝°＝，＝＝.因为＝，所以∥或与重合．判断两条直线是否平行的步骤练一练．试确定的值，使过点(＋)，(－，)的直线与过点(－)，()的直线平行．解：由题意直线的斜率存在，则与其平行的直线的斜率也存在．＝＝，＝＝，由于∥，所以＝，即＝，得＝－.经验证＝－时直线的斜率存在，所以＝－.名师指津：对两直线垂直与斜率的关系要注意以下几点：()⊥⇔·＝－成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②≠且≠.()两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直．()判定两条直线垂直的一般结论为：⊥⇔·＝－或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零．讲一讲．已知直线经过点(，)，(－，－)，直线经过点()，(－，－)，如果⊥，求的值．[尝试解答] 设直线，的斜率分别为，.∵直线经过点()，(－，－)，且≠－，∴的斜率存在．当＝时，－＝，则＝，此时不存在，符合题意．当≠时，即≠，此时≠，由·＝－，得·＝－，解得＝－.综上可知，的值为或－.()一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在只需看另一条直线的两点的纵坐标是否相等，若相等，则垂直，若不相等，则进行第二步．()二代：就是将点的坐标代入斜率公式．()三求：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论．练一练．已知定点(－)，()，以、为直径作圆，与轴有交点，则交点的坐标是．解析：以线段为直径的圆与轴的交点为，则⊥.设()，则＝，＝，所以·＝－，得＝或，所以()或()．答案：()或()讲一讲．已知(－)，()，()，(－)四点，若顺次连接，，，四点，试判定图形的形状．(链接教材—例) [思路点拨] 画出图形，通过求四条边所在直线的斜率，分析它们之间的关系判断图形形状．[尝试解答] 由题意知，，，四点在坐标平面内的位置，如图所示，由斜率公式可得＝＝，＝＝，＝＝－，＝＝－.所以＝，由图可知与不重合，所以∥.由≠，所以与不平行．又因为·＝×(－)＝－，所以⊥，故四边形为直角梯形．利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤练一练．已知()，(－)，()，求点的坐标，使四边形为直角梯形(，，，按逆时针方向排列)．解：设所求点的坐标为(，)，如图，由于＝，＝，∴·＝≠－，即与不垂直，故，都不可作为直角梯形的直角腰．若是直角梯形的直角腰，则⊥，⊥.∵＝，＝，由于⊥，∴·＝－.①又∥，∴＝.②解①②两式可得(\\(＝()，＝().))此时与不平行．若为直角梯形的直角腰，则⊥，且∥.∵＝，∴的斜率不存在．故＝，又∥，则＝.故点坐标为()．综上可知，使四边形为直角梯形的点的坐标可以为()或.——————————[课堂归纳·感悟提升]—————————————．本节课的重点是理解两条直线平行或垂直的判定条件，会利用斜率判断两条直线平行或垂直，难点是利用斜率判断两条直线平行或垂直．．本节课要重点掌握的规律方法()判断两条直线平行的步骤，见讲.()利用斜率公式判断两条直线垂直的方法，见讲.()判断图形形状的方法步骤，见讲.．本节课的易错点是利用斜率判断含字母参数的两直线平行或垂直时，对字母分类讨论，如讲.课下能力提升(十六)[学业水平达标练]题组两条直线平行的判定及应用．若与为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别是α、α，斜率分别为、，有下列命题：①若∥，则斜率＝；②若＝，则∥；③若∥，则倾斜角α＝α；④若α＝α，则∥.其中真命题的个数是( )．个．个．个．个解析：选①错，两直线不一定有斜率．．已知过(－，)和()的直线与斜率为－的直线平行，则的值是( )．－．．．解析：选由题意可知，＝＝－，所以＝－.．过点()和点(－)的直线与直线＝的位置关系为．解析：∵直线＝的斜率为＝，过()，(－)的直线的斜率＝＝, ∴两条直线平行．答案：平行．已知△中，()、(，－)，、分别为、的中点，则直线的斜率为．解析：∵、分别为、的中点，∴∥.∴＝＝＝－.答案：－题组两条直线垂直的判定及应用．(·淄博高一检测)直线，的斜率是方程－－＝的两根，则与的位置关系是( )．平行．重合．相交但不垂直．垂直解析：选设，的斜率分别为，，则·＝－.．若不同两点、的坐标分别为(，)，(－－)，则线段的垂直平分线的斜率为．解析：由两点的斜率公式可得：＝＝，所以线段的垂直平分线的斜率为－.答案：－．已知直线⊥，若直线的倾斜角为°，则直线的斜率为．解析：由题意可知直线的斜率＝°＝，设直线的斜率为，则·＝－，∴＝－.答案：－题组两条直线平行与垂直的综合应用．以(－)，(，－)，()为顶点的三角形是( )．锐角三角形．钝角三角形．以点为直角顶点的直角三角形．以点为直角顶点的直角三角形解析：选＝＝－，＝＝，∵·＝－，∴⊥，∴△是以点为直角顶点的直角三角形．．已知直线经过点(，)，(－)，直线经过点()，(－，＋)．()若∥，求的值．()若⊥，求的值．解：设直线的斜率为，则＝＝－.()若∥，则直线的斜率为＝，所以＝－，解得＝或＝，经检验当＝或＝时，∥. ()若⊥，①当＝时，此时＝，＝－，不符合题意；②当≠时，的斜率存在，＝，由·＝－得到×＝－，解得＝或＝－.．已知()，()，()，点满足⊥，且∥，试求点的坐标．解：设(，)，则＝＝，＝＝－，＝，＝.因为⊥，∥，所以·＝－，＝，即(\\(×(－)＝－，,(－)＝－().))解得(\\(＝，＝－.))即(，－)．[能力提升综合练]．下列说法正确的有( )①若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行；②若∥，则＝；③若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直；④若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行．．个．个．个．个解析：选若＝，则这两条直线平行或重合，所以①错；当两条直线垂直于轴时，两条直线平行，但斜率不存在，所以②错；若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为时，才有这两条直线垂直，所以③错；④正确．．已知点(－，－)，()，点在轴上，且∠＝°，则点的坐标为( )．(，－) ．()．(，－)或() ．(－)或()解析：选由题意可设点的坐标为(，)．因为∠＝°，所以⊥，且直线与直线的斜率都存在．又＝，＝，·＝－，即·＝－，解得＝－或＝.所以点的坐标为(，－)或()．．(·邯郸高一检测)若点(，)与(－，＋)关于直线对称，则的倾斜角为( )．° ．° ．° ．°解析：选＝＝－，·＝－，∴的斜率为，倾斜角为°.．已知点()，(－)，()，()，则以，，，为顶点的四边形是( )．梯形．平行四边形．菱形．矩形解析：选如图所示，易知＝－，＝，＝－，＝＝－，＝，所以＝，＝，·＝，·＝－，故∥，∥，与不垂直，与不垂直．所以四边形为平行四边形．．若(－)，(，－)，()，()，给出下面四个结论：①∥；②⊥；③∥；④⊥.其中正确的是．(把正确选项的序号填在横线上)解析：∵＝－，＝－，＝，＝－，∴∥，⊥.答案：①④．过点()，(－)，过点()，()，且∥，则＝.解析：∵∥，且＝＝－，∴＝＝－，∴＝.答案：．直线经过点()，(－)，直线经过点(，)，(－，＋)，当∥或⊥时，分别求实数的值．解：当∥时，由于直线的斜率存在，则直线的斜率也存在，则＝，即＝，解得＝；当⊥时，由于直线的斜率存在且不为，则直线的斜率也存在，则·＝－，即·＝－，解得＝－.综上，当∥时，的值为；当⊥时，的值为－.．已知△三个顶点坐标分别为(－，－)，()，()，求此三角形三边的高所在直线的斜率．解：由斜率公式可得＝＝，＝＝，＝＝.由＝知直线∥轴，∴边上的高线与轴垂直，其斜率不存在．设、边上高线的斜率分别为、，由·＝－，·＝－，即·＝－，·＝－，解得＝－，＝－.∴边上的高所在直线的斜率不存在；边上的高所在直线的斜率为－；边上的高所在直线的斜率为－.。

高中数学必修2知识点总结：第三章_直线与方程2直线与方程3.1直线的倾斜角和斜率3.1 倾斜角和斜率1、直线的倾斜角的概念：当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α= 0°.2、倾斜角α的取值范围：0°≤α＜180°. 当直线l与x轴垂直时, α= 90°.3、直线的斜率:一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示, k = tanα⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; ⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在. ．．．．．4、直线的斜率公式:给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率：斜率公式: k = y2-y1/x2-x1 3.1.2 两条直线的平行与垂直1、两条直线的平行① 若两条直线的斜率都存在，则：k1 = k2 = L1∥L2或者．．L1与L2重合② 两条不重合直线平行的判定条件：⑴ 两条直线的斜率都不存在；⑵ 两条直线的斜率存在，且k1 = k2．．．（若已知两条直线的斜率存在且平行，则应k1 = k2 且纵截距不相等；若已知两条直线的斜率不存在且平行，则应横截距不相等）2、两条直线垂直①若两条直线的斜率都存在，则：k1 k2 = - 1 = L1 ⊥ L2 ．．．．．②两条直线垂直的判定条件：⑴ 两条直线：一条斜率不存在，另外一条k =0 ；⑵ 两条直线的斜率存在：k1 k2 = - 1 3、利用系数来判断平行与垂直★ 已知L1: A1x+B1y+C1=0 , L2 : A2x+B2y+C2=0 那么：① A1B2-A2B1=0两条直线平行或重合．．．．两条直线相交③ A1A2 + B1B2 = 0．．② A1B2-A2B1 ≠0两条直线垂直．．★ 如果已知两条直线的一般式方程，则可以通过系数关系求解相应的参数的值。

直线的倾斜角与斜率一、考纲要求1、学习目标:知识与技能：正确理解直线的倾斜角和斜率的概念．理解直线的倾斜角的唯一性.掌握直线的倾斜角与斜率的关系.过程与方法：理解直线的斜率的存在性.斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式．情感态度与价值观：通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力．通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．2、学习重、难点学习重点: 直线的倾斜角、斜率的概念和斜率公式的应用.学习难点: 直线的倾斜角、斜率的对应关系，求直线的倾斜角和斜率的范围.学习重点: 直线的倾斜角、斜率的概念和斜率公式的应用.学习难点: 直线的倾斜角、斜率的对应关系，求直线的倾斜角和斜率的范围.二、自主学习阅读教材P82-86完成下面问题并填空知识点一：直线的倾斜角【提出问题】在平面直角坐标系中，直线l经过点P.问题1: 直线l的位置能够确定吗？问题2: 过点P可以作与l相交的直线多少条？问题3:上述问题中的所有直线有什么区别？【导入新知】1.定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准,叫做直线l的倾斜角．．．.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α=.2.范围：倾斜角α的取值范围是 .特别：当时，称直线l与x 轴垂直.知识点二：直线的斜率【提出问题】日常生活中，常用坡度（=升高量坡度前进量）表示倾斜程度，例如，“进2升3”与“进2升2”比较，前者更陡一些，因为坡度3222>问题1:对于直线可利用倾斜角描述倾斜程度，可否借助于坡度来描述直线的倾斜程度？问题2: 如材料里描述的坡度为升高量与水平前进量的比值，那么对于平面直角坐标系中直线的倾斜程度能否如此度量？问题3:通过坐标比，你会发现它与倾斜角有何关系？【导入新知】1.定义：一条直线的倾斜角α (α≠90°)的值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k 表示,即k = . ①当直线l 与x 轴平行或重合时, α= , k = ; ②当直线l 与x 轴垂直时, α= , k . 2. 直线的斜率公式:①已知直线的倾斜角α,则k=②经过两个定点 P 1(x 1,y 1) , P 2(x 2,y 2) 的直线：若x 1≠x 2，则直线P 1P 2 的斜率存在，k= 若x 1＝x 2，则直线P 1P 2的斜率3. 斜率作用：用实数反映了平面直角坐标系内的直线的 . 三、考点突破例1⑴若直线l 的向上方向与y 轴的正方向成030角，则直线的倾斜角为（ ） A. 030 B. 060 C. 0030或150 D. 0060或120⑵下列说法中，正确的是（ ）A.直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为αtanB. 直线的斜率为αtan ，则此直线的倾斜角为αC.若直线的倾斜角为α，则sin 0α>D.任意直线都有倾斜角α，且090α≠时，斜率为αtan 变式训练1. 直线l 经过第二、四象限，则此直线l 的倾斜角范围是（ ）A. 00[0,90)B. 0[90,180) C. 0(90,180) D. 00(0,180)2.设直线l 过原点，其倾斜角为α，将直线l 绕坐标原点沿逆时针方向旋转045，得到直线1l ，则直线1l 的倾斜角为（ ）A. 045α+B. 0135α-C. 0135α-D.当000135α≤<时为045α+，当00135180α≤<时为0135α-例2 ⑴已知过两点(4,),(2,3)A y B -的直线的倾斜角为0135，则y = ⑵已知过(3,1),(,2)A B m -的直线的斜率为1，则m 的值为 ⑶过点(2,),(,4)P m Q m -的直线的斜率为1，则m 的值为 变式训练3.若直线过点(1,2),(4,2+，则此直线的倾斜角是（ ） A. 030 B. 045 C. 060 D. 090例3 已知实数,x y 满足28y x =-+，且23x ≤≤，求yx的最大值与最小值.变式训练4.点(,)M x y 在函数28y x =-+的图像上，当[2,5]x ∈时，求11y x ++的取值范围.四、考点巩固1.关于直线的倾斜角和斜率，下列说法正确的是（ ） A.任一直线都有倾斜角，都存在斜率。

教学课题 人教版必修二第三章直线与方程一、知识框架3.1 直线的倾斜角与斜率1. 倾斜角与斜率（1）倾斜角（2）斜率定义 当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．规定当直线l 与x 轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为︒0 记法 α图示范围0°≤α<180° 作用(1)用倾斜角表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度。

(2)确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可。

定义α≠90°一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率 α＝90° 斜率不存在③当直线l 1∥直线l 2时，可能它们的斜率都存在且相等，也可能斜率都不存在．④对于不重合的直线l 1，l 2，其倾斜角分别为α，β，有l 1∥l 2⇔α＝β.（2）垂直如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于-1；如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直．有12121-=⋅⇔⊥k k l l①当直线l 1⊥直线l 2时，可能它们的斜率都存在且乘积为定值－1，也可能一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0；②较大的倾斜角总是等于较小倾斜角与直角的和．3.2 直线的方程1. 直线的点斜式方程（1）直线的点斜式方程①定义：如下图所示，直线l 过定点P (x 0，y 0)，斜率为k ，则把方程)(00x x k y y -=-叫做直线l 的点斜式方程，简称点斜式．特别地，当倾斜角为︒0时，有0=k ，此时直线与x 轴平行或重合，方程为00=-y y 或者0y y =。

②说明：如下图所示，过定点P (x 0，y 0)，倾斜角是90°的直线没有点斜式，其方程为x －x 0＝0，或0x x =（2）直线的斜截式方程 ①定义：如下图所示，直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为(0，b )，则方程b kx y +=叫做直线l 的斜截式方程，简称斜截式．②说明：左端y 的系数恒为1，一条直线与y 轴的交点(0，b )的纵坐标b 叫做直线在y 轴上的截距．倾斜角是︒90的直线没有斜截式方程．2. 直线的两点式方程（1）直线的两点式方程①定义：如图所示，直线l 经过点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(其中x 1≠x 2，y 1≠y 2)，则方程y －y 1y 2－y 1＝121x x x x --叫做直线l 的两点式方程，简称两点式．②说明：与坐标轴垂直的直线没有两点式方程，当x 1＝x 2时，直线方程为x ＝x 1；当y 1＝y 2时，直线方程为y ＝y 1.（2）直线的截距式方程①定义：如图所示，直线l 与两坐标轴的交点分别是P 1(a,0)，P 2(0，b )(其中a ≠0，b ≠0)，则方程为1=+by a x 叫做直线l 的截距式方程，简称截距式．2. 利用三种直线方程求直线方程时，要注意这三种直线方程都有适用范围，利用它们都不能求出垂直于x 轴的直线方程。