高中数学第三章直线与方程3.1直线的倾斜角与斜率3.1.2两条直线平行与垂直的判定检测新人教A版必修2
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第课时两条直线平行与垂直的判定[核心必知].预习教材,问题导入根据以下提纲,预习教材~,回答下列问题:()观察教材图-,设对于两条不重合的直线与,其倾斜角分别为α与α,斜率分别为、,若∥,α与α之间有什么关系?与之间有什么关系?α之间的关系为与α提示:α=α≠°=时,=,因为α;对于与之间的关系,当ααα,所以==,即=αα时,、不存在.=.α°当α=()观察教材图-,设直线与的倾斜角分别为α与α,斜率分别为、,且α<α,若⊥,α与α之间有什么关系?为什么?=αα提示:°任意一外角等于不相邻两内角之和.,因为三角形+.归纳总结,核心必记()两直线平行的判定①对于两条不重合的直线,,其斜率分别为,,有=.∥⇔②若直线和可能重合时,我们得到=∥⇔或与重合.若直线和的斜率都不存在,且不重合时,得到③.∥()两直线垂直的判定如果两条直线都有斜率,且它们互相垂直,那么它们的斜率之积等于①-;反之,如果,即它们的斜率之积等于-,那么它们垂直⊥⇔.=-②若两条直线中的一条直线没有斜率,另一条直线的斜率为时,它们互相垂直.[问题思考]()若两条直线平行,斜率一定相等吗?提示:不一定,垂直于轴的两条直线,虽然平行,但斜率不存在.()若两条直线垂直,它们的斜率之积一定为-吗?提示:不一定,如果两条直线,中的一条与轴平行(或重合),另一条与轴垂直(也即与轴平行或重合),即两条直线中一条的倾斜角为°,另一条的倾斜角为°,从而一条直线的斜率为,另一条直线的斜率不存在,但这两条直线互相垂直.[课前反思]通过以上预习,必须掌握的几个知识点.()怎样判定两条直线平行?;()怎样判断两条直线垂直?.[思考] 对两直线平行与斜率的关系要注意哪几点?名师指津:对两直线平行与斜率的关系要注意以下几点:()∥⇔=成立的前提条件是:①两条直线的斜率都存在;②与不重合.()当两条直线不重合且斜率都不存在时,与的倾斜角都是°,则∥.()两条不重合直线平行的判定的一般结论是:∥⇔=或,斜率都不存在.讲一讲.根据下列给定的条件,判断直线与直线的位置关系.()经过点(),(-),经过点(,-),(,-);()的倾斜角为°,经过点(),(-,-).[尝试解答] ()由题意知==-,==-.因为=,且,,,四点不共线,所以∥.()由题意知=°=,==.因为=,所以∥或与重合.判断两条直线是否平行的步骤练一练.试确定的值,使过点(+),(-,)的直线与过点(-),()的直线平行.解:由题意直线的斜率存在,则与其平行的直线的斜率也存在.==,==,由于∥,所以=,即=,得=-.经验证=-时直线的斜率存在,所以=-.名师指津:对两直线垂直与斜率的关系要注意以下几点:()⊥⇔·=-成立的前提条件是:①两条直线的斜率都存在;②≠且≠.()两条直线中,一条直线的斜率不存在,同时另一条直线的斜率等于零,则两条直线垂直.()判定两条直线垂直的一般结论为:⊥⇔·=-或一条直线的斜率不存在,同时另一条直线的斜率等于零.讲一讲.已知直线经过点(,),(-,-),直线经过点(),(-,-),如果⊥,求的值.[尝试解答] 设直线,的斜率分别为,.∵直线经过点(),(-,-),且≠-,∴的斜率存在.当=时,-=,则=,此时不存在,符合题意.当≠时,即≠,此时≠,由·=-,得·=-,解得=-.综上可知,的值为或-.()一看:就是看所给两点的横坐标是否相等,若相等,则直线的斜率不存在只需看另一条直线的两点的纵坐标是否相等,若相等,则垂直,若不相等,则进行第二步.()二代:就是将点的坐标代入斜率公式.()三求:计算斜率的值,进行判断.尤其是点的坐标中含有参数时,应用斜率公式要对参数进行讨论.练一练.已知定点(-),(),以、为直径作圆,与轴有交点,则交点的坐标是.解析:以线段为直径的圆与轴的交点为,则⊥.设(),则=,=,所以·=-,得=或,所以()或().答案:()或()讲一讲.已知(-),(),(),(-)四点,若顺次连接,,,四点,试判定图形的形状.(链接教材—例) [思路点拨] 画出图形,通过求四条边所在直线的斜率,分析它们之间的关系判断图形形状.[尝试解答] 由题意知,,,四点在坐标平面内的位置,如图所示,由斜率公式可得==,==,==-,==-.所以=,由图可知与不重合,所以∥.由≠,所以与不平行.又因为·=×(-)=-,所以⊥,故四边形为直角梯形.利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤练一练.已知(),(-),(),求点的坐标,使四边形为直角梯形(,,,按逆时针方向排列).解:设所求点的坐标为(,),如图,由于=,=,∴·=≠-,即与不垂直,故,都不可作为直角梯形的直角腰.若是直角梯形的直角腰,则⊥,⊥.∵=,=,由于⊥,∴·=-.①又∥,∴=.②解①②两式可得(\\(=(),=().))此时与不平行.若为直角梯形的直角腰,则⊥,且∥.∵=,∴的斜率不存在.故=,又∥,则=.故点坐标为().综上可知,使四边形为直角梯形的点的坐标可以为()或.——————————[课堂归纳·感悟提升]—————————————.本节课的重点是理解两条直线平行或垂直的判定条件,会利用斜率判断两条直线平行或垂直,难点是利用斜率判断两条直线平行或垂直..本节课要重点掌握的规律方法()判断两条直线平行的步骤,见讲.()利用斜率公式判断两条直线垂直的方法,见讲.()判断图形形状的方法步骤,见讲..本节课的易错点是利用斜率判断含字母参数的两直线平行或垂直时,对字母分类讨论,如讲.课下能力提升(十六)[学业水平达标练]题组两条直线平行的判定及应用.若与为两条不重合的直线,它们的倾斜角分别是α、α,斜率分别为、,有下列命题:①若∥,则斜率=;②若=,则∥;③若∥,则倾斜角α=α;④若α=α,则∥.其中真命题的个数是( ).个.个.个.个解析:选①错,两直线不一定有斜率..已知过(-,)和()的直线与斜率为-的直线平行,则的值是( ).-...解析:选由题意可知,==-,所以=-..过点()和点(-)的直线与直线=的位置关系为.解析:∵直线=的斜率为=,过(),(-)的直线的斜率==, ∴两条直线平行.答案:平行.已知△中,()、(,-),、分别为、的中点,则直线的斜率为.解析:∵、分别为、的中点,∴∥.∴===-.答案:-题组两条直线垂直的判定及应用.(·淄博高一检测)直线,的斜率是方程--=的两根,则与的位置关系是( ).平行.重合.相交但不垂直.垂直解析:选设,的斜率分别为,,则·=-..若不同两点、的坐标分别为(,),(--),则线段的垂直平分线的斜率为.解析:由两点的斜率公式可得:==,所以线段的垂直平分线的斜率为-.答案:-.已知直线⊥,若直线的倾斜角为°,则直线的斜率为.解析:由题意可知直线的斜率=°=,设直线的斜率为,则·=-,∴=-.答案:-题组两条直线平行与垂直的综合应用.以(-),(,-),()为顶点的三角形是( ).锐角三角形.钝角三角形.以点为直角顶点的直角三角形.以点为直角顶点的直角三角形解析:选==-,==,∵·=-,∴⊥,∴△是以点为直角顶点的直角三角形..已知直线经过点(,),(-),直线经过点(),(-,+).()若∥,求的值.()若⊥,求的值.解:设直线的斜率为,则==-.()若∥,则直线的斜率为=,所以=-,解得=或=,经检验当=或=时,∥. ()若⊥,①当=时,此时=,=-,不符合题意;②当≠时,的斜率存在,=,由·=-得到×=-,解得=或=-..已知(),(),(),点满足⊥,且∥,试求点的坐标.解:设(,),则==,==-,=,=.因为⊥,∥,所以·=-,=,即(\\(×(-)=-,,(-)=-().))解得(\\(=,=-.))即(,-).[能力提升综合练].下列说法正确的有( )①若两条直线的斜率相等,则这两条直线平行;②若∥,则=;③若两条直线中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率存在,则这两条直线垂直;④若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合,则这两条直线平行..个.个.个.个解析:选若=,则这两条直线平行或重合,所以①错;当两条直线垂直于轴时,两条直线平行,但斜率不存在,所以②错;若两直线中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为时,才有这两条直线垂直,所以③错;④正确..已知点(-,-),(),点在轴上,且∠=°,则点的坐标为( ).(,-) .().(,-)或() .(-)或()解析:选由题意可设点的坐标为(,).因为∠=°,所以⊥,且直线与直线的斜率都存在.又=,=,·=-,即·=-,解得=-或=.所以点的坐标为(,-)或()..(·邯郸高一检测)若点(,)与(-,+)关于直线对称,则的倾斜角为( ).° .° .° .°解析:选==-,·=-,∴的斜率为,倾斜角为°..已知点(),(-),(),(),则以,,,为顶点的四边形是( ).梯形.平行四边形.菱形.矩形解析:选如图所示,易知=-,=,=-,==-,=,所以=,=,·=,·=-,故∥,∥,与不垂直,与不垂直.所以四边形为平行四边形..若(-),(,-),(),(),给出下面四个结论:①∥;②⊥;③∥;④⊥.其中正确的是.(把正确选项的序号填在横线上)解析:∵=-,=-,=,=-,∴∥,⊥.答案:①④.过点(),(-),过点(),(),且∥,则=.解析:∵∥,且==-,∴==-,∴=.答案:.直线经过点(),(-),直线经过点(,),(-,+),当∥或⊥时,分别求实数的值.解:当∥时,由于直线的斜率存在,则直线的斜率也存在,则=,即=,解得=;当⊥时,由于直线的斜率存在且不为,则直线的斜率也存在,则·=-,即·=-,解得=-.综上,当∥时,的值为;当⊥时,的值为-..已知△三个顶点坐标分别为(-,-),(),(),求此三角形三边的高所在直线的斜率.解:由斜率公式可得==,==,==.由=知直线∥轴,∴边上的高线与轴垂直,其斜率不存在.设、边上高线的斜率分别为、,由·=-,·=-,即·=-,·=-,解得=-,=-.∴边上的高所在直线的斜率不存在;边上的高所在直线的斜率为-;边上的高所在直线的斜率为-.。
高中数学必修2知识点总结:第三章_直线与方程2直线与方程3.1直线的倾斜角和斜率3.1 倾斜角和斜率1、直线的倾斜角的概念:当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α= 0°.2、倾斜角α的取值范围:0°≤α<180°. 当直线l与x轴垂直时, α= 90°.3、直线的斜率:一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示, k = tanα⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; ⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在. .....4、直线的斜率公式:给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率:斜率公式: k = y2-y1/x2-x1 3.1.2 两条直线的平行与垂直1、两条直线的平行① 若两条直线的斜率都存在,则:k1 = k2 = L1∥L2或者..L1与L2重合② 两条不重合直线平行的判定条件:⑴ 两条直线的斜率都不存在;⑵ 两条直线的斜率存在,且k1 = k2...(若已知两条直线的斜率存在且平行,则应k1 = k2 且纵截距不相等;若已知两条直线的斜率不存在且平行,则应横截距不相等)2、两条直线垂直①若两条直线的斜率都存在,则:k1 k2 = - 1 = L1 ⊥ L2 .....②两条直线垂直的判定条件:⑴ 两条直线:一条斜率不存在,另外一条k =0 ;⑵ 两条直线的斜率存在:k1 k2 = - 1 3、利用系数来判断平行与垂直★ 已知L1: A1x+B1y+C1=0 , L2 : A2x+B2y+C2=0 那么:① A1B2-A2B1=0两条直线平行或重合....两条直线相交③ A1A2 + B1B2 = 0..② A1B2-A2B1 ≠0两条直线垂直..★ 如果已知两条直线的一般式方程,则可以通过系数关系求解相应的参数的值。
直线的倾斜角与斜率一、考纲要求1、学习目标:知识与技能:正确理解直线的倾斜角和斜率的概念.理解直线的倾斜角的唯一性.掌握直线的倾斜角与斜率的关系.过程与方法:理解直线的斜率的存在性.斜率公式的推导过程,掌握过两点的直线的斜率公式.情感态度与价值观:通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示,培养学生观察、探索能力,运用数学语言表达能力,数学交流与评价能力.通过斜率概念的建立和斜率公式的推导,帮助学生进一步理解数形结合思想,培养学生树立辩证统一的观点,培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神.2、学习重、难点学习重点: 直线的倾斜角、斜率的概念和斜率公式的应用.学习难点: 直线的倾斜角、斜率的对应关系,求直线的倾斜角和斜率的范围.学习重点: 直线的倾斜角、斜率的概念和斜率公式的应用.学习难点: 直线的倾斜角、斜率的对应关系,求直线的倾斜角和斜率的范围.二、自主学习阅读教材P82-86完成下面问题并填空知识点一:直线的倾斜角【提出问题】在平面直角坐标系中,直线l经过点P.问题1: 直线l的位置能够确定吗?问题2: 过点P可以作与l相交的直线多少条?问题3:上述问题中的所有直线有什么区别?【导入新知】1.定义:当直线l与x轴相交时,我们取x轴作为基准,叫做直线l的倾斜角....特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α=.2.范围:倾斜角α的取值范围是 .特别:当时,称直线l与x 轴垂直.知识点二:直线的斜率【提出问题】日常生活中,常用坡度(=升高量坡度前进量)表示倾斜程度,例如,“进2升3”与“进2升2”比较,前者更陡一些,因为坡度3222>问题1:对于直线可利用倾斜角描述倾斜程度,可否借助于坡度来描述直线的倾斜程度?问题2: 如材料里描述的坡度为升高量与水平前进量的比值,那么对于平面直角坐标系中直线的倾斜程度能否如此度量?问题3:通过坐标比,你会发现它与倾斜角有何关系?【导入新知】1.定义:一条直线的倾斜角α (α≠90°)的值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k 表示,即k = . ①当直线l 与x 轴平行或重合时, α= , k = ; ②当直线l 与x 轴垂直时, α= , k . 2. 直线的斜率公式:①已知直线的倾斜角α,则k=②经过两个定点 P 1(x 1,y 1) , P 2(x 2,y 2) 的直线:若x 1≠x 2,则直线P 1P 2 的斜率存在,k= 若x 1=x 2,则直线P 1P 2的斜率3. 斜率作用:用实数反映了平面直角坐标系内的直线的 . 三、考点突破例1⑴若直线l 的向上方向与y 轴的正方向成030角,则直线的倾斜角为( ) A. 030 B. 060 C. 0030或150 D. 0060或120⑵下列说法中,正确的是( )A.直线的倾斜角为α,则此直线的斜率为αtanB. 直线的斜率为αtan ,则此直线的倾斜角为αC.若直线的倾斜角为α,则sin 0α>D.任意直线都有倾斜角α,且090α≠时,斜率为αtan 变式训练1. 直线l 经过第二、四象限,则此直线l 的倾斜角范围是( )A. 00[0,90)B. 0[90,180) C. 0(90,180) D. 00(0,180)2.设直线l 过原点,其倾斜角为α,将直线l 绕坐标原点沿逆时针方向旋转045,得到直线1l ,则直线1l 的倾斜角为( )A. 045α+B. 0135α-C. 0135α-D.当000135α≤<时为045α+,当00135180α≤<时为0135α-例2 ⑴已知过两点(4,),(2,3)A y B -的直线的倾斜角为0135,则y = ⑵已知过(3,1),(,2)A B m -的直线的斜率为1,则m 的值为 ⑶过点(2,),(,4)P m Q m -的直线的斜率为1,则m 的值为 变式训练3.若直线过点(1,2),(4,2+,则此直线的倾斜角是( ) A. 030 B. 045 C. 060 D. 090例3 已知实数,x y 满足28y x =-+,且23x ≤≤,求yx的最大值与最小值.变式训练4.点(,)M x y 在函数28y x =-+的图像上,当[2,5]x ∈时,求11y x ++的取值范围.四、考点巩固1.关于直线的倾斜角和斜率,下列说法正确的是( ) A.任一直线都有倾斜角,都存在斜率。
教学课题 人教版必修二第三章直线与方程一、知识框架3.1 直线的倾斜角与斜率1. 倾斜角与斜率(1)倾斜角(2)斜率定义 当直线l 与x 轴相交时,取x 轴作为基准,x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角.规定当直线l 与x 轴平行或重合时,规定直线的倾斜角为︒0 记法 α图示范围0°≤α<180° 作用(1)用倾斜角表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度。
(2)确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是:直线上的一个定点以及它的倾斜角,二者缺一不可。
定义α≠90°一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率 α=90° 斜率不存在③当直线l 1∥直线l 2时,可能它们的斜率都存在且相等,也可能斜率都不存在.④对于不重合的直线l 1,l 2,其倾斜角分别为α,β,有l 1∥l 2⇔α=β.(2)垂直如果两条直线都有斜率,且它们互相垂直,那么它们的斜率之积等于-1;如果它们的斜率之积等于-1,那么它们互相垂直.有12121-=⋅⇔⊥k k l l①当直线l 1⊥直线l 2时,可能它们的斜率都存在且乘积为定值-1,也可能一条直线的斜率不存在,而另一条直线的斜率为0;②较大的倾斜角总是等于较小倾斜角与直角的和.3.2 直线的方程1. 直线的点斜式方程(1)直线的点斜式方程①定义:如下图所示,直线l 过定点P (x 0,y 0),斜率为k ,则把方程)(00x x k y y -=-叫做直线l 的点斜式方程,简称点斜式.特别地,当倾斜角为︒0时,有0=k ,此时直线与x 轴平行或重合,方程为00=-y y 或者0y y =。
②说明:如下图所示,过定点P (x 0,y 0),倾斜角是90°的直线没有点斜式,其方程为x -x 0=0,或0x x =(2)直线的斜截式方程 ①定义:如下图所示,直线l 的斜率为k ,且与y 轴的交点为(0,b ),则方程b kx y +=叫做直线l 的斜截式方程,简称斜截式.②说明:左端y 的系数恒为1,一条直线与y 轴的交点(0,b )的纵坐标b 叫做直线在y 轴上的截距.倾斜角是︒90的直线没有斜截式方程.2. 直线的两点式方程(1)直线的两点式方程①定义:如图所示,直线l 经过点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)(其中x 1≠x 2,y 1≠y 2),则方程y -y 1y 2-y 1=121x x x x --叫做直线l 的两点式方程,简称两点式.②说明:与坐标轴垂直的直线没有两点式方程,当x 1=x 2时,直线方程为x =x 1;当y 1=y 2时,直线方程为y =y 1.(2)直线的截距式方程①定义:如图所示,直线l 与两坐标轴的交点分别是P 1(a,0),P 2(0,b )(其中a ≠0,b ≠0),则方程为1=+by a x 叫做直线l 的截距式方程,简称截距式.2. 利用三种直线方程求直线方程时,要注意这三种直线方程都有适用范围,利用它们都不能求出垂直于x 轴的直线方程。
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
[A 级 基础巩固]
一、选择题
1.若l 1与l 2为两条直线,它们的倾斜角分别为α1,α2,斜率分别为k 1,k 2,有下列说法:
(1)若l 1∥l 2,则斜率k 1=k 2;(2)若斜率k 1=k 2,则l 1∥l 2;
(3)若l 1∥l 2,则倾斜角α1=α2;(4)若倾斜角α1=α2,则l 1∥l 2.
其中正确命题的个数是( )
A .1
B .2
C .3
D .4
解析:需考虑两条直线重合的特殊情况,(2)(4)都可能是两条直线重合.(1)(3)正确,故选
B.
答案:B
2.已知过点P (3,2m )和点Q (m ,2)的直线与过点M (2,-1)和点N (-3,4)的直线平行,则m 的值是( )
A .1
B .-1
C .2
D .-2
解析:因为k MN =4-(-1)-3-2=-1,所以若直线PQ 与直线MN 平行,则2m -23-m
=-1,解得m =-1.
答案:B
3.若不同的两点P ,Q 的坐标分别为(a ,b ),(3-b ,3-a ),则线段PQ 的垂直平分线l 的斜率为( )
A .1
B .-1 C.12 D .-12
解析:由直线斜率的坐标公式,得k PQ =3-a -b 3-b -a
=1,所以线段PQ 的垂直平分线的斜率为-1.
答案:B
4.已知A (-23,9),B (63,-15),直线l ∥AB ,则直线l 的倾斜角α为( )
A .60°
B .120°
C .45°
D .135°
解析:因为k AB =-15-963-(-23)
=-3, 所以α=120°.
答案:B
5.由原点O 向直线l 作垂线,垂足为M (-2,1),则直线l 的斜率为( )
A.12 B .-12
C .2
D .-2 解析:k OM =-12
,因为直线l 与直线OM 垂直,所以直线 l 的斜率为2. 答案:C
二、填空题
6.已知直线l 1的斜率k 1=3,直线l 2过点A (3,-1),B (4,y ), C (x ,2),且l 1∥l 2,则x =________,y =________.
解析:由题意知⎩⎪⎨⎪⎧y -(-1)4-3=3,
2-(-1)x -3=3,
解得⎩
⎪⎨⎪⎧x =4,y =2. 答案:4 2
7.经过点(m ,3)和(2,m )的直线l 与斜率为-4的直线互相垂直,则m 的值是________.
解析:因为直线l 与斜率为-4的直线互相垂直,所以m -32-m =14
, 所以m =145
. 答案:145
8.已知点A (-1,3),B (4,2),以AB 为直径作圆,与x 轴有交点C ,则交点C 的坐标是________. 解析:以线段AB 为直径的圆与x 轴的交点为C ,则AC ⊥BC .设C (x ,0),则k AC =
-3x +1,k BC =-2x -4,所以-3x +1·-2x -4
=-1,解得x =1或x =2,所以交点C 的坐标是(1,0)或(2,0). 答案:(1,0)或(2,0)
三、解答题
9.当m 为何值时,过两点A (1,1),B (2m 2+1,m -2)的直线:
(1)倾斜角为135°?
(2)与过两点(3,2),(0,-7)的直线垂直?
(3)与过两点(2,-3),(-4,9)的直线平行?
解:(1)由k AB =
m -32m 2=tan 135°=-1,解得m =-32或m =1. (2)由k AB =m -32m 2,且-7-20-3
=3.
则m -32m 2=-13,解得m =32
或m =-3. (3)令
m -32m 2=9+3-4-2=-2, 解得m =34
或m =-1. 10.已知A (1,-1),B (2,2),C (3,0)三点,求点D ,使直线CD ⊥AB ,且CB ∥AD . 解:设D (x ,y ),则k CD =y
x -3,k AB =3,k CB =-2,k AD =y +1x -1, 因为k CD ·k AB =-1,k AD =k CB ,
所以 y
x -3×3=-1,y +1x -1=-2, 所以x =0,y =1,即D (0,1).
B 级 能力提升
1.以A (-1,1),B (2,-1),C (1,4)为顶点的三角形是( )
A .锐角三角形
B .钝角三角形
C .以点A 为直角顶点的直角三角形
D .以点B 为直角顶点的直角三角形
解析:因为k AB =-1-12-(-1)=-23,k AC =4-11-(-1)=32
, 所以k AB ·k AC =-1,即AB ⊥AC ,故应选C.
答案:C
2.已知直线l 1经过点A (3,a ),B (a -2,-3),且直线l 2经过点C (2,3),D (-1,a -2).若l 1⊥l 2,则a =________.
解析:设直线l 1,l 2的斜率分别为k 1,k 2.
因为直线l 2经过点C (2,3),D (-1,a -2),且2≠-1,
所以l 2的斜率存在.
当k 2=0时,k 1不存在,a -2=3,则a =5;
当k 2≠0时,a ≠5,此时k 1存在,由k 1·k 2=-1,
得-3-a a -2-3·a -2-3-1-2
=-1, 解得a =-6.
综上可知,a 的值为5或-6.
答案:5或-6
3.直线l 的倾斜角为30°,点P (2,1)在直线l 上,直线l 绕点P (2,1)按逆时针方向旋转
30°后到达直线l 1的位置,且直线l 1与l 2平行,l 2是线段AB 的垂直平分线,其中A (1,m -1),B (m ,2),试求m 的值.
解:如图所示,直线l 1的倾斜角为30°+30°=60°,所以直线l 1的斜率k 1=tan 60°= 3.
又直线AB 的斜率k AB =m -
1-2
1-m =
m -3
1-m ,
所以线段AB 的垂直平分线l 2的斜率为
k 2=m -1
m -3.
因为l 1与l 2平行.
所以k 1=k 2,即3=m -1
m -3,解得m =4+ 3.。