19版高考数学一轮复习第七章立体几何第39讲空间几何体的三视图、直观图、表面积和体积学案

第39讲 空间几何体的三视图、直观图、表面积和体积1．空间几何体的结构特征 (1)多面体的结构特征(1)三视图的名称几何体的三视图包括：__正视图__、__侧视图__、__俯视图__.(2)三视图的画法①在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成__虚线__.②三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的__正前__方、__正左__方、__正上__方观察几何体的正投影图．3．空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用__斜二测__画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹角为__45°或135°__，z′轴与x′轴和y′轴所在平面__垂直__.(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别__平行于坐标轴__；平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度__不变__；平行于y轴的线段在直观图中长度为__原来的一半__.4．空间几何体的表面积与体积1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．(1)底面是正方形的四棱柱为正四棱柱．( ×)(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．( ×)(3)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是圆柱．( ×)(4)用斜二测画法画水平放置的∠A时，若∠A的两边分别平行于x轴和y轴，且∠A＝90°，则在直观图中，∠A＝45°.(×)(5)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同．( ×)解析 (1)错误．因为侧棱不一定与底面垂直．(2)错误．尽管几何体满足了一个面是多边形，其余各面都是三角形，但不能保证各三角形具有公共顶点．(3)错误．因为两个平行截面不能保证与底面平行． (4)错误．∠A 应为45°或135°.(5)错误．正方体的三视图由于正视的方向不同，其三视图的形状可能不同，圆锥的侧视图与俯视图显然不相同．2．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是( C ) A ．圆柱 B ．圆锥C ．球体D ．圆柱、圆锥、球体的组合体解析 当用过高线的平面截圆柱和圆锥时，截面分别为矩形和三角形，只有球满足任意截面都是圆面．3．(2017·全国卷Ⅲ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为( B )A ．90πB ．63πC ．42πD ．36π解析 方法一 由题意知，该几何体由底面半径为3，高为10的圆柱截去底面半径为3，高为6的圆柱的一半所得，故其体积V ＝π×32×10－12×π×32×6＝63π.方法二 依题意，该几何体由底面半径为3，高为10的圆柱截去底面半径为3，高为6的圆柱的一半所得，其体积等价于底面半径为3，高为7的圆柱的体积，所以它的体积V ＝π×32×7＝63π，选择B ．4．表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为__2__. 解析 设圆锥的母线为l ，圆锥底面半径为r ，则πrl ＋πr 2＝3π，πl ＝2πr ，解得r ＝1，即直径为2.5．某几何体的三视图如图所示，其中正视图的等腰三角形腰长为2，侧视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积是解析由三视图可知此几何体的表面积分为两部分：底面积即俯视图的面积为23；侧面积为一个完整的圆锥的侧面积，且圆锥的母线长为2，底面半径为1，所以侧面积为2π.两部分加起来即为几何体的表面积，为2(π＋3)．一空间几何体的三视图和直观图(1)三视图中，正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽，即“长对正，宽相等，高平齐”．(2)解决有关“斜二测画法”问题时，一般在已知图形中建立直角坐标系，尽量运用图形中原有的垂直直线或图形的对称轴为坐标轴，图形的对称中心为原点，注意两个图形中关键线段长度的关系．【例1】 (1)一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是( B)A B C D(2)用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是( A)(3)已知三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一条直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能是( C)解析(1)由直观图可知，该几何体由一个长方体和一个截角三棱柱组成．从上往下看，外层轮廓线是一个矩形，矩形内部有一条线段连接的两个三角形．(2)由直观图可知，在直观图中多边形为正方形，对角线长为2，所以原图形为平行四边形，位于y轴上的对角线长为2 2.(3)当正视图为等腰三角形时，则高应为2，且应为虚线，排除A，D项；当正视图是直角三角形，由条件得一个直观图如图所示，中间的线是看不见的线PA形成的投影，应为虚线，故答案为C．二空间几何体的表面积和体积(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．(3)若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解．其中，等积转换法多用来求三棱锥的体积．(4)若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解．(5)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．【例2】(1)(2017·北京卷)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为( B)A．3 2 B．2 3C ．2 2D ．2(2)(2016·全国卷Ⅲ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( B )A ．18＋36 5B ．54＋18 5C ．90D ．81解析 (1)由三视图还原为如图所示的四棱锥A －BCC 1B 1，从图中易得最长的棱为AC 1＝AC 2＋CC 21＝(22＋22)＋22＝2 3.(2)由三视图可知，该几何体是底面为正方形(边长为3)，高为6，侧棱长为35的斜四棱柱，其表面积S ＝2×32＋2×3×35＋2×3×6＝54＋185，故选B ．三 与球有关的切、接问题(1)正方体的内切球的直径为棱长，外接球的直径为正方体的体对角线长，此问题也适合长方体，或由同一顶点出发的两两互相垂直的三条棱构成的三棱柱或三棱锥．(2)直棱柱外接球的球心到直棱柱底面的距离恰为棱柱高的12.求球的半径关键是找到由球的半径构成的三角形，解三角形即可求球的半径．(3)球与旋转体的组合通常作出它们的轴截面解题．(4)球与多面体的组合，通常过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题．【例3】 (1)(2017·全国卷Ⅱ)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( B )A ．πB ．3π4C ．π2D ．π4(2)(2017·全国卷Ⅰ)如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O .D ，E ，F 为圆O 上的点，△DBC ，△ECA ，△FAB 分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起△DBC ，△ECA ，△FAB ，使得D ，E ，F 重合，得到三棱锥．当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm 3)的最大值为解析 (1)设圆柱的底面半径为r ，则r 2＝12－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝34，所以，圆柱的体积V ＝34π×1＝3π4，故选B ．(2)方法一 由题意可知，折起后所得三棱锥为正三棱锥，设△ABC 的边长为a cm ，则△ABC 的面积为34a 2，△DBC 的高为5－36a ， 则正三棱锥的高为⎝⎛⎭⎪⎫5－36a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫36a 2＝25－533a ，∴25－533a >0，∴0<a <53，∴所得三棱锥的体积V ＝13×34a 2×25－533a ＝312×25a 4－533a 5.令t ＝25a 4－533a 5，则t ′＝100a 3－2533a 4，由t ′＝0，得a ＝43，此时所得三棱锥的体积最大，为415 cm 3. 方法二 如图，连接OD 交BC 于点G ，由题意知，OD ⊥BC ．易知OG ＝36BC ，∴OG 的长度与BC 的长度成正比．设OG ＝x ，则BC ＝23x ，DG ＝5－x ，S △ABC ＝23x ·3x ·12＝33x 2，则所得三棱锥的体积V ＝13×33x 2×(5－x )2－x 2＝3x 2×25－10x ＝3×25x 4－10x 5.令f (x )＝25x 4－10x 5，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52，则f ′(x )＝100x 3－50x 4，令f ′(x )>0，即x 4－2x 3<0，得0<x <2，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52时，f (x )≤f (2)＝80，∴V ≤3×80＝415.∴所求三棱锥的体积的最大值为415.1．(2017·全国卷Ⅰ)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为( B )A ．10B ．12C ．14D ．16解析 由三视图可知该多面体是一个组合体，下面是一个底面是等腰直角三角形的直三棱柱，上面是一个底面是等腰直角三角形的三棱锥，等腰直角三角形的腰长为2，直三棱柱的高为2，三棱锥的高为2，易知该多面体有2个面是梯形，这些梯形的面积之和为(2＋4)×22×2＝12，故选B ．2．若几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为( A )A ．34πB ．35πC ．36πD ．17π解析 由几何体的三视图知它的底面是正方形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥，可把它补成一个长、宽、高分别为3,3,4的长方体，该长方体的外接球即为原四棱锥的外接球，所以4R 2＝32＋32＋42＝18＋16＝34(其中R 为外接球的半径)，外接球表面积为S ＝4πR 2＝34π，故选A ．3．已知点E ，F ，G 分别是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱AA 1，CC 1，DD 1的中点，点M ，N ，Q ，P 分别在线段DF ，AG ，BE ，C 1B 1上．以M ，N ，Q ，P 为顶点的三棱锥P －MNQ 的俯视图不可能是( C )解析 当M 与F 重合、N 与G 重合、Q 与E 重合、P 与B 1重合时，三棱锥P －MNQ 的俯视图为A ；当M ，N ，Q ，P 是所在线段的中点时，三棱锥P －MNQ 的俯视图为B ；当M ，N ，Q ，P 位于所在线段的非端点位置时，存在三棱锥P －MNQ ，使其俯视图为D ，故选C ．4．设甲，乙两个圆柱的底面积分别为S 1，S 2，体积分别为V 1，V 2.若它们的侧面积相等，且V 1V 2＝32，则S 1S 2的值是__94__. 解析 设甲，乙两个圆柱的底面半径分别为r 1，r 2，高分别为h 1，h 2，则有2πr 1h 1＝2πr 2h 2，即r 1h 1＝r 2h 2，又V 1V 2＝πr 21h 1πr 22h 2，∴V 1V 2＝r 1r 2，∴r 1r 2＝32，则S 1S 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫r 1r 22＝94.易错点 不能巧妙运用长方体和正方体解题错因分析：不能借助长方体和正方体协助解题，使解题受阻．【例1】 某几何体的一条棱长为m ，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为7的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为6和5的线段，则m 的值为( )A ．3B ．2 3C ．4D ．2 5解析 将这条棱放在长方体内，设长方体的长、宽、高分别为a ，b ，c ，对角线A ′C 为该棱，CD ′为该棱的正视图，长为7；A ′C ′为俯视图，长为5，CB ′为侧视图，长为6，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝5，a 2＋c 2＝7，b 2＋c 2＝6.则A ′C 2＝a 2＋b 2＋c 2＝9，则A ′C ＝3.答案 A【跟踪训练1】 一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为( A )A ．233B ．476C ．6D ．7解析 该几何体是正方体去掉两个角所形成的多面体(如图)，其体积为V ＝2×2×2－2×13×12×1×1×1＝233，故选A ． 课时达标 第39讲[解密考纲]考查空间几何体的结构特征与三视图、体积与表面积，以选择题或填空题的形式出现．一、选择题1．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为( D )解析 如图所示，点D 1的投影为C 1，点D 的投影为C ，点A 的投影为B ，故选D ．2．某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是( D )解析 由几何体的正视图和侧视图，结合四个选项中的俯视图知，若为D 项，则正视图应为，故D 项不可能，故选D 项．3．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是( B )A ．2＋ 5B ．2＋2 5C ．43D ．23解析 三棱锥的高为1，底面为等腰三角形，如图，因此表面积是12×2×2＋2×12×5×1＋12×5×2＝2＋25，故选B ．4．(2017·浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( A )A ．π2＋1B ．π2＋3C ．3π2＋1D ．3π2＋3解析 由几何体的三视图可得，该几何体是由半个圆锥和一个三棱锥组成的，故该几何体的体积V ＝13×12×π×3＋13×12×2×1×3＝π2＋1，故选A ．5．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为( B )A ．6 2B ．6C ．4 2D ．4解析 由三视图知，该几何体为三棱锥D 1－CEC 1(如图所示)，∵平面CEC 1⊥平面D 1C 1C ，△D 1C 1C 为等腰直角三角形，△CEC 1为等腰三角形，且D 1C 1⊥CC 1，所以CE ＝C 1E ＝42＋22＝25，CD 1＝42＋42＝42，D 1E ＝42＋()252＝6，则该三棱锥最长的棱为6.6．在如图所示的空间直角坐标系O xyz 中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)．给出编号为①②③④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为( D )A ．①和③B ．③和①C ．④和③D ．④和②解析 由三视图可知，正视图与俯视图分别为④②. 二、填空题7．(2017·江苏卷)如图，在圆柱O 1O 2内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O 1O 2的体积为V 1，球O 的体积为V 2，则V 1V 2的值是__32__.解析 设球O 的半径为r ，则圆柱的底面半径为r 、高为2r ，所以V 1V 2＝πr 2·2r 43πr3＝32.8．等腰梯形ABCD ，上底CD ＝1，腰AD ＝CB ＝2，下底 AB ＝ 3，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图A ′B ′C ′D ′的面积为2解析 如图所示．因为OE ＝(2)2－1＝1，所以O ′E ′＝12，E ′F ′＝24，则直观图A ′B ′C ′D ′的面积为S ′＝12×(1＋3)×24＝22.9．某四棱锥的三视图如图所示，则最长的一条侧棱的长度是解析 由三视图知，该几何体为一个四棱锥P －ABCD ，其中PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AD ∥BC ，AB ＝2AD ＝4，AD ⊥AB ，PA ＝2，∴该四棱锥的最长的棱为PC ＝22＋32＋42＝29.三、解答题10．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PC 与底面ABCD 垂直，该四棱锥的正视图和侧视图如图所示，它们是腰长为6 cm 的全等的等腰直角三角形．(1)根据图所给的正视图、侧视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积； (2)求PA ．解析 (1)该四棱锥的俯视图是边长为6 cm 的正方形(内含对角线)，如图，其面积为36 cm 2.(2)由侧视图可求得PD ＝PC 2＋CD 2＝62＋62＝6 2. 由正视图可知AD ＝6，且AD ⊥PD ，所以在Rt △APD 中，PA ＝PD 2＋AD 2＝(62)2＋62＝6 3 (cm)．11．现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P －A 1B 1C 1D 1，下部的形状是正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O 1O 是正四棱锥的高PO 1的4倍．(1)若AB ＝6 m ，PO 1 ＝2 m ，则仓库的容积是多少？(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m ，则当PO 1为多少时，仓库的容积最大？ 解析 (1)由PO 1＝2知O 1O ＝4PO 1＝8.因为A 1B 1＝AB ＝6，所以正四棱锥P －A 1B 1C 1D 1的体积V 锥＝13A 1B 21·PO 1＝13×62×2＝24(m 3)；正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积V 柱＝AB 2·O 1O ＝62×8＝288(m 3)．所以仓库的容积V ＝V 锥＋V 柱＝312(m 3)． (2)设A 1B 1＝a (m)，PO 1＝h (m)， 则0＜h ＜6，O 1O ＝4h .连接O 1B 1. 因为在Rt △PO 1B 1中，O 1B 21＋PO 21＝PB 21， 所以⎝⎛⎭⎪⎫2a 22＋h 2＝36，即a 2＝2(36－h 2)． 于是仓库的容积V ＝V 柱＋V 锥＝a 2·4h ＋13a 2·h ＝133a 2h ＝263(36h －h 3)，0＜h ＜6，从而V ′＝263(36－3h 2)＝26(12－h 2)．当0＜h ＜23时，V ′＞0，V 是单调增函数； 当23＜h ＜6时，V ′＜0，V 是单调减函数． 故当h ＝23时取得极大值，也是最大值． 因此，当PO 1＝2 3 m 时，仓库的容积最大．12．如图，在棱长为6的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别在C 1D 1与C 1B 1上，且C 1E ＝4，C 1F ＝3，连接EF ，FB ，BD ，DE ，DF ，求几何体EFC 1DBC 的体积．解析 如图，连接DC 1，那么几何体EFC 1DBC 被分割成三棱锥D －EFC 1及四棱锥D －CBFC 1，那么几何体EFC 1DBC 的体积为V ＝13×12×3×4×6＋13×12×(3＋6)×6×6＝12＋54＝66.故所求几何体EFC 1DBC 的体积为66.。