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§1.4.2.2正弦函数、余弦函数的性质（二）参考答案1．【答案】D【解析】由题意，当x ＝π8时，f (x )＝sin(2×π8＋φ)＝±1， 故π4＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，解得φ＝k π＋π4(k ∈Z )． 当k ＝0时，φ＝π4，故φ可能是π4. 2．【答案】B【解析】由0≤x ≤π2，得π6≤x ＋π6≤2π3，∴－12≤cos )6(π+x ≤32，故选B. 3．【答案】C【解析】如图，当x ∈[a 1，b ]时，值域为[－1，12]，且b －a 最 大．当x ∈[a 2，b ]时，值域为[－1，12]，且b －a 最小．∴最大值与最小值之和为(b －a 1)＋(b －a 2)＝2b －(a 1＋a 2)＝2×π6＋π2＋7π6＝2π. 4．【答案】C【解析】周期T ＝π，∴2πω＝π，∴ω＝2.∴y ＝2sin )42(π+x . 由－π2＋2k π≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－38π≤x ≤k π＋π8，k ∈Z . 5．【答案】D【解析】本题采用验证法，由周期性排除A ，由对称性排除C ，由单调性可排除B.6．【答案】C【解析】本题考查三角函数的单调性．因为当0≤ωx ≤π2时，函数f (x )是增函数，当π2≤ωx ≤π时，函数f (x )为减函数， 即当0≤x ≤π2ω时，函数f (x )为增函数，当π2ω≤x ≤πω时，函数f (x )为减函数， 所以π2ω＝π3，所以ω＝32.7．【答案】cos0>cos 12>cos30°>cos1>cos π 【解析】∵0<12<π6<1<π，而y ＝cos x 在区间[0，π]上是减函数，∴cos0>cos 12>cos30°>cos1>cos π. 8．【答案】782 【解析】x ∈]67,6[ππ，－12≤sin x ≤1，y ＝2sin 2x －sin x ＋1＝2)41(sin -x 2＋78， 当sin x ＝14时，y min ＝78；当sin x ＝1或－12时，y max ＝2. 9．【答案】43【解析】由已知，得2sin ωπ4＝3，且0<ωπ4<π2，解得ω＝43. 10．【解析】(1)根据题意cos(π3－2x )＝12，因为π3－2x ＝2k π±π3(k ∈Z )，而x ∈]4,6[ππ-，故x ＝0. (2)令2n π≤π3－2x ≤2n π＋π(其中n ∈Z )，解得－n π－π3≤x ≤－n π＋π6(其中n ∈Z )， 即k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )，从而f (x )的单调增区间为[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z )．11．【解析】(1)令2k π－π≤3x ＋π4≤2k π(k ∈Z )，解得2k π3－5π12≤x ≤2k π3－π12(k ∈Z )． ∴f (x )的单调递增区间为]1232,12532[ππππ--k k (k ∈Z )． (2)当3x ＋π4＝2k π－π(k ∈Z )时，f (x )取最小值－2.即x ＝2k π3－5π12(k ∈Z )时，f (x )取最小值－2. 12．【解析】由f (x )≤|f (π6)|对x ∈R 恒成立知， 2×π6＋φ＝2k π±π2(k ∈Z )， 得到φ＝2k π＋π6或φ＝2k π－5π6， 代入f (x )并由f (π2)>f (π)检验得，φ的取值为－5π6， 所以由2k π－π2≤2x －5π6≤2k π＋π2(k ∈Z )， 得f (x )的单调递增区间是[k π＋π6，k π＋2π3](k ∈Z )．。
1.4.2正弦函数、余弦函数的性质（二）［学习目标］1•掌握y=sin x, y=cos x的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值2掌握j；=sinx, j/=cosx的单调性，并能利用单调性比较大小.3.会求函数y=Asin（^x+（p）及y=A cos（ex+卩）的单调区间.戸预习导学全挑战自我，点点落实______________________________________________________________［知识链接］1.怎样求函数fix）=Asin（cox+（/））（或./（x）=/cos（亦+卩））的最小正周期答由诱导公式一知：对任意xGR,都有Asin［（a）x+（p） + 2TI］=Asin（cox+（p）,所以./W=A sin（cox+（p）（co0）是周期函数，方就是它的一个周期.由于兀至少要增加两个单位，/（X）的函数值才会重复出现，因此，两是函数/（x）=/sin（ex+°）的最小正周期.同理，函数/（x）=/cos（砂+卩）也是周期函数，最小正周期也是壽.2.观察正弦曲线和余弦曲线，正弦、余弦函数是否存在最大值和最小值？若存在，其最大值和最小值分别为多少？答正弦、余弦函数存在最大值和最小值，分别是1和一1.［预习导引］正弦函数、余弦函数的性质函数y=sinx y=cosx图象-i-TT \J/定义域R R值域[-1,11[-1,11对称性对称轴：兀=航+畝WZ）；对称中心：伙兀，0）伙EZ）对称轴：x=k7t（k^Z）；对称中心：仏+号’0）所以Asin=Asin（cox+（p）,(©)奇偶性 奇函数 偶函数 周期性最小正周期：2兀最小正周期：2K单调性JTTT在［一㊁+2ht,㊁+2加］伙GZ ）上单调递增;在奇+2fac,夢+在［—TT +2E, 2E ］伙WZ ）上单调递增；在［2/CTT , n + 2/m ］ 伙WZ ）上单调递减最值71 当 X —2 + 2加伙GZ)时，Jniax =1；当x=—号+2加伙丘Z)时'J^min — — 1当x=2刼伙WZ)时，亦=1；当 X = 7t + 2kjt(k^Z)时，加n =-1歹课堂讲义 /重点难点，个个击破 _____________________________________________________________要点一 求正弦、余弦函数的单调区间兀 则y =—2si n z .因为z 是x 的一次函数，所以要求y=-2sinz 的递增区间, 即求sinz 的递减区间， 即2航+号壬冬2加+守伙丘2）. TT兀 3TT•: 2A TT +，W X —玄冬2航十㊁伙G Z ）,3兀 7兀 2£兀+才WxW2加十才伙G Z ）,求函数y=2sin卜x)的单调递增区间. 例1 的递增区间为2&兀+乎,2£兀+晋伙UZ).规律方法用整体替换法求函数y=Asin（cox+（p）或y=Acos（ojx+（p）的单调区间时，如果式子中X的系数为负数，先利用诱导公式将兀的系数变为正数再求其单调区间.再将最终结果写成区间形式.跟踪演练1求下列函数的单调递增区间:(l”=l+2sin(£-"；(2)尹=lo#cos x.令u=x-^则根据复合函数的单调性知，所给函数的单调递增区间就是^=sin U 的单调递 减区间，即2加+㊁尹仇GZ),ITJr3兀亦即2刼+㊁Wx —&W2A TT +亍伙WZ).2 S 亦即2£兀+尹冬兀冬2加+尹伙丘乙)，故函数y=l+2sin(?—x)的单调递增区间是2加+|兀，2刼+刍:伙WZ). 兀 兀 (2)由 cosx>0,得 2«兀一㊁<x<2hr+㊁，k^Z.・・・*< 1，・・・函数尸log|cos X 的单调递增区间即为 w = cosx, x^\2kit —y 2航+办圧Z)的递减区间,故函数J*=log|cosx 的单调递增区间为2H, 2加+引伙GZ).要点二正弦、余弦函数的单调性的应用例2利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小.(2)sin 196。
高中数学第一章三角函数1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（2）课后习题新人教A版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第一章三角函数1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（2）课后习题新人教A版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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1。
4.2 正弦函数、余弦函数的性质（二）一、A组1.函数y=|sin x｜的一个单调增区间是（）A.B。
C。
D.解析：画出y=|sin x｜的图象即可求解。
故选C。
答案:C2.(2016·福建三明一中月考)y=cos（-π≤x≤π)的值域为（)A. B.［-1，1]C. D.解析：因为-π≤x≤π,所以—.所以—≤cos≤1，y=cos(-π≤x≤π）的值域为。
答案：C3。
函数f（x）=3sin在下列区间内递减的是(）A。
B.［—π,0]C。
D.解析：令2kπ+≤x+≤2kπ+,k∈Z可得2kπ+≤x≤2kπ+，k∈Z,∴函数f（x)的递减区间为，k∈Z。
从而可判断，∴在x∈时,f（x)单调递减.答案:D4。
函数f（x）=2sin（ω〉0）的最小正周期为4π,当f（x)取得最小值时，x的取值集合为(）A.B.C.D。
解析:∵T==4π，∴ω=。
∴f（x)=2sin。
由x-=2kπ-（k∈Z)，得x=4kπ-(k∈Z).答案:A5.已知函数f（x）=sin，x∈R,下列结论错误的是（)A.函数f（x)的最小正周期为2πB.函数f（x)在区间上是增函数C。
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)[学习目标] 1.掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值.2.掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的单调性，并能利用单调性比较大小.3.会求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)及y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调区间．[知识链接]1．怎样求函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(或f (x )＝A cos(ωx ＋φ))的最小正周期 答 由诱导公式一知：对任意x ∈R ，都有A sin [(ωx ＋φ)＋2π]＝A sin(ωx ＋φ)，所以A sin ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x ＋2πω＋φ＝A sin(ωx ＋φ)， 即f ⎝⎛⎭⎫x ＋2πω＝f (x )， 所以f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω≠0)是周期函数，2πω就是它的一个周期．由于x 至少要增加2π|ω|个单位，f (x )的函数值才会重复出现，因此，2π|ω|是函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的最小正周期．同理，函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)也是周期函数，最小正周期也是2π|ω|.2．观察正弦曲线和余弦曲线，正弦、余弦函数是否存在最大值和最小值？若存在，其最大值和最小值分别为多少？答 正弦、余弦函数存在最大值和最小值，分别是1和－1. [预习导引]正弦函数、余弦函数的性质R R要点一 求正弦、余弦函数的单调区间 例1 求函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x 的单调递增区间． 解 y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4， 令z ＝x －π4，则y ＝－2sin z .因为z 是x 的一次函数，所以要求y ＝－2sin z 的递增区间， 即求sin z 的递减区间， 即2k π＋π2≤z ≤2k π＋3π2(k ∈Z )．∴2k π＋π2≤x －π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，2k π＋3π4≤x ≤2k π＋7π4(k ∈Z )，∴函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x 的递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π＋3π4，2k π＋7π4(k ∈Z )．规律方法 用整体替换法求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调区间时，如果式子中x 的系数为负数，先利用诱导公式将x 的系数变为正数再求其单调区间．再将最终结果写成区间形式．跟踪演练1 求下列函数的单调递增区间： (1)y ＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎫π6－x ； (2)y ＝log 12cos x .解 (1)y ＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎫π6－x ＝1－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π6. 令u ＝x －π6，则根据复合函数的单调性知，所给函数的单调递增区间就是y ＝sin u 的单调递减区间，即2k π＋π2≤u ≤2k π＋32π(k ∈Z )，亦即2k π＋π2≤x －π6≤2k π＋3π2(k ∈Z )．亦即2k π＋23π≤x ≤2k π＋53π(k ∈Z )，故函数y ＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎫π6－x 的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤2k π＋23π，2k π＋53π(k ∈Z )． (2)由cos x >0，得2k π－π2<x <2k π＋π2，k ∈Z .∵12<1，∴函数y ＝log 12cos x 的单调递增区间即为 u ＝cos x ，x ∈⎝⎛⎭⎫2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )的递减区间， ∴2k π≤x <2k π＋π2，k ∈Z .故函数y ＝log 12cos x 的单调递增区间为⎣⎡⎭⎫2k π，2k π＋π2(k ∈Z )．要点二 正弦、余弦函数的单调性的应用例2 利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小． (1)sin ⎝⎛⎭⎫－π18与sin ⎝⎛⎭⎫－π10； (2)sin 196°与cos 156°； (3)cos ⎝⎛⎭⎫－235π与cos ⎝⎛⎭⎫－174π. 解 (1)∵－π2<－π10<－π18<π2，∴sin ⎝⎛⎭⎫－π18>sin ⎝⎛⎭⎫－π10. (2)sin 196°＝sin(180°＋16°)＝－sin 16°，cos 156°＝cos(180°－24°)＝－cos 24°＝－sin 66°， ∵0°<16°<66°<90°，∴sin 16°<sin 66°； 从而－sin 16°>－sin 66°，即sin 196°>cos 156°. (3)cos ⎝⎛⎭⎫－235π＝cos 235π＝cos(4π＋35π)＝cos 35π， cos ⎝⎛⎭⎫－174π＝cos 174π＝cos ⎝⎛⎭⎫4π＋π4＝cos π4. ∵0<π4<35π<π，且y ＝cos x 在[0，π]上是减函数，∴cos 35π<cos π4，即cos ⎝⎛⎭⎫－235π<cos ⎝⎛⎭⎫－174π. 规律方法 用正弦函数或余弦函数的单调性比较大小时，应先将异名化同名，把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小． 跟踪演练2 比较下列各组数的大小． (1)sin ⎝⎛⎭⎫－376π与sin ⎝⎛⎭⎫493π； (2)cos 870°与sin 980°.解 (1)sin ⎝⎛⎭⎫－376π＝sin ⎝⎛⎭⎫－6π－π6＝sin ⎝⎛⎭⎫－π6， sin ⎝⎛⎭⎫493π＝sin ⎝⎛⎭⎫16π＋π3＝sin π3， ∵y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是增函数， ∴sin ⎝⎛⎭⎫－π6<sin π3，即sin ⎝⎛⎭⎫－376π<sin 493π. (2)cos 870°＝cos(720°＋150°)＝cos 150°，sin 980°＝sin(720°＋260°)＝sin 260°＝sin(90°＋170°)＝cos 170°，∵0°<150°<170°<180°，∴cos 150°>cos 170°，即cos 870°>sin 980°. 要点三 求正弦、余弦函数的最值(值域)例3 (1)求函数y ＝3－2sin x 取得最大值、最小值时的自变量x 的集合，并分别写出最大值、最小值；(2)求函数f (x )＝2sin 2 x ＋2sin x －12，x ∈⎣⎡⎦⎤π6，5π6的值域． 解 (1)∵－1≤sin x ≤1，∴当sin x ＝－1，即x ＝2k π＋3π2，k ∈Z 时，y 取得最大值5，相应的自变量x 的集合为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝2k π＋3π2，k ∈Z . 当sin x ＝1，即x ＝2k π＋π2，k ∈Z 时，y 取得最小值1，相应的自变量x 的集合为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝2k π＋π2，k ∈Z .(2)令t ＝sin x ，y ＝f (t )，∵x ∈⎣⎡⎦⎤π6，5π6， ∴12≤sin x ≤1，即12≤t ≤1. ∴y ＝2t 2＋2t －12＝2⎝⎛⎭⎫t ＋122－1，∴1≤y ≤72， ∴函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤1，72. 规律方法 (1)形如y ＝a sin x ＋b (或y ＝a cos x ＋b )的函数的最值或值域问题，利用正弦、余弦函数的有界性(－1≤sin x ≤1，－1≤cos x ≤1)求解．求三角函数取最值时相应自变量x 的集合时，要注意考虑三角函数的周期性．(2)求解形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c (或y ＝a cos 2x ＋b cos x ＋c )，x ∈D 的函数的值域或最值时，通过换元，令t ＝sin x (或cos x )，将原函数转化为关于t 的二次函数，利用配方法求值域或最值即可．求解过程中要注意t ＝sin x (或cos x )的有界性．跟踪演练3 已知0≤x ≤π2，求函数y ＝cos 2x －2a cos x 的最大值M (a )与最小值m (a )．解 设cos x ＝t ，∵0≤x ≤π2，∴0≤t ≤1.∵y ＝t 2－2at ＝(t －a )2－a 2，∴当a <0时，m (a )＝0，M (a )＝1－2a ； 当0≤a <12时，m (a )＝－a 2，M (a )＝1－2a ；当12≤a <1时，m (a )＝－a 2，M (a )＝0；当a ≥1时，m (a )＝1－2a ，M (a )＝0.1．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的一个递减区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤－π2，π2 B ．[－π，0] C.⎣⎡⎦⎤－23π，23π D.⎣⎡⎦⎤π2，23π答案 D解析 由π2≤x ＋π6≤32π解得π3≤x ≤43π.故选D.2．下列不等式中成立的是( ) A ．sin ⎝⎛⎭⎫－π8>sin ⎝⎛⎭⎫－π10 B ．sin 3>sin 2 C ．sin 75π>sin ⎝⎛⎭⎫－25π D ．sin 2>cos 1 答案 D解析 ∵sin 2＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2＝cos ⎝⎛⎭⎫2－π2，且0<2－π2<1<π，∴cos ⎝⎛⎭⎫2－π2>cos 1，即sin 2>cos 1.故选D.3．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的值域是( ) A.⎣⎡⎦⎤－32，12 B.⎣⎡⎦⎤－12，32 C.⎣⎡⎦⎤32，1D.⎣⎡⎦⎤12，1答案 B解析 ∵0≤x ≤π2，∴π6≤x ＋π6≤23π.∴cos 23π≤cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6≤cos π6， ∴－12≤y ≤32.故选B.4．求函数y ＝f (x )＝sin 2 x －4sin x ＋5的值域．解 设t ＝sin x ，则|t |≤1， f (x )＝g (t )＝t 2－4t ＋5(－1≤t ≤1)， g (t )＝t 2－4t ＋5的对称轴为t ＝2.开口向上，对称轴t ＝2不在研究区间[－1,1]内． g (t )在[－1,1]上是单调递减的，∴g (t )max ＝g (－1)＝(－1)2－4×(－1)＋5＝10， g (t )min ＝g (1)＝12－4×1＋5＝2， 即g (t )∈[2,10]．∴y ＝f (x )的值域为[2,10]．1.求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)单调区间的方法是：把ωx ＋φ看成一个整体，由2k π－π2≤ωx ＋φ≤2k π＋π2 (k ∈Z )解出x 的范围，所得区间即为增区间，由2k π＋π2≤ωx ＋φ≤2k π＋32π (k ∈Z )解出x 的范围，所得区间即为减区间．若ω<0，先利用诱导公式把ω转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间．2．比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断． 3．求三角函数值域或最值的常用求法：将y 表示成以sin x (或cos x )为元的一次或二次等复合函数再利用换元或配方或利用函数的单调性等来确定y 的范围.一、基础达标1．若y ＝sin x 是减函数，y ＝cos x 是增函数，那么角x 在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 C2．若α，β都是第一象限的角，且α<β，那么( )A ．sin α>sin βB ．sin β>sin αC ．sin α≥sin βD ．sin α与sin β的大小不定答案 D3．函数y ＝2sin 2 x ＋2cos x －3的最大值是( ) A ．－1 B ．1 C ．－12D ．－5答案 C解析 由题意，得y ＝2sin 2 x ＋2cos x －3＝2(1－cos 2x )＋2cos x －3＝－2⎝⎛⎭⎫cos x －122－12.∵－1≤cos x ≤1，∴当cos x ＝12时，函数有最大值－12.4．设a ＝sin 33°，b ＝cos 55°，c ＝tan 35°，则( ) A ．a >b >c B ．b >c >a C ．c >b >a D ．c >a >b 答案 C解析 ∵a ＝sin 33°，b ＝cos 55°＝sin 35°，c ＝tan 35°＝sin 35°cos 35°，又0<cos 35°<1，∴c >b >a .5．下列函数中，周期为π，且在⎣⎡⎦⎤π4，π2上为减函数的是( ) A ．y ＝sin(2x ＋π2)B ．y ＝cos(2x ＋π2)C ．y ＝sin(x ＋π2)D ．y ＝cos(x ＋π2)答案 A解析 因为函数周期为π，所以排除C 、D.又因为y ＝cos(2x ＋π2)＝－sin 2x 在⎣⎡⎦⎤π4，π2上为增函数，故B 不符合．故选A.6．若|x |≤π4，则函数f (x )＝cos 2x ＋sin x 的最小值是 ．答案 －12(2－1)解析 由cos 2x ＝1－sin 2x ，故f (x )＝1－sin 2x ＋sin x ，令sin x ＝t ，又|x |≤π4，由图象知t ∈[－22，22]，故函数化为y ＝－t 2＋t ＋1＝－(t －12)2＋54，当t ＝－22时，y min ＝12－22＝－12(2－1)． 7．求下列函数的单调增区间． (1)y ＝1－sin x2；(2)y ＝12log cos ⎝⎛⎭⎫π3－x 2.解 (1)由2k π＋π2≤x 2≤2k π＋32π，k ∈Z ，得4k π＋π≤x ≤4k π＋3π，k ∈Z .∴y ＝1－sin x2的增区间为[4k π＋π，4k π＋3π] (k ∈Z )．(2)y ＝12log cos ⎝⎛⎭⎫π3－x 2＝12log cos ⎝⎛⎭⎫x 2－π3. 要求原函数的增区间，即求函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x 2－π3的减区间，且cos ⎝⎛⎭⎫x 2－π3>0. ∴2k π≤x 2－π3<2k π＋π2(k ∈Z )．整理得4k π＋23π≤x <4k π＋53π(k ∈Z )．∴函数y ＝12log cos ⎝⎛⎭⎫π3－x 2的单调递增区间是⎣⎡⎭⎫4k π＋23π，4k π＋53π(k ∈Z )． 二、能力提升8．函数y ＝2sin x 的单调增区间是( ) A ．[2k π－π2，2k π＋π2](k ∈Z )B ．[2k π＋π2，2k π＋3π2](k ∈Z )C ．[2k π－π，2k π](k ∈Z )D ．[2k π，2k π＋π](k ∈Z ) 答案 A解析 函数y ＝2x 为增函数，因此求函数y ＝2sin x 的单调增区间即求函数y ＝sin x 的单调增区间9．M ，N 是曲线y ＝πsin x 与曲线y ＝πcos x 的两个不同的交点，则|MN |的最小值为( ) A ．π B.2π C.3π D ．2π答案 C解析 在同一坐标系中画出函数y ＝πsin x 与y ＝πcos x 的图象，如图所示，则|MN |的最小值为|PQ |. 又P (π4，2π2)，Q (5π4，－2π2)，故|PQ |＝(π4－5π4)2＋(2π2＋2π2)2＝3π. 10．sin 1，sin 2，sin 3按从小到大排列的顺序为 ． 答案 sin 3<sin 1<sin 2 解析 ∵1<π2<2<3<π，sin(π－2)＝sin 2，sin(π－3)＝sin 3.y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上递增，且0<π－3<1<π－2<π2， ∴sin(π－3)<sin 1<sin(π－2)， 即sin 3<sin 1<sin 2.11．已知ω是正数，函数f (x )＝2sin ωx 在区间[－π3，π4]上是增函数，求ω的取值范围．解 由－π2＋2k π≤ωx ≤π2＋2k π(k ∈Z )，得－π2ω＋2k πω≤x ≤π2ω＋2k πω. ∴f (x )的单调递增区间是[－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω]，k ∈Z .根据题意，得[－π3，π4]⊆[－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω]． 从而有⎩⎨⎧－π2ω≤－π3，π2ω≥π4，ω>0，解得0<ω≤32. 故ω的取值范围是(0，32]． 12．定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )＝sin x .(1)当x ∈[－π，0]时，求f (x )的解析式；(2)画出函数f (x )在[－π，π]上的函数简图；(3)当f (x )≥12时，求x 的取值范围． 解 (1)∵f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )．而当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )＝sin x . ∴当x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，0时， f (x )＝f (－x )＝sin(－x )＝－sin x .又当x ∈⎣⎡⎦⎤－π，－π2时，x ＋π∈⎣⎡⎦⎤0，π2， ∵f (x )的周期为π，∴f (x )＝f (π＋x )＝sin(π＋x )＝－sin x .∴当x ∈[－π，0]时，f (x )＝－sin x .(2)如图．(3)由于f (x )的最小正周期为π，因此先在[－π，0]上来研究f (x )≥12， 即－sin x ≥12，∴sin x ≤－12，∴－5π6≤x ≤－π6.由周期性知，当x ∈⎣⎡⎦⎤k π－56π，k π－π6，k ∈Z 时，f (x )≥12. 三、探究与创新13．设函数y ＝－2cos ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3，x ∈⎣⎡⎦⎤28π5，a ，若该函数是单调函数，求实数a 的最大值． 解 由2k π≤12x ＋π3≤2k π＋π(k ∈Z )得 4k π－23π≤x ≤4k π＋43π(k ∈Z )． ∴函数的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤4k π－23π，4k π＋43π(k ∈Z )， 同理函数的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤4k π＋43π，4k π＋103π(k ∈Z )． 令285π∈⎣⎡⎦⎤4k π－23π，4k π＋43π， 即1615≤k ≤4730， 又k ∈Z ，∴k 不存在．令285π∈⎣⎡⎦⎤4k π＋43π，4k π＋103π，得k ＝1. ∴285π∈⎣⎡⎦⎤4k π＋43π，4k π＋103π， 这表明y ＝－2cos ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3在⎣⎡⎦⎤28π5，22π3上是减函数，∴a 的最大值是22π3.。
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)一、基础过关1．若y ＝sin x 是减函数，y ＝cos x 是增函数，那么角x 在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 [答案] C2．若α，β都是第一象限的角，且α<β，那么( )A ．sin α>sin βB ．sin β>sin αC ．sin α≥sin βD ．sin α与sin β的大小不定 [答案] D3．函数y ＝2sin 2x ＋2cos x －3的最大值是( )A ．－1B ．1C ．－12D ．－5[答案] C[解析] 由题意，得y ＝2sin 2x ＋2cos x －3＝2(1－cos 2x)＋2cos x －3＝－2⎝⎛⎭⎫cos x －122－12.∵－1≤cos x ≤1，∴当cos x ＝12时，函数有最大值－12. 4．下列关系式中正确的是( )A ．sin 11°<cos 10°<sin 168°B ．sin 168°<sin 11°<cos 10°C ．sin 11°<sin 168°<cos 10°D ．sin 168°<cos 10°<sin 11°[答案] C[解析] ∵sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°，cos 10°＝sin(90°－10°)＝sin 80°.由正弦函数的单调性得sin 11°<sin 12°<sin 80°，即sin 11°<sin 168°<cos 10°.5．下列函数中，周期为π，且在⎣⎡⎦⎤π4，π2上为减函数的是( )A ．y ＝sin(2x ＋π2) B ．y ＝cos (2x ＋π2) C ．y ＝sin(x ＋π2) D ．y ＝cos (x ＋π2) [答案] A[解析] 因为函数周期为π，所以排除C 、D.又因为y ＝cos (2x ＋π2)＝－sin 2x 在⎣⎡⎦⎤π4，π2上为增函数，故B 不符合．故选A.6.若f(x)＝2sin ωx (0<ω<1)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上的最大值是2，则ω＝________. [答案] 34[解析] ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3，即0≤x ≤π3，且0<ω<1， ∴0≤ωx ≤ωπ3<π3. ∵f (x )max ＝2sin ωπ3＝2， ∴sin ωπ3＝22，ωπ3＝π4，即ω＝34. 7．求下列函数的单调增区间．(1)y ＝1－sin x 2； (2)y ＝log 12cos ⎝⎛⎭⎫π3－x 2. 解 (1)由2kπ＋π2≤x 2≤2kπ＋32π，k ∈Z ， 得4k π＋π≤x ≤4k π＋3π，k ∈Z .∴y ＝1－sin x 2的增区间为[4k π＋π，4k π＋3π] (k ∈Z )． (2)y ＝log 12cos ⎝⎛⎭⎫π3－x 2＝log 12cos ⎝⎛⎭⎫x 2－π3. 要求原函数的增区间，即求函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x 2－π3的减区间，且cos ⎝⎛⎭⎫x 2－π3>0. ∴2k π≤x 2－π3<2k π＋π2(k ∈Z )． 整理得4k π＋23π≤x <4k π＋53π(k ∈Z )． 所以函数y ＝log 12cos ⎝⎛⎭⎫π3－x 2的单调递增区间是⎣⎡⎭⎫4k π＋23π，4k π＋53π(k ∈Z )． 二、能力提升8．函数y ＝|sin x |的一个单调增区间是( )A.⎝⎛⎭⎫－π4，π4 B.⎝⎛⎭⎫π4，3π4 C.⎝⎛⎭⎫π，3π2 D.⎝⎛⎭⎫3π2，2π[答案] C[解析] 由y ＝|sin x |图象易得函数单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π，k π＋π2，k ∈Z ，当k ＝1时，得⎝⎛⎭⎫π，3π2为y ＝|sin x |的单调递增区间． 9．sin 1，sin 2，sin 3按从小到大排列的顺序为__________________．[答案] sin 3<sin 1<sin 2[解析] ∵1<π2<2<3<π， sin(π－2)＝sin 2，sin(π－3)＝sin 3.y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上递增，且0<π－3<1<π－2<π2， ∴sin(π－3)<sin 1<sin(π－2)，即sin 3<sin 1<sin 2.10．设|x |≤π4，求函数f (x )＝cos 2x ＋sin x 的最小值． 解 f (x )＝cos 2x ＋sin x ＝1－sin 2x ＋sin x＝－⎝⎛⎭⎫sin x －122＋54.∵|x |≤π4，∴－22≤sin x ≤22. ∴当sin x ＝－22时，f (x )min ＝1－22. 11.若函数y ＝a －b cos x (b >0)的最大值为32，最小值为－12，求函数y ＝－4a cos bx 的最值和最小正周期．解 ∵y ＝a －b cos x (b >0)，∴y max ＝a ＋b ＝32， y min ＝a －b ＝－12. 由⎩⎨⎧ a ＋b ＝32，a －b ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝1. ∴y ＝－4a cos bx ＝－2cos x ，∴y max ＝2，y min ＝－2，T ＝2π.12．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数且|φ|<π；若f (x )≤|f (π6)|对x ∈R 恒成立，且f (π2)>f (π)，求f (x )的单调递增区间． 解 由f (x )≤|f (π6)|对x ∈R 恒成立知， 2·π6＋φ＝2k π±π2(k ∈Z )． ∴φ＝2k π＋π6或φ＝2k π－56π(k ∈Z ) ∵|φ|<π，得φ＝π6或φ＝－56π， 又∵f (π2)>f (π)，∴φ＝－56π， 由2k π－π2≤2x －56π≤2k π＋π2(k ∈Z )． 得f (x )的单调递增区间是[k π＋π6，k π＋23π](k ∈Z )． 三、探究与拓展13．设函数y ＝－2cos ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3，x ∈⎣⎡⎦⎤28π5，a ，若该函数是单调函数，求实数a 的最大值．解 由2k π≤12x ＋π3≤2k π＋π(k ∈Z )得 4k π－23π≤x ≤4k π＋43π(k ∈Z )． ∴函数的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤4k π－23π，4k π＋43π(k ∈Z )， 同理，函数的单调递减区间是 ⎣⎡⎦⎤4k π＋43π，4k π＋103π(k ∈Z )． 令285π∈⎣⎡⎦⎤4k π－23π，4k π＋43π，即1615≤k ≤4730， 又k ∈Z ，∴k 不存在．令285π∈⎣⎡⎦⎤4k π＋43π，4k π＋103π，得k ＝1. ∴285π∈⎣⎡⎦⎤4k π＋43π，4k π＋103π， 这表明y ＝－2cos ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3在⎣⎡⎦⎤28π5，22π3上是减函数，∴a 的最大值是22π3.。
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（2）（学案）一、学习目标1.掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域或最值2.掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的单调性，并能用单调性比较大小.3.会求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)及y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调区间． 二、自主学习三、合作探究知识点一 求正、余弦函数的单调区间 例1 求函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的单调递减区间．回顾归纳 求y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调区间时，如果式子中x 的系数为负数，先利用诱导公式将x 的系数变为正数再求其单调区间．知识点二 比较三角函数值的大小例2 利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小．(1)sin 196°与cos 156°； (2)sin 1，sin 2，sin 3.回顾归纳 用正弦函数和余弦函数的单调性来比较大小时，应先将异名化同名，再将不是同一单调区间的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小．知识点三 正、余弦函数的最值问题例3 已知函数f (x )＝2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋b 的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，最大值为1，最小值为－5，求a 和b 的值．回顾归纳 此类问题应特别注意正、余弦函数值域的有界性，即当x ∈R 时，－1≤sin x ≤1，－1≤cos x ≤1，另外还应注意定义域对值域的影响．四、学以致用1. 求函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 2的单调增区间．2. 比较下列各组数的大小．(1)cos 870°，cos 890°； (2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－37π6，sin 49π3.3. 若函数y ＝a －b cos x (b >0)的最大值为32，最小值为－12，求函数y ＝－4a cos bx 的最值和最小正周期．五、自主小测1．若y ＝sin x 是减函数，y ＝cos x 是增函数，那么角x 在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．若α，β都是第一象限的角，且α<β，那么( ) A ．sin α>sin β B ．sin β>sin αC ．sin α≥sin βD ．sin α与sin β的大小不定3．函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( )A.[]－1，1B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，－1C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，54 4．函数y ＝|sin x |的一个单调增区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2D.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π5．下列关系式中正确的是( )A ．sin 11°<cos 10°<sin 168°B ．sin 168°<sin 11°<cos 10°C ．sin 11°<sin 168°<cos 10°D ．sin 168°<cos 10°<sin 11°6．下列函数中，周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为减函数的是( ) A ．y ＝sin(2x ＋π2) B ．y ＝cos(2x ＋π2)C ．y ＝sin(x ＋π2)D ．y ＝cos(x ＋π2)7．已知函数f (x )＝2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋b 的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，最大值为1，最小值为－5，求a 和b 的值．参考答案1．C 2.D3．C [y ＝sin 2x ＋sin x －1＝(sin x ＋12)2－54当sin x ＝－12时，y min ＝－54；当sin x ＝1时，y max ＝1.]4．C [由y ＝|sin x |图象易得函数单调递增区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2，k ∈Z ，当k ＝1时，得⎝⎛⎭⎪⎫π，32π为y ＝|sin x |的单调递增区间．] 5．C [∵sin 168°＝sin (180°－12°)＝sin 12°，cos 10°＝sin (90°－10°)＝sin 80°由三角函数线得sin 11°<sin 12°<sin 80°，即sin 11°<sin 168°<cos 10°.]6．A [因为函数周期为π，所以排除C 、D.又因为y ＝cos(2x ＋π2)＝－sin 2x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为增函数，故B 不符合．故选A.]7．解 ∵0≤x ≤π2，∴－π3≤2x －x 3≤23π，∴－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1，易知a ≠0. 当a >0时，f (x )max ＝2a ＋b ＝1，f (x )min ＝－3a ＋b ＝－5.由⎩⎨⎧2a ＋b ＝1－3a ＋b ＝－5，解得⎩⎨⎧a ＝12－63b ＝－23＋123.当a <0时，f (x )max ＝－3a ＋b ＝1，f (x )min ＝2a ＋b ＝－5.由⎩⎨⎧－3a ＋b ＝12a ＋b ＝－5，解得⎩⎨⎧a ＝－12＋63b ＝19－123.。
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课时提升作业(十)正弦函数、余弦函数的性质(二)一、选择题(每小题3分，共18分)1.(2014·沈阳高一检测)函数y=-错误！未找到引用源。
cosx，x∈(0，2π)，其单调性是( )A.在(0，π)上是增函数，在[π，2π)上是减函数B.在错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
上是增函数，在错误！未找到引用源。
上是减函数C.在[π，2π)上是增函数，在(0，π)上是减函数D.在错误！未找到引用源。
上是增函数，在错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
上是减函数【解析】选A. y=-错误！未找到引用源。
cosx在(0，π)上是增函数，在[π，2π)上是减函数.【变式训练】若f(x)=cosx在[-b，-a]上是增函数，则f(x)在[a，b]上是( )A.奇函数B.偶函数C.减函数D.增函数【解析】选C.因为f(x)=cosx在R上为偶函数，所以根据偶函数的性质可知f(x)在[a，b]上是减函数.2.(2014·青岛高一检测)若函数y=sin(π+x)，y=cos(2π-x)都是减函数，则x的集合是( )A.错误！未找到引用源。
B.错误！未找到引用源。
C.错误！未找到引用源。
D.错误！未找到引用源。
【解析】选A.因为y=sin(π+x)=-sinx，其单调减区间为错误！未找到引用源。
(k∈Z)，y=cos(2π-x)=cosx，其单调减区间是[2kπ，2kπ+π](k ∈Z)，所以函数y=sin(π+x)与函数y=cos(2π-x)都是减函数时的x 的集合为x2kπ≤x≤2kπ+错误！未找到引用源。
，k∈Z.3.(2014·邯郸高一检测)若函数f(x)=sinωx(ω>0)在区间错误！未找到引用源。
上单调递增，在区间错误！未找到引用源。
1．4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)一、选择题1．符合以下三个条件：①在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递减； ②以2π为周期；③是奇函数．这样的函数是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝－sin xC ．y ＝cos xD ．y ＝－cos x[考点] 正弦、余弦函数性质的综合应用[题点] 正弦、余弦函数性质的综合应用[答案] B[解析] 在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递减，可以排除A ，是奇函数可以排除C ，D. 2．对于函数f (x )＝sin 2x ，下列选项中正确的是( )A ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π4，π2上是递增的B ．f (x )的图象关于原点对称C ．f (x )的最小正周期为2πD ．f (x )的最大值为2[考点] 正弦、余弦函数性质的综合应用[题点] 正弦函数性质的综合应用[答案] B[解析] 因为函数y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫π2，π上是递减的，所以f (x )＝sin 2x 在⎝⎛⎭⎫π4，π2上是递减的，故A 错误；因为f (－x )＝sin 2(－x )＝sin(－2x )＝－sin 2x ＝－f (x )，所以f (x )为奇函数，图象关于原点对称，故B 正确；f (x )的最小正周期为π，故C 错误；f (x )的最大值为1，故D 错误．3．下列不等式中成立的是( )A ．sin ⎝⎛⎭⎫－π8>sin ⎝⎛⎭⎫－π10 B ．sin 3>sin 2 C ．sin 75π>sin ⎝⎛⎭⎫－25π D ．sin 2>cos 1[考点] 正弦、余弦函数的单调性[题点] 正弦函数单调性的应用[答案] D[解析] ∵sin 2＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2＝cos ⎝⎛⎭⎫2－π2， 且0<2－π2<1<π，∴cos ⎝⎛⎭⎫2－π2>cos 1， 即sin 2>cos 1.故选D.4．函数y ＝3－2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递减区间是( ) A.⎝⎛⎭⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) B.⎝⎛⎭⎫k π－π3，k π＋π6(k ∈Z ) C.⎝⎛⎭⎫2k π＋π3，2k π＋4π3(k ∈Z ) D.⎝⎛⎭⎫2k π－π3，2k π＋π6(k ∈Z ) [考点] 正弦、余弦函数的单调性[题点] 正弦、余弦函数单调性的应用[答案] B[解析] 函数y ＝3－2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递减区间， 即函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间． 令2k π－π≤2x －π3≤2k π，k ∈Z ， 解得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ， 所以原函数的单调减区间为⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z . 综合所给的选项，可知选B.5．(2018·河南林州第一中学高二期末)函数y ＝|sin x |的一个单调递增区间是( ) A.⎝⎛⎭⎫π2，πB ．(π，2π) C.⎝⎛⎭⎫π，3π2 D ．(0，π)[考点] 正弦、余弦函数的单调性[题点] 正弦、余弦函数单调性的判断[答案] C[解析] 作出函数y ＝|sin x |的图象，如图，观察图象可知C 正确．6．已知函数f (x )＝f (π－x )，且当x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2时，f (x )＝x ＋sin x ．设a ＝f (1)，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则( )A ．a <b <cB ．b <c <aC ．c <b <aD ．c <a <b[考点] 正弦、余弦函数性质的综合应用[题点] 正弦、余弦函数单调性的判断、应用[答案] D[解析] 由已知函数f (x )在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上是增函数． 因为π－2∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，π－3∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，π－3<1<π－2， 所以f (π－3)<f (1)<f (π－2)，即f (3)<f (1)<f (2)，c <a <b .7．有以下说法：①y ＝sin x 的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤2k π，2k π＋π2(k ∈Z )； ②在第二象限内，y ＝sin x 是减函数，y ＝cos x 也是减函数；③y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是增函数． 其中正确说法的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．0[考点] 正弦、余弦函数的单调性[题点] 正弦、余弦函数的单调性判断[答案] A[解析] ①y ＝sin x 的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )，①错误． ②正弦、余弦函数的单调性是对于某一区间来说的，与所在象限无关，②错误．③正确．故选A.二、填空题8．(2018·江西上高第二中学高二期末)函数值sin3π5，sin 4π5，sin 9π10从大到小的排列顺序为________．[考点] 正弦、余弦函数的单调性[题点] 正弦、余弦函数单调性的应用[答案] sin 3π5>sin 4π5>sin 9π10 [解析] ∵π2<3π5<4π5<9π10<π， 函数y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤π2，π上单调递减，∴sin 3π5>sin 4π5>sin 9π10. 9．如果函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋32＋a 在区间⎣⎡⎦⎤－π3，5π6上的最小值为3，则a 的值为________． [考点] 正弦、余弦函数的最大值、最小值[题点] 正弦函数的最大、小值[答案] 3＋12[解析] 由x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，5π6，得x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤0，7π6. 当x ＋π3＝7π6时，f (x )min ＝－12＋32＋a ＝3， 所以a ＝3＋12. 10．(2018·唐山高一检测)定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x )＝f (x ＋2)，当x ∈[3,4]时，f (x )＝x －2，则有下面三个式子：①f ⎝⎛⎭⎫sin 12<f ⎝⎛⎭⎫cos 12； ②f ⎝⎛⎭⎫sin π3<f ⎝⎛⎭⎫cos π3； ③f (sin 1)<f (cos 1)．其中一定成立的序号是________．[考点] 正弦、余弦函数性质的综合应用[题点] 正弦、余弦函数性质的综合应用[答案] ②③[解析] 因为f (x )＝f (x ＋2)，所以f (x )是周期为2的函数．当x ∈[－1,0]时，x ＋4∈[3,4]，所以f (x ＋4)＝x ＋4－2＝x ＋2.所以f (x )＝f (x ＋4)＝x ＋2.当x ∈[0,1]时，－x ∈[－1,0]，f (－x )＝－x ＋2，又f (x )为偶函数，所以f (x )＝f (－x )＝－x ＋2，所以f (x )在[0,1]上为减函数．因为12<π4<1<π3<π2， 所以0<sin 12<cos 12<1,1>sin π3>cos π3>0， 1>sin 1>cos 1>0，所以f ⎝⎛⎭⎫sin 12>f ⎝⎛⎭⎫cos 12，f ⎝⎛⎭⎫sin π3<f ⎝⎛⎭⎫cos π3. f (sin 1)<f (cos 1)．三、解答题11．函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为⎣⎡⎦⎤－1，12，求b －a 的最大值与最小值之和． [考点] 正弦、余弦函数的最大、小值[题点] 正弦函数的最大值与最小值解 作出y ＝sin x 的一个简图，如图所示，∵函数的值域为⎣⎡⎦⎤－1，12， 且sin π6＝sin 5π6＝12，sin 3π2＝－1， ∴定义域[a ，b ]中，b －a 的最小值为3π2－5π6＝2π3， 定义域[a ，b ]中，b －a 的最大值为2π＋π6－5π6＝4π3，故可得，最大值与最小值之和为2π.12．求函数f (x )＝sin 2x －4sin x ＋5的值域．[考点] 正弦、余弦函数定义域、值域[题点] 正弦、余弦函数的值域解 设t ＝sin x ，则|t |≤1，f (x )＝g (t )＝t 2－4t ＋5(－1≤t ≤1)，g (t )＝t 2－4t ＋5的对称轴为t ＝2.因为g (t )的图象开口向上，对称轴t ＝2在区间[－1,1]右侧．所以g (t )在[－1,1]上是单调递减的，所以g (t )max ＝g (－1)＝(－1)2－4×(－1)＋5＝10，g (t )min ＝g (1)＝12－4×1＋5＝2，即g (t )∈[2,10]．所以函数f (x )的值域为[2,10]．13．(2018·河南洛阳高二期末)已知f (x )＝－sin 2x ＋sin x ＋a .(1)当f (x )＝0有实数解时，求实数a 的取值范围；(2)若对x ∈R ，恒有1≤f (x )≤174，求实数a 的取值范围． [考点] 正弦、余弦函数的定义域、值域[题点] 正弦、余弦函数的值域解 (1)由f (x )＝0，得a ＝sin 2x －sin x ＝⎝⎛⎭⎫sin x －122－14. 当sin x ＝－1时，a max ＝2；当sin x ＝12时，a min ＝－14. ∴实数a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－14，2. (2)由1≤f (x )≤174，得1≤－sin 2x ＋sin x ＋a ≤174， 即a ≤sin 2x －sin x ＋174，且a ≥sin 2x －sin x ＋1对x ∈R 恒成立．由sin 2x －sin x ＋174＝⎝⎛⎭⎫sin x －122＋4≥4，得a ≤4. 由sin 2x －sin x ＋1＝⎝⎛⎭⎫sin x －122＋34≤3，得a ≥3. 故3≤a ≤4，∴实数a 的取值范围为[3,4]．14．已知奇函数f (x )在[－1,0]上单调递减，α，β为锐角三角形两内角，则( )A ．f (cos α)>f (cos β)B ．f (sin α)>f (sin β)C ．f (sin α)>f (cos β)D ．f (sin α)<f (cos β)[考点] 正弦、余弦函数的单调性[题点] 正弦、余弦函数单调性的应用[答案] D[解析] 由题意，得α＋β>π2，∴π2>α>π2－β>0， ∴sin α>sin ⎝⎛⎭⎫π2－β，即1>sin α>cos β>0，∴－1<－sin α<－cos β<0.∵奇函数f (x )在[－1,0]上单调递减，∴f (－sin α)>f (－cos β)，∴－f (sin α)>－f (cos β)，∴f (sin α)<f (cos β)．15．已知函数f (x )＝a sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋b (a >0)．当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )的最大值为3，最小值是－2，求a 和b 的值．[考点] 正弦、余弦函数的最大、小值[题点] 正弦函数的最大、小值解 ∵0≤x ≤π2，∴－π3≤2x －π3≤2π3， ∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤1， 又a >0，∴f (x )max ＝a ＋b ＝3， f (x )min ＝－32a ＋b ＝－2. 由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝3，－32a ＋b ＝－2，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝－2＋ 3.。
