高等数学ⅱ(专科类)_第一阶段练习
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大专大一高数试题及答案一、选择题(每题5分,共20分)1. 函数f(x)=x^2-4x+3的零点是:A. 1B. -1C. 3D. 1和3答案:D2. 极限lim(x→2) (x^2-4)/(x-2)的值是:A. 0B. 4C. 8D. 不存在答案:C3. 以下哪个函数是奇函数:A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = xD. f(x) = -x答案:B4. 曲线y=x^3在点(1,1)处的切线斜率是:A. 0B. 1C. 3D. 27答案:C二、填空题(每题5分,共20分)1. 微分dy=f'(x)dx表示函数y=f(x)在x处的变化量是______。
答案:f'(x)dx2. 函数y=x^2+1的导数是______。
答案:2x3. 定积分∫(0,1) x^2 dx的值是______。
答案:1/34. 函数y=ln(x)的不定积分是______。
答案:xln(x) - x + C三、解答题(每题10分,共60分)1. 求函数y=x^3-6x^2+9x+1的极值点。
答案:首先求导数:y'=3x^2-12x+9令y'=0,解得x=1或x=3。
检查二阶导数:y''=6x-12当x=1时,y''=-6<0,所以x=1是极大值点。
当x=3时,y''=6>0,所以x=3是极小值点。
2. 求曲线y=x^2与直线y=2x-1的交点坐标。
答案:联立方程组:\begin{cases}y = x^2 \\y = 2x - 1\end{cases}解得x^2=2x-1,即x^2-2x+1=0,解得x=1。
将x=1代入任一方程得y=1。
因此交点坐标为(1, 1)。
3. 计算定积分∫(0,2) (2x+3) dx。
答案:∫(0,2) (2x+3) dx = [x^2 + 3x](0,2) = (2^2 + 3*2) - (0^2 + 3*0) = 4 + 6 = 10。
高等数学练习题专科一、单项选择题(每题2分,共10题)1. 函数f(x)=x^2+3x-4的零点个数是:A. 0B. 1C. 2D. 32. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值是:A. 0B. 1C. -1D. 23. 以下哪个函数是偶函数?A. f(x) = x^3B. f(x) = x^2C. f(x) = xD. f(x) = x^4 + x^24. 积分∫(0到1) x^2 dx的值是:A. 1/3B. 1/2C. 1D. 25. 以下哪个级数是收敛的?A. 1 + 1/2 + 1/4 + ...B. 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...C. 1 + 2 + 3 + ...D. 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...二、填空题(每题3分,共5题)1. 函数f(x)=2x-3的反函数是_________。
2. 函数y=x^3-3x+2的导数是_________。
3. 曲线y=x^2+2x-3在x=1处的切线斜率是_________。
4. 极限lim(x→∞) (1/x)的值是_________。
5. 积分∫(-1到1) (x^2+1) dx的值是_________。
三、计算题(每题10分,共3题)1. 计算定积分∫(0到2) (x^2-2x+1) dx。
2. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值点。
3. 证明函数f(x)=x^2在区间(0, +∞)上是增函数。
四、证明题(每题15分,共1题)1. 证明函数f(x)=x^3在区间(-∞, +∞)上是连续的。
五、应用题(每题20分,共1题)1. 一个物体从高度为100米的塔上自由落下,忽略空气阻力,求物体落地时的速度。
大一专科高等数学教材习题本文基于大一专科高等数学教材,针对其中的习题进行探讨和解答。
我们将以“问题+解答”的形式来展开讨论,从而全面覆盖各个章节的习题内容。
希望通过本文的阅读,能够给大家带来对高等数学习题的更深入理解和掌握。
1. 导数和微分1.1 问题:求函数f(x)=3x²-2x+1的导数。
解答:根据导数的定义,我们可以分别对函数中的各项进行求导。
对于3x²,其导数为6x;对于-2x,其导数为-2;对于常数1,它的导数为0。
因此,函数f(x)的导数为f'(x) = 6x - 2。
1.2 问题:求函数f(x)=√x的微分。
解答:首先,我们需要将函数f(x)写成指数形式,即f(x) = x^(1/2)。
根据微分的定义,微分df(x)可以通过导数f'(x)乘以dx来表示。
因此,对于函数f(x)=√x,它的微分df(x) = (1/2)x^(-1/2)dx = (1/2√x)dx。
2. 曲线的切线与法线2.1 问题:求曲线y=x³+2x的一条切线方程,并求此切线与曲线的交点。
解答:要求曲线的切线方程,首先需要求出曲线在某一点的斜率。
根据导数的定义,我们对函数y=x³+2x进行求导得到y'=3x²+2。
切线的斜率即为该点的导数值。
假设所求切线经过点(x0, y0),那么其斜率为f'(x0) = 3x0²+2。
接下来,我们可以根据切线的斜率和经过的点(x0, y0)来建立切线方程。
切线方程的一般形式为y-y0 = k(x-x0),其中k为斜率。
代入切线的斜率和点的坐标,我们得到切线方程为y-(x0³+2x0) = (3x0²+2)(x-x0)。
为了求出切线与曲线的交点,我们可以将切线方程中的y替换为曲线方程中的y,并解方程组y=x³+2x和y-(x0³+2x0) = (3x0²+2)(x-x0)。
专科起点升本科《高等数学(二)》入学考试题库(共180题)1.函数、极限和连续(53题)1.1函数(8题) 1.1.1函数定义域 1.函数lgarcsin 23x xy x =+-的定义域是( )。
A A. [3,0)(2,3]-; B. [3,3]-; C. [3,0)(1,3]-; D. [2,0)(1,2)-.2.如果函数()f x 的定义域是1[2,]3-,则1()f x的定义域是( )。
DA. 1[,3]2-; B. 1[,0)[3,)2-⋃+∞; C. 1[,0)(0,3]2-⋃; D. 1(,][3,)2-∞-⋃+∞.3. 如果函数()f x 的定义域是[2,2]-,则2(log )f x 的定义域是( )。
B A. 1[,0)(0,4]4-; B. 1[,4]4; C. 1[,0)(0,2]2- ; D. 1[,2]2. 4.如果函数()f x 的定义域是[2,2]-,则3(log )f x 的定义域是( ).DA . 1[,0)(0,3]3-⋃;B . 1[,3]3;C . 1[,0)(0,9]9-⋃ ;D . 1[,9]9.5.如果)(x f 的定义域是[0,1],则(arcsin )f x 的定义域是( )。
CA. [0,1];B. 1[0,]2; C. [0,]2π ; D. [0,]π. 1.1.2函数关系6.设()()22221,1x f x x x xϕϕ+⎡⎤==⎣⎦-,则()f x =( ).A A .211x x +-; B. 211x x -+; C. 121x x -+; D. 121x x +-. 7.函数331xx y =+的反函数y =( )。
BA .3log ()1x x +; B. 3log ()1x x -; C. 3log ()1x x -; D. 31log ()x x-.8.如果2sin (cos )cos 2xf x x=,则()f x =( ).CA .22121x x +-; B. 22121x x -+; C. 22121x x --; D. 22121x x ++.1.2极限(37题) 1.2.1数列的极限9.极限123lim ()2n n nn →+∞++++-=( ).BA .1; B. 12; C. 13; D. ∞.10.极限2123lim 2n nn→∞++++=( ).A A .14; B. 14-; C. 15; D. 15-11.极限111lim 1223(1)n n n →∞⎛⎫+++=⎪⋅⋅+⎝⎭( ).CA .-1; B. 0; C. 1; D. ∞.12.极限221111(1)222lim1111333n nn n→+∞-+++-=++++( ).A A .49;B. 49-;C. 94;D. 94-1.2.2函数的极限13.极限limx x→∞=( ).CA .12; B. 12-; C. 1; D. 1-. 14.极限0x →=( ).A A.12; B. 12-; C. 2; D. 2-. 15.极限0x →=( ).BA. 32-; B. 32 ; C. 12- ; D. 12. 16.极限1x →=( ).CA. -2 ;B. 0 ;C. 1 ;D. 2 .17.极限4x →=( ).BA .43-; B. 43; C. 34-; D. 34. 18.极限x →∞= ( ).DA .∞; B. 2; C. 1; D. 0.19.极限2256lim2x x x x →-+=- ( ).D A .∞; B. 0; C. 1; D. -1.20.极限3221lim 53x x x x →-=-+ ( ).A A .73-; B. 73; C. 13; D. 13-. 21.极限2231lim 254x x x x →∞-=-+ ( ).C A .∞; B.23; C. 32; D. 34. 22.极限sin limx xx→∞=( ).BA .1-; B. 0; C. 1; D. 2.23.极限01lim sinx x x→=( ).B A .1-; B. 0; C. 1; D. 2.24.极限02sin 1limxx tdt t x →-=⎰( ).BA .12; B. 12-; C. 13; D. 13-.25.若232lim 43x x x kx →-+=-,则k =( ).AA .3-; B. 3; C. 13-; D. 13. 26.极限2323lim 31x x x x →∞++=- ( ).B A .∞; B. 0; C. 1; D. -1.1.2.3无穷小量与无穷大量27.当0x →时,2ln(12)x +与2x 比较是( )。
《大学数学》(高起专)学习中心:专业:学号:姓名:完成时间:第一章函数作业(练习一)一、填空题1.函数x x x f -+-=5)2ln(1)(的定义域是 。
2.函数392--=x x y 的定义域为 。
3.已知1)1(2+=-x e f x,则)(x f 的定义域为4.函数1142-+-=x x y 的定义域是 .5.若函数52)1(2-+=+x x x f ,则=)(x f .二、单项选择题1. 若函数)(x f y =的定义域是[0,1],则)(ln x f 的定义域是( ) .A . ),0(∞+B . ),1[∞+C . ]e ,1[D . ]1,0[2. 函数x y πsin ln =的值域是)(.A . ]1,1[-B . ]1,0[C . )0,(-∞D . ]0,(-∞3.设函数f x ()的定义域是全体实数,则函数)()(x f x f -⋅是( ). A.单调减函数; B.有界函数;C.偶函数;D.周期函数4.函数)1,0(11)(≠>+-=a a a a x x f xx ( ) A.是奇函数; B. 是偶函数;C.既奇函数又是偶函数;D.是非奇非偶函数。
5.若函数221)1(xx xx f +=+,则=)(x f ( ) A.2x ; B. 22-x ; C.2)1(-x ; D. 12-x 。
6.设1)(+=x x f ,则)1)((+x f f =( ).A . xB .x + 1C .x + 2D .x + 37. 下列函数中,( )不是基本初等函数.A . xy )e1(= B . 2ln x y = C . xxy cos sin =D . 35x y =8.设函数⎩⎨⎧>≤=0,00,cos )(x x x x f ,则)4(π-f =().A .)4(π-f =)4(πf B .)2()0(πf f =C .)2()0(π-=f fD .)4(πf =229. 若函数1)e (+=x f x,则)(x f = ( ) .A . 1e +xB . 1+xC . 1ln +xD . )1ln(+x10. 下列函数中=y ( )是偶函数.A . )(x fB . )(x fC . )(2x f D . )()(x f x f --三、解答题 1.设⎩⎨⎧<<≤≤=e1ln 10)(x x x xx f ,求:(1) )(x f 的定义域; (2) )0(f ,)1(f ,)2(f 。
江南大学现代远程教育 第一阶段练习题考试科目:《高等数学》高起专 第一章至第二章(总分100分) __________学习中心(教学点) 批次: 层次: 专业: 学号: 身份证号: 姓名: 得分:一.选择题 (每题4分,共20分)1. 函数y = 的定义域是 ( ). (a) (2,6)- (b) (2,6] (c)[2,6) (d)[2,6]-2. 设11f x x=-(), 则(())f f x = ( ) (a) 1x x - (b) 12x - (c) 1x - (d) 1x x - 3. 10lim(12)xx x →- (a) e (b) 1 (c) 2e - (d) ∞ 4. 220lim (2)x x sin x → (a)12 (b) 13 (c) 1 (d) 145. 在 0x → 时, sin x x - 是关于 x 的 ( ) (a) 低阶无穷小量 (b) 等价无穷小量 (c) 高阶无穷小量 (d) 同阶但不等价无穷小量二.填空题(每题4分,共28分)6. 设2(1)3f x x x -=++, 则 ()f x =___________.7. 函数()f x = 的定义域是__________8. 若(31)1x f x +=+, 则()f x =__________ . 9. 2sin(2)lim 2x x x →--=_____. 10. 设1,0,()5,0,1tan ,0x x f x x x x -<⎧⎪==⎨⎪+>⎩, 则 0lim ()x f x +→=_______. 11. 4lim(1)xx x →∞-=_____. 12. 3232lim 35x x x x x →∞+--+=_____.三.解答题(满分52分)13. 求 45lim()46x x x x →∞--. 14. 求02lim tan 3x x→. 15. 求 2sin lim 24cos x x x x x→∞-+. 16. 求22lim 2x x x →-+-. 17. 求 123lim 24n n n +→∞-+. 18. 设函数22cos ,0()2,0ln(14)a x x x f x x x x +-≤⎧⎪=⎨>⎪+⎩, 在 0x = 处极限存在, 求 a 的值。
第一章(函数)之内容方法函数是数学中最重要的基本概念之一。
它是现实世界中量与量之间的依赖关系在数学中的反映,也是高等数学的主要研究对象。
本章主要阐明函数的概念,函数的几个简单性态,反函数,复合函数,初等函数及函数关系的建立等。
重点是函数的概念与初等函数,难点是复合函数。
1-2 函数的概念函数的定义:y=f(x)(x∈D),其中x是自变量,f为对应法则,y为因变量,D是定义域。
∀(对任意)x∈D,∃!(有唯一)y与x对应。
y所对应的取值范围称为函数的值域。
当自变量x取平面的点时,即x=(x1,x2)时,f(x)是二元函数;当x取空间中的点x=(x1,x2,x3)时,f(x)是三元函数。
函数的表示法主要有两种。
其一是解析法,即用代数式表达函数的方法。
例如y=f(x)=e x,符号函数,其中后者是分段函数。
其二是图示法。
如一元函数可表示为平面上的一条曲线,二元函数可表示为空间中的一张曲面等。
给定一个函数y=f(x),则会求函数的定义域,值域,特殊点的函数值等是最基本的要求。
应综合考虑分母不能为0,偶次根式中的表达式应大于等于0,对数函数的真数应大于0等情形。
1-3 函数的简单性态1.单调性:称函数f(x)在区间I(含于定义域内)单调增,若∀x1,x2∈I,当x1<x2时f(x1)≤f(x2);称函数在区间I(含于定义域内)单调减,若∀x1,x2∈I,当x1<x2时f(x1)≥f(x2).单调增函数和单调减函数统称为单调函数,I称为单调区间。
判断一个函数f(x)在区间I是否为单调函数,可用单调性的定义或者用第四章中函数在I中的导数的符号。
2.奇偶性:设函数f(x)的定义域D关于原点对称。
如果∀x∈D,有f(-x)=f(x),则称f(x)为偶函数;如果∀x∈D,有f(-x) = -f(x),则称f(x)为奇函数。
判断一个函数的奇偶性时一般用定义。
在几何上,偶函数的图像关于y轴对称,而奇函数的图像关于原点对称。
江南大学现代远程教育 第一阶段练习题一、选择题 (每题4分,共20分)1. 函数y =的定义域是 ( a ). (a) (2,6)- (b) (2,6] (c)[2,6) (d)[2,6]- 2. 10lim(13)xx x →+ c(a)e (b) 1 (c) 3e (d) ∞3. 要使函数()f x =0x =处连续, 应给(0)f 补充定义的数值是( d ).(a) 1 (b) 2 (c) (d)4. 设 sin 3x y -=, 则 y ' 等于 ( b ).(a)sin 3(ln3)cos x x - (b) sin 3(ln3)cos x x -- (c) sin 3cos xx -- (d) sin 3(ln3)sin x x -- 5. 设函数 ()f x 在点 0x 处可导, 则 000(3)()limh f x h f x h→+-等于 ( b ).(a) 03()f x '- (b) 03()f x ' (c) 02()f x '- (d) 02()f x '二.填空题(每题4分,共28分)6. 设 2(1)3f x x x -=++, 则 ()f x =__x2+3x+5________. 7. 2sin(2)lim2x x x →-++=___1__.8. 设 1,0,()5,0,1,0x x f x x x x -<⎧⎪==⎨⎪+>⎩, 则 0lim ()x f x +→=____1___. 9. 设 ,0(),2,0x e x f x a x x -⎧≤=⎨+>⎩ 在点 0x = 处连续, 则常数 a =___0.5___10. 曲线 54y x-= 在点 (1,1) 处的法线方程为__y=(4/5)x+1/5__11. 由方程 2250xyx y e -+=确定隐函数 ()y y x =, 则 y '=_2xy 22e y +2y -2xyx ()__ 12. 设函数 2()ln(2)f x x x =, 则 (1)f ''=__3+2ln 2__三. 解答题(满分52分)13. 求 45lim()46xx x x →∞--. 解答:463142411lim (1+).lim (1+)4x-64x-6x x x e -→∞→∞=14. 求x →.解答:1201(21)12lim 3cos 6x x x -→+== 15. 确定A 的值, 使函数 62cos ,0(),tan ,0sin 2x e x x f x Ax x x -⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩ 在点 0x = 处连续。
我的作业列表- 《高等数学(理)》专科第一次作业答案欢迎你,你的得分:92.0完成日期:2014年05月30日09点46分说明:每道小题括号里的答案是您最高分那次所选的答案,标准答案将在本次作业结束(即2014年09月11日)后显示在题目旁边。
一、单项选择题。
本大题共25个小题,每小题 4.0 分,共100.0分。
在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.( B )A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.以上均不对2.( A )A.AB.BC.CD.D3.( B )A.0B.1C.2D.34.( D )A.-1B.0C.1D.不存在5.( B )A.有一条渐近线B.有二条渐近线C.有三条渐近线D.无渐近线6.( C )A.AB.BC.CD.D7.( C )A.AB.BC.CD.D8.( C )B.BC.CD.D9.( D )A.AB.BC.CD.D10.( C )A.AB.BC.CD.D11.( C )A.AB.BC.CD.D12.( B )A.AB.BD.D13.( D )A.AB.BC.CD.D14.( D )A.AB.BC.CD.D15.( C )A.AB.BC.CD.D16.( B )A.AC.CD.D17.( B )A.AB.BC.CD.D18.( B )A.0B.1C.2D.319.( D )A.AB.BC.CD.D20.( C )B.BC.CD.D21.( B )A.AB.BC.CD.D22.( B )A.AB.BC.CD.D23.( A )A.AB.BC.CD.D24.( B )B.BC.CD.D25.( A )A.AB.BC.CD.D。
江南大学现代远程教育 第一阶段练习题
考试科目:《高等数学》高起专(总分100分) __________学习中心(教学点) 批次: 层次: 专业: 学号: 身份证号: 姓名: 得分:
一.选择题 (每题4分)
1. 函数
y = 的定义域是 ( A). (a) (4,8)- (b) (4,8] (c)[4,8) (d)[4,8]-
2. 设12f x x
=
-(), 则(())f f x = ( D ) (a) 2x x - (b) 12x - (c) 1x - (d) 232x x -- 3. 10
lim(16)x
x x →-=(C) (a) e (b) 1 (c) 6e - (d) ∞ 4. 2
20lim tan(2)
x x x →=(A ) (a) 12 (b) 13 (c) 1 (d) 14
5. 在 0x → 时, sin x x - 是关于 2x 的 ( B)
(a) 低阶无穷小量 (b) 等价无穷小量 (c) 高阶无穷小量 (d) 同阶但不等价无穷小量
二.填空题(每题4分)
6. 设2
(1)f x x x -=-, 则 ()f x =__x 2+x_ .
7.
函数()f x = 的定义域是___(0,3)_ 8. 若(2)1x f x =-, 则()f x =log 2x-1_ . 9. 2tan(2)lim 2
x x x →--=__1___. 10. 设1,0,()5,0,1tan ,0x x f x x x x -<⎧⎪==⎨⎪+>⎩
, 则 0lim ()x f x -→= 1 11. 3lim(1)x
x x →∞-= e -3 12. 32
3lim 38
x x x x x →∞+-+=__1/3___ 三.解答题(满分52分)
13. 求 56lim()57
x x x x →∞--. 解:原式=51751
75757-x 5lim lim )7
511(lim e e e x x x x x x x x x ===-+-∞→-∞→-⋅∞→)( 14. 求
02lim sin 3x x
→. 解:原式=6
1342221lim 3242lim
00=+⋅=-+→→x x x x x 15. 求 8sin lim
29cos x x x x x
→∞-+. 原式=21cos 92sin 81lim =+-∞→x x x x x 16. 求
2lim x →-
解:令t=x+2,则x=t-2,t →0,
原式
1222231)22()3(lim )
22()3()22()22(lim 322lim 2)2()2(224lim 0
202020-=⨯-=++⋅-⋅=++⋅-++⋅-+=--+=--+---+=→→→→t t t t
t t t t t t t t t t t t t t t
17. 求 133lim 34
n n n +→∞-+. 解:原式=313
413331lim 11=+-++∞→n n n 18. 设函数2cos ,0()2,0ln(14)a x x x f x x x x +-≤⎧⎪=⎨>⎪+⎩
, 在 0x = 处极限存在, 求 a 的值。
解:因为)(x f 在 0x = 处极限存在,所以0x =处的左右极限均存在且相等, 因为2
142lim )41ln(2lim 00==++→+→x x x x x x , 所以2
1)cos 22(lim 0=-+-→x x a x , 即2120=
-+a ,所以25=a 。
19. 若 11lim 12
x x ax b →-=++, 试确定常数 ,a b 的关系。
解:由题意,易得1→x 时,1-x 与2++b ax 是等价无穷小,所以可得
02=++b a (*) 又由洛比达法则得11lim
1=→a
x ,所以可得1=a ,将其回代入(*)式,可得3-=b。