初三圆中常见的辅助线的

例谈圆中常见作辅助线的方法圆是初中几何局部的重要内容之一，与圆有关的大局部几何题型都需要添加辅助线来解决。

只要添上适宜的辅助线，不仅会使问题迎刃而解，而且还会有效地培养学生的解题能力与创造性思维能力。

通过对实践教学中的归纳与总结，发现添加辅助线的方法有很多，本文就圆中常见作辅助线的方法归纳如下：一、作弦心距（在与弦有关的计算或证明题时，常作辅助线的方法是作弦心距）例1：如图1，AB为O的直径，PQ切O于T，ACPQ于C，交O于D，AD=2，TC=.求O的半径。

解：过点O作OMAC于M，AM=MD=AD/2=1.PQ切O于T，OTPQ.又ACPQ，OMAC，∠OTC=∠ACT=∠OMC=90°，四边形OTCM为矩形.OM=TC=，在RtAOM中，.即O的半径为2.例2：如图2，已知在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C、D两点.求证：AC=BD.证明：过点O作OEAB于E，那么AE=BE，CE=DE，AECE=BEDE.AC=AECE，BD=BEDE.AC=BD.二、连半径（与半径和弦有关的简单计算、已知圆中有切线的有关计算和证明时，常作辅助线的方法是连半径）例3：如图3，O的直径CD=20cm，直线lCO，垂足为H，交O于A、B两点，AB=16 cm，直线l平移多少厘米时能于O相切？解：连接OA，lCO，OC平分ABAH=8cm.在RtAHO中，OH=6cm.CH=4cm，DH=16 cm.答：直线l向左平移4cm，或向右平移16cm时能于O相切。

例4：如图4，PA是O的切线，切点是A，过点A作AHOP于点H，交O于点B.求证：PB是O的切线.证明：连接OA、OB.PA是O的切线，∠OAP=90°.OA=OB，ABOP，∠AOP=∠BOP.又OA=OB，OP=OP，AOP≌BOP.∠OPB=∠OAP=90°.PB是O的切线.三、既作弦心距又连半径（与半径和弦都有关的计算时，常作辅助线的方法是既作弦心距又连半径，利用勾股定理来解决）例5：直径为52厘米的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图5，假设油最大深度为16厘米.那么油面宽度AB的长是多少厘米？解：连接OA，作OCAB于C，那么AC=BC=AB.在RtOAC中，OA=×52=26厘米，OC=2616=10厘米，AC=24厘米.AB=2AC=48厘米.四、连弦构造相似三角形或直角三角形（在圆中与弦或其他有关的计算或证明时，常作辅助线的方法是连弦，利用同弧所对的圆周角相等连弦构造相似三角形或利用直径所对的圆周角为直角这个性质连弦构造出直角三角形，从而将问题转化到相似三角形或直角三角形中去计算或证明）例6：已知，如图6，在半径为4的O中，AB，CD是两条直径，M为OB的中点，CM的延长线交O于点E，且EM>MC.连结DE，DE=.（1）求证：AM・MB=EM・MC；（2）求EM的长；（3）求sin∠EOB的值.解：（1）连接AC，EB，那么∠CAM=∠BEM.又∠AMC=∠EMB，AMC∽EMB.，即AM・MB=EM・MC.（2） DC为O的直径，∠DEC=90°，EC=OA=OB=4，M为OB的中点，AM=6，BM=2.设EM=x，那么CM=7x.代入（1），得6×2=x（7x）.解得x1=3，x2=4.但EM>MC，EM=4.（3）由（2）知，OE=EM=4，作EFOB于F，那么OF=MF=OB=1.在RtEOF中，sin∠EOB=.例7：如图7所示，ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB为直径的O交AC于点E，点D是BC边的中点，连结DE.（1）求证：DE与O相切；（2）假设O的半径为，DE=3，求AE.（1）证明：连结OE，BE，AB是直径，BEAC.D是BC的中点， DE=DB，∠DBE=∠DEB.又OE=OB，∠OBE=∠OEB，∠DBE+∠OBE=∠DBE+∠OEB.即∠ABD=∠OED.又∠ABC=90°，∠OED=90°，DE是O的切线.（2）解：，，.五、作直径构造直角三角形（在圆中牵涉到三角函数的运算或与直径的计算与证明时，常作辅助线的方法是作直径，利用直径所对的圆周角是直角构造直角三角形，从而将问题转化到直角三角形中去解决）例8：如图8，点A、B、C在O上（AC不过O点），假设∠ACB=60°，AB=6，求O半径的长。

小专题(八) 圆中常见辅助线的作法圆中常见辅助线的添加口诀及技巧半径与弦长计算，弦心距来中间站．圆上若有一切线，切点圆心半径连．要想证明是切线，半径垂线仔细辨．是直径，成半圆，想成直角径连弦．弧有中点圆心连，垂径定理要记全．圆周角边两条弦，直径和弦端点连．还要作个内切圆，内角平分线梦圆．三角形与扇形联姻，巧妙阴影部分算．一、连半径——构造等腰三角形1．如图，在⊙O中，AB为⊙O的弦，C，D是直线AB上的两点，且AC＝BD.求证：△OCD是等腰三角形．证明：连接OA，OB.∵OA，OB是⊙O的半径，∴OA＝OB.∴∠OAB＝∠OBA.∴∠OAC＝∠OBD.在△AOC和△BOD中，⎩⎪⎨⎪⎧OA＝OB，∠OAC＝∠OBD，AC＝BD，∴△AOC≌△BOD(SAS)．∴OC＝OD，即△OCD是等腰三角形．二、半径与弦长计算，弦心距来中间站在圆中，求弦长、半径或圆心到弦的距离时，常过圆心作弦的垂线段，再连接半径构成直角三角形，利用勾股定理进行计算．在弦长、弦心距、半径三个量中，已知任意两个可求另一个．2．如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1m，其中水面的宽AB为0.8m，求排水管内水的深度．解：过点O作OC⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，E，连接OA.OA＝0.5 m，AB＝0.8 m.∵OC⊥AB，∴AC＝BC＝0.4 m.在Rt△AOC中，OA 2＝AC 2＋OC 2，∴OC＝0.3 m，则CE＝0.3＋0.5＝0.8(m)．答：排水管内水的深度为0.8m.三、见到直径——构造直径所对的圆周角构造直径所对的圆周角，这是圆中常用的辅助线作法，可充分利用“半圆(或直径)所对的圆周角是直角”这一性质．3．如图，AB为⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E.∠ACD＝60°，∠ADC＝50°，求∠CEB的度数． 解：连接BD.∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.又∵∠ADC＝50°，∴∠CDB＝∠ADB－∠ADC＝40°.∵BC ︵＝BC ︵∴∠CDB＝∠CAB＝40°.∴∠CEB＝∠CAB＋∠ACD＝40°＋60°＝100°.四、有圆的切线时，常常连接圆心和切点得切线垂直于半径已知圆的切线时，常把切点与圆心连接起来，得半径与切线垂直，构造直角三角形，再利用直角三角形的有关性质解题．4．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于点F，切点为G，连接AG交CD于点K.求证：KE＝GE.证明：连接OG.∵FE切⊙O于点G，∴∠OGE＝90°.∴∠OGA＋∠AGE＝90°.∵CD⊥AB，∴∠OAK＋∠AKH＝90°.又∵∠AKH＝∠GKE，∴∠OAK＋∠GKE＝90°.∵OG＝OA，∴∠OGA＝∠OAG.∴∠KGE＝∠GKE.∴KE＝GE.五、“连半径证垂直”与“作垂直证半径”——判定直线与圆相切证明一条直线是圆的切线，当直线与圆有公共点时，只需“连半径、证垂直”即可；当已知条件中没有指出圆与直线有公共点时，常运用“d＝r”进行判断，辅助线的作法是过圆心作已知直线的垂线，证明垂线段的长等于半径．5．如图，点A，B，C分别是⊙O上的点，∠B＝60°，AC＝3，CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，且AP＝AC.求证：AP是⊙O的切线．证明：连接OA. ∵∠B＝60°，∴∠AOC＝2∠B＝120°.又∵OA＝OC，∴∠ACP＝∠CAO＝30°.∴∠AOP＝60°.又∵AC＝AP，∴∠P＝∠ACP＝30°.∴∠OAP＝90°.∴OA⊥AP.又∵OA为⊙O的半径，∴AP是⊙O的切线．6．如图，△ABC为等腰三角形，AB＝AC，O是底边BC的中点，⊙O与腰AB相切于点D，求证：AC与⊙O 相切．证明：连接OD，过点O作OE⊥AC于点E，则∠OEC＝90°.∵AB切⊙O于点D，∴OD⊥AB.∴∠ODB＝90°.∴∠ODB＝∠OEC.又∵O是BC的中点，∴OB＝OC.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∴△OBD≌△OCE(AAS)．∴OE＝OD，即OE是⊙O的半径．∴AC与⊙O相切．六、内切圆，连接内角平分线把梦圆利用内心与顶点的连线平分这个内角以及三角形的外角，同弧所对的圆周角相等进行角的转换．7．如图，在△ABC中，E是内心，AE的延长线交△ABC的外接圆于点D.求证：DE＝DB.证明：连接BE.∵E为△ABC的内心，∴∠ABE＝∠CBE，∠BAD＝∠DAC.∵∠DEB＝∠ABE＋∠BAD，∠DBE＝∠CBE＋∠DBC，而∠DBC＝∠DAC＝∠BAD，∴∠DEB＝∠DBE.∴DE＝DB.七、构造扇形与三角形，化不规则图形的面积为规则图形的面积通过等积替换化不规则图形为规则图形，在等积转化中，(1)可以根据平移、旋转或轴对称等图形变换；(2)可根据同底(等底)同高(等高)的三角形面积相等进行转化．8．如图，A是半径为2的⊙O外一点，OA＝4，AB是⊙O的切线，B为切点，弦BC∥OA，连接AC，求阴影部分的面积．解：连接OB，OC.∵BC∥OA，∴△OBC和△ABC同底等高． ∴S △ABC ＝S △OBC .∴S 阴影＝S 扇形OBC .∵AB是⊙O的切线，∴OB⊥AB. ∵OA＝4，OB＝2，∴∠AOB＝60°. ∵BC∥OA，∴∠AOB＝∠OBC＝60°. ∵OB＝OC，∴△OBC为等边三角形． ∴∠COB＝60°.∴S 阴影＝S 扇形OBC ＝60π×22360＝2π3.。

初三圆中常见的辅助线的性质有哪些？
1. 弦：初三圆中的弦是任何两个圆上的点之间的线段，且穿过圆心。

性质如下：
- 弦长相等的两条弦所对的圆心角相等。

- 圆心角相等的两条弦所对的弦长相等。

2. 切线：初三圆上的切线是与圆只有一个公共点的直线。

性质如下：
- 切线与半径垂直。

3. 弦切定理：在初三圆中，若一条弦和一条切线相交，那么两条弦所对的圆心角相等。

即切线所对的弦和切线相交处的弦所对的圆心角相等。

4. 弧：初三圆上的弧是两个点之间的曲线，也可以看成是圆周上两个点间的部分。

性质如下：
- 圆心角相等的两个弧的弧长相等。

5. 直径：初三圆的直径是通过圆心的一条弦，它同时也是圆的最长的弦，且是弦中最长的一条。

性质如下：
- 直径的中点是圆的圆心。

- 直径是其他弦的两倍长。

6. 弧切定理：在初三圆中，若一条切线和一条弧相交，那么切线所对的圆心角等于相交弧所对的弧度。

7. 径切定理：在初三圆中，若一条切线和一条直径相交，那么切线所对的圆心角等于90度。

以上是初三圆中常见辅助线的性质。

Note: This answer assumes the "初三圆" mentioned refers to a circle studied in the Chinese mathematics curriculum for students in their third year of junior high school.。

初三圆中常见的辅助线的长度如何确定？在初中数学中，圆是一个重要的几何概念之一。

而在对圆进行研究和作图的过程中，辅助线的使用是非常常见的。

辅助线可以帮助我们更好地理解和解决圆相关的问题。

本文将讨论在初三数学中常见的辅助线的长度如何确定的问题。

1. 连接圆心和圆上一点的线段当我们需要作图或解题时，通常会用到连接圆心和圆上一点的线段作为辅助线。

根据圆的性质，连接圆心和圆上一点的线段长度等于半径的长度。

因此，确定这种辅助线的长度只需要测量或知道圆的半径。

2. 连接圆上两点的线段在某些情况下，我们可能需要连接圆上的两个点来辅助作图或解题。

如果我们已知这两个点在圆上的位置，可以直接测量线段的长度来确定辅助线的长度。

3. 连接圆上一点和切线的线段当我们需要确定与圆相切的直线与圆的交点位置时，可以使用连接圆上一点和切线的线段作为辅助线。

根据圆的性质，切线和半径垂直相交，因此辅助线的长度等于圆的半径。

4. 划分圆上弧的等分点有时候我们需要将圆上的某个弧平均分成若干等分点，以便进行更准确的测量或计算。

在这种情况下，我们可以根据需要确定辅助线的长度来划分弧的等分点。

需要注意的是，确定辅助线的长度时，我们需要明确圆的相关信息，例如半径、圆心和圆上的点位置等。

在解题或作图过程中，根据题目或问题的要求，合理选择并确定辅助线的长度，可以帮助我们更好地理解和解决与圆相关的数学问题。

总结：- 连接圆心和圆上一点的线段长度等于圆的半径的长度。

- 连接圆上两点的线段的长度可以通过测量或知道两点的位置来确定。

- 连接圆上一点和切线的线段的长度等于圆的半径的长度。

- 划分圆上弧的等分点时，根据需要确定辅助线的长度。

希望本文能对你理解初三圆中常见的辅助线的长度确定问题有所帮助。

中考数学圆的辅助线在平面几何中，与圆有关的许多题目需要添加辅助线来解决。

百思不得其解的题目，添上合适的辅助线，问题就会迎刃而解，思路畅通，从而有效地培养学生的创造性思维。

添加辅助线的方法有很多，本文只通过分析探索归纳几种圆中常见的辅助线的作法。

下面以几道题目为例加以说明。

1.有弦，可作弦心距在解决与弦、弧有关的问题时，常常需要作出弦心距、半径等辅助线，以便应用于垂径定理和勾股定理解决问题。

例1 如图1, ⊙O 的弦AB 、CD 相交于点P ， 且AC=BD 。

求证：PO 平分∠APD 。

分析1：由等弦AC=BD 可得出等弧 = 进一步得出 = ，从而可证等弦AB=CD ，由同圆中 等弦上的弦心距相等且分别垂直于它们所对应的弦，因此可作辅助线OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，易证△OPE ≌△OPF ，得出PO 平分∠APD 。

证法1：作OE ⊥AB 于E ，OF ⊥CD 于FAC=BD => = => ==> AB=CD => OE=OF∠OEP=∠OFP=90° => △OPE ≌△OPF0OP=OP=>∠OPE=∠OPF => PO 平分∠APD 分析2：如图1-1，欲证PO 平分∠APD ，即证AB(BD ， (CD (D 图 1AC(AC (BD (AB (CD(∠OPA=∠OPD ，可把∠OPA 与∠OPD 构造在两个 三角形中，证三角形全等，于是不妨作辅助线即半径OA ，OD ，因此易证△ACP ≌△DBP ，得AP=DP ，从而易证△OPA ≌△OPD 。

证法2：连结OA ，OD 。

∠CAP=∠BDP∠APC=∠DPB =>△ACP ≌△DBP AC=BD=>AP=DPOA=OD =>△OPA ≌△OPD =>∠OPA=∠OPD =>PO 平分∠APD OP=OP2.有直径，可作直径上的圆周角对于关系到直径的有关问题时，可作直径上的圆周角，以便利用直径所对的圆周角是直角这个性质。

圆中常见作辅助线的方法一．遇到弦时（解决有关弦的问题时）1.常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦端点的半径。

作用：①利用垂径定理；②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系； ③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。

2.常常连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。

作用：①可得等腰三角形； ②据圆周角的性质可得相等的圆周角。

(1)作弦心距 例1 如图1，AB 为⊙Ｏ的直径，PQ 切⊙Ｏ于T ，AC ⊥PQ 于C ，交⊙Ｏ于D ，AD=2，TC=3.求⊙Ｏ的半径。

(2)连半径例2 如图2，⊙O 的直径CD=20cm ，直线l ⊥CO ，垂足为H ，交⊙O 于A 、B 两点，AB=16 cm ，直线l 平移多少厘米时能于⊙O 相切？二．遇到有切线时（1）常常添加过切点的半径（连结圆心和切点）作用：利用切线的性质定理可得OA ⊥AB ，得到直角或直角三角形。

（2）常常添加连结圆上一点和切点作用：可构成弦切角，从而利用弦切角定理。

例3 （荆州市）如图3，AB 是⊙O 的直径，P 是AB 延长线上一点，PD 切⊙O 于点C ，BC 和AD 的延长线相交于点E ，且AD ⊥PD ，求证：AB=AE 。

图3例4（2012湖北孝感）如图，AB 是⊙O 的直径，AM 、BN 分别与⊙O 相切于点A 、B ，CD交AM 、BN 于点D 、C ，DO 平分∠ADC ． (1)求证：CD 是⊙O 的切线；(2)若AD ＝4，BC ＝9，求⊙O 的半径R ．图1AB D O MC ·H A B l图2DO例5 （2011四川绵阳）如图，在梯形ABCD 中，AB //CD ，∠BAD =90°，以AD 为直径的半圆O 与BC 相切.(1)求证：OB 丄OC ;(2)若AD = 12，∠ BCD =60°，⊙O 1与半⊙O 外切，并与BC 、CD 相切，求⊙O 1的面积.三、既作弦心距又连半径（与半径和弦都有关的计算时，常作辅助线的方法是既作弦心距又连半径，利用勾股定理来解决）例6 直径为52厘米的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图5，若油最大深度为16厘米.那么油面宽度AB 的长是多少厘米？四、遇到有直径时常常添加（画）直径所对的圆周角。

初三圆中常见的辅助线的相关定理有哪些？
圆是初中数学中常见的几何图形之一。

在圆的研究中，我们会
遇到一些辅助线。

辅助线可以帮助我们理解圆的性质和解决相关问题。

下面是初三圆中常见的辅助线的相关定理：
1. 中垂线定理
如果两条线段的中点连线垂直于这两条线段，则这两条线段的
中点连线是它们的中垂线，并且中垂线会经过圆心。

2. 弦的垂直定理
如果一条弦上的两个弧所对应的圆心角相等（或为180度），
则此弦为这两个弧的弦的垂直平分线。

3. 弦长定理
如果两条弦在圆上的弦长相等，则它们所对应的圆心角相等。

4. 切线垂直弦定理
切线和半径的垂直性定理：切线与过切点的半径垂直。

5. 切割弦定理
切线和弦的切割定理：当一条切线和一条弦相交时，它们所夹的弧所对应的圆心角相等。

这些定理在解决圆相关问题时具有重要的作用。

通过应用这些辅助线的相关定理，我们可以更好地理解圆的性质，推导出其他定理，并解决一些与圆相关的几何问题。

以上是初三圆中常见的辅助线的相关定理。

希望对你有帮助！。

初三圆中常见的辅助线的用途是什么？
辅助线在初三圆中起到了多种重要的作用。

1. 判断位置：辅助线可以帮助我们准确地确定圆的中心位置。

通过连接圆上不同点与圆心的辅助线，我们可以找到准确的圆心位置，并据此绘制图形或计算圆的相关属性。

2. 测量长度：辅助线可以用来测量圆上的弧长或弧度。

通过将
辅助线沿着圆周延伸，我们可以得到弧长或弧度的值，从而进行进
一步计算和比较。

3. 作为参考线：辅助线可以作为绘制其他几何图形时的参考线。

例如，在初三圆中，我们可以使用辅助线来绘制直径、半径、切线
等其他图形，在绘制过程中能够更加精确地确定位置和尺寸。

4. 视觉辅助：辅助线可以帮助我们获得更直观的视觉效果。

在
初三圆中，我们可以使用辅助线来描绘圆的形状、方向和对称性，
使图形更加清晰易懂。

总的来说，初三圆中常见的辅助线具有判断位置、测量长度、作为参考线和提供视觉辅助等多种用途。

理解和应用这些辅助线将有助于我们更好地理解和利用圆的性质和特点。

CM O N 圆中常作哪些辅助线?通过作辅助线能使复杂问题简单化，圆问题中常用的辅助线是哪些呢？现把一些规律总结如下：弦与弦心距，密切紧相连. 直径对直角，圆心作半径. 已知有两圆，常画连心线. 遇到相交圆，连接公共弦. 遇到相切圆，作条公切线. “有点连圆心，无点作垂线.” 切线证明法，规律记心间.一、作弦心距.在解决有关弦的问题时，常常作弦心距，以利用垂经定理或圆心角、弦、弦心距之间的关系定理及推论.因此“弦与弦心距，密切紧相连.”.例 1.如图，ＡＢ是⊙O 的直径,PO⊥AB 交⊙O 于 P 点，弦 PN 与 AB 相交于点 M，求P证：PM•PN=2PO2.1分析：要证明PM•P N=2PO²，即证明PM•PN =POA B2²，1过 O 点作 OC⊥PN 于 C，根据垂经定理PN =PC，只需证明2。

⨯。

∆PMOPM•PC=PO²，由PO = P M，“三点定型”法可判断需证明 Rt△POC∽Rt△PMO.。

⨯ ∆POCPC PO1证明: 过圆心 O 作 OC⊥PN 于 C，∴PC= PN2∵PO⊥AB, OC⊥PN，∴∠MOP=∠OCP=900.又∵∠OPC=∠MPO，∴Rt△POC∽Rt△PMO.∴ PO = PC PM，即∴PO2= PM•PC. PO1∴PO2= PM•PN，∴PM•PN=2PO2.2二、连结半径圆的半径是圆的重要元素，圆中的许多性质如：“同圆的半径相等”和“过切点的半径与切线相互垂直”都与圆的半径有关.连结半径是常用的方法之一.例 2．已知：△ABC 中，∠B=900，O 是 AB 上一点，以 O 为圆心，以 OB 为半径的圆切 AC 与 D 点，交 AB 与 E 点，AD=2，AE=1.求证:CD 的长. CD 分析：D 为切点，连结 DO，∠ODA=900.根据切线长定理AE O BCD=CB.DO=EO= 半径r，在Rt△ADO 中根据勾股定理或Rt△ADO~ Rt△ABC，求出CD.证明: 连结DO∴OD⊥AC 于 D, ∴∠OCP=900.∵AB 过 O 点, ∠B=900.∴BC 为⊙O 的切线, ∴CD=CB设 CD=CB=x,DO=EO=y在Rt△ADO 中，AO2 =AD2+ DO2，AD=2，AE=13∴(1+y)2=22+y2, ∴ y=23 3在Rt△ABC 中，AC2 =AB2+ BC2，即(2+x)2=(1+ + )2+x2, ∴x=32 2∴CD=3.三、连结公共弦D 在处理有关两圆相交的问题时，公共弦像一把AEBPAE“钥匙”，常常可以打开相应的“锁”，因此“遇到相交圆，连接公共弦.”。