北师大七年级下册数学知识点总结生活中的轴对称和经典例题对接

第五章ﻩ生活中的轴对称一、轴对称图形１、假如一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重叠，那么这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴。

2、了解轴对称图形要抓住如下几点：(1）指一个图形;(２)存在一条直线(对称轴)；(3)图形被直线提成的两部分相互重叠；(４)轴对称图形的对称轴有的只有一条，有的则存在多条;（5）线段、角、长方形、正方形、菱形、等腰三角形、圆都是轴对称图形;二、轴对称1、对于两个图形,假如沿一条直线对折后,它们能相互重叠,那么称这两个图形成轴对称,这条直线就是对称轴。

能够说成：这两个图形有关某条直线对称。

2、了解轴对称应注意:(１）有两个图形;（2）沿某一条直线对折后能够完全重叠;（３）轴对称的两个图形一定是全等形,但两个全等的图形不一定是轴对称图形；(4）对称轴是直线而不是线段;轴对称图形轴对称区分是一个图形自身的对称特性是两个图形之间的对称关系对称轴也许不止一条对称轴只有一条共同点沿某条直线对折后都能够相互重叠假如轴对称的两个图形看作一个整体,那么它就是一个轴对称图形;假如把轴对称图形提成两部分(两个图形）,那么这两部分有关这条对称轴成轴对称。

三、角平分线的性质1、角平分线所在的直线是该角的对称轴。

2、性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

四、线段的垂直平分线1、垂直于一条线段并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，又叫线段的中垂线。

2、性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等。

五、等腰三角形1、有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；２、相等的两条边叫做腰;另一边叫做底边；3、两腰的夹角叫做顶角,腰与底边的夹角叫做底角；4、三条边都相等的三角形也是等腰三角形。

5、等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴（等边三角形除外），其底边上的高或顶角的平分线,或底边上的中线所在的直线都是它的对称轴。

６、等腰三角形的三条重要线段不是它的对称轴，它们所在的直线才是等腰三角形的对称轴。

【例3】在△ABC中，/B=22.5°，边AB的垂直平分线交BC于D, DF 丄AC于F,交BC边上的高AE于G。

求证：EG=EC。

板块二：轴对称一个图形谈轴对称轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。

这条直线就是它的对称轴。

这时我们就说这个图形关于这条直线（或轴）对称。

两个图形谈轴对称两个图形轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形完全重合，那么就是说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。

轴对称的性质：1.关于一条直线轴对称的图形全等;生活中的轴对称初步板块一：线段的垂直平分线经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也称之为中垂线。

线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。

【例1】如图，有一块三角形田地，AB=AC=10m，作48的垂直平分线ED交AC于D,交AB于E,量得△BDC的周长为17m，请你替测量人员计算BC的长。

A【例2】如图，在△ABC中，/A=90。

，BD为ZABC的平分线交AC于D，DE丄BC, E是BC的中点，求N C的度数。

1【例5】⑴如图，把矩形ABCD沿EF对折，若Z1=50°,Z AEF等于（）A. 130°B. 120°C. 115°D. 65°A⑵如图，六边形ABCDEF是轴对称图形，CF所在的直线是它的对称轴,若Z AFC+Z BCF=150°，Z AFE+Z BCD的大小是（）A. 150°B. 300°C. 210°D. 330°轴对称初级：1.垂直平分线2.轴对称的两个含义（1个图形、2个图形）轴对称下一个层次：构造轴对称（秋季拓展拔高内容）板块三角平分线若射线OC是匕4O8的角平分线，DE丄OB, DF丄O4,则DE=DF。

第五章：生活中的轴对称第1讲:轴对称一．轴对称把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就是说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．二．轴对称图形如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．这条直线就是它的对称轴．这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称．三．垂直平分线：经过线段中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.四．轴对称图形、图形成轴对称的性质1．成轴对称的两个图形全等．轴对称图形沿对称轴分成的两个图形全等．2．如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．3．轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．题模一：轴对称基本概念和性质例1.1.1小强将一张正方形纸片按如图所示对折两次，并在如图位置上剪去一个小正方形，然后把纸片展开，得到的图形应是（）A ．B ．C ．D ．例1.1.2如图是一辆汽车车牌在水中的倒影，则该车的牌照号码是（）A．W17639B．W17936C．M17639D．M17936例1.1.3下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A B C D即时训练1：下列图形中，对称轴最少的图形的是（）A B C D即时训练2：下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A B C D即时训练3：如图，正方形ABCD的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为.题模二：等腰三角形例1.2.1如图，已知1AB A B =，112A C A A =，223A D A A =，334A E A A =，20B ∠=︒，则4A ∠=．例1.2.2如图，将正方形ABCD 沿BE 对折，使点A 落在对角线BD 上的A′处，连接A′C ，则∠BA′C=度．例1.2.3如图，在△ABC 中，点D 是BC 上一点，∠BAD=80°，AB=AD=DC ，则∠C =度．例1.2.4已知等腰三角形的一个内角为80°，则另两个角的度数是．即时训练1：如图，在△ABC 中，AB=AC，∠A=36°，以B 为圆心，BC 为半径作弧，交AC 于点D，连接BD，则∠ABD=°．即时训练2：等腰三角形的一个外角是100°，则这个等腰三角形的底角为．即时训练3：如图，在△ABC中，D在边AC上，如果AB=BD=DC，且∠C=40°，那么∠A=°．即时训练4：如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D，过点D作EF∥BC交AB，AC 于点E，F，若BE+CF=20，则EF=．即时训练5：如图，∠A=15°，AB=BC=CD=DE=EF，则∠MEF=．即时训练6：已知，如图，AB=AD=5，∠B=15°，CD⊥AB于C，则CD=．题模三：角平分线例1.3.1已知：AOB∠的平分线；如图所示，填写作法：∠，求作AOB①．②．③．例1.3.2如图，AB CD∠和DCB∠，AD过点P，且与AB垂直．若∥，BP和CP分别平分ABCAD=，则点P到BC的距离是.8例1.3.3如图，已知ABC⊥于D，且∠，OD BC∠和ACB∆的周长是21，OB，OC分别平分ABC∆的面积．3OD=，求ABC随练1.1一矩形纸片按图中（1）、（2）所示的方式对折两次后，再按（3）中的虚线裁剪，则（4）中的纸片展开铺平后的图形是（）随练1.2将一张矩形纸片叠成如图所示的图形，若AB=6cm，则AC=cm．随练1.3已知：如图，AF 平分BAC ∠，BC AF ⊥，垂足为E ，点D 与点A 关于点E 对称，PB 分别与线段CF ，AF 相交于P ，M ．（1）求证：AB CD =.（2）若2BAC MPC ∠=∠，请你判断F ∠与MCD ∠的数量关系，并说明理由．随练1.4如图，在Rt ABC ∆中，90B =︒∠，ED 是AC 的垂直平分线，交AC 于点D ，交BC 于点E ．已知10BAE =︒∠，则C ∠的度数为（）随练1.5如图，已知1AB A B =，1112A B A A =，2223A B A A =，3334A B A A =…，若70A ∠=︒，则n A ∠的度数为（）A ．702nB ．1702n +C ．1702n -D ．2702n +随练1.6在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于D ，BAC ∠的平分线AF 交CD 于E ，交BC 于F ，CM AF ⊥于M ，求证：EM FM =．作业1如图，是小亮在某时从镜子里看到镜子对面电子钟的像，则这个时刻是___________.作业2下列说法错误的是（）A ．圆有无数条对称轴B ．任何直角三角形都没有对称轴C ．线段有两条对称轴D ．等边三角形有3条对称轴作业3在ABC △中，AB AC =，BD BC =，40A ∠=︒，BDC ∠=_______.作业4等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个三角形的顶角为（）A ．30°或150°B ．75°或15°C ．75°D．30°ADC B作业5如图，△ABC内有一点D，且DA=DB=DC，若∠DAB=20°，∠DAC=30°，则∠BDC的大小是___.作业6等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则顶角的度数为（）A．30°B．30°或150°C．60°或150°D．60°或120°作业7等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是35°，则顶角的度数是（）A．55°B．125°C．125°或55°D．35°或145°作业8如图，Rt△ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，B点与0刻度线的一端重合，∠ABC=40°，射线CD绕点C转动，与量角器外沿交于点D，若射线CD将△ABC分割出以BC 为边的等腰三角形，则点D在量角器上对应的度数是（）A．40°B．70°C．70°或80°D．80°或140°作业9如图，ABC△中，90ACB∠=︒，E是边AB上一点，AE CE=，过E作DE AB⊥交BC于D，连结AD交CE于F，若20B∠=︒，则DFE∠的大小是AB CDEF。

生活中的轴对称一、知识梳理 1、轴对称图形 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就 是它的对称轴，这时我们也说这个图形关于这条直线对称． 指出： （1）轴对称图形是一个具有特殊特征的图形——对折后能够完全重合，即对称轴两旁的部分是全等形． （2）一个轴对称图形的对称轴可能不止一条． 2、轴对称 把一个图形沿着某一条直线折叠， 如果它能够与另一个图形重合， 那么就说这两个图形关于这条直线对称， 这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点． 指出： （1）轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，包含两层意思： ①有两个图形，形状大小完全相同； ②重合的方式有限制，即它们的位置必须满足一个条件：把它们沿某一条直线折叠后能够完全重合． （2）轴对称图形与轴对称的区别与联系： 区别： ①轴对称是两个图形的对称关系，轴对称图形是一个图形自身的对称特征； ②轴对称的对称点分别在两个图形上，轴对称图形的对称点都在同一个图形上； ③两个图形成轴对称， 其对称轴可能在两个图形的外部， 也可能经过两个图形的内部或它们的公共边 （点） ， 轴对称图形的对称轴一定经过这个图形的内部． 联系： ①都是沿着某直线对折后能够互相重合； ②如果把轴对称的两个图形看作一个整体，那么它就是一个轴对称图形；如果把轴对称图形沿对称轴分成 两部分，那么这两部分就是关于这条对称轴对称． 3、线段的垂直平分线 （1）经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做线段的垂直平分线． （2）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．类似地， 轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 指出： （1）线段的垂直平分线说明了垂直平分线与线段的两种关系：①是位置关系——垂直；②是数量关系— —平分． （2）对称轴是轴对称图形的任何一对对应点所连线段的垂直平分线，包含如下两层含义： ①已知一对对应点就能作出它们的对称轴； ②已知一点和对称轴就能作出该点关于对称轴的对称点． 4、线段的垂直平分线的性质 （1）线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． （2）与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 指出： 从以上两个结论可以看出：在线段 AB 的垂直平分线 l 上的点与 A、B 的距离相等；反过来，与点 A、B 的 距离相等的点都在 l 上，所以直线 l 可以看成与两点 A、B 的距离相等的所有点的集合． 二、重难点知识归纳 轴对称的有关概念，性质和判定 三、典型例题剖析 例1、观察下图中的各图，判断它们是不是轴对称图形．分析：根据轴对称图形的定义来判断一个图形是不是轴对称图形． 解： （2） （3） （4） （6） （8）是轴对称图形． 例2、画出下图所示轴对称图形的所有对称轴．分析：一个图形如沿某条直线对折，对折后的两部分可以重合，那么这条直线就是这个轴对称图形的对称 轴． 解：例3、如图，已知△ABC≌△A′B′C′，那么△ABC 与△A′B′C′一定关于某条直线 l 对称吗？如果△ABC 与 △A′B′C′关于某一直线 l 对称，那么它们全等吗？为什么？分析：成轴对称的两个图形不仅是大小关系，还有位置关系，故全等的两个图形不一定成轴对称，但根据 轴对称的意义可知，成轴对称的两个图形全等． 解： 若△ABC≌△A′B′C′， 它们不一定关于某一直线 l 对称； 如果△ABC 与△A′B′C′关于直线 l 对称， 则它们一定全等． 例4、如图，已知在△ABC 中，∠ACB=90°，D 是 BC 延长线上一点，E 是 AB 上一点，且在 BD 的垂直平分线上， DE 交 AC 于 F，求证：E 在 AF 的垂直平分线上．分析：要证明 E 在 AF 的垂直平分线上，可先作 EH⊥AF 于 H，则只需证明 AH=FH，为此证明△AEH≌△FEH，于 是问题转化为证明∠4=∠2，再利用等角的余角相等即可证明． 证明：过 E 作 EH⊥AF 于 H． ∵E 在 BD 的垂直平分线上 ∴BE=DE 在△BEG 与△DEG 中，又∵∠1＋∠3=90°，∠B＋∠2=90° ∴∠3=∠2，又∠3=∠4，∴∠2=∠4 在△AEH 和△FEH 中∴△AEH≌△FEH，∴AH=HF，又 EH⊥AF， ∴EH 垂直平分 AF，∴E 在 AF 的垂直平分线上． 例5、如图，A、B、C 表示三个工厂，现要修建一个供水站，使它到三个工厂的距离相等．求供水站的位置 P．分析：这是一个数学模型，一个点即表示一个工厂，一条线段即表示工厂间的距离，工厂的厂房大小，A、B 之间有无阻隔都不需考虑，这就是实际问题转化为理想化的数学问题． 这个问题的解决可分为两步：其一是到 A、B 两点等距离的点在哪里？运用到线段两端点距离相等的点在 已知线段的垂直平分线上，所以点 P 一定在 AB 的垂直平分线上，其二到 B、C（或 A、C）两点等距离的点应在 BC （AC）的垂直平分线上． 解： （1）作 AB 的垂直平分线 l1．如图；（2）作 BC 的垂直平分线 l2，l1交 l2于点 P，则点 P 即为供水站的位置． 例6、如图，直线 l 是四边形 ABCD 的对称轴，若 AB=CD，有下面的结论：①AB∥CD；②AC⊥BD；③AO=CO；④AB ⊥BC．其中正确的结论有_____________________；选择其中一个正确结论进行证明．答案：正确的结论有①②③． 证明结论①：∵四边形 ABCD 关于直线 l 对称， ∴AB=AD，∠BAC=∠DAC．又∵AB=CD， ∴AD=CD，∴∠DAC=∠DCA，∴∠BAC=∠DCA，∴AB∥CD． 证明结论②：∵四边形 ABCD 关于直线 l 对称 ∴∠AOD=∠AOB 又∵∠AOD＋∠AOB=180° ∴∠AOD=90° ∴AC⊥BD 证明结论③：∵四边形 ABCD 关于直线 l 对称 ∵AD=AB，又∵AB=CD ∴AD=DC 由②得 AC⊥BD，∴∠AOD=∠COD=90° 在△AOD 和△COD 中∴△AOD≌△COD ∴AO=CO．达标测试： 1．图中是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．如果一个球按 图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射） ，那么该球最后将落入的球袋是（ ）A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 2．在和谐发展观中，最值得关注的有“人、木、水、土” ，由这4个汉字和它们关于某一条直线的对称图形， 能够组成一个新汉字的有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．以下四个图形中，不是轴对称图形的是（ ）A． B． 4．下列图形中，轴对称图形的个数有（ ）C．D．A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 5．将一圆形纸片对折后再对折，得到如图所示，然后沿着图中的虚线剪开，得到两部分，其中一部分展开后 的平面图形是（ ）A． B． C． 6．下列命题正确的是（ ） A．等腰三角形的对称轴是底边上的高 B．两个全等三角形一定是轴对称图形 C．线段是轴对称图形，它的对称轴是经过线段中点的直线 D．关于直线对称的两个三角形全等 7．到三角形三个顶点距离相等的点是三角形（ ） A．三条角平分线的交点 B．三条中线的交点 C．三条高的交点 D．三边垂直平分线的交点 8．如图，ABCD 是正方形，△PAD 是等边三角形，则下列结论错误的是（ ）D．A．△PAB≌△PDC B．点 P 在 BC 的垂直平分线上 C．△PAB 与△POC 成轴对称 D．∠APB=∠BPC=∠CPD=20° 9．已知在平面直角坐标系中，线段 AB 的两个端点 A、B 的坐标分别为 A(－1,－2),B(－1, 1)，线段 AB 关于 y 轴的对称线段是 DC，则四边形 ABCD 的面积是（ ） A．3 B．6 C．8 D．1210．如图，在等边△ABC，∠ACB 的平分线相交于点 O，BO，CO 的垂直平分线分别交 BC 于 E、F，则下列结论正 确的是（ ）A．BE=CF＞EF C．BE=CF＜EF BBCBC DDDBBB．BE=CF=EF D．无法确定课后作业： 1、如图，已知 DE 为△ABC 的 AB 边的垂直平分线，D 为垂足，DE 交 BC 于 E，且 AC=5，BC=8．求△AEC 的周长．解： ∵DE 垂直平分 AB ∴AE=BE ∴BC=AE＋EC 又∵BC=8，∴AE＋EC=8 又∵AC=5，∴AC＋AE＋EC=13 故△AEC 的周长为13． 2、请用几何图形“△” “||” 、 “ ” （一个三角形，两条平行线，一个半圆）作为构件，尽可能构思独特且有 意义的图形，并写上一两句贴切、诙谐的解说词． （至少两幅图）答案： 3、下图是一个在19×16的点阵图上画出的“中国结” ，点阵的每行及每列之间的距离都是1，请你画出“中国 结”的对称轴，并直接写出图中阴影部分的面积．解： 对称轴是居中的一条铅垂方向的直线．由轴对称的性质可知，先求出对称轴左半部分的面积，再乘 以2即是阴影部分的面积.对称轴左半部分有16个阴影小正方形，面积是2×16=32，故阴影部分的面积为32× 2=64. 4、如图，在△ABC 中，若 PM、QN 分别垂直平分 AB、AC，BC=10cm．试求△APQ 的周长．解： ∵PM 垂直平分 AB ∴PA=PB 同理可证 QA=QC ∴PA＋AQ=PB＋QC ∴PA＋AQ＋QP=BP＋QC＋PQ=BC=10cm 故△PAQ 的周长为10cm． 5、如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE∥AC，DF∥AB．求证：AD⊥EF．证： ∵AD 平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD． 又∵DE∥AC，∴∠EDA=∠CAD ∴∠BAD=∠EDA，∴EA=ED ∴E 在线段 AD 的垂直平分线上． 同理可证：FA=FD，∴F 也在 AD 的垂直平分线上． ∴EF 为 AD 的垂直平分线，∴AD⊥EF．。

北师七年级下册生活中的轴对称一、知识要点：1、线段的垂直平分线线段是轴对称图形， 是它的一条对称轴。

线段的垂直平分线上的点到 相等。

2、角平分线角是对称轴图形， 是它的对称轴。

角平分线上的点到 相等。

3、等腰三角形等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形顶角的角平分线、 、 重合（也称“三线合一”），它们所在直线是等腰三角形的对称轴，等腰三角形 相等（也称 ）。

三边都相等的三角形叫 三角形，也叫 三角形，等边三角形 有 条对称轴，每个内角都是 度。

4、轴对称的性质在轴对称图形或成轴对称的图形中， 、对应线段相等，对应角相等。

二、讲练交替：例题1、如图，点D ，E 在△ABC 的边BC 上，AB ＝AC ，AD ＝AE ，求证BD ＝CE练习1：1、说法正确的是（ ）：A. 轴对称图形只有一条对称轴.B. 轴对称图形的对称轴是一条线段.C. 两个图形成轴对称，这两个图形是全等图形.D. 全等的两个图形一定成轴对称.2、等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为4cm,则它的周长是 ；等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为8cm,则它的周长是 。

3、已知AO 是△ABC 中BC 边上的高，点D 、点E 是三角形外的两个点，且满足AD=AE ，DB ＝EC ，∠D ＝∠E ，试说明AO 平分∠BACECD4、已知：如图，AB=AC,BD=CD求证：AD垂直平分BC例题2、如图, 过点F作DE//BC交AB于D,交AC于E,若BD=DF, EF=CE, ∠A＝40°,求∠BFC的度数。

练习二：1、如图所示，AD是等边三角形ABC的中线，在AC上截取AE=AD,求∠EDC的度数。

2、如右图，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，求∠DBC的度数。

3、如图，在△ABC中，∠C=90°，DE是AB的垂直平分线，∠A=40°，则∠CDB= ; ∠CBD= .4、如图，将长方形中△BCD沿BD对折，BC交AD于点E,求证：BE=DEF EDC BAACD E第4题图P DAE COB例题三、已知：如图，P 是么AOB 平分线上的一点，PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，垂足分别为C 、D ．求证：(1)OC=OD ；(2)OP 是CD 的垂直平分线．练习3：1、如图，已知AB=AC ，E 是角平分线AD 上任意一点， 则图中全等三角形有（ ）A 、4对B 、3对C 、2对D 、1对2、如下图，在△ABC 中，AB=AC=16cm ，AB 的垂直 平分线交AC 于D ，如果BC=10cm ，那么△BCD 的周长是_______cm.3、如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 是△ABC 外一点，且BD=CD 。

北师大版七年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习《生活中的轴对称》全章复习与巩固（提高）【学习目标】1.认识和欣赏身边的轴对称图形，增进学习数学的兴趣.2.了解轴对称的概念，探索轴对称、轴对称图形的基本性质及它们的简单应用.3.探索线段的垂直平分线、角平分线和等腰三角形的性质以及判定方法.4.能按照要求，画出一些轴对称图形.【知识网络】【要点梳理】要点一、轴对称1.轴对称图形和轴对称（1）轴对称图形如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.（2）轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.要求诠释：成轴对称的两个图形的性质：①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形；②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上.（3）轴对称图形与轴对称的区别和联系要点诠释: 轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．2.线段的垂直平分线线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.要点诠释：线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件.三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心.3.角平分线角平分线性质是：角平分线上的任意一点，到角两边的距离相等；反过来，在角的内部到角两边的距离相等的点在角平分线上.要点诠释：前者的前提条件是已经有角平分线了，即角被平分了；后者则是在结论中确定角被平分，一定要注意着两者的区别，在使用这两个定理时不要混淆了.要点二、作轴对称图形1.作轴对称图形（1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形；（2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.要点三、等腰三角形1.等腰三角形（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A 是顶角，∠B、∠C是底角．要点诠释：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）．∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝1802A︒-∠．（2）等腰三角形性质①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.（3）等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）.要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理．2.等边三角形（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.要点诠释：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包括等边三角形．（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.（3）等边三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形.【典型例题】类型一、轴对称的性质与应用1、（2015•阳谷县一模）若∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，分别作点P关于直线OA、OB的对称点P1，P2，连接OP1，OP2，则下列结论正确的是（）A．OP1⊥OP2B．O P1=OP2C．OP1≠OP2D．O P1⊥OP2且OP1=OP2【思路点拨】根据轴对称的性质求出OP1、OP2的数量与夹角即可得解．【答案】D；【解析】解：如图，∵点P关于直线OA、OB的对称点P1、P2，∴OP1=OP2=OP，∠AOP=∠AOP1，∠BOP=∠BOP2，∴∠P1OP2=∠AOP+∠AOP1+∠BOP+∠BOP2，=2（∠AOP+∠BOP），=2∠AOB，∵∠AOB=45°，∴OP1⊥OP2成立．故选D．【总结升华】本题考查了轴对称的性质，是基础题，熟练掌握性质是解题的关键，利用图形更形象直观． 举一反三：【变式】如图，△ABC 的内部有一点P ，且D ，E ，F 是P 分别以AB ，BC ，AC 为对称轴的对称点．若△ABC 的内角∠A ＝70°，∠B ＝60°，∠C ＝50°，则∠ADB ＋∠BEC ＋∠CFA ＝（ ）A.180°B.270°C.360°D.480°【答案】C ；解：连接AP ，BP ，CP ，∵D ，E ，F 是P 分别以AB ，BC ，AC 为对称轴的对称点 ∴∠ADB ＝∠APB ，∠BEC ＝∠BPC ，∠CFA ＝∠APC ，∴∠ADB ＋∠BEC ＋∠CFA ＝∠APB ＋∠BPC ＋∠APC ＝360°．2、已知∠MON ＝40°，P 为∠MON 内一定点，OM 上有一点A ，ON 上有一点B ，当△PAB 的周长取最小值时，求∠APB 的度数.【思路点拨】求周长最小，利用轴对称的性质，找到P 的对称点来确定A 、B 的位置，角度的计算，可以通过三角形内角和定理和等腰三角形的性质计算. 【答案与解析】解：分别作P 关于OM 、ON 的对称点1P ，2P ，连接12P P 交OM 于A ，ON 于B.则△PAB 为符合条件的三角形. ∵∠MON ＝40° ∴∠12P PP ＝140°.∠1PPA ＝12∠PAB,∠2P PB ＝12∠PBA. ∴12(∠PAB ＋∠PBA)＋∠APB ＝140° ∴∠PAB ＋∠PBA ＋2∠APB ＝280°∵∠PAB ＝∠1P ＋∠1PPA , ∠PBA ＝∠2P ＋∠2P PB ∴∠1P ＋∠2P ＋∠12P PP ＝180° ∴∠APB ＝100°【总结升华】将实际问题抽象或转化为几何模型，将周长的三条线段的和转化为一条线段，这样取得周长的最小值. 举一反三：【变式】（2014秋•西城区期末）如图，动点P 从（0，3）出发，沿所示的方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，第一次碰到长方形的边时的位置为P 1（3，0）．（1）画出点P 从第一次到第四次碰到长方形的边的全过程中，运动的路径； （2）当点P 第2014次碰到长方形的边时，点P 的坐标为 ．【答案】 解：（1）如图所示；（2）如图，经过6次反弹后动点回到出发点（0，3）， ∵2014÷6=335…4，∴当点P 第2014次碰到矩形的边时为第336个循环组的第4次反弹， ∴点P 的坐标为（5，0）． 故答案为（5，0）．类型二、线段垂直平分线性质3、如图，在等腰△ABC 中，∠BAC=120°，DE 是AC 的垂直平分线，线段DE=1cm ，求BD 的长．【思路点拨】连接AD，根据等腰三角形的两底角相等求出∠B=∠C=30°，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=CD，然后求出∠CAD=30°，再求出∠BAD=90°，然后根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出CD=2DE，BD=2AD，代入数据进行计算即可得解．【答案与解析】解：连接AD，∵等腰△ABC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，∵D E是AC的垂直平分线，∴AD=CD，∴∠CAD=∠C=30°，∴∠BAD=∠BAC﹣∠CAD=120°﹣30°=90°，在Rt△CDE中，CD=2DE，在Rt△ABD中，BD=2AD，∴BD=4DE，∵DE=1cm，∴BD的长为4cm．故答案为：4cm．【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．举一反三【变式】（2016春•芦溪县期中）如图，△ABC中，AB=AC，∠A=50°，DE是腰AB的垂直平分线，求∠DBC的度数．【思路点拨】已知∠A=50°，AB=AC可得∠ABC=∠ACB，再由线段垂直平分线的性质可求出∠ABC=∠A，易求∠DBC．【答案与解析】解：∵∠A=50°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=（180°﹣∠A）=65°又∵DE垂直且平分AB，∴DB=AD，∴∠ABD=∠A=50°，∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=65°﹣50°=15°．即∠DBC的度数是15°．【总结升华】本题考查的是等腰三角形的性质以及线段垂直平分线的性质．垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．类型三、角平分线性质4、已知：如图，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE、CD相交于点O，且AO平分∠BAC，求证：OB=OC．证明：∵AO平分∠BAC，∴OB=OC（角平分线上的点到角的两边距离相等）上述解答不正确，请你写出正确解答．【思路点拨】由角平分线的性质可得OD=OE，然后证明△DOB≌△EOC，可得证OB=OC．【答案与解析】证明：∵AO平分∠BAC，CD⊥AB，BE⊥AC，∴OD=OE，在△DOB和△EOC中，∠DOB=∠EOC，OD=OE，∠ODB=∠OEC，∴△DOB≌△EOC（ASA），∴OB=OC．【总结升华】此题主要考查角平分线的性质和全等三角形的判定和性质，注意点到直线的距离是垂线段的长．举一反三【变式】如图，△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，对于结论：①DE=DF；②BD=CD；③AD上任一点到AB、AC的距离相等；④AD上任一点到B、C的距离相等．其中正确的是（）A．仅①②B．仅③④C．仅①②③D．①②③④【答案】D；类型四、等腰三角形的综合应用5、如图①，△ABC 中．AB=AC ，P 为底边BC 上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E 、F 、H ．易证PE+PF=CH ．证明过程如下：如图①，连接AP ．∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB， ∴ABP S △=12AB•PE，ACP S △=12AC•PF，ABC S △=12AB•CH． 又∵ABP ACP ABC S S S +=△△△， ∴12AB•PE+12AC•PF=12AB•CH．∵AB=AC，∴PE+PF=CH． （1）如图②，P 为BC 延长线上的点时，其它条件不变，PE 、PF 、CH 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：（2）填空：若∠A=30°，△ABC 的面积为49，点P 在直线BC 上，且P 到直线AC 的距离为PF ，当PF=3时，则AB 边上的高CH=______.点P 到AB 边的距离PE=________. 【答案】7；4或10； 【解析】解：（1）如图②，PE=PF+CH ．证明如下：∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴ABP S △=12AB•PE，ACP S △=12AC•PF，ABC S △=12AB•CH， ∵ABP S △=ACP S △+ABC S △， ∴12AB•PE=12AC•PF +12AB•CH， 又∵AB=AC， ∴PE=PF+CH；（2）∵在△ACH 中，∠A=30°，∴AC=2CH．∵ABC S △=12AB•CH，AB=AC ， ∴12×2CH•CH=49， ∴CH=7． 分两种情况：①P 为底边BC 上一点，如图①． ∵PE+P F=CH ，∴PE=CH -PF=7-3=4；②P 为BC 延长线上的点时，如图②． ∵PE=PF+CH， ∴PE=3+7=10．故答案为7；4或10．【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质与三角形的面积，难度适中，运用面积证明可使问题简便，（2）中分情况讨论是解题的关键．6、已知，如图，∠1＝12°，∠2＝36°，∠3＝48°，∠4＝24°. 求ADB ∠的度数．【答案与解析】解：将ABD △沿AB 翻折，得到ABE △，连结CE ，则ABD ABE △≌△，∴,,BD BE ADB AEB =∠=∠∠1＝∠5＝12°. ∴125EBC ∠=∠+∠+∠=60° ∵3ABC ∠=∠=48°∴AB AC =．又∵∠2＝36°，34BCD ∠=∠+∠=72°，ACD123B 5 E∴,BDC BCD BD BC ∠=∠= ∴BE ＝BC∴BCE △为等边三角形. ∴.BE CE = 又,AB AC AE =∴垂直平分BC ．∴AE 平分BEC ∠． ∴12AEB BEC ∠=∠=30° ∴∠ADB ＝30°【总结升华】直接求ADB ∠很难，那就想想能不能通过翻折或旋转构造一个与ABD △全等的三角形，从而使其换个位置，看看会不会容易求． 举一反三：【变式】在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝80°，D 为形内一点，且∠DAB ＝∠DBA ＝10°，求∠ACD 的度数.【答案】 解：作D 关于BC 中垂线的对称点E ，连结AE ，EC ，DE ∴△ABD ≌△ACE∴AD ＝AE, ∠DAB ＝∠EAC ＝10° ∵∠BAC=80°，∴∠DAE ＝60°，△ADE 为等边三角形 ∴∠AED ＝60°∵∠DAB ＝∠DBA ＝10° ∴AD ＝BD ＝DE ＝EC ∴∠AEC ＝160°， ∴∠DEC ＝140° ∴∠DCE ＝20° ∴∠ACD ＝30° 类型五、等边三角形的综合应用7、如图所示，已知等边三角形ABC 中，点D ，E ，F 分别为边AB ，AC ，BC 的中点，M 为直线BC 上一动点，△DMN 为等边三角形．(1)如图(1)所示，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F 是否在直线NE上？(2)如图(2)所示，当点M在BC上时，其他条件不变，(1)的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图(2)证明；若不成立，请说明理由．【答案与解析】解：(1)EN＝MF，点F在直线NE上．证明：连接DF，DE，∵△ABC是等边三角形，∴ AB＝AC＝BC．又∵ D，E，F是△ABC三边的中点，∴ DE，DF，EF为三角形的中位线．∴ DE＝DF＝EF，∠FDE＝60°．又∠MDN＋∠NDF＝∠MDF，∠NDF＋∠FDE＝∠NDE，∵△DMN为等边三角形，DM＝DN，∠MDN＝60°∴∠MDF＝∠NDE．在△DMF和△DNE中，DF DEMDF NDE DM DN=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DMF≌△DNE，∴ MF＝NE，∠DMF＝∠DNE.∵∠DMF＋60°＝∠DNE＋∠MFN∴∠MFN＝60°∴FN∥AB，又∵EF∥AB，∴E、F、N在同一直线上.(2)成立．证明：连结DE，DF，EF，∵△ABC是等边三角形，∴ AB＝AC＝BC．又∵ D，E，F是△ABC三边的中点，∴ DE，DF，EF为三角形的中位线．∴ DE＝DF＝EF，∠FDE＝60°．又∠MDF＋∠FDN＝60°，∠NDE＋∠FDN＝60°，∴∠MDF＝∠NDE．在△DMF和△DNE中，DF DEMDF NDE DM DN=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DMF≌△DNE，∴ MF＝NE．【总结升华】此题综合应用了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定.全等是证明线段相等的重要方法.（2）题的证明可以沿用（1）题的思路.。

北师大版七年级下册数学[《生活中的轴对称》全章复习与巩固(提高)知识点整理及重点题型梳理]研究目标】1.增进对身边轴对称图形的认识和欣赏，提高对数学的兴趣。

2.了解轴对称的概念，探索轴对称图形的基本性质和应用。

3.探究线段垂直平分线、角平分线和等腰三角形的性质及判定方法。

4.能够按照要求画出一些轴对称图形。

要点梳理】要点一、轴对称1.轴对称图形和轴对称1）轴对称图形如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。

轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

2）轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴。

要点诠释：成轴对称的两个图形的性质：①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形；②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上。

3）轴对称图形与轴对称的区别和联系要点诠释：轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的。

联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形。

2.线段的垂直平分线线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

要点诠释：线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一。

同时也给出了引辅助线的方法，即遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件。

三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心。

- 1 -北师大版七年级数学下第七章生活中的轴对称知识总结与检测█知识总结·要点回顾1、轴对称现象如果一个图形沿着一条折叠，直线两旁的部分能够互相，那么这个图形叫作轴对称图形，这条直线叫作它的 ．对称轴是直线．对于 个图形，如果沿一条直线对折后，它们能够完全重合，那么称这两个图形成 ，这条直线就是对称轴．2、简单的轴对称图形（1）角是轴对称图形，它的对称轴是它的平分线所在的直线．角平分线上的点到 的距离相等；到一个角的两边距离相等的点，在上． （2）线段是轴对称图形，线段的 是它的一条对称轴．线段的上的点到这条线段两个端点的距离相等．的点，在这条线段的垂直平分线上．轴对称和轴对称图形的区别与联系：区别：(1)轴对称是说两个图形的位置关系，轴对称图形是说一个具有特殊形状的图形；(2)轴对称是对两个图形说的，轴对称图形是对一个图形说的． 联系：(1)它们的定义中，都有沿某直线折叠，图形重合；(2)如果把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形，反过来，把轴对称图形的两部分当作两个图形，那么这两个图形成轴对称．提问：等腰三角形的判定与性质？ 3、探索轴对称的性质轴对称图形的对应点所连的线段被 垂直平分．如果对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上．轴对称图形 相等， 相等．█知识检测·查漏补缺一、填空题 （30分）1.△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，且BD =CD ，若AB =3，则AC =_____.2.等腰三角形的一个角为100°，则它的两底角为_____.3.△ABC 中，∠A =40°，∠B =70°，则△ABC 为_____三角形.因为 .4.底角等于顶角一半的等腰三角形是____三角形，画出此三角形斜边上的高，这时图中有____个等腰三角形.5.等边三角形有_____条对称轴.6.等腰三角形的周长为22 cm,其中一边的长是8 cm,则其余两边长分别为_____.7.轴对称图形_____有一条对称轴，_____有两条对称轴，_____有四条对称轴，_____有无数条对称轴.(各填上一个图形即可)8.26个大写英文字母中，有些字母可以看成轴对称图形，共有_____个是轴对称图形. 9.图2中三角形1与_____成轴对称图形，整个图形中共有_____条对称轴.图2图3- 2 -A BCE F 10.等腰三角形的周长是25 cm,一腰上的中线将周长分为3∶2两部分，则此三角形的底边长为_____. 11.如图3，OC 平分∠AOB ，D 为OC 上任一点，DE ⊥OB 于E ，若DE =4 cm ，则D 到OA 的距离为_____.参考答案：1.3 2.40°、40° 3.等腰 根据内角和定理得出∠C =70°,则∠B =∠C ，故△ABC 是等腰三角形 4.等腰直角 三 5.三 6.7 cm ，7 cm 或8 cm ，6 cm7.角 矩形 正方形 圆 8.16 9.三角形2和4 2 10.5 cm 或335 cm 11.4 cm12.如下图，在△ABC 中，AB =AC ，AD 是BC 边上的高，E 、F 是AD 上的两点，若△ABC 的面积为12cm 2，则图中阴影部分的面积是 cm 213.如图，已知：△ABC 中，BC ＜AC ，AB 边上的垂直平分线DE 交AB 于D ，交AC 于E ，AC =9 cm,△BCE 的周长为15 cm,求BC 的长.附加题提示：在直角三角形中，30度所对的直角边是斜边的一半。

第五章生活中的轴对称知识点总结：一、轴对称图形1、如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。

2、理解轴对称图形要抓住以下几点：（1）指一个图形；（2）存在一条直线（对称轴）；（3）图形被直线分成的两部分互相重合；（4）轴对称图形的对称轴有的只有一条，有的则存在多条；（5）线段、角、长方形、正方形、菱形、等腰三角形、圆都是轴对称图形；二、轴对称1、对于两个图形，如果沿一条直线对折后，它们能互相重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线就是对称轴。

可以说成：这两个图形关于某条直线对称。

2、理解轴对称应注意：（1）有两个图形；（2）沿某一条直线对折后能够完全重合；（3）轴对称的两个图形一定是全等形，但两个全等的图形不一定是轴对称图形；（4）对称轴是直线而不是线段；三、角平分线的性质1、角平分线所在的直线是该角的对称轴。

2、性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

3、判定定理：到角两边距离相等的点在该角的角平分线上。

四、线段的垂直平分线1、垂直于一条线段并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，又叫线段的中垂线。

2、性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等。

3、判定定理：到线段两端点距离相等的点在该线段的垂直平分线上。

五、等腰三角形1、有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；2、相等的两条边叫做腰；另一边叫做底边；3、两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角；4、三条边都相等的三角形也是等腰三角形。

5、等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴（等边三角形除外），其底边上的高或顶角的平分线，或底边上的中线所在的直线都是它的对称轴。

6、等腰三角形的三条重要线段不是它的对称轴，它们所在的直线才是等腰三角形的对称轴。

7、等腰三角形底边上的高，底边上的中线，顶角的平分线互相重合，简称为“三线合一”。

8、“三线合一”是等腰三角形所特有的性质，一般三角形不具备这一重要性质。