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2010年北大自主招生试题数学2010北大自主招生（三校联招）1．（仅文科做）02απ<<，求证：sin tan ααα<<．（25分）2．AB 为边长为1的正五边形边上的点．证明：AB ．（25分） 3．AB 为21y x =-上在y 轴两侧的点，求过AB 的切线与x 轴围成面积的最小值．（25分）4．向量OA 与OB 已知夹角，1OA =，2OB =，(1)OP t OA =-，OQ tOB =，01t ≤≤．PQ在0t 时取得最小值，问当0105t <<时，夹角的取值范围．（25分） 5．（仅理科做）存不存在02x π<<，使得sin ,cos ,tan ,cot x x x x 为等差数列．（25分）历史：一共有3道大题，第一道是名词解释，给出8个名词，名词解释：1楚河汉界2自由法国3中世纪4四五运动 5马关条约 6、APEC 7、东北易帜 8、《水经注》 请写出除中国外任意五个国家的国庆日以及由来（20分）最后是一道分值40分的论述题，要求考生论述秦汉以来北方民族对中国历史进程的影响。
政治：1、不同人士会对香烟有不同的认识，美术从业者看到的是如何设计包装，经济学家看到的是烟草税如何征收等等，考生依次说明他们的看法并说出哲学依据。
①用哲学解释为什么他们会想到不同的？②你会选用怎样的“坐标系”，写出怎样的文字？③根据经济常识、政治常识推断政府会对烟草企业有怎样的政策倾向，采取什么样的手段？④政府要求烟盒上打上“吸烟有害健康”的政治学依据？2、你知道“破窗理论”吗？关于它有两种不同的说法。
破窗理论1，也称“破窗谬论”，源于一个叫黑兹利特的学者在一本小册子中的一个譬喻。
这位黑兹利特说，假如小孩打破了窗户，必将导致破窗人更换玻璃，这样就会使安装玻璃的人和生产玻璃的人开工，从而推动社会就业。
在这里，学者是为了说明孩童的行为与政府的行为所能产生的后果，从而彻底地否定凯恩斯主义的政府干预政策。
北京大学2010 年自主招生试题1.Ca 在空气中燃烧的固体产物溶于水，放热，放出有臭味的气体，写出方程式。
2.同样浓度下，醋酸和氨水的电离程度相同，但氢氧化铝可以完全溶于醋酸，却不能溶于氨水，问这能说明氢氧化铝的什么性质？3.和水一样，酯也可以在氨中发生氨解反应，写出RCOOR'的氨解反应方程式。
4.不同于水溶液，在液氨的环境中，"不活泼"金属可以将"活泼"金属置换出来，如Mg+NaI =MgI+Na，解释为什么可以发生这样的反应。
5.5．Fe，Cu 溶于稀硝酸，剩余固体为以下情况时，溶液中可能的阳离子：（1）不剩余固体（2）剩余固体为Cu （3）剩余固体为Fe，Cu （4）可不可能剩余的固体只有Fe，为什么？6.6．已知C（s），氢气（g），乙醇（l）的燃烧热为394kJ/mol，286kJ/mol，1367kJ/mol，由这些可以知道哪些数据？7.7．在发烟硝酸H2SO4·SO3 中，2molI2 和3molI2O5 生成I2（SO4）3，I2（SO4）3溶于水生成I2 和I2O4，写出以上两个方程式。
8.8.测定溶液中I¯的方法，当I¯太少时可用增大倍数的方法，第一种：用氯气将I¯氧化为HIO3，后除去多余氯气，用KI 还原HIO3 后测定I¯的量；第二种：用IO4¯将I¯氧化为IO3¯，加入一种物质阻止IO4¯和I¯反应，用KI 还原IO3¯后测定I¯的量。
问以上两种方法分别将I¯扩大了多少倍？2009 北京大学自主招生语数外物化试题（理科）化学1 填充题（1）在NaCl 的溶液里有Mg2+（NaOH），SO42-（BaCl2），Ca2+（Na2CO3）等杂质离子，括号中是除杂的试剂，加入试剂的顺序为（2）电解熔融LiCl，得到Li 和Cl2。
2010年“北约”自主招生数学试题及解答1．（仅文科做）02απ<<，求证：sin tan ααα<<． 【解析】 不妨设()sin f x x x =-，则(0)0f =，且当02x π<<时，()1cos 0f x x '=->．于是()f x 在02x π<<上单调增．∴()(0)0f x f >=．即有sin x x >． 同理可证()tan 0g x x x =->．(0)0g =，当02x π<<时，21()10cos g x x '=->．于是()g x 在02x π<<上单调增。
∴在02x π<<上有()(0)0g x g >=。
即tan x x >。
注记：也可用三角函数线的方法求解．2．AB 为边长为1的正五边形边上的点．证明：AB（25分） 【解析】 以正五边形一条边上的中点为原点，此边所在的直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．⑴当,A B 中有一点位于P 点时，知另一点位于1R 或者2R 时有最大值为1PR ；当有一点位于O 点时，1max AB OP PR =<；⑵当,A B 均不在y 轴上时，知,A B 必在y 轴的异侧方可能取到最大值（否则取A 点关于y 轴的对称点A '，有AB A B '<）．不妨设A 位于线段2OR 上（由正五边形的中心对称性，知这样的假设是合理的），则使AB 最大的B 点必位于线段PQ 上．且当B 从P 向Q 移动时，AB 先减小后增大，于是max AB AP AQ =或；对于线段PQ 上任意一点B ，都有2BR BA ≥．于是22max AB R P R Q == 由⑴，⑵知2max AB R P =．不妨设为x ．下面研究正五边形对角线的长．IHG F E 1111x x-1如右图．做EFG ∠的角平分线FH 交EG 于H ． 易知5EFH HFG GFI IGF FGH π∠=∠=∠=∠=∠=． 于是四边形HGIF 为平行四边形．∴1HG =． 由角平分线定理知111EFEH x FG x HG ===-．解得x =3．AB 为21y x =-上在y 轴两侧的点，求过AB 的切线与x 轴围成面积的最小值．（25分）【解析】 不妨设过A 点的切线交x 轴于点C ，过B 点的切线交x 轴于点D ，直线AC 与直线BD 相交于点E ．如图．设1122(,),(,)B x y A x y ，且有222211121,1,0y x y x x x =-=->>．由于2y x '=-，于是AC 的方程为2222x x y y =--；① BD 的方程为1122x x y y =--． ②联立,AC BD 的方程，解得121221(,1)2()y y E x x x x ---． 对于①，令0y =，得222(,0)2y C x -；对于②，令0y =，得112(,0)2y D x -． 于是221212121222112222y y x x CD x x x x --++=-=-． 121(1)2ECD S CD x x ∆=-．不妨设10x a =>，20x b -=>，则 2222111111()(1)(22)44ECD a b S ab a b a b ab a b a b∆++=++=+++++1111()(2)(2)44a b ab ab ab ab=+++⋅++≥ ③0s >，则有331111111(2)(.....)223399ECD S s s s s s s s s ∆=++=++++++ 6个 9个1243691616111116)]8()29s s s ⋅⋅[⋅(⋅()=⋅≥3218)3=⋅(= ④又由当12x a x b s ==-==时，③，④处的等号均可取到．∴min ()ECD S ∆ 注记：不妨设311()(2)2g s s s s=++，事实上，其最小值也可用导函数的方法求解． 由2211()(32)2g s s s '=+-知当2103s <<时()0g s '<；当213s <时()0g s '>．则()g s 在(0,上单调减，在)+∞上单调增．于是当s =时()g s 取得最小值． 4．向量OA 与OB 已知夹角，1OA =，2OB =，(1)OP t OA =-，OQ tOB =，01t ≤≤．PQ在0t 时取得最小值，问当0105t <<时，夹角的取值范围．（25分） 【解析】 不妨设OA ，OB 夹角为α，则1,2OP t OQ t =-=，令 222()(1)42(1)2cos g t PQ t t t t α==-+-⋅-⋅2(54cos )(24cos )1t t αα=++--+． 其对称轴为12cos 54cos t αα+=+．而12()54x f x x +=+在5(,)4-+∞上单调增，故12cos 1154cos 3αα+-+≤≤． 当12cos 1054cos 3αα++≤≤时，012cos 1(0,)54cos 5t αα+=∈+，解得223αππ<<． 当12cos 1054cos αα+-<+≤时，()g t 在[0,1]上单调增，于是00t =．不合题意． 于是夹角的范围为2[,]23ππ．5．（仅理科做）存不存在02x π<<，使得sin ,cos ,tan ,cot x x x x 为等差数列．（25分） 【解析】 不存在；否则有(cos sin )(cos sin )cos sin cot tan sin cos x x x x x x x x x x-+-=-=， 则cos sin 0x x -=或者cos sin 1sin cos x x x x+=．若cos sin 0x x -=，有4x π=．而此时1,122不成等差数列；若cos sin 1sin cos x x x x+=，有2(sin cos )12sin cos x x x x =+．解得有sin cos 1x x =． 而11sin cos sin 2(0,]22x x x =∈，矛盾！2011年“北约”自主招生数学试题及解答2012年“北约”自主招生数学试题及解答《自主招生》三大系列《全国重点高校自主招生备考指南·高一、高二基础版》从从高高一一开开始始行行动动起起来来！！⊙专为高一、高二学生设计，细致分析自主招生关键信息，深入讲解自主招生备考方略。
一、选择正确的或者最好的表达形式（10分自主招生网:1、为维护语言的纯洁，禁止在广告中用谐音字______成语。
自主招生网:A篡改 B窜改 C纂改自主招生网:自主招生网:2、大家推举在学界______的朱德熙先生担任学会主席。
自主招生网:A深负众望 B不负众望 C深孚众望自主招生网:3、只要有诚心，再厚的冰也会______。
自主招生网:A融化 B熔化 C溶化自主招生网:4、棋摊摊主卖个破绽，引路人______，骗取钱财。
自主招生网:A入网 B入瓮 C入彀自主招生网:5、所有机票代售点，一律不得向旅客收取或______收取手续费。
自主招生网:A变向 B变相 C 变项自主招生网:6、当时正值三年自然灾害，______尚有困难，有谁操心可有可无的戏班子的存亡。
自主招生网:A裹腹 B裹肤 C果腹自主招生网:7、政府领导作为人们的公仆，要______都关心群众的疾苦。
自主招生网:A不时不刻 B时时刻刻 C无时无刻自主招生网: 8、我国的农业生产取得了举世______的伟大成就，首先应归功于改革开放的政策。
自主招生网:A瞩目 B侧目 C注目自主招生网:9、中国队20号前锋一脚远射，令对方门将______，皮球正入网中。
自主招生网:A措不及防 B猝手及防 C猝不及防自主招生网: 10、把这些数据放在一起，就能看出______来。
自主招生网:A端倪 B端睨 C端眤自主招生网: 二、文言文阅读（10分）自主招生网:州郡遇圣节锡宴，率命猥妓数十群舞于庭，作“天下太平”字，殊为不经。
而唐《乐府杂录》云：“舞有字，以舞人亚身于地，布成字也。
”王建《宫词》云：“罗衫叶叶绣重重，金凤银鹅各一丛。
每遇舞头分两向，太平万岁字当中。
”则此事由来久矣。
（周密《齐东野语》）自主招生网:1、文中所叙是一种什么景象？周密对此有何看法？自主招生网:2、结合现实生活中所见，谈谈你对类似现象的看法。
自主招生网:三、将下段古文翻译为现代汉语（20分）自主招生网:古者先王尽力于亲民加事于明法彼法明则忠臣劝罚必则邪臣止忠劝邪止而地广主尊者秦是也群臣朋党比周以隐正道、行私曲而地削主卑者山东是也乱弱者亡，人之性也治强者王古之道也越王勾践恃大朋之龟与吴战而不胜身臣入宦于吴反国弃龟明法亲民以报吴则夫差为擒故恃鬼神者慢于法恃诸侯者危其国（《韩非子·饰邪》）自主招生网:四、现代文阅读（20分）自主招生网:不久前我在鄯善迪坎儿村，见一大棵梭梭树长在路旁。
1.（2007清华）对于集合2M R ⊆（表示二维点集），称M 为开集，当且仅当0,0P M r ∀∈∃>，使得{}2P R PP r M ∈<⊆⎰。
判断集合{}(,)4250x y x y +->⎰与集合{}(,)0,0x y x y ≥>⎰是否为开集，并证明你的结论。
2，（2009北大）已知,cos cos 21x R a x b x ∀∈+≥-恒成立，求max ()a b +3，（2009清华）已知,,0x y z >，a 、b 、c 是x 、y 、z 的一个排列。
求证：3a b c x y z ++≥。
4，（2006清华）已知a ，b 为非负数，44M a b =+，a+b=1，求M 的最值。
5，（2008北大）实数(1,2,i i a i b i ==满足123a a a b b b ++=++，122313122313a a a a a a bb b b bb ++=++，123123min(,,)min(,,)a a a b b b ≤。
求证：12312m a x (,,)m a x (,,)a a a b b b ≤。
6，（2009清华）试求出一个整系数多项式110()n n n n f x a x a x a --=+++…，使得()0f x =有一根为7，（2009清华）x>0,y>0,x+y=1,n 为正整数，求证：222112n n n xy -+≥8，（2007北大） 已知22()5319653196f x x x x x =-++-+，求f(1)+f(2)+…＋f(50)。
9，（2006清华）设正三角形1T 的边长为a ，1n T +是n T 的中点三角形，n A 为n T 除去1n T +后剩下三个三角形内切圆面积之和，求1lim n k n k A →∞=∑。
10，（2008北大）数列{}1n n a ∞=定义如下：1234561,2,3,a a a a a a ======……（1） 给定自然数n ，求使l a n =的L 的范围；（2） 令221m m l l b a ==∑，求3limm m b m →∞。
2010年“北约”自主招生数学试题及解答1． （仅文科做）02απ<<，求证：sin tan ααα<<． 解析：不妨设()sin f x x x =-，则(0)0f =，且当02x π<<时，()1cos 0f x x '=->．于是()f x 在02x π<<上单调增．∴()(0)0f x f >=．即有sin x x >． 同理可证()tan 0g x x x =->． (0)0g =，当02x π<<时，21()10cos g x x '=->．于是()g x 在02x π<<上单调增。
∴在02x π<<上有()(0)0g x g >=，即tan x x >。
注记：也可用三角函数线的方法求解．2． AB 为边长为1的正五边形边上的点．证明：AB（25分） 解析：以正五边形一条边上的中点为原点，此边所在的直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．（1）当,A B 中有一点位于P 点时，知另一点位于1R 或者2R 时有最大值为1PR ；当有一点位于O 点时，1max AB OP PR =<；（2）当,A B 均不在y 轴上时，知,A B 必在y 轴的异侧方可能取到最大值（否则取A 点关于y 轴的对称点A '，有AB A B '<）．不妨设A 位于线段2OR 上（由正五边形的中心对称性，知这样的假设是合理的），则使AB 最大的B 点必位于线段PQ 上．且当B 从P 向Q 移动时，AB 先减小后增大，于是max AB AP AQ =或； 对于线段PQ 上任意一点B ，都有2BR BA ≥．于是22max AB R P R Q == 由（1），（2）知2max AB R P =．不妨设为x ． 下面研究正五边形对角线的长．I H GFE 1111x x-1如图所示，做EFG ∠的角平分线FH 交EG 于H ． 易知5EFH HFG GFI IGF FGH π∠=∠=∠=∠=∠=． 于是四边形HGIF 为平行四边形，∴1HG =．由角平分线定理知111EF EH x FGx HG===-．解得x =．3．AB 为21y x =-上在y 轴两侧的点，求过AB 的切线与x 轴围成面积的最小值．（25分） 解析：不妨设过A 点的切线交x 轴于点C ，过B 点的切线交x 轴于点D ，直线AC 与直线BD 相交于点E ．如图．设1122(,),(,)B x y A x y ，且有222211121,1,0y x y x x x =-=->>．由于2y x '=-，于是AC 的方程为2222x x y y =--；①BD 的方程为1122x x y y =--． ②联立,AC BD 的方程，解得121221(,1)2()y y E x x x x ---．对于①，令0y =，得222(,0)2y C x -； 对于②，令0y =，得112(,0)2y D x -． 于是221212121222112222y y x x CD x x x x --++=-=-． 121(1)2ECD S CD x x ∆=-．不妨设10x a =>，20x b -=>，则 2222111111()(1)(22)44ECDa b S ab a b a b ab a b a b∆++=++=+++++1111()(2)(2)44a b ab ab ab ab =+++⋅++≥ ③0s =>，则有331111111(2)(.....)223399ECD S s s s s s s s s∆=++=++++++6个 9个1243691616111116)]8()2393s s s ⋅⋅[⋅(⋅()=⋅≥3218)3=⋅(= ④又由当12x a x b s ===-==∴min ()ECD S ∆=注记：不妨设311()(2)2g s s s s =++，事实上，其最小值也可用导函数的方法求解．由2211()(32)2g s s s '=+-知当2103s <<时()0g s '<；当213s <时()0g s '>．则()g s在(0,上单调减，在)+∞上单调增．于是当s =()g s 取得最小值．4．向量OA 与OB 已知夹角，1OA =，2OB =，(1)OP t OA =-，OQ tOB =，01t ≤≤．PQ在0t 时取得最小值，问当0105t <<时，夹角的取值范围．（25分）解析：不妨设OA ，OB 夹角为α，则1,2OP t OQ t =-=，令222()(1)42(1)2cos g t PQ t t t t α==-+-⋅-⋅2(54cos )(24cos )1t t αα=++--+． 其对称轴为12cos 54cos t αα+=+．而12()54x f x x +=+在5(,)4-+∞上单调增，故12cos 1154cos 3αα+-+≤≤．当12cos 1054cos 3αα++≤≤时，012cos 1(0,)54cos 5t αα+=∈+，解得223αππ<<． 当12cos 1054cos αα+-<+≤时，()g t 在[0,1]上单调增，于是00t =．不合题意．于是夹角的范围为2[,]23ππ．5． （仅理科做）存不存在02x π<<，使得sin ,cos ,tan ,cot x x x x 为等差数列．（25分）。
语文部分2010北约语文测试一、选择正确的或者最好的表达形式（10分）1．只要你不再做坏事，我们就____。
A.既往不咎B.继往不究C.既往不究2．地震引发的瘟疫正在____。
A.曼延B.漫延C.蔓延3．享受美好的事物，____其中的趣味。
A.领略B.领会C.领悟4．豆腐作为营养保健食品____受推崇。
A.备B.倍C.辈5．公元6年，罗马帝国____犹太傀儡王，犹太国从此灭亡。
A.废除B.废黜C.废出6．战略管理的过程一般包括战略设计与选择、政策_____、指导战略实施等重要阶段。
A.制定B.制订C.制作7．他们对出线信心很足，却____无一点懈怠和轻视对手的思想。
A.诀B.决C.绝8．两人观点____，难以协调。
A.方纳圆凿B.方枘蚓凿C.圆凿方汭9．动物性蛋白含有人体____的氨基酸。
A.必需B.必须C.须要10．其震动____这一个国家，世界文化的发展也深受影响。
A.不仅局限于B.不限于C.不仅限于二、语言运用题（10分）最近网上流行一首80后歌曲，其中有一段绕口令式的歌词是：历史长河向前淌岸上睡着一只羊河里漂着一条狼狼要拿羊当口粮羊要认狼当爹娘羊要救狼，狼要吃羊不知是那羊救狼还是狼吃羊请仔细阅读这段歌词后，完成下列两题：1．找出所有押韵的字，用其中至少4个字写成一个单句。
（4分）答：____________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________ _______。
2010年北约自主招生语文试题详解2010年北约自主招生语文真卷一.选择正确的或最好的表达形式（10分）1.只要你不再做坏事，我们就（）。
A既往不究B继往不咎C既往不咎答案：C。
究，从穴,九声。
本义:穷;尽。
究,穷也。
——《说文》。
引申义：系统调查或追查。
咎，会意。
从人,从各。
从“各”,表示相违背。
违背人的心愿。
本义:灾祸,灾。
引申义：罪过，过错。
动词：责备,追究罪过。
2.地震引发的瘟疫正在（）。
A曼延B漫延C蔓延答案：C。
蔓延mnyn像蔓草一样不断向周围扩展。
如：常青藤向上蔓延；火势向四周蔓延。
曼延：连绵不断。
如：曼延曲折的羊肠小路。
漫延，解释同“曼延”。
3.享受美好的事物，（）其中的乐趣。
A领略B领会C领悟答案：A。
领会：着重指理解、体会。
对象常是较抽象的事物，如精神、意思、意义、意图、意味、道理、知识等。
领略：着重指体验、欣赏、认识或尝试。
对象常是具体事物，如风光、风味、滋味等。
领悟：着重指理解，弄明白。
对象常是含义、道理等抽象事物4.豆腐作为营养保健食品（）受推崇。
A倍B备C辈答案：B。
备：全部;完全;尽。
例如“关怀备至”。
5.公元6年，罗马帝国（）犹太傀儡王，犹太国从此灭亡。
A废除B废黜C废出答案：B。
“废除”指取消、废止（法令、制度、条约等）；“废黜”指罢免、革除（官职），现多指废除特权。
6.战略管理的过程一般包括战略设计和选择、政策（）、指导战略实施等重要阶段。
A制定B制订C制作答案：A。
翻开《现代汉语词典》等工具书就会发现，“制订”的解释是“创制拟定”；“制定”的解释是“经过一定程序定出法律、规程、计划等”。
撇开它们相同的语素“制”不谈，就看不同的语素“订”和“定”：“订”则有“拟”的意思，未必形成最终结果，多强调行为的过程，一般不能和“了”连用，类似于英文时态中的“进行时”或“将来时”。
而“定”指决定、使确定，有完成了的意思，多强调行为的结果，可以和“了”连用，类似于英文时态中的“完成时”。
2010年北京大学自主招生保送生笔试考试试题数学（理）1、已知A、B为正五边形两顶点，求证：AB的长不超过。
2、在平面直角坐标系o-xy中，A、B为抛物线C: y=1-x2上两点，分别在y轴两侧。
求过A、B的曲线C的切线与x轴所围成三角形的面积的最小值。
3、已知|A|=2,|B|=1,<A,B>=θ,P=tA,Q=(1-tB.令f(t=|Q-P|，则当t=t o时f(t取最小值。
若0 o <，求θ 范围。
4、若0<θ<，sinθ、cosθ、tanθ、cotθ能否按一定顺序构成等差数列?Answer：1、证略；2、S min=；3、；4、不能。
物理1、光滑水平轨道上有两个小球，分别以V、0.8V向左、右运动，中间有两个用轻质弹簧连接的小球1、2，质量分别为m、2m（小球1在左，小球2在右）。
此时弹簧有弹性势能E P，现松开弹簧释放小球1、2：(1求两球分离时的速度；(2若中间两球追不上左右两边的球，求m取值范围。
2、 (1斜抛运动，初速V，与地面夹角θ，求落地点与抛出点位移S；(2光滑平面上质量为M的人手握质量为m的球，使之以V O相对人抛出，球的落地点与抛出点相距L。
求V O最小值，以及此时V O与地面夹角大小。
3、地面上有一棱长为b、质量为m的立方体ABCD-A’B’C’D’（A’B’C’D’在下）。
现有一个力F垂直作用在棱AB上使立方体分别垂直AB向前、后滚动，则F最小为多少？对应的地面摩擦因素最小分别为多少？4、某理想气体经历循环过程ABC，其中AB为等温膨胀过程，BC为等压压缩过程，CA为等容升压过程。
(1哪个过程对外做功的绝对值最大？(2哪个过程气体内能增大，哪个过程气体内能减少？(3哪个过程气体吸热的绝对值最大？5、正四面体电阻网络，每个棱长的阻值均为R，求任意两顶点AB间的电阻大小。
6、空间中有磁场|B|=0.5T，垂直B的平面上有一Π形导轨，“-”上有一电阻R=0.3Ω，有一有效长度为L=0.7m的导体棒以V=0.4m/s沿导轨向下运动：(1求动生电动势E；(2求R消耗的电功率大小；(3需要多大的力才能使导体棒维持匀速运动。
