北大自主招生试题及答案

自主招生大学试题及答案自主招生是中国高等教育招生制度中的一种选拔方式，它允许高校根据自身的教育理念和专业特色，自主设置考试科目和内容，选拔具有特定特长或潜力的学生。

以下是一份模拟的自主招生大学试题及答案，仅供参考。

# 自主招生大学试题一、语文（共30分）1. 请解释“天行健，君子以自强不息”的含义，并结合实际谈谈你的理解。

（10分）2. 阅读下面这首古诗，回答问题：- 诗题：《静夜思》- 作者：李白- 内容：床前明月光，疑是地上霜。

举头望明月，低头思故乡。

- 请分析这首诗的意境和情感表达。

（10分）3. 请写出一篇不少于300字的短文，以“我的梦想”为题。

（10分）二、数学（共30分）1. 解不等式：\( 3x - 5 > 2x + 1 \)。

（10分）2. 已知函数 \( f(x) = 2x^2 - 3x + 1 \)，求其导数 \( f'(x) \)。

（10分）3. 若 \( a \) 和 \( b \) 是两个正整数，且 \( a^2 + b^2 = 100 \)，求所有可能的 \( a \) 和 \( b \) 的值。

（10分）三、英语（共20分）1. 将下列句子翻译成英文：- 他每天都会阅读英文报纸。

（5分）- 她对音乐有着浓厚的兴趣。

（5分）2. 阅读下面的短文，回答以下问题：- What is the main idea of the passage?（5分）- How does the author develop the main idea?（5分）四、综合能力测试（共20分）1. 请列举三个你认为最重要的领导力特质，并解释为什么。

（10分）2. 假设你是一名志愿者，正在组织一次社区清洁活动。

请描述你将如何策划和执行这个活动。

（10分）# 自主招生大学试题答案一、语文1. “天行健，君子以自强不息”出自《易经》的“乾卦”，意思是天道运行不息，君子应当效仿这种精神，不断自我提升和努力。

北大清华自主招生面试考题(完整版)北大清华自主招生面试考题(完整版)梧桐夜雨1.马克思在《资本论》中论述机器夺走了工人的饭碗时写道：“蒸汽机一开始就是人力的对头”。

请谈谈你的看法。

2.近期房产税、车船税、“馒头税”等均引发社会热议，请谈谈你对纳税与公民权利关系的理解。

3.哈佛大学图书馆墙上写有这样一句话：“请享受无法回避的痛苦”，谈谈你的理解。

4.假如用一种植物比喻中国人的国民性，你会选择什么？为什么？5.有人说：“智慧比体力更重要，成功的关键在于如何使用智慧”，请谈谈你的看法。

6.现在很多家长在高中阶段就把孩子送到国外学习，谈谈你的看法。

7.国家最近规定，中央和省级机构录用公务员，一般情况下都须具有两年以上基层工作经历，不再招收应届毕业生，你对此有何评论。

8.“穷则独善其身，达则兼济天下”，在今天是否还适用？9.目前一些人富裕了但并没感到幸福，谈谈你的看法。

10.有人认为“三纲”(君臣、父子、夫妻)无益，“五常”(仁义礼智信)可取。

试述你的观点。

11.近来续写《红楼梦》又成为社会热点话题。

你认为后人可以续写、仿写、改写经典名著吗？12.古人云“诗画同源”，“诗是无形画，画是有形诗”。

请谈谈你的见解。

13.请从世界历史和国际政治的角度，分析“只有永远的利益，没有永远的朋友”这句话的含义。

14.今年是辛亥革命100周年，海峡两岸将共同举行隆重庆典。

你认为大陆和台湾看待辛亥革命的角度和意义会有什么不同？15.网络带来丰富的信息，但也存在着许多虚假报道和伪装成民意的倾向性意见，你认为政府如何才能从网络上获取真实的社情民意？16.日本政府最近称，由于中国的GDP已经超过日本，所以要大幅削减对华援助，你如何看待此事？17.在鲁迅的小说《祝福》中，“我”作为一个现代知识分子，为什么不告诉祥林嫂“人死后是没有灵魂的”？18.牛顿第一定律可以被实验验证吗？19.“火”被古人当成一种物质元素，今天我们如何认识“火”？20.诗曰：“我看青山多妩媚，料青山看我应如是”，说说你的理解。

清华北大自主招生测评试题物理自主招生物理测评试题（考试时间： 90 分钟，总分 100 分）试题说明： 1 、考试中不准使用计算器2 、计算中，重力加速度一律取g10m / s23 、考试时间 90 分钟，试题满分100 分一、选择题（每小题 4 分，共 48 分。

每个小题的四个选项中，至少有一个正确选项。

全部选对的得 4 分，选对但不全的得 2 分，有选错的得0分）1、如图所示，电源内阻不能忽略，开关闭合后，灯泡 A 、B 均发光。

现将滑动触头向右移动，下列说法正确的是（A）A 灯变亮、 B 灯变暗（B ）A 灯变暗、 B 灯变亮（C）电源路端一定电压增大（D ）电源的输出功率一定增大2 、如图所示，质量为m1和 m2的两个小球固定在长为2l 的轻杆两端，m1m2。

杆的中点是一水平转轴O ，系统可在竖直面内无摩擦转动，空气阻力不计。

若从杆处于水平位臵由静止释放系统，系统转过900的过程中，以下说法正确的是（重力加速度已知）（A）该过程中系统机械能守恒（B ）球m1的机械能守恒（C）可以求出杆竖直时两球的速率（D ）可以求出杆竖直时轴O 对杆的作用力大小第2题图第3题图3、如图所示，不计重力的正电粒子以一定的水平初速度射入平行金属板间竖直的匀强电场中，则下列说法正确的是（以下各情况，粒子均能穿过电场）（A）增大初速度大小，其他条件不变，粒子穿过电场的偏转位移变大（B ）滑动触头向上移动，其他条件不变，粒子穿过电场的偏转位移变大（C）适当增大两板间距离，其他条件不变，粒子穿过电场的偏转位移变大（D ）适当增大两板间距离，其他条件不变，粒子穿过电场的时间变大4、粗糙水平面上一物体以一定初速度向前滑行，从开始滑行到停止，物体的运动位移为S，运动时间为t ，运动过程中的加速度大小为a，则下列说法正确的是（A）运动位移 S 随初速度增大而增大，随质量增大而减小（B ）运动时间 t 随初速度增大而增大，与质量无关（C）加速度大小 a 随质量增大而减小（D ）位移 S、运动时间 t 、加速度大小 a 都随初速度增大而增大5 、如图所示 ,直角三角形框架ABC（角 C 为直角）固定在水平面上，已知 AC 与水平方向的夹角为300。

自主招生模拟试题--04说明：第1--4题每题15分,第5--6题每题20分,试卷总分为100分. 1.求最小的正实数k ,使得111()9ab bc ca k a b c+++++≥对所有的正实数,,a b c 都成立.2.如图,已知O 分别与等边三角形ABC 的三边,,AB BC CA 相切于点,,D E F ,设劣弧DF 上的点P 到三边,,AB BC CA 的距离依次为123,,d d d ,求证:132d d d +=.3.设定义在[1,1]-上的函数221()||33f x x bx c =-++的最大值为M ,求M 的最小值.4.如图,O 是边长为1的正六边形ABCDEF 的中心,一条路径是指从点O 出发,沿着线段又回到点O ,求长度为2013的路径条数.5.已知非直角三角形ABC 的最小边长为5,且tan tan tan [tan ][tan ][tan ]A B C A B C ++≤++,其中符号[]x 表示不超过实数x 的最大整数,求ABC ∆的面积？6.已知函数()bf x ax c x=++(0)a >的图像在点(1,(1))f 处的切线方程为1y x =-. (1)将,b c 用a 表示出来；(2)若()ln f x x ≥在[1,)+∞上恒成立,求a 的取值范围； (3)求证:对所有正整数n ,都有1111ln(1)232(1)n n n n ++++>+++ .OFABCEDd 1d 3d 2F DOE ABCP自主招生模拟试题答题纸1. 2.d 1d 3d 2FDOEABCP4.OFA B CE D参考答案1.求最小的正实数k ,使得111()9ab bc ca k a b c+++++≥对所有的正实数,,a b c 都成立. 解:首先令1a b c ===,则有2k ≥. 其次,证明:1112()9ab bc ca a b c+++++≥对所有的正实数,,a b c 都成立. 由于3111133ab ab a b a b++≥⋅⋅⋅=,同理可得:113bc b c ++≥,113ca c a ++≥.以上三式相加即得:1112()9ab bc ca a b c+++++≥. 综上可知,所求k 的最小值为2.2.如图,已知O 分别与等边三角形ABC 的三边,,AB BC CA 相切于点,,D E F ,设劣弧DF 上的点P 到三边,,AB BC CA 的距离依次为123,,d d d ,求证:132d d d +=.证明:如图,以O 为原点,OA 所在直线为y 轴建立坐标系,不妨设O 的半径为1,则点P 坐标为(cos ,sin )θθ(30150)θ︒≤≤︒,则由题意可得:直线AC 的方程为:cos30cos3010x y ︒+︒-=； 直线AB 的方程为:cos150cos15010x y ︒+︒-=； 直线BC 的方程为:01=+y .由点到直线的距离公式可得:13|cos cos30sin cos301||cos cos150sin cos1501|d d θθθθ+=︒+︒-+︒+︒-222sin (15)2sin (75)2[sin(15)sin(75)]2222θθθθ=-︒+-︒=-︒--︒2sin 12cos 2sin )2cos 2)(sin15sin 15(cos 2d =+=+=+︒-︒=θθθθθ.故,132d d d +=成立.3.设定义在[1,1]-上的函数221()||33f x x bx c =-++的最大值为M ,求M 的最小值. 解:由题意可知对任意的[1,1]x ∈-都有()f x M ≤,则: 21(1)|1|f b c M -=--+≤,1(0)||f c M =≤,21(1)|1|f b c M -=-++≤.y xd 1d 3d 2F DOEABCP故4(1)2(0)(1)M f f f ≥-++21121|1|2|||1|33333b c c b c =--+++-++21121|121|233333b c c b c ≥--+-⋅-++=. 即,12M ≥.事实上,当30,2b c ==时,21()||2f x x =-+在[1,1]-上的最大值为12.所以,实数M 的最小值为12. 4.如图,O 是边长为1的正六边形ABCDEF 的中心,一条路径是指从点O 出发,沿着线段又回到点O ,求长度为2013的路径条数. 解:由题意设从点O 出发沿着线段又回到点O ,且长度为n 的路径条数为n a ,从点A 出发沿着线段到点O ,且长度为n 的路径条数为n b ,则有11162n n n n n a b b a b ---=⎧⎨=+⎩1226n n n a a a --⇒=+.又由于6,021==a a ,故可求得1((77)(17)(77)(17))14n n n a =-⋅+++⋅-. 从而可得长度为2013的路径条数2013201320131((77)(17)(77)(17))14a =-⋅+++⋅-. 5.已知非直角三角形ABC 的最小边长为5,且tan tan tan [tan ][tan ][tan ]A B C A B C ++≤++,其中符号[]x 表示不超过实数x 的最大整数,求ABC ∆的面积？解:由题意知对所有实数x ,都有[]x x ≤,故tan tan tan [tan ][tan ][tan ]A B C A B C ++≥++.结合题目条件可知tan tan tan [tan ][tan ][tan ]A B C A B C ++=++,其中tan ,tan ,tan A B C 均为整数.不妨设tan ,tan ,tan A x B y C z ===(,,x y z 均为非零整数,且x y z ≤≤),则由tan tan()C A B =-+可得xyz x y z =++,而,,A B C 中最多一个钝角,即,y z 必为正整数,03xyz x y z z <=++≤,故3xy ≤,从而1,1x y ==,或1,2x y ==,或1,3x y ==.当1,1x y ==时,由xyz x y z =++知无解； 当1,2x y ==时,由xyz x y z =++知3z =；当1,3x y ==时,由xyz x y z =++知2z =,这与x y z ≤≤不符.故,在ABC ∆中,tan 1,tan 2,tan 3A B C ===,且5BC =.过点B 作高BD ,则在Rt BCD ∆中可求得DBACOFA BCE D1021,1023==CD BD ,在Rt ABD ∆中可求得3102AD =,故210AC =,故ABC ∆的面积为15. 6.已知函数()bf x ax c x=++(0)a >的图像在点(1,(1))f 处的切线方程为1y x =-.(1)将,b c 用a 表示出来；(2)若()ln f x x ≥在[1,)+∞上恒成立,求a 的取值范围； (3)求证:对所有正整数n ,都有1111ln(1)232(1)nn n n ++++>+++ . 解:(1)求导得2'()bf x a x =-,再由题意得'(1)1(1)0f a b f a b c =-=⎧⎨=++=⎩,解得112b a c a=-⎧⎨=-⎩(0)a >. (2)由(1)可知1()12a f x ax a x-=++-(0)a >. 令1()()ln 12ln a g x f x x ax a x x -=-=++--,[1,)x ∈+∞,则21(1)()'()aa x x a g x x ---=.当102a <<时,11a a ->,若1(1,)a x a-∈,则'()0g x <,故()g x 在区间1(1,)aa -上单调递减.所以,当1(1,)ax a -∈时,()(1)0g x g <=,即()ln f x x <,不合题意. 当12a ≥时,11aa-≤,若1x ≥,则'()0g x ≥,故()g x 在区间(1,)+∞上单调递增.所以,当[1,)x ∈+∞时,()(1)0g x g ≥=,即()ln f x x ≥,符合题意.综上可知,实数a 的取值范围为1[,)2+∞.(3)由(2)的结论知:当12a ≥时,()ln f x x ≥在[1,)+∞上恒成立. 取12a =时有11()()ln 2f x x x x =-≥在[1,)+∞上恒成立,当1x >时,11()()ln 2f x x x x=->.依次令2341,,,,123n x n += 可得:212111ln ln 20()(1)121222=-<-=+；3132111ln ln 3ln 2()()2223223=-<-=+；4143111ln ln 4ln 3()()3234234=-<-=+；……111111lnln(1)ln ()()2121n n n n n n n n n n ++=+-<-=+++.将以上n 个等式相加,整理可得:1111ln(1)232(1)nn n n ++++>+++ .。

⾃主招⽣考试试题——北⼤北⼤⾃主招⽣考试试题(笔试，部分）【语⽂】1.写四字短语，要求偏旁部⾸相同。

(10分)2.写⼗字句⼦，每个字都是zh,ch,sh,r。

(10分)3.写⼀段⽂⾔50字以内，⾄少3个“之”，且⽤法不同。

(10分)4.请随便默写⼀⾸五⾔绝句，再将每⼀句诗增加两个字，使之成为七⾔绝句。

(30分)5.作⽂：模仿贪官污吏写600-700字检讨，要体现出其中的华⽽不实、雕琢堆砌、避重就轻和企图敷衍了事。

(40分)【英语】20道选择(20分)2篇阅读，共10道题(40分)(考⽣介绍，两道题的⼤意为：1、⽐较麦当劳和⾼档餐厅的不同，‘我’过⽣⽇时，妻⼦要去正式的餐厅，⽽‘我’更钟情麦当劳；2、⼆战中，有7名英勇的⿊⼈⼠兵，⽴下赫赫战功，但没有得到相应的最⾼荣誉。

多年抗争后，在克林顿执政期间，仅存的⼀名⽼兵终于得到了最⾼荣誉。

)4题英译中(20分)(考⽣介绍，其中⼀道题的⼤意为：我和妻⼦⾛在海滩边，看着⼥⼉在沙滩上、海⾥嬉戏，棕⾊⽪肤闪耀着光芒，忽然间我们听到背后传来⼀名种族主义者的咒骂声，这对于我就像战争上的炮声。

)4题中译英(20分)(考⽣介绍，其中⼏道题的⼤意为：警察⼀直在搜寻⼀个⼩偷，最后在他叔叔家⾥发现；⽕车都是要按时出发和达到，否则整个铁路服务就会陷⼊混乱。

)【历史】1.名词解释(10×6分)布拉格之春、徐光启、宅地法、三反五反、⼆⼆六兵变、匈奴、甲⾻⽂、新青年、东印度公司……2.材料分析题：马克思说过，“如果‘偶然性’完全不起作⽤的话……对发展的加速或延缓起决定性作⽤的偶然性，包括站在运动最前⾯的那些⼈物的性格这种‘偶然情况’。

”请你⽤所知道的历史知识加以解释和评价，特别是划线句(最后⼀句)(40分)【政治】1.“政通⼈和”需要处理好哪些关系？(10分)需要遵守什么基本原则？为什么？(20分)2.某地政府低价买进村民的⼟地，圈起，挂上只要有钱就能在⾥⾯办⼚建房的牌⼦，创造了巨⼤的“经济效益”，被媒体暴光后被相关部门处罚。

北大清华自主招生面试考题(完整版)北大清华自主招生面试考题(完整版)梧桐夜雨1.马克思在《资本论》中论述机器夺走了工人的饭碗时写道：“蒸汽机一开始就是人力的对头”。

请谈谈你的看法。

2.近期房产税、车船税、“馒头税”等均引发社会热议，请谈谈你对纳税与公民权利关系的理解。

3.哈佛大学图书馆墙上写有这样一句话：“请享受无法回避的痛苦”，谈谈你的理解。

4.假如用一种植物比喻中国人的国民性，你会选择什么？为什么？5.有人说：“智慧比体力更重要，成功的关键在于如何使用智慧”，请谈谈你的看法。

6.现在很多家长在高中阶段就把孩子送到国外学习，谈谈你的看法。

7.国家最近规定，中央和省级机构录用公务员，一般情况下都须具有两年以上基层工作经历，不再招收应届毕业生，你对此有何评论。

8.“穷则独善其身，达则兼济天下”，在今天是否还适用？9.目前一些人富裕了但并没感到幸福，谈谈你的看法。

10.有人认为“三纲”(君臣、父子、夫妻)无益，“五常”(仁义礼智信)可取。

试述你的观点。

11.近来续写《红楼梦》又成为社会热点话题。

你认为后人可以续写、仿写、改写经典名著吗？12.古人云“诗画同源”，“诗是无形画，画是有形诗”。

请谈谈你的见解。

13.请从世界历史和国际政治的角度，分析“只有永远的利益，没有永远的朋友”这句话的含义。

14.今年是辛亥革命100周年，海峡两岸将共同举行隆重庆典。

你认为大陆和台湾看待辛亥革命的角度和意义会有什么不同？15.网络带来丰富的信息，但也存在着许多虚假报道和伪装成民意的倾向性意见，你认为政府如何才能从网络上获取真实的社情民意？16.日本政府最近称，由于中国的GDP已经超过日本，所以要大幅削减对华援助，你如何看待此事？17.在鲁迅的小说《祝福》中，“我”作为一个现代知识分子，为什么不告诉祥林嫂“人死后是没有灵魂的”？18.牛顿第一定律可以被实验验证吗？19.“火”被古人当成一种物质元素，今天我们如何认识“火”？20.诗曰：“我看青山多妩媚，料青山看我应如是”，说说你的理解。

2014年北京大学自主招生数学试题1. 圆心角为3π的扇形面积为6π，求它围成圆锥的表面积. 2. 将10个人分成3组，一组4人，两组每组3人，共有几种分法. 3. 2()2()(),(1)1,(4)733a b f a f b f f f ++===,求()2014f . 4.2()lg(2)f x x ax a =-+的值域为R ，求a 的取值范围.5. 已知1x y +=-，且,x y 都为负实数，求1xy xy+的取值范围. 6. 22()arctan14x f x C x +=+-在11,44⎛⎫- ⎪⎝⎭上为奇函数，求C 的值. 一、求证：tan3Q ∉二、已知实系数二次函数()f x 与()g x ，()()f x g x =和()()30f x g x +=有两重根，()f x 有两相异实根，求证：()g x 没有实根.三、1213,a a a 是等差数列，{}113i j k M a a a i j k =++≤<<≤，问：7160,,23是否同在M 中，并证明你的结论.四、()01,2,,i x i n >=，且11n i i x ==∏，求证1)1)nn i i x =≥∏.答案1．π7； 2．2100； 3．4027)2024(12)(=⇒-=f x x f ； 4．1 00≥≤⇒≥∆a or a ；5．⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,417；6．2arctan 0)0(-=⇒=C f 一、求证：Q ∉︒3tan解：若Q aab Q a ∈-=︒=⇒∈=︒2126tan 3tan ，Q ab b a c ∈-+=︒=⇒19tan Q bc cb d ∈-+=︒=⇒115tan 52518tan 41518sin 2-=︒⇒-=︒ 于是Q d d ∈-=⇒=-=︒233215tan ，从而矛盾。

二．实系数二次函数)(),(x g x f ，)()(x g x f =和0)()(3=+x g x f 有两重根，)(x f 有两相异根，求证：)(x g 无实数根。

自主招生模拟试题--02说明：第1--5题每题14分,第6--7题每题15分,试卷总分为100分. 1.求所有的实数[0,]2x π∈,使得(2sin 2)sin()14x x π-+=.2.已知实数,,a x y 满足5533x y x y x y a +=+=+=,求实数a 的所有可能值.3.如图,在四边形ABCD 中,20BAC ∠=︒,30BDC ∠=︒,40ACD ∠=︒,且BAD ADC ∠=∠,求ACB ∠的大小.4.设二次函数2()f x x bx c =++,若当2x ≥时,()0f x ≥,且()f x 在区间(2,3]上的最大值为1,求22b c +的最大值和最小值．5.已知集合{1,2,3,,100} 的子集,A B 满足:①集合A 与B 的元素个数相同；②A B 为空集；③当n A ∈时总有22n B +∈,求集合A B 的元素个数的最大值？6.已知点P 在直线2y x =-上运动,过P 点作抛物线22x y =的切线,切点分别为,A B . (1)求证:直线AB 过定点；(2)求PAB ∆面积S 的最小值,以及相应的P 点坐标.7.称直角坐标系中纵横坐标均为整数的点为“格点”,称一格点沿坐标线到原点的最短路程为该点到原点的“格点距离”(是一个正整数),格点距离为定值(正整数)的点的轨迹称为“格点圆”,该定值称为格点圆的半径,而每一条最短路程称为一条半径,原点称为格点圆的圆心． (1)写出半径为正整数n 的格点圆方程；(2)求出半径为正整数n 的格点圆上的格点数n N ； (3)求出半径为正整数n 的格点圆半径的条数．CBDA自主招生模拟试题答题纸1.2.4. CBDA6.参考答案1.求所有的实数[0,]2x π∈,使得(2sin 2)sin()14x x π-+=. 解:设t x =+)4sin(π,则t x x 2cos sin =+,122sin 2-=t x ,从而有1)23(2=-t t ,即01323=+-t t ,解得1=t ,或1231>+=t (舍),或0231<-=t (舍).于是,有唯一的实数4π=x 符合题意.2.已知实数,,a x y 满足5533x y x y x y a +=+=+=,求实数a 的所有可能值.解:设b xy a y x ==+,,则由题意有b a y x 2222-=+,ab a y x xy y x y x 3)(3)(3333-=+-+=+,从而可得:2352322233225555)3)(2()())((ab b a a ab ab a b a y x y x y x y x y x +-=---=+-++=+.又由已知a y x y x =+=+3355可得a ab a =-33,且a ab b a a =+-23555. 显然,0=a 符合题意；当0≠a 时,则有132=-b a ,且155224=+-b b a a .消去b ,整理得04524=+-a a ,解得1±=a ,2±=a .综上可知,实数a 的所有可能值有:2,1,0,1,2--.3.如图,已知在四边形ABCD 中,20BAC ∠=︒,30BDC ∠=︒,40ACD ∠=︒,且BAD ADC ∠=∠,求ACB ∠的大小.解:在AC 上取一点E ,使得AE AD =,连接DE 并延长交AB 的延长线于点F ,连接CF .因18040(20)ACD CAD ADC BAD BAD ︒=∠+∠+∠=︒+∠-︒+∠,故80BAD ADC ∠=∠=︒.从而60CAD ∠=︒,50ADB ∠=︒,于是50ABD ADB ∠=︒=∠,AB AD =.由于AE AD =,60CAD ∠=︒,因此ADE ∆为等边三角形.于是60CAD ADF AED ∠=∠=∠=︒,且AE DE AD AB ===.又由20BAC ∠=︒可得80ABE AEB ∠=∠=︒,从而可得40BEF BFE ∠=∠=︒,得BE BF =.由FAD CDA ∠=∠,AD DA =,AFD DAC ∠=∠可得F A D C D∆≅∆,从而可得F D C A =,于是有E F E C =,而60FEC AED ∠==︒,故FEC ∆为等边三角形,故CE CF =,且60ECF ∠=︒.由BE BF =,CE CF =,BC BC =得BCE BCF ∆≅∆,故30BCE BCF ∠=∠=︒.CBD AFECBDA4.设二次函数2()f x x bx c =++,若当2x ≥时,()0f x ≥,且()f x 在区间(2,3]上的最大值为1,求22b c +的最大值和最小值．解：由题意函数图象为开口向上的抛物线,且()f x 在区间(]2,3上的最大值只能在闭端点取得,故有(2)(3)1f f =≤,从而5b -≥且38c b =--． 若()0f x =有实根,则240b c ∆=-≥,在区间[]2,2-有(2)0,(2)0,22,2f f b ⎧⎪-⎪⎨⎪⎪-⎩≥≥≤≤ 即420,420,44,b c b c b -+⎧⎪++⎨⎪-⎩≥≥≤≤ 消去c ,解出4,54,44,b b b ⎧-⎪⎪-⎨⎪-⎪⎩≤≤≤≤即4b =-,这时4c =,且0∆=．若()0f x =无实根,则240b c ∆=-<,将38c b =--代入解得84b -<<-． 综上54b --≤≤．所以22222(38)104864b c b b b b +=+--=++,单调递减. 故2222min max ()32,()74b c b c +=+=．5.已知集合{1,2,3,,100} 的子集,A B 满足:①集合A 与B 的元素个数相同；②A B 为空集；③当n A ∈时总有22n B +∈,求集合A B 的元素个数的最大值？解:首先证明|A ∪B |≤66,只需证明|A |≤33,由分析知需要证明：若A 是｛1,2,3,…,49｝的任何一个34元子集,则必存在n ∈A,使得2n+2∈A.证明如下：将｛1,2,3,…,49｝分成如下33个集合：｛1,4｝,｛3,8｝,｛5,12｝,…,｛23,48｝,共12个；｛2,6｝,｛10,22｝,｛14,30｝,｛18,38｝,共4个；｛25｝,｛27｝,｛29｝,…,｛49｝,共13个；｛26｝,｛34｝,｛42｝,｛46｝,共4个．若A 是｛1,2,3,…,49｝的任何一个34元的子集,则由抽屉原理可知上述33个集合中至少有一个2元集合中的两个数均属于A ,即存在n ∈A ,2n +2∈A .所以|A |≤33.事实上,如取A ＝｛1,3,5,…,23,2,10,14,18,25,27,29,…,49,26,34,42,46｝,B ＝｛2n +2|n ∈A ｝,则A ,B 满足题中要求,且|A ∪B |＝66.所以集合A ∪B 的元素个数最多为66.6.已知点P 在直线2y x =-上运动,过P 点作抛物线22x y =的切线,切点分别为,A B . (1)求证:直线AB 过定点；(2)求PAB ∆面积S 的最小值,以及相应的P 点坐标.解:由题意可设点P 的坐标为(,2)m m -,点,A B 的坐标分别为2111(,)2x x ,2221(,)2x x ,其中12x x ≠.因此以A 为切点的切线PA 的方程为21112x x y x ⋅=+,以B 为切点的切线PB 的方程为22212x x y x ⋅=+,于是有:211222122122x m m x x m m x ⎧⋅=-+⎪⎪⎨⎪⋅=-+⎪⎩.将两式作差,化简得122x x m +=,将两式相加,化简得1224x x m ⋅=-.(1)由题意可知直线AB 的斜率k 一定存在,且有2212121211222x x x x k m x x -+===-,因此直线AB 的方程为 22111111()()2(1)222y m x x x mx mx x mx m m x =-+=--=-+=-+.故直线AB 过定点(1,2)C .(2)由点(,2)P m m -到直线AB :2y mx m =-+的距离为2222|24|2411m m m m d m m -+-+==++；边AB 的长度为22222121212||1||1()42124AB m x x m x x x x m m m =+⋅-=+⋅+-=+⋅-+.于是PAB ∆的面积221||(24)242S AB d m m m m =⋅=-+⋅-+.因2243m m -+≥,其中当1m =时,“＝”成立,故 当1m =,即点P 的坐标为(1,1)P -时,PAB ∆的面积S 取得最小值33.7.称直角坐标系中纵横坐标均为整数的点为“格点”,称一格点沿坐标线到原点的最短路程为该点到原点的“格点距离”(是一个正整数),格点距离为定值(正整数)的点的轨迹称为“格点圆”,该定值称为格点圆的半径,而每一条最短路程称为一条半径,原点称为格点圆的圆心． (1)写出半径为正整数n 的格点圆方程；(2)求出半径为正整数n 的格点圆上的格点数n N ； (3)求出半径为正整数n 的格点圆半径的条数．解 (1)设格点圆上任一点的坐标为(),P x y (,x y 为整数),由定义,不管按什么路线走,其水平方向的最短路程均为x 个单位(相当于投影到x 轴没有出现重叠,否则不是最短路线),其竖直方向的最短路程均为y个单位．故可得格点圆方程为x y n +=(,x y 为整数)． (2)解法1：由格点圆方程可列举如下表x 01± 2±…… ()1n ±-n ±yn ±()1n ±-()2n ±-…… 1±0 格点数244442共计4n N n =．解法2：由格点圆方程可得1n =时有4个格点()()()()0,1,01,1,0,1,0--,14N =．当n 由k 到1k +时,第一象限及x 轴正半轴由x 可取1,2,,k 变为可取1,2,,,1k k + 增加了1个整点,由对称性,共增加了4个整点,有14k k N N +-=,由等差数列的通项公式得()1414n N N n n =+-=． (3)由格点圆方程可知x 有1n +个可取值0,1,2,,1,n n - ．当0x =时,格点在y 轴上时,有2条半径,记为02n C ；当x n =时,格点在x 轴上时,有2条半径,记为2nn C ．当x k =(0k n <<)时,考虑第一象限,每一个格点(),A k n k -(0k n <<)对应着一个以O 、A 为对角顶点的()k n k ⨯-矩形,从A 到O 的每一条最短路程都是从()k n k ⨯-矩形中取出n 条单位线段,其中k 条为水平单位线段,其余n k -条为竖直单位线段,所以,每一条半径对应着从n 条单位线段中取出k 条水单位线段,有kn C 条半径．再由对称性,得4个象限共有4kn C 条半径．求和,得格点圆半径的总条数为()0121012124442441n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C --+++++⎡⎤=+++++-⎣⎦ ．()421n =-．。

自主招生地理试题及答案一、单项选择题（每题2分，共40分）1. 地球自转一周的时间是（）A. 24小时B. 23小时56分4秒C. 365天D. 1年答案：B2. 地球公转的周期是（）A. 24小时B. 365天C. 23小时56分4秒D. 1年答案：D3. 地球公转轨道的形状是（）A. 圆形B. 椭圆形C. 抛物线D. 双曲线答案：B4. 地球自转产生的地理现象是（）A. 昼夜长短的变化B. 季节的变化C. 正午太阳高度的变化D. 昼夜交替答案：D5. 地球公转产生的地理现象是（）A. 昼夜长短的变化B. 季节的变化C. 正午太阳高度的变化D. 昼夜交替答案：B6. 地球的自转轴与公转轨道平面的夹角是（）A. 0°B. 23.5°C. 66.5°D. 90°答案：B7. 地球上的五带分别是（）A. 热带、温带、寒带、极地、赤道B. 热带、温带、寒带、极地、温带C. 热带、温带、温带、寒带、极地D. 热带、温带、寒带、温带、极地答案：B8. 地球上的回归线是（）A. 23.5°NB. 23.5°SC. 66.5°ND. 66.5°S答案：A9. 地球上的极圈是（）A. 23.5°NB. 23.5°SC. 66.5°ND. 66.5°S答案：C10. 地球上的极点是（）A. 23.5°NB. 23.5°SC. 90°ND. 90°S答案：C11. 地球上的赤道是（）A. 23.5°NB. 23.5°SC. 0°D. 66.5°N答案：C12. 地球上的经度是（）A. 从北极点向东或向西测量B. 从赤道向东或向西测量C. 从本初子午线向东或向西测量D. 从南极点向东或向西测量答案：C13. 地球上的纬度是（）A. 从北极点向东或向西测量B. 从赤道向东或向西测量C. 从本初子午线向东或向西测量D. 从赤道向北或向南测量答案：D14. 地球上的时区划分是以（）为基准的A. 赤道B. 本初子午线C. 国际日期变更线D. 南北极点答案：B15. 地球上的国际日期变更线大致与（）经线重合A. 0°B. 180°C. 23.5°D. 66.5°答案：B16. 地球上的大气层中，对流层位于（）A. 地表至10公里高度B. 地表至50公里高度C. 地表至100公里高度D. 地表至200公里高度答案：A17. 地球上的大气层中，平流层位于（）A. 地表至10公里高度B. 地表至50公里高度C. 地表至100公里高度D. 地表至200公里高度答案：B18. 地球上的大气层中，电离层位于（）A. 地表至10公里高度B. 地表至50公里高度C. 地表至100公里高度D. 地表至200公里高度答案：C19. 地球上的大气层中，外层空间位于（）A. 地表至10公里高度B. 地表至50公里高度C. 地表至100公里高度D. 地表至200公里高度答案：D20. 地球上的大气压力随高度的增加而（）A. 增加B. 减少C. 保持不变D. 先增加后减少答案：B二、多项选择题（每题3分，共30分）21. 地球自转的地理意义包括（）A. 昼夜交替B. 季节变化C. 地方时差D. 正午太阳高度的变化答案：AC22. 地球公转的地理意义包括（）A. 昼夜交替B. 季节变化C. 地方时差D. 正午太阳高度的变化答案：BD23. 地球五带中，热带的特征是（）A. 有太阳直射现象B. 有极昼极夜现象C. 四季分明D. 终年高温多雨答案：AD24. 地球五带中，温带的特征是（）A. 有太阳直射现象B. 有极昼极夜现象C. 四季分明D. 终年高温多雨答案：C25. 地球五带中，寒带的特征是（）A. 有太阳直射现象B. 有极昼极夜现象C. 四季分明D. 终年低温少雨答案：BD26. 地球上的大气层对地球的影响包括（）A. 保护地球免受宇宙射线的伤害B. 维持地球表面的温度C. 调节地球的水循环D. 影响地球的气候和天气答案：ABCD27. 地球上的大气压力变化的影响因素包括（）A. 高度B. 温度C. 湿度D. 地理位置答案：ABD28. 地球上的大气层中，对流层的特点包括（）A. 气温随高度增加而降低B. 存在天气现象C. 空气对流运动强烈D. 空气密度最大答案：ABCD29. 地球上的大气层中，平流层的特点包括（）A. 气温随高度增加而降低B. 存在臭氧层C. 空气对流运动强烈D. 空气密度较小答案：BD30. 地球上的大气层中，电离层的特点包括（）A. 气温随高度增加而降低B. 存在臭氧层C. 空气对流运动强烈D. 反射无线电波答案：D三、判断题（每题1分，共10分）31. 地球自转的方向是从西向东。

1-sin 2x12016年北京大学自主招生数学试题一、选择题．在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．已知sin x -cos x =2(0<x <2π)，则x 的取值范围是（）A．⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0πB．⎪⎭⎫⎝⎛ππ,2C．⎪⎭⎫ ⎝⎛23,ππ D.以上三个答案都不对2．(2+1)(22+1)(23+1)(22016+1)的个位数字是（）A．1B．3C．5D．前三个答案都不对3．点P 位于∆ABC 所在的平面内，使得∆PAB ,∆PBC ,∆PCA 的面积相等，则满足题意的点P 有（）A．1个B．3个C．5个D．前三个答案都不对4．记f (n )为最接近值为（）的整数，其中n ∈N *．若f (1)+1f (2)++1f (m )=2016，则正整数m 的A．1015056B．1017072C．1019090D．前三个答案都不对5.实数x ,y ,z 满足x +y +z =2016，，则()()()=---201620162016z y x （）5．A．0B．1C．−1D．前三个答案都不对⎧⎪a 3-b 3-c 3=3abc ,6．方程组⎨⎪⎩a2=2(b +c )的非负整数解有（）A．1组B．4组C．5组D．前三个答案都不对7．4个半径为1的球两两外切，则这4个球的外切正四面体的棱长为（）A．2+2B．2+2C．2+2D．前三个答案都不对8．将1,2,⋯,100分成三组，使得第一组数的和为102的倍数，第二组数的和为203的倍数，第三组和为304的倍数．则不同的分法共有（）1-cos 2xn 2361111=++zy xA．1种B．2种C．3种D．前三个答案都不对二、填空题．9．已知f (x )=3x 2-x +4，g (x )为整系数多项式，f (g (x ))=3x 4+18x 3+50x 2+69x +a ,则g (x )的各项系数之和为．10．54张扑克牌排成一列．先去掉第一张，将第二张放到最后；再去掉第三张，将第四张放到最后……以此类推，则最后剩下的那张牌是原先的第张．11．用高斯函数[x ]表示不超过实数x 的最大整数，则方程[][]12001200212001200222+=+n n 的正整数解有12．空间中的一点P (x ,y ,z )满足∃n ∈N *，使得183≤++n n n z y x 成立，则所有满足要求的P 所形成的空间几何体的体积为．北京大学2016年自主招生数学参考答案与解析1．B．根据题意，有sin x>0，cos x<0，于是x是第二象限的角．2．C．因为22+1=5，且对于任意正整数k，都有2k+1为奇数，所以(2+1)(22+1)(23+1)(22016+1)≡5(mod10).3．D．考虑到平面内使△PAB和△PBC的面积相等的点的轨迹为直线BM以及过点B且与AC平行的直线，其中M为边AC的中点，因此满足题意的点P有4个：△ABC的重心，或者由P,A,B,C四点所构成的平行四边形的顶点．4．B．若f(n)=k，则k2-k+1≤n≤k2+k,所以f(1)=f(2)=1,f(3)=f(4)=f(5)=,f(6)=2,,进而有2016=1+1++1=2⋅1+4⋅1+6⋅1++2016⋅1, f(1)f(2)f(m)231008故m=2+4+6++2016=1017072．5．A．由于(x-m)(y-m)(z-m)=xyz-m(xy+yz+zx)+m2(x+y+z)-m3⎡1⎛111⎫⎤2,=mxyz⎢m- x+y+z⎪⎪⎥+m[(x+y+z)-m]于是所求代数式的值为0⎣⎝⎭⎦6⎢⎪666．B．根据题意，有a 3-b 3-c 3-3abc =a 3-(b +c )3+3bc (b +c -a )=a 3-1a 6+3bc ⎛1a 2-a⎫8=⎛1⎝2⎫⎡2⎛1⎪⎭,12⎫⎤a 1-a ⎪a 2 1+a +a 24⎪-3bc ⎥⎝⎭⎣⎝⎭⎦=0当a =0时，(b ,c )=(0,0)；当a =2时，(b ,c )=(0,2),(1,1),(2,0)．当a ≠0,2时，有2⎛112⎫142a 1+a +a -3bc >a -3bc =(b +c )-3bc ≥0,⎝24⎭4于是题中方程组的非负整数解共有4组．7．C．棱长为a 的正四面体的内切球半径为a ．设4个半径为1的球的球心分别为O ，O ,O ,O ,121234则正四面体O O O O 的棱长为2，故其内切球半径为．设这4个球的外切正四面体为12346ABCD ，则正四面体ABCD 的内切球半径为1+8．D．6，故正四面体ABCD 的棱长为2+2．6假设这样的分法存在，设三组数的和分别为102x ,203y ,304z ，x ,y ,z ∈N *，则102x +203y +304z =5050,即101(x +2y +3z )+(x +y +z )=101⨯50,于是101|x +y +z ,因此x +y +z ≥101．而此时102x +203y +304z >102(x +y +z )>5050,矛盾．故不存在满足题意的分法．20012+120012+19．8．易知g (x )为二次多项式，设g (x )=px 2+qx +r ，则f (g (x ))=3g 2(x )-g (x )+4=3p 2x 4+6pqx 3+(3q 2+6pr -p )x 2+(6qr -q )x +3r 2-r +4,对比系数，依次解得p =1，q =3，r =4，a =48．故g (x )的各项系数之和为8．10．44．每一轮剩下的牌依次是11．4002．因为2,4,6,⋯,52,54,4,8,12,⋯,48,52,4,12,20,⋯,44,52,12,28,44,12,44,44.2002⋅2001<2002<2002⋅2001+1,所以[200220012+1]=2002⋅2001．于是原方程等价于[n20012+1]=2001n ,即2001n ≤n <2001n +1,解得n <1+2001，所以原方程的正整数解有4002组．12．．3考虑第一卦限，只需要3x ,8y ,z ∈(0,1)即可．因此所有满足要求的点P 所形成的空间几何体为一个长方体，体积为1⋅1⋅1⋅8=1.38320012+1。

清华北大自主招生测评试题 物理自主招生物理测评试题（考试时间：90分钟，总分100分） 试题说明：1、考试中不准使用计算器2、计算中，重力加速度一律取210/g m s =3、考试时间90分钟，试题满分100分一、选择题（每小题4分，共48分。

每个小题的四个选项中，至少有一个正确选项。

全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）1、如图所示，电源内阻不能忽略，开关闭合后，灯泡A 、B 均发光。

现将滑动触头向右移动，下列说法正确的是（A ）A 灯变亮、B 灯变暗 （B ）A 灯变暗、B 灯变亮 （C ）电源路端一定电压增大 （D ）电源的输出功率一定增大2、如图所示，质量为1m 和2m 的两个小球固定在长为2l 的轻杆两端，12m m <。

杆的中点是一水平转轴O ，系统可在竖直面内无摩擦转动，空气阻力不计。

若从杆处于水平位臵由静止释放系统，系统转过090的过程中，以下说法正确的是（重力加速度已知）（A）该过程中系统机械能守恒（B）球m的机械能守恒1（C）可以求出杆竖直时两球的速率（D）可以求出杆竖直时轴O对杆的作用力大小第2题图第3题图3、如图所示，不计重力的正电粒子以一定的水平初速度射入平行金属板间竖直的匀强电场中，则下列说法正确的是（以下各情况，粒子均能穿过电场）（A）增大初速度大小，其他条件不变，粒子穿过电场的偏转位移变大（B）滑动触头向上移动，其他条件不变，粒子穿过电场的偏转位移变大（C）适当增大两板间距离，其他条件不变，粒子穿过电场的偏转位移变大（D）适当增大两板间距离，其他条件不变，粒子穿过电场的时间变大4、粗糙水平面上一物体以一定初速度向前滑行，从开始滑行到停止，物体的运动位移为S，运动时间为t，运动过程中的加速度大小为a，则下列说法正确的是（A）运动位移S随初速度增大而增大，随质量增大而减小（B ）运动时间t 随初速度增大而增大，与质量无关 （C ）加速度大小a 随质量增大而减小（D ）位移S 、运动时间t 、加速度大小a 都随初速度增大而增大5、如图所示,直角三角形框架ABC （角C 为直角）固定在水平面上，已知AC 与水平方向的夹角为030=α。

自主招生大学试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列哪项是自主招生大学选拔的主要依据？A. 高考成绩B. 竞赛成绩C. 面试表现D. 推荐信答案：C2. 自主招生大学通常在什么时间进行？A. 高考之前B. 高考之后C. 高考期间D. 高考报名时答案：A3. 自主招生大学选拔过程中，以下哪项不是常见的选拔方式？A. 笔试B. 面试C. 体育测试D. 艺术表演答案：D4. 自主招生大学选拔的学生通常需要具备哪些特质？A. 学术成绩优异B. 创新能力C. 领导力D. 所有上述特质答案：D5. 自主招生大学选拔过程中，以下哪项不是学生需要准备的材料？A. 个人陈述B. 成绩单C. 推荐信D. 健康证明答案：D二、填空题（每题2分，共10分）6. 自主招生大学选拔过程中，学生需要提交的______是展示个人特点和学术潜力的重要材料。

答案：个人陈述7. 自主招生大学选拔的学生通常需要在______方面有突出表现。

答案：学术或创新8. 自主招生大学选拔过程中，面试环节主要考察学生的______和______。

答案：沟通能力，逻辑思维9. 自主招生大学选拔的学生在入学后，往往享有______和______等优势。

答案：优先选课，导师指导10. 自主招生大学选拔过程中，学生需要关注______和______，以确保材料的完整性和准确性。

答案：截止日期，提交要求三、简答题（每题5分，共20分）11. 请简述自主招生大学选拔过程中，学生需要准备哪些材料？答案：学生需要准备的材料包括个人陈述、成绩单、推荐信、竞赛获奖证书、科研或社会实践经历证明等。

12. 自主招生大学选拔过程中，面试环节通常包含哪些内容？答案：面试环节通常包含自我介绍、专业知识问答、情景模拟、团队协作等，旨在全面考察学生的综合素质。

13. 自主招生大学选拔的学生在入学后，通常有哪些特殊待遇？答案：入学后，学生通常享有优先选课、导师指导、科研项目参与、奖学金申请等特殊待遇。

2012年综全性大学自主选拔录取联合考试语文、数学（文科）试卷（注意：所有答案，都必须写在答题卡上，答在试卷上者不得分！）语文部分一、选择最好的表达形式（10分）1．公安部的专家来了以后，投入到查案状态，但令人震惊的是，专家的箱子竟在住所______，于是公安人员又得去找重要的箱子。

A．遭遇失窃B．遭窃C．遭遇被窃D．遭盗2．当孙杨游到1400米的时候，______的数据显示当时他只比世界纪录同步成绩慢了2.03秒。

A．即时B．立即C．及时D．及至3．黑犀的前角长而______，后角短而直。

A．弯曲B．曲折C．扭曲D．曲4．天很高，没有云，没有雾，连一丝浮尘也没有。

无遮无掩的太阳，笨重地，迟缓地从东天__西天。

A．滚向B．移向C．爬向D．滑向5．我省热带作物生产的规模很小，管理水平和技术水平不高，______。

A．因此发展潜力还很大B．发展潜力还很大C．因此，还有很大的发展潜力D．所以还有很大发展潜力6．对于一些经济领域的问题，也______。

A．从理论上和政策上作了详细的规定和深刻的说明B．作了理论上和政策上的详细的规定和深刻的说明C．从政策上和理论上作了详细的规定和深刻的说明D．从理论上和政策上进行了详细的规定和深刻的说明7．几年来，他们______，为科学种田提供了依据。

A．对全村的土壤酸碱度作了测量和氮磷钾试验B．对全村的土壤作了酸碱度测量和氮磷钾试验C．对全村的土壤酸碱度进行了测量和氮磷钾试验D．对全村土壤的酸碱度作了测量和氮磷钾试验8．该书补收了过去漏收的一些简文，删去了过去误收的一些简文，______。

A．对一些简文的位置作了调整B．改变了一些简文的位置C．调整了一些简文的位置D．对一些简文的位置进行了改变9．由于树木茂密，______。

直到听见了马蹄声，山头上的敌军才鸣枪报警。

A．我骑兵队伍起初没有被敌军发现B．敌军起初没有把我骑兵队伍发现C．我骑兵队伍起初没有被发现D．敌军起初没有发现我骑兵队伍10．有了这次教训，张老师对同学们的学习比过去抓得紧，对同学们的体育锻炼______。