对数形结合思想在高中函数教学中的作用探讨

数形结合思想方法在高中数学教学中的运用一、数形结合思想方法的概念数形结合思想方法是指将数学中的抽象概念与具体图形相结合，使抽象概念更加形象化和具体化，从而帮助学生更好地理解和掌握数学知识。

这种方法通过将数学问题转化为几何问题，突出了问题的形象性和直观性，使学生更容易理解和掌握数学内容。

二、数形结合思想方法的运用1. 代数表达与几何图形在代数学习中，常常涉及到各种方程、函数及其图像。

教师可以引导学生通过绘制函数图像的方法，帮助学生更好地理解代数表达式的意义。

对于一元二次函数y=ax^2+bx+c，教师可以通过绘制抛物线的图像，让学生直观地感受到a、b、c对函数图像的影响，从而加深对函数的理解和运用。

2. 数列与平面几何在数列的学习中，常常涉及到数列的通项公式和求和公式。

通过将数列的通项公式和求和公式与平面几何结合起来，可以帮助学生更好地理解数列的规律和性质。

教师可以通过绘制数列的图形，让学生直观地感受到数列的增减规律及其和的变化规律，从而加深对数列的理解和掌握。

3. 解析几何与代数方程在解析几何的学习中，常常涉及到直线、圆、抛物线等几何图形的方程式。

教师可以通过将几何图形的方程式与代数方程结合起来，帮助学生更直观地理解几何图形的性质和方程的意义。

教师可以通过分析直线方程和圆的方程的关系，让学生理解方程式与几何图形的联系，从而加深对解析几何的理解和运用。

2. 培养学生的几何直观能力学生在数学学习中往往更倾向于代数计算，而对几何图形的理解和运用能力相对较弱。

数形结合思想方法可以帮助学生培养几何直观能力，提高他们对几何图形的理解和运用水平。

3. 提高学生的数学思维能力数形结合思想方法可以激发学生的求知欲，培养他们的数学思维能力。

通过将数学问题转化为几何问题，学生能够更主动地思考和解决问题，提高他们的数学思维能力。

2. 拓展教学手段和方法数形结合思想方法为教师提供了新的教学手段和方法，丰富了教学内容和形式，提高了教学的多样性和趣味性，能够激发学生的学习兴趣。

高中数学中数形结合思想在函数解题中的运用（一）数形结合在求函数定义域方面的应用例1：求函数y =的定义域. 解析：若要解决该函数的定义域，则有23200x x x ⎧-+≥⎨≠⎩，要解决此类不等式的解集， 需要借助图像，如右图：由图像可以看出，若要2320x x -+≥，只需1,x ≤或2x ≥，再由0x ≠，得出该函数的定义域即为：()(][),00,12,-∞+∞. 小结：随着学生做题熟练程度的增强，二次不等式的求解已不用再画图。

因此在求函数定义域方面，多见于画数轴选择出取值范围。

（二）数形结合在求函数值域方面的应用例2：求函数(]223,1,2y x x x =--∈-的值域. 解析：看到所求函数为二次函数，由于函数是非单调的，所以并不能代端点值去求出值域，因此需要借助图像来观察，如右图：借助图像的直观表达可知道，具有区间范围的该二次函数的图像应为黄色区域部分，此函数的最小值是在对称轴处取得，即当1x =时，4y =-。

从而该函数的值域为：(]0,4-。

小结：对于此类问题是学生的常见出错点，学生们习惯于直接带入端点值得出其值域，因此对于给定区间上的二次函数值域问题，培养学生数形结合的思想是非常重要的。

（三）数形结合在函数单调性方面的应用例3：已知2()2(1)2f x x a x =+-+在(],4-∞上是减函数，求实数a 的取值范围。

解析：函数解析式中含有字母，因此函数在坐标系内的具体位置不能固定，需要画图分析，看何种情况才能满足题干要求：通过图像分析可知：若要满足函数在给定区间上为单调函数，只能是后两种情况，也就是函数图像的对称轴不能出现在所给区间内，从而解题找到突破口。

所给函数对称轴方程：1x a =- ,由图像分析可知，需有a 14-≥，从而a 5≥。

小结：该类问题常见于二次函数中，因其单调性与对称轴的位置有关，故通常画图分析更能直观得出题目所需情况，从而快速得出结论。

（四）数形结合在函数奇偶性方面的应用例4：已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()(1)f x x x =+.试求当0x <时，函数()f x 的解析式。

江西师范大学科学技术学院学士学位论文浅谈中学数学中数形结合的思想On the middle school mathematics in the form of the combination of the number ofthought姓名：学号：学院：科学技术学院专业：数学与应用数学指导老师：完成时间：2012年4月18日浅谈中学数学中数形结合的思想【摘要】数形结合是一种极富数字特点的信息转换方法，数学上总是用数的抽象性质说明形的事实，同时又用图形的性质来说明数的事实。

应用数形结合法，通过图形性质的的分析，使数学中的许多抽象的概念及定理直观化、形象化、简单化，并借助代数的计算和分析得以严谨化。

本文试就数形结合思想在数学中的应用做一综述,对于如何培养学生的数形结合意识,加强数形结合思想训练的方法做一些总结和建议,结合一般例子体现数形结合思想在数学中的基础性和重要性。

【关键词】数形结合直觉思维培养方法On the middle school mathematics in the form of the combination of the number of though 【Abstract】Several form is an extremely with the characteristics of the digital information transfer method, on the number of mathematics is always used the fact that form the abstract nature, and the nature of that with graphics to the number of the facts. Application form for combination, through the analysis of the nature of the graphics, the mathematical many of the abstract concept and theorem direct, visual and simplicity, and with algebra calculation and analysis to the rigorous. The paper tries to form combining ideas for the application in mathematics are reviewed in this paper, how to train the student to form the number with consciousness, strengthen the training of the number form combining ideas and Suggestions to do some summary method, combining general example several form combining ideas embodied in the basic math and importance.【Key words】several form combined with intuition thinking cultivation method目录1引言............................................. 错误！未定义书签。

作者： 刘九华[1]
作者机构： [1]海门实验学校,江苏南通226100
出版物刊名： 文理导航
页码： 34-34页
年卷期： 2019年 第14期
主题词： 高中;数学;数形结合;解题;教学效率
摘要：数学作为学生学习生涯阶段需要学习的重点科目,对学生一生的发展有着重要影响。

在数学科目中也贯穿着多种数学思想,在解题、推导中都有重要的作用。

数形结合思想是其中一种思想,在高中数学中具有重要作用,高中数学中重点内容:集合、函数、不等式和几何等都扮演着重要角色,可以充分提高学生解题速度,保证课堂效率。

依形判数，以数助形数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学．“数”与“形”是数学中的两个最基本的概念，每一个几何图形中都蕴含着一定的数量关系；而数量关系又常常可以通过几何图形做出直观的反映和描述，所以数形结合也就成为研究数学问题的重要思想方法．在解题方法上，“数”与“形”相互转化，从而使问题化难为易、化繁为简，达到解决问题的目的．下面结合具体例题给同学们说说数形结合思想在二次函数中的体现．【例1】二次函数在同一坐标系中的图象如图1．（1）哪个函数的图象过B、C、D三点？（2）若BO=AO，BC=DC，且点B、C的横坐标分别是1、3，求这两个函数的解析式．图1【分析】借助函数的图象研究函数的性质，是一种很重要的方法．观察图象，过A、B、C三点的抛物线开口向下，则相应二次函数解析式中二次项系数应小于零，而过B、C、D三点的抛物线开口向上，则相应二次函数解析式中二次项系数应大于零，所以只要判断a与a+1哪个大于零即可．因为a+1>a，易得出经过B、C、D三点．利用抛物线的对称性确定的对称轴为x=0，的对称轴经过C点，则可推出D点坐标．再利用图象上点的坐标应满足函数解析式，则可构造关于a、c的方程组，求出待定系数的值．【解】（1）22(1)2(2)3y a x b x c ∴=+-+++的图象开口向上 2y B C D ∴的图象经过、、三点122||||2020103||||50BO AO b y x ab B C y BC DC y C D =-∴=-=∴==∴ （）的对称轴（，）、（，）又的对称轴经过点，且（，）122212100(1)502580(2)13(1)(2)131121433333B y a c D y a c a c y x y x x +=++=⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴=-+=-+将（，）代入，得将（，）代入，得解、得，【评点】观察图形主要是观察图形的形状、大小、位置关系等，寻找图形中蕴含的数量关系，运用推理或计算得出结论．这是数形结合分析、解决问题的一个重要方面．【例2】 已知：关于x 的方程2230x mx m -+=的两个实数根是12x x ，，且212()16x x -=．如果关于x 的另一个方程22690x mx m -+-=的两个实数根都在12x x 和之间，求m 的值．【分析】本题是已知一元二次方程的两个实数根所满足的条件，求方程中待定系数的值的题目．常规的解法是由第一个方程两根满足的条件，利用根与系数的关系，建立关于待定系数m 的方程，求出m 的值．再把m 的值代入第二个方程，并求出其根，检验其两根是否都在第一个方程的两根之间，从而确定m 的值【解法一】212230(1)x x x mx m -+= 、是方程的两个实数根121221223()16x x m x x mx x ∴+==-= ，· 21212212()41641216141x x x x m m m m I m ∴+-=∴-==-==-解得，（）当时，2122212(1)230312690(2)2150n 5n 353311x x x x x mx m x x x x m +-=∴=-=-+-=+-=∴=-=--∴=- 方程为，方程为，、不在和之间不合题意，舍去21221211224(1)812026(2)8150n 3n 52356n n II m x x x x x x x x x x x x =-+=∴==-+=∴==<<<<<< （）当时，方程为，方程为，，即(2)(1)44m I I I m ∴∴==方程的两根都在方程的两根之间综合（）（），【评点】由以上几例看到，正确地绘图对于题意的理解、思路的探求、方法的选择、结论的判定都有重要的作用，要善于把作图与计算结合起来，充分发挥图形的作用．【例3】如图，二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴只有一个公共点P ，与y 轴交点为Q ．过Q 点的直线2y x m =+与x 轴交于点A ，与这个二次函数的图象交于另一点B ．若3BPQ APQ S S ∆∆=，求这个二次函数的解析式．【分析】本题为函数与平面几何的综合题，要确定二次函数的解析式，就需要构造关于待定系数b 、c 的方程组，求出b 、c 的值．如何利用题目给出的众多条件呢？（1）以数助形，求出图象上关键点的坐标．二次函数图象与y 轴交点Q 的坐标为（0，c ）222242y x m Qm c y x bx c y x cB b b c =+∴=⎧=++⎨=+⎩--+ 又直线过点。

数形结合思想在高中数学解题中的运用探究【摘要】数统计。

数形结合思想是高中数学解题中的重要方法之一，本文探讨了其在高中数学解题中的重要性和如何运用这一思想解决问题。

通过案例分析，我们看到数形结合思想在几何和代数问题中均有广泛应用。

本文还讨论了数形结合思想与其他数学知识的联系。

结论部分总结了数形结合思想在高中数学解题中的实践意义，并展望了未来在高中数学教学中的发展方向。

数形结合思想的应用不仅能够帮助学生更好地理解和解决问题，也有助于提升他们的数学思维能力，培养他们的逻辑推理能力，为他们未来的学习和工作打下扎实的基础。

【关键词】数形结合思想、高中数学、解题、重要性、运用、案例分析、几何问题、代数问题、联系、实践意义、发展、教学、数学知识1. 引言1.1 引言内容数统计等。

数形结合思想是数学中非常重要的一种思维方式，它将抽象的数学概念与具体的几何图形相结合，既能够帮助我们更加直观地理解问题，又能够提高我们解决问题的效率。

在高中数学学习中，数形结合思想的应用广泛而深入，涉及到几何、代数、概率等多个领域。

通过运用数形结合思想，我们不仅可以更好地理解数学知识，还可以更加灵活地运用这些知识解决问题。

本文将深入探讨数形结合思想在高中数学解题中的重要性，介绍如何运用数形结合思想解决高中数学问题，并通过案例分析展示数形结合思想在几何问题和代数问题中的具体应用。

我们还将探讨数形结合思想与其他数学知识的联系，阐述数形结合思想在高中数学解题中的实践意义，以及展望数形结合思想在未来高中数学教学中的发展。

希望通过本文的探讨，读者能够更深入地理解数形结合思想，并在解决数学问题时能够灵活运用这一思维方式。

2. 正文2.1 数形结合思想在高中数学解题中的重要性数形结合思想可以帮助学生更好地理解数学问题。

通过将数学问题与几何图形相结合，可以直观地展示问题的本质，帮助学生建立全面的认识。

在解决几何问题时，通过数形结合思想，可以将抽象的代数问题转化为具体的几何图像，使问题更加直观和易于理解。

浅谈数形结合思想在一次函数教学中的应用恒丰学校陈小玲从小学到初中的数学学习过程中，我们老师在教学时就对我们学生灌输了形在数学学习方面的知识，只不过没有进行系统，综合的整理，所以也就没有引起同学们的重视，认为能用代数的知识进行求解，没必要另辟蹊径。

在这里，我根据自己的实际教学所接触的问题，浅谈一下数形结合思想在一次函数中的优势。

大家知道，数，指的是运用代数的知识解决问题，形，指的是利用图形来研究性质。

那么它们之间究竟具有怎样的联系呢？我们先来了解一下一次函数这方面的知识。

在学习一次函数的性质时，我们知道根据图像观察可得到，当一次函数y=kx+b(k,b为常数，k 0）的k>0时，函数y的值随着自变量x的值增大而增大，当k<0时，函数y的值随着自变量x的值增大而减少，可见，这比我们利用代数的知识来比较两个数的大小就更容易理解，更形象化。

并且，当k>0,b>0时，函数的图像经过一，二，三象限；k>0,b<0时，函数的图像经过一，三，四象限；k<0,b>0时，函数的图像经过一，二，四象限；k<0,b<0时，函数的图像经过二，三，四象限。

上述这些结论我们从代数的角度来理解的话就会感到很费劲，而从形的方面来看的话，通俗易懂，形象具体，可见，形在有些方面比数就有恨大的优越性。

另外，在学习一次函数与一元一次方程时，大家对于系数是已知的常数时，用代数的方法求解起来感到非常的容易，但是对于系数如果是用未知的字母来代替时，就会觉得很麻烦，这时，我们回忆一元一次方程与一次函数之间的联系，想到方程的解就是它所对应的一次函数的值为零时所对应的自变量的值（或者是函数的图像与x轴的交点的横坐标的值），这样理解起来就很容易了。

如：一次函数y=kx+b与x轴的交点为（2,0），求方程kx+b=0的解。

如果用代数的方法，一个方程，两个未知数，我们很难求出系数k,b的。

但联系一次函数与一元一次方程之间的关系就很快得出方程的解了，x=2.还有，在学习一次函数与不等式的知识时，我们知道一次不等式大于零或小于零）的解集就是它所对应的一次函数的值大于零（或小于零）时所对应的自变量的取值范围（或者是函数的图像在x轴上方（下方）说对应的自变量的取值范围），这样，不管系数是已知的常数还是未知的字母，我们采用他们之间的内在联系性就会很容易求解了。

数形结合思想在中学数学中的应用学院名称：数学计算机科学学院专业名称： 10数学与应用数学专业*名：***同组人员：王帅帅指导教师：***数形结合思想在中学数学中的应用摘要数与形是数学中两个最主要最基本的研究对象，数与形是紧密相连的，在一些特定的条件下，数与形是可以相互转化的，这就是“数形结合”。

数形结合作为数学学习的一个重要思想，在数学学科中占有重要的地位。

本文中主要介绍了数形结合研究背景及意义；在中学教学中的地位；应用数形结合的原则和途径以及数形结合思想在中学解题中的应用等问题。

通过分析、比较和归纳充分展现数形结合思想在解题中的特点和优越性，从而在实际教学中要将数形结合思想融汇到课堂中，培养学生加强数形结合思想的意识。

关键词数与形；数形结合；中学数学The combination of shapes and number in the middle school Abstract The number and shape are the two most major and basic research objects in mathematics, and they have close relationship. In some specific conditions, they are interchangeable,which is named the combination of shapes and number.The combination of shapes and number is an important thought in mathematics studying,while it occupies an important position in mathematics, too. This article mainly introduces：the research background and significance of the combination of shapes and number,it's position in the middle school teaching ,the principles and ways of it's application ,and the application of the combination of shapes and number thought in the middle school problem solving and so on. Through the analysis, comparison and induction,it shows the combination of shapes and number thought's characteristic and advantages in the problem solving, which in actual teaching ,we should form together with this thought to the classroom, training students to strengthen the consciousness of the combination of shapes and number thought.Keywords Number and shape The combination of number and shapes The mathematics of the middle school目录摘要 (1)Abstract (2)前言 (4)1 数形结合思想方法概述 (4)1.1 数形结合思想的研究背景 (4)1.2数形结合思想的研究意义及作用 (5)2 数形结合思想方法在中学数学教学中的地位 (5)2.1从新课程标准对思维能力的要求看数形结合 (5)2.2从新课程教学内容的特点来看数形结合 (5)2.3从高考题设计背景来看数形结合 (6)3 数形结合思想应用的途径和原则 (6)3.1．数形结合的途径 (6)3.2．数形结合的原则 (7)4 数形结合思想方法在中学解题中的应用 (7)4.1“数”中思“形” (7)4.1.1利用韦恩图法解决集合之间的关系问题 (7)4.1.2 利用数轴解决集合的有关运算 (8)4.1.3 数形结合思想在解决对称问题中的应用 (8)4.1.4 利用函数图像比较函数值的大小 (9)4.1.5 数形结合思想在解方程问题中的应用 (9)4.1.6数形结合解决最值问题 (10)4.2“形”中觅“数” (10)5 结束语 (11)参考文献 (11)致谢 (12)前言在数学思想中，有一类思想是体现基础数学中的具有奠基性和总结性的思维成果，这些思想可以称之为基本数学思想。

教学信息新教师教学数形结合的教学方式可以将数所具有的量化关系与形所表现的具体想象空间关系做有效的结合，从而达到知识点形象具体的内容展示效果，一方面建立有效的形象思维，让内容简化，便于内容的理解，另一方面将知识点具体的精确化，提升思维的精确度。

在高中教学中广泛的运用了数形结合方法，学生的灵活运用程度较高。

一、高中数学数形结合教学方法的价值（一）做好初高中知识点的过渡衔接在初中数学学习方面，主要是有较强的概念性内容，解题主要通过模仿来有效习得，内容较为具体。

高中数学更多的是抽象思维的训练，需要学生有更强的思维能力、空间感与运算能力。

对于初高中知识的过渡转化，可以通过数形结合的方式来达到有效的衔接，将初中与高中的思维要点进行结合，兼具量化具体特点与形的抽象运用。

学生在接受能力上得到有效提升，学习效率得到显著提高。

一般情况下，数形结合已经广泛的运用在课堂教学与习题练习中，尤其是在立体几何和函数内容的运用中最为明显，有效的提升了学生空间想象力，同时依照数量的辅助，将空间想象表现的更为精确。

（二）有助于学生在解题中培养数形结合的高效模式在解题中，运用数形结合可以有效的提升解题效率。

以空间几何为例，学生头脑中难以形成具体的空间想象力，如果题目所说是一个立体长方形，如果知识有单纯的数字，则无法明白其中点、线与平面的空间位置关系，不能进行有效的观察测算，如果只有形，没有量化指标，长方体的长宽高位置关系不明确，则会导致具体形有多种表现，形如果不确定，那么就无法有效的进行接下来的计算。

因此，立体几何是充分结合了数形结合的思维模式，从而才能达到高效解题的效果。

往往立体结合通过明确的数形结合图形表示，会非常的清晰易懂，但是只用文字描述则无法形象的展示。

（三）形成学生数形结合思维模式数形结合并不仅仅能够用在立体结合中，其他逻辑性较强的函数等知识点中也可以充分运用。

甚至在生活中的方方面面都可以较好的通过数形结合来解决。

这种思维模式的建立有利于学生在高中数学，甚至其他学科中学习，最典型的如物理中，学习运用该方式也较为普遍。

例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用二次函数教学中的“数形结合”思想的应用二次函数作为高中数学中的重要内容之一，其教学一直备受学生和教师的关注。

在二次函数教学中，要求学生不仅要能够掌握相关的概念和定理，还要能够应用所学的知识解决实际问题。

“数形结合”思想在二次函数教学中的应用显得尤为重要。

本文将针对二次函数教学中的“数形结合”思想进行分析和探讨，以期能够更好地引导学生理解和掌握二次函数的相关知识。

一、探究二次函数图像的特点在二次函数教学中，学生首先需要了解二次函数的图像特点。

一般来说，二次函数的图像是一个抛物线，其开口方向由二次项系数的正负性决定，开口向上的抛物线代表二次项系数大于0，开口向下的抛物线代表二次项系数小于0。

二次函数的顶点坐标、对称轴方程、零点坐标等也是学生需要掌握的内容。

通过学习这些内容，学生可以初步认识二次函数图像的特点，从而为后续的学习打下基础。

在教学中，可以通过让学生观察二次函数图像的变化，来引导他们探究二次函数图像的特点。

可以让学生改变二次函数的系数，观察对图像的影响，从而深入理解二次函数的图像特点。

老师还可以通过实例演示的方式，引导学生进一步理解二次函数图像的特点，激发学生的学习兴趣，提高他们对二次函数图像特点的理解能力。

二、数形结合的实际应用在学生掌握了二次函数的图像特点后，就可以引入“数形结合”思想，让学生将数学知识与实际问题相结合，进行实际应用。

可以通过实际问题来引导学生分析和解决问题，从而培养学生的数学建模能力和解决问题的能力。

通过实际问题的应用，还可以让学生更加直观地理解二次函数的意义和应用价值，提高他们对数学知识的兴趣和学习积极性。

在教学中，老师可以鼓励学生提出问题、进行实验和观察，从而引导他们进行自主探究。

通过这样的方式，学生可以更加深入地理解二次函数的相关知识，同时也可以培养其独立思考和问题解决的能力。

在探究性学习的过程中，老师要给予适当的指导和帮助，促进学生的学习成果，从而提高他们的学习效果。