代数和函数综合问题.doc

一次函数代几综合问题一．填空题（共6小题）1．如图，直线和x轴、y轴分别交于点A、B．若以线段AB为边作等边三角形ABC，则点C的坐标是．2．一次函数y=x+4分别交x轴、y轴于A、B两点，在x轴上取一点，使△ABC为等腰三角形，则这样的点C的坐标为．3．如图，平面直角坐标系中，已知直线y=x上一点P（1，1），C为y轴上一点，连接PC，线段PC绕点P顺时针旋转90°至线段PD，过点D作直线AB⊥x轴，垂足为B，直线AB与直线y=x交于点A，且BD=2AD，连接CD，直线CD与直线y=x交于点Q，则点Q的坐标为．4．如图，已知直线l：y=x，过点A（0，1）作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点A1；过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2；…；按此作法继续下去，则点A4的坐标为．5．在直角坐标系中，正方形A1B1C1O1、A2B2C2C1、…、A n B n C n C n﹣1按如图所示的方式放置，其中点A1、A2、A3、…、A n均在一次函数y=kx+b的图象上，点C1、C2、C3、…、C n均在x轴上．若点B1的坐标为（1，1），点B2的坐标为（3，2），则点A n的坐标为．6．如图，直线1：与x轴、y轴分别相交于点A、B，△AOB与△ACB关于直线l对称，则点C的坐标为．二．解答题（共24小题）7．已知一次函数y=2x﹣4的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，点P在该函数的图象上，P到x轴、y 轴的距离分别为d1、d2．（1）当P为线段AB的中点时，求d1+d2的值；（2）直接写出d1+d2的范围，并求当d1+d2=3时点P的坐标；（3）若在线段AB上存在无数个P点，使d1+ad2=4（a为常数），求a的值．8．在平面直角坐标系xOy中，边长为6的正方形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，直线y=mx+2与OC，BC两边分别相交于点D，G，以DG为边作菱形DEFG，顶点E在OA边上．（1）如图1，当CG=OD时，直接写出点D和点G的坐标，并求直线DG的函数表达式；（2）如图2，连接BF，设CG=a，△FBG的面积为S．①求S与a的函数关系式；②判断S的值能否等于等于1？若能，求此时m的值，若不能，请说明理由；（3）如图3，连接GE，当GD平分∠CGE时，m的值为．9．认真阅读材料，然后回答问题：我们知道，在数轴上，x=1表示一个点．而在平面直角坐标系中，x=1表示一条直线；我们还知道，以二元一次方方程2x﹣y+1=0的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数y=2x+1的图象，它也是一条直线，如图1可以得出：直线x=1与直线y=2x+1的交点P的坐标（1，3）就是方程组在直角坐标系中，x≤1表示一个平面区域，即直线x=1以及它左侧的部分，如图2；y≧2x+1也表示一个平面区域，即直线y=2x+1以及它上方的部分，如图3．回答下列问题：请你自己作一个直角坐标系，并在直角坐标系中（1）用作图象的方法求出方程组的解．（2）用阴影表示，所围成的区域．10．如图，直线l1的解析表达式为：y=3x﹣3，且l1与x轴交于点D，直线l2经过点A，B，直线l1，l2交于点C．（1）求△ADC的面积；（2）在直线l2上存在异于点C的另一点P，使得△ADP与△ADC的面积相等，则点P的坐标为；（3）若点H为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点H，使以A、D、C、H为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，在平面直角坐标系中，已知直线l1和l2相交于点A，它们的解析式分别为l1：y=x，l2：y=﹣x+．直线l2与两坐标轴分别相交于点B和点C，点P在线段OB上从点O出发．以每秒1个单位的速度向点B运动，同时点Q从点B出发以每秒4个单位的速度沿B→O→C→B的方向向点B运动，过点P作直线PM⊥OB分别交l1，l2于点M，N．连接MQ．设点P，Q运动的时间是t秒（t＞0）（1）求点A的坐标；（2）点Q在OC上运动时，试求t为何值时，四边形MNCQ为平行四边形；（3）试探究是否存在某一时刻t，使MQ∥OB？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．12．已知，将边长为5的正方形ABCO放置在如图所示的直角坐标系中，使点A在x轴上，点C在y轴上．点M（t，0）在x轴上运动，过A作直线MC的垂线交y轴于点N．（1）当t=1时，求直线MC的解析式；（2）设△AMN的面积为S，求S关于t的函数解析式并写出相应t的取值范围；（3）在该平面直角坐标系中，第一象限内取点P（2，y），是否存在以M、N、C、P为顶点的四边形是直角梯形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．13．如图①，以四边形AOCD的顶点O为原点建立直角坐标系，点A、C、D的坐标分别为（0，2）、（2，0）、（2，2），点P（m，0）是x轴上一动点，m是大于0的常数，以AP为一边作正方形APQR（QR落在第一象限），连接CQ．（1）请判断四边形AOCD的形状，并说明理由：（2）连接RD，请判断△ARD的形状，并说明理由：（3）如图②，随着点P（m，0）的运动，正方形APQR的大小会发生改变，若设CQ所在直线的表达式为y=kx+b（k≠0），求k的值．14．如图，将边长为4的正方形纸片，置于平面直角坐标系内，顶点A在坐标原点，AB在x轴正方向上，E、F分别是AD、BC的中点，M在DC上，将△ADM沿折痕AM折叠，使点D折叠后恰好落在EF上的P点处．（1）求点M、P的坐标；（2）求折痕AM所在直线的解析式；（3）设点H为直线AM上的点，是否存在这样的点H，使得以H、A、P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．15．如图①，在平面直角坐标系中，A点坐标为（3，0），B点坐标为（0，4）．动点M从点O出发，沿OA方向以每秒1个单位长度的速度向终点A运动；同时，动点N从点A出发沿AB方向以每秒个单位长度的速度向终点B运动．设运动了x秒．（1）点N的坐标为（，）；（用含x的代数式表示）（2）当x为何值时，△AMN为等腰三角形；（3）如图②，连接ON得△OMN，△OMN可能为正三角形吗？若不能，点M的运动速度不变，试改变点N的运动速度，使△OMN为正三角形，并求出点N的运动速度．16．已知直线y=﹣x+4与x轴和y轴分别交与B、A两点，另一直线经过点B和点D（11，6）．（1）求AB、BD的长度，并证明△ABD是直角三角形；（2）在x轴上找点C，使△ACD是以AD为底边的等腰三角形，求出C点坐标；（3）一动点P速度为1个单位/秒，沿A﹣﹣B﹣﹣D运动到D点停止，另有一动点Q从D点出发，以相同的速度沿D﹣﹣B﹣﹣A运动到A点停止，两点同时出发，PQ的长度为y（单位长），运动时间为t（秒），求y关于t的函数关系式．17．如图：直线y=kx+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，，点C（x，y）是直线y=kx+3上与A、B不重合的动点．（1）求直线y=kx+3的解析式；（2）当点C运动到什么位置时△AOC的面积是6；（3）过点C的另一直线CD与y轴相交于D点，是否存在点C使△BCD与△AOB全等？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．18．如图，在平面直角坐标系中，已知O为原点，四边形ABCD为平行四边形，A、B、C的坐标分别是A（﹣5，1），B（﹣2，4），C（5，4），点D在第一象限．（1）写出D点的坐标；（2）求经过B、D两点的直线的解析式，并求线段BD的长；（3）将平行四边形ABCD先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度所得的四边形A1B1C1D1四个顶点的坐标是多少？并求出平行四边形ABCD与四边形A1B1C1D1重叠部分的面积．19．如图1，在平面直角坐标系中，已知△AOB是等边三角形，点A的坐标是（0，4），点B在第一象限，点P是x轴上的一个动点，连接AP，并把△AOP绕着点A按逆时针方向旋转，使边AO与AB重合，得到△ABD．（1）求直线AB的解析式；（2）当点P运动到点（，0）时，求此时DP的长及点D的坐标；（3）是否存在点P，使△OPD的面积等于？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．20．已知，直线y=﹣x+1与x轴，y轴分别交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90度．且点P（1，a）为坐标系中的一个动点．（1）求三角形ABC的面积S△ABC；（2）证明不论a取任何实数，三角形BOP的面积是一个常数；（3）要使得△ABC和△ABP的面积相等，求实数a的值．21．如图，在直角坐标系xoy中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．（1）已知OC⊥AB于C，求C点坐标；（2）在x轴上是否存在点P，使△PAB为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．22．如图1，在正方形ABOC中，BD平分∠OBC，交OA于点D．（1）若正方形ABOC的边长为2，对角线BC与OA相交于点E．则：①BC的长为；②DE的长为；③根据已知及求得的线段OB、BC、DE的长，请找出它们的数量关系？（2）如图2，当直角∠BAC绕着其顶点A顺时针旋转时，角的两边分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点C1和B1，连接B1C1交OA于P．B1D平分∠OB1C1，交OA于点D，过点D作DE⊥B1C1，垂足为E，请猜想线段OB、B1C1、DE三者之间的数量关系，并证明你的猜想；（3）在（2）的条件下，当B1E=6，C1E=4时，求直线B1D的解析式．23．如图，一次函数的函数图象与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作Rt△ABC，且使∠ABC=30°；（1）如果点P（m，）在第二象限内，试用含m的代数式表示四边形AOPB的面积，并求当△APB与△ABC面积相等时m的值；（2）如果△QAB是等腰三角形并且点Q在坐标轴上，请求出点Q所有可能的坐标；（3）是否存在实数a，b使一次函数和y=ax+b的图象关于直线y=x对称？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．24．一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A（8，0）和点B（0，6）．（1）确定此一次函数的解析式．（2）求坐标原点O到直线AB的距离．（3）点P是线段AB上的一个动点，过点P作PM垂直于x轴于M，作PN垂直于y轴于N，记L=PM+PN，问L是否存在最大值和最小值？若存在，求出此时P点到原点O的距离，若不存在请说明理由．25．已知直线y=2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P在坐标轴上，且PO=2AO．求△ABP的面积．26．已知A（1，5），B（3，﹣1）两点，在x轴上取一点M，使AM﹣BM取得最大值时，则M的坐标为．27．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交于x轴，y轴于B、A两点，D、E分别是OA、OB的中点，点P从点D出沿DE方向运动，过点P作PQ⊥AB于Q，过点Q作QR∥OA交OB于R，当点Q与B点重合时，点P停止运动．（1）求A、B两点的坐标；（2）求PQ的长度；（3）是否存在点P，使△PQR为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的点R的坐标；若不存在，请说明理由．28．如图，直线y=﹣2x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，将△OAB绕点O逆时针方向旋转90°后得到△OCD．（1）填空：点C的坐标是（，），点D的坐标是（，）；（2）设直线CD与AB交于点M，求线段BM的长；（3）在y轴上是否存在点P，使得△BMP是等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．29．已知△ABC，∠BAC=90°，AB=AC=4，BD是AC边上的中线，分别以AC，AB所在直线为x轴，y 轴建立直角坐标系（如图）．（1）在BD所在直线上找出一点P，使四边形ABCP为平行四边形，画出这个平行四边形，并简要叙述其过程；（2）求直线BD的函数关系式；（3）直线BD上是否存在点M，使△AMC为等腰三角形？若存在，求点M的坐标；若不存在，说明理由．30．如图，一次函数的图象与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为边在第一象限内作等边△ABC，（1）求△ABC的面积；（2）如果在第二象限内有一点P（a，）；试用含有a的代数式表示四边形ABPO的面积，并求出当△ABP的面积与△ABC的面积相等时a的值；（3）在x轴上，是否存在点M，使△MAB为等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．。

代数式练习题（打印版）### 代数式练习题（打印版）#### 一、基础代数式运算1. 代入法求解代数式给定代数式：\( ax + b \)，若 \( a = 2 \)，\( b = 3 \)，求代数式的值。

2. 合并同类项合并下列代数式中的同类项：\( 5x^2 + 3x - 2x^2 + x \)。

3. 代数式的简化简化代数式：\( 4y^2 - 3y + 2 - y^2 + 5y \)。

4. 多项式乘法计算多项式 \( (x + 2)(x - 3) \) 的乘积。

5. 多项式除法将多项式 \( 3x^3 - 6x^2 + 5x - 2 \) 除以 \( x - 1 \)。

#### 二、代数式的应用6. 平均数问题某班级有 25 名学生，平均分是 82 分，求总分。

7. 增长率问题如果某产品的初始价格是 100 元，每年增长 5%，求两年后的售价。

8. 速度与时间问题如果某人以 5 公里/小时的速度行走，求他 3 小时后走了多远。

9. 面积与周长问题一个矩形的长是 10 米，宽是 5 米，求其面积和周长。

10. 利润与成本问题某商品的成本是 50 元，售价是 80 元，求利润率。

#### 三、代数式的扩展11. 因式分解将代数式 \( x^2 - 9 \) 进行因式分解。

12. 配方法使用配方法将代数式 \( x^2 + 6x + 5 \) 转化为完全平方形式。

13. 代数式的不等式解不等式 \( 3x + 2 > 11 \)。

14. 代数式的方程解方程 \( 2x^2 - 5x + 1 = 0 \)。

15. 代数式的函数图像描述函数 \( y = x^2 \) 在 \( x = 0 \) 时的图像特征。

#### 四、综合应用题16. 代数式在几何中的应用一个直角三角形的两条直角边分别为 \( a \) 和 \( b \)，求斜边的长度。

17. 代数式在物理中的应用如果一个物体从静止开始以匀加速运动，加速度是 \( 2 \) 米/秒²，求 3 秒后的速度。

高中数学试卷 代数——函数概念练习题一、单选题1．自2019年1月1日起，我国个人所得税税额根据应纳税所得额､税率和速算扣除数确定，计算公式为：个人所得税税额=应纳税所得额×税率-速算扣除数.应纳税所得额的计算公式为：应纳税所得额=综合所得收入额-基本减除费用-专项扣除-专项附加扣除-依法确定的其他扣除.其中，“基本减除费用”(免征额)为每年60000元.部分税率与速算扣除数见下表：若某人全年综合所得收入额为249600元，专项扣除占综合所得收入额的20%，专项附加扣除是52800元，依法确定其他扣除是4560元，则他全年应缴纳的个人所得税应该是（ ） A ．5712元B ．8232元C ．11712元D ．33000元2．下列函数是奇函数的是（ ）A ．y=x ﹣1B ．y=2x 2﹣3C ．y=x 3D ．y =x(x−1)x−13．已知幂函数 f(x)=x α 的图象经过点 (2,√22) ，则 f(16)= （ ）A ．4B ．-4C ．14D ．−144．已知幂函数 y =f(x) 的图像经过点 (2,4) ，则 f(√2) 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．已知 f(x)={x −10(x ≥3)f(x +2)(x <3)，则 f(2) 的值为 ()A ．-6B ．-8C ．6D ．86．下列函数中，在 (0,+∞) 单调递减，且是偶函数的是（ ）A ．y =2x 2B ．y =3xC ．y =−2x +1D ．y =(12)|x|7．下列函数中与函数 y =x 相等的函数是（ ）A ．y =(√x)2B ．y =√x 2C ．y =x 2xD ．y =(√x 3)38．已知函数f （x ）的图象恒过点（1，1），则函数f （x ﹣3）的图象恒过（ ）A ．（4，1）B ．（﹣3，1）C ．（1，﹣3）D ．（1，4）9．f(x)=x1−cosx 的部分图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知函数 f(x)=x 2−2x 在区间 [−1,t] 上的最大值为3，则实数t 的取值范围是（ ）A ．(1,3]B ．[1,3]C ．[−1,3]D ．（-1,3]11．若函数 f(x)=x 2+2(a −1)x +2 在区间 (−∞,4] 内递减，那么实数 a 的取值范围是（ ） A ．a ≤−3B ．a ≥−3C ．a ≤5D ．a ≥312．已知符号函数 sgn x ={1，x >0，0，x =0，−1，x <0.f(x) 是 R 上的增函数， g(x)=f(x)−f(ax) (a >1) ，则（ ） A ．sgn[g(x)]=sgnx B ．sgn[g(x)]=−sgnx C ．sgn[g(x)]=sgn[f(x)]D ．sgn[g(x)]=−sgn[f(x)]13．已知f （x ）=x 2e x （e 为自然对数的底），若存在唯一的x 0∈[﹣1，1]，使得f （x 0）=m 在m∈[t ﹣2，t]上恒成立，则实数t 的取值范围是（ ） A ．[1，e] B ．（1+ 1e ，e]C ．（2，e]D ．（2+ 1e，e]14．已知函数 f(x) = √2x −1 ，则g （x ）=f （2x-1）+ 1x−2的定义域为（ ）A ．[32,+∞)B ．[32,2)∪(2,+∞)C ．[34,2)∪(2,+∞)D ．（﹣∞，2）∈（2，+∞）15．若a 、b 是方程x +lgx =4，x +10x=4的解，函数f (x )={x 2+(a +b )x +2，x ≤02，x >0，则关于x 的方程f (x )=x 的解的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．416．定义在R 上的函数 f(x) 满足 f(−x)+f(x)=0，f(x)=f(2−x) ；且当 x ∈[0，1] 时，f(x)=x 3−x 2+x ．则方程 7f(x)−x +2=0 所有的根之和为（ ） A ．14B ．12C ．10D ．817．已知函数 f(x) 满足：对任意的 x ∈R ，f(x)+f(5−x)=−1 ，若函数 y =f(x) 与 y =1−x2x−5 图像的交点为 (x i ，y i )(i =1.2，….，n) ，则 ∑(x i +y i )nn=1的值为（ ） A ．0 B ．n C ．2n D ．3n二、填空题18．已知函数 f(x) 的周期为4，且当 x ∈[−2，2] 时， f(x)=2−x 2 ，则 f(9)= . 19．函数 f(x)=√2−xln(x+1)的定义域为 .20．已知函数 f(x) 满足 f(x +y)=f(x)+f(y)−3 ，且 f(4)=5 ，则 f(2)= . 21．函数y=12x−1的定义域为 ． 22．已知f(x ＋1)＝x 2＋2x ＋4，则f(x)的最小值为 . 23．若函数f(x)满足f(x)=2lnx −xf ′(2)，则f ′(2)= .24．已知函数 f(x)=3x 2+6x +1 ，且 f ′(x 0)=0 ，则 x 0= . 25．已知 f(x)=e πx sinπx ，则 f ′(12)=26．已知函数 f(x)=|x −1|+|x|+|x +1| ，且 f(a 2−3a +2)=f(a −1) ，则 f(x) 的最小值为 ；满足条件的所有 a 的值为 ． 27．若函数 f(x)={2x−1+1,x >11−(12)x−1,x <1, ，则 f(a)+f(2−a)= ．28．设函数 f(x)(x ∈R) 满足 f(−x)=f(x)，f(x)=f(2−x) ，且当 x ∈[0，1] 时 f(x)=x 3 ，又函数 g(x)=|xcos(πx)| ，则函数 ℎ(x)=g(x)−f(x) 在 [−12，32] 上的零点个数为 .29．函数y =[x]称为高斯函数，[x]表示不超过，x 的最大整数，如[0.9]=0，[ln99]=1.已知数列{a n }满足a 3=3，且a n =n(a n+1−a n )，若b n =[lna n ]，则数列{b n }的2022项和为 .30．已知函数f （x ）=x 2+2bx ，g （x ）=|x ﹣1|，若对任意x 1，x 2∈[0，2]，当x 1＜x 2时都有f （x 1）﹣f（x 2）＜g （x 1）﹣g （x 2），则实数b 的最小值为 ．31．已知f （x ）是定义域在（0，+∞）上的单调递增函数．且满足f （6）=1．f （x ）﹣f （y ）=f （ x y ）（x ＞0，y ＞0）．则不等式f （x+3）＜f （ 1x ）+2的解集是 ．32．已知函数 f(x)=1x +1x+1+1x+2 ，由 f(x −1)=1x−1+1x +1x+1是奇函数，可得函数 f(x) 的图象关于点 (−1,0) 对称，类比这一结论，可得函数 g(x)=x+2x+1+x+3x+2+⋯+x+7x+6的图象关于点 对称.33．已知 f(x) 满足 f(x)+1=1f(x+1)， 当 x ∈[0，1] 时， f(x)=x. 若函数 g(x)=f(x)−mx −m 在 (−1，1] 内有2个零点，则实数 m 的取值范围是 .34．已知圆O 的方程为x 2+y 2=1，P 是圆C ：(x −2)2+y 2=16上一点，过P 作圆O 的两条切线，切点分别为A 、B ，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为 ．三、解答题35．已知直线 l 过点 P(−1,2) ．（1）若直线 l 在两坐标轴上截距和为零，求 l 方程；（2）设直线 l 的斜率 k >0 ，直线 l 与两坐标轴交点分别为 A 、 B ，求 ΔAOB 面积最小值．36．如图，把长为1的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若半圆的半径为x ，求此框架围成的面积y 与x 的解析式，并写出它的定义域.37．求函数y= lg(x+1)x−1的定义域．38．已知函数 f(x)=√3sin(x +π6)−sin(x −π3) .（∈）求 f(π6) 的值；（∈）若 x ∈[0,2π] ，求 f(x) 的单调递减区间.39．已知f （x ）=x 2﹣2x+3，g （x ）=log 2（x 2﹣2x+3），且两函数定义域均为[0，3）．（1）画函数f （x ）在定义域内的图象，并求f （x ）值域； （2）求函数g （x ）的值域．40．已知函数f （x ）=x 2+（a+2）x+b 满足f （﹣1）=﹣2（1）若方程f （x ）=2x 有唯一的解；求实数a ，b 的值；（2）若函数f （x ）在区间[﹣2，2]上不是单调函数，求实数a 的取值范围．41．设函数f （x ）=ln （2x ﹣m ）的定义域为集合A ，函数g （x ）= √3−x ﹣1√x−1的定义域为集合B ．（∈）若B∈A ，求实数m 的取值范围； （∈）若A∩B=∈，求实数m 的取值范围．42．设f （x ）=﹣ 1x +ln 1+x 1−x．（1）求函数的定义域；（2）判断函数f （x ）的奇偶性； （3）讨论函数f （x ）的单调性．43．若函数 f(x) 对定义域中任意x 均满足 f(x)+f(2a −x)=2b ，则称函数 y =f(x) 的图象关于点 (a ，b) 对称．（1）已知函数 f(x)=x 2+mx+m x的图象关于点 (0，1) 对称，求实数m 的值；（2）已知函数 g(x) 在 (−∞，0)∪(0，+∞) 上的图象关于点 (0，1) 对称，且当 x ∈(0，+∞) 时， g(x)=x 2+ax +1 ，求函数 g(x) 在 (−∞，0) 上的解析式；（3）在（1）（2）的条件下，当 t >0 时，若对任意实数 x ∈(−∞，0) ，恒有 g(x)<f(t) 成立，求实数a 的取值范围．44．已知定理：“实数m ，n 为常数，若函数h （x ）满足h （m+x ）+h （m ﹣x ）=2n ，则函数y=h（x ）的图象关于点（m ，n ）成中心对称”．（1）已知函数f （x ）= x 2x−1的图象关于点（1，b ）成中心对称，求实数b 的值；（2）已知函数g （x ）满足g （2+x ）+g （﹣x ）=4，当x∈[0，2]时，都有g （x ）≤3成立，且当x∈[0，1]时，g （x ）=2k （x ﹣1）+1，求实数k 的取值范围．45．已知函数 f(x)=x 2−2ax +2 ， x ∈[−2,3] ．（1）当 a =−2 时，求函数 f(x) 的最大值和最小值． （2）求 y =f(x) 在区间 [−2,3] 上的最小值．46．如图，已知底角为45°角的等腰梯形ABCD ，底边BC 长为7cm ，腰长为2√2cm ，当一条垂直于底边BC （垂足为F ）的直线l 把梯形ABCD 分成两部分，令BF=x ，求左边部分的面积y 关于x 的函数解析式，并画出图象．47．已知函数 f(x) 满足 f(x)=f ′(1)2e 2x−2+x 2−2f(0)x ， g(x)=f(x 2)−14x 2+(1−a)x +a ， x ∈R .（1）求函数 f(x) 的解析式； （2）求函数 g(x) 的单调区间；（3）当 a ≥2 且 x ≥1 时，求证： |ex −lnx|<|e x−1+a −lnx| . 48．已知 f(x) 是定义在 R 上的奇函数，且当 x ≥0 时， f(x)=x 2e x ．（1）求 f(x) 的解析式．（2）证明： f(x) 在 R 上单调递增．（3）若对任意的 x ∈R ，不等式 f(ax 2−3x −1)+f(5−ax)+ax 2−(3+a)x +4>0 恒成立，求实数a 的取值范围．49．已知函数 f(x)=lnx −x 2+ax(a ∈R) .（1）若 f(x)≤0 恒成立，求a 的取值范围；（2）设函数 f(x) 的极值点为 x 0 ，当 a 变化时，点 (x 0,f(x 0)) 构成曲线 M ，证明：过原点的任意直线 y =kx 与曲线M 有且仅有一个公共点.50．已知函数 f(x)=e x +ae −x 是偶函数，其中e 是自然对数的底数.（1）求a 的值；（2）若关于x 的不等式 f(x)+me −x −1−m ⩾0 在 (0,+∞) 上恒成立，求实数m 的取值范围.答案解析部分1．【答案】A【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法【解析】【解答】由题意可知，应纳税所得额为：249600(1−20%)−52800−60000−4560= 82320元，又82320∈(36000,144000]，所以税率为10%，所以个人所得税税额为：82320×10%−2520=5712元，故答案为：A.【分析】先计算全年应纳税所得额，再判断应纳税所得额所发分组，再根据税率计算即可。

云南中考数学总复习专项练习：专项四 二次函数综合题类型一 代数问题(2021·杭州)设二次函数y ＝ax2＋bx －(a ＋b)(a ，b 是常数，a ≠0)(1)判定该二次函数图象与x 轴交点的个数，并说明理由；(2)若该二次函数的图象通过A(－1，4)，B(0，－1)，C(1，1)三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达式；(3)若a ＋b<0，点P(2，m)(m>0)在该二次函数图象上，求证：a>0.【自主解答】1．在平面直角坐标系中，二次函数y ＝x2＋bx ＋c(b ，c 差不多上常数)的图象通过点(1，0)和(0，2)．(1)当－2≤x ≤2时，求y 的取值范畴．(2)已知点P(m ，n)在该函数的图象上，且m ＋n ＝1，求点P 的坐标．2．若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．(1)请写出两个为“同簇二次函数”的函数；(2)已知关于x 的二次函数y1＝2x2－4mx ＋2m2＋1和y2＝ax2＋bx ＋5，其中y1的图象通过点A(1，1)，若y1＋y2与y1为“同簇二次函数”，求函数y2的表达式，并求出当0≤x ≤3时，y2的最大值．3．规定：不相交的两个函数图象在竖直方向上的最短距离为这两个函数的“靠近距离”．(1)求抛物线y ＝x2－2x ＋3与x 轴的“靠近距离”；(2)在探究问题：求抛物线y ＝x2－2x ＋3与直线y ＝x －1的“靠近距离”的过程中，有人提出：过抛物线的顶点向x 轴作垂线与直线相交，则该问题的“靠近距离”一定是抛物线顶点与交点之间的距离，你同意他的看法吗？请说明理由．(3)若抛物线y ＝x2－2x ＋3与抛物线y ＝14x2＋c 的“靠近距离”为23，求c 的值．4．(2021·舟山)已知，点M 为二次函数y ＝－(x －b)2＋4b ＋1图象的顶点，直线y ＝mx ＋5分别交x 轴，y 轴于点A 、B.(1)判定顶点M 是否在直线y ＝4x ＋1上，并说明理由；(2)如图1，若二次函数图象也通过点A 、B ，且mx ＋5>－(x －b)2＋4b ＋1.依照图象，写出x 的取值范畴；(3)如图2，点A 坐标为(5，0)，点M 在△AOB 内，若点C(14，y1)，D(34，y2)都在二次函数图象上，试比较y1与y2的大小．图1 图2类型二 面积问题(2021·泰安节选)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝ax2＋bx ＋c 交x 轴于点A(－4，0)、B(2，0)，交y 轴于点C(0，6)，在y 轴上有一点E(0，－2)，连接AE.(1)求二次函数的表达式；(2)若点D 为抛物线在x 轴负半轴上方的一个动点，求△ADE 面积的最大值．【自主解答】1．(2021·腾冲模拟)已知直线y ＝2x ＋m 与抛物线y ＝ax2＋ax ＋b 有一个公共点M(1，0)，且a<b.(Ⅰ)求抛物线顶点Q 的坐标(用含a 的代数式表示)；(Ⅱ)说明直线与抛物线有两个交点；(Ⅲ)直线与抛物线的另一个交点记为N ； (ⅰ)若－1≤a ≤12，求线段MN 长度的取值范畴；(ⅱ)求△QMN 面积的最小值．2．(2021·金华)如图，抛物线y ＝ax2＋bx(a ≠0)过点E(10，0)，矩形A BCD 的边AB 在线段OE 上(点A 在点B 的左边)，点C ，D 在抛物线上．设A(t ，0)，当t ＝2时，AD ＝4.(1)求抛物线的函数表达式．(2)当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？(3)保持t＝2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．3．(2021·东营)如图，抛物线y＝a(x－1)(x－3)(a＞0)与x轴交于A，B两点，抛物线上另有一点C在x轴下方，且使△OCA∽△OBC.(1)求线段OC的长度；(2)设直线BC与y轴交于点M，点C是BM的中点时，求直线BM和抛物线的解析式；(3)在(2)的条件下，直线BC下方抛物线上是否存在一点P，使得四边形ABPC面积最大？若存在，要求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．4．(2021·永州)如图1，抛物线的顶点A的坐标为(1，4)，抛物线与x 轴相交于B、C两点，与y轴交于点E(0，3)．(1)求抛物线的表达式；(2)已知点F(0，－3)，在抛物线的对称轴上是否存在一点G，使得EG ＋FG最小，假如存在，求出点G的坐标；假如不存在，请说明理由；(3)如图2，连接AB，若点P是线段OE上的一动点，过点P作线段A B的垂线，分别与线段AB、抛物线相交于点M、N(点M、N都在抛物线对称轴的右侧)，当MN最大时，求△PON的面积．图1 图2类型三专门三角形的存在性问题(2021·昆明)如图1，对称轴为直线x＝12的抛物线通过B(2，0)、C(0，4)两点，抛物线与x轴的另一交点为A.(1)求抛物线的解析式；(2)若点P为第一象限内抛物线上的一点，设四边形COBP的面积为S，求S的最大值；(3)如图2，若M是线段BC上一动点，在x轴是否存在如此的点Q，使△MQC为等腰三角形且△MQB为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．图1 图2【自主解答】1．(2021·枣庄节选)如图1，已知二次函数y ＝ax2＋32x ＋c(a ≠0)的图象与y 轴交于点A(0，4)，与x 轴交于点B 、C ，点C 坐标为(8，0)，连接AB 、AC. (1)请直截了当写出二次函数y ＝ax2＋32x ＋c 的表达式；(2)判定△ABC 的形状，并说明理由；(3)如图2，若点N 在x 轴上运动，当以点A 、N 、C 为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出现在点N 的坐标．图1 图22．(2021·昆明盘龙区模拟)如图，抛物线的图象与x 轴交于A 、B 两点，点A在点B 的左边，与y 轴交于点C ，点D 是抛物线的顶点，且A(－6，0)，D(－2，－8)．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 是直线AC 下方的抛物线上一动点，不与点A 、C 重合，求过点P 作x 轴的垂线交于AC 于点E ，求线段PE 的最大值及P 点坐标；(3)在抛物线的对称轴上是否存在点M ，使得△ACM 为直角三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．3．(2021·资阳)已知：如图，抛物线y ＝ax2＋bx ＋c 与坐标轴分别交于点A(0，6)，B(6，0)，C(－2，0)，点P 是线段AB 上方抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的解析式；(2)当点P 运动到什么位置时，△PAB 的面积有最大值？(3)过点P 作x 轴的垂线，交线段AB 于点D ，再过点P 做PE ∥x 轴交抛物线于点E ，连接DE ，请问是否存在点P 使△PDE 为等腰直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．类型四 专门四边形的存在性问题(2021·曲靖)如图，在平面直角坐标系中，直线l ：y ＝13x －43与x轴交于点A ，通过点A 的抛物线y ＝ax2－3x ＋c 的对称轴是x ＝32.(1)求抛物线的解析式；(2)平移直线l 通过原点O ，得到直线m ，点P 是直线m 上任意一点，P B ⊥x 轴于点B ，PC ⊥y 轴于点C ，若点E 在线段OB 上，点F 在线段OC 的延长线上，连接PE ，PF ，且PE ＝13PF ，求证PE ⊥PF ；(3)若(2)中的点P 坐标为(6，2)，点E 是x 轴上的点，点F 是y 轴上的点，当PE ⊥PF 时，抛物线上是否存在点Q ，使得四边形PEQF 是矩形？假如存在，要求出点Q 的坐标，假如不存在，请说明理由．【分析】 (1)先确定点A 的坐标，再把抛物线的对称轴直线代入公式求a 值，结合点A 的坐标，确定c 值，从而得出抛物线的解析式；(2)运用两边斜边与一组直角边的比值相等，以及两个三角形差不多上直角三角形，证明两个直角三角形相似，从而得出两个锐角相等，依照PC 与PB 的垂直关系，论述PF 与PE 的垂直关系；(3)画出图形，进行分类讨论，注意(2)中两个三角形相似，构造比例式，建立方程模型进行点的坐标的运算，那个地点有两个答案，不可忽视第二种情形．【自主解答】1．(2021·河南)如图，抛物线y ＝ax2＋6x ＋c 交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，直线y ＝x －5通过点B ，C.(1)求抛物线的解析式；(2)过点A 的直线交直线BC 于点M.①当AM ⊥BC 时，过抛物线上一动点P(不与点B ，C 重合)，作直线A M 的平行线交直线BC 于点Q ，若以点A ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的横坐标；②连接AC ，当直线AM 与直线BC 的夹角等于∠ACB 的2倍时，请直截了当写出点M 的坐标．2．(2021·岳阳)已知抛物线F ：y ＝x2＋bx ＋c 的图象通过坐标原点O ，且与x 轴另一交点为(－33，0)．(1)求抛物线F 的解析式；(2)如图1，直线l ：y ＝33x ＋m(m ＞0)与抛物线相交于点A(x1，y1)和点B(x2，y2)(点A 在第二象限)，求y2－y1的值(用含m 的式子表示)；(3)在(2)中，若m ＝43，设点A ′是点A 关于原点O 的对称点，如图2.①判定△AA ′B 的形状，并说明理由；②平面内是否存在点P ，使得以点A 、B 、A ′、P 为顶点的四边形是菱形，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．图1 图23．(2021·南充)如图，抛物线顶点P(1，4)，与y 轴交于点C(0，3)，与x 轴交于点A ，B.(1)求抛物线的解析式；(2)Q 是抛物线上除点P 外一点，△BCQ 与△BCP 的面积相等，求点Q 的坐标；(3)若M ，N 为抛物线上两个动点，分别过M ，N 作直线BC 的垂线段，垂足分别为D ，E ，是否存在点M ，N 使四边形MNED 为正方形？假如存在，求正方形MNED 的边长；假如不存在，请说明理由．4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax2－2ax －3a(a ＞0)与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 左侧)，通过点A 的直线l ：y ＝kx ＋b 与y 轴交于点C ，与抛物线的另一个交点为D ，且CD ＝4AC.(1)直截了当写出点A 的坐标，并用含a 的式子表示直线l 的函数表达式(其中k 、b 用含a 的式子表示)；(2)点E 为直线l 下方抛物线上一点，当△ADE 的面积的最大值为254时，求抛物线的函数表达式；(3)设点P 是抛物线对称轴上的一点，点Q 在抛物线上，以点A 、D 、P 、Q 为顶点的四边形能否为矩形？若能，求出点P 的坐标；若不能，请说明理由．类型五 相似三角形的存在性问题(2021·昆明)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax2＋32x ＋c(a≠0)与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的右侧)，与y 轴交于点C ，点A的坐标为(4，0)，抛物线的对称轴是直线x ＝32.(1)求抛物线的解析式；(2)M 为第一象限内的抛物线上的一个点，过点M 作MG ⊥x 轴于点G ，交AC 于点H ，当线段CM ＝CH 时，求点M 的坐标；【分析】 (1)第一利用对称轴公式求出a 的值，然后把点A 的坐标与a 的值代入抛物线的解析式，求出c 的值，即可确定出抛物线的解析式．(2)第一依照抛物线的解析式确定出点C 的坐标，再依照待定系数法，确定出直线AC 解析式为y ＝－12x ＋2；然后设点M 的坐标为(m ，－12m2＋32m ＋2)，H(m ，－12m ＋2)，求出MH 的值，再依照CM ＝CH ，OC ＝GE ＝2，可得MH ＝2EH ，据此求出m 的值是多少，再把m 的值代入抛物线的解析式，求出y 的值，即可确定点M 的坐标．【自主解答】(3)在(2)的条件下，将线段MG 绕点G 顺时针旋转一个角α(0°＜α＜90°)，在旋转过程中，设线段MG 与抛物线交于点N ，在线段GA 上是否存在点P ，使得以P 、N 、G 为顶点的三角形与△ABC 相似？假如存在，要求出点P 的坐标；假如不存在，请说明理由．例5题图 备用图【分析】 (3)第一判定出△ABC 为直角三角形，然后分两种情形：①当N1P1AC ＝P1G CB 时；②当N2P2BC ＝P2G CA 时，依照相似三角形的性质，判定出是否存在点P ，使得以P 、N 、G 为顶点的三角形与△ABC 相似即可．【自主解答】1．(2021·达州)如图，抛物线通过原点O(0，0)，点A(1，1)，点B(72，0)．(1)求抛物线解析式；(2)连接OA ，过点A 作AC ⊥OA 交抛物线于C ，连接OC ，求△AOC 的面积；(3)点M 是y 轴右侧抛物线上一动点，连接OM ，过点M 作MN ⊥OM 交x 轴于点N.问：是否存在点M ，使以点O 、M 、N 为顶点的三角形与(2)中的△AO C 相似，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．第1题图备用图2．(2021·德州)如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x－1与抛物线y＝－x2＋bx＋c交于A，B两点，其中A(m，0)，B(4，n)，该抛物线与y轴交于点C，与x轴交于另一点D.(1)求m，n的值及该抛物线的解析式；(2)如图2，若点P为线段AD上的一动点(不与A，D重合)，分别以A P，DP为斜边，在直线AD的同侧作等腰直角△APM和等腰直角△DPN，连接MN，试确定△MPN面积最大时P点的坐标；(3)如图3，连接BD，CD，在线段CD上是否存在点Q，使得以A，D，Q为顶点的三角形与△ABD相似，若存在，请直截了当写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．图1 图2 图33．(2021·武汉)抛物线L：y＝－x2＋bx＋c通过点A(0，1)，与它的对称轴直线x＝1交于点B，(1)直截了当写出抛物线L的解析式；(2)如图1，过定点的直线y＝kx－k＋4(k＜0)与抛物线L交于点M、N.若△BMN的面积等于1，求k的值；(3)如图2，将抛物线L向上平移m(m＞0)个单位长度得到抛物线L1，抛物线L1与y轴交于点C，过点C作y轴的垂线交抛物线L1于另一点D. F为抛物线L1的对称轴与x轴的交点，P为线段OC上一点．若△PCD与△POF相似，同时符合条件的点P恰有2个，求m的值及相应点P的坐标．图1 图2类型六线段问题(2021·湘潭)如图，点P为抛物线y＝14x2上一点．(1)若抛物线y＝14x2是由抛物线y＝14(x＋2)2－1通过图象平移得到的，请写出平移过程；(2)若直线l通过y轴上一点N，且平行于x轴，点N的坐标为(0，－1)，过点P作PM⊥l于M.①问题探究：如图1，在对称轴上是否存在一定点F ，使得PM ＝PF 恒成立？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．②问题解决：如图2，若点Q 坐标为(1，5)，求QP ＋PF 的最小值． 图1 图2【分析】 (1)找到抛物线顶点坐标即可找到平移方式．(2)①设出点P 坐标，利用PM ＝PF 运算BF ，求得F 坐标；②利用PM ＝PF ，将QP ＋PF 转化为QP ＋QM ，利用垂线段最短解决问题．【自主解答】1．(2021·红河州二模)如图，直线y ＝x ＋2与抛物线y ＝ax2＋bx ＋6(a ≠0)相交于A(12，52)和B(4，m)，点P 是线段AB 上异于A 、B 的动点，过点P 作PC ⊥x 轴于点D ，交抛物线于点C.(1)求抛物线的解析式；(2)是否存在如此的P 点，使线段PC 的长有最大值？若存在，求出那个最大值；若不存在，请说明理由．2．(2021·宜宾)在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线的顶点坐标为(2，0)，且通过点(4，1)，如图，直线y ＝14x 与抛物线交于A 、B 两点，直线l 为y ＝－1.(1)求抛物线的解析式；(2)在l 上是否存在一点P ，使PA ＋PB 取得最小值？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．(3)知F(x0，y0)为平面内一定点，M(m ，n)为抛物线上一动点，且点M 到直线l 的距离与点M 到点F 的距离总是相等，求定点F 的坐标．参考答案【专题类型突破】类型一【例1】 (1)解： ∵Δ＝b2＋4a(a ＋b)＝b2＋4ab ＋4a2＝(b ＋2a)2， ∴当b ＋2a ＝0时，Δ＝0，图象与x 轴有一个交点；当b ＋2a ≠0时，Δ>0，图象与x 轴有两个交点；(2)解： ∵当x ＝1时，y ＝a ＋b －(a ＋b)＝0，∴图象不可能过点C(1，1)．∴函数的图象通过A(－1，4)，B(0，－1)两点． 代入可得⎩⎪⎨⎪⎧a －b －（a ＋b ）＝4，－（a ＋b ）＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－2， ∴该二次函数的表达式为y ＝3x2－2x －1.(3)证明： ∵点P(2，m)(m>0)在该二次函数图象上，∴m ＝4a ＋2b －(a ＋b)＝3a ＋b>0，又a ＋b<0，∴(3a ＋b)－(a ＋b)>0，整理得2a>0，∴a>0.针对训练 1．解： (1)将(1，0)，(0，2)代入y ＝x2＋bx ＋c 得：⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＋c ＝0，c ＝2，解得：⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－3，c ＝2. ∴那个函数的解析式为：y ＝x2－3x ＋2＝(x －32)2－14；把x ＝－2代入y ＝x2－3x ＋2得，y ＝12，∴y 的取值范畴是－14≤y ≤12.(2)∵点P(m ，n)在该函数的图象上，∴n ＝m2－3m ＋2，∵m ＋n ＝1，∴m2－2m ＋1＝0，解得m ＝1，n ＝0，∴点P 的坐标为(1，0)．2．解： (1)定义翻译：“同簇二次函数”即两个二次函数y1与y2的顶点坐标一样，且二次项系数的正负性相同．本题是开放题，答案不唯独，符合题意即可．如：y1＝2x2，y2＝x2，顶点坐标都为(0，0)，且二次项系数均为正数，故符合．(2)∵函数y1的图象通过点A(1，1)，则2－4m ＋2m2＋1＝1，解得m ＝1.∴y1＝2x2－4x ＋3＝2(x －1)2＋1.∵y1＋y2与y1为“同簇二次函数”，∴可设y1＋y2＝k(x －1)2＋1(k>0)，则y2＝k(x －1)2＋1－y1＝(k －2)(x －1)2.由题意可知函数y2的图象通过点(0，5)，则(k －2)×(－1)2＝5.∴k －2＝5.∴y2＝5(x －1)2＝5x2－10x ＋5.依照y2的函数图象性质可知：当0≤x ≤1时，y 随x 的增大而减小；当1≤x ≤3时，y 随x 的增大而增大，故0≤x ≤3时，y2的最大值＝5×(3－1)2＝20.【一题多解】∵y1＋y2与y1是“同簇二次函数”，则y1＋y2＝(a ＋2)x2＋(b －4)x ＋8(a ＋2>0)． ∴－b －42（a ＋2）＝1，化简得：b ＝－2a ， 又32（a ＋2）－（b －4）24（a ＋2）＝1，将b ＝－2a 代入其中， 解得a ＝5，b ＝－10.∴y2＝5x2－10x ＋5.依照y2的函数图象性质可知：当0≤x ≤1时，y 随x 的增大而减小；当1≤x ≤3时，y 随x 的增大而增大，故0≤x ≤3时，y2的最大值＝5×32－10×3＋5＝20.3．解： (1)∵y ＝(x －1)2＋2，∴抛物线上的点到x 轴的最短距离为2，∴抛物线y ＝x2－2x ＋3与x 轴的“靠近距离”为2；(2)不同意他的看法，理由如下：如解图，P 点为抛物线y ＝x2－2x ＋3任意一点，作PQ ∥y 轴交直线y ＝x －1于Q ，设P(t ，t2－2t ＋3)，则Q(t ，t －1)，∴PQ ＝t2－2t ＋3－(t －1)＝t2－3t ＋4＝(t －32)2＋74，当t ＝32时，PQ 有最小值，最小值为74，∴抛物线y ＝x2－2x ＋3与直线y ＝x －1的“靠近距离”为74，而过抛物线的顶点向x 轴作垂线与直线相交，抛物线顶点与交点之间的距离为2，∴不同意他的看法；(3)M 点为抛物线y ＝x2－2x ＋3上任意一点，如解图，作MN ∥y 轴交抛物线y ＝14x2＋c 于N ， 设M(t ，t2－2t ＋3)，则N(t ，14t2＋c)， ∴MN ＝t2－2t ＋3－(14t2＋c)＝34t2－2t ＋3－c ＝34(t －43)2＋53－c ，当t ＝43时，MN 有最小值，最小值为53－c ，∴抛物线y ＝x2－2x ＋3与抛物线y ＝14x2＋c 的“靠近距离”为53－c ，∴53－c ＝23，∴c ＝1.4．解： (1)由顶点式可知，点M 坐标是(b ，4b ＋1)，∴把x ＝b 代入y ＝4x ＋1，得y ＝4b ＋1，∴点M 在直线y ＝4x ＋1上．(2)如解图1，∵直线y ＝mx ＋5与y 轴交于点B ，∴点B 坐标为(0，5)．又∵B(0，5)在抛物线上，∴5＝－(0－b)2＋4b ＋1，解得b ＝2，∴二次函数的表达式为y ＝－(x －2)2＋9，∴当y ＝0时，得x1＝5，x2＝－1.∴A(5，0)观看图象可得，当mx ＋5>－(x －b)2＋4b ＋1时，x 的取值范畴为x ＜0或x ＞5.图1 图2(3)如解图2，∵直线y ＝4x ＋1与直线AB 交于点E ，与y 轴交于点F ， 而直线AB 的表达式为y ＝－x ＋5， 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x ＋1，y ＝－x ＋5，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝45，y ＝215. ∴点E(45，215)，F(0，1)． ∵点M 在△AOB 内，∴1＜4b ＋1＜215，∴0＜b ＜45.当点C 、D 关于抛物线对称轴(直线x ＝b)对称时，b －14＝34－b ，∴b ＝12. 且二次函数图象的开口向下，顶点M 在直线y ＝4x ＋1上， 综上：①当0＜b ＜12时，y1＞y2；②当b ＝12时，y1＝y2；③当12＜b ＜45时，y1＜y2.类型二 【例2】 (1)由题意可得 ⎩⎪⎨⎪⎧16a －4b ＋c ＝0，4a ＋2b ＋c ＝0，c ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－34，b ＝－32，c ＝6，∴二次函数的表达式为y ＝－34x2－32x ＋6. (2)由A(－4，0)，E(0，－2)， 可求得AE 所在直线解析式为y ＝－12x －2.如解图，过点D 作DF 与y 轴平行，交AE 于点F ，交x 轴于点G ，过点E 作EH ⊥DF ，垂足为H.设D 点坐标为(x0，－34x02－32x0＋6)， 则F 点坐标为(x0，－12x0－2)， 则DF ＝－34x02－32x0＋6－(－12x0－2)＝－34x02－x0＋8.又S △ADE ＝S △ADF ＋S △EDF ，∴S △ADE ＝12·DF ·AG ＋12DF ·EH ＝12×4×DF＝2×(－34x02－x0＋8) ＝－32(x0＋23)2＋503，∴当x0＝－23时，△ADE 的面积取得最大值503.针对训练1．解： (Ⅰ)∵抛物线过点M(1，0)，∴a ＋a ＋b ＝0，即b ＝－2a ，∴y ＝ax2＋ax ＋b ＝ax2＋ax －2a ＝a(x ＋12)2－9a 4，∴抛物线顶点Q 的坐标为(－12，－9a 4)．(Ⅱ)∵直线y ＝2x ＋m 通过M(1，0)，∴0＝2×1＋m ，解得m ＝－2.把y ＝2x －2代入y ＝ax2＋ax －2a ，得ax2＋(a －2)x －2a ＋2＝0，(*) ∴Δ＝(a －2)2－4a(－2a ＋2)＝9a2－12a ＋4，由(Ⅰ)知b ＝－2a ，又a<b ，因此a<0，b>0.因此Δ>0，因此方程(*)有两个不相等的实数根，故直线与抛物线有两个交点．(Ⅲ)把y ＝2x －2代入y ＝ax2＋ax －2a ，得ax2＋(a －2)x －2a ＋2＝0，即x2＋(1－2a )x －2＋2a ＝0， ∴[x ＋(12－1a )]2＝(1a －32)2， 解得x1＝1，x2＝2a －2，∴点N(2a －2，4a －6)．(ⅰ)依照勾股定理得， MN2＝[(2a －2)－1]2＋(4a －6)2＝20a2－60a ＋45＝20×(1a －32)2， ∵－1≤a ≤－12，由反比例函数性质知－2≤1a ≤－1，∴1a －32<0， ∴MN ＝25×(32－1a )＝35－25a ，∴55≤MN ≤7 5.(ⅱ)如解图，作直线x ＝－12交直线y ＝2x －2于点E.把x ＝－12代入y ＝2x －2得，y ＝－3，即E(－12，－3)．又∵M(1，0)，N(2a －2，4a －6)，且由(Ⅱ)知a<0，∴△QMN 的面积S ＝S △QEN ＋S △QEM ＝12|(2a －2)－1|·|－9a 4－(－3)|＝274－3a －27a 8.即27a2＋(8S －54)a ＋24＝0，(*)∵关于a 的方程(*)有实数根，∴Δ＝(8S －54)2－4×27×24≥0，即(8S －54)2≥(362)2，又∵a<0，∴S ＝274－3a －27a 8>274，∴8S －54>0，∴8S －54≥362，即S ≥274＋922， 当S ＝274＋922时，由方程(*)可得a ＝－223满足题意，故当a ＝－223，b ＝423时，△QMN 面积的最小值为274＋922.2．解： (1)设抛物线的函数表达式为y ＝ax(x －10)，∵当t ＝2时，AD ＝4，∴点D 的坐标为(2，4)．∴4＝a ×2×(2－10)，解得a ＝－14，∴抛物线的函数表达式为y ＝－14x2＋52x ；(2)由抛物线的对称性得BE ＝OA ＝t ，∴AB ＝10－2t ，当x ＝t 时，AD ＝－14t2＋52t.∴矩形ABCD 的周长＝2(AB ＋AD)＝2[(10－2t)＋(－14t2＋52t)] ＝－12t2＋t ＋20 ＝－12(t －1)2＋412，∵－12＜0，∴当t ＝1时，矩形ABCD 的周长有最大值，最大值为412；(3)当t ＝2时，点A 、B 、C 、D 的坐标分别为(2，0)、(8，0)、(8，4)、 (2，4)，如解图，连接AC 、BD 交于点P ，抛物线与矩形ABCD 交于G 、H 两点，∴矩形ABCD 对角线的交点P 的坐标为(5，2)，当平移后的抛物线过点A 时，点H 的坐标为(4，4)，现在GH 不能将矩形面积平分；当平移后的抛物线过点C 时，点G 的坐标为(6，0)，现在GH 也不能将矩形面积平分．∴当G 、H 中有一点落在线段AD 或BC 上时，直线GH 不可能将矩形的面积平分，当点G 、H 分别落在线段AB 、DC 上时，直线GH 过点P ，必平分矩形ABCD 的面积．∵AB ∥CD ，∴线段OD 平移后得到的线段GH ，∴线段OD 的中点Q 平移后的对应点是P ，在△OBD 中，PQ 是中位线，∴PQ ＝12OB ＝4， ∴抛物线向右平移的距离是4个单位． 3．解：(1)如解图，连接AC ，令y ＝a(x －1)(x －3)＝0，可得：x1＝1，x2＝3，∴OA ＝1，OB ＝3，∵△OCA ∽△OBC ，∴OC OB ＝OA OC ，∴OC2＝OA ·OB ＝1×3＝3，∴OC ＝ 3.(取正)(2)如解图，过点C 作CD ⊥x 轴，垂足为D ，则CD ∥OM ， ∴OD OB ＝MC BM ，∵点C 是BM 的中点，∴OD ＝12OB ＝32，∴CD ＝OC2－OD2＝（3）2－（32）2＝32，∴C 点坐标为(32，－32)，设yBM ＝kx ＋b ，将B ，C 两点的坐标代入得： ⎩⎨⎧3k＋b ＝0，32k ＋b ＝－32， 解得：⎩⎨⎧k ＝3b ＝－3，∴直线BM 的解析式为：y ＝33x －3， 将点C(32，－32)代入y ＝a(x －1)(x －3)得：a(32－1)(32－3)＝－32，解得：a ＝233，∴抛物线的解析式为：y ＝233×(x －1)(x －3)＝233x2－833x ＋2 3.(3)存在点P ，使得四边形ABPC 面积最大．如解图，∵S 四边形ABPC ＝S △ABC ＋S △BPC ，S △ABC 是常量，S △BPC 的面积随点P 的位置变化而变化，∴向下平移直线BM ，当平移后的直线B ′M ′和抛物线y ＝233x2－833x ＋23有唯独公共点时，四边形ABPC 面积最大， 设直线B ′M ′的解析式为：y ＝33x －3－m ， 代入y ＝233x2－833x ＋23得： 33x －3－m ＝233x2－833x ＋23， 233x2－33x ＋33＋m ＝0，① 由题意可得：Δ＝(－33)2－4×233×(33＋m)＝0，解得：m ＝338，方程①变为：233x2－33x ＋2738＝0，解得：x1＝x2＝94，将x ＝94代入y ＝233x2－833x ＋23得： y ＝233×(94)2－833×94＋23＝－538，∴存在点P 使得四边形ABPC 面积最大，现在点P 的坐标为(94，－538)．4．解： (1)设抛物线的表达式为y ＝a(x －1)2＋4，把点E(0，3)代入得a(0－1)2＋4＝3，解得a ＝－1，∴y ＝－(x －1)2＋4＝－x2＋2x ＋3；(2)存在．如解图1，点E 关于对称轴直线x ＝1的对称点为E ′(2，3)， 设过E ′，F 的直线表达式为y ＝mx ＋n ， 把E ′、F 两点坐标代入得⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝3，n ＝－3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝－3， ∴直线E ′F 的表达式为y ＝3x －3，把x ＝1代入，得y ＝0，∴点G 的坐标为(1，0)；(3)要使MN 最大，即要使△ABN 面积最大，连接AN ，过N 作NH ⊥x 轴，交直线AB 于点H ，交x 轴于点K ，如解图2.在y ＝－x2＋2x ＋3中，令y ＝0，则－x2＋2x ＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝3，即B(3，0)，过A(1，4)，B(3，0)两点的直线表达式为y ＝－2x ＋6，设N(t ，－t2＋2t ＋3)，则H(t ，－2t ＋6)，∴NH ＝－t2＋4t －3，∵MN ⊥AB ，∴当MN 最大时，S △ABN 最大，又∵S △ABN ＝S △ANH ＋S △BHN ＝12NH ·|xB －xA|＝12NH ·2＝NH ，当NH 最大时，△ABN 面积最大，NH ＝－t2＋4t －3＝－(t －2)2＋1， 当t ＝2时，NH 最大，∴N(2，3)．过点A 作AQ ⊥x 轴，垂足为Q ，明显AQ 在抛物线的对称轴上， ∴AQ ＝4，OQ ＝1，BQ ＝BO －OQ ＝3－1＝2.在Rt △AQB 中，由勾股定理得AB ＝2 5.设直线PN 交x 轴于点D ，∵PN ⊥AB ，∴∠BMD ＝90°，∴∠ABD ＋∠BDN ＝90°.∵NH ⊥x 轴，∴∠DKN ＝90°，∴∠DNK ＋∠BDN ＝90°，∴∠ABD ＝∠DNK.在△ABQ 和△DNK 中，∠AQB ＝∠DKN ＝90°，∠ABD ＝∠DNK ，∴△ABQ ∽△DNK ，∴AQ DK ＝BQ NK ，∴4DK ＝23，∴DK ＝6，∴DO ＝DK －OK ＝6－2＝4，∴D(－4，0)．设直线PN 的表达式为y ＝kx ＋c ，把点D(－4，0)，N(2，3) 代入得⎩⎪⎨⎪⎧－4k ＋c ＝0，2k ＋c ＝3，解得⎩⎨⎧k ＝12，c ＝2， ∴直线PN 的表达式为y ＝12x ＋2，与y 轴交点P 的坐标为(0，2)，∴S △PON ＝12×2×2＝2.图1 图2类型三【例3】 解：(1)由对称性得：A(－1，0)，设抛物线的解析式为：y ＝a(x ＋1)(x －2)，把C(0，4)代入解析式得：4＝－2a ，a ＝－2，∴y ＝－2×(x ＋1)(x －2)，∴抛物线的解析式为：y ＝－2x2＋2x ＋4；(2)如解图1，设点P(m ，－2m2＋2m ＋4)，过P 作PD ⊥x 轴，垂足为D ，∴S 四边形COBP ＝S 梯形ODPC ＋S △PDB＝12m(－2m2＋2m ＋4＋4)＋12×(－2m2＋2m ＋4)(2－m)，S ＝－2m2＋4m ＋4＝－2×(m －1)2＋6，∵－2＜0，∴S 有最大值，则S 最大＝6；图1 图2(3)存在如此的点Q ，使△MQC 为等腰三角形且△MQB 为直角三角形， 理由是：分以下两种情形：①当∠BQM ＝90°时，如解图2：∵∠CMQ ＞90°，∴只能CM ＝MQ.设直线BC 的解析式为：y ＝kx ＋b(k ≠0)， 把B(2，0)，C(0，4)代入得⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋b ＝0，b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝4， ∴直线BC 的解析式为：y ＝－2x ＋4，设M(m ，－2m ＋4)，则MQ ＝－2m ＋4，OQ ＝m ，BQ ＝2－m ，在Rt △OBC 中，BC ＝OB2＋OC2＝22＋42＝25，∵MQ ∥OC ，∴△BMQ ∽△BCO ， ∴BM BC ＝BQ BO ，即BM 25＝2－m 2， ∴BM ＝5×(2－m)＝25－5m ，∴CM ＝BC －BM ＝25－(25－5m)＝5m ， ∵CM ＝MQ ，∴－2m ＋4＝5m ，m ＝45＋2＝45－8， ∴Q(45－8，0)．②当∠QMB ＝90°时，如解图3，由①得，QM ＝CM ＝5m ，BM ＝25－5m ，∵△QMB ∽△COB ，∴QM CO ＝BM OB ＝QB CB ，∴5m 4＝25－5m 2＝QB 25， ∴m ＝43，∴QB ＝103，∴OQ ＝103－2＝43，∴Q(－43，0)，综上所述，Q 点坐标为(45－8，0)或(－43，0)．针对训练1．解： (1)∵二次函数y ＝ax2＋32x ＋c 的图象与y 轴交于点A(0，4)，与x 轴交于点B 、C ，点C 坐标为(8，0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝4，64a ＋12＋c ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝－14，c ＝4， ∴抛物线表达式为y ＝－14x2＋32x ＋4；(2)△ABC 是直角三角形．理由如下： 令y ＝0，则－14x2＋32x ＋4＝0，解得x1＝8，x2＝－2，∴点B 的坐标为(－2，0)，在Rt △ABO 中，AB2＝BO2＋AO2＝22＋42＝20，在Rt △AOC 中，AC2＝AO2＋CO2＝42＋82＝80，又∵BC ＝OB ＋OC ＝2＋8＝10，∴在△ABC 中，AB2＋AC2＝20＋80＝102＝BC2，∴△ABC 是直角三角形．(3)∵A(0，4)，C(8，0)，∴AC ＝42＋82＝45， ①以A 为圆心，以AC 长为半径作圆，交x 轴于N ，现在N 的坐标为(－8，0)；②以C 为圆心，以AC 长为半径作圆，交x 轴于N ，现在N 的坐标为(8－45，0)或(8＋45，0)；③作AC 的垂直平分线，交x 轴于N ，现在N 的坐标为(3，0)，综上，若点N 在x 轴上运动，当以点A 、N 、C 为顶点的三角形是等腰三角形时，点N 的坐标分别为(－8，0)、(8－45，0)、(3，0)、(8＋45，0)．2．解： (1)设抛物线的解析式为y ＝a(x ＋2)2－8， 把A(－6，0)代入得a(－6＋2)2－8＝0，解得a ＝12，∴抛物线的解析式为y ＝12(x ＋2)2－8， 即y ＝12x2＋2x －6； (2)如解图，当x ＝0时，y ＝12x2＋2x －6＝－6，则C点坐标为(0，－6)，设直线AC 的解析式为y ＝kx ＋b ，把A(－6，0)，C(0，－6)代入得⎩⎪⎨⎪⎧－6k ＋b ＝0，b ＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝－6， ∴直线AC 的解析式为y ＝－x －6，设P(x ，12x2＋2x －6)(－6＜x ＜0)，则E(x ，－x －6)， ∴PE ＝－x －6－(12x2＋2x －6)＝－12x2－3x ＝－12(x ＋3)2＋92，当x ＝－3时，PE 的长度有最大值，最大值为92，现在P 点坐标为(－3，－152)；(3)存在．抛物线的对称轴为直线x ＝－2，设M(－2，t)，∵A(－6，0)，C(0，－6)，∴AC2＝62＋62＝72，AM2＝(－2＋6)2＋t2，CM2＝(－2)2＋(t ＋6)2， 当AC2＋AM2＝CM2，△ACM 为直角三角形，即72＋(－2＋6)2＋t2＝(－2)2＋(t ＋6)2，解得t ＝4，现在M 点坐标为(－2，4)；当AC2＋CM2＝AM2，△ACM 为直角三角形，即72＋(－2)2＋(t ＋6)2＝(－2＋6)2＋t2，解得t ＝－8，现在M 点坐标为(－2，－8)；当CM2＋AM2＝AC2，△ACM 为直角三角形，即(－2＋6)2＋t2＋(－2)2＋(t ＋6)2＝72，解得t1＝－3＋17，t2＝－3－17，现在M 点坐标为(－2，－3＋17)或(－2，－3－17)．综上所述，M 点的坐标为(－2，4)或(－2，－8)或(－2，－3＋17)或(－2，－3－17)．3．解： (1)抛物线过点B(6，0)，C(－2，0)，∴设抛物线解析式为y ＝a(x －6)(x ＋2)，将点A(0，6)代入，得：－12a ＝6，解得：a ＝－12，因此抛物线解析式为y ＝－12(x －6)(x ＋2)＝－12x2＋2x ＋6；(2)如解图1，过点P 作PM ⊥OB 于点M ，交AB 于点N ，作AG ⊥PM 于点G ，设直线AB 解析式为y ＝kx ＋b ，将A(0，6)，B(6，0)代入得 ⎩⎪⎨⎪⎧b ＝6，6k ＋b ＝0， 解得：⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝6， 则直线AB 解析式为y ＝－x ＋6，设P(t ，－12t2＋2t ＋6)，其中0<t<6，则N(t ，－t ＋6)，∴PN ＝PM －MN ＝－12t2＋2t ＋6－(－t ＋6)＝－12t2＋2t ＋6＋t －6＝－12t2＋3t ，∴S △PAB ＝S △PAN ＋S △PBN＝12PN ·(AG ＋BM) ＝12PN ·OB＝12×⎝⎛⎭⎪⎫－12t2＋3t ×6 ＝－32t2＋9t ＝－32(t －3)2＋272；∴当t ＝3时，△PAB 的面积有最大值，即点P 运动到(3，152)；(3)如解图2，∵PH ⊥OB 于H ，∴∠DHB ＝∠AOB ＝90°，∴DH ∥AO ，∵OA ＝OB ＝6，∴∠BDH ＝∠BAO ＝45°，∵PE ∥x 轴，PD ⊥x 轴，∴∠DPE ＝90°，若△PDE 为等腰直角三角形，则∠EDP ＝45°，∴∠EDP 与∠BDH 互为对顶角，即P 点E 与点A 重合，则当y ＝6时，－12x2＋2x ＋6＝6，解得x ＝0(舍)或x ＝4.即点P(4，6)．类型四【例4】 解：(1)直线l ：y ＝13x －43与x 轴交于点A ，∴点A 的坐标是(4，0)，抛物线的对称轴是直线x ＝32.∴－－32a ＝32，解得a ＝1，∴抛物线的解析式是y ＝x2－3x ＋c ，代入点A 坐标，得出42－3×4＋c ＝0，解得c ＝－4，∴抛物线的解析式是y ＝x2－3x －4.(2)平移直线l 通过原点O ，得到直线m ，直线l 解析式是：y ＝13x －43，∴直线m 的解析式是y ＝13x ，点P 是直线m 上任意一点，PB ⊥x 轴于点B ，PC ⊥y 轴于点C ，设点P 坐标是(p ，13p)(p ＞0)， ∴PC ＝OB ＝p ，PB ＝13p ，点E 在线段OB 上，点F 在线段OC 的延长线上，连接PE ，PF ，且P E ＝13PF ， ∴∠PBE ＝∠PCF ＝90°，PE PF ＝PB PC ＝13，∴Rt △PEB ∽Rt △PFC.∴∠FPC ＝∠EPB ，而PC ⊥PB ，∠CPB ＝90°，∴∠FPE ＝∠FPC ＋∠CPE ＝∠CPE ＋∠EPB ＝90°，∴PE ⊥PF.(3)当(2)中的点P 坐标为(6，2)，则B(6，0)，设点E 的坐标是(a ，0)，①当PE ⊥PF 时，Rt △PEB ∽Rt △PFC ，∴PB ＝2，BE ＝6－a ，PC ＝6.当点E 在点B 的左侧时，点F 一定在点C 的上方，即是a ＜6时，Rt △PEB ∽Rt △PFC ，则PB PC ＝BE CF ，∴26＝6－a CF ，得出CF ＝18－3a.∴F(0，20－3a)，设Q 坐标是(xQ ，yQ)，当四边形PEQF 是矩形时，∠FPE ＝90°，只需四边形PEQF 是平行四边形．当四边形PEQF 是矩形时，xE ＋xF ＝xQ ＋xP ，且yE ＋yF ＝yQ ＋yP ， 得出⎩⎪⎨⎪⎧a ＋0＝xQ ＋6，0＋20－3a ＝yQ ＋2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧xQ ＝a －6，yQ ＝18－3a ， ∴点Q 坐标是(a －6，18－3a)，又∵点Q 在抛物线y ＝x2－3x －4上，代入抛物线解析式得出：a2－12x ＋32＝0，解得方程的两根分别是4与8，∵a ＜6，∴只取a ＝4，则a －6＝－2，18－3a ＝6.∴点Q 坐标是(－2，6)．②当点E 在点B 的右侧时，如解图．设E(a ，0)，已知P(6，2)，点F 在点C 的下方，Rt △PEB ∽Rt △PFC ，则PB PC ＝BE CF ，∴26＝a －6CF ，得出CF ＝3a －18.∴F(0，2－3a ＋18)，∴F(0，20－3a)，设点Q 坐标是(xQ ，yQ)，当四边形PEQF 是矩形时，∠FPE ＝90°，只需四边形PEQF 是平行四边形．xE ＋xF ＝xQ ＋xP ，且yE ＋yF ＝yQ ＋yP ， 得出⎩⎪⎨⎪⎧a ＋0＝xQ ＋6，0＋20－3a ＝yQ ＋2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧xQ ＝a －6，yQ ＝18－3a ， ∴点Q 坐标是(a －6，18－3a)，又∵点Q 在抛物线y ＝x2－3x －4上，代入抛物线解析式得出：a2－12x ＋32＝0，解得方程的两根分别是4(舍)与8，∴当a ＝8，点Q 坐标是(2，－6)，∵当x ＝2时，y ＝x2－3x －4＝－6，符合题意．综合所述，符合题意的点Q 坐标分别是(－2，6)与(2，－6)． 针对训练1．解： (1)∵直线y ＝x －5交x 轴于点B ，交y 轴于点C ， ∴B(5，0)，C(0，－5)．∵抛物线y ＝ax2＋6x ＋c 过点B ，C ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧0＝25a ＋30＋c ，－5＝c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，c ＝－5， ∴抛物线的解析式为：y ＝－x2＋6x －5.(2)∵OB ＝OC ＝5，∠BOC ＝90°，∴∠ABC ＝45°，∵抛物线y ＝－x2＋6x －5交x 轴于A ，B 两点，∴A(1，0)，∴AB ＝4，∵AM ⊥BC ，∴AM ＝22， ∵PQ ∥AM ，∴PQ ⊥BC ， 若以点A ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，则PQ ＝AM ＝22，过点P 作PD ⊥x 轴交直线BC 于点D ，则∠PDQ ＝45°，∴PD ＝2PQ ＝4.设P(m ，－m2＋6m －5)，则D(m ，m －5)．分两种情形讨论如下：(ⅰ)当点P 在直线BC 上方时，PD ＝－m2＋6m －5－(m －5)＝－m2＋5m ＝4，∴m1＝1(舍去)，m2＝4(ⅱ)当点P 在直线BC 下方时，PD ＝m －5－(－m2＋6m －5)＝m2－5m ＝4， ∴m1＝5＋412，m2＝5－412. 综上，点P 的横坐标为4或5＋412或5－412. ②M(136，－176)或(236，－76)． 2．解： (1)抛物线y ＝x2＋bx ＋c 通过原点和点(－33，0)，可得抛物线解析式为：y ＝(x ＋33)x ，即y ＝x2＋33x ； (2)直线y ＝33x ＋m 与抛物线y ＝x2＋33x 相交于点A(x1，y1)和点B(x2，y2)，且点A 在第二象限，联立可得： ⎩⎨⎧y ＝33x ＋m ，y ＝x2＋33x ， ∴x2＝m ，∴x1＝－m ，x2＝m ， ∴x2－x1＝2m ，∵y1＝33x1＋m ，y2＝33x2＋m ， ∴y2－y1＝33x2＋m －33x1－m ＝33(x2－x1)＝23m 3；(3)①若m ＝43，则直线为y ＝33x ＋43，与x 交点M(－433，0)，与y 轴交点N(0，43)， ∴tan ∠MNO ＝OM ON ＝433×34＝3，∴∠MNO ＝60°，又可得直线y ＝33x ＋43与抛物线y ＝x2＋33x 的交点A 和B 的横坐标为：xA ＝－m ＝－233，xB ＝233，∴A(－233，23)，B(233，2)，∴A 为MN 中点，在Rt △MON 中，OA ＝AN ，∴∠NAO ＝∠AON ＝∠ANO ＝60°，∵点A 关于原点的对称点为A ′(233，－23)，∴xA ′＝xB ，∴BA ′∥y 轴，∴∠ABA ′＝∠MNO ＝60°，∴△ABA ′为等边三角形．②存在点P 使得以点A 、B 、A ′、P 为顶点的四边形是菱形，证明如下：∵BA ′∥y 轴，∴当四边形P1AA ′B 是菱形时，如解图，AP1＝A ′B ＝2－(－23)＝83，∵点yA ＝23，∴yP1＝103，∴P1(－233，103)， 同理，当四边形P2ABA ′是菱形时，P2(－233，－2)，当四边形ABP3A ′是菱形时，点P 和点A 关于直线BA ′对称，∴P3(23，23)．综上，存在点P 使得以点A 、B 、A ′、P 为顶点的四边形是菱形，P 点坐标为： P1(－233，103)，P2(－233，－2)，P3(23，23)．3．解： (1)设抛物线解析式为：y ＝a(x －1)2＋4(a ≠0)．∵抛物线过C(0，3)，∴a ＋4＝3，∴a ＝－1.∴y ＝－(x －1)2＋4，即y ＝－x2＋2x ＋3；(2)B(3，0)，C(0，3)．∴直线BC 为y ＝－x ＋3.∵S △PBC ＝S △QBC ，∴PQ ∥BC.①如解图1，过P 作PQ ∥BC 交抛物线于Q ，∵P(1，4)，∴直线PQ 为y ＝－x ＋5. 联立直线PQ 和抛物线解析式得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋5，y ＝－x2＋2x ＋3. 解得⎩⎪⎨⎪⎧x1＝1，y1＝4；或⎩⎪⎨⎪⎧x2＝2，y2＝3，∴Q1(2，3)． ②如解图1，设抛物线的对称轴交BC 于点G ，交x 轴于点H ，G(1，2)，∴PG ＝GH ＝2.过点H 作Q2Q3∥BC 交抛物线于Q2，Q3.直线Q2Q3为y ＝－x ＋1. ∴联立直线Q2Q3和抛物线解析式得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋1，y ＝－x2＋2x ＋3. 解得⎩⎨⎧x1＝3＋172，y1＝－1－172， ⎩⎨⎧x2＝3－172，y2＝－1＋172. ∴Q2(3＋172，－1－172)，Q3(3－172，－1＋172)， 综上所述，满足条件的点为Q1(2，3)，Q2(3＋172，－1－172)，Q3(3－172，－1＋172)． (3)存在满足条件的点M ，N.如解图2，过M 作MF ∥y 轴，过N 作NF ∥x 轴交MF 于点F ，过N 作NH ∥y 轴交BC 于H.则△MNF 与△NEH 差不多上等腰直角三角形．设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线MN 为y ＝－x ＋b. ∵⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋b ，y ＝－x2＋2x ＋3， ∴x2－3x ＋(b －3)＝0.∴NF2＝|x1－x2|2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝21－4b.∵△MNF 等腰直角三角形，∴MN2＝2NF2＝42－8b.又∵NH2＝(b －3)2，∴NE2＝12(b －3)2.∵四边形MNED 为正方形，∴NE2＝MN2，∴42－8b ＝12(b2－6b ＋9)．∴b2＋10b －75＝0，∴b1＝－15，b2＝5.∵正方形边长为MN ＝42－8b ，∴MN ＝92或 2.4．解： (1)令y ＝0，则ax2－2ax －3a ＝0，解得x1＝－1，x2＝3，∵点A 在点B 的左侧，∴A(－1，0)，如解图1，作DF ⊥x 轴于F ，∴DF ∥OC ，∴OF OA ＝CD AC ，∵CD ＝4AC ，∴OF OA ＝CD AC ＝4，∵OA ＝1，∴OF ＝4，∴D 点的横坐标为4，代入y ＝ax2－2ax －3a 得，y ＝5a ，∴D(4，5a)， 把A 、D 坐标代入y ＝kx ＋b 得⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝04k ＋b ＝5a ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝a b ＝a ， ∴直线l 的函数表达式为y ＝ax ＋a.(2)如解图2，过点E 作EH ∥y 轴，交直线l 于点H ，设E(x ，ax2－2ax －3a)，则H(x ，ax ＋a)．∴HE ＝(ax ＋a)－(ax2－2ax －3a)＝－ax2＋3ax ＋4a ， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋a y ＝ax2－2ax －3a 得x ＝－1或x ＝4， 即点D 的横坐标为4，∴S △ADE ＝S △AEH ＋S △DEH ＝12×(4＋1)×(－ax2＋3ax ＋4a)＝－52a(x －32)2＋1258a ， ∴△ADE 的面积的最大值为1258a.∴1258a ＝254，解得：a ＝25，∴抛物线的函数表达式为y ＝25x2－45x －65.(3)已知A(－1，0)，D(4，5a)．∵y ＝ax2－2ax －3a ，∴抛物线的对称轴为x ＝1，设P(1，m)，①若AD 为矩形的边，且点Q 在对称轴左侧时，则AD ∥PQ ，且AD ＝PQ ，则Q(－4，21a)，m ＝21a ＋5a ＝26a ，则P(1，26a)，∵四边形ADPQ 为矩形，∴∠ADP ＝90°，∴AD2＋PD2＝AP2，∴52＋(5a)2＋(1－4)2＋(26a －5a)2＝(－1－1)2＋(26a)2，即a2＝17，∵a ＞0，∴a ＝77，∴P1(1，2677)．②若AD 为矩形的边，且点Q 在对称轴右侧时，则AD ∥PQ ，且AD ＝PQ ，则Q(4，5a)，现在点Q 与点D 重合，不符合题意，舍去；③若AD 是矩形的一条对角线，则AD 与PQ 互相平分且相等． ∴xD ＋xA ＝xP ＋xQ ，yD ＋yA ＝yP ＋yQ ，∴xQ ＝2，∴Q(2，－3a)．∴yP ＝8a ，∴P(1，8a)．∵四边形APDQ 为矩形，∴∠APD ＝90°，∴AP2＋PD2＝AD2，∴(－1－1)2＋(8a)2＋(1－4)2＋(8a －5a)2＝52＋(5a)2，即a2＝14，∵a ＞0，∴a ＝12，∴P2(1，4)， 综上所述，以点A 、D 、P 、Q 为顶点的四边形能成为矩形，点P 的坐标为(1，2677)或(1，4)．类型五【例5】 解：(1)∵x ＝－b 2a ＝32，b ＝32，∴a ＝－12，把A(4，0)，a ＝－12代入y ＝ax2＋32x ＋c ， 可得(－12)×42＋32×4＋c ＝0，解得c ＝2，∴抛物线解析式为y ＝－12x2＋32x ＋2.(2)如解图1，连接CM ，过C 点作CE ⊥MH 于点E ， ∵y ＝－12x2＋32x ＋2，∴当x ＝0时，y ＝2，∴C 点的坐标是(0，2)，设直线AC 解析式为y ＝kx ＋b(k ≠0)，把A(4，0)、C(0、2)代入y ＝kx ＋b ， 可得⎩⎪⎨⎪⎧4k ＋b ＝0，b ＝2， 解得：⎩⎨⎧k ＝－12，b ＝2， ∴直线AC 解析式为y ＝－12x ＋2， ∵点M 在抛物线上，点H 在AC 上，MG ⊥x 轴，∴设点M 的坐标为(m ，－12m2＋32m ＋2)，H(m ，－12m ＋2)， ∴MH ＝－12m2＋32m ＋2－(－12m ＋2)＝－12m2＋2m ，∵CM ＝CH ，OC ＝GE ＝2，。

二次函数代数推理综合问题解析二次函数是一种常见的二次曲线，其一般形式为：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。

在代数推理的综合问题中，有一些与二次函数相关的问题需要解析。

下面将介绍几个常见的二次函数代数推理综合问题，并给出解析。

问题一：已知二次函数y = ax^2 + bx + c的顶点坐标为(2,3)，且过点(-1,0)，求该函数的表达式。

解析：由题可知，二次函数的顶点坐标为(2,3)，则顶点坐标中的x坐标为2，代入函数表达式可以得到：3=a*2^2+b*2+c另外，已知过点(-1,0)，把该点的坐标代入函数表达式可以得到：0=a*(-1)^2+b*(-1)+c将上述两个方程组成一个方程组：4a+2b+c=3----(1)a-b+c=0----(2)解决方程组(1)和(2)，可以采用消元法或代入法：将公式(2)的c解出来得到c=-a+b，代入公式(1)可以得到：4a+2b+(-a+b)=3，整理得到3a+3b=3，整理为a+b=1由公式a+b=1可以得到a=1-b，代入公式(2)可以得到(1-b)-b+c=0，整理得到c=2b-1综上所述，函数表达式为：y = (1 - b)x^2 + bx + (2b - 1)。

问题二：已知二次函数y = ax^2 + bx + c的两个零点为-2和5，求该函数的表达式。

解析：已知二次函数的两个零点为-2和5，可得到两个方程：a*(-2)^2+b*(-2)+c=0a*5^2+b*5+c=0整理得到：4a-2b+c=0----(3)25a+5b+c=0----(4)解决方程组(3)和(4)，可以采用消元法或代入法：将公式(3)的c解出来得到c=2b-4a，代入公式(4)可以得到：25a+5b+(2b-4a)=0，整理得到-21a+7b=0，整理为-3a+b=0。

由公式-3a+b=0可以得到b=3a，代入公式(3)可以得到4a-2(3a)+c=0，整理得到c=2a。

中考压轴题中代数和函数综合问题，主要有方程和不等式的图象解问题，一元二次方程根的判别式和根与系数的关系在二次函数问题中的应用问题，方程（组）、不等式（组）和函数的综合应用问题。

一. 方程和不等式的图象解问题 原创模拟预测题 1.函数()ay 1x <0x=-的图象如图，那么关于x 的分式方程a12x-=-的解是【 】A ．x=-1B ．x=-2C ．x=-3D ．x=-4 【答案】A 。

【考点】反比例函数的图象，曲线上点的坐标与方程的关系，数形结合思想的应用。

原创模拟预测题2. 如图，已知(4)A n -，，(24)B -，是一次函数y kx b =+的图象和反比(1)求反比例函数和一次函数的函数关系式； (2)(3)的解是 ；（请直接写出答案） (4)的解集是 .（请直接写出答案） 【答案】（分， y=2--x -----------1分 （2）6=∆AO B s ------2分 （3）-4或2------2分(缺一全扣)（4）204><<-x x 或------2分(缺一全扣)二. 一元二次方程根的判别式和根与系数的关系在二次函数问题中的应用问题 原创模拟预测题3. 若关于x 的一元二次方程2x 3x 2k -+=有实数根x 1，x 2，且x 1≠x 2，有下列结论：①x 1=1，x 2=2； ②k 14>-；③二次函数y=2x 3x 2k -++的图象与x 轴交点的坐标为（1，0）和（2，0）。

其中，正确结论的个数是【 】A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C 。

【考点】抛物线与x 轴的交点，一元二次方程的解，一元二次方程根的判别式。

③∵2x 3x 2k -+=，故选C 。

原创模拟预测题4. 已知222(x 4)(x b )0-+-=，则反比例函数且反比例函数1by x+=的图象在每个象限内y 随x 的增大而增大，那么反比例函数的关系式为【 】A. 1y x =-B. 1y x =C. 2y x =D. 2y x=- 【答案】A 。

代几综合问题—知识讲解（提高）【中考展望】代几综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型．近几年的中考压轴题多以代几综合题的形式出现．解代几综合题一般可分为“认真审题、理解题意；探求解题思路；正确解答”三个步骤,解代几综合题必须要有科学的分析问题的方法．数学思想是解代几综合题的灵魂，要善于挖掘代几综合题中所隐含的重要的转化思想、数形结合思想、分类讨论的思想、方程（不等式）的思想等，把实际问题转化为数学问题，建立数学模型，这是学习解代几综合题的关键．题型一般分为：（1）方程与几何综合的问题；（2）函数与几何综合的问题；（3）动态几何中的函数问题；（4）直角坐标系中的几何问题；（5）几何图形中的探究、归纳、猜想与证明问题.题型特点：一是以几何图形为载体，通过线段、角等图形寻找各元素之间的数量关系，建立代数方程或函数模型求解；二是把数量关系与几何图形建立联系，使之直观化、形象化，从函数关系中点与线的位置、方程根的情况得出图形中的几何关系.以形导数，由数思形，从而寻找出解题捷径. 解代几综合题要灵活运用数形结合的思想进行数与形之间的相互转化，关键是要从题目中寻找这两部分知识的结合点，从而发现解题的突破口.【方法点拨】方程与几何综合问题是中考试题中常见的中档题，主要以一元二次方程根的判别式、根与系数的关系为背景，结合代数式的恒等变形、解方程（组）、解不等式（组）、函数等知识．其基本形式有：求代数式的值、求参数的值或取值范围、与方程有关的代数式的证明．函数型综合题主要有：几何与函数结合型、坐标与几何、方程与函数结合型问题，是各地中考试题中的热点题型．主要是以函数为主线，建立函数的图象，结合函数的性质、方程等解题．解题时要注意函数的图象信息与方程的代数信息的相互转化．例如函数图象与x轴交点的横坐标即为相应方程的根；点在函数图象上即点的坐标满足函数的解析式等．函数是初中数学的重点，也是难点，更是中考命题的主要考查对象，由于这类题型能较好地考查学生的函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化思想，能较全面地反映学生的综合能力，有较好的区分度，因此是各地中考的热点题型．几何综合题考查知识点多、条件隐晦，要求学生有较强的理解能力，分析能力，解决问题的能力，对数学知识、数学方法有较强的驾驭能力，并有较强的创新意识与创新能力．1．几何型综合题，常以相似形与圆的知识为考查重点，并贯穿其他几何、代数、三角等知识，以证明、计算等题型出现．2．几何计算是以几何推理为基础的几何量的计算，主要有线段和弧长的计算，角的计算，三角函数值的计算，以及各种图形面积的计算等．3．几何论证题主要考查学生综合应用所学几何知识的能力．4．解几何综合题应注意以下几点：（1）注意数形结合，多角度、全方位观察图形，挖掘隐含条件，寻找数量关系和相等关系；（2）注意推理和计算相结合，力求解题过程的规范化；（3）注意掌握常规的证题思路，常规的辅助线作法；（4）注意灵活地运用数学的思想和方法．【典型例题】类型一、方程与几何综合的问题1.（2015•大庆模拟）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm．点P从B出发沿BA向A运动，速度为每秒1cm，点E是点B以P为对称中心的对称点，点P运动的同时，点Q从A出发沿AC向C运动，速度为每秒2cm，当点Q到达顶点C时，P，Q同时停止运动，设P，Q两点运动时间为t秒．（1）当t为何值时，PQ∥BC？（2）设四边形PQCB的面积为y，求y关于t的函数关系式；（3）四边形PQCB面积能否是△ABC面积的？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由；（4）当t为何值时，△AEQ为等腰三角形？（直接写出结果）【思路点拨】（1）先在Rt△ABC中，由勾股定理求出AB=10，再由BP=t，AQ=2t，得出AP=10﹣t，然后由PQ∥BC，根据平行线分线段成比例定理，列出比例式，求解即可；（2）正确把四边形PQCB表示出来，即可得出y关于t的函数关系式；（3）根据四边形PQCB面积是△ABC面积的，列出方程，解方程即可；（4）△AEQ为等腰三角形时，分三种情况讨论：①AE=AQ；②EA=EQ；③QA=QE，每一种情况都可以列出关于t的方程，解方程即可．【答案与解析】解：（1）Rt△ABC中，∵∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，∴AB=10cm．∵BP=t，AQ=2t，∴AP=AB﹣BP=10﹣t．∵PQ∥BC，∴=，∴=，解得t=；（2）∵S四边形PQCB=S△ACB﹣S△APQ=AC•BC﹣AP•AQ•sinA∴y=×6×8﹣×（10﹣t）•2t•=24﹣t（10﹣t）=t2﹣8t+24，即y关于t的函数关系式为y=t2﹣8t+24；（3）四边形PQCB面积能是△ABC面积的，理由如下：由题意，得t2﹣8t+24=×24，整理，得t2﹣10t+12=0，解得t1=5﹣，t2=5+（不合题意舍去）．故四边形PQCB面积能是△ABC面积的，此时t的值为5﹣；（4）△AEQ为等腰三角形时，分三种情况讨论：①如果AE=AQ，那么10﹣2t=2t，解得t=；②如果EA=EQ，那么（10﹣2t）×=t，解得t=；③如果QA=QE，那么2t×=5﹣t，解得t=．故当t为秒秒秒时，△AEQ为等腰三角形．【总结升华】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定等，综合性较强，难度适中．解答此题时要注意分类讨论，不要漏解；其次运用方程思想是解题的关键．举一反三：【变式】（2016•镇江）如图1，在菱形ABCD中，AB=6，tan∠ABC=2，点E从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿着射线DA的方向匀速运动，设运动时间为t（秒），将线段CE绕点C顺时针旋转一个角α（α=∠BCD），得到对应线段CF．（1）求证：BE=DF；（2）当t= 秒时，DF的长度有最小值，最小值等于；（3）如图2，连接BD、EF、BD交EC、EF于点P、Q，当t为何值时，△EPQ是直角三角形？（4）如图3，将线段CD绕点C顺时针旋转一个角α（α=∠BCD），得到对应线段CG．在点E的运动过程中，当它的对应点F位于直线AD上方时，直接写出点F到直线AD的距离y 关于时间t的函数表达式．【答案】解：（1）∵∠ECF=∠BCD，即∠BCE+∠DCE=∠DCF+∠DCE，∴∠DCF=∠BCE，∵四边形ABCD是菱形，∴DC=BC，在△DCF和△BCE中，∵，∴△DCF≌△BCE（SAS），∴DF=BE；（2）如图1，当点E运动至点E′时，DF=BE′，此时DF最小，在Rt△ABE′中，AB=6，tan∠ABC=tan∠BAE′=2，∴设AE′=x，则BE′=2x，∴AB=x=6，则AE′=6∴DE′=6+6，DF=BE′=12，故答案为：6+6，12；（3）∵CE=CF，∴∠CEQ＜90°，①当∠EQP=90°时，如图2①，∵∠ECF=∠BCD，BC=DC，EC=FC，∴∠CBD=∠CEF，∵∠BPC=∠EPQ，∴∠BCP=∠EQP=90°，∵AB=CD=6，tan∠ABC=tan∠ADC=2，∴DE=6，∴t=6秒；②当∠EPQ=90°时，如图2②，∵菱形ABCD的对角线AC⊥BD，∴EC与AC重合，∴DE=6，∴t=6秒；（4）y=t﹣12﹣，如图3，连接GF分别交直线AD、BC于点M、N，过点F作FH⊥AD于点H，由（1）知∠1=∠2，又∵∠1+∠DCE=∠2+∠GCF，∴∠DCE=∠GCF，在△DCE和△GCF中，∵，∴△DCE≌△GCF（SAS），∴∠3=∠4，∵∠1=∠3，∠1=∠2，∴∠2=∠4，∴GF∥CD，又∵AH∥BN，∴四边形CDMN是平行四边形，∴MN=CD=6，∵∠BCD=∠DCG，∴∠CGN=∠DCN=∠CNG，∴CN=CG=CD=6，∵tan∠ABC=tan∠CGN=2，∴GN=12，∴GM=6+12，∵GF=DE=t，∴FM=t﹣6﹣12，∵tan∠FMH=tan∠ABC=2，∴FH=（t﹣6﹣12），即y=t﹣12﹣．类型二、函数与几何综合问题2.如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动t（t＞0）秒，抛物线y=x2＋bx＋c经过点O和点P．已知矩形ABCD的三个顶点为A（1，0）、B（1，－5）、D（4，0）．⑴求c、b（可以用含t的代数式表示）；⑵当t>1时，抛物线与线段AB交于点M．在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP的值；⑶在矩形ABCD的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”．若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接．．写出t的取值范围．【思路点拨】（1）由抛物线y=x2+bx+c经过点O和点P，将点O与P的坐标代入方程即可求得c，b；（2）当x=1时，y=1-t，求得M的坐标，则可求得∠AMP的度数；（3）根据图形，可直接求得答案．【答案与解析】解：（1）把x=0，y=0代入y=x2+bx+c，得c=0，再把x=t，y=0代入y=x2+bx，得t2+bt=0，∵t＞0，∴b=-t；（2）不变．∵抛物线的解析式为：y=x2-tx，且M的横坐标为1，∴当x=1时，y=1-t，∴M（1，1-t），∴AM=|1-t|=t-1，∵OP=t ，∴AP=t-1， ∴AM=AP ，∵∠PAM=90°，∴∠AMP=45°；（3）72＜ｔ＜113．①左边4个好点在抛物线上方，右边4个好点在抛物线下方：无解； ②左边3个好点在抛物线上方，右边3个好点在抛物线下方： 则有-4＜y 2＜-3，-2＜y 3＜-1， 即-4＜4-2t ＜-3，-2＜9-3t ＜-1，∴72＜ｔ＜４且103＜ｔ＜113，解得72＜ｔ＜113；③左边2个好点在抛物线上方，右边2个好点在抛物线下方：无解； ④左边1个好点在抛物线上方，右边1个好点在抛物线下方：无解； ⑤左边0个好点在抛物线上方，右边0个好点在抛物线下方：无解； 综上所述，t 的取值范围是：72＜ｔ＜113．【总结升华】此题考查了二次函数与点的关系．此题综合性很强，难度适中，解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用．类型三、动态几何中的函数问题3. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数2+2y ax ax c =+的图象与y 轴交于(0,3)C ，与x 轴交于A 、B 两点，点B 的坐标为(-3,0)（1）求二次函数的解析式及顶点D 的坐标；（2）点M 是第二象限内抛物线上的一动点，若直线OM 把四边形ACDB 分成面积为1:2的两部分，求出此时点M 的坐标；（3）点P 是第二象限内抛物线上的一动点，问：点P 在何处时△CPB 的面积最大？最大面积是多少？并求出此时点P 的坐标.【思路点拨】（1）抛物线的解析式中只有两个待定系数，因此只需将点B 、C 的坐标代入其中求解即可．（2）先画出相关图示，连接OD 后发现：S △OBD ：S 四边形ACDB =2：3，因此直线OM 必须经过线段BD 才有可能符合题干的要求；设直线OM 与线段BD 的交点为E ，根据题干可知：△OBE 、多边形OEDCA 的面积比应该是1：2或2：1，即△OBE 的面积是四边形ACDB 面积的1233或，所以先求出四边形ABDC 的面积，进而得到△OBE 的面积后，可确定点E 的坐标，首先求出直线OE （即直线OM ）的解析式，联立抛物线的解析式后即可确定点M 的坐标（注意点M 的位置）．（3）此题必须先得到关于△CPB 面积的函数表达式，然后根据函数的性质来求出△CPB 的面积最大值以及对应的点P 坐标；通过图示可发现，△CPB 的面积可由四边形OCPB 的面积减去△OCB 的面积求得，首先设出点P 的坐标，四边形OCPB 的面积可由△OCP 、△OPB 的面积和得出． 【答案与解析】解：（1）由题意，得：3,9-60.c a a c =⎧⎨+=⎩ 解得：-1,3.a c =⎧⎨=⎩所以，二次函数的解析式为：2--23y x x =+ ，顶点D 的坐标为（-1，4）. （2）画图由Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四点的坐标，易求四边形ACDB 的面积为9.直线BD 的解析式为y=2x+6.设直线OM 与直线BD 交于点E ，则△OBE 的面积可以为3或6.①当1=9=33OBE S ∆⨯时，如图，易得E 点坐标（-2，-2），直线OE 的解析式为y=-x.E M xy O A BCD设M 点坐标（x ，-x ），21223113113,().22x x x x x -=--+---+==舍 ∴113113M ,22--+（） ② 当时，同理可得M 点坐标．∴ M 点坐标为（-1，4）．（3）如图，连接OP ，设P 点的坐标为(),m n ， ∵点P 在抛物线上，∴232n m m =-+-， ∴PB PO OPB OB S S S S =+-△C △C △△C111||222OC m OB n OC OB =⋅-+⋅-⋅ ()339332222m n n m =-+-=--()22333273.2228m m m ⎛⎫=-+=-++ ⎪⎝⎭∵3<0m -<，∴当32m =-时，154n =. △CPB 的面积有最大值27.8∴当点P 的坐标为315(,)24-时，△CPB 的面积有最大值，且最大值为27.8【总结升华】此题主要考查了二次函数解析式的确定、图形面积的解法以及二次函数的应用等知识；（2）问中，一定先要探究一下点M 的位置，以免出现漏解的情况．举一反三：【变式】如图所示，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为（3，0），（0，1），点D 是线段BC 上的动点（与端点B 、C 不重合），过点D 作直线y ＝－12x ＋b 交折线OAB 于点E ．（1）记△ODE 的面积为S ，求S 与b 的函数关系式；（2）当点E 在线段OA 上时，若矩形OABC 关于直线DE 的对称图形为四边形OA 1B 1C 1，试探究OA 1B 1C 1与矩形OABC 的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.yxDECOAB【答案】（1）由题意得B （3，1）．若直线经过点A （3，0）时，则b ＝32 若直线经过点B （3，1）时，则b ＝52若直线经过点C （0，1）时，则b ＝1.①若直线与折线OAB的交点在OA上时，即1＜b≤32，如图1，此时点E（2b，0）.∴S＝12OE·CO＝12×2b×1＝b.②若直线与折线OAB的交点在BA上时，即32＜b＜52，如图2，此时点E（3，32b-），D（2b－2，1）.∴S＝S矩－(S△OCD＋S△OAE＋S△DBE)＝ 3－[12(2b－1)×1＋12×(5－2b)•(52b-)＋12×3(32b-)]（2）如图3，设O1A1与CB相交于点M，C1B1与OA相交于点N，则矩形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积．由题意知，DM∥NE，DN∥ME，∴四边形DNEM 为平行四边形,根据轴对称知，∠MED＝∠NED, 又∠MDE＝∠NED，∴∠MED＝∠MDE，MD＝ME，∴平行四边形DNEM为菱形．过点D作DH⊥OA，垂足为H，设菱形DNEM的边长为a，由题可知，D（2b-2，1），E（2b，0），∴DH=1，HE=2b-（2b-2）=2，∴HN=HE-NE=2-a，则在Rt△DHM中，由勾股定理知：222(2)1a a=-+，∴a=5 . 4.∴S四边形DNEM ＝NE·DH＝54．∴矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为54．类型四、直角坐标系中的几何问题4. 如图所示，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．（1）直接写出点E、F的坐标；（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴．．．于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）由轴对称的性质，可知∠FBD=∠ABD，FB=AB，可得四边形ABFD是正方形，则可求点E、F的坐标；（2）已知抛物线的顶点，则可用顶点式设抛物线的解析式. 因为以点E、F 、P 为顶点的等腰三角形没有给明顶角的顶点，而顶角和底边都是唯一的，所以要抓住谁是顶角的顶点进行分类，可分别以E 、F 、P 为顶角顶点；（3）求周长的最小值需转化为利用轴对称的性质求解. 【答案与解析】解：(1)E(3,1)；F(1,2)；(2)连结EF ，在Rt △EBF 中,∠B=90°，∴EF=5212222=+=+BF EB .设点P 的坐标为(0,n),n ＞0,∵顶点F(1,2), ∴设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+2，(a ≠0)．①如图1，当EF=PF 时，EF 2=PF 2，∴12+(n-2)2=5，解得n 1=0(舍去)，n 2=4. ∴P(0，4)，∴4=a(0-1)2+2，解得a=2， ∴抛物线的解析式为y=2(x-1)2+2．②如图2，当EP=FP 时，EP 2=FP 2，∴(2-n)2+1=(1-n)2+9，解得n=－25(舍去)③当EF=EP 时，EP=5＜3，这种情况不存在. 综上所述，符合条件的抛物线为y=2(x-1)2+2．(3)存在点M 、N ，使得四边形MNFE 的周长最小．如图3，作点E 关于x 轴的对称点E′，作点F 关于y 轴的对称点F′，连结E′F′，分别与x 轴、y 轴交于点M 、N ，则点M 、N 就是所求. 连结NF 、ME. ∴E′(3，-1)、F′(-1，2)，NF=NF′，ME=ME′. ∴BF′=4，BE′=3. ∴FN+NM+ME=F′N+NM+ME′=F′E′=2243 =5. 又∵EF=5，∴FN+MN+ME+EF=5+5， 此时四边形MNFE 的周长最小值为5+5.【总结升华】本题考查了平面直角坐标系、等腰直角三角形、抛物线解析式的求法、利用轴对称求最短距离以及数形结合、分类讨论等数学思想. 分类讨论的思想要依据一定的标准，对问题分类、求解，要特别注意分类原则是不重不漏，最简分类常见的依据是：一是依据概念分类，如判断直角三角形时明确哪个角可以是直角，两个三角形相似时分清哪两条边是对应边；二是依运动变化的图形中的分界点进行分类，如一个图形在运动过程中，与另一个图形重合部分可以是三角形，也可以是四边形、五边形等. 几何与函数的综合题是中考常见的压轴题型，解决这类问题主要分为两步：一是利用线段的长确定出几何图形中各点的坐标；二是用待定系数法求函数关系式．类型五、几何图形中的探究、归纳、猜想与证明问题5. 如图所示，以等腰三角形AOB 的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形ABA 1，再以等腰直角三角形ABA 1的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形A 1BB 1，……，如此作下去，若OA=OB=1，则第n 个等腰直角三角形的面积Ｓ＝ ________（n 为正整数）．B 2B 1A 1BOA【思路点拨】本题要先根据已知的条件求出S 1、S 2的值，然后通过这两个面积的求解过程得出一般性的规律，进而可得出S n 的表达式．【总结升华】本题要先从简单的例子入手得出一般化的结论，然后根据得出的规律去求特定的值． 举一反三：【变式】阅读下面的文字，回答后面的问题．求3+32+33+…+3100的值． 解：令S=3+32+33+…+3100（1），将等式两边提示乘以3得到：3S=32+33+34+…+3101（2）， （2）-（1）得到：2S=3101-3问题：（1）2+22+…+22011的值为__________________；（直接写出结果）（2）求4+12+36+…+4×350的值；（3）如图，在等腰Rt△OAB中，OA=AB=1，以斜边OB为腰作第二个等腰Rt△OBC，再以斜边OC为腰作第三个等腰Rt△OCD，如此下去…一直作图到第8个图形为止．求所有的等腰直角三角形的所有斜边之和．（直接写出结果）．【答案】解：（1）22012-2．（2）令S=4+12+36+…+4×350 ①，将等式两边提示乘以3得到：3S=12+36+108+…+4×351②，②-①得到：2S=4×341-4∴S=2×351-2∴4+12+36+…+4×350=2×351-2．（3）92-2 2-1（）．。

初中数学专项练习题：代数式（一）姓名：__________ 班级：__________学号：__________ 一、单选题1.定义新运算：a⊙b＝{a−1(a≤b)−ab(a>b且b≠0)，则函数y＝3⊙x的图象可能是（）A. B. C. D.2.如图是一根起点为1的数轴，现有同学将它弯折，弯折后虚线上第一行的数是1，第二行的数是13，第三行的数是43，…，依此规律，第五行的数是（）A. 183B. 157C. 133D. 913.已知a、b、c满足3a+2b−4c=6，2a+b−3c=1，若a、b、c都为非负数，设y=3a+b−2c，求y的取值范围（）A. y≥−3B. y≥3C. 3≤y≤24D. y≥04.如图，用棋子摆出一组三角形，按此规律推断：当三角形每边有n枚棋子时，每个三角形棋子总数为S，该三角形的棋子总数S与n的关系是（）A. S=3n−2B. S=3n−3C. S=2n−2D. S=2n−35.如图，将五个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，其中点A、B、C、D分别是正方形对角线的交点、如果有n个这样大小的正方形这样摆放，则阴影面积的总和是（）A.n−14B. n 4C. n 2D. 12n6.用一排6盏灯的亮与不亮来表示数，已知如图分别表示了数1～5，则●O O●●O 表示的数是（ ）A. 23B. 24C. 25D. 267.某校数学课外小组，在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下：第k 棵树种植在点P k (x k ， y k)处，其中x 1＝1，y 1＝2，当k≥2时，x k ＝x k ﹣1+1﹣5（[k−15]﹣[k−25]），y k ＝y k ﹣1+[k−15]﹣[k−25]，[a]表示非负实数a 的整数部分，例如[2.6]＝2，[0.2]＝0.按此方案，第2017棵树种植点的坐标为（ ） A. (5，2017) B. (6，2016) C. (1，404) D. (2，404)8.定义一种变换f ：对于一个由有限个数组成的序列品，将其中的每个数换成该数在S 0中出现的次数，可得到一个新序列S ，例如序列S ：(4，2，3，4，2），通过变换可生成新序列S 1：(2，2，1，2，2），若某一序列S 0 ， 经变换得到新序列S 1 ， 由序列S 1继续进行变换得到S 2 ， 最终得到序列S n-1；（n≥2）与序列S n 相同，则下面的序列可作为S n 的是（ ）A. (1，2，1，2，2）B. (2，2，2，3，3)C. (1，1，2，2，3）D. (3，2，3，3，2） 9.若x =2时，代数式ax 4+bx 2+5的值是3，则当x =﹣2时，代数式ax 4+bx 2+7的值为（ ） A. ﹣3 B. 3 C. 5 D. 710.对非负实数n“四舍五入”到个位的值记为 〈x 〉 ，即：当n 为非负整数时，如果 n −12≤x <n +12 ，则 〈x 〉=n ．反之，当n 为非负整数时，如果 〈x 〉=n 时，则 n −12≤x <n +12 ，如 〈0〉=〈0.48〉=0 ， 〈0.64〉=〈1.493〉=1 ， 〈2〉=2 ， 〈3.5〉=〈4.12〉=4 ，…若关于x 的不等式组 {2x +1≥−3x −〈a〉<0 的整数解恰有3个，则a 的范围（）A. 1.5≤a ＜2.5B. 0.5＜a≤1.5C. 1.5＜a≤2.5D. 0.5≤a ＜1.5二、填空题11.如图，分别过点P i （i ，0）（i=1、2、…、n ）作x 轴的垂线，交 y =12x 2 的图象于点A i ， 交直线 y =−12x 于点B i ． 则 1A1B 1+1A2B 2+...+1An B n=________．12.在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为(1，0)，点D的坐标为(0，2)．延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2 ，作正方形A2B2C2C1··按这样的规律进行下去，第2018个正方形的面积为________．13.利用二维码可以进行身份识别．某校建立了一个身份识别系统，图1是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将第一行数字从左到右依次记为a，b，c，d，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为a×23+b×22+c×21+d×20．如图1中的第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号即为0×23+1×22+0×21+1×20＝5，表示该生为5班学生．若想在图2中表示4班学生的识别图案，请问应该把标号为①、②、③、④的正方形中的________（只填序号）涂成黑色．14.一列方程如下排列：x 4+x−12=1的解是x=2，x 6+x−22=1的解是x=3，x 8+x−32=1的解是x=4.……根据观察所得到的规律，请你写出其中解是x=2019的方程是________.15.有一列按规律排列的代数式：b，2b﹣a，3b﹣2a，4b﹣3a，5b﹣4a，…，相邻两个代数式的差都是同一个整式，若第4个代数式的值为8，则前7个代数式的和的值为________.三、计算题16.已知|m|=4，|n|=6，且|m+n|=m+n，求m−n的值.17.观察下列有规律的数：12，16，112，120，130，142…根据规律可知（1）第7个数是________，第n个数是________（n为正整数）；（2）1132是第________个数；（3）计算12+16+112+120+130+142+...+12016×2017．四、解答题18.【阅读理解】我们知道1+2+3+…+n= n(n+1)2，那么12+22+32+…+n2结果等于多少呢？在图1所示三角形数阵中，第1行圆圈中的数为1，即12，第2行两个圆圈中数的和为2+2，即22，…；第n行n个圆圈中数的和为，即n2 ，这样，该三角形数阵中共有n(n+1)2个圆圈，所有圆圈中数的和为1+2+3+…+n2.（1）【规律探究】将三角形数阵经两次旋转可得如图2 所示的三角形数阵，观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数（如第n﹣1行的第一个圆圈中的数分别为n﹣1，2，n），发现每个位置上三个圆圈中数的和均为________，由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为3（12+22+32+…+n2）=________，因此12+22+32+…+n2=________。

一 .反比例函数、一次函数部分1. 下列函数中，自变量x 的取值范围是x ≥3的是（ ） （A ）31-=x y （B ）31-=x y（C ）3-=x y （D ）3-=x y2使代数式43--x x 有意义的x 的取值范围是（ ） A 、x>3 B 、x ≥3 C 、 x>4 D 、x ≥3且x ≠43． 一次函数y =kx +b 与反比例函数y =kx 的图象如图5所示，则下列说法正确的是( )A.它们的函数值y 随着x 的增大而增大B.它们的函数值y 随着x 的增大而减小 ＜0D.它们的自变量x 的取值为全体实数4．矩形面积为4，它的长y 与宽x 之间的函数关系用图象大致可表示为（ ）5．反比例函数 x m y 1+=的图象经过点（2，1），则m 的值是 6．在反比例函数1ky x-=的图象的每一条曲线上，y x 都随的增大而增大，则k 的值可以是（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．27．如图，已知一次函数1y x =+的图象与反比例函数ky x=在第一象限相交于点A ，与x 轴相交于点C AB x ，⊥轴于点B AOB △的面积为1，则AC 的长为 （保留根号）．8如图，A 、B 是函数2y x=的图象上关于原点对称的任意两点， yO xAC B yOyOyOyOOBxyCABC ∥x 轴，AC ∥y 轴，△ABC 的面积记为S ，则（ ）A ． 2S =B ． 4S =C ．24S <<D ．4S >9如图，点A 、B 是双曲线3y x=上的点，分别经过A 、B 两点向x 轴、y 轴作垂线段， 若1S =阴影，则12S S += ．10如图，直线y=mx 与双曲线y=xk交于A 、B 两点，过点A 作AM ⊥x 轴，垂足为M ，连结BM,若ABM S ∆=2，则k 的值是（ ） A ．2 B 、m-2C 、mD 、411.将直线y x =向左平移1个单位长度后得到直线a ，如图3，直线a 与反比例函数()1y x =A ，与x 轴相交于B ，则22OA OB -=12.从2、3、4、5这四个数中，任取两个数()p q p q ≠和，构成函数2y px y x q =-=+和，并使这两个函数图象的交点在直线2x =的右侧，则这样的有序数对()p q ，共有（ ） A ．12对 B ．6对C ．5对D ．3对13．小敏家距学校1200米，某天小敏从家里出发骑自行车上学，开始她以每分钟1V 米的速xyABO1S2SB AOyxa图5度匀速行驶了600米，遇到交通堵塞，耽搁了3分钟，然后以每分钟2V 米的速度匀速前进一直到学校)(21V V <，你认为小敏离家的距离y 与时间x 之间的函数图象大致是（ ）\14．一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E ”图案，如图4所示，设小矩形的长和宽分别为x 、y ，剪去部分的面积为20，若2≤x ≤10，则y 与x 的函数图象是:15.已知, A 、B 、C 、D 、E 是反比例函数16y x=（x>0）图象上五个整数点（横、纵坐标均为整数），分别以这些点向横轴或纵轴作垂线段，由垂线段所在的正方形边长为半径作四分之一圆周的两条弧，组成如图5所示的五个橄榄形（阴影部分），则这五个橄榄形的面积总和是 （用含π的代数式表示）\16如图7所示，P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2），……P n （x n ，y n ）在函数y=x9（x ＞0）的图象上，△OP 1A 1，△P 2A 1A 2，△P 3A 2A 3……△P n A n －1A n ……都是等腰直角三角形，斜边OA 1，A 1A 2 ,……A n-1A n ，都在x 轴上，则y 1+y 2+…+y n = 。