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§9 有限群的分类1.凯莱定理：设G 是n 阶群，则G 一定与对称群n S 的某个子群同构。
凯莱定理表明，理论上讲，研究有限群只需把对称群n S 研究透就够了，但由于nS 的阶数(!)n 非常大，很难找出G 具体与n S 的哪个子群同构。
实际当中采用具体研究的方式。
，2。
群的直和分解概念 定义 设12,,,s N N N 是群G 的正规子群。
如果x G ∀∈，都存在唯一的i i x N ∈，使得12s x x x x =；同时当i j ≠时，i N 中的元素与j N 中的元素可交换，则称G为12,,,s N N N 的直和，记为12.s G N N N ≅⊕⊕⊕例如，以克莱茵四元群为例，4{,,,}K e a b c =， 取1{,},N e a =2{,},N e b = 则 124,,N N K 且有12,,,e ee e N e N =∈∈ 12,,,a ae a N e N =∈∈12,,,b eb e N b N =∈∈ 12,,,c ab a N b N =∈∈ 从而根据定义有 412.K N N ≅⊕再比如，6阶循环群{}2345,,,,,G a e a a a a a =<>=，6ae =。
取331{,}N e a a ==<>，2422{,,}N e a a a ==<>，则不难验证有12G N N =⊕。
3.有限群的结构定理群的分类思想就是把复杂的群分解成简单的、结构完全已知的 群的直和，而循环群的结构最简单、完全清楚，因此，总是将 一般的群分解成循环群的直和。
以下将n 阶循环群记为n C 。
情形1：定理1 每个有限交换群都同构于一些循环群的直和，这些循环群的阶数分别为12,,,s m m m ， 满足12|,m m 23|,,m m 1|s s m m -， 即12s m m m G C C C ≅⊕⊕⊕。
通常称12,,,s m m m 为G 的不变因子（Invariant factors ）。
第一章 群的基本知识二十一世纪以来，特别是爱因斯坦（Einstein ）发现相对论之后，对称性的研究在物理学中越来越重要。
对称性帮助人们求得物理问题的解，也帮助人们寻求新的运动规律。
物理学家不仅研究了空间和时间的对称性，而且找到了许多内部对称性，如强作用的SU(2)同位旋对称，SU(3)色和味的对称，弱电统一的SU(2)XU(1)的对称，偶偶核的U(6)动力学对称等等。
从七十年代起，又开展了超对称性的研究。
群论是研究对称性问题的数学基础，因此，它越来越受到物理学工作者的重视。
1.1 群定义 1.1 设G 是一些元素的集合，}{},,{g g G == .在G 中定义了乘法运算。
如果G 对这种运算满足下面四个条件：（1） 封闭性。
即对任意G g f ∈,，若h fg =，必有G h ∈。
（2） 结合律。
对任意G h g f ∈,,，都有())(gh f h fg =.（3） 有唯一的单位元素。
有G e ∈，对任意G f ∈，都有f fe ef ==（4） 有逆元素。
对任意G f ∈，有唯一的G f∈-1，使e ff f f ==--11 则称G 为一个群。
e 称为群G 的单位元素，1-f称为f 的逆元素。
例1 空间反演群。
设E 和I 对三维实空间3R 中向量→r 的作用为 →→→→-==r r I r r E ,即E 是保持→r 不变的恒等变换，I 是使→r 反演的反演变换，定义群的乘法为从右到左连续对→r 作用。
集合{}I E ,构成反演群，其乘法表见表1.1.例2 n 阶置换群n S ，又称n 阶对称群。
将n 个元素的集合},,2,1{n X =映为自身的置换为 ,2121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n m n m m P 其中n m m m ,,,21 是n ,,2,1 的任意排列，P 表示把1映为1m ，2映为2m ，n 映为n m 的映射。
显然置换只与每列的相对符号有关，与第一行符号的顺序无关，如⎝⎛2421 ⎪⎪⎭⎫3143= ⎝⎛2324 ⎪⎪⎭⎫4113。
近世代数⽬录基本概念元素。
集合。
空集合。
⼦集 。
真⼦集 。
A =B ⟺A ⊆B ∧B ⊆A 。
幂集：⼀个集合所有⼦集组成的集合， P (A ) 。
交集。
并集。
性质：幂等性；交换律；结合律；⼆者之间有分配律。
关系：M ×M 的⼦集。
即 ∀a ,b ∈M ，法则 R 可以确定 a 和 b 符合/不符合这个法则。
记做 aRb 和 a ¯R b 。
等价关系：满⾜⾃反性（∀a ∈M ,aRa ）、对称性（ aRb ⇔bRa ）和传递性（ aRb ,bRc ⇒aRc ）的关系，⽤ ∼ 表⽰，即 a ∼b 。
分类：把集合 M 的全体元素分为若⼲互不相交的⼦集。
每个分类与⼀个等价关系⼀⼀对应。
映射：集合 A ,B ，有⼀个 法则 φ 使得所有的 x ∈A 存在唯⼀的 y ∈B 与之对应。
记作 φ:x ⟶y 或 y =φ(x ) 。
y 叫做 x 在映射 φ 下的像，把 x 叫做 y 在映射 φ 下的原像或逆像。
满射：B 中每个元素在 A 中都有原像。
单射：A 中不同的元素在 B 中像不同。
双射：满射+单射。
逆映射：只有双射才有逆映射，记为 φ−1 。
有限集合满⾜ |A |=|B | 且 φ 是 A 到 B 的⼀个映射，则 φ 是满射 ⟺ φ 是单射；推论：得出 φ 是双射。
相等映射 ： A 到 B 的映射 σ 和 τ 满⾜ ∀x ∈A ,σ(x )=τ(x ) 。
映射合成/映射乘法： τ:A ⟶B ,σ:B ⟶C ，则 x ⟶σ(τ(x ))(∀x ∈A ) 是 A 到 C 的⼀个映射，记为 στ(x ) 。
代数运算：集合 M 的对应法则 M ×M ⟶M ，即任意两个有次序的元素 a 和 b 有唯⼀确定的元素 d 与它们对应。
代数系统：有代数运算的集合。
（注意代数运算的封闭性。
即 d ∈M ）。
⽤“乘法表”法表⽰有限集合的代数运算时，注意每列⾏⾸（第⼀列）是参与运算第⼀个元素，每列列⾸（第⼀⾏）是第⼆个元素。
1832 年的某个清晨，革命中的法国见证了又一次决斗。
在某个瞬间，某位青年被对手的枪 射中腹部，随后去世。
在当时狂热的政治斗争中，只有寥寥数人意识到，法国，甚至世界， 又失去了另一个伟大的头脑。
这位青年姓伽罗华，他的最大遗产围绕着一个数学概念：群。
在接下来的一百多年后，一群在世界各地的数学家，沿着这位青年开辟的路径，对有限群的 结构进行了彻底的分析。
其中的发现，可能出乎所有人的意料。
这是一个关于群的故事，这是一个关于单群的故事。
高度抽象的对称交错群 A_5 的一个 Cayley 图（一种群的图示） 什么是群？一个数学家可能会给你这样的回答： 一个群是一个集合 G 以及在 G 上的一个运算，满足以下三个条件： 1. 存在一个 G 中的元素 e，使得对于 G 中的任意元素 x，有 x=xe=ex。
这样的 e 叫做 群的单位元 2. 对于 G 中的任意元素 x,y,z，有(xy)z=x(yz)，这是结合律 3. 对于 G 中的任意元素 x，存在 G 中的一个元素 y，使得 e=xy=yx。
这样的 y 被称为 x 的逆元 这样的定义， 即使是对一名刚进大学的数学系学生来说也稍显抽象。
但数学的力量就在于它 的抽象。
它什么都不是，所以它什么都是。
整数和加法就构成一个群。
什么数加上 0 都不变， 所以 0 是单位元； a+(b+c)=(a+b)+c， 这是小学的加法结合律；一个数加上它的相反数是单位元 0，所以相反数就是逆元。
正实数 和乘法也构成一个群，1 是它的单位元，乘法有结合律，倒数是逆元。
如果我们认为 9 点 +5 点相当于 9 点的 5 个小时后，也就是 2 点的话，就连时钟也构成一个群。
宝石的晶体 构造，电脑的压缩校验算法，以至于魔方的还原，无不牵涉“群”这个概念。
而对于自然界的 各种对称性，群也是对其最自然的描述方式。
难怪有人会说，群就是对称，研究群，就是研 究各种对称性。
晶体点群、空间群简要归纳本⽂只是很简要的归纳，具体内容还请见李新征⽼师群论书和其在蔻享的群论课。
另外推荐肖瑞春⽼师科学⽹博客的这篇博⽂，介绍了群论及后续的学习：若研究中涉及群论和物理性质相关，其中陈纲的《晶体物理学基础》书特别好，易懂，将主动变换和被动变换等分析得特别清晰，不过此书太厚，注意⽤到什么学什么，⽤minimized的知识来科研，否则被导师批评...1.对称操作、对称元素对称操作：保持系统不变的操作。
对称元素：它是⼀个⼏何实体，对称操作可以依据对称元素施⾏对称操作。
对称元素可以是点、直线、⾯等。
2.点群：1）定义：三维实正交群O(3)群的有限⼦群物理理解：实际上点群是实际的物理系统在三维空间的⼀些对称操作的集合。
这些对称操作会保持⼀个点不动。
2）点群分类第⼀类点群：只包含纯转动元素的点群。
第⼆类点群：点群中，除了纯转动元素，还包含转动反演元素的点群。
因为点群是O(3)群的⼦群，⽽O(3)群中有固有转动和⾮固有转动。
3）点群的性质{()}性质1：点群这个集合可以写成C k(2π/n)、IC k′2π/n′的形式，其中n,→k′,n′取有限个⽅向和值；C k(2π/n)是绕→k轴转2π/n⾓的操作。
性质2：设G是点群，K是G的纯转动部分，由于纯转动部分的乘积以及逆元必属于这个纯转动部分,所以K也是G的纯转动⼦群,即K=G∩SO(3)∘.点群G与其有限⼦群K的关系有以下三种可能的情况：1.G=K, 即点群只包含纯转动操作；称为第⼀类点群。
2.若点群G中除了纯转动操作，还包含纯空间反演操作I, 则可以通过G=K∪IK得到这种情况对应的第⼆类点群。
3.若点群G中除了纯转动操作，且G中不包含纯反演操作I时 , 此第⼆类点群G⼀定与⼀个第⼀类G+同构,其中，G+=K∪K+, ⽽K+定义为:K+={Ig∣g∈G,但g∉K}根据这⾥的第3点，可以知道构造这种情况对应的第⼆类点群的⽅法：根据⼀个已知的第⼀类点群K∪K+，即可以构造⼀个第⼆类点群K∪I K+.还可以证明K必须是K∪K+的不变⼦群，其阶数是K∪K+的⼀半。
sylowp子群的阶数Sylow子群是一类重要的群论概念，被广泛应用于许多数学领域，特别是在群的结构和分类研究中。
本文将对Sylow子群的定义、性质以及与群的阶数的关系进行详细探讨。
首先，我们来给出Sylow子群的定义。
设G是一个有限群，p是一个素数，如果存在一个子群H使得H的阶数是p的幂次，但不是p的更高次幂，那么H被称为G的一个p-Sylow子群。
我们将从几个方面来探讨Sylow子群的性质。
首先，我们来看一个重要的特例——p-子群。
如果一个子群H的阶数是p的幂次，那么H被称为G的一个p-子群。
p-子群是Sylow子群的一个特殊情况，它所包含的元素的数量是有限的，且是p的幂次。
而Sylow子群是一类更为一般化的概念，它的阶数可以是任意的p的幂次。
接下来，我们来探讨Sylow子群的存在性。
古典的Sylow第一定理指出，对于有限群G，如果p是G的一个素因子，那么G必定存在一个p-子群。
换句话说，任何有限群的阶数都可以分解成不同素数幂次的乘积，而且对应于每个素因子，都存在一个相应的p-子群。
根据Sylow子群的存在性，我们可以得到Sylow第二定理和Sylow 第三定理。
Sylow第二定理指出，如果H和K是一个有限群G的两个不同的p-子群，那么H和K存在一个共轭的关系，即存在一个g∈G，使得gHg^(-1)=K。
这个定理说明了任意两个p-子群都存在一个共轭的关系，它们在群G中的位置是等价的。
Sylow第三定理指出，如果H是一个p-子群，那么H的阶数整除G 的阶数，并且H是G的一个Sylow子群当且仅当H是G的唯一的p-子群。
这个定理说明了Sylow子群的唯一性。
也就是说，如果在一个群G 中存在Sylow子群，那么这些Sylow子群之间的阶数必定相等，且任意两个Sylow子群是共轭的。
通过上述定理，我们可以得到Sylow子群的一个重要性质——Sylow子群的阶数与群的阶数的关系。
根据Sylow第三定理，如果H是一个p-子群，那么H的阶数整除G的阶数。
