下载文档原格式
高中数学的主线
高中数学的主线是数学思想的发展历程，以及数学的基本概念和方法。
在高中数学中，主线包括数列与函数、三角函数、数学分析、几何学、概率与统计等。
数列与函数是高中数学的基础，它包括了数列的概念、递推公式、极限等内容，还有函数的概念、图像、性质、解析式等。
三角函数是高中数学的重点内容，它包括了三角函数概念、关系、性质、应用等。
数学分析是高中数学的高级内容，它包括了导数、微分、极值、积分、定积分等内容。
几何学是高中数学的另一个重点内容，它包括了平面几何和立体几何，涉及到点、线、面、体等概念，以及解析几何、向量等。
概率与统计是高中数学的应用内容，它包括了随机事件、概率、分布、抽样、推断等。
高中数学的主线贯穿了整个学科，形成了一个完整的体系，是培养学生数学思维和解决问题的必要基础。
- 1 -。
高中数学课程内容主线（三）—运算主线知识结构框图：对数学最朴实的理解是：数学就是“算”，即“运算”。
“运算”包括两方面，一个是“运算的对象”，一个是“运算的规律”。
“数”、“字母”（代数式）、“指数”、“对数”、“三角函数”、“向量”等等都是运算对象。
“结合律”、“a+(-a)=0”（即加一项，减一项）、“交换律”、各种“分配律”等等都是运算规律。
“运算”几乎渗透到数学的每一个角落，运算是贯穿数学的基本脉络，是贯穿数学课程的主线，在高中数学课程中，发挥着不可替代的作用。
1．对运算的认识运算是数学学习的一个基本内容。
运算对象的不断扩展是数学发展的一条重要线索。
从小学开始，学生接触的运算在不断地扩充，从整数到分数，从正数到负数，从有理数到实数、复数，从数到字母、到多项式。
数的运算，字母运算，向量运算，函数、映射、变换运算，矩阵运算等，都是数学运算。
从数的运算到字母运算，是运算的一次跳跃。
数的运算可以用来刻画具体问题中的数量关系，解决一个一个有关数量的具体问题。
而字母运算则可以刻画蕴涵规律的一类问题，解决一类问题。
例如，c++))(，就刻画了=(+baca+b数运算的一个规律——结合律。
同时，字母运算也是表达函数关系、刻画普遍规律的工具。
从数运算进入字母运算，使学生数学学习的一次质变，学生对运算的理解也会产生一个跳跃。
从数的运算，到向量运算，是认识运算的又一次跳跃。
运算是一类映射，在代数中，最常见的运算是这样的映射A A A →⨯，它是二元映射，实数的加法和乘法就是二元映射，但是，并不是二元映射都是运算，实际上，大部分二元映射不是运算，只有满足规律的二元映射才可以成为运算，即代数运算。
数的运算、多项式运算都是A A A →⨯型的代数运算，例如，就加法运算来说，它们满足结合律，有零元，0)(=-+a a ，还满足分配率。
在初中阶段，所有的数学内容都离不开运算，例如，代数基本公式，因式分解，方程，不等式，函数等。
浅析高中数学课程内容主线华罗庚在《大哉数学之为用》中叙述数学为“宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之变、生物之谜、日用之繁”等各方面的应用。
数学应用的广泛性使得数学应用在数学课程中的地位越发的重要。
2011年数学课程标准：“为了适应时代发展对人才培养的需要，数学课程还要特别注重发展学生的应用意识和创新意识。
”注重高中数学应用，分析高中课程内容主线--数学应用，对高中数学应用内容教学有重要作用。
高中数学应用主线把高中数学课程所涉及到的数学应用内容有机地紧密联系起来。
抓住应用主线所构成的知识网，就可以更好的把握高中数学课程中的数学应用内容，了解实质，提高教学和学习的效率。
一、数学应用的含义数学应用对发展学生应用意识具有重大意义。
数学应用指用数学的知识与思想方法去解决生产、生活乃至学习中的各种实际问题的过程，它包括数式的运算、推理、分析、制表、绘图、估计、符号变换、优化方案等诸多方面。
数学应用主要体现在两个方面：一是数学的内部应用，即运用已有的数学知识和数学思想方法解决新的数学问题;二是数学在社会生活和生产中的应用。
二、高中数学应用教学现状数学来源于生活，又运用于生活。
我国数学教学中，比较突出的一个问题是忽视数学的应用，忽视数学与其他学科以及与日常生活的联系，忽视培养学生的应用意识，学生的数学应用能力普遍偏低。
据调查发现现在高中数学应用教学现状如下：1.学生对数学应用价值认识不足。
有的学生仅仅把数学学科当作一个考试科目。
为的是取得好成绩，却忽视了数学的应用价值。
2.解决实际问题时存在障碍，比如，学生在运用已学过的数学思想、方法解决问题方面、在生活语言与数学语言的转化上存在一定的困难。
3.部分老师认为高中课程内容多，时间紧，高考中的比重不大，不强调数学应用。
培养学生数学应用意识不强，开展数学应用意识教学意识淡薄，在教学中不注意联系生活实际体现数学的应用价值。
在教学过程中忽视了教学内容在应用主线中的地位与作用。
下面我从函数这条主线来谈一下我对新教材的教学理解：一、从数学新教材必修1看新教材的主要特点：1.教学内容的安排体现了教材层次清楚、脉络丰富在高一上学期的教学内容中，以基础打头阵，以函数为主线，把集合、函数和映射、一次函数、二次函数、指数与对数函数、幂函数、分数函数、简单不等式等内容组合到一起。
这样，就把这些基础性的工具性的内容放到了最前面，不仅有助于学生对数学语言的了解，更有助于学生数学思维的形成。
在重点引出了映射与函数的概念后，又研究了几类基本初等函数的概念、图像及性质，这种函数主线实际上体现了高等数学中运用函数思想解决实际问题的策略，这样的刻意安排把高中数学放在了更高的位置上，有利于学生数学思维的可持续发展。
2.教学要求的变化体现了让学生学习“有用的数学”的教学思想新教材在保证基础知识教学、基本技能训练、基本能力培养的前提下，对传统的高中数学删减了一些次要的、用处不大的而且学生接受起来有一定困难的内容，如指数方程、对数方程等，而幂函数大大降低了难度。
从这一变化可以看出，新教材考虑到了知识的主次和轻重，考虑到了在不影响学生认知发展的基础上，尽量减轻学生的学习负担。
二、在研究新教材的基础上，结合当今学生的特点，发挥学生的主体作用，提高中学数学教学实效1.在使用新教材的过程中，我们一定要认真研究新大纲对我们教学内容的要求，切不可被老教材的要求所束缚，仍旧采用老一套的教法，总觉得放弃原来的一些精彩内容感到可惜。
同时在新教材的教学中，我们应该要把握好新教材的深度和广度，根据学生的实际学习水平，在尊重学生的认知规律的基础上进行教学，切不可任意拔高教学要求，追求教学中的一步到位。
在教学中，我们必须要结合教学内容的教学价值，对所授内容有明确合理的定位，如对于“函数”这一内容，本来就是教学中的难点，但又是重点，如果我们在新课函数的教学阶段应用集合与映射概念由浅入深，将有利于学生对函数概念的理解，也就是说将函数的基本要素，定义域与值域用集合表示，把函数看作一个特殊的映射，这样做不仅有助于掌握函数概念也可以加深对集合与映射的理解。
高中数学课程运算主线分析作者：黄小脉，邹循东来源：《教育教学论坛》 2015年第36期黄小脉，邹循东（广西师范学院数学与统计科学学院，广西南宁530001）摘要：运算在整个高中学习中有重要作用。
文章从主线结构、内容安排、运算核心等角度进行了分析，认为在运算教学中应该注重强化重点内容和数学思想方法、讲清算理、加强变式训练、培养学生良好的计算习惯和增强学生运算的自信心。
关键词：高中数学；运算主线；分析及建议中图分类号：G632.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2015）36-0243-02运算是解决数学问题的一种手段，同时也是一种重要的数学能力。
从小学阶段到高中，运算的载体不断增加。
在高中，运算则拓展到集合、初等函数、三角函数、向量等。
尤其是向量运算的扩充，使运算进入到数学的各个领域。
总之，运算始终贯穿于数学课程学习之中。
一、对高中运算主线的认识高中运算是数学能力的一个重要体现，高中数学课程标准对高中数学运算部分的内容做出明确的要求。
从必修模块的集合、基本初等函数、三角函数等，到选修模块里的向量、解析几何与导数的有机结合，对运算能力的要求越来越高，尤其是运算在几何问题里的应用越来越多。
在以后的进一步学习中，还会涉及到矩阵、线性变换等运算，所以高中运算的学习为今后进一步学习其他数学运算、体会数学运算的意义以及运算在建构数学系统中的作用，奠定了基础。
二、高中运算内容的分析高中运算的主要内容，除了使用初中的多项式运算和数的运算之外，我们又引入了一些新的运算对象。
以下将从知识结构、内容设计、运算核心、初高中运算知识比较等角度进行分析。
（一）高中运算主线结构图（二）高中运算内容的设计在高中数学课程中，运算的内容主要安排在以下位置：必修模块一中基本初等函数；必修四中的三角函数与三角恒等变换运算；必修二模块中空间几何的体积面积、直线与圆的方程；必修模块五中解三角形、数列与不等式；必修4和选修2-1中安排了平面向量、空间向量与立体几何；选修2-1中还安排了圆锥曲线与方程；在选修1-2和选修2-2中安排了数系扩充与复数的运算；在选修1、选修2中安排了导数的运算。
高中数学课程几何与代数主线甄选了核心内容，从图形分类、平面、空间基本图形、图形的基本性质、研究图形的基本思想方法、图形的作用五个方面，借助向量与空间坐标系对立体几何和平面解析几何展开新的学习视角，自然地将直观想象与数学运算有机融合，发展学生的数学核心素养.摘要关键词几何与代数主线；研究路径；育人价值核心素养视域下高中几何与代数主线的教与学林晴岚张洁黄勇陈柳娟（福建教育学院数学教育研究所，福建福州350025）普通高中数学课程根据新时代新时期社会发展需求、数学发展的新特点以及学生成长规律间的相互联系，明确了发展学生数学核心素养的要求，重新构建数学学科基础教育课程主要内容，优化了数学课程的结构，关注了数学逻辑体系、内容主线、主题与核心内容之间的关联，每一条主线都精选重要、核心内容，以主线的学习要求，借助特定的、情境化的、综合性的数学活动提出针对性的数学问题，帮助学生系统学习主线下的数学基本知识、基本数学思维方法，掌握数学应用的相关技能，学会从多角度、用联系的观点看待事物，清晰地认识数学的科学价值、应用价值、人文价值和审美价值，提升学生的学习能力和综合素养.高中数学课程四条主线主要内容设置都以培育和发展学生数学核心素养为主导，在课程结构设置上，关注课程内容的基础性与发展性、多样性与统一性、整体与局部、必修与选择性必修等内在联系，准确把握数学本质，突出数学思想方法及充分发挥数学的育人功能.下面以几何与代数主线为例试加阐释.一、几何与代数主线的核心内容定位主线的课程内容在必修课程中设置平面向量及其应用、复数、立体几何初步三个单元（如图1），选择性必修课程中设置空间向量与立体几何、平面解析几何两个单元（图2），由这五个单元内容系统地将几何图形与代数运算之间的有机融合.借助这五个单元内容的系统学习来理解主线的核心知识、主要性质、基本原理，学会运用向量、复数、空间直角坐标系等数学工具，解决与几何、物理、代数、三角等相关联的现实问题，掌握运用几何的图“形”与代数运“算”相结合的思维方式，从中感悟数学知识之间的关联，促进学生更好地认识、理解数学的本质，把握数学知识的整体性.图1图2（一）平面向量及应用本单元的学习内容（如图3-1），通过对现实生活中船、飞机行程具体问题分析，借助几何直观，理解引入平面向量的必要性，认识向量的物理意义、几何意义、代数意义、几何表示和基本要素；掌握平面向量基本定理的几何表示方法和坐标表示法，会从多种角度理解向量概念、运算法则（如图3-2）、运算律（如向量的数乘运算律、向量的数量积运算律等），理解向量作为代数的对象，可以像数一样进行运算，但与数的运算有区别也有联系，同时，向量又作为几何的对象，刻画了几何图形的基本要素.认识引入向量丰富了研究问题的视角与方法，如从“方向”角度看，有平行向量a ∥b 共线向量 b =λ a ( a ≠ 0)、相反向量 a =-b 、垂直向量 a ⊥ b ，拓展了研究平行、相交、垂直等问题的视角；从“量化”角度看，有模相等的向量|| a =||b 、向量a 与b 的夹角< a , b >= a ·b ||a ||b 等，拓展了研究有关夹角、几何体的高等问题视角.领会运用向量解决简单的数学和物理问题的基本思路和手段，在解决问题过程中体会向量是实现几何问题与代数问题相互转化的强有力工具，逐步提升了直观想象、逻辑推理和数基金项目：福建省教育科学“十三五”规划2020年度课题“基于新时代育人观的中学数学教学实践研究”（课题编号：FJJKCG20-004）。
论述高中数学课程内容的四大主线及其设置的依据
高中数学课程内容的四大主线包括函数、几何与代数、统计与概率、数学建模活动与数学探究活动。
这些主线的设置依据在于数学作为一门学科，有其独特的基本概念和技能。
基本概念包括数的性质、运算规则、几何形状等，技能则包括计算、证明、解决问题等。
高中数学课程需要帮助学生建立数学思维、逻辑推理和分析问题的能力。
同时，数与代数是数学的重要组成部分，学生在高中数学课程中需要进一步学习数与代数的关系以及它们在各种实际问题中的应用，包括整数、有理数、无理数、多项式、方程、不等式等内容。
掌握数与代数的知识可以更好地理解和解决复杂的数学问题。
此外，高中数学课程也需要培养学生解决实际问题的能力，通过数学建模活动和数学探究活动，学生可以更好地理解和应用数学知识，提高解决实际问题的能力。
高中数学课程标准所设的四条主线
高中数学课程的四条主线是：
1. 数学基础：
数学基础包括数学的概念、符号、术语和它们之间的联系、简单的定
理与证明、常用的算法与计算方法等，旨在打下牢固的数学基础。
2. 数学思维：
数学思维包括理性推理及抽象思维，能力表现为现象抽象、推理三维，旨在培养学生的科学研究能力及创新思维。
3. 数学活动：
数学活动主要指通过观察、实践、实验等活动，熟悉实际中数学的运用，使学生学习数学、思考数学、探究学习方法的数学活动，旨在让
学生结合实践和实验，探究、体验数学特性。
4. 数学应用：
数学应用旨在使学生联系实际，结合课程中的概念和方法，学习分析、解决日常实际问题的能力，拓展数学的应用范畴，提高学生运用数学
分析、解决实际问题的能力。
总之，高中数学课程四条主线旨在培养学生掌握数学知识，理解数学
方法与思维，并能够结合实践和实验，结合课程中的概念和方法，分析、解决实际问题；熟悉实际中数学的运用，增强学生的应用能力，最终培养学生科学研究、创新思维的能力。
在此基本数学知识与技能基础上，学生能够采用灵活多样的思路，深入研究数学问题、解决数学问题，从而了解自身能力，提高应用能力。
高中数学课程内容主线（一）——函数主线20世纪初，在英国数学家贝利和德国数学家克莱因等人的大力倡导和推动下，函数进入了中学数学。
克莱因提出了一个重要的思想——以函数概念和思想统一数学教育的内容，他认为：“函数概念，应该成为数学教育的灵魂。
以函数概念为中心，将全部数学教材集中在它周围，进行充分地综合。
”高中数学课程设计中，把函数作为贯穿整个高中数学课程始终的主线，这条线将延续到大学的数学中，我们知道，大学几乎所有的专业都开设了高等数学，有文科的高等数学，有工科的高等数学，在数学系中，有数学与应用数学专业、信息与计算专业、统计数学专业，这些专业开设了不同高等数学内容的课程，虽然，不同的专业开设不同的高等数学课程，但是，函数是这些高等数学课程的一条主线，在数学系课程中，尤显突出，例如，数学分析、复变函数、实变函数、常微分方程、偏微分方程、泛函分析等等，这些课程都是把函数作为研究对象。
函数、映射不仅是数学的基本研究对象，它们的思想渗透到几乎每一个数学分支。
在高中阶段，如何认识函数的作用？如何把握函数的内容？如何进行函数的教学？学生学完高中课程，在函数的学习中，应留下什么？每一个高中数学教师都应该认真思考这些问题。
1．对函数的认识（1）函数是刻画变量与变量之间依赖关系的模型把函数看作是刻画变量与变量之间依赖关系的模型，通过探索，理解可以用变量与变量之间的依赖关系反映自然规律，这是我们认识现实世界的重要视角。
在现实生活中，在其他学科中，有些变量和变量之间没有依赖关系，例如，一般地说，速度和湿度就没有依赖关系；有些变量和变量之间存在着依赖关系，一个量的变化引起另一个变量的变化。
例如，在物理中刻画物体运动时，路程随着时间的变化而变化。
又如，世界人口数量是随着时间的变化而变化的。
这些对象的变量之间都有着密切的依赖关系，而且，这种变量之间的依赖关系具有一个突出的特征，即当一个变量取定一个值时，依赖于这个变量的另一个变量具有唯一确定的值。
高中课程标准设计的三条内容主线是什么《普通高中课程标准（数学）》一书中指出：“高中数学课程突出了三条内容主线：函数、代数与几何、统计与概率；把数学建模与数学探究、数学文化贯穿在课程中，”近几年的高考也遵循了这一思路。
因此我们在本版的修订中也文墨重彩的讲述了主干知识题型，与此同时，对数学的应用性与数学建模核心素养的培养的强化也贯穿其中，如在函数中增加一节专门讲解各种函数模型与函数模型的选取，在其他各章中都增加了应用题型，如实际问题中的一元二次不等式、三角函数中的周期现象描述、平面向量在物理学中的应用、数列实际应用问题、导数的实际应用等等。
在数列、概率等章节补充了数学文化类题目，这些题目阅读量较大，紧扣高考脉搏，帮助读者增强数学应用意识，更好适应新高考的要求。
高中数学课程内容主线（一）——函数主线20世纪初，在英国数学家贝利和德国数学家克莱因等人的大力倡导和推动下，函数进入了中学数学。
克莱因提出了一个重要的思想——以函数概念和思想统一数学教育的内容，他认为：“函数概念，应该成为数学教育的灵魂。
以函数概念为中心，将全部数学教材集中在它周围，进行充分地综合。
”高中数学课程设计中，把函数作为贯穿整个高中数学课程始终的主线，这条线将延续到大学的数学中，我们知道，大学几乎所有的专业都开设了高等数学，有文科的高等数学，有工科的高等数学，在数学系中，有数学与应用数学专业、信息与计算专业、统计数学专业，这些专业开设了不同高等数学内容的课程，虽然，不同的专业开设不同的高等数学课程，但是，函数是这些高等数学课程的一条主线，在数学系课程中，尤显突出，例如，数学分析、复变函数、实变函数、常微分方程、偏微分方程、泛函分析等等，这些课程都是把函数作为研究对象。
函数、映射不仅是数学的基本研究对象，它们的思想渗透到几乎每一个数学分支。
在高中阶段，如何认识函数的作用？如何把握函数的内容？如何进行函数的教学？学生学完高中课程，在函数的学习中，应留下什么？每一个高中数学教师都应该认真思考这些问题。
1．对函数的认识（1）函数是刻画变量与变量之间依赖关系的模型把函数看作是刻画变量与变量之间依赖关系的模型，通过探索，理解可以用变量与变量之间的依赖关系反映自然规律，这是我们认识现实世界的重要视角。
在现实生活中，在其他学科中，有些变量和变量之间没有依赖关系，例如，一般地说，速度和湿度就没有依赖关系；有些变量和变量之间存在着依赖关系，一个量的变化引起另一个变量的变化。
例如，在物理中刻画物体运动时，路程随着时间的变化而变化。
又如，世界人口数量是随着时间的变化而变化的。
这些对象的变量之间都有着密切的依赖关系，而且，这种变量之间的依赖关系具有一个突出的特征，即当一个变量取定一个值时，依赖于这个变量的另一个变量具有唯一确定的值。
2020·04高中数学课程结合新时代发展和人才培养的新要求，围绕数学核心素养的落实，从函数概念、函数性质、基本函数类型、函数应用、思想和方法等五个部分对函数主线进行整体教学设计，分层分步开展教学活动，以学会用初等函数的基本性质思维方式研究现实问题为育人目标，促进学生数学核心素养的形成和发展。
摘要关键词函数主线；教学理解；核心素养，育人观核心素养视域下高中数学函数主线的教学理解林晴岚陈柳娟张洁（福建教育学院数学研修部，福建福州350025）新高中数学课程重新规划必修内容与选择性必修内容，以数学知识体系的内在逻辑和思想方法重新布局，整体构建主线—主题—单元—核心内容，其中函数主线就以函数概念、函数性质、基本函数类型、函数应用、思想和方法五个部分为函数知识体系内在逻辑和思想方法构建学习框架，引导学生对数学、数学的育人价值有一个完整的理解，认识数学在现代社会、科技发展与个人智力发展中的作用.本文以对函数主线的教学理解为例探讨分析.一、函数知识的主要分类函数主线教学内容分为：必修课程函数主题内容四个单元（如图1），选择性必修课程函数主题内容两个单元（如图2）.以函数为核心，把函数领域的知识组成纵向综合贯通、横向紧密联系的网络体系，使知识之间的逻辑关系清晰、明确.引导学生站在数学体系的角度，思考数学对社会、科学、技术发展的作用，将抽象的数学问题与现实问题有机联系，促进学生形成和发展数学学科核心素养.（一）函数核心内容的解析函数主线主要内容为：函数概念、函数性质、基本函数类型、函数应用、思想和方法五个部分.第一部分从变量说、图象（关系说）、对应说，建立完整的函数概念，整体把握函数概念、函数的形成与发展；第二部分从整体和局部来研究函数性质，通过用代数运算和函数图象研究函数单调性（变化）、周期性、对称性（奇函数、偶函数）、度量（长度、角度、面积）等，帮助学生认识函数的整体性质；函数局部性质即极限（局部）、导数；第三部分掌握一批最基本函数如：幂函数y =x ,y =x 2,y =x 3,y =x ,y =x -1,指数函数y =a x（a ≠1,a >0,x ∈R )，对数函数y =log a x (a ≠1,a >0,x >0)等模型，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义，掌握研究函数性质的思想与方法；第四部分函数应用，通过代数思想方法研究函数方程的近似解、不等式、极值和最值，或者通过几何直观方式借助直线、平面、曲线、曲面研究相关问题，从问题研究、分析、解决过程中领悟函数内容中蕴含的数学思想方法，学生掌握运用函数的思想方法描述、分析、思考、解决实际问题，有效提升运算素养与直观想象素养.如：二分法与求方程近似解；用具体数列模型解决简单的实际问题和数学问题，理解数列作为一类特殊的函数在解决实际问题中的作用；导数研究初等函数的性质以及解决一些实际问题的基本思维习惯方式.图1图2（二）理解函数主线函数主线围绕落实数学核心素养，重组函数主线的必修课程主题、单元、核心内容和选择性必修课程主题、单元、核心内容，具体并细化函数主题必修课程单元、核心内容和函数主题选择性必修课程单元、核心内容，以函数概念、函数性质、基本函数类、函数应用、思想和方法这五个部分的教学内容进行整体设计，从原来研究单个实际的、具体的函数开始，转向从基金项目：2018年度福建省中青年教师教育科研项目（基础教育研究专项）“基于数学新高考核心素养水平测评研究”（课题编号：JZ180232）；福建省教育科学“十三五”规划2019年度立项课题“基于新时代育人观的中学数学教学研究”（课题编号:FJJKXB19-388）。
高中数学课程内容主线（三）—运算主线知识结构框图：对数学最朴实的理解是：数学就是“算”，即“运算”。
“运算”包括两方面，一个是“运算的对象”，一个是“运算的规律”。
“数”、“字母”（代数式）、“指数”、“对数”、“三角函数”、“向量”等等都是运算对象。
“结合律”、“a+(-a)=0”（即加一项，减一项）、“交换律”、各种“分配律”等等都是运算规律。
“运算”几乎渗透到数学的每一个角落，运算是贯穿数学的基本脉络，是贯穿数学课程的主线，在高中数学课程中，发挥着不可替代的作用。
1．对运算的认识运算是数学学习的一个基本内容。
运算对象的不断扩展是数学发展的一条重要线索。
从小学开始，学生接触的运算在不断地扩充，从整数到分数，从正数到负数，从有理数到实数、复数，从数到字母、到多项式。
数的运算，字母运算，向量运算，函数、映射、变换运算，矩阵运算等，都是数学运算。
从数的运算到字母运算，是运算的一次跳跃。
数的运算可以用来刻画具体问题中的数量关系，解决一个一个有关数量的具体问题。
而字母运算则可以刻画蕴涵规律的一类问题，解决一类问题。
例如，c++))(，就刻画了=(+baca+b数运算的一个规律——结合律。
同时，字母运算也是表达函数关系、刻画普遍规律的工具。
从数运算进入字母运算，使学生数学学习的一次质变，学生对运算的理解也会产生一个跳跃。
从数的运算，到向量运算，是认识运算的又一次跳跃。
运算是一类映射，在代数中，最常见的运算是这样的映射A A A →⨯，它是二元映射，实数的加法和乘法就是二元映射，但是，并不是二元映射都是运算，实际上，大部分二元映射不是运算，只有满足规律的二元映射才可以成为运算，即代数运算。
数的运算、多项式运算都是A A A →⨯型的代数运算，例如，就加法运算来说，它们满足结合律，有零元，0)(=-+a a ，还满足分配率。
在初中阶段，所有的数学内容都离不开运算，例如，代数基本公式，因式分解，方程，不等式，函数等。
向量是可以“算”的，向量的加法、减法运算的特征是两个向量通过加法、减法运算得到第三个向量，也满足结合律，有零元，0)( =-+a a ，所以向量的加法、减法运算是属于A A A →⨯型的代数运算；向量的数乘运算的特征是一个数与一个向量通过数乘运算得到一个向量，它满足一系列运算规则，例如，结合律：αα )()(b a ab =，分配率：βαβα a a a +=+)(，等。
所以，数与向量的数乘也是一种运算，是属于B B A →⨯型的代数运算；向量的数量积的特征是两个向量通过数量及运算得到一个数，同样，它也满足一系列的运算规则，例如，分配率：βαβα ∙+∙=+∙v v v )( ，等，所以向量的数量积也是一种运算，是属于B A A →⨯型的代数运算。
向量的运算不同于数的运算，它涵盖了三种类型的代数运算。
与数的运算相比，向量的运算扩充了运算对象。
向量运算更加清晰地展示了三种类型的代数运算的特征以及代数运算的功能，同时，向量运算具有与代数运算不同的一些运算规律，这对于学生进一步理解其他数学运算、增强学生的运算能力具有基础作用。
因此，从数的运算到向量运算，是学生数学学习的又一次质变，学生对运算的理解也会更上一层楼。
指数运算、对数运算、三角运算、导数运算等，从形式上看，它们都是A A A →⨯型的映射，但是，它们满足一些运算规律，例如，指数满足：y x y x a a a ⋅=+等规律。
通常把具有规律的映射称为“算子”，又称之为一元运算。
例如，导数运算也是一种运算，它满足两个函数和的导函数等于先求导再求和，这是运算规律，当然，它还满足其他的规律。
这是对运算的认识的有一次飞跃。
在以后的学习中，运算对象还要进一步拓展。
上述种种运算的学习，为学生今后进一步学习其它数学运算，体会数学运算的意义以及运算在建构数学系统中的作用，奠定了基础。
运算时贯穿于整个数学课程的主线之一。
用这种思想认识高中的数学对提高数学素养，提高解决问题的能力是非常有用的。
2．运算的作用（1）运算与推理运算本身是代数研究的重要内容，项武义教授认为代数问题就是运用运算和运算法则解决问题，这样概括是有道理的。
某种意义上来说，在中学阶段，解方程问题，解不等式问题，一些函数性质的研究，等等，都是代数问题。
代数问题的基本特点是不仅要证明在什么条件下“解”存在，而且，要把“解”具体的构造出来，这是一种构造证明，运算和运算规律是构成代数推理的基本要素。
例如，讨论二元一次方程组时，不仅要证明在什么条件下二元一次方程组无解、有解，而且，还会把“解”具体地构造出来；又如，利用向量证明问题时，可以把要证明的问题结果“算”出来。
在运算过程中，每一步运算都要依据运算规律，运算规律的作用类似于几何证明中的公理，它是代数推理的前提和基本依据。
运算过程本身就是代数推理的过程。
因此，运算与推理有着密切的联系，可以说，运算也是一种推理，运算可以“证明问题”，这是高中数学学习需要“留给学生”的最重要的思想，因此，运算的学习对于学生的逻辑推理能力同样具有重要作用。
（2）运算与算法在一定意义下，算法是通过计算机解决问题的，算法有计算机实现，构成算法的基本要素是运算。
计算机能完成的运算主要包括：算术运算),,,(÷⨯-+，逻辑运算（与、或、非等），关系运算（≠≥≤=><,,,,,等），函数运算，等。
因此，运算时算法的基本要素，算法的设计要以运算和运算律为依据。
使用各种运算和运算规律对于理解算法、选择算法、优化算法具有重要作用。
（3）运算与恒等变形在解决数学问题的过程中，需要进行各种工各样的恒等变形，把复杂问题变成简单问题，例如，在解决一元二次方程时，我们通过配方法，实现了降幂的目的，把一元二次方程变成一元一次方程，配方法是通过恒等变形完成的，这些恒等变形是通过反复利用运算规律实现的。
又如，在三角函数等内容的学习中，无论是证明，还是求解，都是在运用各种三角函数基本运算法则进行恒等变形，通过恒等变形把我们不会解的问题变成我们会解的问题。
因此，运算和运算法则的学习，对于理解恒等变形的原理，提高恒等变形的能力是非常重要的。
3．运算内容的设计在高中数学课程中，主要有几部分内容集中的介绍了运算：指数运算；对数运算；三角函数运算；向量运算，包括平面向量和空间向量；复数运算；导数运算；等。
高中数学课程在必修4和选修2—1中安排了平面向量与空间向量的内容；在选修1-2和选修2-2中安排了熟悉扩充与复数的引入的内容；在必修的指数函数、对数函数、三角函数中也安排了有关的运算，在选修1、选修2中安排了导数的运算。
保持运算的封闭和保持基本运算法则成立是熟悉扩充的动力之一。
例如，为了保持除法的封闭性，促使我们把整数拓展到分数；为了保持减法的封闭性，促使我们把正数拓展到负数；保持开方等运算的封闭性是促使实数系扩充到复数系的原因之一。
每进行一次数的拓展，我们都需要讨论：在新的数中，原有的数的运算规律在新的数中是否保持？例如，从正数拓展到负数，为了保持乘法对加法的分配率成立，我们需要定义：11)1(-=⨯-，1)1(1-=-⨯，1)1()1(=-⨯-。
复数保持实数的运算规律。
但是，实数是有序的，复数是无序的。
在指数、对数、三角函数等内容中，蕴含着一些新的运算法则。
掌握这些特殊的运算规律，是理解相关数学概念的基础。
指数运算满足的最基本的运算规律是y x y x a a a ⋅=+，若用)(x f 表示指数函数，即x a x f =)(，则上述性质可表示为)()()(y f x f y x f ⋅=+。
这一运算规律表明指数运算把加法运算变为乘法运算，这正是指数函数增长快的原因。
指数函数的性质，特别是指数函数的增长性质就是由这一运算规律决定的。
指数运算的运算律还有：y x y x a a ⋅=)(；xx x b a b a ⋅=⋅)(；x xx b a b a =)(。
（其中，)1,0≠>a a对数运算满足的最基本的运算规律是y x y x a a a log log )(log +=⋅。
若用)(x g 表示对数函数，即x x g a log )(=，则上述性质可表示为)()()(y g x g y x g +=⋅。
这一运算规律表明对数运算把乘法运算变为加法运算，这正是指数函数增长慢的原因。
对数函数的性质，特别是对数函数的增长性质就是由这一运算规律决定的。
指数运算的运算律还有：y x yx a a a log log )(log -=；x a x a =log ，（其中，)1,0≠>a a 运算规律x a x a =log 表明了对数运算与指数运算的关系，极对数运算与指数运算互为逆运算。
因此，指数函数与对数函数互为反函数。
三角运算，以正弦运算为例，它所满足的基本运算律是：y x y x y x sin cos cos sin )sin(+=+。
正弦函数的性质就是由这一运算律决定的。
导函数满足的运算律是：)()())()((x g x f x g x f '+'='+；)()()()())()((x g x f x g x f x g x f '⋅+⋅'='⋅；)()()()()())()((2x g x g x f x g x f x g x f '⋅-⋅'='。
后两个运算是导数运算所特有的。
对于上述运算与运算律的学习有助于学生理解运算的意义以及运算律对研究运算的重要性。
