2.4正态分布教案

_2.4正态分布1．正态曲线正态变量概率密度曲线的函数表达式为f(x)＝12π·σ22e2xμσ()－－，x∈R，其中参数μ为正态分布变量的数学期望，μ∈(－∞，＋∞)；σ为正态分布变量的标准差，σ∈(0，＋∞)．正态变量的概率密度函数(即f(x))的图象叫做正态曲线．期望为μ，标准差为σ的正态分布通常记作N(μ，σ2)，μ＝0，σ＝1的正态分布叫标准正态分布．2．正态曲线的性质(1)曲线在x轴的上方，并且关于直线x＝μ对称；(2)曲线在x＝μ时处于最高点，并由此处向左右两边延伸时，曲线逐渐降低，呈现“中间高，两边低”的形状；(3)曲线的形状由参数σ确定，σ越大，曲线“矮胖”；σ越小，曲线越“高瘦”．3．正态分布的3σ原则P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝68.3%；P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝95.4%；P(μ－3σ＜X＜μ＋2σ)＝99.7%.可知正态变量的取值几乎都在距x＝μ三倍标准差之内，这就是正态分布的3σ原则．1．正态分布密度函数及正态曲线完全由变量μ和σ确定．参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计．2．对于正态曲线的性质，应结合正态曲线的特点去理解、记忆．[对应学生用书P40][例1]析式，求出总体随机变量的期望和方差．[思路点拨] 给出了一个正态曲线，就给出了该曲线的对称轴和最大值，从而就能求出总体随机变量的期望、标准差及解析式．[精解详析] 从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x ＝20对称，最大值是12π，所以μ＝20.由12π·σ＝12π，得σ＝ 2. 于是概率密度函数的解析式是 f (x )＝12π·e x 2204()－－，x ∈(－∞，＋∞)，总体随机变量的期望是μ＝20，方差是σ2＝(2)2＝2. [一点通]利用正态曲线的性质可以求参数μ，σ，具体方法如下：(1)正态曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称，由此性质结合图象求μ. (2)正态曲线在x ＝μ处达到峰值，由此性质结合图象可求σ.1．设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f (x )的图象，且f (x )＝18πe x 2108()－－，则这个正态总体的均值与标准差分别是( )A ．10与8B ．10与2C ．8与10D ．2与10解析：由正态曲线f (x )＝12πσx 22e 2()σ－－μ知，⎩⎪⎨⎪⎧2πσ＝8π，μ＝10，即μ＝10，σ＝2. 答案：B2．如图是正态分布N (μ，σ21)，N (μ，σ22)，N (μ，σ23)(σ1，σ2，σ3>0)相应的曲线，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是( )A ．σ1>σ2>σ3B ．σ3>σ2>σ1C ．σ1>σ3>σ2D ．σ2>σ1>σ3解析：由σ的意义可知，图象越瘦高，数据越集中，σ2越小，故有σ1>σ2>σ3. 答案：A[例2] X 在(－1,1)内取值的概率．[思路点拨] 解答本题可先求出X 在(－1,3)内取值的概率，然后由正态曲线关于x ＝1对称知，X 在(－1,1)内取值的概率就等于在(－1,3)内取值的概率的一半．[精解详析] 由题意得μ＝1，σ＝2， 所以P (－1<X <3)＝P (1－2<X <1＋2)＝0.682 6. 又因为正态曲线关于x ＝1对称，所以P (－1<X <1)＝P (1<X <3)＝12P (－1<X <3)＝0.341 3.[一点通]解答此类问题的关键在于充分利用正态曲线的对称性，把待求区间内的概率向已知区间内的概率进行转化，在此过程中注意数形结合思想的运用．3．若随机变量X ～N (μ，σ2)，则P (X ≤μ)＝________.解析：若随机变量X ～N (μ，σ2)，则其正态密度曲线关于x ＝μ对称，故P (X ≤μ)＝12.答案：124．设随机变量X 服从正态分布N (2,9)，若P (X >c ＋1)＝P (X <c －1)，则c ＝________. 解析：∵μ＝2，P (X >c ＋1)＝P (X <c －1)， ∴c ＋1＋c －12＝2，解得c ＝2.答案：25．若X ～N (5,1)，求P (5<X <7)． 解：∵X ～N (5,1)，∴μ＝5，σ＝1.因为该正态曲线关于x ＝5对称，所以P (5<X <7)＝12P (3<X <7)＝12×0.954 4＝0.477 2.[例3] 服从正态分布N (174,9)．若该市共有高二男生3 000人，试估计该市高二男生身高在(174,180)范围内的人数．[思路点拨] 因为μ＝174，σ＝3，所以可利用正态分布的性质可以求解． [精解详析] 因为身高X ～N (174,9)， 所以μ＝174，σ＝3，所以μ－2σ＝174－2×3＝168， μ＋2σ＝174＋2×3＝180，所以身高在(168,180]范围内的概率为0.954 4. 又因为μ＝174.所以身高在(168,174)和(174,180)范围内的概率相等，均为0.477 2， 故该市高二男生身高在(174,180)范围内的人数是 3 000×0.477 2≈1 432(人)． [一点通]解决此类问题一定要灵活把握3σ原则，将所求概率向P (μ－σ<X <μ＋σ)，P (μ－2σ<X <μ＋2σ)，P (μ－3σ<X <μ＋3σ)进行转化，然后利用特定值求出相应的概率．同时要充分利用好曲线的对称性和曲线与x 轴之间的面积为1这一特殊性质．6．某人从某城市的南郊乘公交车前往北区火车站，由于交通拥挤，所需时间(单位：分)服从X ～N (50,102)，则他在时间段(30,70)内赶到火车站的概率为________．解析：∵X ～N (50,102)，∴μ＝50，σ＝10. ∴P (30<X <70)＝P (μ－2σ<X <μ＋2σ)＝0.954 4. 答案：0.954 47．灯泡厂生产的白炽灯泡的寿命为X (单位：小时)，已知X ～N (1 000,302)，要使灯泡的平均寿命为1000小时的概率约为99.7%，则灯泡的最低寿命应控制在多少小时以上？解：因为灯泡的使用寿命X ～N (1 000,302)，故X 在(1 000－3×30,1 000＋3×30)的概率为99.7%，即X在(910,1 090)内取值的概率约为99.7%，故灯泡的最低使用寿命应控制在910小时以上．根据正态曲线的对称性求解概率的关键要把握三点：(1)正态曲线与x轴围成的图形面积为1；(2)正态曲线关于直线x＝μ对称，则正态曲线在对称轴x＝μ的左右两侧与x轴围成的面积都为0.5；(3)可以利用等式P(X≥μ＋c)＝P(X≤μ－c)(c＞0)对目标概率进行转化求解．[对应课时跟踪训练(十七)]1．正态曲线关于y轴对称，当且仅当它所对应的正态总体的期望为()A．1B．－1C．0 D．不确定解析：因为X＝μ为其对称轴，所以μ＝0.答案：C2．设X～N(10,0.64)，则D(X)等于()A．0.8 B．0.64C．0.642D．6.4解析：∵X～N(10,0.64)，∴D(X)＝0.64.答案：B3．已知随机变量X～N(0，σ2)．若P(X>2)＝0.023，则P(－2≤X≤2)＝()A．0.477 B．0.628C．0.954 D．0.977解析：因为随机变量X～N(0，σ2)，所以正态曲线关于直线x＝0对称．又P(X>2)＝0.023，所以P(X<－2)＝0.023，所以P(－2≤X≤2)＝1－P(X>2)－P(X<－2)＝1－2×0.023＝0.954.答案：C4．设随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，若P(X>c)＝a，则P(X>4－c)等于() A．a B．1－aC ．2aD ．1－2a解析：因为X 服从正态分布N (2，σ2)， 所以正态曲线关于直线x ＝2对称， 所以P (X >4－c )＝P (X <c )＝1－P (X >c )＝1－a . 答案：B5．己知正态分布落在区间(0.2，＋∞)内的概率为0.5，那么相应的正态曲线f (x )在x ＝________时达到最高点．解析：由正态曲线关于直线x ＝μ对称和其落在区间(0.2，＋∞)内的概率为0.5，得μ＝0.2.答案：0.26．如果随机变量X ～N (μ，σ2)，且E (X )＝3，D (X )＝1，且P (2≤X ≤4)＝0.682 6，则P (X ＞4)＝________.解析：因为X ～N (μ，σ2)，E (X )＝3， D (X )＝1，故μ＝3，σ2＝1.又P (2≤X ≤4)＝P (μ－σ≤X ≤μ＋σ)＝0.682 6， 故P (X ＞4)＝1－0.682 62＝0.158 7.答案：0.158 77．已知一个正态分布密度曲线对应的函数是一个偶函数，且该函数的最大值为14 2π.(1)求该正态分布密度曲线对应的函数解析式； (2)求正态总体在(－4,4]上的概率．解：(1)因为该正态分布密度曲线对应的函数是一个偶函数，所以其图象关于y 轴对称，即μ＝0，由14 2π＝12πσ，解得σ＝4， 所以该函数的解析式为 f (x )＝14 2πx 2e 32－，x ∈(－∞，＋∞)．(2)P (－4<X ＜4)＝P (0－4<X ＜0＋4)＝P(μ－σ<X＜μ＋σ)＝0.682 6.8．某糖厂用自动打包机打包，每包重量X(kg)服从正态分布N(100,1.22)．一公司从该糖厂进货1 500包，试估计重量在下列范围内的糖包数量．(1)(100－1.2,100＋1.2)；(2)(100－3×1.2,100＋3×1.2)．解：(1)由正态分布N(100,1.22)，知P(100－1.2＜X≤100＋1.2)＝0.682 6.所以糖包重量在(100－1.2,100＋1.2)内的包数为1 500×0.682 6≈1 024.(2)糖包重量在(100－3×1.2,100＋3×1.2)内的包数为1 500×0.997 4≈1 496.。

正态散布教课方案一、教课目的剖析联合课程标准的要求，学生的实质状况，本节课的教课目的以下：知识与技术目标：（1）学习正态散布密度函数分析式；（2）认识正态曲线的特色及其表示的意义；过程与方法目标：（1）设置课前自主学习教案，使学生在课前自学；（2）讲堂采纳小组合作研究，提升讲堂效率；（3）课后设置课后查阅要求，将讲堂学习延长至课外学习。

感情、态度与价值观：（1）以情境引入，以实验作载体，激发学生的学习兴趣，调换学生的学习热忱；（2）运用议论研究形式，加强学生的合作意识。

二、教课内容分析正态散布是人教 A 版选修 2-3 第二章第四节的内容，该内容共一课时。

以前，学生已经学习了频次散布直方图、失散型随机变量等有关知识，这为本节课学习确立了基础，而正态散布研究是连续型随机变量，既是对前方内容的增补、拓展，又为学生初步应用正态散布知识解决实质问题供给了理论依照。

三、教课识题诊疗学生已在必修三中学习过频次散布直方图、整体密度曲线，但间隔时间较长，有些忘记，可能会影响讲堂进度。

正态曲线的特色许多，证明也较为复杂，假如等到讲堂上才开始思虑，必然影响讲堂容量。

本班学生为理科名校班，学生能力较强，要给学生发挥主观能动性的空间。

教课要点：（1）正态散布密度函数分析式；（2）正态曲线的特色及其所表示的意义。

教课难点：正态曲线的特色四、教课对策剖析经过两个看法复习题，让学生熟习本节课需要用到的知识。

设计了好多学生讲话的环节，让学生充足的显现自己的能力。

为达成教课任务，教师需要在课前为学生供给教案，讲堂中指引学生，掌控学习进度。

五、教课基本流程课前自主学习情境引入高尔顿板实验整体密度曲线正态曲线与函数讲堂练习正态散布正态曲线特色讲堂检测条件及举例讲堂小结课后查阅六、教课过程设计（1）课前自主学习：1.频次散布直方图用什么表示频次？2.由频次散布直方图获得整体密度曲线的过程是：第一绘制样本的频率散布折线图，而后跟着的无穷增添，作图时的减小、的增添，频次散布折线图愈来愈靠近一条圆滑曲线，这条曲线就是曲线。

2.4正态分布教案（新人教A版选修2-3）本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址2．4正态分布教学目标：知识与技能：掌握正态分布在实际生活中的意义和作用。

过程与方法：结合正态曲线，加深对正态密度函数的理理。

情感、态度与价值观：通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质。

教学重点：正态分布曲线的性质、标准正态曲线N。

教学难点：通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质。

教具准备：多媒体、实物投影仪。

教学设想：在总体分布研究中我们选择正态分布作为研究的突破口，正态分布在统计学中是最基本、最重要的一种分布。

内容分析：．在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布在上一节课我们研究了当样本容量无限增大时，频率分布直方图就无限接近于一条总体密度曲线，总体密度曲线较科学地反映了总体分布但总体密度曲线的相关知识较为抽象，学生不易理解，因此在总体分布研究中我们选择正态分布作为研究的突破口正态分布在统计学中是最基本、最重要的一种分布2．正态分布是可以用函数形式来表述的其密度函数可写成：，（σ＞0）由此可见，正态分布是由它的平均数μ和标准差σ唯一决定的常把它记为3．从形态上看，正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线，其对称轴为x=μ，并在x=μ时取最大值从x=μ点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x轴，但永不与x轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以x轴为渐近线的4．通过三组正态分布的曲线，可知正态曲线具有两头低、中间高、左右对称的基本特征5．由于正态分布是由其平均数μ和标准差σ唯一决定的，因此从某种意义上说，正态分布就有好多好多，这给我们深入研究带来一定的困难但我们也发现，许多正态分布中，重点研究N（0，1），其他的正态分布都可以通过转化为N（0，1），我们把N（0，1）称为标准正态分布，其密度函数为，x∈（-∞，+∞），从而使正态分布的研究得以简化6．结合正态曲线的图形特征，归纳正态曲线的性质正态曲线的作图较难，教科书没做要求，授课时可以借助几何画板作图，学生只要了解大致的情形就行了，关键是能通过正态曲线，引导学生归纳其性质教学过程：学生探究过程：复习引入：总体密度曲线:样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线．它反映了总体在各个范围内取值的概率．根据这条曲线，可求出总体在区间内取值的概率等于总体密度曲线，直线x=a，x=b及x轴所围图形的面积．观察总体密度曲线的形状，它具有“两头低，中间高，左右对称”的特征，具有这种特征的总体密度曲线一般可用下面函数的图象来表示或近似表示：式中的实数、是参数，分别表示总体的平均数与标准差，的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线．讲解新课：一般地，如果对于任何实数，随机变量X满足,则称X的分布为正态分布（normaldistribution)．正态分布完全由参数和确定，因此正态分布常记作．如果随机变量X服从正态分布，则记为X～.经验表明，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．例如，高尔顿板试验中，小球在下落过程中要与众多小木块发生碰撞，每次碰撞的结果使得小球随机地向左或向右下落，因此小球第1次与高尔顿板底部接触时的坐标X 是众多随机碰撞的结果，所以它近似服从正态分布．在现实生活中，很多随机变量都服从或近似地服从正态分布．例如长度测量误差；某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等；一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量等；正常生产条件下各种产品的质量指标（如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容量、电子管的使用寿命等）；某地每年七月份的平均气温、平均湿度、降雨量等；一般都服从正态分布．因此，正态分布广泛存在于自然现象、生产和生活实际之中．正态分布在概率和统计中占有重要的地位．说明:1参数是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本均值去佑计；是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计．2.早在1733年，法国数学家棣莫弗就用n！的近似公式得到了正态分布．之后，德国数学家高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它，并研究了它的性质，因此，人们也称正态分布为高斯分布．2．正态分布）是由均值μ和标准差σ唯一决定的分布通过固定其中一个值，讨论均值与标准差对于正态曲线的影响3．通过对三组正态曲线分析，得出正态曲线具有的基本特征是两头底、中间高、左右对称正态曲线的作图，书中没有做要求，教师也不必补上讲课时教师可以应用几何画板，形象、美观地画出三条正态曲线的图形，结合前面均值与标准差对图形的影响，引导学生观察总结正态曲线的性质4．正态曲线的性质：（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交（2）曲线关于直线x=μ对称（3）当x=μ时，曲线位于最高点（4）当x＜μ时，曲线上升（增函数）；当x＞μ时，曲线下降（减函数）并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近（5）μ一定时，曲线的形状由σ确定σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小．曲线越“瘦高”．总体分布越集中：五条性质中前三条学生较易掌握，后两条较难理解，因此在讲授时应运用数形结合的原则，采用对比教学5．标准正态曲线:当μ=0、σ=l时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表示式是，（-∞＜x＜+∞）其相应的曲线称为标准正态曲线标准正态总体N（0，1）在正态总体的研究中占有重要的地位任何正态分布的概率问题均可转化成标准正态分布的概率问题讲解范例：例1．给出下列三个正态总体的函数表达式，请找出其均值μ和标准差σ（１）（２）（３）答案：0，1；1，2；-1，0.5例2求标准正态总体在（-1，2）内取值的概率．解：利用等式有==0.9772＋0.8413－1=0.8151．.标准正态总体的概率问题:对于标准正态总体N（0，1），是总体取值小于的概率，即，其中，图中阴影部分的面积表示为概率只要有标准正态分布表即可查表解决.从图中不难发现:当时，；而当时，Φ（0）=0.52.标准正态分布表标准正态总体在正态总体的研究中有非常重要的地位，为此专门制作了“标准正态分布表”．在这个表中，对应于的值是指总体取值小于的概率，即，．若，则．利用标准正态分布表，可以求出标准正态总体在任意区间内取值的概率，即直线，与正态曲线、x轴所围成的曲边梯形的面积．3．非标准正态总体在某区间内取值的概率:可以通过转化成标准正态总体，然后查标准正态分布表即可在这里重点掌握如何转化首先要掌握正态总体的均值和标准差，然后进行相应的转化4.小概率事件的含义发生概率一般不超过5％的事件，即事件在一次试验中几乎不可能发生假设检验方法的基本思想:首先，假设总体应是或近似为正态总体，然后，依照小概率事件几乎不可能在一次试验中发生的原理对试验结果进行分析假设检验方法的操作程序，即“三步曲”一是提出统计假设，教科书中的统计假设总体是正态总体；二是确定一次试验中的a值是否落入；三是作出判断讲解范例：例1.若x～N,求P；P.解：P=F-F=F-[1-F]=0.8849-=0.8747.P=1-P=1-F=l-0.9772=0.0228.例2．利用标准正态分布表，求标准正态总体在下面区间取值的概率：在N下，求（2）在N（μ，σ2）下，求Ｆ（μ－σ，μ＋σ）；Ｆ（μ－1.84σ，μ＋1.84σ）；Ｆ（μ－2σ，μ＋2σ）；Ｆ（μ－3σ，μ＋3σ）解：（１）＝＝Φ（1）＝0.8413（２）Ｆ（μ＋σ）＝＝Φ（1）＝0.8413Ｆ（μ－σ）＝＝Φ（－1）＝１－Φ（1）＝１－0.8413＝0.1587Ｆ（μ－σ，μ＋σ）＝Ｆ（μ＋σ）－Ｆ（μ－σ）＝0.8413－0.1587＝0.6826Ｆ（μ－1.84σ，μ＋1.84σ）＝Ｆ（μ＋1.84σ）－Ｆ（μ－1.84σ）＝0.9342Ｆ（μ－2σ，μ＋2σ）＝Ｆ（μ＋2σ）－Ｆ（μ－2σ）＝0.954Ｆ（μ－3σ，μ＋3σ）＝Ｆ（μ＋3σ）－Ｆ（μ－3σ）＝0.997对于正态总体取值的概率：在区间（μ-σ，μ+σ）、（μ-2σ，μ+2σ）、（μ-3σ，μ+3σ）内取值的概率分别为68.3%、95.4%、99.7% 因此我们时常只在区间（μ-3σ，μ+3σ）内研究正态总体分布情况，而忽略其中很小的一部分例3．某正态总体函数的概率密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为，求总体落入区间（－1.2，0.2）之间的概率解：正态分布的概率密度函数是，它是偶函数，说明μ＝0，的最大值为＝，所以σ＝1，这个正态分布就是标准正态分布巩固练习：书本第74页,2,3课后作业：书本第75页习题2.4A组1,2B组1,2教学反思：．在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布在上一节课我们研究了当样本容量无限增大时，频率分布直方图就无限接近于一条总体密度曲线，总体密度曲线较科学地反映了总体分布但总体密度曲线的相关知识较为抽象，学生不易理解，因此在总体分布研究中我们选择正态分布作为研究的突破口正态分布在统计学中是最基本、最重要的一种分布2．正态分布是可以用函数形式来表述的其密度函数可写成：，（σ＞0）由此可见，正态分布是由它的平均数μ和标准差σ唯一范文决定的常把它记为3．从形态上看，正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线，其对称轴为x=μ，并在x=μ时取最大值从x=μ点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x轴，但永不与x轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以x轴为渐近线的4．通过三组正态分布的曲线，可知正态曲线具有两头低、中间高、左右对称的基本特征。

2.4正态分布教案篇一：2.4正态分布教学设计教案教学准备1.教学目标1、知识：了解正态分布在实际生活中的意义和作用；结合正态曲线，加深对正态密度函数的理解；通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质；结合3σ原则对服从正态分布的变量进行简单决策2、能力：提高学生的整体认知能力、快速提取信息能力、识图能力、理论联系实际分析问题、解决问题的能力。

2.教学重点/难点1、重点：正态分布的概念和性质2、难点：正态分布（曲线）的性质及3σ原则简单应用3.教学用具课件4.标签正态分布,正态曲线性质教学过程山东省信息技术与课堂整合优质课评选《正态分布》教学设计五莲县第三中学李治国《正态分布》教学设计一、教学分析（一）教学目标1、知识：了解正态分布在实际生活中的意义和作用；结合正态曲线，加深对正态密度函数的理解；通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质；结合3σ原则对服从正态分布的变量进行简单决策2、能力：提高学生的整体认知能力、快速提取信息能力、识图能力、理论联系实际分析问题、解决问题的能力。

（二）重难点：1、重点：正态分布的概念和性质2、难点：正态分布（曲线）的性质及3σ原则简单应用二、教学过程及多媒体的应用本课主要利用powerpoint，数学专用scilab随机数表生成程序，几何画板，mathtype编辑程序制作了教学课件，因为本节内容所用数据以及公式较多，又需要使用数据构造作图并估计，是本节教学中的一个难点，传统教学很难解决课堂上大量的数据分组和作图问题，而利用以上媒体设计使数据分组快速直接，并能让图像动起来，能够节省课堂上的教学时间，提高教学效率，加大课堂容量，利用动画设计突破了研究正态曲线性质的教学难点，更有利于学生直观感知，总之,使用多媒体技术能够化抽象为具体，化分散为紧凑。

给学生以动感的认识，高度浓缩时空，有效突破重难点，激活课堂,起到事半功倍的效果。

(-)（复习导入）1、(1)运用多媒体画出频率分布直方图和总体密度曲线．(2)当样本容量n无限增大时，频率分布直方图变化的情况？(3)重新感知“样本容量越大，总体估计就越精确”．2．通过实例，说明正态分布(密度)是最基本、最重要的一种分布．如学生的学习成绩、气象中的平均气温、平均湿度等等，都服从或近似地服从正态分布．多媒体的作用：展示以前学习知识，回顾总结，引出课题(二)具体学习阶段自主学习探究一：概率密度函数的概念和函数形式其中：π是圆周率；e是自然对数的底；x是随机变量的取值；μ为正态分布的均值；σ是正态分布的标准差，正态分布一般记为n(μ，σ2)．注意：①函数表达式的形式②当μ＝0、σ＝1时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表示式是其相应的曲线称为标准正态曲线．多媒体作用：用图形展示数据的总体趋势，引出概念，展示函数形式，给学生以函数的认识。

§2.4正态分布编者：通过实际问题，借助直观（如实际问题的直方图），认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；会求服从正态分布的随机变量X 的概率分布。

教学重点：正态分布曲线的性质、标准正态曲线()0,1N ；教学难点：通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质；使用说明： （1）预习教材P 32~ P 36，用红色笔画出疑惑之处，并尝试完成下列问题，总结规律方法；（2）用严谨认真的态度完成导学案中要求的内容；（3）不做标记的为C 级，标记★为B 级，标记★★为A 级。

预习案（20分钟）一．知识链接1．函数2221)(x e x f -=π的定义域是 ；它是 （奇或偶）函数；当=x 时，函数有最 值，是 ．2．已知抛物线322++-=x x y ，则其对称轴为 ；该曲线与直线1=x ，2=x ，x 轴所围的成的图形的面积是？二．新知导学问题1：正态曲线频率直方图上面的折线就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线．它反映了总体在各个范围内取值的概率．根据这条曲线，可求出总体在区间()b a ,内取值的概率等于总体密度曲线与直线b x a x ==,和x 轴所围图形的面积．思考1.X 是一个随机变量.X 落在区间(a,b]的概率为:正态曲线可用下面函数的图象来表示或近似表示：这个函数是：()()∞+∞-∈=--.,21)(222,x e x x σμνμσπϕ式中的实数μ、)0(>σσ是参数，分别表示总体的平均数与标准差，,()x μσϕ的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线．问题2：正态分布如果对于任何实数b a <，随机变量X 满足，)(b X a P ≤<= ，则称X 的分布为正态分布．记作：X ～N （ ）．其中μ和σ分别用 和 去估计。

问题3：正态曲线的性质：结合)(,x νμϕ的解析式、正态分布曲线及概率的的性质特点，来研究正态分布的性质。

（1）曲线位于x 轴 ，与x 轴 ；（2）曲线是单峰的，它关于直线 对称；（3）曲线在 处达到峰值 ；（4）曲线与x 轴之间的面积为 ．问题4：正态曲线随着μ和σ的变化情况：①当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x 轴 ；②当μ一定时，曲线的 由σ确定．σ越小，曲线越“ ”，表示总体的分布越 ； σ越大，曲线越“ ”，表示总体的分布越 ． 问题5：正态分布中的三个概率：=+≤<-)(σμσμX P ；=+≤<-)22(σμσμX P ；=+≤<-)33(σμσμX P ．问题6：小概率事件与σ3原则：可以看到，正态总体几乎总取值于区间（μ-σ3，μ+σ3）之内，而在此区间以外取值的概率只有0.0026，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生 .发生概率一般不超过5％的事件，即事件在一次试验中几乎不可能发生，称之为小概率事件 .σ3原则：在实际应用中，通常认为服从于正态分布),(2σμN 的随机变量X 只取（μ-σ3，μ+σ3）之间的值，并简称之为σ3原则.因此我们时常只在区间（μ-σ3，μ+σ3）内研究正态总体分布情况，而忽略其中很小的一部分 .探究案（30分钟）三．新知应用【知识点一】正态曲线例1：下列函数是正态密度函数的是（ ）A ．222)(21)(σμπσ-=x e x f ，)0(,>σσμ是实数 B ．2222)(x e x f -=ππ C ．4)1(2221)(--=x e x f π D ．2221)(x e x f π= 变式1：把一个正态曲线a 沿着横轴方向向右移动2个单位，得到新的一条曲线b ，下列说法中不正确的是（ ）．A ．曲线b 仍然是正态曲线B ．曲线a 和曲线b 的最高点的纵坐标相等C ．以曲线b 为概率密度曲线的总体的期望比以曲线a 为概率密度曲线的总体的期望大2D ．以曲线b 为概率密度曲线的总体的方差比以曲线a 为概率密度曲线的总体的方差大变式2：（1）若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值等于π241，该正态分布的概率密度函数的解析式为 、【知识点二】有关正态分布的概率计算例2．在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从一个正态分布，即ξ～N （90，100）.（1）试求考试成绩ξ位于区间（70，110）上的概率是多少？（2）若这次考试共有2 000名考生，试估计考试成绩在（80，100）间的考生大约有多少人？变式1：若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为π241.（1）求该正态分布的概率密度函数的解析式； （2）求正态总体在（-4，4）的概率.变式2：设()21,2X N ，试求：（1）()13P X -<≤；（2）()35P X <≤；（3）()5P X ≥当堂检测1．若2)1(221)(--=x e x f π，则下列正确的是（ ）．A ．有最大值、最小值B ．有最大值，无最小值C ．无最大值，有最小值D ．无最大值、最小值2．设随机变量ξ～)4,2(N ，则)21(ξD = ( ) ． A ．1 B ．2 C ．21 D ． 4 3．若随机变量满足正态分布),(2σμN ，则关于正态曲线性质的叙述正确的是（ ）． A ．σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“高瘦”B ．σ越小，曲线越“矮胖”，σ越大，曲线越“高瘦”C ．σ的大小，和曲线的“高瘦”、“矮胖”没有关系D ．曲线的“高瘦”、“矮胖”受到μ的影响4．已知随机变量ξ服从正态分布()22,N σ，()40.84P ξ≤=，则()0P ξ<等于（ ） A ．0.16 B ．0.32 C ．0.68 D ．0.845．若随机变量X ～(1,1)N ，则(34)P X <≤= ．若随机变量X ～)2,5(2N ，则=≤<)73(X P ．若随机变量X ～(,1)N μ，则(32)P X μμ-<≤-= ．§2.4正态分布课后巩固1.已知ξ～N (0,2σ)且P （-2≤ξ≤0）=0.4，则P (ξ＞2)的值为 （ ） A .0.1 B .0.2 C.0.3 D .0.42．在一次英语考试中，考试的成绩服从正态分布)36,100(，那么考试成绩在区间(]112,88内的概率是（ ）A ．0．6826B ．0．3174C ．0．9544D ．0．99743.已知随机变量ξ服从正态分布N （2，2σ）,P (ξ≤4)=0.84,则P （ξ＜0）=（ ）A .0.16B .0.32 C.0.68 D.0.844.设随机变量X ～N （μ，2σ），则随着σ的增大，概率P （|x -μ|＜3σ）将会（ ）A .单调增加B .单调减少 C.保持不变 D.增减不定5.已知X~N (0,1)，则X 在区间 )2,(--∞ 内取值的概率等于（ ）A.0.9544B.0.0456C.0.9772D.0.022810.设X~N （0，1）。

《2.4正态分布》教学案3【教学目标】1.了解正态分布的意义，掌握正态分布曲线的主要性质及正态分布的简单应用。

2.了解假设检验的基本思想，会用质量控制图对产品的质量进行检测，对生产过程进行控制。

【教学重难点】教学重点：1.正态分布曲线的特点；2.正态分布曲线所表示的意义.教学难点：1.在实际中什么样的随机变量服从正态分布；2．正态分布曲线所表示的意义.【教学过程】一、设置情境，引入新课这是一块高尔顿板，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内。

问题1.在投放小球之前，你能知道这个小球落在哪个球槽中吗？问题2.重复进行高尔顿板试验，随着试验次数的增加，掉入每个球槽中小球的个数代表什么？问题3.为了更好的研究小球分布情况，对各个球槽进行编号，以球槽的编号为横坐标，以小球落入各个球槽的频率值为纵坐标，你能画出它的频率分布直方图吗？问题4.随着试验次数的增加，这个频率直方图的形状会发生什么样的变化？二、合作探究，得出概念随着试验次数的增加，这个频率直方图的形状会越来越像一条钟形曲线.这条曲线可以近似下列函数的图像：22()2,(),(,),2x x e x μσμσϕπσ--=∈-∞+∞其中实数(0)μσσ>和为参数，我们称,()x μσϕ的图像为正态分布密度曲线，简称正态曲线。

问题5.如果在高尔顿板的底部建立一个水平坐标轴，其刻度单位为球槽的宽度，X 表示一个随机变量，X 落在区间(,]a b 的概率为什么？其几何意义是什么？一般地，如果对于任何实数a b <，随机变量X 满足,(<X (),ba P ab x dx μσϕ≤=⎰） 则称X 的分布为正态分布，记作2N μσ（，），如果随机变量X 服从正态分布，则记为2X N μσ:（，）。

问题6.在现实生活中，什么样的分布服从或近似服从正态分布？问题7.结合()x μσϕ，的解析式及概率的性质，你能说说正态分布曲线的特点吗？可以发现，正态曲线有以下特点：（1） 曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交；（2） 曲线是单峰的，它关于直线x μ=对称；（3） 曲线在x μ=2σπ（4） 曲线与x 轴之间的面积为1；（5） 当σ一定时，曲线随着μ德变化而沿x 轴平移；（6） 当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散。

高中数学选修2 3 2.4正态分布教学设计高中数学选修2-32.4正态分布教学设计正态分布教学计划【教学目标】一、知识和技能1、结合正态曲线，加深对正态密度函数的理解；2、通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质．二、过程与方法教学法和引导发现法。

通过教师先行发言、师生共同探究的方式，学生可以深入理解相关概念，理解数形结合的数学思维方法，体验数学知识的形成。

第三，情感态度和价值观通过教学中一系列的探究过程使学生体验发现的快乐，形成积极的情感，培养学生的进取意识和科学精神．【教学重点和难点】重点：正态分布曲线的特点及其所表示的意义；难点：理解实践中什么样的随机变量服从正态分布，掌握正态分布曲线所代表的意义【教学方法】教学法与引导发现法【教学过程设计】（一）复习准备1、总体密度曲线：在频率分布直方图中，随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，这条光滑曲线为总体密度曲线2、图中阴影部分的面积，就是总体在区间?a,b?内取值的百分比，即概率（二）创造情境计算机模拟演示高尔顿板试验师生互动：学生以定向的方式感知、体验和思考实验结果。

通过观察凹槽中小球的堆积形状，学生们发现落下的小球在凹槽中的分布是规则的设计意图：提高学生的学习积极性，提高学习数学的兴趣．让学生体验“正态分布曲线“的生成和发现历程．（二）构建概念1.利用频率分布直方图，从频率的角度研究小球的分布规律师生互动：引导学生思考回顾，教师通过课件演示作图过程．（1）对球槽进行编号，计算每个球槽中的小球数量，并制作频率分布表。

师生互动：引导学生在此回忆。

这里的纵坐标是频率除以群距离设计意图：通过把与新内容有关的旧知识抽出来作为新知识的“生长点”，为引入新知搭桥铺路，形成正迁移．（2）绘制频率分布直方图，以球槽数为横坐标，小球落入每个球槽的频率与群距的比值为纵坐标。

将每个矩形上端的中点连接起来，得到频率分布的折线图师生互动：教师提出问题：这里每个长方形的面积的含义是什么？回忆后，学生很容易得到：矩形区域代表了相应区间内数据的频率设计意图：通过思考和回忆，可以加深对频率分布直方图的理解。

课题：正态分布教学目标：理解取有限值的离散型随机变量的方差的概念，及简单应用教学重点：理解取有限值的离散型随机变量的方差的概念，及简单应用教学过程一、复习引入：简要复习模块3种的相关内容，材料如下，可选取相关内容重点复习1.简单随机抽样：设一个总体的个体数为N ．如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样 ⑴用简单随机抽样从含有N 个个体的总体中抽取一个容量为n 的样本时，每次抽取一个个体时任一个体被抽到的概率为N1；在整个抽样过程中各个个体被抽到的概率为N n ； ⑵简单随机抽样的特点是，逐个抽取，且各个个体被抽到的概率相等； ⑶简单随机抽样方法，体现了抽样的客观性与公平性，是其他更复杂抽样方法的基础．（4）.简单随机抽样的特点：它是不放回抽样；它是逐个地进行抽取；它是一种等概率抽样2.抽签法：先将总体中的所有个体（共有N 个）编号（号码可从1到N ），并把号码写在形状、大小相同的号签上（号签可用小球、卡片、纸条等制作），然后将这些号签放在同一个箱子里，进行均匀搅拌，抽签时每次从中抽一个号签，连续抽取n 次，就得到一个容量为n 的样本 适用范围：总体的个体数不多时优点：抽签法简便易行，当总体的个体数不太多时适宜采用抽签法．3.随机数表法： 随机数表抽样“三步曲”：第一步，将总体中的个体编号；第二步，选定开始的数字；第三步，获取样本号码4.系统抽样:当总体中的个体数较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按预先定出的规则，从每一部分抽取一个个体，得到需要的样本，这种抽样叫做系统抽样．系统抽样的步骤：①采用随机的方式将总体中的个体编号为简便起见，有时可直接采用个体所带有的号码，如考生的准考证号、街道上各户的门牌号，等等 ②为将整个的编号分段（即分成几个部分），要确定分段的间隔k 当N n（N 为总体中的个体的个数，n 为样本容量）是整数时，k=N n ;当N n不是整数时，通过从总体中剔除一些个体使剩下的总体中个体的个数N '能被n 整除，这时k=N n'.③在第一段用简单随机抽样确定起始的个体编号l ④按照事先确定的规则抽取样本（通常是将l 加上间隔k ，得到第2个编号l +k,第3个编号l +2k ，这样继续下去，直到获取整个样本） ①系统抽样适用于总体中的个体数较多的情况，它与简单随机抽样的联系在于：将总体均分后的每一部分进行抽样时，采用的是简单随机抽样；②与简单随机抽样一样，系统抽样是等概率抽样，它是客观的、公平的．③总体中的个体数恰好能被样本容量整除时，可用它们的比值作为系统抽样的间隔；当总体中的个体数不能被样本容量整除时，可用简单随机抽样先从总体中剔除少量个体，使剩下的个体数能被样本容量整除在进行系统抽样 5.分层抽样: 当已知总体由差异明显的几部分组成时，为了使样本更充分地反映总体的情况，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比例进行抽样，这种抽样叫做分层抽样，所分成的部分叫做层6.不放回抽样和放回抽样:在抽样中，如果每次抽出个体后不再将它放回总体，称这样的抽样为不放回抽样；如果每次抽出个体后再将它放回总体，称这样的抽样为放回抽样．随机抽样、系统抽样、分层抽样都是不放回抽样7. 分布列: ξ x 1 x 2 … x i… P P 1 P 2 … P i…分布列的两个性质： ⑴i ≥0，＝1，2，…； ⑵1+2+…=1 8.频率分布表或频率分布条形图历史上有人通过作抛掷硬币的大量重复试验，得到了如下试验结果：试验结果频数 频率 正面向上(0)36124 0.5011 反面向上(1) 35964 0.4989抛掷硬币试验的结果的全体构成一个总体，则上表就是从总体中抽取容量为72088的相当大的样本的频率分布表．尽管这里的样本容量很大，但由于不同取值仅有2个（用0和1表示），所以其频率分布可以用上表和右面的条形图表示．其中条形图是用高来表示取各值的频率．说明：⑴频率分布表在数量表示上比较确切，而频率分布条形图比较直观，两者相互补充，使我们对数据的频率分布情况了解得更加清楚．⑵①各长条的宽度要相同；②相邻长条之间的间隔要适当．当试验次数无限增大时，两种试验结果的频率值就成为相应的概率，得到右表，除了抽样造成的误差，精确地反映了总体取值的概率分布规律．这种整体取值的概率分布规律通常称为总体分布.说明：频率分布与总体分布的关系：⑴通过样本的频数分布、频率分布可以估计总体的概率分布.⑵研究总体概率分布往往可以研究其样本的频数分布、频率分布.9.总体分布：总体取值的概率分布规律在实践中，往往是从总体中抽取一个样本，用样本的频率分布去估计总体分布 一般地，样本容量越大，这种估计就越精确10.总体密度曲线:样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无试验结果 概率 正面向上(记为0) 0．5 反面向上(记为1) 0．5限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线． 总体密度曲线b单位O 频率/组距a它反映了总体在各个范围内取值的概率．根据这条曲线，可求出总体在区间(a ，b )内取值的概率等于总体密度曲线，直线x =a ，x =b 及x 轴所围图形的面积．二、讲解新课：1．正态分布概率密度函数：22()2(),(,)2x f x e x μσπσ--=∈-∞+∞，（σ＞0） 其中π是圆周率；e 是自然对数的底；x 是随机变量的取值；μ为正态分布的均值；σ是正态分布的标准差.正态分布一般记为),(2σμN 2．正态分布),(2σμN ）是由均值μ和标准差σ唯一决定的分布通过固定其中一个值，讨论均值与标准差对于正态曲线的影响3．通过对三组正态曲线分析，得出正态曲线具有的基本特征是两头底、中间高、左右对称4．正态曲线的性质：（1）曲线在x 轴的上方，与x 轴不相交（2）曲线关于直线x=μ对称（3）当x=μ时，曲线位于最高点（4）当x ＜μ时，曲线上升（增函数）；当x ＞μ时，曲线下降（减函数） 线向左、右两边无限延伸时，以x 轴为渐近线，向它无限靠近（5）μ一定时，曲线的形状由σ确定σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小．曲线越“瘦高”．总体分布越集中：五条性质中前三条学生较易掌握，后两条较难理解，因此在讲授时应运用数形结合的原则，采用对比教学5．标准正态曲线:当μ=0、σ=l 时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表示式是2221)(x e x f -=π，（-∞＜x ＜+∞）其相应的曲线称为标准正态曲线标准正态总体N （0，1）在正态总体的研究中占有重要的地位任何正态分布的概率问题均可转化成标准正态分布的概率问题6. 对于正态总体),(2σμN 取值的概率：在区间（μ-σ，μ+σ）、（μ-2σ，μ+2σ）、（μ-3σ，μ+3σ）内取值的概率分别为68.3%、95.4%、99.7%因此我们时常只在区间（μ-3σ，μ+3σ）内研究正态总体分布情况，而忽略其中很小的一部分课堂小节：本节课学习了取有限值的离散型随机变量的方差的概念，及简单应用课堂练习：略课后作业：第79页习题A:1,2。

课题：2.4正态分布
展示美丽的风景
让优秀成为一种习惯
人教A 版选修2-3 正态分布
高尔顿板实验
让优秀成为一种习惯
人教A 版选修2-3 正态分布
正态曲线
正态曲线密度函数的解析式
人教A 版选修2-3 正态分布
O
y
()()=
--
21
2
2,e
x x σμσμπ
σϕ其中实数μ和σ(σ>0)为参数.
一、正态曲线人教A 版选修2-3 正态分布
y
让优秀成为一种习惯
人教A 版选修2-3 正态分布
某一地区同年龄人群的身高
让优秀成为一种习惯
人教A 版选修2-3 正态分布
一定条件下生长的向日葵的单位面积的产量
探究：正态分布的特点
人教A 版选修2-3 正态分布
让优秀成为一种习惯
人教A 版选修2-3 正态分布
人教A 版选修2-3 正态分布
教师展示六个特点：
人教A 版选修2-3 正态分布
固定一个参数，练习题
人教A 版选修2-3 正态分布
设三个正态分布(,)N μσ(0)σ>，(,)N μσ(σ>N N N 设三个正态分
人教A 版选修2-3 正态分布
例题：
人教A 版选修2-3 正态分布
1:某商场大米（单位:kg ） 大
米
大米练习：
人教A 版选修2-3 正态分布
若P
人教A 版选修2-3 正态分布
当堂检测。