北师版七年级数学 《有理数及其运算》全章复习与巩固提高知识讲解与练习

北师大版七年级上册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习《有理数及其运算》全章复习与巩固（提高）【学习目标】1．理解有理数及其运算的意义，提高运算能力．2．能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小；借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数与绝对值．3．体会转化、归纳等思想；掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及混合运算并能解决简单的实际问题．4．会用科学记数法表示数．【知识网络】【要点梳理】要点一、有理数的相关概念1．有理数的分类：（1）按定义分类：（2）按性质分类：要点诠释：（1）用正数、负数表示相反意义的量；作用 举例表示数的性质 0是自然数、是有理数表示没有 3个苹果用+3表示，没有苹果用0表示表示某种状态 00C 表示冰点表示正数与负数的界点0非正非负，是一个中性数2．数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线． 要点诠释：（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如π．（2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大．3．相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0．要点诠释：（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的．（2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“-”号即可． （3）多重符号的化简：数字前面“-”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负． 4．绝对值：（1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 数a 的绝对值记作a ．（2)几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离． 要点二、有理数的运算 1 ．法则：（1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数．（2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ．（3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0．(0)||0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩（4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a ÷b=a ·1b(b ≠0) ． （5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0． (6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行； ③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 要点诠释：“奇负偶正”口诀的应用：（1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：－[－（－3）]=－3，－[+（－3）]=3．（2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36． （3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如： 2(3)9-=， 3(3)27-=-．2．运算律：（1）交换律: ① 加法交换律:a+b=b+a ； ②乘法交换律:ab=ba ； （2）结合律: ①加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c)； ②乘法结合律：（ab ）c=a(bc) （3）分配律：a(b+c)=ab+ac 要点三、有理数的大小比较比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒数比较法． 要点四、科学记数法把一个大于10的数表示成10na ⨯的形式（其中1≤10a <，n 是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200 000=5210⨯． 【典型例题】类型一、有理数相关概念1．已知x 与y 互为相反数，m 与n 互为倒数，|x+y |+（a-1）2＝0，求a 2-(x+y+mn)a+(x+y)2009+(-mn)2010的值．【思路点拨】 (1)若有理数x 与y 互为相反数，则x+y ＝0，反过来也成立． (2)若有理数m 与n 互为倒数，则mn ＝1，反过来也成立． 【答案与解析】解：因为x 与y 互为相反数，m 与n 互为倒数，（a-1）2≥0， 所以x+y ＝0，mn ＝1，a ＝1，所以a 2-(x+y+mn)a+(x+y)2009+(-mn)2010＝a 2-(0+1)a+02009+(-1)2010＝a 2-a+1．∵a ＝1，∴原式＝12-1+1＝1【总结升华】要全面正确地理解倒数，绝对值，相反数等概念． 举一反三：【变式1】选择题（1）已知四种说法：①|a|=a时，a>0； |a|=-a时， a<0．②|a|就是a与-a中较大的数．③|a|就是数轴上a到原点的距离．④对于任意有理数，-|a|≤a≤|a|．其中说法正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4（2）有四个说法：①有最小的有理数②有绝对值最小的有理数③有最小的正有理数④没有最大的负有理数上述说法正确的是（）A．①② B．③④ C．②④ D．①②（3）已知(-ab)3>0，则（）A．ab<0 B．ab>0 C．a>0且b<0 D．a<0且b<0（4）若|x-1|+|y+3|+|z-5|=0，则(x+1)(y-3)(z+5)的值是（）A．120 B．-15 C．0 D．-120（5）下列各对算式中，结果相等的是（）A．-a6与(-a)6 B．-a3与|-a|3 C．[(-a)2]3与(-a3)2 D．(ab)3与ab3【答案】（1）C；（2）C；（3）A；（4）D；(5)C【变式2】（2015•甘南州）在“百度”搜索引擎中输入“姚明”，能搜索到与之相关的网页约27000000个，将这个数用科学记数法表示为（）A．2.7×105B．2.7×106C．2.7×107D．2.7×108【答案】C．2．（2016•江西校级模拟）如果m，n互为相反数，那么|m+n﹣2016|=________．【思路点拨】先用相反数的意义确定出m+n=0，从而求出|m+n﹣2016|.【答案】 2016.【解析】解：∵m，n互为相反数，∴m+n=0，∴|m+n﹣2016|=|﹣2016|=2016；故答案为2016．【总结升华】此题是绝对值题，主要考查了绝对值的意义，相反数的性质，熟知相反数的意义是解本题的关键．类型二、有理数的运算3．(1)211143623324⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-----+-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2)5153 ()( 1.5)() 1244 -÷⨯-÷-()()23541(3)24121522⎛⎫-÷-⨯-⨯-+ ⎪⎝⎭(4)137775111 2.534812863⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--÷--÷⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦(5)()1003221511221132⎛⎫----÷- ⎪⎝⎭+--⨯【答案与解析】解：（1）原式21111143622332412=-++-= （2）原式543421215239=-⨯⨯⨯=-（3）原式3132(4)12(1516)104=-÷-⨯-⨯-+=-（4）原式12561[1(2)1]()233253=+-++-⨯⨯-=（5）1125112()41192---÷-=+--⨯原式 3.9=-【总结升华】有理数的混合运算有很多技巧，如：正、负数分别相加；分数中，同分母或分母有倍数关系的分数结合相加；除法转化为乘法、正向应用乘法分配律：a(b+c)＝ab+ac ；逆向应用分配律：ab+ac ＝a(b+c)等． 举一反三： 【变式】（1）225117832[()10.25]199[()2]7148923-÷⨯-⨯-⨯--（2）23155115(1)()()(2)()299229-⨯---⨯-+-⨯【答案】解：（1）225117832[()10.25]199[()2]7148923-÷⨯-⨯-⨯--251471834()199(2)492584929=⨯⨯-⨯-⨯- 118343()199(2)449292=-⨯-⨯-⨯20(3)3=--2033=-+123= （2）23155115(1)()()(2)()299229-⨯---⨯-+-⨯955515()()()()499289=⨯---⨯-+-⨯5951()()942817224=-⨯++=-4．（2015•铜仁市）定义一种新运算：x*y=，如2*1==2，则（4*2）*（﹣1）= ．【答案】0． 【解析】 解：4*2==2，2*（﹣1）==0．故（4*2）*（﹣1）=0．【总结升华】本题考查了有理数混合运算：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． 举一反三：【变式】用简单方法计算：120180148124181++++ 【答案】解：原式=1111111111115(...)244668810101222446101224++++=-+-++-=⨯⨯⨯⨯⨯ 类型三、数学思想在本章中的应用5．（1）数形结合思想：已知有理数a 、b 在数轴上对应点的位置如图所示，且|a|＞|b|，求|a|-|a+b|-|b-a|的值．A ．2b+aB ．2b-aC ．aD ．b（2）分类讨论思想：已知a 是任一有理数，试比较|a|与-2a 的大小． （3）转化思想：1(999)35⎛⎫-÷-⎪⎝⎭．【答案与解析】解：（1）从数轴上a、b两点的位置可以看出a＜0，b＞0，且|a|＞|b|，所以|a|-|a+b|-|b-a|＝-a+a+b-b+a＝a．（2）a可能是正数，0或负数，这就需要分类讨论：当a＞0时，|a|＝a＞0，-2a＜0，所以|a|＞-2a；当a＝0时，|a|＝0，-2a＝0，所以|a|＝-2a；当a＜0时，|a|＝-a>0，-2a＞0，又-a＜-2a，所以|a|＜-2a．综上所述：当a≥0时， |a|≥-2a；当a＜0时，|a|＜-2a．（3）1(999)(10001)(35)35⎛⎫-÷-=-+⨯-⎪⎝⎭(1000)(35)1(35)34965=-⨯-+⨯-=．【总结升华】在解题中合理利用数学思想，是解决问题的有效手段．数形结合——“以形助数”或“以数解形”使问题简单化，具体化；分类讨论中注意分类的两条原则：分类标准要统一，而且分类要做到不重不漏；转化思想就是把“新知识”转化为“旧知识”，将“未知”转化为“已知”．类型四、规律探索6．下面两个多位数1248624…，6248624…都是按照如下方法得到的：将第1位数字乘以2，若积为一位数，将其写在第2位；若积为两位数，则将其个位数字写在第2位．对第2位数字再进行如上操作得到第3位数字……，后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的．当第1位数字是3时，仍按如上操作得到一个多位数，则这个多位数前100位的所有数字之和是( )．A．495 B．497 C．501 D．503【思路点拨】多位数1248624…是怎么来的？当第1个数字是1时，将第1位数字乘以2得2，将2写在第2位上，再将第2位数字2乘以2得4，将其写在第3位上，将第3位数字4乘以2的8，将8写在第4位上，将第4位数字8乘以2得16，将16的个位数字6写在第5位上，将第5位数字6乘以2得12，将12的个位数字2写在第6位上，再将第6位数字2乘以2得4，将其写在第7位上，以此类推．根据此方法可得到第一位是3的多位数后再求和．【答案】A【解析】按照法则可以看出此数为362 486 248…，后面6248循环，所以前100位的所有数字之和是3+(6+2+4+8)×24+6+2+4＝495，所以选A．【总结升华】特例助思，探究规律，这类题主要是通过观察分析，从特殊到一般来总结发现规律，并表示出来．举一反三：【变式】世界上著名的莱布尼茨三角形如图所示，则排在第10行从左边数第3个位置上的数是（）A ．1 B ．1 C ．1 D ．1 【答案】B 提示：观察发现：分子总是1，第n 行的第一个数的分母就是n ，第二个数的分母是第一个数的（n-1）倍，第三个数的分母是第二个数的分母的(1)2n-倍．根据图表的规律，则第10行从左边数第3个位置上的数是111094360=⨯⨯．。

有理数及其运算复习与巩固【学习目标】1．理解有理数及其运算的意义，提高运算能力．2．能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小；借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数与绝对值．3．体会转化、归纳等思想；掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及混合运算并能解决简单的实际问题．4．会用科学记数法表示数．【知识网络】【要点梳理】要点一、有理数的相关概念1．有理数的分类：（1）按定义分类：（2）按性质分类：要点进阶：（1）用正数、负数表示相反意义的量； （2）有理数“0”的作用：作用举例 表示数的性质0是自然数、是有理数 表示没有3个苹果用+3表示，没有苹果用0表示 表示某种状态00C 表示冰点 表示正数与负数的界点 0非正非负，是一个中性数2．数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线．要点进阶：（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如π．（2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大．3．相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0．要点进阶：（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的．（2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“-”号即可．（3）多重符号的化简：数字前面“-”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负．4．绝对值：（1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 数a 的绝对值记作a ．（2)几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离．要点二、有理数的运算1 ．法则：（1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数．（2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ．（3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0． （4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a ÷b=a ·1b(b ≠0) ． （5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0．(6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行； ③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．要点进阶：“奇负偶正”口诀的应用：（1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：－[－（－3）]=－3，－[+（－3）]=3．(0)||0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩（2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36．（3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如： 2(3)9-=， 3(3)27-=-． 2．运算律：（1）交换律: ① 加法交换律:a+b=b+a ； ②乘法交换律:ab=ba ；（2）结合律: ①加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c)； ②乘法结合律：（ab ）c=a(bc)（3）分配律：a(b+c)=ab+ac要点三、有理数的大小比较比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒数比较法． 要点四、科学记数法把一个大于10的数表示成10na ⨯的形式（其中1≤10a <，n 是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200 000=5210⨯．【典型例题】 类型一、有理数相关概念例1．已知x 与y 互为相反数，m 与n 互为倒数，|x+y |+（a-1）2＝0，求a 2-(x+y+mn)a+(x+y)2009+(-mn)2010的值．举一反三：【变式1】选择题（1）已知四种说法：①|a|=a 时，a>0； |a|=-a 时， a<0． ②|a|就是a 与-a 中较大的数．③|a|就是数轴上a 到原点的距离． ④对于任意有理数，-|a|≤a≤|a|．其中说法正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4（2）有四个说法：①有最小的有理数 ②有绝对值最小的有理数③有最小的正有理数 ④没有最大的负有理数上述说法正确的是（ ）A ．①②B ．③④C ．②④D ．①②（3）已知(-ab)3>0，则（ ）A ．ab<0B ．ab>0C ．a>0且b<0D ．a<0且b<0（4）若|x-1|+|y+3|+|z-5|=0，则(x+1)(y-3)(z+5)的值是（ ）A ．120B ．-15C ．0D ．-120（5）下列各对算式中，结果相等的是（ ）A ．-a 6与(-a)6B ．-a 3与|-a|3C ．[(-a)2]3与(-a 3)2D ．(ab)3与ab 3例2．如果m ，n 互为相反数，那么|m+n ﹣2016|=________．类型二、有理数的运算例3．(1)211143623324⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-----+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2)5153()( 1.5)()1244-÷⨯-÷-()()23541(3)24121522⎛⎫-÷-⨯-⨯-+ ⎪⎝⎭(4)137775111 2.534812863⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--÷--÷⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦(5)()1003221511221132⎛⎫----÷- ⎪⎝⎭+--⨯举一反三： 【变式】 （1）225117832[()10.25]199[()2]7148923-÷⨯-⨯-⨯--（2）23155115(1)()()(2)()299229-⨯---⨯-+-⨯例4．定义一种新运算：x*y=，如2*1==2，则（4*2）*（﹣1）= ．举一反三：【变式】用简单方法计算： 120180148124181++++类型三、数学思想在本章中的应用例5．（1）数形结合思想：已知有理数a 、b 在数轴上对应点的位置如图所示，且|a|＞|b|，求|a|-|a+b|-|b-a|的值．A ．2b+aB ．2b-aC ．aD ．b（2）分类讨论思想：已知a 是任一有理数，试比较|a|与-2a 的大小．（3）转化思想：1(999)35⎛⎫-÷- ⎪⎝⎭．类型四、规律探索例6．下面两个多位数1248624…，6248624…都是按照如下方法得到的：将第1位数字乘以2，若积为一位数，将其写在第2位；若积为两位数，则将其个位数字写在第2位．对第2位数字再进行如上操作得到第3位数字……，后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的．当第1位数字是3时，仍按如上操作得到一个多位数，则这个多位数前100位的所有数字之和是( )．A．495 B．497 C．501 D．503举一反三：【变式】世界上著名的莱布尼茨三角形如图所示，则排在第10行从左边数第3个位置上的数是（）A．1132B．1360C．1495D．1660【巩固练习】一、选择题1．如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从轻重的角度看，最接近标准的是（ ）A ．B ．C ．D ．2． a b -与a 比较大小，必定为（ ）．A ．a b a -<B ．a b a ->C ．a b a -≤D ．这要取决于b3．下列语句中，正确的个数是（ ）．①一个数与它的相反数的商为-1；②两个有理数之和大于其中任意一个加数；③若两数之和为正数，则这两个数一定都是正数；④若0m n <<，则mn n m <-．A ．0B ．1C ．2D ．34．已知||5m =，||2n =，||m n n m -=-，则m n +的值是（ ）．A ．-7B ．-3C ．-7或-3D ．±7或±35．将一刻度尺如图所示放在数轴上（数轴的单位长度是1cm ），刻度尺上的“0cm”、“15cm”分别对应数轴上的 3.6x -和，则（ ）．A ．910x <<B ．1011x <<C ．1112x <<D ．1213x <<6． 如图：数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A 、B 、C 、 D 对应的数分别是整数a,b,c,d ，且b-2a=9，那么数轴的原点对应点是 （ ）．A ．A 点B ．B 点C ．C 点D ．D 点7．有理数a,b,c 的大小关系如图：则下列式子中一定成立的是（ ）．A ．0a b c ++>B ．a b c +<C ．a c a c -=+D ．b c c a ->-8．记12n n S a a a =+++…，令12n n S S S T n+++=…，称n T 为1a ，2a ，…，n a 这列数的“理想数”．已知1a ，2a ，…，500a 的“理想数”为2004，那么8，1a ，2a ，…，500a 的“理想数”为( )．A ．2004B ．2006C ．2008D ．2010二、填空题9．已知a 是有理数，有下列判断：①a 是正数；②-a 是负数；③a 与-a 必有一个是负数；④a 与-a 互为相反数，其中正确的有________个．10.绝对值小于4，而不小于2的所有整数有 ．11．一种零件的尺寸在图纸上是0.050.027+-（单位：mm ），表示这种零件加工要求最大不超过________，最小不小于________．12．|﹣0.3|的相反数等于 ．13．如图，有理数,a b 对应数轴上两点A ，B ，判断下列各式的符号： a b +________0；a b -________0；()()________a b a b +-0；2(1)ab ab +________0．14．已知,,a b c 满足()()()0,0a b b c c a abc +++=<，则代数式a b c a b c++的值是15．某地探空气球的气象观测资料表明，高度每增加1千米，气温大约降低6℃．若该地地面温度为21℃，高空某处温度为-39℃，则此处的高度是 千米．16．观察下列算式：23451=+⨯ ，24462=+⨯，25473=+⨯，24846⨯+=，请你在观察规律之后并用你得到的规律填空：250___________=+⨯．三、 解答题17．计算：（1）24+（﹣22）﹣（+10）+（﹣13）（2）（﹣1.5）+4+2.75+（﹣5）（3）（﹣8）+（﹣7.5）+（﹣21）+（+3）（4）（﹣24）×（﹣++）18.为了节能减排，近期纯电动出租车正式上路运行．某地纯电动出租车的运价为3公里以内10元；超出3公里后每公里2元；单程超过15公里，超过部分每公里3元．小周要到离家10公里的博物馆参观，若他往返都乘坐纯电动出租车，共需付车费多少元？19．已知三个互不相等的有理数，即可以表示为1，a+b ，a 的形式，又可表示为0，b a ，b 的形式，且x 的绝对值为2，求200820092()()()a b ab a b ab x ++-+-+的值．20．一粒米微不足道，平时总会在饭桌上毫不经意地掉下几粒，甚至有些挑食的同学会把整碗米饭倒掉．针对这种浪费粮食现象，老师组织同学们进行了实际测算，称得500粒大米约重10克．现在请你来计算（1）一粒大米重约多少克？（2）按我国现有人口13亿，每年365天，每人每天三餐计算，若每人每餐节约一粒大米，一年大约能节约大米多少千克？（用科学记数法表示）（3）假若我们把一年节约的大米卖成钱，按2元∕千克计算，可卖得人民币多少元？（用科学记数法表示）（4）对于因贫困而失学的儿童，学费按每人每年500元计算，卖得的钱可供多少名失学儿童上一年学？（5）经过以上计算，你有何感想和建议？。

第17讲有理数及其运算全章复习知识点01有理数的分类（1）按照性质分类：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎭⎬⎫负分数正分数分数负整数自然数正整数整数有理数0（2）按照符号分类：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数正分数正整数正有理数有理数0（3）小数分类：⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧→→→数不可化为分数，是有理无限不循环小数可化为分数，是有理数无限循环小数无限小数可化为分数，是有理数有限小数小数和统称为非负数；和统称为非正数.【答案】正数；0；负数；0.知识点02相反数（1）相反数的概念：只有_________不同的两个数叫做互为相反数．（2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．（3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正．（4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，如a 的相反数是﹣a ，m +n 的相反数是﹣（m +n ），这时m +n 是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号．（5）正数的相反数是____________，负数的相反数是____________，零的相反数是____________.（6）互为相反数的两个数分别在原点的____________，并且到原点的____________相等.【注意】相反数等于它本身的数是_________.知识点03绝对值（1）一般地，数轴上表示数a 的点与的距离叫做数a 的绝对值，记作.【答案】原点；a（2）绝对值的几何意义：0-=a a 的几何意义是到原点的距离；b a -的几何意义是a 到b 的距离.【例】5-的几何意义表示5-到原点的距离；5-x 的几何意义表示x 到5的距离；5+x 的几何意义表示x 到5-的距离.（3）正数的绝对值是，负数的绝对值是，0的绝对值是.即当a>0时，a 是它的；当a<0时，a 是它的；当a =0时，a 是.【答案】本身；相反数；0【注意】①绝对值等于它本身的数是__________.②若a a =，那么a 就是非负数；若a a -=，那么a 就是非正数.【答案】正数和0（4）“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”，即若0=+b a ，则00==b a 且．知识点04有理数的加减乘除及其乘方运算1.有理数的加法法则（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）异号两数相加，绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；（3）互为相反数的两个数相加得_____；（如果两个数的和为_____，那么这两个数互为相反数）（4）一个数同0相加，仍得这个数.【答案】0；02.有理数的减法法则减去一个数等于加上这个数的_______，即)(b a b a -+=-.【注意】计算过程中，一定要注意符号.【答案】相反数3.有理数的乘法法则（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.（2）任何数同0相乘，都得0.（3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．倒数：乘积是1的两个有理数互为倒数.【注意】：①0没有倒数；②倒数等于它本身的数有1和-1.（4）有理数的乘法运算律①乘法交换律：ab ba =；②乘法结合律：()()ab c a bc =；③乘法分配律：()a b c ab ac +=+．4.有理数的除法法则（1）除以一个不为0的数，等于乘以这个数的_______.（2）两数相除（被除数不为0），同号得正，异号得负，并把绝对值相除.【注意】：0除以任何不为0的数，都得0.【答案】倒数5.有理数的乘方（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值.考点精析考点一基础知识过关1.有理数按照性质分类可分为整数和______，0是正数还是负数？（□正数□负数□都不是）2.a -一定是负数吗？a 和2a 都是______数，它们具有什么性质？在本章通常会考查什么题型？（试举例说明）3.什么是无理数？写几个无理数.和有理数的区别是什么？4.数轴的三要素是______，______，______.5.数轴上的数的特点：（1）左边的数______右边的数（填＞或＜）；（2）越往左数越______，越往右数越______.6.数轴上计算两点之间的距离的方法是____________，计算两点的重点的方法是____________.7.相反数的性质是：若a 、b 互为相反数，则______.8.绝对值的几何意义是？9.正数的绝对值是______，负数的绝对值是______，0的绝对值是______.10.相反数等于它本身的数有______，倒数等于它本身的数有______，绝对值等于它本身的数有______.11.若a a =，那么a 一定是______；若a a -=，那么a 一定是______.由此我们可以得出若y x y x +=+，那么y x +一定是______；若y x y x --=+，那么y x +一定是______.12.去绝对值的方法是正数直接去，负数_________，0既可直接去亦可______.若y x <，则=-y x ______；若y x <，则=--y x ______.13.绝对值几何意义的应用：（1）对于b x a x -+-有最____值，是多少？_______；（2）对于b x a x ---有最____值，是多少？_______；（3）41++-x x 有最____值，是多少？_______；72--+x x 有最____值，是多少？_______；14.除法是否有分配率？（□有□没得）15.对于数8102013.3⨯，在求精确到哪一位时，是否需要展开？（□需要□不需要）在求有效数字有几个时，是否需要展开？（□需要□不需要）16.计算题要多练习，尤其要注意符号.计算过程中，能够用简便运算的要用简便运算.【答案】略，不解释考点二科学计数法1.2022年4月18日，国家统计局发布数据，今年一季度国内生产总值270178亿元．同比增长4.8%，比2021年四季度环比增长1.3%．把27017800000000用科学记数法表示为（）A ．142.7017810⨯B ．132.7017810⨯C ．150.27017810⨯D ．140.27017810⨯【答案】B【解析】【分析】科学记数法的表现形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数，确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n 是正数，当原数绝对值小于1时n 是负数；由此进行求解即可得到答案．【详解】解:1327017800000000 2.7017810⨯=故选B ．2.2021年5月11日上午，第七次全国人口普查主要数据结果正式发布．2020年11月1日零时，全国人口共141178万人，与2010年的133972万人相比，增加了7206万人，增长5.38%;年平均增长率为0.53%．数据141178万用科学记数法表示为（）A ．51.4112810⨯B ．814.112810⨯C ．91.4112810⨯D ．414.112810⨯【答案】C【解析】【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为10n a ⨯，其中11|0|a ≤＜，n 为整数．【详解】解：141178万91411780000 1.4117810==⨯．故选C ．3.2020年，新冠病毒全球肆虐，据世界卫生组织公布的数据，截至2022年1月16日，美国累计确诊病例超6670万，这个数据用科学记数法表示为（）A ．666.710⨯B ．90.66710⨯C ．96.6710⨯D ．76.6710⨯【答案】D【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【详解】解：6670万=66700000=6.67×107．故选：D ．考点二近似数1.用四舍五入法，按括号内的要求对下列数取近似值．（1）0.008435（保留三个有效数字）≈_________；（2）12.975（精确到百分位）≈_________；（3）548203（精确到千位）≈_________；（4）5365573（保留四个有效数字）≈_________．【答案】0.0084412.9855.4810⨯65.36610⨯【解析】【分析】（1）根据有效数字的定义（对于一个近似数，从左边第一个不是零的数字起，往右到末位数字为止的所有数字，叫做这个近似数的有效数字）即可得；（2）根据精确度的定义（近似数与准确数的接近程度即近似程度，对近似程度的要求，叫做精确度）即可得；（3）根据精确度的定义（近似数与准确数的接近程度即近似程度，对近似程度的要求，叫做精确度）即可得；（4）根据有效数字的定义（对于一个近似数，从左边第一个不是零的数字起，往右到末位数字为止的所有数字，叫做这个近似数的有效数字）即可得．【详解】解：（1）保留三个有效数字：0.0084350.00844≈，（2）精确到百分位：12.97512.98≈，（3）精确到千位：5548203548000 5.4810≈=⨯，（4）保留四个有效数字：653655735366000 5.36610≈=⨯，故答案为：0.00844，12.98，55.4810⨯，65.36610⨯．2.截止2021年1月10日14：26，美国新冠疫情累计确诊人数为22699938，精确到万位，用科学记数法表示为（）A ．22.699938×108B ．22.7×1010C ．2.27×108D ．2.270×107【答案】D【解析】【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a ×10n ，其中1≤∣a ∣＜10，n 为整数．【详解】解：..77226999382269993810227010=⨯≈⨯．故选：D ．3.网聚正能量，构建同心圆．以“奋斗的人民，奋进的中国”为主题的2021中国正能量“五个一百”网络精品征集评选展播活动进入火热的展播投票阶段．截至2021年11月26日18点，“五个一百”活动投票量累计13909615次，数据13909615用科学记数法表示并精确到百万位为（）A ．80.13910⨯B ．71.3910⨯C ．80.1410⨯D ．71.410⨯【答案】D【解析】【分析】首先精确到百万位，再用科学记数法表示．科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |<10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n 是正数；当原数的绝对值<1时，n 是负数．【详解】解：原数精确到百万位为：13909615≈14000000，再用科学记数法表示为：14000000=1.4×107，故选D ．4.73.28010⨯精确到______位，有______个有效数字，32845676保留5个有效数字为______．【答案】万四##4 3.2846×107【解析】【分析】近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位，根据有效数字的定义可得32845676保留5个有效数字的结果．【详解】近似数3.280×107精确到万位，有效数字是3，2，8，0四个，32845676保留5个有效数字为3.2846×107．故答案为：万；四；3.2846×107．考点三有理数的分类1.在数3π，-0.4，120 .，3.14，0.1010010001…（每两个之间多一个0），120%，20212020，100，722这9个数中，有理数有______个．2，把下列各数填入相应的大括号内上：10...010010001.07200926014.3618.03------，，，，，，，，，π.有理数集合：{…}；整数集合：{…}；非正数集合：{…}.【答案】有理数集合：{1,0,76200926014.3618.031----，，，，}；整数集合：{102009260--，，，}；非正数集合：{1...010010001.0200914.331------，，，，，π}.3.把下列各数填在相应的集合里：3，﹣1，﹣2，0.5，11,103-，﹣0.75，0，30%，π．负数集合：{…}；整数集合：{…}；正有理数集合：{…}．【答案】见解析【解析】【分析】根据有理数的定义分类即可．【详解】解：负数集合：{﹣1，﹣2，13-，﹣0.75…}；整数集合：{3，﹣1，﹣2，0…}；正有理数集合：{3，0.5，110，30%…}．故答案为：﹣1，﹣2，13-，﹣0.75；3，﹣1，﹣2，0；3，0.5，110，30%．考点四数轴上点的距离和中点1.数轴上表示5-和3的两点之间的距离是（）A．3B．6C．7D．8【答案】D2.已知点A在数轴上所对应的数为2，点A、B之间的距离为5，则点B在数轴上所对应的数是（）A．7B．-3C．±5D．-3或7【答案】D【解析】【分析】根据数轴上与点A的距离为5的分为两种情况，在进行计算即可．【详解】解：当点B在A的左边时，即2﹣5＝﹣3，当点B在A的右边时，即2+5＝7，故B点所表示的数为﹣3或7．故选：D．3.点A、B、C在同一条数轴上，其中点A、B表示的数分别为﹣3、1．若点B到点C的距离为6，则点A 到点C的距离等于（）A．3B．6C．3或9D．2或10【答案】D【解析】【详解】解：∵点A、B表示的数分别为﹣3、1，若点B到点C的距离为6，∴当C在B的左侧时，点C表示的数是1﹣6＝﹣5，当C 在B 的右侧时，点C 表示的数是1＋6＝7，点A 与点C 的距离是﹣3﹣（﹣5）＝2或7﹣（﹣3）＝10．故选：D ．4.数轴上点A 和点B 表示的数分别是-1和3，点P 到A 、B 两点的距离之和为6，则点P 表示的数是（）A ．-3B ．-3或5C ．-2D ．-2或4【答案】D 【分析】根据AB 的距离为4，小于6，分点P 在点A 的左边和点B 的右边两种情况分别列出方程，然后求解即可．【解答】解：∵AB=|3-（-1）|=4，点P 到A 、B 两点的距离之和为6，设点P 表示的数为x ，∴点P 在点A 的左边时，-1-x+3-x=6，解得：x=-2，点P 在点B 的右边时，x-3+x-（-1）=6，解得：x=4，综上所述，点P 表示的数是-2或4．故选：D ．5.数轴上点M 与点N 表示的数分别是5和-2，点P 到点M 、N 两点的距离之和为10，则点P 所在的点表示的数是.【答案】6.5或3.5【分析】根据AB 的距离为7，小于10，分点P 在点A 的左边和点B 的右边两种情况，然后求解即可．【解答】解：∵AB=|5-（-2）|=7，点P 到A 、B 两点的距离之和为10，所以P 点可以等于6.5或-3.56.数轴上点A 表示的数是a ，点B 表示的数是b ，则A 、B 两点的距离是，A 、B 两点的中点是．若a =2，b =-4，那么A 、B 两点的中点是.7.在数轴上，点A ，B 表示的数分别是-3和2，则线段AB 的中点表示的数是()A ．32B ．34C ．43D ．31【答案】A【解析】考点五利用绝对值化简--++-的值为（）．1.有理数a、b、c在数轴上位置如图，则a c a b b cA．2a B．2a+2b-2c C．0D．-2c-+--+的值等于（）2.表示a，b，c三个数的点在数轴上的位置如图所示，则代数式a b a c b cA．2a-2b-2c B．-2a C．2a-2b D．-2b【答案】B【解析】【分析】a b，a c-是负数，b c+是正数，根据正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的判断-相反数，0的绝对值是0，进行化简；【详解】解：原式=()()()a b a c b c --+---+⎡⎤⎣⎦，a b a c b c =-+-+--，=2a -．3.如图，化简代数式|b -a |-|a -1|+|b +2|的结果是_______.【答案】3．【分析】根据有理数a 、b 在数轴上的位置，可以得出b-a ，a-1、b+2的符号，进而化简即可．【解答】解：由有理数a 、b 、c 在数轴上的位置，可得，-1＜b ＜0，1＜a ＜2，所以有b-a ＜0，a-1＞0，b+2＞0，因此|b-a|-|a-1|+|b+2|=a-b-（a-1）+（b+2）=a-b-a+1+b+2=3，故答案为：3．4.有理数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示：化简：|a +b |-|b -1|-|a -c |-|1-c |=_______.【答案】见试题解答内容【分析】根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果．【解答】解：根据数轴上点的位置得：b ＜a ＜0＜c ＜1，∴a+b ＜0，b-1＜0，a-c ＜0，1-c ＞0，则原式=-a-b+b-1+a-c-1+c=-2．考点六非负数的应用1.已知021=++-y x ，则=x ______，=y ______.【答案】1；-22.已知0332)3(2=--+-y x x ，则=x ______，=y ______.【答案】3；63.已知3-+y x 与2)2(-x 互为相反数，则=-+yx yx 2______.【答案】44.已知03)22(2=-++-y x x ，则=x ______，=y ______.【答案】1；2考点七绝对值的几何意义1.若a 为有理数，则|a -3|+|a +4|的最小值是_______，|a +2|-|a -1|的最大值是_______．【答案】7；32.我们知道数形结合是解决数学问题的重要思想方法，例如|3-1|可表示为数轴上3和1这两点的距离，而31+即()|31|--则表示3和-1这两点的距离．式子1x -的几何意义是数轴上x 所对应的点与1所对应的点之间的距离，而()22x x +=--，所以2x +的几何意义就是数轴上x 所对应的点与-2所对应的点之间的距离．根据以上发现，试探索：（1）直接写出|8(2)|--=____________．（2）结合数轴，找出所有符合条件的整数x ，235x x -++=的所有整数的和．（3）由以上探索猜想，对于任何有理数x ，46x x ++-是否有最小值？如果有，请写出最小值并说明理由；如果没有，请说明理由．【答案】(1)10(2)-3，-2，-1，0，1，2，和为-3(3)有，10【解析】【分析】（1）根据有理数减法法则计算；（2）分析得到2x -表示x 与2的距离，3x +表示x 与-3的距离，由235x x -++=，确定32x -≤≤，进而解答；（3）设-4表示点A ，6表示点B ，x 表示点P ，则()6410AB =--=，分三种情况：当P 在点A 左侧时，当P 在点B 右侧时，当P 在A 、B 之间时，分别求出最小值解答．(1)|8(2)|--=10，故答案为10；(2)2x -表示x 与2的距离，3x +表示x 与-3的距离，∵235x x -++=，∴32x -≤≤，∴整数x =-3，-2，-1，0，1，2，和为-3-2-1+0+1+2=-3；(3)46x x ++-有最小值10，理由如下：设-4表示点A ，6表示点B ，x 表示点P ，则()6410AB =--=，当P 在点A 左侧时，()46221010x x PA PB PA PA AB PA AB PA ++-=+=++=+-+>，当P 在点B 右侧时，()46210210x x PA PB AB PB PB AB PB PB ++-=+=++=+=+>，当P 在A 、B 之间时，4610x x PA PB AB ++-=+==，∴46x x ++-的最小值为10．3.阅读下面材料：点A 、B 在数轴上分别表示有理数a 、b ，在数轴上A 、B 两点之间的距离AB ＝|a -b |．回答下列问题：（1）数轴上表示﹣3和1两点之间的距离是，数轴上表示x 和-2的两点之间的距离是；（2）数轴上表示a 和1的两点之间的距离为6，则a 表示的数为；（3）若x 表示一个有理数，则|x +2|+|x -4|有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由．【答案】(1)4，2x +(2)7或5-(3)有最小值，6【解析】【分析】（1）根据在数轴上A 、B 两点之间的距离为AB ＝|a ﹣b|即可求解；（2）根据在数轴上A 、B 两点之间的距离为AB ＝|a ﹣b|即可求解；（3）根据绝对值的几何意义，即可得解．(1)解：()134--=，()22x x --=+故答案为：4，2x +．(2)解：∵16a -=∴7a =或5a =-，故答案为：7或5-．(3)有最小值，6考点八概念辨析1.若两个数之和为负数，则一定是（）A ．这两个加数都是负数B ．这两个加数只能一正一负C ．两个加数中，一个是负数，一个是0D ．两个加数中至少有一个是负数【答案】D 【解析】【分析】两个数之和为负数有三种情况：两个数都是负数；一正一负，且负数的绝对值大于正数；一个负数，一个是0．【详解】两个数之和为负数有三种情况：两个数都是负数；一正一负，且负数的绝对值大于正数；一个负数，一个是0．由此可知，若两个数之和为负数，则两个加数中至少有一个是负数．故答案为：D ．2.下列说法正确的是（）A ．两个加数之和一定大于每一个加数B ．两数之和一定小于每一个加数C ．两个数之和一定介于这两个数之间D ．以上皆有可能【分析】利用有理数的加法法则判断即可．【解答】解：A 、两个加数之和不一定大于加数，不符合题意；B 、两数之和不一定小于每一个加数，不符合题意；C 、两个数之和不一定介于这两个数之间，不符合题意；D 、以上皆有可能，符合题意，故选：D ．3.下说法正确的是（）A ．0减任何数的差都是负数B ．减去一个正数，差一定大于被减数C ．减去一个正数，差一定小于被减数D ．两个数之差一定小于被减数【分析】可通过举反例说明不正确的，通过分类讨论说明正确的．【解答】解：0减去负数的差就是正数，正数大于被减数0，故A、D都是不正确的；负数减去正数，差一定小于被减数，故选项B不正确；减去一个正数，差一定小于被减数，此选项正确．故选：C．4.关于有理数的减法，下列说法正确的是（）A．两个有理数相减，差一定小于被减数B．两个负数的差一定小于0C．两个负数相减，等于他们的绝对值相减D．两个有理数的差是正数，则被减数一定大于减数【分析】根据有理数的减法法则逐一判断即可．有理数的减法法：减去一个数，等于加上这个数的相反数．【解答】解：A、两个有理数相减，差不一定小于被减数，如2﹣（﹣1）＝3，故本选项不合题意；B、两个负数的差不一定小于0，如﹣1﹣（﹣4）＝3，故本选项不合题意；C、两个负数相减，根据减去一个数，等于加上这个数的相反数，而不是它们的绝对值相减，故本选项不合题意；D、两个有理数的差是正数，则被减数一定大于减数，说法正确．故选：D．5.列说法中正确的有（）①同号两数相乘，符号不变；②异号两数相乘，积取负号；③数a、b互为相反数，它们的积一定为负；④绝对值等于本身的数是正数．A．1个B．2个C．3个D．4个【解题思路】根据有理数乘法法则和相反数，绝对值的性质进行判断便可．【解答过程】解：①同号两数相乘，符号为正号，不是符号不变，该小题说法错误；②异号两数相乘，积取负号，这符合乘法法则，该小题说法正确；③数a、b互为相反数，它们的积不一定为负，如a、b都为0，它们互为相反数，但它们的积为0，不为负，该小题说法错误；④绝对值等于本身的数是非负数，包括正数和0，不一定是正数，该小题说法错误；故选：A．考点九因数符号判断1.a、b是两个有理数，若ab＜0，且a+b＞0，则下列结论正确的是（）A ．a ＞0，b ＞0B ．a 、b 两数异号，且正数的绝对值大C ．a ＜0，b ＜0D ．a 、b 两数异号，且负数的绝对值大【解题思路】根据有理数乘法积的符号判断因数的符号，再根据有理数和的符号判断绝对值的大小，进而得出答案．【解答过程】解：∵ab ＜0，∴a 、b 异号，又∵a +b ＞0，∴正数的绝对值较大，故选：B ．2.已知a +b ＞0，ab ＜0，且a ＞b ，则a 、b 的符号是（）A ．同为正B ．同为负C ．a 正b 负D ．a 负b 正【解题思路】根据ab ＜0可得a ，b 异号，再由a ＞b 即可判断出答案．【解答过程】解；∵ab ＜0，∴a ，b 异号又a +b ＞0且a ＞b ，∴a 正b 负．故选：C ．3.若a +b ＞0，a ﹣b ＜0，<ba0，则下列结论正确的是（）A ．a ＞b ，b ＞0B ．a ＜0，b ＜0C ．a ＜0，b ＞0且|a |＜|b |D ．a ＞0，b ＜0且|a |＞|b |【解题思路】直接利用有理数的除法运算、加法、减法运算法则以及绝对值的性质分别分析得出答案．【解答过程】解：∵a ﹣b ＜0，∴a ＜b ，∵＜0，∴a ＜0＜b ，∵a +b ＞0，∴|a |＜|b |．故选：C ．4.在下列各题中，结论正确的是（）A ．若a ＞0，b ＜0，则0>ab B ．若a ＞b ，则a ﹣b ＞0C ．若a ＜0，b ＜0，则ab ＜0D ．若a ＞b ，a ＜0，则0<ab 【解题思路】根据有理数的乘法法则和除法法则进行判断．【解答过程】解：A ．两数相除，异号得负，该选项错误，不符合题意；B ．∵a ＞b ，∴a ﹣b ＞0，该选项正确，符合题意；C ．两数相乘，同号得正，该选项错误，不符合题意；D ．∵a ＞b ，a ＜0，∴1＜，∴＞1，该选项错误，不符合题意．故选：B ．考点十有理数的计算1.计算下列各题：（1）)852()25.1(833)5.6(411---++-+（2）125.0)125.0(413(75.0----++-（3）53)75.2(412(21152-+--+---（4）⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---+-+--)611()61(127)65()23(【答案】（1）21-；（2）4；（3）0；（4）125-2.计算下列各题：（1）217()75.2()413(5.0---+-+-（2）)321(742)312(731-++-+（3）)85.1()432()75.0(85.0-++-++-（4）)83.5(32.217.1432.12-+----【答案】（1）1；（2）0；（3）-3；（4）-103.计算：（1）53124(6812-⨯-+-（2）457(36)(9612-⨯-+-（1）【分析】利用乘法分配律进行计算即可得解．【解答】解：53124(6812-⨯-+-，531(24)(24)(24)6812=-⨯-+⨯--⨯-，2092=-+，229=-，13=．（2）【分析】根据乘法分配律，可得答案．【解答】解：原式457 36()36369612 =-⨯--⨯+⨯163021 =-+ 7=．4.用简便方法计算：（1）1799(9)18⨯-（2）539(6)6-⨯-【分析】原式各项变形后，利用乘法分配律计算即可得到结果．【解答】解：（1）原式111 (100)(9)9008991822 =-⨯-=-+=-；（2）原式1(40(6)24012396=-+⨯-=-=．5.计算：（1）11351()()2641212-+-+÷-（2）11135(()1226412-÷-+-+【答案】（1）8；（2）1 8【解析】【分析】（1）除法变乘法，再用乘法分配律即可求解；（2）先算括号内的，然后再进行除法运算即可．【详解】（1）113512641212⎛⎫⎛⎫-+-+÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1135(12)26412⎛⎫=-+-+⨯- ⎪⎝⎭1135(12)(12)(12)(12)26412⎛⎫=-⨯-+⨯--⨯-+⨯- ⎪⎝⎭=6-2+9-5=8；（2）原式=16295181121()()121212121288-+-+⎛⎫⎛⎫-÷=-÷-=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．6.计算下列各题：（1）312(53137)2(312132022-⨯+÷--⨯⨯-（2）)2(432114)2(51224-⨯÷+⨯--÷-（3）32693211()3(32÷-⨯--（4）22022)5.0(3)311()75.0()1(-⨯÷-⨯÷-7.计算：（1）()()5753362964⎛⎫-+-⨯-+- ⎪⎝⎭（2）()()()()224313110.5153232---⨯⨯--+-⨯-÷【答案】(1)-7(2)7【解析】【分析】（1）利用乘法分配律，根据有理数的混合运算法则计算即可．（2）根据有理数的混合运算法则计算即可．(1)原式=753(36)(36)(36)32 964-⨯-+⨯--⨯--28302732 =-+-7=-．(2)原式11224272319⨯⨯+-⨯2⨯=-1412=--+7=．考点十一有理数的运算（含绝对值）1.如果|a|=4，|b|=2，且|a+b|=a+b，则a-b的值是_________.【答案】见试题解答内容【分析】首先根据绝对值的意义求得a，b的值，再由|a+b|=a+b确定出a与b的对应值有两种可能性，然后分别代入a-b，根据有理数的减法法则计算即可．【解答】解：∵|a|=4，|b|=2，∴a=±4，b=±2，∵|a+b|=a+b，∴a+b＞0，∴a、b同正即a=4，b=2，或a=4，b=-2．当a=4，b=2时，a-b=4-2=2；当a=4，b=-2时，a-b=4-（-2）=4+2=6．故a-b的值为：2或6．2.如果|a|＝4，|b|＝7，且a＜b，求a+b的值．【分析】先求出ab、的值，再代入计算即可．【解答】解：∵|a|＝4，|b|＝7，∴a＝±4，b＝±7，又∵a＜b，∴a ＝4，b ＝7或a ＝﹣4，b ＝7，当a ＝4，b ＝7时，a +b ＝4+7＝11，当a ＝﹣4，b ＝7时，a +b ＝﹣4+7＝3，因此a +b 的值为3或11．3.已知|a |＝2，|b |＝3，且|a +b |＝|a |+|b |，则a +b 的值为（）A ．5B ．±5C ．1D ．±1【分析】根据题意，利用绝对值的代数意义确定出a 与b 的值，即可求出原式的值．【解答】解：∵|a |＝2，|b |＝3，且|a +b |＝|a |+|b |，∴a ＝2，b ＝3；a ＝﹣2，b ＝﹣3，则a +b ＝±5，故选：B ．4.已知||5a =，||3b =，若b a b a --=+，求a -b 的值．【答案】-8或-25.已知||4x =，1||2y =，且0xy <，求x y +的值．【考点】有理数的加法；有理数的乘法；绝对值【分析】根据绝对值的性质可求出x 与y 的值，然后代入x y +即可求出答案．【解答】解：||4x = ，1||2y =，4x ∴=±，12y =±，0xy < ，4x ∴=，12y =-或4x =-，12y =，当4x =，12y =-时，原式142=-72=，当4x =-，12y =时，原式142=-+72=-，综上所述，72x y +=±．6.已知||5a =，||3b =，回答下列问题：（1）由||5a =，||3b =，可得a =，b =；（2）若0a b +>，求a b -的值；（3）若0ab <，求||a b +的值．【考点】有理数的减法；有理数的加法；有理数的乘法；绝对值【分析】（1）利用绝对值的意义即可得出结论；（2）利用已知条件求得a ，b 的值，再代入计算即可；（3）利用已知条件求得a ，b 的值，再代入计算即可．【解答】解：（1）||5a = ，||3b =，5a ∴=±，3b =±．故答案为：5±，3±；（2）0a b +> ，5a ∴=，3b =±，当5a =，3b =时，532a b -=-=；当5a =，3b =-时，5(3)538a b -=--=+=；综上，2a b -=或8．（3）0ab < ，5a ∴=，3b =-或5a =-，3b =．当5a =，3b =-时，|||53|2a b +=-=；当5a =-，3b =时，|||53|2a b +=-+=；||2a b ∴+=．考点十二比较大小（含数轴）1.已知a >0，b <0，且|a |<|b |，则下列关系正确的是（）A ．b <﹣a <a <﹣bB ．﹣a <b <a <﹣bC ．﹣a <b <﹣b <aD ．b <a <﹣b <﹣a【答案】A【分析】根据：a ＞0，b ＜0，|a|＜|b|，可得：-a ＜0，-b ＞0，-a ＜b ，据此判断出a 、-a 、b 、-b 的大小关系即可．【解答】解：∵a ＞0，b ＜0，|a|＜|b|，∴-a ＜0，-b ＞0，-a ＜b ，∴b ＜-a ＜a ＜-b ．故选：A ．2.有理数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，把a 、b 、-a 、-b 、0按照从小到大的顺序排列，正确的是（）A ．-a <a <0<-b <bB ．a <-a <0<-b <bC ．-b <a <0<-a <bD ．a <0<-a <b <-b【答案】C【分析】根据正数大于负数和0，0大于负数，两个负数，绝对值大的反而小，即可解答．【解答】解：根据数轴可得：a ＜0＜b ，|a|＜|b|，则-b ＜a ＜0＜-a ＜b ．故选：C ．3.若0＜m ＜1，m 、m 2、m1的大小关系是（）A ．mm m 12<<B ．mm m 12<<C ．21m m m<<D ．m m m<<21【答案】B考点十三比较大小（含绝对值）1.已知a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，x 的绝对值等于2，求223ba cdx x +-+的值．【答案】见试题解答内容【分析】根据a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，x 的绝对值等于2，可以求得a+b ，cd ，x 的值，然后即可求得所求式子的值．【解答】解：∵a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，x 的绝对值等于2，∴a+b=0，cd=1，x=±2，当x=2时，原式=23+1×22-0=8+1×4-0=8+4-0=12；当x=-2时，原式=（-2）3+1×（-2）2-0=-8+1×4-0=-8+4-0=-4，由上可得，原式的值为12或-4．2.若a 与b 互为相反数，c 与d 互为倒数，|m |=2，求代数式3223m cd ba +-+的值．【答案】见试题解答内容【分析】直接利用相反数以及倒数和绝对值的性质分别分析得出答案．【解答】解：∵a 与b 互为相反数，c 与d 互为倒数，|m|=2，∴a+b=0，cd=1，m=±2，当m=2时，∴原式=0-2+2×23=14；当m=-2时，∴原式=0-2+2×（-2）3=--18，综上所述：代数式的值为14或-18．3.若a 、b 互为相反数，b 、c 互为倒数，并且m 是绝对值等于它本身的数．求bc m ba +++222值．【答案】见试题解答内容【分析】利用相反数，倒数，以及绝对值的意义求出a+b ，cd ，m 的值，代入原式计算即可得到结果.【解答】解：由题意得：a+b=0，bc=1，m 为非负数，则原式=1.4.已知a 、b 互为相反数且a ≠0，c 、d 互为倒数，|m |是最小的正整数，求cd b a m -++2020)(20192的值．【答案】1或-3．【分析】先根据相反数的性质、倒数的定义和绝对值的性质得出a+b=0，cd=1，|m|=1，再分别代入计算即可．【解答】解：根据题意知a+b=0，cd=1，|m|=1，当m=1时，原式=2×1+0-1=1；当m=-1时，原式=2×（-1）+0-1=-3；综上，原式的值为1或-3．考点十四定义新运算1.对于有理数a 、b ，定义一种新运算“⊗”如下：a b ab b a 2-=⊗，则=-⊗-43()3(_______．2.定义一种新运算“☆”，规则为：m ☆n =mn +mn -n ，例如：2☆3=23+2×3-3=8+6-3=11，解答下列问题：（1）（-2）☆4；（2）（-1）☆[（-5）☆2]．【答案】（1）4；（2）-27．【分析】（1）根据m ☆n=m n +mn-n ，可以求得所求式子的值；（2）根据m ☆n=m n +mn-n ，可以求得所求式子的值．【解答】解：（1）∵m ☆n=m n +mn-n ，∴（-2）☆4=（-2）4+（-2）×4-4=16+（-8）+（-4）=4；（2）∵m ☆n=m n +mn-n ，∴（-1）☆[（-5）☆2]=（-1）☆[（-5）2+（-5）×2-2]=（-1）☆（25-10-2）=（-1）☆13=（-1）13+（-1）×13-13=（-1）+（-13）+（-13）=-27．3.已知a，b为有理数，如果规定一种新的运算“※”，规定：a※b=2b-3a，例如：1※2=2×2-3×1=4-3=1，计算：（2※3）※5=__________．【答案】10．【分析】根据a※b=2b-3a，可以计算出所求式子的值．【解答】解：∵a※b=2b-3a，∴（2※3）※5=（2×3-3×2）※5=（6-6）※5=0※5=2×5-3×0=10-0=10，故答案为：10．4.规定一种新运算a*b=a-b2，则4*[5*（-2）]=__________．【答案】3．【分析】根据a*b=a-b2，可以求得所求式子的值【解答】解：∵a*b=a-b2，∴4*[5*（-2）]=4*[5-（-2）2]=4*（5-4）=4*1=4-12=4-1=3，故答案为：3．考点十五有理数的实际应用1.某天早上，一辆交通巡逻车从A地出发，在东西向的马路上巡视，中午到达B地，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，行驶纪录如下．（单位：km）第一次第二次第三次第四次第五次第六次第七次+15﹣8+6+12﹣4+5﹣10（1）巡逻车在巡逻过程中，第次离A地最远．（2）B地在A地哪个方向，与A地相距多少千米？（3）若每千米耗油0.2升，每升汽油需7元，问这一天交通巡逻车所需汽油费多少元？【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据有理数的加法运算，分别计算出每次距A地的距离，可得离A地最远距离；（2）根据有理数的加法运算，可得正数或负数，根据向东记为正，向西记为负，可得答案；（3）根据行车就耗油，可得耗油量，再根据总价=单价×数量即可求解．【解答】解：（1）第一次距A地：15千米，第二次距A地：15-8=7千米，第三次距A地：7+6=13千米，第四次距A地：13+12=25千米，第五次距A地：25-4=21千米，第六次距A地：21+5=26千米，第七次距A地：26-10=16千米，26＞25＞21＞16＞15＞13＞7，答：巡逻车在巡逻过程中，第6次离A地最远；（2）15-8+6+12-4+5-10=16（千米），答：B地在A地东方，与A地相距16千米；（3）|+15|+|-8|+|+6|+|+12|+|-4|+|+5|+|-10|=60（千米），60×0.2=12（升），12×7=84（元）．答：这一天交通巡逻车所需汽油费84元．故答案为：6．2.在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：+15，-8，+9，-6，+14，-5，+13，-4．（1）B地位于A地的什么方向？距离A地多少千米？（2）若冲锋舟每千米耗油0.6升，油箱容量为30升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？（3）救灾过程中，冲锋舟离出发点A最远时，距A地多少千米？【答案】见试题解答内容【分析】（1）把题目中所给数值相加，若结果为正数则B地在A地的东方，若结果为负数，则B地在A地的西方；（2）先求出这一天航行的总路程，再计算出一共所需油量，减去油箱容量即可求出途中还需补充的油量；（3）分别计算出各点离出发点的距离，取数值较大的点即可．【解答】解：（1）∵15-8+9-6+14-5+13-4=28，∴B地在A地的东边28千米；（2）这一天走的总路程为：15+|-8|+9+|-6|+14+|-5|+13|+|-4|=74千米，应耗油74×0.6=44.4（升），故还需补充的油量为：44.4-30=14.4（升），答：冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充14.4升油；（3）∵路程记录中各点离出发点的距离分别为：。

北师大版七年级上册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习【巩固练习】 一、选择题 1．（2015•咸宁）如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从轻重的角度看，最接近标准的是（ ）A ．B ．C ．D ． 2． a b -与a 比较大小，必定为（ ）．A ．a b a -<B ．a b a ->C ．a b a -≤D ．这要取决于b 3．下列语句中，正确的个数是（ ）．①一个数与它的相反数的商为-1；②两个有理数之和大于其中任意一个加数；③若两数之和为正数，则这两个数一定都是正数；④若0m n <<，则mn n m <-． A ．0 B ．1 C ．2 D ．34．已知||5m =，||2n =，||m n n m -=-，则m n +的值是（ ）．A ．-7B ．-3C ．-7或-3D ．±7或±3 5．将一刻度尺如图所示放在数轴上（数轴的单位长度是1cm ），刻度尺上的“0cm”、“15cm”分别对应数轴上的 3.6x -和，则（ ）．A ．910x <<B ．1011x <<C ．1112x <<D ．1213x << 6． 如图：数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A 、B 、C 、 D 对应的数分别是整数a,b,c,d ，且b-2a=9，那么数轴的原点对应点是 （ ）．A ．A 点B ．B 点C ．C 点D ．D 点7．有理数a,b,c 的大小关系如图：则下列式子中一定成立的是（ ）．A ．0a b c ++>B ．a b c +<C ．a c a c -=+D ．b c c a ->- 8．记12n n S a a a =+++…，令12nn S S S T n+++=…，称n T 为1a ，2a ，…，n a 这列数的“理想数”．已知1a ，2a ，…，500a 的“理想数”为2004，那么8，1a ，2a ，…，500a 的“理想数”为( )．A ．2004B ．2006C ．2008D ．2010 二、填空题9．已知a 是有理数，有下列判断：①a 是正数；②-a 是负数；③a 与-a 必有一个是负数；④a 与-a 互为相反数，其中正确的有________个．10.（2015春•万州区期末）绝对值小于4，而不小于2的所有整数有 ． 11．一种零件的尺寸在图纸上是0.050.027+-（单位：mm ），表示这种零件加工要求最大不超过________，最小不小于________． 12．（2016•巴中）|﹣0.3|的相反数等于 ．13．如图，有理数,a b 对应数轴上两点A ，B ，判断下列各式的符号：a b +________0；a b -________0；()()________a b a b +-0； 2(1)ab ab +________0．14．已知,,a b c 满足()()()0,0a b b c c a abc +++=<，则代数式a b ca b c++的值是 15．某地探空气球的气象观测资料表明，高度每增加1千米，气温大约降低6℃．若该地地面温度为21℃，高空某处温度为-39℃，则此处的高度是 千米．16．观察下列算式：23451=+⨯ ，24462=+⨯，25473=+⨯，24846⨯+=，请你在观察规律之后并用你得到的规律填空：250___________=+⨯． 三、 解答题 17．（2016春•新泰市校级月考）计算： （1）24+（﹣22）﹣（+10）+（﹣13） （2）（﹣1.5）+4+2.75+（﹣5）（3）（﹣8）+（﹣7.5）+（﹣21）+（+3） （4）（﹣24）×（﹣++）18.（2015•燕山区一模）为了节能减排，近期纯电动出租车正式上路运行．某地纯电动出租车的运价为3公里以内10元；超出3公里后每公里2元；单程超过15公里，超过部分每公里3元．小周要到离家10公里的博物馆参观，若他往返都乘坐纯电动出租车，共需付车费多少元？19．已知三个互不相等的有理数，即可以表示为1，a+b ，a 的形式，又可表示为0，b a，b 的形式，且x 的绝对值为2，求200820092()()()a b ab a b ab x ++-+-+的值．20．一粒米微不足道，平时总会在饭桌上毫不经意地掉下几粒，甚至有些挑食的同学会把整碗米饭倒掉．针对这种浪费粮食现象，老师组织同学们进行了实际测算，称得500粒大米约重10克．现在请你来计算 （1）一粒大米重约多少克？（2）按我国现有人口13亿，每年365天，每人每天三餐计算，若每人每餐节约一粒大米，一年大约能节约大米多少千克？（用科学记数法表示）（3）假若我们把一年节约的大米卖成钱，按2元∕千克计算，可卖得人民币多少元？（用科学记数法表示）（4）对于因贫困而失学的儿童，学费按每人每年500元计算，卖得的钱可供多少名失学儿童上一年学？（5）经过以上计算，你有何感想和建议？ 【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】C.【解析】∵|﹣0.6|＜|+0.7|＜|+2.5|＜|﹣3.5|，∴﹣0.6最接近标准，故选：C ． 2．【答案】 D 【解析】当b 为0时，a b a -=；当b 为正数时，a b a -<；当b 为负数时，a b a -> 3．【答案】 B【解析】只有④正确，其他均错． 4．【答案】C【解析】n m ≥，2,5n m =±=-，所以7m n +=-或3- 5．【答案】C【解析】( 3.6)15,11.4x x --==6．【答案】C【解析】由图可知：4b a -=，又29b a -=，所以5a =- 7．【答案】C【解析】由图可知：0a b c <<<，且c a c a -=-表示数轴上数a 对应点与数c 对应点之间的距离，此距离恰好等于数a 对应点到原点的距离与数c 对应点到远点的距离之和，所以选项C 正确．8．【答案】C 【解析】∵ 1a ，2a ，…，500a 的“理想数”为2004，∴125002004500S S S +++=，∴ 125002004500S S S +++=⨯．8，1a ，2a ，…，500a 中，18S '=；218S S '=+；328S S '=+；…，5005008S S '=+ ∴ 8，1a ，2a ，…，500a 的理想数为：12350012500501888888501501501S S S S S S S T +++++++++⨯++++==850120045002008501⨯+⨯== 二、填空题9．【答案】1【解析】不论a 是正数、0、负数，a 与-a 都互为相反数，∴④正确. 10.【答案】±3，±2．【解析】结合数轴和绝对值的意义，得绝对值小于4而不小于2的所有整数±3，±2. 11．【答案】 7.05mm, 6.98mm【解析】7+0.05=7.05mm, 7-0.02=6.98mm. 12．【答案】-0.3【解析】解：∵|﹣0.3|=0.3，0.3的相反数是﹣0.3，∴|﹣0.3|的相反数等于﹣0.3． 故答案为：﹣0.3．13．【答案】>， >， >， < 【解析】由图可得：1,10a b >-<<,特殊值法或直接推理可得：0,0,ab a b <+>20,10a b ab ->+>．14．【答案】1【解析】()()()0,a b b c c a +++=又0abc <可得：三数必一负两正，不防设：0,0,0a b a c >=-<>，代入原式计算即可．15．【答案】 10【解析】21-（-39）÷6×1=10（千米）. 16．【答案】 24852450⨯+=【解析】观察可得规律为：2(4)4(2)n n n ⨯++=+. 三、解答题 17．【解析】 解：（1）24+（﹣22）﹣（+10）+（﹣13）=24﹣22﹣10﹣13 =2﹣23 =﹣21； （2）（﹣1.5）+4+2.75+（﹣5）=﹣1.5﹣5.5+4.25+2.75=﹣7+7 =0；（3）（﹣8）+（﹣7.5）+（﹣21）+（+3）=﹣8﹣21﹣7.5+3.5 =﹣30﹣4=﹣34；（4）（﹣24）×（﹣++）=﹣24×（﹣）﹣24×﹣24×=16﹣18﹣2=﹣4． 18.【解析】解：由3＜10＜15，得到车费为2[10+2（10﹣3）]=48（元），则共付车费48元． 19．【解析】解：由1，a+b ，a 与0，ba，b 相同， 由ba得：分母有0a ≠，所以0a b += 又由三数互不相等，所以1b =，ba a=化简得：1a =-，1b =，0a b +=，1ab =-∴ 200820092()()()01142a b ab a b ab x ++-+-+=--+=．20．【解析】 解：（1）10÷500≈0.02（克）答：一粒大米重约0.02克．（2）0.02×1×3×365×1300000000÷1000=2.847×107（千克）答：一年大约能节约大米2.847×107千克．（3）2×2.847×107=5.694×107（元）答：可卖得人民币5.694×107元．（4）5.694×107÷500=1.1388×105答：可供11388名失学儿童上一年学．（5）一粒米虽然微不足道，但是我们一年节约下来的钱数大的惊人．所以提倡节约，杜绝浪费，我们要行动起来．。

《有理数及其运算》全章复习与巩固【学习目标】1．理解有理数及其运算的意义，提高运算能力．2．能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小；借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数与绝对值．3．体会转化、归纳等思想；掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及混合运算并能解决简单的实际问题．4．会用科学记数法表示数．【知识网络】【要点梳理】要点一、有理数的相关概念1．有理数的分类：（1）按定义分类：（2）按性质分类：要点诠释：（1）用正数、负数表示相反意义的量；（2）有理数“0”的作用：2．数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线．要点诠释：（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如．（2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大．3．相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0．要点诠释：（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的．（2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可．（3）多重符号的化简：数字前面“”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负．4．绝对值：（1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 数a 的绝对值记作．（2)几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离．π--a要点二、有理数的运算1 ．法则：（1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数．（2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ．（3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0．（4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a ÷b=a ·(b ≠0) ． （5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0．(6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行； ③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．要点诠释：“奇负偶正”口诀的应用：（1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：－[－（－3）]=－3，－[+（－3）]=3．（2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36．（3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如： ， ． 2．运算律：（1）交换律: ① 加法交换律:a+b=b+a ； ②乘法交换律:ab=ba ；（2）结合律: ①加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c)； ②乘法结合律：（ab ）c=a(bc)（3）分配律：a(b+c)=ab+ac要点三、有理数的大小比较比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，1b2(3)9-=3(3)27-=-正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒数比较法．要点四、科学记数法把一个大于10的数表示成的形式（其中1≤，是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200 000=．【典型例题】 类型一、有理数相关概念1．若一个有理数的：(1)相反数；（2）倒数；(3)绝对值；(4)平方；(5)立方，等于它本身．则这个数分别为(1)________；(2)________；(3)________；(4)________；（5）________．【答案】（1）0； (2)1和-1；(3)正数和0；(4)1和0；(5)-1、0和1【解析】根据定义，把符合条件的有理数写全．【总结升华】要全面正确地理解倒数，绝对值，相反数等概念．举一反三：【变式】(1)的倒数是 ；的相反数是 ；的绝对值是 ． -（-8）的相反数是 ；的相反数的倒数是_____. (2)某种食用油的价格随着市场经济的变化涨落，规定上涨记为正，则-5．8元的意义是 _ ；如果这种油的原价是76元，那么现在的卖价是 ．(3) 上海浦东磁悬浮铁路全长30km ，单程运行时间约为8min,那么磁悬浮列车的平均速度用科学记数法表示约为 m ／min ．(4) 若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，则____ ． 【答案】（1）； ； ；-8；2 （2）降价5．8元，70．2 元；（3）；（4）3； 10na ⨯10a <n 5210⨯321-321-321-21-=++)(323b a cd 35-21321333.7510⨯2．（2018•杭州模拟）已知|x|=|﹣3|，则x 的值为 ． 【思路点拨】根据题意可知|x|=3，由绝对值的性质，即可推出x=±3． 【答案】±3．【解析】解：∵|﹣3|=3，∴|x|=3，∵|±3|=3，∴x=±3．【总结升华】本题主要考查绝对值的性质，关键在于求出3和﹣3的绝对值都为3． 3．在下列两数之间填上适当的不等号：________． 【思路点拨】根据“a-b ＞0，a-b ＝0，a-b ＜0分别得到a ＞b ，a ＝b ，a ＜b ”来比较两数的大小．【答案】 ＜【解析】解法一：作差法由于，所以 解法二：倒数比较法：因为所以 【总结升华】比较大小常用的有五种方法，要根据数的特征选择使用．200520062006200720052006200520072006200610200620072006200720062007⨯-⨯-==-<⨯⨯2005200620062007<2006112007112005200520062006=+>+=2005200620062007<举一反三：【变式】（2018•宁德）有理数a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，下列各式正确的是（ ）A ．a+b ＜0B ． a ﹣b ＜0C ． a•b＞0D ． ＞0【答案】B ． 类型二、有理数的运算4．（2019•厦门）计算：．【思路点拨】原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可得到结果．【答案与解析】解：原式=10+8×﹣2×5=10+2﹣10=2．【总结升华】有理数的混合运算首先弄清运算顺序，先乘方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里边的，同级运算从左到右依次进行计算，然后利用各种运算法则计算，有时可以利用运算律来简化运算．举一反三：【变式】计算：（1） （2）【答案】解：（1） （2）11(2)(2)22-⨯÷⨯-()20064261031-+--⨯-111(2)(2)(1)(2)(1)2(2)4222-⨯÷⨯-=-÷⨯-=-⨯⨯-=()20064261031-+--⨯-=-16+4-3×1=-15类型三、数学思想在本章中的应用5．（1）数形结合思想：有理数a 在数轴上对应的点如图所示，则a ，-a ，1的大小关系．A ．-a ＜a ＜1B ．1＜-a ＜aC ．1＜-a ＜aD ．a ＜1＜-a（2）分类讨论思想：已知|x|＝5，|y|＝3．求x-y 的值．（3）转化思想：计算： 【答案与解析】解：（1）将-a 在数轴上标出，如图所示，得到a ＜1＜-a ，所以大小关系为：a ＜1＜-a ． 所以正确选项为：D ．（2）因为| x|＝5，所以x 为-5或5因为|y|＝3，所以y 为3或-3．当x ＝5，y ＝3时，x-y ＝5-3＝2当x ＝5，y ＝-3时，x-y ＝5-(-3)＝8当x ＝-5，y ＝3时，x-y ＝-5-3＝-8当x ＝-5，y ＝-3时，x-y ＝-5-(-3)＝-23135()147⎛⎫-÷- ⎪⎝⎭故（x-y ）的值为±2或±8（3）原式= 【总结升华】在解题中合理利用数学思想，是解决问题的有效手段．数形结合——“以形助数”或“以数解形”使问题简单化，具体化；分类讨论中注意分类的两条原则：分类标准要统一，而且分类要做到不重不漏；转化思想就是把“新知识”转化为“旧知识”，将“未知”转化为“已知”．举一反三：【变式】若a 是有理数，|a|-a 能不能是负数?为什么?【答案】解： 当a ＞0时，|a|-a ＝a-a ＝0；当a ＝0时，|a|-a ＝0-0＝0；当a ＜0时，|a|-a ＝-a-a ＝-2a ＞0．所以，对于任何有理数a ，|a|-a 都不会是负数．类型四、规律探索6．将1，，，，，，…，按一定规律排列如下：请你写出第20行从左至右第10个数是________．【思路点拨】通过观察题目所给的图形、表格或一段语言叙述，然后归纳总结，寻找规律．【答案】 33135(7)357724614142⎛⎫--⨯-=⨯+⨯= ⎪⎝⎭12-1314-1516-1200-【解析】 认真观察可知，第1行有1个数，第2行有2个数，第3行有3个数，……，所以第20行有20个数，从第1行到第20行共有1+2+3+…+20＝210个数，所以第20行最后一个数的绝对值应是；又由表中可知，凡是分母是偶数的分数是负数，故第20行最后一个数是，以此类推向前10个，则得到第20行第10个数是． 【总结升华】特例助思，探究规律，这类题主要是通过观察分析，从特殊到一般来总结发现规律，并将规律表示出来．【巩固练习】一、选择题1．（2019•益阳）的相反数是（ ）A ．2019B ．﹣2019C ．D ．2.（2018•菏泽）如图，四个有理数在数轴上的对应点M ，P ，N ，Q ，若点M ，N 表示的有理数互为相反数，则图中表示绝对值最小的数的点是（ ）A ．点MB ． 点NC ． 点PD ． 点Q3． 在-(-2)，-|-7|，-|+1|，|-)511(-|32+，中，负数的个数是 ( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个４．据有关资料显示，2011年遵义市全年财政总收入202亿元，将202亿用科学记数法可表示（ ）A ．2.02×210人B ．202×810人C ．2.02×910人D ．2.02×1010人5．若-1<a<0,则a ，2a ,a1从小到大排列正确的是（ ） A ．a 2<a<a 1 B ．a <a 1< a 2 C ．a 1<a< a 2 D ．a < a 2 <a1 12101210-1200-6．在数轴上距2.5有3.5个单位长度的点所表示的数是( )A ．6B ．-6C ．-1D ．-1或67．a,b 两数在数轴上的位置如图，则下列正确的是（ ）A ． a+b>0B ． ab>0C ．ba >0 D ．a-b>0 8．已知有理数a ，b 在数轴上对应的两点分别是A ，B ．请你将具体数值代入a ，b ，充分实验验证：对于任意有理数a ，b ，计算A ， B 两点之间的距离正确的公式一定是（ ）A ．a b -B ．||||a b +C ．||||a b -D ．||a b -二、 填空题9.（2018•湖州）计算：23×（）2= ．10.水池中的水位在某天八个不同时刻测得记录为：(规定向上为正，向下为负，单位：厘米)+3，0，-1，+5，-4，+2，-3，-2，那么这里0的含义是___________.11．德国科学家贝塞尔推算出天鹅座第61颗暗星距离地球102 000 000 000 000千米，用科学记数法表示出暗星到地球的距离为___ _____千米．12．7=x ，则______=x ； 7=-x ，则______=x . 13．已知实数a , 在数轴上如下图所示，则|1|-a = .14．若|a-2|+|b+3|=0，则3a+2b= ．15．()221---＝ ．16．（2019春•江苏校级期末）观察下列各式：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187…你从中发现底数为3的幂的个位数有什么规律吗？根据你发现的规律回答：32019的个位数字是 ．三、 解答题17．计算：（1）222172(3)(6)3⎛⎫-+⨯-+-÷- ⎪⎝⎭ （2）4211(10.5)[2(3)]3---⨯⨯--（3）21-49.5+10.2-2-3.5+19 （4）323233351914321251943252⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯--⨯⨯-+⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭18．已知a 、b 互为倒数，c 、d 互为相反数，且x 的绝对值为3，求2x 2-(ab-c-d)+|ab+3|的值．19.（2018•顺义区一模）居民用电计费实行“一户一表”政策，以年为周期执行阶梯电价，即：一户居民全年不超过2880度的电量，执行第一档电价标准为0.48元/度；全年用电量在2880度到4800度之间（含4800），超过2880度的部分，执行第二档电价标准为0.53元/度；全年用电量超过4800度，超过4800度的部分，执行第三档电价标准为0.78元/度．小敏家2018年用电量为3000度，则2018年小敏家电费为多少元？20．先观察下列各式： 11111434⎛⎫=- ⎪⨯⎝⎭；111147347⎛⎫=- ⎪⨯⎝⎭；11117103710⎛⎫=- ⎪⨯⎝⎭；...；1111(3)33n n n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，根据以上观察，计算：1111447710+++⨯⨯⨯ (120052008)+⨯的值． 【答案与解析】一、选择题1．【答案】C【解析】解：∵﹣与只有符号不同，∴﹣的相反数是．故选：C ．【解析】∵点M ，N 表示的有理数互为相反数. ∴原点的位置大约在O 点，∴绝对值最小的数的点是P 点，故选C ．3．【答案】 C【解析】负数有三个，分别是：-|-7|，-|+1|，)511(-+4．【答案】D5．【答案】C 【解析】由-1<a<0可知2a 为正数，而其它两数均为负数，且| a |＜a 1，所以a ＞a1，所以a1<a< a 2． 6．【答案】D【解析】2.5+3.5=6, 2.5-3.5=-17．【答案】D【解析】由图可知，a 、b 异号，且b 的绝对值较大．8.【答案】D【解析】按正负对a ，b 分类讨论．二、填空题9.【答案】2.【解析】23×（）2=8×=2.10．【答案】水位无变化11．【答案】1.02×101412．【答案】7,7±±【解析】由图可知：a-1＜0，所以│a-1│=-（a-1）=1- a14．【答案】0【解析】∵|a-2|+|b+3|=0，∴a-2=0，b+3=0，即a=2，b=-3．∴3a+2b=6-6=0；15．【答案】-5【解析】()221415---=--=-16．【答案】1【解析】解：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187，……，∵2019÷4=504，∴32019的个位数字与第4个数的个数数相同，是1．故答案为：1．三、解答题17．【解析】解： (1) 原式1 4929(6)9 =-+⨯+-÷4918(6)949185485 =-++-⨯=-+-=-(2) 原式1111115 11[2(9)]11112 232366⎛⎫=---⨯⨯--=--⨯⨯=--=- ⎪⎝⎭（3）原式＝[(21+19)+10.2]+[(-49.5-3.5)-2]＝50.2-55＝-4.8(4) 原式＝322 33519422519435⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯--⨯+⎢⎥⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦2794319162700 8251943258⎛⎫=-⨯-⨯+=-⨯=⎪⎝⎭18．【解析】解：将ab＝1，c+d＝0，|x|＝3代入所给式子中得： 2×32-1+|1+3|＝21．所以2x2-(ab-c-d)+|ab+3|=2119.【解析】解：根据题意得：2880×0.48+（3000﹣2880）×0.53=1446（元），则2018年小敏家电费为1446元．20．【解析】解：原式11111111111 1343473710320052008⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭…111111111344771020052008⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+-⎪⎝⎭1113200812007320086692008⎛⎫=-⎪⎝⎭=⨯=。

有理数总复习一、 知识梳理1、有理数的两种分类；2、数轴：（1）规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴.（2）任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示.3、相反数：{{{有理数整数 分数正整数 负整数 正分数 0 负分数{{{有理数正有理数 负有理数正分数 0 正整数 负整数 负分数（1）只有符号不同的两个数互为相反数.（2）0的相反数是0.（3）a的相反数是－a.（4）如果a与b互为相反数，那么a+b=0.4、绝对值：（1）从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点离开原点的距离.（2）数 a的绝对值记为 | a |.（3）正数的绝对值是它本身；0的绝对值是0；负数的绝对值是它的相反数.5、有理数的大小比较：（1）在数轴上，右边的数总是大于左边的数. (2)正数都大于零，负数都小于零，正数大于一切负数；（3）两个正数，绝对值大的大；（4）两个负数，绝对值大的反而小．6、有理数的加法：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加. 异号两数相加，取绝对值大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 一个数同0相加，仍得这个数。

7、有理数的乘法：（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

（2）任何数与0相乘，积仍为0.（3）当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正；有因数为零时，积就为零.（4）乘积为1的两个有理数互为倒数.8、有理数的除法：（1）两数相除，同号得正，异号得负，绝对值相除.0除以任何数等于0. 0不能做除数.（2）除以一个数等于乘以这个数的倒数.9、有理数的乘方：（1）求几个相同因数的积的运算，叫做乘方.（2）正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数.10、有理数的混合运算：（1）有括号，先算括号里面的；（2）先算乘方，再算乘除，最后算加减；（3）对只含乘除，或只含加减的运算，应从左往右运算。

二、 典型习题1、给出下列各数：4154,05.175.36211---，，，，， （1）在这些数中，整数有 个，负分数有 个，绝对值最小的数是 ．（2）3.75的相反数是 ，绝对值是 ，倒数是 ．（3）这些数用数轴上的点表示后，与原点距离最远的数是_____．（4）这些数从小到大，用“＜”号连接起来： ．2、（1）写出在数轴上和原点距离等于4.3个单位的点所表示的数 ；（2）写出在数轴上和表示-5的点距离等于4个单位的点所表示的数 ；（3）若将第2题中所得到的左边的点向右移动1.5个单位，右边的点向左移动2.5个单位，则各表示什么数？3、已知|x |=3，|y |=2，且x <y ，则x +y =____.5、下列语句正确的有( ).①两数差一定小于被减数②零减去一个数，仍得这个数.③两个相反数相减得0. ④两个数和是正数，那么这两个数一定是正数.A．0个 B.1个 C.2个D.3个6. 下列各组数中，数值相等的是（）.A．32-和23- B．32-）（和32- C．23-和2)3(-D．532和2 5 3）（7、如图，数轴上两点A、B分别表示有理数a、b，则下列四个数中最大的一个数是（）A、aB、bC、a1D、b110、计算（4）（5）（6） ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-878743（7） []⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯---⨯--)315.01()1()3(22007211、小明父亲上星期买进某公司股票1000股，每股27元，下表为本周每日该股票的涨跌情况（单位：元）注：①正数表示股市比前一天上升，负数表示比前一天下降。

第二章 有理数及其运算习题一、填空1、52-的绝对值是 ，52-的相反数是 ，52-的倒数是 ．2、某水库的水位下降1米，记作 －1米，那么 ＋1.2米表示 ．3、数轴上表示有理数－3.5与4.5两点的距离是 ．4、已知|a －3|＋24）（+b =0，则2003）（b a +＝ ．5、已知p 是数轴上的一点4-，把p 点向左移动3个单位后再向右移1个单位长度，那么p 点表示的数是______________。

6、最大的负整数与最小的正整数的和是_________ 。

7、()1-2003+()20041-= 。

8、若x 、y 是两个负数，且x ＜y ，那么|x | |y | 9、若|a |＋a ＝0，则a 的取值范围是 10、若|a |＋|b |＝0，则a ＝ ，b ＝ 二、选择题1、如果一个数的平方与这个数的差等于0，那么这个数只能是（ ）A 0B －1C 1D 0或12、绝对值大于或等于1，而小于4的所有的正整数的和是（ ）A 8B 7C 6D 5 3、计算：(－2)100+(－2)101的是（ ）A 2100B －1C －2D －2100 4、两个负数的和一定是（ ）A 负B 非正数C 非负数D 正数5、已知数轴上表示－2和－101的两个点分别为A ，B ，那么A ，B 两点间的距离等于（ ） A.99 B.100 C.102 D.1036、31-的相反数是（ ） A －3 B 3 C 31 D 31-7、若x ＞0，y ＜0，且|x |＜|y |，则x ＋y 一定是（ ）A 负数B 正数C 0D 无法确定符号 8、一个数的绝对值是3，则这个数可以是（ ）A 3B 3-C 3或3-D 319、()34--等于（ ）A 12-B 12C 64-D 64 10、,162=a 则a 是（ ）A 4或4-B 4-C 4D 8或8- 三、计算题1、()26++()14-+()16-+()8+2、()3.5-+()2.3-()5.2--()8.4+-3、()8-)02.0()25(-⨯-⨯4、 ⎪⎭⎫⎝⎛-+-127659521()36-⨯5、 ()1-⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷3114310 6、8+()23-()2-⨯7、81)4(2033--÷- 8、100()()222---÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷32四、m =2，n =3，求m+n 的值五、已知a 、b 互为相反数，c 、d 互为负倒数，x 是最小的正整数。