学高中数学常用逻辑用语充分条件与必要条件教学用书教案新人教A版选修

1.2 充分条件与必要条件[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P9～P11的内容，回答下列问题．(1)判断教材P9上方的两个命题的真假，并思考：①当x>a2＋b2成立时，一定有x>2ab成立吗？提示：一定有x>2ab成立．②当ab＝0成立时，一定有a＝0成立吗？提示：不一定，也可能b＝0．(2)阅读教材P11“思考”的内容，并思考：①若p成立，一定有q成立吗？提示：一定有q成立．②若q成立，一定有p成立吗？提示：一定有p成立．2．归纳总结，核心必记(1)充分条件与必要条件(2)一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q．此时，我们说p是q的充分必要条件，简称充要条件．显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．[问题思考](1)x>3是x>5的充分条件吗？提示：不是．因为x>3x>5，但x>5⇒x>3，因此x>3是x>5的必要条件．(2)如果p是q的充分条件，则p是唯一的吗？提示：不唯一，如x>3，x>5，x>10等都是x>0的充分条件．(3)若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充要条件，则A 与B 的关系怎样？ 提示：A ＝B ．[课前反思](1)充分条件的定义是： ；(2)必要条件的定义是： ；(3)充要条件的定义是： ．[思考] 充分条件、必要条件、充要条件与命题“若p ，则q ”、“若q ，则p ”的真假性有什么关系？名师指津：当命题“若p ，则q ”为真命题时，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；当命题“若q ，则p ”为真命题时，q 是p 的充分条件，p 是q 的必要条件；当上述两个命题都是真命题时，p 是q 的充要条件．讲一讲1．判断下列各题中p 是q 的什么条件． (1)在△ABC 中，p ：A >B ，q ：BC >AC; (2)p ：x >1，q ：x 2>1；(3)p ：(a －2)(a －3)＝0，q ：a ＝3； (4)p ：a <b ，q ：ab<1.[尝试解答] (1)由三角形中大角对大边可知，若A >B ，则BC >AC ；反之，若BC >AC ，则A >B .因此，p 是q 的充要条件．(2)由x >1可以推出x 2>1；由x 2>1，得x <－1，或x >1，不一定有x >1.因此，p 是q 的充分不必要条件．(3)由(a －2)(a －3)＝0可以推出a ＝2或a ＝3，不一定有a ＝3；由a ＝3可以得出(a －2)(a －3)＝0.因此，p 是q 的必要不充分条件．(4)由于a <b ，当b <0时，a b >1; 当b >0时，a b <1，故若a <b ，不一定有a b<1；当a >0，b >0，a b <1时，可以推出a <b ；当a <0，b <0，ab<1时，可以推出a >b .因此p 是q 的既不充分也不必要条件．充分、必要条件的判断方法判断p 是q 的什么条件，其实质是判断“若p ，则q ”及其逆命题“若q ，则p ”是真是假，原命题为真而逆命题为假，p 是q 的充分不必要条件；原命题为假而逆命题为真，则p 是q 的必要不充分条件；原命题为真，逆命题为真，则p 是q 的充要条件；原命题为假，逆命题为假，则p 是q 的既不充分也不必要条件，同时要注意反证法的运用．练一练1．指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件．(1)p ：四边形的对角线相等，q ：四边形是平行四边形； (2)p ：(x －1)2＋(y －2)2＝0，q ：(x －1)(y －2)＝0. 解：(1)∵四边形的对角线相等四边形是平行四边形，四边形是平行四边形四边形的对角线相等，∴p 是q 的既不充分也不必要条件．(2)∵(x －1)2＋(y －2)2＝0⇒x ＝1且y ＝2⇒(x －1)·(y －2)＝0，而(x －1)(y －2)＝0(x －1)2＋(y －2)2＝0，∴p 是q 的充分不必要条件．[思考] 如何证明“p 是q 的充要条件”？名师指津：证明“p 是q 的充要条件”即证明命题“若p ，则q ”和“若q ，则p ”都是真命题．讲一讲2．证明：a ＋2b ＝0是直线ax ＋2y ＋3＝0和直线x ＋by ＋2＝0垂直的充要条件． [尝试解答] (1)(充分性)当b ＝0时，如果a ＋2b ＝0，那么a ＝0，此时直线ax ＋2y ＋3＝0平行于x 轴，直线x ＋by ＋2＝0平行于y 轴，它们互相垂直．当b ≠0时，直线ax ＋2y ＋3＝0的斜率k 1＝－a 2，直线x ＋by ＋2＝0的斜率k 2＝－1b，若a ＋2b ＝0，则k 1·k 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1b ＝－1，两直线垂直．(2)(必要性)如果两条直线互相垂直且斜率都存在，则k 1·k 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1b ＝－1，所以a ＋2b ＝0.若两直线中直线的斜率不存在，且互相垂直，则b ＝0，且a ＝0，所以a ＋2b ＝0.综上，“a ＋2b ＝0”是“直线ax ＋2y ＋3＝0和直线x ＋by ＋2＝0互相垂直”的充要条件．一般地，证明“p 成立的充要条件为q ”时，在证充分性时应以q 为“已知条件”，p 是该步中要证明的“结论”，即q ⇒p ；证明必要性时则是以p 为“已知条件”，q 为该步中要证明的“结论”，即p ⇒q .练一练2．求证：关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0. 证明：(充分性)：因为a ＋b ＋c ＝0，所以c ＝－a －b ，代入方程ax 2＋bx ＋c ＝0中得ax 2＋bx －a －b ＝0， 即(x －1)(ax ＋a ＋b )＝0.所以方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1，(必要性)：因为方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1， 所以x ＝1满足方程ax 2＋bx ＋c ＝0. 所以有a ×12＋b ×1＋c ＝0，即a ＋b ＋c ＝0.故关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0.已知p ：A ＝{x |p (x )成立}，q ：B ＝{x |q (x )成立}． [思考1] 若p 是q 的充分条件，则A 与B 有什么关系？ 名师指津：A ⊆B ．[思考2] 若p 是q 的充分不必要条件，则A 与B 有什么关系？ 名师指津：AB ．[思考3] 若p 是q 的充要条件，则A 与B 有什么关系？ 名师指津：A ＝B ．[思考4] 若p 是q 的既不充分也不必要条件，则A 与B 有什么关系？ 名师指津：B A ，且A B ．讲一讲3．已知p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)，若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．[尝试解答] p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)． 因为p 是q 的必要不充分条件， 所以q 是p 的充分不必要条件， 即{x |1－m ≤x ≤1＋m }{x |－2≤x ≤10}，故有⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≥－2，1＋m <10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m >－2，1＋m ≤10，解得m ≤3.又m >0，所以实数m 的取值范围为{m |0<m ≤3}．根据充分条件、必要条件、充要条件求参数的取值范围时，可以先把p ，q 等价转化，利用充分条件、必要条件、充要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．练一练3．若本讲中“p 是q 的必要不充分条件”改为“p 是q 的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m 的取值范围．解：p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)． 因为p 是q 的充分不必要条件，设p 代表的集合为A ，q 代表的集合为B ，所以AB .所以⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m <－2，1＋m ≥10. 解不等式组得m >9或m ≥9，所以m ≥9， 即实数m 的取值范围是{m |m ≥9}．4．本讲中p 、q 不变，是否存在实数m 使p 是q 的充要条件？ 解：因为p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．若p 是q 的充要条件，则⎩⎪⎨⎪⎧－2＝1－m ，10＝1＋m ，方程组无解．故不存在实数m ，使得p 是q 的充要条件．—————————————[课堂归纳·感悟提升]————————————————1．本节课的重点是充分条件、必要条件、充要条件的判断，难点是充要条件的证明以及利用充分条件、必要条件求解参数的取值范围．2．本节课的易错点是分不清“充分条件”与“必要条件”造成解题失误，见讲1和讲3.3．本节课要重点掌握的规律方法(1)判断充分条件与必要条件的方法，见讲1. (2)从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件其中p4．根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解，见讲3.课时达标训练（三）[即时达标对点练]题组1 充分、必要条件的判断1．“数列{a n}为等比数列”是“a n＝3n(n∈N*)”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B 当a n＝3n时，{a n}一定为等比数列，但当{a n}为等比数列时，不一定有a n ＝3n，故应为必要不充分条件．2．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A 由a＋b＝0可知a，b是相反向量，它们一定平行；但当a∥b时，不一定有a＋b＝0，故应为充分不必要条件．3．“实数a＝0”是“直线x－2ay＝1和2x－2ay＝1平行”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 当a ＝0时，两直线方程分别为x ＝1和2x ＝1，显然两直线平行；反之，若两直线平行，必有1×(－2a )＝(－2a )×2，解得a ＝0，故应为充要条件．4．“sin A ＝12”是“A ＝π6”的__________条件．解析：由sin A ＝12不一定能推得A ＝π6，例如A ＝5π6等；但由A ＝π6一定可推得sin A＝12，所以“sin A ＝12”是“A ＝π6”的必要不充分条件． 答案：必要不充分 题组2 充要条件的证明5．函数y ＝(2－a )x(a <2且a ≠1)是增函数的充要条件是 ( ) A ．1< a <2 B.32< a <2C ．a <1D ．a <0解析：选C 由指数函数性质得，当y ＝(2－a )x(a <2且a ≠1)是增函数时，2－a >1，解得a <1.故选C.6．求证：一次函数f (x )＝kx ＋b (k ≠0)是奇函数的充要条件是b ＝0. 证明：①充分性：如果b ＝0，那么f (x )＝kx ， 因为f (－x )＝k (－x )＝－kx ， 即f (－x )＝－f (x )， 所以f (x )为奇函数．②必要性：因为f (x )＝kx ＋b (k ≠0)是奇函数， 所以f (－x )＝－f (x )对任意x 均成立， 即k (－x )＋b ＝－kx ＋b ， 所以b ＝0.综上，一次函数f (x )＝kx ＋b (k ≠0)是奇函数的充要条件是b ＝0. 题组3 利用充分、必要条件求参数的范围7．一元二次方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是( )A ．a <0B ．a >0C ．a <－1D ．a <1解析：选C ∵一元二次方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ≠0)有一正根和一负根．由于{a|a<－1}{a|a<0}，故选C .8．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋(m ＋1)y ＝2－m 与直线mx ＋2y ＝－8互相垂直的充要条件是m ＝________．解析：x ＋(m ＋1)y ＝2－m 与mx ＋2y ＝－8互相垂直⇔1·m ＋(m ＋1)·2＝0⇔m ＝－23.答案：－239．已知M ＝{x |(x －a )2<1}，N ＝{x | x 2－5 x －24<0}，若N 是M 的必要条件，求a 的取值范围．解：由(x －a )2<1，得a －1<x <a ＋1， 由x 2－5 x －24<0，得－3<x <8. ∵N 是M 的必要条件， ∴M ⊆N .故a 的取值范围为[－2，7]．[能力提升综合练]1．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么( )A ．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B ．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C ．丙是甲的充要条件D ．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件 解析：选A 因为甲是乙的必要条件，所以乙⇒甲．又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙⇒乙，但乙丙， 如图．综上，有丙⇒甲，但甲丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．2．设0<x <π2，则“x sin 2x <1”是“x sin x <1 ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 因为0< x <π2，所以0<sin x <1.由x ·sin x <1知x sin 2x <sin x <1，因此必要性成立．由x sin 2x <1得x sin x <，而>1，因此充分性不成立．3．平面α∥平面β的一个充分条件是( ) A ．存在一条直线a ，a ∥α，a ∥β B ．存在一条直线a ，a ⊂α，a ∥βC ．存在两条平行直线a 、b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥αD ．存在两条异面直线a 、b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α解析：选D 当满足A 、B 、C 三个选项中的任意一个选项的条件时，都有可能推出平面α与β相交，而得不出α∥β，它们均不能成为α∥β的充分条件．只有D 符合．4．设{a n }是等比数列，则“a 1<a 2<a 3”是“数列{a n }是递增数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C { a n }为等比数列，a n ＝a 1·qn －1，由a 1<a 2<a 3，得a 1<a 1 q <a 1 q 2，即a 1>0，q >1或a 1<0，0< q <1，则数列{ a n }为递增数列．反之也成立．5．不等式(a ＋x )(1＋x )<0成立的一个充分不必要条件是－2< x <－1，则a 的取值范围是________．解析：根据充分条件，必要条件与集合间的包含关系，应有(－2，－1){ x |( a ＋x )(1＋x )<0}，故有a >2.答案：(2，＋∞) 6．下列命题：①“x >2且y >3”是“x ＋y >5”的充要条件；②b 2－4ac <0是一元二次不等式a x 2＋b x ＋c <0解集为R 的充要条件； ③“a ＝2”是“直线ax ＋2y ＝0平行于直线x ＋y ＝1”的充分不必要条件； ④“xy ＝1”是“lg x ＋lg y ＝0 ”的必要不充分条件． 其中真命题的序号为________．解析：①x >2且y >3时，x ＋y >5成立，反之不一定，如x ＝0，y ＝6.所以“x >2且y >3”是“x ＋y >5”的充分不必要条件；②不等式解集为R 的充要条件是a <0且b 2－4ac <0，故②为假命题；③当a ＝2时，两直线平行，反之，若两直线平行，则a 1＝21，∴a ＝2.因此，“a ＝2”是“两直线平行”的充要条件；④lg x ＋lg y ＝lg(xy )＝0， ∴xy ＝1且x >0，y >0.所以“lg x ＋lg y ＝0”成立，xy ＝1必然成立，反之不然． 因此“xy ＝1”是“lg x ＋lg y ＝0”的必要不充分条件． 综上可知，真命题是④. 答案：④7．已知方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＝0，求使方程有两个大于1的实数根的充要条件． 解：令f (x )＝x 2＋(2k －1)x ＋k 2，则方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＝0有两个大于1的实数根⇔⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝（2k －1）2－4k 2≥0，－2k －12>1，f （1）>0⇔k <－2.因此k <－2是使方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＝0有两个大于1的实数根的充要条件． 8．已知条件p ：|x －1|>a 和条件q ：2x 2－3x ＋1>0，求使p 是q 的充分不必要条件的最小正整数a .解：依题意a >0.由条件p ：|x －1|>a ， 得x －1<－a 或x －1>a ， ∴x <1－a 或x >1＋a .由条件q ：2x 2－3x ＋1>0，得x <12或x >1.要使p 是q 的充分不必要条件，即“若p ，则q ”为真命题，逆命题为假命题，应有⎩⎪⎨⎪⎧1－a ≤12，1＋a >1或⎩⎪⎨⎪⎧1－a <12，1＋a ≥1，解得a ≥12.令a ＝1，则p ：x <0或x >2，此时必有x <12或x >1.即p ⇒q ，反之不成立． ∴最小正整数a ＝1.。

考点学习目标核心素养充分条件、必要条件的概念理解充分条件、必要条件、充要条件的概念数学抽象充分条件、必要条件的判断结合具体命题掌握判断充分条件、必要条件、充要条件的方法逻辑推理充分条件、必要条件的应用掌握证明充要条件的一般方法逻辑推理问题导学预习教材P１7—P２２，并思考以下问题：１．什么是充分条件？２．什么是必要条件？３．什么是充要条件？１．充分条件与必要条件命题真假“若p，则q”为真命题“若p，则q”为假命题推出关系p⇒q p错误!q条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件对于“p⇒q”，蕴含以下多种解释（１）“若p，则q”形式的命题为真命题．（２）由条件p可以得到结论q.（３）p是q的充分条件或q的充分条件是p.（４）只要有条件p，就一定有结论q，即p对于q是充分的．（５）q是p的必要条件或p的必要条件是q.（6）为得到结论q，具备条件p就可以推出．显然，“p是q的充分条件”与“q是p的必要条件”表述的是同一个逻辑关系，即p⇒q，只是说法不同．[提醒] 不能将“若p，则q”与“p⇒q”混为一谈，只有“若p，则q”为真命题时，才有“p⇒q”，即“p⇒q”⇔“若p，则q”为真命题．２．充要条件如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q．此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件．■名师点拨（１）p是q的充要条件意味着“p成立，则q一定成立；p不成立，则q一定不成立”．（２）要判断p是不是q的充要条件，需要进行两次判断：一是看p能否推出q，二是看q能否推出p.若p能推出q，q也能推出p，就可以说p是q的充要条件，否则，就不能说p是q的充要条件．（３）对充分条件和必要条件的进一步划分：条件p与结论q的关系结论p⇒q，且q错误!p p是q的充分不必要条件q⇒p，且p错误!q p是q的必要不充分条件p⇒q，且q⇒p，即p⇔q p是q的充要条件p错误!q，且q错误!p p是q的既不充分也不必要条件判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）“x＝0”是“（２x—１）x＝0”的充分不必要条件．（）（２）q是p的必要条件时，p是q的充分条件．（）（３）若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题．（）（４）q不是p的必要条件时，“p错误!q”成立．（）答案：（１）√（２）√（３）√（４）√设p：“四边形为菱形”，q：“四边形的对角线互相垂直”，则p是q的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件解析：选Ａ．若四边形为菱形，则该四边形的对角线互相垂直，即p⇒q；反之，当四边形的对角线互相垂直时，该四边形不一定是菱形，故q错误!p，所以p是q的充分不必要条件．设p：x＜３，q：—１＜x＜３，则p是q成立的（）Ａ．充分必要条件Ｂ．充分不必要条件Ｃ．必要不充分条件Ｄ．既不充分也不必要条件解析：选Ｃ．因为错误!{x|x<３}，所以p是q成立的必要不充分条件．设a，b是实数，则“a＋b>0”是“ab>0”的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件解析：选Ｄ．若a＋b>0，取a＝３，b＝—２，则ab>0不成立；反之，若ab>0，取a＝—２，b ＝—３，则a＋b>0也不成立，因此“a＋b>0”是“ab>0”的既不充分也不必要条件．“ac＝bc”是“a＝b”的________条件．解析：若ac＝bc，当c＝0时不一定有a＝b；反之若a＝b，则有ac＝bc成立．故ac＝bc是a＝b 的必要不充分条件．答案：必要不充分充分、必要、充要条件的判断下列各题中，p是q的什么条件？（指充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要条件）（１）p：x＝１或x＝２，q：x—１＝错误!；（２）p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直平分；（３）p：xy>0，q：x>0，y>0．（４）p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形．【解】（１）因为x＝１或x＝２⇒x—１＝错误!，x—１＝错误!⇒x＝１或x＝２，所以p是q的充要条件．（２）若一个四边形是正方形，则它的对角线互相垂直平分，即p⇒q.反之，若四边形的对角线互相垂直平分，该四边形不一定是正方形，即q错误!p.所以p是q的充分不必要条件．（３）因为xy>0时，x>0，y>0或x<0，y<0．故p错误!q，但q⇒p.所以p是q的必要不充分条件．（４）因为错误!所以p是q的既不充分也不必要条件．错误!充分、必要、充要条件的判断方法（１）定义法若p⇒q，q错误!p，则p是q的充分不必要条件；若p错误!q，q⇒p，则p是q的必要不充分条件；若p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件；若p错误!q，q错误!p，则p是q的既不充分也不必要条件．（２）集合法对于集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，具体情况如下：若A⊆B，则p是q的充分条件；若A⊇B，则p是q的必要条件；若A＝B，则p是q的充要条件；若A B，则p是q的充分不必要条件；若A B，则p是q的必要不充分条件．１．（２0１9·潮州期末）已知条件p：—１<x<１，条件q：x≥—２，则p是q的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件解析：选Ａ．依题意可知p⇒q成立，反之不成立．即p是q的充分不必要条件，故选Ａ．２．（２0１9·金华期末）“x>a”是“x>|a|”的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件解析：选B.若a≥0，由x>|a|得x>a，若a<0，则由x>|a|得x>—a，此时x>—a>a成立，即必要性成立，当a<0时，不妨设a＝—１，则由x>—１，不一定推出x>|—１|，即充分性不成立，则“x>a”是“x>|a|”的必要不充分条件，故选Ｂ．３．“x<２”是“错误!<0”的（）Ａ．充要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充分不必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件解析：选A.由错误!<0得x—２<0得x<２，即“x<２”是“错误!<0”的充要条件，故选Ａ．充分条件、必要条件、充要条件的应用已知p：—２≤x≤１0，q：１—m≤x≤１＋m（m＞0），若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【解】p：—２≤x≤１0，q：１—m≤x≤１＋m（m＞0）．因为p是q的必要不充分条件，所以q是p的充分不必要条件，即{x|１—m≤x≤１＋m}{x|—２≤x≤１0}，故有错误!或错误!，解得m≤３．又m＞0，所以实数m的取值范围为{m|0＜m≤３}．１．（变条件）若本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围．解：p：—２≤x≤１0，q：１—m≤x≤１＋m（m>0）．因为p是q的充分不必要条件，设p代表的集合为A，q代表的集合为B，所以A B.所以错误!或错误!解不等式组得m>9或m≥9，所以m≥9，即实数m的取值范围是m≥9．２．（变问法）本例中p，q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．解：因为p：—２≤x≤１0，q：１—m≤x≤１＋m（m＞0）．若p是q的充要条件，则错误!，无解，所以m不存在．故不存在实数m，使得p是q的充要条件．错误!由条件关系求参数的值（范围）的步骤（１）根据条件关系建立条件构成的集合之间的关系．（２）根据集合端点或数形结合列方程或不等式（组）求解．１．已知p：—４＜x—a＜４，q：（x—２）（x—３）＜0，若q是p的充分条件，则a的取值范围为________．解析：化简p：a—４＜x＜a＋４，q：２＜x＜３，由于q是p的充分条件，故有错误!解得—１≤a≤6．答案：—１≤a≤6２．若p：x２＋x—6＝0是q：ax＋１＝0的必要不充分条件，则实数a的值为________．解析：p：x２＋x—6＝0，即x＝２或x＝—３．q：ax＋１＝0，当a＝0时，方程无解；当a≠0时，x＝—错误!.由题意知p⇒/ q，q⇒p，故a＝0舍去；当a≠0时，应有—错误!＝２或—错误!＝—３，解得a＝—错误!或a＝错误!.综上可知，a＝—错误!或a＝错误!.答案：—错误!或错误!充要条件的证明求证：一元二次方程ax２＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0．【证明】充分性：（由ac<0推证方程有一正根和一负根）因为ac<0，所以一元二次方程ax２＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b２—４ac>0，所以方程一定有两个不等实根．设两根为x１，x２，则x１x２＝错误!<0，所以方程的两根异号．即方程ax２＋bx＋c＝0有一正根和一负根．必要性：（由方程有一正根和一负根推证ac<0）因为方程ax２＋bx＋c＝0有一正根和一负根，设为x１，x２，则由根与系数的关系得x１x２＝错误!<0，即ac<0．综上可知，一元二次方程ax２＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0．错误!充要条件的证明思路（１）根据充要条件的定义，证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明．一般地，证明“p成立的充要条件为q”；１充分性：把q当作已知条件，结合命题的前提条件，推出p；２必要性：把p当作已知条件，结合命题的前提条件，推出q.解题的关键是分清哪个是条件，哪个是结论，然后确定推出方向，至于先证明充分性还是先证明必要性则无硬性要求．（２）在证明过程中，若能保证每一步推理都有等价性（⇔），也可以直接证明充要性．已知a，b是正实数，求证：错误!＋错误!＋２＝错误!的充要条件是a＋b＝１．证明：必要性：若错误!＋错误!＋２＝错误!，则错误!＝错误!，即a２＋a＋b２＋b＋２ab＝２，即（a＋b）２＋（a＋b）—２＝0，即（a＋b—１）（a＋b＋２）＝0，因为a，b是正实数，所以a＋b＋２>0，所以a＋b—１＝0，即a＋b＝１．充分性：若a＋b＝１，则错误!＋错误!＋２＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!，故错误!＋错误!＋２＝错误!的充要条件是a＋b＝１．１．“两个三角形面积相等”是“两个三角形全等”的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件解析：选Ｂ．由两个三角形全等可得两个三角形面积相等．反之不成立．所以“两个三角形面积相等”是“两个三角形全等”的必要不充分条件．故选Ｂ．２．设集合M＝{１，２}，N＝{a２}，则“a＝１”是“N⊆M”的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件解析：选Ａ．当a＝１时，N＝{１}，此时N⊆M；当N⊆M时，a２＝１或a２＝２，解得a＝１或—１或错误!或—错误!.故“a＝１”是“N⊆M”的充分不必要条件．３．（２0１9·佛山检测）已知p：“x＝２”，q：“x—２＝错误!”，则p是q的（）Ａ．充分不必要条件B．必要不充分条件Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件解析：选Ｃ．由q：“x—２＝错误!”，解得x＝１（舍去）或x＝２，由p可推出q，充分性成立，反之，由q可推出p，即必要性成立．所以p是q的充分必要条件，故选Ｃ．４．若“x<—１”是“x≤a”的必要不充分条件，则a的取值范围是____________．解析：若“x<—１”是“x≤a”的必要不充分条件，则{x|x≤a}{x|x<—１}，则a<—１，即实数a的取值范围是a<—１．答案：a<—１[A 基础达标]１．设x∈R，则“１<x<２”是“１<x<３”的（）Ａ．必要不充分条件Ｂ．充分不必要条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件解析：选Ｂ．“１<x<２”⇒“１<x<３”，反之不成立．所以“１<x<２”是“１<x<３”的充分不必要条件．故选Ｂ．２．“x≠—１”是“x２—１≠0”的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件解析：选Ｂ．由x２—１≠0，得x≠１且x≠—１，因为“x≠—１”是x≠１且“x≠—１”的必要不充分条件，所以“x≠—１”是“x２—１≠0”的必要不充分条件，故选B.３．“错误!”是“错误!>0”的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件解析：选Ａ．“错误!”⇒“错误!>0”，“错误!>0”⇒“错误!或错误!”，所以“错误!”是“错误!>0”的充分不必要条件．故选Ａ．４．设A、B、C是三个集合，则“A∩B＝A∩C”是“B＝C”的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件解析：选B.由A∩B＝A∩C，不一定有B＝C，反之，由B＝C，一定可得A∩B＝A∩C.所以“A∩B＝A∩C”是“B＝C”的必要不充分条件．故选Ｂ．５．已知a，b为实数，则“a＋b>４”是“a，b中至少有一个大于２”的（）Ａ．充分不必要条件B．必要不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件解析：选Ａ．“a＋b>４”⇒“a，b中至少有一个大于２”，反之不成立．所以“a＋b>４”是“a，b中至少有一个大于２”的充分不必要条件．故选Ａ．6．“a<错误!”是“一元二次方程x２—x＋a＝0有实数解”的________条件．解析：若一元二次方程x２—x＋a＝0有实数解，则Δ≥0，即１—４a≥0，即a≤错误!，又“a<错误!”能推出“a≤错误!”，但“a≤错误!”不能推出“a<错误!”，即“a<错误!”是“一元二次方程x２—x＋a＝0有实数解”的充分不必要条件．答案：充分不必要7．已知p：—１<x<３，q：—１<x<m＋１，若q是p的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________．解析：由p：—１<x<３，q：—１<x<m＋１，q是p的必要不充分条件，即３<m＋１，即m>２．答案：m>２8．指出下列各命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件．（１）p：x２>0，q：x>0．（２）p：x＋２≠y，q：（x＋２）２≠y２.（３）p：a能被6整除，q：a能被３整除．（４）p：两个角不都是直角，q：两个角不相等．解：（１）p：x２>0，则x>0或x<0，q：x>0，故p是q的必要条件，q是p的充分条件．（２）p：x＋２≠y，q：（x＋２）２≠y２，则x＋２≠y且x＋２≠—y，故p是q的必要条件，q是p 的充分条件．（３）p：a能被6整除，故也能被３和２整除，q：a能被３整除，故p是q的充分条件，q是p的必要条件．（４）p：两个角不都是直角，这两个角可以相等，q：两个角不相等，则这两个角一定不都是直角，故p是q的必要条件，q是p的充分条件．9．若集合A＝{x|x>—２}，B＝{x|x≤b，b∈R}，试写出：（１）A∪B＝R的一个充要条件；（２）A∪B＝R的一个必要不充分条件；（３）A∪B＝R的一个充分不必要条件．解：集合A＝{x|x>—２}，B＝{x|x≤b，b∈R}，（１）若A∪B＝R，则b≥—２，故A∪B＝R的一个充要条件是b≥—２．（２）由（１）知A∪B＝R的充要条件是b≥—２，所以A∪B＝R的一个必要非充分条件可以是b≥—３．（３）由（１）知A∪B＝R的充要条件是b≥—２，所以A∪B＝R的一个充分非必要条件可以是b≥—１．[B 能力提升]１0．已知x∈R，则“x２＝x＋6”是“x＝错误!”的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件解析：选Ｂ．由于“x２＝x＋6”，则“x＝±错误!”，故“x２＝x＋6”是“x＝错误!”的必要不充分条件，故选B.１１．下面四个条件中，使a＞b成立的充分不必要条件是（）Ａ．a≥b＋１B．a＞b—１Ｃ．a２＞b２Ｄ．|a|＞|b|解析：选Ａ．由a≥b＋１＞b，从而a≥b＋１⇒a＞b；反之，如a＝４，b＝３．５，则４＞３．５⇒/ ４≥３．５＋１，故a＞b⇒/ a≥b＋１，故A正确．１２．已知a＋b≠0，证明a２＋b２—a—b＋２ab＝0成立的充要条件是a＋b＝１．证明：先证充分性：若a＋b＝１，则a２＋b２—a—b＋２ab＝（a＋b）２—（a＋b）＝１—１＝0，即充分性成立．必要性：若a２＋b２—a—b＋２ab＝0，则（a＋b）２—（a＋b）＝（a＋b）（a＋b—１）＝0，因为a＋b≠0，所以a＋b—１＝0，即a＋b＝１成立，综上，a２＋b２—a—b＋２ab＝0成立的充要条件是a＋b＝１．１３．求关于x的方程ax２＋２x＋１＝0至少有一个负的实数根的关于a的充要条件．解：当a＝0时，方程为２x＋１＝0，解得x＝—错误!，符合题目要求；当a≠0时，方程ax２＋２x＋１＝0为一元二次方程，它有实根的充要条件为：Δ＝４—４a≥0，解得a≤１．设方程ax２＋２x＋１＝0的两实根为x１，x２，则由根与系数的关系得x１＋x２＝—错误!，x１·x２＝错误!.１方程ax２＋２x＋１＝0恰有一个负实根的充要条件是错误!，解得a＜0；２方程ax２＋２x＋１＝0有两个负实根的充要条件是错误!，解得0＜a≤１．综上所述，a≤１为所求．[C 拓展探究]１４．已知a，b，c∈R，a≠0．判断“a—b＋c＝0”是“一元二次方程ax２＋bx＋c＝0有一根为—１”的什么条件？并说明理由．解：“a—b＋c＝0”是“一元二次方程ax２＋bx＋c＝0有一根为—１”的充要条件．理由如下：当a，b，c∈R，a≠0时，若a—b＋c＝0，则—１满足一元二次方程ax２＋bx＋c＝0，即“一元二次方程ax２＋bx＋c＝0有一根为—１”，故“a＋b＋c＝0”是“一元二次方程ax２＋bx＋c＝0有一根为—１”的充分条件，若一元二次方程ax２＋bx＋c＝0有一根为—１，则a—b＋c＝0，故“a—b＋c＝0”是“一元二次方程ax２＋bx＋c＝0有一根为—１”的必要条件，综上所述，“a—b＋c＝0”是“一元二次方程ax２＋bx＋c＝0有一根为—１”的充要条件．。

教学准备1. 教学目标运用充分条件、必要条件和充要条件2. 教学重点/难点运用充分条件、必要条件和充要条件3. 教学用具4. 标签教学过程一、基础知识（一）充分条件、必要条件和充要条件1．充分条件：如果A成立那么B成立，则条件A是B成立的充分条件。

2．必要条件：如果A成立那么B成立，这时B是A的必然结果，则条件B是A成立的必要条件。

3．充要条件：如果A既是B成立的充分条件，又是B成立的必要条件，则A是B成立的充要条件；同时B也是A成立的充要条件。

（二）充要条件的判断1若成立则A是B成立的充分条件，B是A成立的必要条件。

2．若且BA，则A是B成立的充分且不必要条件，B是A成立必要且非充分条件。

3．若成立则A、B互为充要条件。

证明A是B的充要条件，分两步：（1）充分性：把A当作已知条件，结合命题的前提条件推出B；（2）必要性：把B当作已知条件，结合命题的前提条件推出A。

二、范例选讲例1．（充分必要条件的判断）指出下列各组命题中，p是q的什么条件？（1）在△ABC中，p：A>B q：BC>AC；（2）对于实数x、y，p：x+y≠8 q：x≠2或y≠6；（3）在△ABC中，p：SinA>SinB q：tanA>tanB；（4）已知x、y∈R，p：(x-1)2+(y-2)2=0 q：(x-1)(y-2)=0解：（1）p是q的充要条件（2）p是q的充分不必要条件（3）p是q的既不充分又不必要条件（4）p是q的充分不必要条件练习1（变式1）设f(x)=x2-4x(x∈R)，则f(x)>0的一个必要而不充分条件是（ C ）A、x<0B、x<0或x>4C、│x-1│>1D、│x-2│>3例2．填空题(3)若A是B的充分条件，B是C的充要条件，D是C的必要条件，则A是D的条件.答案：(1)充分条件(2)充要、必要不充分(3)A＝> B <＝> C＝> D故填充分。

1.2 充分条件与必要条件-人教A版选修1-1教案一、教学目标1.理解充分条件和必要条件的定义及区别；2.掌握使用条件语句表达充分条件和必要条件；3.熟练使用条件语句证明充分条件和必要条件；4.培养学生严密的逻辑思维能力和数学语言表达能力。

二、教学内容1.充分条件和必要条件的定义；2.使用条件语句表达充分条件和必要条件；3.条件语句证明充分条件和必要条件。

三、教学过程1.导入（5分钟）1.引出知识点：充分条件和必要条件。

2.举例说明：如果一个人是男性，那么他可以去男厕所，在这个例子中，性别是去女厕所的必要条件，去男厕所的充分条件。

同学们可以自行想象其他充分条件和必要条件的例子。

2.讲解（15分钟）1.定义–充分条件：如果命题P成立，则命题Q也成立，我们就称P是Q成立的充分条件，或者说P蕴含着Q。

用符号表示为P → Q。

–必要条件：如果命题Q成立，则命题P也成立，我们就称Q是P成立的必要条件，或者说Q蕴含着P。

用符号表示为Q → P。

2.表达–充分条件的表达：如果P，则Q。

–必要条件的表达：只有Q，才能有P。

3.区别–充分条件是P与Q之间的关系，而必要条件是Q与P之间的关系。

–充分条件的成立不意味着必要条件的成立，反之亦然。

4.举例–如果两个数相等，则它们的和也相等，可以表示为：两个数相等是它们和相等的充分条件。

–只有两个数的和相等，它们才能相等，可以表示为：两个数相等是它们和相等的必要条件。

3.练习（30分钟）1.判断下列命题的充分条件和必要条件，并用条件语句表达出来。

–如果一个数字是偶数，那么它能被2整除。

–一个人想参加奥数比赛，就必须会做足20道以上的算术题。

2.大约用15分钟时间，让同学们自己尝试着完成练习。

3.借助黑板，进行讲解和讨论。

–第一题的充分条件是“一个数字是偶数”，必要条件是“它能被2整除”。

–第二题的充分条件是“会做足20道以上的算术题”，必要条件是“想参加奥数比赛”。

4.巩固（30分钟）1.进行小组讨论，选定一个命题，试着用条件语句表达出来。

1.2.1充分条件与必要条件教学要求：正确理解充分条件、必要条件及充要条件的概念.教学重点：理解充分条件和必要条件的概念.教学难点：理解必要条件的概念.教学过程：一、复习准备：写出下列命题的逆命题、否命题及逆否命题，并判断它们的真假：（1）若0ab =，则0a =；（2）若0a >时，则函数y ax b =+的值随x 的值的增加而增加.二、讲授新课：1. 认识“⇒”与“”：①在上面两个命题中，命题（1）为假命题，命题（2）为真命题. 也就是说，命题（1）中由“0ab =”不能得到“0a =”，即0ab =0a =；而命题（2）中由“0a >”可以得到“函数y ax b =+的值随x 的值的增加而增加”，即0a >⇒函数y ax b =+的值随x 的值的增加而增加.②练习：教材P12 第1题2. 教学充分条件和必要条件：①若p q ⇒，则p 是q 的充分条件（sufficient condition ），q 是p 的必要条件（necessary condition ）.上述命题（2）中“0a >”是“函数y ax b =+的值随x 的值的增加而增加”的充分条件，而“函数y ax b =+的值随x 的值的增加而增加”则是“0a >”的必要条件.②例1：下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的充分条件？（1）若1x >，则33x -<-；（2）若1x =，则2320x x -+=；（3）若()3x f x =-，则()f x 为减函数； （4）若x 为无理数，则2x 为无理数.（5）若12//l l ，则12k k =.（学生自练→个别回答→教师点评）③练习：P12页 第2题④例2：下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的q 是p 的必要条件？（1）若0a =，则0ab =；（2）若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等；（3）若a b >，则ac bc >；（4）若x y =，则22x y =.（学生自练→个别回答→教师点评）⑤练习：P12页 第3题⑥例3：判断下列命题的真假：（1）“x 是6的倍数”是“x 是2的倍数”的充分条件；（2）“5x <”是“3x <”的必要条件. （学生自练→个别回答→学生点评）3. 小结：充分条件与必要条件的理解.三、巩固练习：作业：教材P14页 第1、2题1.2.2充要条件教学要求：进一步理解充分条件、必要条件的概念，同时学习充要条件的概念.教学重点：充要条件概念的理解.教学难点：理解必要条件的概念.教学过程：一、复习准备：指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件，q 是p 的什么条件？（1）:p a Q ∈，:q a R ∈；（2）:p a R ∈，:q a Q ∈；（3）:p 内错角相等，:q 两直线平行；（4）:p 两直线平行，:q 内错角相等.二、讲授新课：1. 教学充要条件：①一般地，如果既有p q ⇒，又有q p ⇒，就记作p q ⇔. 此时，我们说，p 是q 的充分必要条件，简称充要条件（sufficient and necessary condition ）.②上述命题中（3）（4）命题都满足p q ⇔，也就是说p 是q 的充要条件，当然，也可以说q 是p 的充要条件.2. 教学典型例题：①例1：下列命题中，哪些p 是q 的充要条件？（1）:p 四边形的对角线相等，:q 四边形是平行四边形；（2）:p 0b =，:q 函数2()f x ax bx c =++是偶函数；（3）:p 0,0x y <<，:q 0xy >；（4）:p a b >，:q a c b c +>+.（学生自练→个别回答→教师点评）②练习教材P14 练习第1、2题③探究：请同学们自己举出一些p 是q 的充要条件的命题来.④例2：已知：O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d . 求证：d r =是直线l 与O 相切的充要条件.（教师引导→学生板书→教师点评）3. 小结：充要条件概念的理解.三、巩固练习：1. 从“⇒”、“”与“⇔”中选出适当的符号填空：（1）1x >- 1x >； （2）a b > 11a b<； （3）2220a ab b -+= a b =； （4）A ⊆∅ A =∅.2. 判断下列命题的真假：（1）“a b >”是“22a b >”的充分条件；（2）“a b >”是“22a b >”的必要条件；（3）“a b >”是“22ac bc >”的充要条件；（4）“5a +是无理数”是“a 是无理数”的充分不必要条件；（5）“1x =”是“2230x x --=”的充分条件.3. 作业：教材P14页 习题第3、4题。

充分条件和必要条件【教学目标】1. 正确理解充分不必要条件、必要不充分条件的概念；2.会判断命题的充分条件、必要条件.3.正确理解充要条件的定义,了解充分而不必要条件, 必要而不充分条件, 既不充分也不必要条件的定义.4.正确判断充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件. 【导入新课】复习导入1. 命题的概念、命题的组成；2. 四种命题之间的关系；3.判断下列命题是真命题还是假命题?（1）若x>a2+b2,则x>2ab.（2）若ab=0，则a=o.（3）有两角相等的三角形是等腰三角形.（4）若a2>b2，则a>b.4 写出下列两个命题的条件和结论，并判断是真命题还是假命题？（1）若x＞a2+ b2，则x＞2ab；（2）若ab＝0，则a＝0...新授课阶段问题3的答案： (1)、（3）为真命题；（2）、（4）为假命题.对问题4的归纳：命题(1)为真命题，命题(２)为假命题.置疑：对于命题“若p，则q”，有时是真命题，有时是假命题．如何判断其真假的？答：看p能不能推出q，如果p能推出q，则原命题是真命题，否则就是假命题.1.充分条件和必要条件的定义命题“若p ，则q” 为真命题，是指由p 经过推理能推出q ，也就是说，如果p 成立，那么q 一定成立．换句话说，只要有条件p 就能充分地保证结论q 的成立，这时我们称条件p 是q 成立的充分条件.一般地，“若p ，则q”为真命题，是指由p 通过推理可以得出q ．这时，我们就说，由p 可推出q ，记作：p q.定义：如果命题“若p ，则q”为真命题，即p q ,那么我们就说p 是q 的充分条件；q 是p 必要条件.上面的命题(1)为真命题，即x ＞a 2+b 2 x ＞2ab ，所以“x＞a 2+ b 2 ”是“x＞2ab”的充分条件，“x＞2ab”是“x＞a 2+ b 2”的必要条件.例1：下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的充分条件？221133213203()()34x x x x x x f x f x x x >-<-=-+==-（）若，则；（）若，则；（）若，则为减函数；（）若为无理数，则为无解析： 根据命题的组成特征得到：只有第四个命题不符合条件.例2：下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的q 是p 的必要条件？（1）若a =0，则ab =0 ；（2）若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等；（3）若a >b ，则ac >bc ；（4）若x =y ，则x 2=y 2. 解析：根据必要条件的概念，得到只有第2个符合条件.2. 充要条件的有关概念已知p ：整数a 是2的倍数；q ：整数a 是偶数.请判断： p 是q 的充分条件吗？p 是q 的必要条件吗？分析：要判断p 是否是q 的充分条件，就要看p 能否推出q ，要判断p 是否是q 的必要条件，就要看q 能否推出p ．易知：p q ，故p 是q 的充分条件；又q p ，故p 是q 的必要条件．此时,我们说, p是q的充分必要条件.类比归纳一般地,如果既有p q ，又有q p 就记作p q.此时,我们说,那么p是q的充分必要条件,简称充要条件.显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件.概括地说,如果p q,那么p 与 q互为充要条件.例3：下列各题中，哪些p是q的充要条件？（１）p:b＝0,q:函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数；（２）p:x ＞ 0,y ＞ 0,q: xy＞ 0；（３）p: a ＞ b ,q: a + c ＞ b + c；（４）p:x ＞ 5, ,q: x ＞ 10；（５）p: a ＞ b ,q: a2＞ b2.分析：要判断p是q的充要条件，就要看p能否推出q，并且看q能否推出p.解：命题（１）和（３）中，p q ，且q p，即p q，故p 是q的充要条件；命题（２）中，p q ,但q p，故p 不是q的充要条件；命题（４）中，p q ，但q p，故p 不是q的充要条件；命题（５）中，p q ，且q p，故p 不是q的充要条件.归纳：一般地，若p q ,但q p，则称p是q的充分但不必要条件；若p q，但q p，则称p是q的必要但不充分条件；若p q，且q p，则称p是q的既不充分也不必要条件．在讨论p是q的什么条件时，就是指以下四种之一：①若p q ,但q p，则p是q的充分但不必要条件；②若q p，但p q，则p是q的必要但不充分条件；③若p q，且q p，则p是q的充要条件；④若p q，且q p，则p是q的既不充分也不必要条件.课堂小结1.总结如下：①若p q ,但q p，则p是q的充分但不必要条件；②若q p，但p q，则p是q的必要但不充分条件；③若p q，且q p，则p是q的充要条件；④若p q，且q p，则p是q的既不充分也不必要条件．2.充要条件的判定方法：如果“若p ，则q ”与“ 若p 则q ”都是真命题，那么p 就是q 的充要条件，否则不是.作业见同步练习部分拓展提升1.设R a ∈，则1a >是11a< 的 （ ） A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2.设,R a b ∈，则不等式a b >与11a b>都成立的充要条件是（ ） A.0ab > B.0,0a b >< C.0ab < D.0ab ≠3.给出下列命题：①0a b >>是22a b >的充要条件； ②0a b >>是ba 11<的充要条件； ③0ab >>是33a b >的充要条件.则其中为真命题的有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 4.已知命题:p 40k -<<;命题:q 函数21y kx kx =--的值恒为负.则命题p 是命题q 成立的（ ）A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5.不等式(1||)(1)0x x -+>成立的充要条件是 .6.命题:20,01p m n -<<<<；命题:q 关于x 的方程20x mx n ++=有两个小于1的正根，试分析p 是q 的什么条件.参考答案1. A 【解析】1a >，则1110a a a --=<， ∴11a<，条件充分，反之不真，如1a =-. 2.B 【解析】110b a a b ab->⇒>， ∵a b >， ∴0ab <.而a b >，故得0,0a b ><. 3.A 【解析】①220a b a b >>⇒>，反之不真；②0a b >>⇒b a 11< ，反之不真；③330a b a b >>⇒>，反之不真.4.A 【解析】2400,40k k k k -<<⇒<∆=+<；函数21y kx kx =--的值恒为负，不一定有40k -<<，如0k =时，函数21y kx kx =--的值恒为负.5. 1x <且1x ≠-【解析】0x ≥时，2(1||)(1)010x x x -+>⇔->, ∴01x ≤<；0x <时， 2(1||)(1)0(1)0x x x -+>⇔+>此式当1x ≠-时恒成立.6.解：设关于x 的方程20x mx n ++=有两个小于1的正根12,x x ，则12x x m +=-，12x x n ⋅=，∵1201,01x x <<<<， ∴02,01m n <-<<<， ∴20,01m n -<<<<，这说明p 是q 的必要条件.设20,01m n -<<<<，关于x 的方程20x mx n ++=不一定有两个小于1的正根，如1,m =-34n =时，方程2304x x -+=没有实数根，这说明p 不是q 的充分条件.综上，p 是q 的必要不充分条件.。

第一章集合与简易逻辑一. 教学目标：2.培养学生理解、分析、归纳、解决问题的能力二. 教学重点：关于充要条件的判断教学难点：关于充要条件的判断三. 教学过程（一）复习提问1.什么叫充分条件？什么叫必要条件？说出“⇒”的含义各组命题中，“p⇒q”及“q⇒p”是否成立（1）p：内错角相等 q：两直线平行（2）p：三角形三边相等 q：三角形三个角相等（二）授新课1.（通过复习提问直接引入课题）充要条件定义：一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作：p⇔q。

这时，p既是q的充分条件，又是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称充要条件点明思路：判断p是q的什么条件，不仅要考查p⇒q是否成立，即若p则q形式命题是否正确，还得考察q⇒p是否成立，即若q则p形式命题是否正确。

2.辨析题：（学生讨论并解答，教师引导并归纳）思考：下列各组命题中，p是q的什么条件：1)p： x是6的倍数。

q：x是2的倍数2)p： x是2的倍数。

q：x是6的倍数3)p： x是2的倍数，也是3的倍数。

q：x是6的倍数4)p： x是4的倍数 q：x是6的倍数总结：1) p⇒q 且q≠> p 则 p是q的充分而不必要条件2) q⇒p 且p≠>q 则p 是q 的必要而不充分条件3) p⇒q 且q⇒p 则q 是p的充要条件4) p≠>q 且q≠>p则 p是 q的既不充分也不必要条件强调：判断p是q的什么条件，不仅要考虑p⇒q是否成立，同时还要考虑q⇒p是否成立。

且p是q的什么条件，以上四种情况必具其一.3 巩固强化例一：指出下列各命题中，p是q的什么条件：1)p：x>1 q：x>22)p：x>5 q：x>-13)p：(x-2)(x-3)=0 q：x-2=04)p：x=3 q：2x=95)p：x=±1 q：x2-1=0解：1）∵x>1≠> x>2 但x>2⇒x>1 ∴ p是q的必要而不充分条件2)∵x>5⇒x>-1 但x>-1≠> x>5 ∴p是q的充分而不必要条件3)∵(x-2)(x-3)=0 ≠>x-2=0但 x-2=0⇒(x-2)（x-3）=0∴p是q的必要而不充分条件4)∵x=3⇒x2=9 但x2=9 ≠>x=3 ∴ p是q的充分而不必要条件5)∵x= ±1⇒x2-1=0 且x2=1⇒x=±1 ∴p是q的充要条件通过例一引导同学观察归纳：当p、q分别从集A、B合出现时若A⊆B但B不包含于A，即A 是B的真子集，则p是q的充分而不必要条件若A⊇B 但A不包含于B，即B是A的真子集，则p是q的必要而不充分条件若A⊆B且B⊆A 即A=B 则p是q的充要条件若A不包含于B，且B不包含于A，则p是q的既不充分也不必要条件总结判断p是q的什么条件：方法1：考察p⇒q 及q⇒p 是否成立。

充分条件与必要条件一：教法分析●三维目标1.知识与技能(1)正确理解充分条件、必要条件、充要条件三个概念；(2)能利用充分条件、必要条件、充要条件三个概念，熟练判断四种命题间的关系；(3)在理解定义的基础上，可以自觉地对定义进行转化，转化成推理关系及集合的包含关系．2．过程与方法(1)培养学生的观察与类比能力：“会观察”，通过大量的问题，会观察其共性及个性；(2)培养学生的归纳能力：“敢归纳”，敢于对一些事例，观察后进行归纳，总结出一般规律；(3)培养学生的建构能力：“善建构”，通过反复的观察分析和类比，对归纳出的结论，建构于自己的知识体系中．3．情感、态度与价值观(1)通过以学生为主体的教学方法，让学生自己构造数学命题，发展体验获取知识的感受；(2)通过对命题的四种形式及充分条件、必要条件的相对性，培养同学们的辩证唯物主义观点；(3)通过“会观察”，“敢归纳”，“善建构”，培养学生自主学习，勇于创新，多方位审视问题的创造技巧，敢于把错误的思维过程及弱点暴露出来，并在问题面前表现出浓厚的兴趣和不畏困难、勇于进取的精神．●重点难点重点：充分条件、必要条件和充要条件三个概念的定义．难点：必要条件的定义、充要条件的充分必要性．重难点突破的关键：找出题目中的p、q，判断p⇒q是否成立，同时还需判断q⇒p是否成立，再弄清是问“p是q的什么条件”，还是问“q是p的什么条件”．二：方案设计●教学建议基于教材内容和学生的年龄特征，根据“开放式”、“启发式”教学模式和新课程改革的理论认识，结合学生实际，主要突出以下几个方面：(1)创设与生活实践相结合的问题情景，在加强数学教学的实践性的同时充分调动学生求知欲，并以此来激发学生的探究心理．(2)教学方法上采用了“合作——探索”的教学模式，使课堂教学体现“参与式”、“生活化”、“探索性”，保证学生对数学知识的主动获取，以求获得最佳效果．(3)注重渗透数学思考方法(联想法、类比法、归纳总结等一般科学方法)，让学生在探索学习知识的过程中，领会常见数学思想方法，培养学生的探索能力和创造性素质．(4)注意在探究问题时留给学生充分的时间，以利于开放学生的思维．指导学生掌握“观察——猜想——归纳——应用”这一思维方法，采取个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，将自己所学知识应用于对命题结构的探究．让学生在问题情景中学习，观察，类比，思考，探究，概括，动手尝试相结合，体现学生的主体地位，增强学生由特殊到一般的数学思维能力，形成实事求是的科学态度，增强锲而不舍的求学精神．●教学流程创设问题情境，通过对生活中的实际问题引出：真假命题中条件与结论有何关系？⇒引导学生通过对比、分析以上问题的答案，引出充分条件、必要条件的概念.⇒通过引导学生回答所提问题，得出四种条件的概念及判断方法.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握如何判断p是q的什么条件的方法，加深对概念的理解.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握充分、必要条件的应用，进一步巩固概念.⇒分析充要条件的特点，完成例3及其变式训练，从而解决充要条件的证明问题.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.三、自主导学读充分条件、必要条件与充要条件【问题导思】观察下面四个电路图，开关A闭合作为命题的条件p，灯泡B亮作为命题的结论q.1．在上面四个电路中，你能说出p，q之间的推出关系吗？【提示】①开关A闭合，灯泡B一定亮，灯泡B亮，开关A不一定闭合，即p⇒q，qD p；②开关A闭合，灯泡B不一定亮，灯泡B亮，开关A必须闭合，即pD q，q⇒p；③开关A闭合，灯泡B亮，反之灯泡B亮，开关A一定闭合，即p⇔q；④开关A闭合与否，不影响灯泡B，反之，灯泡B亮与否，与开关A无关，即pD q，且qD p.2．电路图③中开关A闭合，灯泡B亮；反之灯泡B亮，开关A一定闭合，两者的关系应如何表述？【提示】p⇔q.1．充分条件与必要条件命题真假“若p，则q”是真命题“若p，则q”是假命题推出关系p⇒q p q条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件2.充要条件的概念一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说p是q的充分必要条件，简称充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件.四、互动探究充分条件、必要条件、充要条件的判断(1)已知实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，下列结论正确的是( )①Δ＝b2－4ac≥0是这个方程有实根的充要条件；②Δ＝b2－4ac＝0是这个方程有实根的充分条件；③Δ＝b2－4ac＞0是这个方程有实根的必要条件；④Δ＝b2－4ac＜0是这个方程没有实根的充要条件．A．③④ B．②③C．①②③ D．①②④(2)若p：(x－1)(x＋2)≤0，q：x＜2，则p是q的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【思路探究】(1)Δ＝b2－4ac与方程有何关系？当Δ＝0，Δ＞0或Δ＜0时，一元二次方程的根的情况如何？(2)不等式(x－1)(x＋2)≤0的解集是什么？p、q有怎样的关系？【自主解答】(1)①对，Δ≥0⇔方程ax2＋bx＋c＝0有实根；②对，Δ＝0⇒方程ax2＋bx＋c＝0有实根；③错，Δ＞0⇒方程ax2＋bx＋c＝0有实根，但ax2＋bx＋c＝0有实根DΔ＞0；④对，Δ＜0⇔方程ax2＋bx＋c＝0无实根．故选D.(2)p：－2≤x≤1，q：x＜2，显然p⇒q，但qD p，即p是q的充分不必要条件．【答案】(1)D (2)A1．判断p是q的什么条件，主要判断p⇒q，及q⇒p两命题的正确性，若p⇒q真，则p是q成立的充分条件；若q⇒p真，则p是q成立的必要条件．要否定p与q不能相互推出时，可以举出一个反例进行否定．2．判定方法常用以下几种：(1)定义法：借助“⇒”号，可记为：箭头所指为必要，箭尾跟着充分．(2)集合法：将命题p、q分别看做集合A，B，当A⊆B时，p是q的充分条件，q是p 的必要条件，即p⇒q，可以用“小范围推出大范围”来记忆；当A＝B时，p、q互为充要条件．已知如下三个命题中：①(2013·福州高二检测)若a∈R，则“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的充分不必要条件；②(2013·临沂高二检测)对于实数a，b，c，“a>b”是“ac2>bc2”的充分不必要条件；③直线l1：ax＋y＝3，l2：x＋by－c＝0.则“ab＝1”是“l1∥l2”的必要不充分条件；④“m＜－2或m＞6”是“y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同零点”的充要条件．正确的结论是________．【解析】①中，当a＝2时，有(a－1)(a－2)＝0；但当(a－1)(a－2)＝0时，a＝1或a＝2，不一定有a＝2.∴“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的充分不必要条件，①正确．②∵a>bD ac2>bc2(c＝0)，但ac2>bc2⇒a>b.∴“a>b”是“ac2>bc2”必要不充分条件，②错．③中，ab＝1且ac＝3时，l1与l2重合，但l1∥l2⇒a1＝1b，即ab＝1，∴“ab＝1”是“l1∥l2”的必要不充分条件，③正确．④中，y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同零点⇔Δ＝m2－4(m＋3)＞0⇔m＜－2或m＞6.∴是充要条件，④正确．【答案】①③④充分条件、必要条件、充要条件的应用(2013·大连高二期末)设集合A＝{x|－x2＋x＋6≤0}，关于x的不等式x2－ax －2a2＞0的解集为B(其中a＜0)．(1)求集合B；(2)设p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，且綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围． 【思路探究】 (1)不等式x 2－ax －2a 2＞0的解集是什么？(2)由“綈p 是綈q 的必要不充分条件”可得怎样的推出关系？这种推出关系的等价关系是什么？表现在集合上又是怎样的？【自主解答】 (1)x 2－ax －2a 2＞0⇔(x －2a )(x ＋a )＞0， 解得x ＞－a 或x ＜2a .故集合B ＝{x |x ＞－a 或x ＜2a }．(2)法一 若綈p 是綈q 的必要不充分条件， 则綈q ⇒綈p ， 由此可得p ⇒q ，则A ＝{x |x 2－x －6≥0}＝{x |(x －3)(x ＋2)≥0} ＝{x |x ≥3或x ≤－2} 由p ⇒q ， 可得A ⊆B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－a ＜3－2＜2a ，⇒a ＞－1.法二 A ＝{x |x ≥3或x ≤－2}，∁U A ＝{x |－2＜x ＜3}，而∁U B ＝{x |2a ≤x ≤－a }， 由綈p 是綈q 的必要不充分条件， 可得綈q ⇒綈p ， 也即∁U B ⊆∁U A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＞－2－a ＜3，⇒a ＞－1.1．利用充分、必要条件求参数的取值范围问题，常利用集合法求解，即先化简集合A ＝{x |p (x )}和B ＝{x |q (x )}，然后根据p 与q 的关系(充分、必要、充要条件)，得出集合A 与B 的包含关系，进而得到相关不等式组(也可借助数轴)，求出参数的取值范围．2．判断p 是q 的什么条件，若直接判断困难，还可以用等价命题来判断，有时也可通过举反例否定充分性或必要性．已知p ：x 2－8x －20≤0，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)．若綈p 是綈q 的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围．【解】 法一 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10， 由x 2－2x ＋1－m 2≤0，得1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0)． ∴綈p ：A ＝{x |x ＞10或x ＜－2}， 綈q ：B ＝{x |x ＞1＋m 或x ＜1－m }． ∵綈p 是綈q 的充分而不必要条件，∴A B .∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，1＋m ≤10，1－m ≥－2，解得0＜m ≤3.∴m 的取值范围是{m |0＜m ≤3}．法二 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10， 由x 2－2x ＋1－m 2≤0得1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0)， ∴p ：A ＝{x |－2≤x ≤10}，q ：B ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．∵綈p 是綈q 的充分不必要条件， ∴q 也是p 的充分不必要条件，∴B A .∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，1＋m ≤10，1－m ≥－2，解得0＜m ≤3.∴m 的取值范围是{m |0＜m ≤3}.充要条件的证明求证：方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不等的实根的充要条件是：0＜m ＜13.【思路探究】 先找出条件和结论，然后证明充分性和必要性都成立． 【自主解答】 充分性(由条件推结论)： ∵0＜m ＜13，∴方程mx 2－2x ＋3＝0的判别式Δ＝4－12m ＞0， ∴方程有两个不等的实根．设方程的两根为x 1、x 2，当0＜m ＜13时，x 1＋x 2＝2m ＞0且x 1x 2＝3m ＞0，故方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根，即0＜m ＜13⇒方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根．必要性(由结论推条件)：若方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根， 则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－12m ＞0x 1x 2＞0，∴0＜m ＜13，即方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根⇒0＜m ＜13.综上，方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是0＜m ＜13.1．证明p 是q 的充要条件，既要证明命题“p ⇒q ”为真，又要证明“q ⇒p ”为真，前者证明的是充分性，后者证明的是必要性．2．证明充要条件，即说明原命题和逆命题都成立，要注意“p 是q 的充要条件”与“p 的充要条件是q ”这两种说法的差异，分清哪个是条件，哪个是结论．求证：关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根是1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0. 【证明】 假设p ：方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根是1，q ：a ＋b ＋c ＝0.(1)证明p ⇒q ，即证明必要性． ∵x ＝1是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根， ∴a ·12＋b ·1＋c ＝0， 即a ＋b ＋c ＝0.(2)证明q ⇒p ，即证明充分性． 由a ＋b ＋c ＝0，得c ＝－a －b . ∵ax 2＋bx ＋c ＝0，∴ax 2＋bx －a －b ＝0，即a (x 2－1)＋b (x －1)＝0. 故(x －1)(ax ＋a ＋b )＝0. ∴x ＝1是方程的一个根．故方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根是1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0. 五、易误辨析因考虑不周到致误一次函数y ＝－m nx ＋1n的图象同时经过第一、二、四象限的必要不充分条件是( )A ．m ＞0，n ＞0B ．mn ＜0C ．m ＜0，n ＜0D ．mn ＞0【错解】 由题意可得，一次函数y ＝－m nx ＋1n的图象同时经过第一、二、四象限，即⎩⎪⎨⎪⎧－mn ＜0，1n ＞0，解得m ＞0，n ＞0，所以选A.【答案】 A【错因分析】 p 的必要不充分条件是q ，即q 是p 的必要不充分条件，则qDp 且p ⇒q ，故本题应是题干⇒选项，而选项D 题干，选项A 为充要条件．【防范措施】 要说明p 是q 的充分不必要条件，须满足p ⇒q ，但qD p ；要说明p是q 的必要不充分条件，须满足pDq ，但q ⇒p ；要说明p 是q 的充要条件，须满足p ⇒q且q ⇒p ，解题时一定要考虑周到，切莫顾此失彼．【正解】 一次函数y ＝－m n x ＋1n 的图象同时经过第一、二、四象限，即⎩⎪⎨⎪⎧－mn ＜0，1n ＞0，得m ＞0，n ＞0.故由函数y ＝－m nx ＋1n的图象同时经过第一、二、四象限可以推出mn ＞0，而由mn ＞0不一定推出函数y ＝－m nx ＋1n的图象过一、二、四象限，所以选D.【答案】 D 六、课堂小结充分条件与必要条件的判断方法(1)定义法用定义法判断直观、简捷，且一般情况下，错误率低，在解题中应用极为广泛．(2)集合法从集合角度看，设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|满足条件q}．①若A⊆B，则p是q的充分条件；若A B，则p是q的充分不必要条件．②若A⊇B，则p是q的必要条件；若A B，则p是q的必要不充分条件．③若A＝B，则p是q的充要条件．④若A⃘B，且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．(3)等价转化法当某一命题不易直接判断条件和结论的关系(特别是对于否定形式或“≠”形式的命题)时，可利用原命题与逆否命题等价来解决．(4)传递法充分条件与必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒p3⇒…⇒p n，则可得p1⇒p n，充要条件也有传递性．七、双基达标1．(2013·成都高二检测)“x＝3”是“x2＝9”的( )A．充分而不必要的条件B．必要而不充分的条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件【解析】当x＝3时，x2＝9；但x2＝9，有x＝±3.∴“x＝3”是“x2＝9”的充分不必要条件．【答案】 A2．设p：x2＋3x－4＞0，q：x＝2，则p是q的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】当x2＋3x－4＞0时，不一定有x＝2；但当x＝2时，必有x2＋3x－4＞0，故p是q的必要不充分条件．【答案】 B3．在“x 2＋(y －2)2＝0是x (y －2)＝0的充分不必要条件”这句话中，已知条件是________，结论是________．【答案】 x 2＋(y －2)2＝0 x (y －2)＝04．若p ：x ＝1或x ＝2；q ：x －1＝x －1，则p 是q 的什么条件？【解】 因为x ＝1或x ＝2⇒x －1＝x －1；x －1＝x －1⇒x ＝1或x ＝2，所以p 是q 的充要条件.八、知能检测一、选择题1．若集合A ＝{1，m 2}，B ＝{2,4}，则m ＝2是A ∩B ＝{4}的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 当m ＝2时，m 2＝4，A ∩B ＝{4}，但m 2＝4时，m ＝±2，∴A ∩B ＝{4}得m ＝±2.【答案】 A2．(2013·济南高二检测)设α，β∈(－π2，π2)，那么“α＜β”是“tan α＜tan β”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 在(－π2，π2)中，函数y ＝tan x 为增函数，所以设α、β∈(－π2，π2)，那么“α＜β”是tan α＜tan β的充要条件．【答案】 C3．下列选项中，p 是q 的必要不充分条件的是( )A ．p ：a ＋c >b ＋d ，q ：a >b 且c >dB ．p ：A B ，q ：x ∈A ⇒x ∈BC ．p ：x ＝1，q ：x 2＝xD ．p ：a >1，q ：f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)在(0，＋∞)上为增函数【解析】 易知由a ＋c >b ＋dDa >b 且c >d . 但a >b 且c >d ，可得a ＋c >b ＋d∴“p ：a ＋c >b ＋d ”是“q ：a >b 且c >d ”的必要不充分条件．故选A.【答案】 A4．“α＞β”是“sin α＞sin β”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件【解析】 由“α＞β”D “sin α＞sin β”；由“sin α＞sin β”D “α＞β”，应选C.(也可以举反例)．【答案】 C5．(2013·青岛高二检测)下列各小题中，p 是q 的充分必要条件的是( ) ①p ：m ＜－2或m ＞6，q ：y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同的零点；②p ：f －x f x＝1，q ：y ＝f (x )是偶函数； ③p ：cos α＝cos β；tan α＝tan β；④p ：A ∩B ＝A ，q ：∁U B ⊆∁U A .A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④【解析】 ①y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同的零点，则Δ＝m 2－4(m ＋3)＞0，得m ＞6或m ＜－2，所以p 是q 的充要条件．②若y ＝f (x )中存在x 0，使得f (x 0)＝0，则p 是q 的充分不必要条件．③当α＝β＝k π＋π2时，tan α，tan β无意义，所以p 是q 的必要不充分条件． ④p 是q 的充要条件．【答案】 D二、填空题6．下列不等式：①x ＜1；②0＜x ＜1；③－1＜x ＜0；④－1＜x ＜1.其中，可以是x 2＜1的一个充分条件的所有序号为________．【答案】 ②③④7．(2013·武汉高二检测)“b 2＝ac ”是“a 、b 、c ”成等比数列的________条件．【解析】 “b 2＝acD”a ，b ，c 成等比数列，如b 2＝ac ＝0；而“a ，b ，c ”成等比数列“⇒”“b 2＝ac ”．【答案】 必要不充分8．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋(m ＋1)y ＝2－m 与直线mx ＋2y ＝－8互相垂直的充要条件是m ＝______.【解析】 直线x ＋(m ＋1)y ＝2－m 与直线mx ＋2y ＝－8互相垂直⇔1·m ＋(m ＋1)·2＝0⇔m ＝－23. 【答案】 －23 三、解答题9．指出下列命题中，p 是q 的什么条件．(1)p ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－x －12≤34，q ：13x 2＋32x －3≥0； (2)p ：ax 2＋ax ＋1＞0的解集是R ，q ：0＜a ＜4；(3)p ：A ∪B ＝A ，q ：A ∩B ＝B .【解】 (1)化简得p ：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 72≤x ≤132， q ：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≤－6或x ≥32.如图由图可知，⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 72≤x ≤132⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≤－6或x ≥32， 所以p 是q 的充分不必要条件．(2)因为ax 2＋ax ＋1＞0的解集是R ，所以①当a ＝0时成立；②当a ≠0时，ax 2＋ax ＋1＞0的解集是R ，有⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝a 2－4a ＜0，a ＞0，解得0＜a ＜4，所以0≤a ＜4.所以pD ⇒/q ，q ⇒p ，所以p 是q 的必要不充分条件．(3)对于p ：A ∪B ＝A ⇔B ⊆A ，对于q ：A ∩B ＝B ⇔B ⊆A ，即p ⇔q ，所以p 是q 的充要条件．10．若A ＝{x |a ＜x ＜a ＋2}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞3}，且A 是B 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【解】 ∵A 是B 的充分不必要条件，∴A B .又A ＝{x |a <x <a ＋2}，B ＝{x |x <－1或x >3}．因此a ＋2≤－1或a ≥3，∴实数a 的取值范围是a ≥3或a ≤－3.11．设a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边，证明：“a 2＝b (b ＋c )”是“A ＝2B ”的充要条件．【证明】 充分性：由a 2＝b (b ＋c )＝b 2＋c 2－2bc cos A 可得1＋2cos A ＝c b ＝sin C sin B. 即sin B ＋2sin B cos A ＝sin(A ＋B )．化简，得sin B ＝sin(A －B )．由于sin B ＞0且在三角形中，故B ＝A －B ，即A ＝2B .必要性：若A ＝2B ，则A －B ＝B ，sin(A ＋B )＝sin B ，即sin(A ＋B )＝2sin B cos A ＝sin A .∴sin(A ＋B )＝sin B (1＋2cos A )．∵A 、B 、C 为△ABC 的内角，∴sin(A ＋B )＝sin C ，即sin C ＝sin B (1＋2cos A )．∴sin C sin B ＝1＋2cos A ＝1＋b 2＋c 2－a 2bc ＝b 2＋c 2－a 2＋bc bc，即c b ＝b 2＋c 2＋bc －a bc. 化简得a 2＝b (b ＋c )．∴a 2＝b (b ＋c )是“A ＝2B ”的充要条件.九、备课资源试求关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0有两个负实根的充要条件．【自主解答】 如果方程x 2＋mx ＋1＝0有两个负实根， 设两负根为x 1，x 2，则x 1x 2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝m 2－4≥0，x 1＋x 2＝－m ＜0，解之得m≥2. 因此m ≥2是方程x 2＋mx ＋1＝0有两个负实根的必要条件． 下面证明充分性．因为m ≥2，所以Δ＝m 2－4≥0，所以方程x 2＋mx ＋1＝0有实根，设两根为x 1，x 2， 由根与系数的关系知，x 1x 2＝1＞0，所以x 1，x 2同号． 又x 1＋x 2＝－m ≤－2＜0，所以x 1，x 2同为负数．故m ≥2是方程x 2＋mx ＋1＝0有两个负实根的充要条件．求关于x 的不等式kx 2＋x ＋k ＞0(k ≠0)恒成立的充要条件．【解】 kx 2＋x ＋k ＞0(k ≠0)恒成立．⇔⎩⎪⎨⎪⎧ k ＞0Δ＝1－4k 2＜0⇔k ＞12.。

§1.2.1 充分条件与必要条件教学目标1、知识与技能（1）理解充分条件、必要条件及充要条件的概念；理解“⇒”的含义。

（2）初步掌握充分、必要条件及充要条件的判断方法。

（3）在理解定义的基础上，能对定义进行转化，转化成推理关系及集合的包含关系。

2、过程与方法通过对充分条件、必要条件、充要条件概念的理解和运用，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力．在观察和思考中，在解题和证明题中，培养学生思维能力的严密性品质．3、情感、态度与价值观（1）通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育．（2）通过学习本节课体验成功的愉悦，激发学生的学习热情和求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．教学重点（1）对充分条件、必要条件、充要条件概念的理解和判断.（2）利用定义法、从集合角度、等价命题解决充要条件问题.教学难点理解充分条件、必要条件、充要条件的判断方法.教学方法小组合作学习，由微课引入课题，用例子的形式和同学一起探究得出问题的解决办法. 教学过程一、微课《水滴石穿》引入新课教师板书课题--1.2 充分条件与必要条件二、新授课1、新的数学符号：“⇒”读作:推出； “⇒/”读作：推不出.2、教师总结板书定义：一般地，“若p ，则q ”为真命题，是指由p 通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p 可推出q ，记作：p ⇒q ，并且说p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件.也可以简单说成：⎧⎨⎩前者是后者的充分条件；如果前者能推出后者后者是前者的必要条件. 3、教师板书定义：如果q ⇒p ，那么我们就说，p 是q 的必要条件,q 是p 的充分条件.4、教师板书定义：若p ⇒q 且q ⇒/p ，即p 是q 成立的充分条件，但不是必要条件，我们称p 是q 的充分不必要条件．下面我们对定义加以运用，看下面的例题.221.(1).1,430.(2).(),().(3).,.p q p q x x x f x x f x R x x =-+==例下列“若、则”的命题中，哪些命题中的是的充分条件？若则若则在上是增函数若为无理数则为无理数学生思考分析：因为(1) (2)中p ⇒q ，(3)中p ⇒/q ，所以p 是q 的充分条件.教师点评例2 下列“若p ，则q”形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的必要条件？(1)若x 2=y 2，则x=y.(2)若两个三角形的面积相等,则这两个三角形全等.(3)若ac 2>bc 2，则a>b.学生思考分析：命题(1) (2)中q ⇒p ，命题(3)中q ⇒/p ，所以命题(1)(2)中的p 是q 的必要条件. 教师点评加法总结：如何判断p 是q 的充分条件,p 是q 的必要条件？教师板书：1、可以判断命题的真假；2、看p q ⇒是否成立；看q p ⇒是否成立.例3下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的充分不必要条件？（1）若x y =，则22x y =；（2）若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等；（3）若0ab =，则a=0.学生思考分析：命题（1）（2）中p ⇒q 且q ⇒/p ，所以命题（1）（2）中的q 是p 的充分不必要条件. 教师提问：命题（3）中p ⇒q ，q ⇒p 吗？那么p 是q 的什么条件呢？我们给出新的定义.5、教师板书定义：若p ⇒/q 且q ⇒p ，即p 是q 成立的必要条件，但不是充分条件，我们称p 是q 的必要不充分条件．思考：条件p ：三角形的三条边相等，结论q ：三角形的三个角相等，p ⇒q ，q ⇒p 成立吗？因此，p q 是的什么条件？6、教师板书定义：如果p ⇒q 且q ⇒p ，记作p ⇔q ．这时，p 既是q 成立的充分条件，又是q 的必要条件，我们称p 是q 的充分必要条件，简称p 是q 的充要条件．另外，如果p ⇒/q 且q ⇒/p ，那么称p 是q 的既不充分又不必要条件练习1：下列各组语句中，p 是q 的什么条件？（1）p ：a ＞0，b ＞0，q ：a ＋b ＞0； 充分不必要条件（2）p ：四边形的四条边相等，q ：四边形是正方形； 必要不充分条件（3）p ：|x|＜1，q ：－1＜x ＜1； 充要条件（4） p ：a ＞b ，q ：a 2＞b 2. 既不充分也不必要条件学生小组研究完成，再由学生回答。

1.2 充分条件和必要条件[教学目标]：1．进一步理解并掌握充分条件、必要条件、充要条件的概念；2．掌握判断命题的条件的充要性的方法；[教学重点、难点]：理解充要条件的意义，掌握命题条件的充要性判断．[教学过程]：一、复习回顾一般地，如果已知p q ⇒，那么我们就说p 是q 成立的充分条件，q 是p 的必要条件 ⑴“a b c >>”是“()()()0a b b c c a ---<”的 充分不必要 条件．⑵若a 、b 都是实数，从①0ab >；②0a b +>；③0ab =；④0a b +=；⑤220a b +>；⑥220a b +=中选出使a 、b 都不为0的充分条件是 ①②⑤ ．二、例题分析条件充要性的判定结果有四种，判定的方法很多，但针对各种具体情况，应采取不同的策略，灵活判断．下面我们来看几个充要性的判断及其证明的例题．1．要注意转换命题判定，培养思维的灵活性例1：已知p ：2x y +≠-；q ：x 、y 不都是1-，p 是q 的什么条件？分析：要考虑p 是q 的什么条件，就是判断“若p 则q ”及“若q 则p ”的真假性 从正面很难判断是，我们从它们的逆否命题来判断其真假性“若p 则q ”的逆否命题是“若x 、y 都是1-，则2x y +=-”真的“若q 则p ”的逆否命题是“若2x y +=-，则x 、y 都是1-”假的故p 是q 的充分不必要条件注：当一个命题很难判断其真假性时，我们可以从其逆否命题来着手．练习：已知p ：2x >或23x <；q ：2x >或1x <-，则p ⌝是q ⌝的什么条件？ 方法一：2:23p x ⌝≤≤ :12q x ⌝-≤≤ 显然p ⌝是q ⌝的的充分不必要条件方法二：要考虑p ⌝是q ⌝的什么条件，就是判断“若p ⌝则q ⌝”及“若q ⌝则p ⌝”的真假性“若p ⌝则q ⌝”等价于“若q 则p ”真的“若q ⌝则p ⌝”等价于“若p 则q ”假的故p ⌝是q ⌝的的充分不必要条件2．要注意充要条件的传递性，培养思维的敏捷性例2：若M 是N 的充分不必要条件，N 是P 的充要条件，Q 是P 的必要不充分条件，则M 是Q 的什么条件？分析：命题的充分必要性具有传递性M N P Q ⇒⇔⇒ 显然M 是Q 的充分不必要条件3．充要性的求解是一种等价的转化例3：求关于x 的一元二次不等式21ax ax +>于一切实数x 都成立的充要条件分析：求一个问题的充要条件，就是把这个问题进行等价转化由题可知等价于000004040a a a a a a ≠⎧⎪=>⇔=<<⇔≤<⎨⎪∆<⎩或或4．充要性的证明，关键是理清题意，特别要认清条件与结论分别是什么例4：证明：对于x 、y ∈R ，0xy =是220x y +=的必要不充分条件．分析：要证明必要不充分条件，就是要证明两个，一个是必要条件，另一个是不充分条件必要性：对于x 、y ∈R ，如果220x y +=则0x =，0y = 即0xy =故0xy =是220x y +=的必要条件不充分性：对于x 、y ∈R ，如果0xy =，如0x =，1y =，此时220x y +≠故0xy =是220x y +=的不充分条件综上所述：对于x 、y ∈R ，0xy =是220x y +=的必要不充分条件．例5：p ：210x -≤≤；q ：()110m x m m -≤≤+>．若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．解：由于p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，则p 是q 的充分不必要条件于是有12101m m-≤-⎧⎨≤+⎩9m ∴≥ 三、练习：1．若命题甲是命题乙的充分不必要条件，命题丙是命题乙的必要非充分条件，命题丁是命题丙的充要条件，那么：命题丁是命题甲的什么条件．（必要不充分的条件）2．对于实数x 、y ，判断“x+y ≠8”是“x ≠2或y ≠6”的什么条件．（充分不必要条件）3．已知0ab ≠，求证：1a b +=的充要条件是：33220a b ab a b ++--=.。

《充分条件与必要条件》教案3（新人教A版选修2-1）1.2 充分条件和必要条件【教学目标】1．从不同角度帮助学生理解充分条件、必要条件与充要条件的意义；2．结合具体命题，初步认识命题条件的充分性、必要性的判断方法；3．培养学生的抽象概括和逻辑推理的意识．【教学重点】构建充分条件、必要条件的数学意义；【教学难点】命题条件的充分性、必要性的判断．【教学过程】一、复习回顾1．命题：可以判断真假的语句，可写成：若p则q．2．四种命题及相互关系：3．请判断下列命题的真假：（1）若,则; （2）若,则;（3）若,则; （4）若,则二、讲授新课1.推断符号""的含义：一般地,如果"若,则"为真, 即如果成立，那么一定成立,记作:"";如果"若,则"为假, 即如果成立，那么不一定成立,记作:"". 用推断符号"和"写出下列命题：⑴若，则；⑵若，则；2．充分条件与必要条件一般地，如果，那么称p是q的充分条件；同时称q是p的必要条件．如何理解充分条件与必要条件中的"充分"和"必要"呢？由上述定义知""表示有必有，所以p是q的充分条件，这点容易理解．但同时说q是p的必要条件是为什么呢？q是p 的必要条件说明没有就没有,是成立的必不可少的条件,但有未必一定有.充分性：说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的．它符合上述的"若p则q"为真（即）的形式．"有之必成立，无之未必不成立"．必要性：必要就是必须，必不可少．它满足上述的"若非q则非p"为真（即）的形式．"有之未必成立，无之必不成立"．命题按条件和结论的充分性、必要性可分为四类：（1）充分必要条件（充要条件），即且；（2）充分不必要条件，即且；（3）必要不充分条件，即且；（4）既不充分又不必要条件，即且．3．从不同角度理解充分条件、必要条件的意义（1）借助"子集概念"理解充分条件与必要条件。