例谈中学数学问题的反例构造方法

初中数学运用反例教学的案例分析一、数学反例的功能数学反例贯穿于整个数学学习阶段，通过学习数学反例可加深学生对数学概念的理解：培养学生对数学知识归纳、提炼;还养成严密的逻辑思维能力和正确运用数学语言，通过学习数学反例可以提高学生作图技能.教学中恰当地利用反例，可以促进学生数学概念的形成、数学内涵的理解，使学生全面掌握数学知识，解决数学问题.除此之外，学会举反例，有助于学生形成批判意识，数学反例具有独特的教学功能。

所以，在教学中既要重视解答数学命题的能力，又要加强数学反例的教学。

二、教学反例与课堂教学1、几个相关定理定理1：有两边及其中一边的对角对应相等的两直角三角形全等。

分析：在两直角三角形中，若已知两边对应相等.则这两边必是两直角边或斜边和一直角边，因此可由边角边公理或斜边直角边公理判定这两个三角形全等。

证明：略。

定理2：有两边及其中一边的对角对应相等的等腰三角形全等。

分析：在两个等腰三角形中，若有一角对应相等.易证另两角也分别对应相等。

再由边角边公理可两三角形全等。

证明：略。

由定理1、2知，反例中的三角形一定不是直角三角形或等腰三角形。

定理3：在两三角形中，如果已知两边及其中一边的对角对应相等，则第三边上的高对应相等。

2、举反例有利于数学概念的形成和理解概念的反例提供了最有利于辨别数学概念的信息，使人产生深刻印象，对概念认识的深化具有非常重要的作用.反例的适当使用不但可以使学生概念的理解更加精确，而且还可以排除无关属性的干扰.教师可以通过创设反例加深学生对概念实质的理解.比如在初二学习函数定义时，“在某一变化过程中，存在两个变量x、y，当变量x在某一允许变化范围内任取一个值，通过某种对应法则，都有唯一的值y与之对应，则称y是x的函数，记作y=f(x)，其中X叫做自变量，Y叫因变量”.表面上，同学们都认为这个定义不需要解释也能明白、理解，但我出了四个例子(其中二个是反例)让学生来比较判断，结果约有60%多的学生出现错误，是什么原因造成的呢?仔细分析下来，学生对上述定义中两处划线词语的理解不透，我们来简要分析这几个反例.答案(1)中，因为集合A中的元素1在集合B中有两个元素与之对应，不符合定义中的“唯一”，而答案(3)中的A集合中的元素3没有规定像，也不符合定义中的“任取”之要求，所以正确答案是(2)和(4)。

数学教学中反例的构造法要肯定数学命题的正确性，就必须进行严格的数学证明或正确的数字运算；要说明一个命题是假的，只要举一个例子予以否定即可，这个例子就是所谓的反例. 因此，构造反例同证明具有同等的重要地位. 那么，构造反例有没有一般方法呢？如果有，它的一般方法又是什么呢？本文试图从几个不同角度予以分析、回答.所谓构造反例，就是要举一个例子说明条件命题“A?圯B”为假，在这个例子中，要求条件A为真，结论B为假，即由A真不能导致B真.一般地，一个假命题的反例有好几个，构造反例时只要能举出其中一个就行.构造反例的思维特征是思维的发散性. 构造反例的一般方法有析取法、逼近法、运动法等.一、析取法所谓析取法，就是在深刻理解基础知识的前提下，抓住定理、公式、法则成立的前提以及其他正确命题中容易忽视的条件（隐含条件）、几何图形中构造元的特殊位置（如端点等）而进行的综合分析——构设反例的构造活动.这种方法适用于由于忽视定理、公式、法则及其他正确命题的前提条件而产生的假命题.例1 已知l1，l2是平面上的两条直线，若l1∥l2，则k1=k2（k1，k2分别为两条直线的斜率）.构造思路：抓住学生所忽视的：若l1∥l2，则k1=k2的前提条件是两直线的斜率都存在，构造出反例. 当直线l1，l2都垂直于x轴（l1，l2不重合）时，虽然l1平行于l2，但两直线的斜率都不存在，因此，更谈不上相等. 所以原命题为假.例2 若a2，b2，c2成等差数列，则，，也成等差数列.构造思路：抓住分式的分母不能为零这一点，可构造反例. 当a=-b，c=-b时，虽然a2，b2，c2成等差数列，但是结论不正确.例3 若a，b，c均为正数，当a-b0，b>0，且a≠0，b≠0，则：logab+logba≥2.构造思路：不等式成立的条件是：logab>0，logba>0，但题设并不能保证上面两个不等式恒成立，由logab1”或“a>1，且0<b<1”，所以，当a，b同时属于上述两条件中某一个时，原题结论不成立.因此，可构造反例：当a=2，b=时，显然题设条件被满足，但log2+log2=-2.即原命题为假.例 5 “过圆锥的两条母线所作的一切截面中，以轴截面的面积最大”是否正确？若正确，请证明；若不正确，请举反例.构造思路：如图1，BC为圆锥底面的直径，设母线长为l，∠BPC=α，∠BPA=β，PBC为轴截面，PBA是另一任意截面.则有S△BPC=BP&#8226;PC&#8226;sin∠BPC=l2sinα，S△BPA=BP&#8226;PA&#8226;sin∠BPA=l2sinβ，若结论不成立，即：S△BPC<S△BPA，∴sinα<sinβ.解不等式得0°<α<β≤90°，或90°≤β<α<180°.由于圆锥的顶角大于或等于任意两母线所夹的角β，所以，只有在条件90°≤β<α<180°下，反例存在. 因此，可构造如下反例：当α=120°，β=90°时，因为S△BPC=l2sin120°=l2，S△BPA=l2sin90°=l2；显然S△BPC<S△BPA，即轴截面的面积不是最大.三、运动法所谓运动法，就是通过代数中变元的变动，几何图形中构成元的移动而进行的观察、分析、找出反例所在的位置（状态），然后举出反例的方法. 这种方法主要体现了用“运动”观点解题的思想.例 6 命题：“一组对边相等且一对对角相等的四边形一定是平行四边形”是否正确？若不正确，请举例.构造思路：作平行四边形ACBD，再过A，C，B三点及A，B，D三点作两个圆，让点C在弧上移动，使得AC′=AC，则在四边形AC′BD中，虽有∠C′=∠D，AC′=BD，但它不是平行四边形.如图2所示.构造反例虽然比较困难，其中乐趣无穷，在教学过程中引导学生构造一些假命题的反例，不但可以提高学生的能力，开发学生的智力，而且利用反例还可以纠正学生的错误，发现问题，加深学生对知识的理解等.。

泰州教育ＴＡＩＺＨＯＵＪＩＡＯＹＵ反例是指符合命题条件而不符合该命题结论的例子。

简言之，反例就是能够说明一某命题不成立的例子（即假命题）。

数学中的反例的主要作用是证伪（即说明某一个命题不正确），当直接证明某个命题是假命题或说明某些猜想错误比较困难时，常常会趋向于寻找一个反例，以说明这个命题或猜想是错误的，在数学教学中，恰当地运用与建构反例进行数学教学，有助于学生深刻理解与掌握，有助于培养学生思维的灵活性与深刻性。

本文从反例的运用、引入、分析和建构等几个方面，谈谈初中数学中反例教学，以期得到同行的指正。

一、运用反例，深化理解数学概念在数学概念教学中，不少学生难以把握概念的内涵与外延，从而导致概念理解错误。

教学中，通过反例的恰当运用，引发学生思维冲突，促使学生积极思考，从而全面、正确认识概念。

例如，说明“一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形”这个结论是假命题，我们可以启发学生思考：能不能找到这样的四边形，满足“一组对边平行，另一组对边相等”，但却不是平行四边形，显然，等腰梯形的一组对边平行，另一组对边相等但不平行，故不是平行四边形，所以这个结论不成立，从而深化了学生对平行四边形概念的理解。

反例从哪里来？笔者以为：大多数反例应该基于学生的已有认知和数学活动经验，包括错误的经验。

如从学生课堂教学学习活动出现的问题中来，从学生练习中出现的错误中来，而不是教师先入为主地抛出。

只有这样，学生才会有切身的体验。

例如，上述问题中，如果学生没有接触过等腰梯形，就不可能举出这样的反例；再比如，在“三线八角”概念的教学中，学生对同位角的概念理解不清，笔者从学生作业中发现这样的问题：“若第一个角与第二个角是同位角，第二个角与第三个角是同位角，则第一个角与第三个角也是同位角”，这时可以引导学生通过画图来辨析：如图1，∠1与∠2是同位角，∠2与∠3也是同位角，那么∠1与∠3是同位角吗？这样，学生对上述判断是否正确就便会了然于心，从而使同位角概念真正内化。

举反例的常用方法
所谓反例，通常是指用来说明某个命题不成立的例子．要证明一个命题是错误的，极具有说服力而又简明的方法就是举出反例，去推翻它．由于反例在否定一个命题时具有特殊的威力，因此我们在学习数学的过程中必须认识到它的作用．举反例时，可以用文字语言来表述，也可以用数据来说明，还可以用图形来表示．
一、通过画图举反例
例1下列四个判断：
（1）有两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等；
（2）有两边及其第三边上的高对应相等的两个三角形全等；
（3）一边及其它两边上的高对应相等的两个个三角形全等．上述判断是否正确若正确说明理由；若不正确,请举出反例．解：判断（1）的反例：如图1，在△ABC和△AB′C中,AC=AC，BC=B′C，高AH=AH，但两个三角形不全等．
判断（2）的反例：如图2，在△ABC和△ABC′中，AB=AB，AC=AC′，高AH=AH，但两个三角形不全等．
判断（3）的反例：如图3，在△ABC中，AD、BE分别是边BC、AC上的高，作∠BAF=∠BAC，延长BC，FA交于点C′，则BF=BE，AD=AD，又AB=AB，但△ABC与△ABC′不全等．
故（1）、（2）、（3）都不正确．
二、通过数据举反例
例2有下列三个命题： ①若、是不相等的无理数,则－是无理数； ②若、是不相等的无理数,则是无理数； ③若、是不相等的无理数,则是无理数． 其中正确命题的个数是（）．
.1 C 解：只要令
=1，=－1，则－是有理数，所以①不对； 又若令
=2，=，则是有理数，所以②不对； 又令=，=－，则=0是有理数，所以③不对． 故应选A ．
C
B A A
B B C'
F C F
E 图
图图D。

第1篇摘要：本文通过分析实践数学教学中的反例，探讨当前数学教学中存在的问题，并提出相应的改进措施，旨在提高数学教学质量，促进学生全面发展。

一、引言数学作为一门基础学科，在培养学生逻辑思维、空间想象、问题解决等方面具有重要意义。

然而，在实际的数学教学中，我们常常会遇到一些反例，这些问题不仅影响了学生的学习效果，也制约了数学教学的深入发展。

本文将从以下几个方面对实践数学教学中的反例进行分析。

二、反例一：重理论轻实践在数学教学中，有些教师过于注重理论知识的传授，忽视了学生的实践操作能力培养。

这种教学方式导致学生在面对实际问题时，往往束手无策。

以下是一个典型的反例：案例：在讲解“三角形面积计算”时，教师只讲解了公式推导过程，而没有让学生动手操作验证。

当学生遇到实际问题时，如计算不规则图形的面积，他们无法运用所学知识解决问题。

改进措施：教师在讲解理论知识的同时，应注重实践操作环节，让学生通过动手操作、实验探究等方式，加深对知识的理解。

三、反例二：忽视学生个体差异在数学教学中，每个学生都有自己的学习特点和需求。

然而，有些教师忽视了学生的个体差异，采用“一刀切”的教学方式，导致部分学生跟不上教学进度，产生厌学情绪。

以下是一个典型的反例：案例：在讲解“分数乘法”时，教师按照统一进度进行讲解，对于基础薄弱的学生来说，他们很难跟上教师的节奏，导致学习效果不佳。

改进措施：教师应关注学生的个体差异，根据学生的实际情况调整教学进度，采用分层教学、个性化辅导等方式，满足不同学生的学习需求。

四、反例三：过度依赖教材，忽视创新教育在数学教学中，有些教师过度依赖教材，按照教材内容进行讲解，忽视了创新教育的重要性。

以下是一个典型的反例：案例：在讲解“圆的周长和面积”时，教师只讲解了公式推导过程，而没有引导学生进行创新思维训练。

改进措施：教师应关注创新教育，鼓励学生在学习过程中发挥想象力，提出自己的观点和想法，培养学生的创新思维。

五、反例四：忽视数学与其他学科的融合数学与其他学科之间存在着紧密的联系。

初中数学反例教学案例及思考反例可使学生正确理解基本概念。

概念是数学理论和方法的基础，只有准确理解和把握概念的内涵，才能正确掌握数学知识．数学中的概念繁多．有些概念是比较抽象的，在讲授这些概念时，可通过列举反例．从反面消除容易出现的一些模糊认识，加深对概念的理解．恰当运用反例，帮助学生理解和掌握数学概念。

可以进一步使学生对所学概念的反思，引起矛盾冲突，促使学生积极思维，在矛盾冲突中使学生对所学概念的认识得以完善，从而达到深刻理解和掌握概念。

1都是单项例：在教学“单项式”这个概念时，可以举这样一道例题：a/2 和x式，这句话对吗？问题一举出后，学生就展开讨论，有学生说，是单项式，不是单项式；有的学生说，两个都不是；还有的学生说，这句话是对的。

于是教师可引导学生分析理解“单项式”概念，“数”与“字母”是积，而不是商。

而 a/2可以1是数与改写为a ·1/2 ，仍是数与字母的“积”，符合概念要求，所以是单项式；x字母的商，所以不是单项式。

从而使学生们找到了正确的答案，也深刻理解和掌握了这个概念。

恰当出示反例，帮助学生掌握数学中的定理或性质。

学生在学习一个新的定理或性质时，往往会忽略定理或性质中的关键词语，从而造成解题的错误。

为了克服这一现象，恰当引入反例，可以帮助学生记忆这些关键词语，从而达到掌握定理和性质，并能理解性的加以应用。

例如：“SSA”的反例。

判定方法中有SAS、交换边角后有ASA，但AAS交换边角后得到“SSA”不构成有效的判定方法。

如图一，作锐角三角形ABC,以A为圆心，AC为半径作圆，圆弧交BC于D，则△ABC和△ABD中，有AB=AB,AD=AC,∠B=∠B,但显然△ABC与△ABD不全等。

又如图二，作等腰三角形ABC，在底边BC上任取异于中点的一点D，则△ABD与△ACD中，AB=AC,AD=AD, ∠B=∠C,但这两个三角形不全等。

所以在判断三角形全等的方法中没有“SSA”，从而使学生更能掌握全等判定定理和性质，并能理解性的加以应用。

例谈中学数学问题的反例构造方法柯街中学周德春摘要：在中学数学学习中，反例对于数学问题的解决有着重要的作用。

数学中的反例是对命题十分简明的否定，同时又是对命题极有说服力的肯定，一个恰当的反例不仅能加深学生对概念的理解，而且有利于学生数学思维能力的培养。

关键词：中学数学；数学反例；数学思维1.基本概念界定所谓反例构造，就是为了说明一个命题不成立，我们常常选择符合题设已知条件，但命题结论不成立的例子，这个过程就是反例构造[1]。

2.反例的构造2.1特例构造法特殊与一般属于对偶范畴，它们一方面相互对立，另一方面相互联系和相互依赖[2]。

利用它们之间这样的关系，可由“特殊”发现“一般”，利用它们之间的对应，又可由“特殊”否定“一般”。

因此利用“特殊”否定“一般”称之为反例的特例构造法，在反例的构造中占有很大的比重。

例1.无理数的无理数指数幂是无理数。

分析：初看这个问题，很多人一定无从下手，故举特例可以进行反驳。

S=，若S为有理数，则说明命题不成立，若S为无理数，则22===⎪⎭，为有理数，则命题不成立。

由此可见，无论S是否是有理数，命题都不成立。

2.2性质构造法性质构造就是根据反例本身性质特征，按一定的数学知识技能进行反例构造[3]例2．周期函数必有最小正周期。

可举反例：()11xf xx⎧=⎨-⎩是有理数是无理数分析：设T为任意有理数，当x为有理数时，x T+也为有有理数，x为无理数时，x T+也为无理数。

则有()11x Tf x Tx T+⎧+=⎨-+⎩是有理数是无理数即：()()f x f x T=+，则()f x以任意有理数T为周期，但有理数中无最小正有理数，所以()f x不存在最小正周期[5]。

βαPCAB2.3逼近构造法所谓逼近构造法就是通过分析问题，查找到命题的使用范围，继而找到反例的应用范围。

然后逐步将范围缩小，并构造出所需要的反例。

例3.“过圆锥的两条母线所作的一切截面中，以轴截面的面积最大”是否正确？若正确，请证明；若不正确，请举反例。

摘要反例作为逆向思维的重要组成部分，在数学中扮演着不可缺少的角色。

当我们要证明一些定义、定理时，教师应该适当地运用反例进行教学，培养学生们的逆向思维；让学生们在学习的过程中不仅可以对新知识更加地了解，提高做题效率，还能提高学生数学学习的兴趣，而且还有助于培养学生的逆向思维能力。

笔者通过在蕉城区第一实验学校实习的过程中发现教师在进行数学教学时基本上不会运用反例的思维进行教学，以至于学生运用反例来解决问题的能力很差。

通过自己的实习经验，在本文中将从教师角度、学生角度、知识特点角度以及现行教育制度这四个角度进行总结，然后给出现阶段反例在中学数学中的应用情况；并从在实习中对学生的反馈情况进行整理，从而提出相应的教学建议。

关键词：反例；中学数学教学；反例应用AbstractAs an important part of reverse thinking,counterexample plays an indispensable role in mathematics. When we want to prove some definitions and theorems,teachers should use counterexamples appropriately to teach and cultivate students’ reverse thinking;in the process of learning,students can not only learn more about new knowledge,improve the efficiency of problem-making,but also improve students’interest in mathematics learning,but also help to cultivate students’ ability of reverse thinking.The author found that teachers in the process of teaching mathematics in the first experimental school in the banana city basically do not use counter-example thinking to teach,so that students use counterexamples to solve problems is very poor.Through his own internship experience,in this paper will be from the teacher’s point of view,the student’s point of view,the student’s point of view,the knowledge characteristics of the perspective and the current education angle of these four angles to summarize,and then give the current counter-example in middle school mathematics application,and from the internship to the students feedback to organize,so as to put forward the corresponding teaching recommendations. Keywords:counterexample,mathematics teaching in middleschool,counterexample application目录1引言 (1)1.1研究现状 (1)1.2研究意义 (2)2反例在初中数学中的应用的研究综述 (4)2.1数学反例的相关研究综述 (4)2.2研究综合述评 (8)3以在蕉城第一实验学校的实习为例 (9)3.1研究方法 (9)3.2研究结果及分析 (9)3.3研究结论 (10)4结束语 (11)谢辞 (12)参考文献 (13)1 引 言在数学史发展的历程中，有很多命题如果是用正向思维去思考的话往往是得不到解决的；但是如果用另外一种思维（逆向思维）方式去思考的话则有可能就会使问题轻而易举地被解决掉；由此可知数学证明和反例在数学中拥有着同等重要的作用]1[。

反例的构造及应用探讨什么是反例？在数学和科学领域中，反例指的是一个专门构造出来用来反驳或推翻一个命题或推理的例子。

它是对一个假设进行反向验证的一种方法。

如果通过找到一个反例能够证明某个结论是错误的，那么这个结论就不是一个普遍成立的结论，而是局限于某些特殊情况下的结论。

反例的构造构造反例是通过举出一个具体示例来证明某个命题的逆否命题或对立命题是正确的，从而证明原命题是错误的。

构造反例的过程一般涉及以下几个步骤：1. 理解问题：首先要理解要证明或推翻的命题，明确假设和结论。

2. 推导逆否命题或对立命题：将要证明或推翻的命题进行否定或推导出逆否命题或对立命题。

3. 分析条件：分析命题中的条件，判断是否存在某种情况或数值能够使得结论不成立。

4. 寻找合适的示例：根据分析得出的条件，找出一个或多个示例来验证命题。

5. 验证结果：通过数学推导或实际计算，验证这个示例是否能够成立。

反例的应用反例在数学和科学研究中有广泛的应用，其中几个常见的应用包括：1. 推翻错误结论：通过构造反例来推翻某个命题的正确性，从而纠正错误的结论。

在数学证明中，找到反例可以帮助我们寻找错误的证明或推理中的逻辑错误。

2. 发现边界条件：通过构造反例，可以揭示一个命题在特定条件下成立或不成立的边界。

这对于进一步深入研究命题的有效性和适用范围非常有帮助。

3. 优化问题解决：在一些优化问题中，通过构造反例可以找到某些条件下最优解的存在性或不可行性。

这有助于我们更好地理解问题的本质以及寻找解决方案的有效性。

4. 验证推论：在数学推理中，有时候我们需要证明一些推论是否成立。

通过构造反例，可以验证这些推论是否正确，从而确保推理的准确性。

总结反例的构造及应用在数学和科学研究中起着重要的作用。

通过构造反例，可以揭示命题的边界条件、发现错误结论、优化问题解决以及验证推论的准确性。

反例是一种重要的思维工具，能够帮助我们深入理解问题，纠正错误，并推动学科的进步。

浅谈初中数学教学中反例的构造和应用教学理论认为：“概念或规则的正例传递了最有利于概括的信息，反例则传递了最有利于辨别的信息。

”因此，构造反例是我们辨析错误的有力工具。

从数学的发展史看，反例和证明一样占据着重要地位。

19世纪中叶，数学界长期认为连续函数除极个别点外总是处处可微的。

但1860年，数学家魏尔斯特拉斯却极为精巧地构造出一个可以被称为“数学中的艺术品”的反例：f（x）=■ancos （bnπx），其中b为奇整数，01+■π。

此函数f（x）居然在实轴上处处连续，但处处不可微。

这个反例推翻了流行了很长时间的谬误。

可见反例在数学发展中有多么重要的地位。

从初中数学的教学实践看，反例和正例起着同样重要的作用。

反例在数学教学中作为一种辅助手段能起到深化概念、释疑解惑的作用。

心理学实验告诉我们：持续不变的同一种信号刺激，容易使人产生厌倦和疲劳；差别大的东西，异常的信号，往往首先引起注意；同样的东西，变换一个角度，变换一种题法，常会给人新鲜感。

可见，在数学教学中，若长时间采用正例帮助学生理解数学知识，很难给学生留下的印象。

因此，在数学教学中不仅要运用正面的例子加以阐明，也要运用恰当的反例从另一侧面抓住概念或规则的本质，深化对数学知识的理解，增强认知的鲜明性。

那么，下面我就谈谈反例在初中数学教学中的构造和运用。

一、恰当地运用反例，可以去伪存真，释疑解惑因构造反例在辨析错解中具有直观、明显、说服力强等突出特点，所以举出反例在揭露错误时有特殊的威力。

平常的教学实践使我们深深地认识到：构造反例，辨析错解，不但可以发现错解中的漏洞，而且可以从反例中得到修补的启示，进而获得正确的解答途径。

例：求关于x的方程x2-（k-2）x+（k2+3k+5）=0两实根平方和的最大值。

设原方程有两实根x1，x2，由韦达定理得：x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=（k-2）2-2（k2+3k+5）=-（k+5）2+19，可知当k=-5，两根平方和有最大值19，初看起来，运算没有错误，而且学生会认为韦达定理运用得非常正确。

初中数学教学中“举反例”技巧分析在不断倡导素质教育的今天，越来越多的教学方式和教学技巧开始在初中数学课堂教学中使用。

而在这一些教学技巧当中，举反例成为当前初中数学教师在课堂教学中最常见的教学技巧之一。

正确地在课堂教学当中使用举反例技巧，不仅能提高教学质量，更能让学生对相关数学知识有着更加深刻的印象。

因此，如何在初中数学教学中应用举反例，成为数学老师需要重点关注的问题。

一、使用举反例对学生的思维进行发散学习初中数学几何正多边形章节知识之后，全班学生已经对多边形的基本性质有了基础认识。

如正多边形的每一条边，边长都相等，各内角度数也相同。

在理解了这些表面知识之后，教师需要让学生对学习的知识进行发散，不能单从简单图形上思考问题，所以教师需要使用举反例的方法让学生对知识进行巩固，并对思维进行发散。

教师此时向学生提出这样一些问题：“如果一个多边形的每一条边边长都相同，那么它一定为正多边形么？”“如果一个多边形的每一个内角度数都一样，那么它一定是正多边形么？”凭借教师举出的两个反例，学生对这一问题进行思考，迅速找出矩形与菱形这两种反例，由此让学生思维有效发散。

在接下来的教学过程当中，学生可以根据教师指导尝试绘制一个满足相关要求的多边形，这些多边形尽管边长相同，但是内角度数却存在很大差异。

从上面教学实例不难发现，在发散学生思维的过程当中，灵活使用举反例技巧，可以让学生在初中数学学习过程中打破思维枷锁，并逐渐得到发散，让学生站在更广阔的角度思索数学问题。

二、使用举反例让学生思维更缜密在初中数学教学过程中，教师需要让学生认识到数学逻辑严谨的特征，尽管初中数学考试当中计算类问题占据绝大多数，但是不能忽略的是在解答问题的过程中会存在很多小技巧等待学生发现。

所以针对这些问题使用小技巧处理时，教师一定要让学生注意逻辑严密性的问题。

并把学生之前回答类似问题时出现的错误总结成反例，让学生在这些错误回答的经验教训中自身逻辑思维更严密。

三招学好举反例黄日坤要说明一个命题是假命题一般可以通过举反例说明.举反例说明一个命题为假命题，所举例子需满足命题的条件，但不满足命题的结论.请看下面几例.一、 举数字反例例1试用举反例的方法说明下列命题是假命题.（1）若实数a ，b 满足a ＜0，b ＜0，则ab ＜0；（2）两个锐角的和是锐角.解：（1）如3a =-，1b =-，满足a ＜0，b ＜0，但0ab >，所以命题是假命题；（2）如两个锐角的度数分别为50°，60°，满足条件“两个角都是锐角”，但50°+60°=110°，是钝角，所以命题是假命题.例2（2017年无锡）对于命题“若a 2＞b 2，则a ＞b ”，下面四组关于a ，b 的值中，能说明这个命题是假命题的是（ ）A ．a=3，b=2B ．a=-3，b=2C ．a=3，b=-1D ．a=-1，b=3解析：选项A 中，a 2=9，b 2=4，同时满足a 2＞b 2，a ＞b ，故A 选项不能说明命题为假命题；选项B 中，a 2=9，b 2=4，满足条件a 2＞b 2，但不满足a ＞b ，故B 选项能说明命题为假命题；选项C 中，a 2=9，b 2=1，同时满足a 2＞b 2，a ＞b ，故C 选项不能说明命题为假命题；选项D 中，a 2=1，b 2=9， a 2＜b 2，且a ＜b ，即条件和结论都不满足，故D 选项不能说明命题为假命题.故选B ．二、 举文字反例例3 命题“轴对称图形是等腰三角形”.判断它的真假，若是真命题，请说出依据；若是假命题，请举出反例.解：假命题.等腰三角形是轴对称图形，但轴对称图形除了等腰三角形外，还有其他图形，如正方形、长方形等.三、举图形反例例4 用反例说明“若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等”是假命题.解：如图1，∠B ，∠O 的两边分别平行，所以∠B=∠1，∠O+∠1=180°.所以∠B+∠O=180°，即∠B ，∠O 不一定相等.所以此命题是假命题.例5用反例说明“底角相等的两个等腰三角形全等”是假命题.解：如图2，这两个三角形都是底角为65°的等腰三角形，但不全等.牛刀小试：A B C E D O11.有下列命题：①若a>1，则a2>1；②若a>b，则a2>b2；③带根号的数都是无理数.其中假命题是_________.（填序号）2.判断下列命题的真假，若是真命题，请给出证明；若是假命题，请举出反例.（1）相等的角是对顶角；（2）两条直线被第三条直线所截，内错角相等.参考答案：1.②③2.（1）假命题.反例：如图3，∠1=∠2，但∠1与∠2不是对顶角，所以此命题是假命题.1 2图3（2）假命题.反例：如图4，∠1与∠2是内错角，但∠1≠∠2.。

[反例的作用及几种构造方法]反例的作用数学中的反例是指符合某个命题的条件，而不符合该命题结论的例子。

当一个数学命题被提出后，一是通过一系列的正确推理，对命题作出证明；一是寻求反例（一个足够），否定这个命题。

1 反例的作用1.1 反例可用来判断命题的真假在数学中要证明一个命题为真命题，必须经过严密的推理；而要否定一个命题，只要举出一个符合命题条件但与命题结论矛盾的例子就可以了。

费尔马（Fermart）是17世纪法国杰出的数学家，他曾提出猜测：形如，当n是自然数时，是质数。

过了半个多世纪，欧拉（Euler）首先找到一个反例，计算出当n=5时，不是质数，即：，是一个合数。

欧拉（Euler）通过反例否定了费尔马的这个猜想，用反例判断命题真假的作用由此而见。

【命题1】周期函数之和仍是周期函数，非周期函数之和仍是非周期函数。

取，周期为2，，周期为，但是为非周期函数。

又可取均为非周期函数，但是它们的和显然是周期为的周期函数。

从上面的反例可以判定命题1是假命题。

1.2 反例可用来构造证明一个命题对于一个命题，从一方面看，它的反例可以起到否定这个命题的作用。

如果没有找到反例，也不能说明命题为真命题，因为有可能反例是存在的，只是没有找到它而已。

从另一方面看，一个命题的反例，有时也是其否命题的极好证明。

【命题2】质数是有限多个。

如果质数仅有有限多个，那么就可以把它们全部写出来，不妨设为，此外再没有其他的质数了。

现构造一数：。

或是一个质数，它显然比一切都大；或是一个合数，又显然不能整除，所以还有其他的质数因子。

但无论哪种情况，都说明有其他的质数存在。

这个反例表明：命题“质数是有限多个”是假命题。

1.3 反例有助于加深理解数学概念与定理数学中的概念与定理有许多结构复杂，条件结论犬牙交错，使人不容易理解。

通过一些反例的分析，有助于加深理解数学概念。

借助于反例能将定理的条件、结论之间的关系弄得一清二楚。

【命题3】周期函数必有最小正周期。

浅谈初中数学教学中反例的巧用数学课标将数学思维作为数学教学的一个重要分支纳入数学教学总体目标之中，这足以表明数学思维的重要性。

数学教学中，为了证实一个命题是正确的，必须经过严格的逻辑推理，严密说理的过程；而要说明一个命题是不正确的，只要能举出反例即可。

教师在教学过程中，恰当适时地构造反例，不仅能使学生全面地理解数学概念、法则、公式、定理等，同时还能培养学生的思维品质。

美国数学家盖尔鲍姆曾说过：“冒着过于简单化的风险，我们可以说数学由两大类——证明与反例构成，而数学发现也是朝着两个主要目标：提出证明与构造反例。

”反例是与正例相对立的，是教学中不可缺少的认识对象，也是学生认知建构中常常出现的中间形态。

我们不能单靠正面示范和反复练习去纠正去避免学生的错误。

没有反例的衬托，正确的知识不易凸现，学生对知识的理解就不易到位。

中学数学课堂教学中对于反例使用，贵在巧妙。

只有巧妙使用，反例才能对学生的智力活动起到定向纠错、提炼升华的作用。

1. 巧用反例，明晰概念。

概念是初中数学中最为基础的知识。

教学概念时，不但要让学生弄清“是什么”，还要搞通“不是什么”。

巧用典型、生动、直观的反例，对易于模糊的概念进行比较、辨析，才能形成清晰的认识。

循环小数概念中的“依次不断，重复出现”这两个关键的词语缺一不可。

帮助学生正确理解这两个关键词语，可以举出类似下面的反例：0.200820082008,3.14159265358979……。

经过辨析学生认识到，第一个小数虽然“2008”重复出现，但并没有“依次不断”；第二个小数位虽然“依次不断”，但并没有“重复出现”一个或几个数字，因此都不是循环小数。

通过这样的反例，往往可以加深学生对循环小数概念内涵的理解，使学生清晰知道“依次不断，重复出现”这两个条件必须同时满足。

2. 巧用反例，深化理解。

我们知道，要证明一个命题正确，必须经过严密的推理证明，而要否定一个命题却只要能举出一个与结论矛盾的例子就行。

初中数学运用反例教学的案例分析运用反例教学法对初中数学进行教学可以帮助学生更好地理解数学理论和方法，并培养他们的逻辑思维和问题解决能力。

下面将通过一个案例分析来说明如何运用反例教学法进行数学教学。

案例分析：班级的学生正在学习平行线的特性和性质。

老师为了让学生更好地理解平行线的定义和判断，运用了反例教学法。

1.知识点介绍：首先，老师通过简单的例子向学生介绍了平行线的定义和判断条件。

他解释说，如果两条直线在同一个平面内，且没有公共点，那么它们就是平行线。

判断是否平行可以通过两个角的对应角相等来判断。

2.反例展示：接下来，老师给学生们展示了一组反例。

他画出两条不重合且没有公共点的直线，然后要求学生判断这两条直线是否平行。

学生们根据刚才老师的介绍，认为这两条直线是平行线。

然而，老师用一个角的对应角来证明这两条直线不是平行线。

3.反思讨论：学生们对老师的反例感到困惑，他们不明白为什么这两条直线并不是平行线。

老师鼓励学生们主动思考，并组织师生讨论。

4.提出疑问：在讨论的过程中，一个学生提出了一个疑问：“老师，我们刚才学的定义不是错的吧？为什么这两条直线不是平行线？”这个问题引起了其他学生的兴趣。

5.辅助解释：老师通过示意图和运用对应角相等的原理进行解释。

他告诉学生，对于平行线来说，任意一对对应角都相等，而这组反例中的对应角并不相等，所以这两条直线不是平行线。

6.深化应用：随后，老师设计了一些类似的问题，并要求学生判断给定的直线是否平行。

学生们通过对这些问题的分析和讨论，逐渐掌握了判断平行线的方法。

通过这个案例分析可以看出，反例教学法对于初中数学教学非常有效。

它能够引发学生的兴趣，激发他们的思考和探索欲望。

通过展示反例，学生们能够发现常规思维的局限性，进而主动寻求新的解决方法。

同时，反例教学法还能提高学生的逻辑思维和问题解决能力。