下载文档原格式
6．2算术平均数与几何平均数第一课时教学目标：1．学会推导并掌握两个正数的算术平均数与几何平均数定理；2．理解定理的几何意义；3．能够简单应用定理证明不等式.教学重点：均值定理证明教学难点：等号成立条件教学方法：引导式教学过程：一、复习回顾上一节，我们完成了对不等式性质的学习，首先我们来作一下回顾. （学生回答）由上述性质，我们可以推导出下列重要的不等式.二、讲授新课1．重要不等式：如果证明：当所以，即由上面的结论，我们又可得到2．定理：如果是正数，那么证明：∵即显然，当且仅当说明：ⅰ）我们称 的算术平均数，称 的几何平均数，因而，此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.ⅱ）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数.ⅲ）“当且仅当”的含义是充要条件.3．均值定理的几何意义是“半径不小于半弦”.以长为的线段为直径作圆，在直径AB上取点C，.过点C作垂直于直径AB的弦DD′,那么即这个圆的半径为，显然，它不小于CD，即，其中当且仅当点C与圆心重合；即时，等号成立.在定理证明之后，我们来看一下它的具体应用.4．例题讲解：例1 已知都是正数，求证：（1）如果积是定值P,那么当时，和有最小值（2）如果和是定值S,那么当时，积有最大值证明：因为都是正数，所以（1）积xy为定值P时，有上式当时，取“=”号，因此，当时，和有最小值.（2）和为定值S时，有上式当时取“=”号，因此，当时，积有最大值.说明：此例题反映的是利用均值定理求最值的方法，但应注意三个条件：（1）函数式中各项必须都是正数;（2）函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；（3）等号成立条件必须存在.接下来，我们通过练习来进一步熟悉均值定理的应用.例2 已知都是正数，求证：（1）；（2）三、课堂练习课本P11练习2，3要求：学生板演，老师讲评.课堂小结：通过本节学习，要求大家掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会应用它证明一些不等式，但是在应用时，应注意定理的适用条件.课后作业：习题6.2 1，2，3，46．2算术平均数与几何平均数第二课时教学目标：1．进一步掌握均值不等式定理；2．会应用此定理求某些函数的最值；3．能够解决一些简单的实际问题.教学重点：均值不等式定理的应用教学难点：解题中的转化技巧教学方法：启发式教学过程：一、复习回顾上一节，我们一起学习了两个正数的算术平均数与几何平均数的定理，首先我们来回顾一下定理内容及其适用条件.（学生回答）利用这一定理，可以证明一些不等式，也可求解某些函数的最值，这一节，我们来继续这方面的训练.二、讲授新课例3已知都是正数，求证：分析：此题要求学生注意与均值不等式定理的“形”上发生联系，从而正确运用，同时加强对均值不等式定理的条件的认识.证明：由都是正数，得即例4已知，求证：例4 求函数（）的最小值，并求相应的的值．练习:求函数（）的最值．例5 1．求函数（）的最大值．2．求函数（）的最大值．例6 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为，深为3m，如果池底每的造价为150元，池壁每的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理.解：设水池底面一边的长度为xm，水池的总造价为l元，根据题意，得当因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元.评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件.为了进一步熟悉均值不等式定理在证明不等式与求函数最值中的应用，我们来进行课堂三、课堂练习课本P11练习1，2,4课堂小结：通过本节学习，要求大家进一步掌握利用均值不等式定理证明不等式及求函数的最值，并认识到它在实际问题中的应用.课后作业：习题6.2 5,6,7。
算术平均数与几何平均数一．学习目标：1．掌握两个正数的算术平均数不小于它们的的定理，并会简单运用； 2．利用不等式求最值时要注意到“一正”“二定”“三相等”． 二．知识要点：1．a>0，b>0时，称 为a ，b 的算术平均数；称 为a ，b 的几何平均数．2．定理1 ： 如果a 、b ∈R ，那么a 2＋b 2 2ab （当且仅当 时 取“＝”号）3．定理2 ：如果a 、b ∈+R ，那么2b a +≥ （当且仅当a ＝b 时取“＝”号）即两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．最值定理：已知x 、y ∈+R ，x ＋y ＝P ，xy ＝S. 有下列命题：(1) 如果S 是定值，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值 ． (2) 如果P 是定值，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值 ． 即:积定和最小，和定积最大运用最值定理求最值的三要素：一正二定三相等 5.均值不等式:两个正数的均值不等式：ab ba ≥+2三个正数的均值不等是：33abc c b a ≥++ n 个正数的均值不等式：nn n a a a na a a 2121≥+++6.四种均值的关系：两个正数b a 、的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系是2211222b a ba ab ba +≤+≤≤+三．题型讲解例1： 设a>0 ，b>0 则下列不等式中不成立的是（ ）A ．a+b+ab1≥22 B (a+b)(a 1+b1)≥4 C 22a b ab+≥a+b D b a ab +2≥ab变式训练1：（1）设,a R ∈b ，已知命题:p a b =；命题222:22a b a bq ++⎛⎫≤⎪⎝⎭，则p 是q 成立的 （ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件（2）若,,a b c 为△ABC 的三条边，且222,S a b c p ab bc ac =++=++，则（ ） A ．2S p ≥ B ． 2p S p << C ．S p > D ．2p S p ≤<（3）设x > 0, y > 0,y x y x a +++=1, yyx x b +++=11， a 与b 的大小关系（ ）A ．a >bB ．a <bC ．a ≤bD ．a ≥b例2：已知,,,a b x y R +∈（,a b 为常数），1a bx y+=，求x y +的最小值．变式训练2：已知a ，b ，x ，y ∈R +（a ，b 为常数），a ＋b ＝10， 1=+y bx a ，若 x＋y 的最小值为18，求a ，b 的值．例3：设x ≥0, y ≥0, x 2+22y =1,求21x y +的最大值.变式训练： 若a>b>0, 求216()a b a b +-的最小值例4：已知,x y R +∈ ，且822=++xy y x ，求y x 2+的最小值．变式训练：已知,x y R +∈,且xy y x =++62，求xy 的最小值.四.练习巩固：1．若1a b >>，lg lg P a b =，1(lg lg )2Q a b =+，lg 2a bR +=，则 （ ）()A R P Q << ()B P Q R << ()C Q P R << ()D P R Q << 2．设,x y R +∈，且()1xy x y -+=，则 （ ）()A 2(21)x y +≥+ ()B 21xy ≤+ ()C 2(21)x y +≤+ ()D 2(21)xy ≥+ 3．下列函数中，y 的最小值为4的是（ ） ()A 4y x x =+()B 222(3)2x y x +=+()C 4x x y e e -=+()D 4sin (0)sin y x x xπ=+<< 4．若0,0a b >>，且21a b +=，则2224s ab a b =--的最大值是 （ ）()A 212- ()B 12- ()C 212+ ()D 12+ 5.当x ∈R + 时可得到不等式x ＋x 1≥2, x ＋24x=2x ＋2x＋2)2(x ≥3, 由此可以推广为x ＋n xp≥n ＋1, 取值p 等于（ ） A n n B n 2 C n D n ＋16.设x 、y >0, x ＋y =1, 且 y x +≤a 恒成立, 则a 的最小值为（ ） A 2/2 B 22 C 2 D 27. 设a 、b ≥0,a ＋b =1, 试比较大小：1212+++b a 22(填“≥”,“≤”或“=”)8.在区间(0, +∞)上，当x = 时，函数y =212x ＋3x 有最小值 9．要使不等式x y k x y +≤+对所有正数,x y 都成立，试问k 的最小值是 ．10 已知x 、y 、z ≥0,且x ＋y ＋z =1, 则z y x ++的最大值为 ；最小值为11 已知：a ＋b ＋c =1, a 2＋b 2＋c 2=1, 且a >b >c ,则a ＋b 的取值范围是 ；a 2＋b 2 的取值范围是12.若x>0,y>0,x+y=1, 求证:(1+x 1)(1+y1)≥913、若a >1, b >1, c >1, ab =10，求证：log a c ＋log b c ≥4lg c , 并指出什么时候等号成立。
学科：数学教学内容：算术平均数与几何平均数【基础知识导引】1．什么叫算术平均数？什么叫几何平均数？2．均值定理的内容是什么？运用均值定理不定式要注意哪些条件？3．均值定理有哪些应用？【重点难点解析】1．本节利用不定式的性质，推导出两个基本而又重要的不等式：如果a 、，那么（当且仅当a=b时取“=”号）；如果a、b 是正数，那么（当且仅当a=b时取“=”号）。
这里，我们称为a、b 的算术平均数，称为a、b的几何平均数，因而后者可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，简称均值定理。
2．均值定理是本节的重点，在学习时要注意以下几点：（1）a、b 的范围，与成立的条件是不同的，前者只要求a ，，而后者只有当a ，时，，，由不难推导。
（2）结论的形式，；，（a ，），这是两个重要的基本不等式，常见的形式还有：①；②若a ，，；③若a ，，；④若a ，，；⑤若，，。
解题中不仅要记住原来的形式，还要逐步熟练掌握其他几种常见形式及成立条件，这也是学习数学概念应下的功夫，只有这样，才能透彻理解数学公式所表示的若干量之间的本质联系，而不能只满足对某个固定形式的简单识记。
（3）等号取到的条件，括号中所说的“仅当a=b时取‘=’是指：一方面当a=b时取“=”号，另一方面当取“=”号时，必有a=b。
（4）均值定理中的a、b可以是满足条件的实数，也可以是满足条件的代数式，正因如此，它的应用十分广泛，今后我们遇到不少问题，将可以根据条件，转化为可以利用均值不等式的形式使问题得到解决。
3．教材例1的结论常用来求函数的最值，在运用“和为常数，积有最大值”和“积为常数，和有最小值”时，必须满足条件“一正二定三相等”：“一正”——字母为正数；“二定”——积或和为定值（有时需通过“配凑法”凑出定值）；“三相等”——等号能否取到。
4．由（a>0，b>0）可以推广到三个正数的情形（大纲中只要求掌握两个正数的情形），事实上如果a、b、c为正数，那么，当且仅当a=b=c时上式取“=”号（证明见课本阅读材料），而且可以进一步引申出定理：一般地，对于n个正数，我们把，分别叫做这n个正数的算术平均数与几何平均数，这时有，当且仅当时等号成立，即n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，阅读课本有关的阅读材料，可以拓宽我们的知识面。
算术和几何平均数认识算术平均数和几何平均数的应用算术和几何平均数的认识与应用在数学中，算术平均数和几何平均数是两个重要的概念。
它们在统计学、金融学、自然科学等领域中有着广泛的应用。
本文将就算术平均数和几何平均数进行详细的解释，并介绍它们在实际应用中的具体运用。
一、算术平均数的认识与应用算术平均数是我们最常见的平均数。
它是指一组数值的总和除以这组数值的个数得到的值。
举个例子，假设有一组数值：3，5，7，9，11，那么它们的算术平均数就是(3+5+7+9+11)/5=7。
算术平均数在实际应用中有着广泛的运用。
例如，它在统计学中用来描述一组数据集的中心趋势。
当我们需要了解一组数据的总体平均水平时，可以计算这组数据的算术平均数。
此外，算术平均数还可以用来计算多个数值的平均增长率。
例如，某人在三年内的年收入分别为10万元、12万元和15万元，那么他的平均年增长率可以通过计算这三年的收入算术平均数得到。
二、几何平均数的认识与应用几何平均数是另一种常见的平均数。
它是指一组数值的连乘积开n次方根(其中n为这组数值的个数)得到的值。
举个例子，假设有一组数值：2，4，8，16，32，那么它们的几何平均数就是∛(2*4*8*16*32)=8。
几何平均数在实际应用中也有广泛的运用。
例如，它在金融学中被用来计算投资回报率的平均增长率。
当我们需要了解一组投资的平均收益率时，可以计算这组投资的几何平均数。
此外，几何平均数还可以用来计算复利增长的平均速度。
当我们需要计算一笔投资在多次复利计算后的平均增长速度时，可以通过计算这些增长率的几何平均数得到。
三、算术平均数和几何平均数的应用比较在实际应用中，算术平均数和几何平均数都有其独特的优势。
算术平均数较为直观，易于计算和理解，它更适用于描述数据的总体平均水平。
而几何平均数则更适用于描述一组数据的复利增长速度或投资回报率的平均增长率。
举个例子来说明两者的应用比较。
假设某公司在过去五年中的年收盈利分别为1万元、2万元、4万元、8万元和16万元。
算术平均数和几何平均数大小关系证明1. 引言1.1 介绍算术平均数和几何平均数的概念算术平均数和几何平均数是两种常用的平均数概念，在数学和统计学中经常被使用。
算术平均数是一组数值的总和除以数量得到的平均值，它代表了一组数据的平均水平。
而几何平均数是一组数值的乘积开n次方根得到的平均值，它代表了一组数据的平均波动程度。
虽然这两种平均数有着不同的计算方法和概念，但它们之间存在着紧密的数学关系。
算术平均数和几何平均数的关系是非常重要的，可以帮助我们更好地理解数据的分布和趋势。
在实际应用中，我们经常需要比较算术平均数和几何平均数的大小，以便进行更有针对性的分析和决策。
下面我们将详细介绍算术平均数和几何平均数的定义，并探讨它们之间的关系，最终证明算术平均数大于等于几何平均数的结论。
通过这篇文章，希望读者能更加深入地理解算术平均数和几何平均数的意义和作用。
2. 正文2.1 算术平均数和几何平均数的定义算术平均数和几何平均数是数学中常见的两个概念，在统计学和金融学等领域有着广泛的应用。
算术平均数和几何平均数在统计学中起着重要的作用，可以帮助我们更好地理解数据的分布情况和趋势。
接下来我们将分别介绍算术平均数和几何平均数的定义。
算术平均数，也称为平均值，是一组数据中所有数值的总和除以数据的个数。
假设我们有n个数值，分别为a1、a2、a3、...、an，则这n个数值的算术平均数可以表示为：平均数= (a1 + a2 + a3 + ... + an) / n算术平均数通常用来表示一组数据中所有数值的中间值，即数据的集中趋势。
当我们需要了解一组数据的整体水平或趋势时，可以使用算术平均数来进行分析。
几何平均数是一组数据中所有数值的乘积开n次方根。
同样假设我们有n个数值，分别为b1、b2、b3、...、bn，则这n个数值的几何平均数可以表示为：几何平均数= (b1 * b2 * b3 * ... * bn) ^ (1/n)几何平均数主要用于表示一组数据中各个数值的平均比率，适用于涉及增长率、比率和百分比等问题的分析。
