2019-2020学年江苏省南京师大附中高一下学期期中考试语文试题(含答案)

南附2019/2020学年度第一学期高三检测试卷语文一、语言文字运用（每题3分，共12分）1．在下面一段话的空缺处依次填入词语，最恰当的一组是：（）（3分）2019年4月，巴黎圣母院起火的消息掀起了一阵波澜。

一场大火来势汹汹，有800多年历史的巴黎圣母院遭严重损毁。

2018年9月，一场持续整晩的大火使巴西国家博物馆几乎毀于一旦。

这些_____的教训提醒我们，人类历史中的文化古迹有可能会消逝。

文化保护是一场同时间的赛跑，因为随着时间推移，那些_____的文物都不可避免地日渐老化。

保护，意味着老与新的巧妙结合。

使文化记忆得以传承，这是历史的使命，每一代人_____。

文化保护工作要凝聚社会共识，让越来越多的人参与进来，形成合力。

有些损毁或许无法避免，但有没有对保护工作_____，结果会大不一样。

A. 沉痛留传责无旁贷全力以赴B. 沉痛流传义不容辞全神贯注C. 沉重流传责无旁贷全神贯注D. 沉重留传义不容辞全力以赴2.依次填入下面一段文字横线处的语句，衔接最恰当的一组是（）（3分）作家海明威写道：“一个人生来并不是要给打败的，你尽可以消灭他，可就是打不败他。

”、、、、。

①相反，在生活的此处过不了这一关，就别想在生活的别处能过好这一关②面对委屈、挫折、困境，不是选择逃避，而是以勇敢与微笑去面对③不是选择认命与沉沦，而是不屈沉着以进取④人生在世，确实需要这么一点精气神⑤换言之，既然委屈是人生旅途上如影随形的种种难关，唯有认认真真去过好每一关，我们才能脱胎换骨，不断抵达自由的境界。

3.下列两段文字中都包含的意蕴是（）（3分）①浪迹天涯的游子最终又会思念故土，并在自己的茅屋内，在妻子的怀抱里，在儿女们的簇拥下，在为维持生计的忙碌操劳中，找到他在广大的世界上不曾寻得的快乐。

--歌德（德国）②和睦的家庭空气是世界上的一种花朵，没有东西比它更温柔，没有东西比它更知道把一家的天性培养得坚强、正直。

人生真正的幸福和快乐，浸透在亲密无间的家庭关系中。

南京师大附中2019-2020学年度第二学期高一年级期中考试数学试卷一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.10y --=的倾斜角大小（ ） A.6π B.3π C.23π D.56π 【答案】B 【解析】 【分析】化简得到1y =-，根据tan k θ==计算得到答案.10y --=，即1y =-，tan k θ==[)0,θπ∈，故3πθ=.故选：B .【点睛】本题考查了直线的倾斜角，意在考查学生的计算能力.2.若3cos()45πα-=，则sin 2α=（ ） A. 725 B. 15C. 15-D. 725-【答案】D 【解析】试题分析：2237cos 22cos 12144525ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，且cos 2cos 2sin 242ππααα⎡⎤⎛⎫⎡⎤-=-=⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，故选D.【考点】三角恒等变换【名师点睛】对于三角函数的给值求值问题，关键是把待求角用已知角表示： （1）已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．（2）已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余、互补”关系．3.△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知a =，2c =，2cos 3A =，则b=A.2B.3C. 2D. 3【答案】D 【解析】【详解】由余弦定理得，解得（舍去），故选D.【考点】余弦定理【名师点睛】本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b 的一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！4.已知251cos tan()3ααβ-=-，,αβ均为锐角，则β=（ ） A.512πB.3π C.4π D.6π 【答案】C 【解析】 【分析】利用同角三角函数关系，两角和与差的三角函数，即可得到结论. 【详解】因为α为锐角，且25cos α=， 所以25sin 1cos 5αα=-=，sin 1tan cos 2ααα==， 于是11()tan tan()23tan tan[()]1111tan tan()1()23ααββααβααβ----=--===+-+-， 又β为锐角，所以4πβ=.故选：C.【点睛】本题考查同角三角函数关系，两角和与差的三角函数，属于基础题. 5.在ABC 中，若2cos sin sin B C A =，则ABC 的形状是（ ） A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形【答案】A 【解析】 【分析】由题意,可知()sin sin A B C =+,展开并带入原式,可得到()sin 0B C -=,进而可判断出ABC 的形状. 【详解】由题意,()()sin sin πsin sin cos sin cos A A B C B C C B=-=+=+,则2cos sin sin cos sin cos B C B C C B =+⇔()sin cos cos sin sin 0B C B C B C -=-=,则B C =,即ABC 的形状是等腰三角形. 故选:A.【点睛】本题考查了三角函数的恒等变换知识,考查了三角形的形状的判断,属于基础题. 6.过点(3,4)P -向圆221x y +=引圆的两条切线PA ，PB ，则弦AB 的长为（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用等面积法即可得到弦AB 的长.【详解】因为5OP =，半径1r OA ==，所以PA PB =由等面积法，即12AB OP OA AP ⋅=⋅，即22155OA AP AB OP ⋅⨯⨯===.故选：B.【点睛】本题考查圆的切线问题，与圆有关的几何问题，属于基础题.7.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c . 若满足2,30b A ==︒的三角形有两个，则边长a 的取值范围是（ ） A. 01a << B. 1a =C. 12a <<D. 2a ≥【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦定理，三角形有两个解，则满足sin b A a b <<，代入即可求得边长a 的取值范围.【详解】如图，2,30b A ==︒，垂线段11CB =，由正弦定理知，三角形有两个解，则满足sin b A a b <<，即12a <<. 故选：C.【点睛】本题考查正弦定理的应用，考查三角形解的个数，考查计算能力，属于基础题.8.直线(2)4y k x =-+与曲线2320x y y ++-=有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是（ ） A. 53(,]124B. 51(,]122C. 13(,]24D. 1[,)2+∞【答案】B 【解析】 【分析】利用数形结合，作出图象，计算得直线1l 与直线2l 的斜率，即可得到结论.【详解】曲线可化简为()22(1)40x y x +-=≤，如图所示：直线()1:24l y k x =-+23221k k -=+，解得512k =， 直线()2:24l y k x =-+，此直线与曲线有两个交点，此时有12k =. 所以，过点()2,4的直线与该半圆有两个交点，数形结合，解得51122k <≤.故选：B.【点睛】本题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：恒过定点的直线方程，点到直线的距离公式，以及直线斜率的求法，利用了数形结合的思想，其中抓住两个关键点是解本题的关键．二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的四个选项中，有不止一项是符合题目要求的. 全部选对的得5分，选对但不全的得3分，错选或不答的得0分.9.若圆221:(1)1C x y -+=与圆222:880C x y x y m +-++=相切，则m 的值可以是（ ）A. 16B. 7C. 4-D. 7-【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意，求出圆2C 的圆心与半径，分两圆内切和外切两种情况，求出m 的值即可. 【详解】由题意，圆2C 可化简为22(4)(4)32(32)x y m m -++=-<，所以，圆2C 的圆心坐标()24,4C -，半径)232r m =<， 圆1C 的圆心坐标()11,0C ，半径11r =，所以，125C C ==，所以，51=或51=16m =或4-. 故选：AC.【点睛】本题考查两圆的位置关系的判定，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题. 10.下列命题中正确的有（ ） A. 空间内三点确定一个平面 B. 棱柱的侧面一定是平行四边形C. 分别在两个相交平面内的两条直线如果相交，则交点只可能在两个平面的交线上D. 一条直线与三角形的两边都相交，则这条直线必在三角形所在的平面内 【答案】BC 【解析】 【分析】利用平面的定义，棱柱的定义，对选项逐一判断即可.【详解】对于A 选项，要强调该三点不在同一直线上，故A 错误； 对于B 选项，由棱柱的定义可知，其侧面一定是平行四边形，故B 正确； 对于C 选项，可用反证法证明，故C 正确；对于D 选项，要强调该直线不经过给定两边的交点，故D 错误. 故选：BC.【点睛】本题考查平面的基本性质及其推论的应用，考查棱柱的定义，属于基础题.11.两直线(2)0m x y m +-+=，0x y +=与x 轴相交且能构成三角形，则m 不能取到的值有（ ） A. 3- B. 2-C. 1-D. 0【答案】ABD 【解析】 【分析】求出直线()20m x y m +-+=经过的定点，利用三条直线不能构成三角形求得m 的值，即可得到结论. 【详解】由题知，三条直线相交于同一个点时，此时0m =，此时不能构成三角形； 直线()20m x y m +-+=整理得：()()120m x x y ++-=，由1020x x y +=⎧⎨-=⎩，解得12x y =-⎧⎨=-⎩，即直线()20m x y m +-+=经过定点()1,2--，当直线()20m x y m +-+=的斜率20k m =+=，即2m =-时，此时直线2y =-，0x y +=与x 轴不能构成三角形；当直线()20m x y m +-+=与直线0x y +=平行时，即3m =-时，三条直线不能构成三角形；综上：两直线()20m x y m +-+=，0x y +=与x 轴相交不能构成三角形的m 的取值为：0m =或2m =-或3m =-. 故选：ABD .【点睛】本题考查了三点共线，两条直线平行与倾斜角、斜率的关系，训练了线系方程过定点的求法． 12.已知圆222:22(1)2230()C x y mx m y m m m R ++-+++-=∈上存在两个点到点(0,1)A -的距离为4，则m 的可能的值为（ ）A. 1B. 1-C. 3-D. 5-【答案】ACD【解析】 【分析】根据题意，圆()()222:12C x m y m ++-+=⎡⎤⎣⎦与圆()222:14A x y ++=相交，再由两圆圆心距大于两圆半径之差，小于两圆半径之和，列出不等式，解得即可.【详解】由题知，圆()()222:12C x m y m ++-+=⎡⎤⎣⎦与圆()222:14A x y ++=相交，所以，4242CA -<<+，即26<，解得()()1,20,171m ∈--，即m 的值可以为：1或3-或5-.故选：ACD.【点睛】本题体现了转化的数学思想，解题的关键在于将问题转化为两圆相交，属于基础题.三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知直线1:4270l x y +-=和2:210l x y +-=，直线m 分别与12,l l 交于A ，B 两点，则线段AB 长度的最小值为________.【解析】 【分析】根据题意知，直线12,l l 为平行直线，则线段AB 的最小值为两平行直线间的距离. 【详解】由题知，2:210l x y +-=，即2:4220l x y +-=，故直线12,l l 为平行直线，则线段AB 的最小值为两平行直线间的距离d ==.. 【点睛】本题考查平行线之间的距离公式，属于基础题. 14.函数()2cos sin()3f x x x π=⋅+的最大值为________.【答案】1+【解析】 【分析】根据题意，将函数化简为()sin 223f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，即可得到最大值.【详解】由题意，())112cos sin sin 21cos 2sin 2223f x x x x x x x π⎛⎫⎛⎫==+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，最大值为：12+.故答案为：1+. 【点睛】本题考查三角恒等变换，辅助角公式，三角函数的图像和性质，属于基础题.15.已知△ABC ，AB =AC =4，BC =2． 点D 为AB 延长线上一点，BD =2，连结CD ，则△BDC 的面积是______，cos ∠BDC =_______．【答案】 (1). 2 (2). 4【解析】取BC 中点E ，由题意：AE BC ⊥，△ABE 中，1cos 4BE ABC AB ∠==，∴1cos ,sin 4DBC DBC ∠=-∠==，∴1sin 2△BCD S BD BC DBC =⨯⨯⨯∠=． ∵2ABC BDC ∠=∠，∴21cos cos22cos 14ABC BDC BDC ∠=∠=∠-=，解得cos BDC ∠=cos BDC ∠=（舍去）．综上可得，△BCD ，cos BDC ∠=．【名师点睛】利用正、余弦定理解决实际问题的一般思路：（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可以利用正弦定理或余弦定理求解；（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，再逐步解其他三角形，有时需要设出未知量，从几个三角形中列出方程（组），解方程（组）得出所要的解．16.在平面直角坐标系xOy 中，过点(0,3)M -的直线l 与圆223x y +=交于A ，B 两点，且2MB MA =，则直线l 的方程为________.【答案】3y =- 【解析】 【分析】根据题意知，点A 为MB 的中点，设()11,A x y ，()22,B x y ，再由2MB MA =得122x x =，利用韦达定理建立方程，解得即可.【详解】由题知，点A 为MB 的中点，设直线:3l y kx =-，设()11,A x y ，()22,B x y ， 将直线带入圆的方程得()221660kx kx +-+=，则12261k x x k +=+，12261x x k⋅=+， 由2MB MA =，得122x x =，即2221k x k =+，1241kx k =+， 所以，21222246111k k x x k k k ⋅=⨯=+++，解得k =3y =-.故答案为：3y =-.【点睛】本题考查直线和圆的位置关系，属于基础题.四､解答题：本大题共6小题，共70分.17.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos cos 3cos c B b C a B +=. （1）求cos B 的值；（2）若2c =，△ABC 的面积为b 的值. 【答案】（1）13.（2）3. 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用正弦定理化简等式即可得到结论；（2）根据（1）得sin B =，利用三角形面积公式得3a =，再利用余弦定理即可. 【详解】（1）在△ABC 中，由正弦定理sin sin sin a b cA B C==， 设sin ak A=，则sin ,sin ,sin a k A b k B c k C ===， 带入cos cos 3cos c B b C a B +=，化简得sin 3sin cos A A B =， 因为,(0,),sin 0,sin 0A B A B π∈>>，所以1cos 3B =； （2）由（1）可知，sin 0B >，222sin 1cos B B =-=， 又1sin 2ABC S ac B ∆=，所以1222222ABC S a ∆=⋅⋅=，解得3a =.在△ABC 中，由余弦定理2222cos ac B a c b =+-， 即2221232323b ⨯⨯⨯=+-，解得3b =.【点睛】本题考查利用正余弦定理解三角形，考查计算能力，属于基础题. 18.（1）用符号表示下来语句，并画出同时满足这四个语句的一个几何图形： ①直线l 在平面α内； ②直线m 不在平面α内； ③直线m 与平面α交于点A ； ④直线l 不经过点A .（2）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1BB 的中点，F 为棱1CC 的三等分点，画出由1,,D E F 三点所确定的平面β与平面ABCD 的交线.(保留作图痕迹)【答案】（1）①l α⊂；②m α⊄；③m A α=；④A l ∉，示意图答案见解析（2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，作出示意图即可； （2）根据题意，作出示意图即可.【详解】（1）l α⊂；m α⊄；m A α=；A l ∉；示意图如下：（2）如图，直线IL 即为所求.【点睛】本题考查了空间点､线､面之间的位置关系，属于基础题.19.在平面直角坐标系xOy 中，已知两直线1:330l x y --=和2:10l x y ++=，定点(1,2)A .（1）若1l 与2l 相交于点P ，求直线AP 的方程；（2）若1l 恰好是△ABC 的角平分线BD 所在的直线，2l 是中线CM 所在的直线，求△ABC 的边BC 所在直线的方程.【答案】（1）:31AP y x =-；（2）7170x y ++=.【解析】【分析】（1）根据题意，联立两直线得其交点坐标，进而写出直线AP 的方程；（2）根据题意，设()33,B t t +，则342,22t t M ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，利用点M 在直线2l 上，得2t =-，()3,2B --，再利用到角公式得17BC k =-，即可得到BC 的直线方程. 【详解】（1）由题意，联立33010x y x y --=⎧⎨++=⎩，解得01x y =⎧⎨=-⎩，即两直线的交点()0,1P -， 所以，直线AP 的斜率21310k +==-，故直线AP 的方程为：31y x =-.（2）设点B 的坐标为()33,t t +，则点342,22t t M ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，又点M 在直线2l 上， 即3421022t t ++++=，解得2t =-，故()3,2B --， 所以22131AB k --==--， 直线1l 的斜率113k =，由到角公式得，111111BC AB BC AB k k k k k k k k --=++， 即11133111133BC BC k k --=++，解得17BC k =-， 所以BC 所在直线方程为12(3)7y x +=-+，化简得7170x y ++=. 【点睛】本题考查直线方程，两直线的位置关系，到角公式，属于基础题.20.（1）已知1sin cos 5θθ+=，求sin 2θ的值； （2）记函数()sin 2sin cos f x x x x =++，求()f x 的值域.【答案】（1）2425-；（2）5[,14-+. 【解析】【分析】（1）根据题意，直接平方即可得到结论；（2）根据题意，记sin cos t θθ+=，则2sin 21x t =-，将函数()f x 转化为2()1g t t t =+-，再利用二次函数即可得到结论. 【详解】（1）因为1sin cos 5θθ+=，所以221sin cos 2sin cos 25θθθθ++= 即 11sin 225θ+=，所以24sin 225θ=- （2）记sin cos t θθ+=，显然4t x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故t ⎡∈⎣， 将sin cos t θθ+=两边平方，得2sin 21t θ=-，故2215()()1(),[24f xg t t t t t ==+-=+-∈ 所以min 15()()24f xg =-=-，max ()1f x g == 所以()f x的值域为5[,14-+ 【点睛】本题考查同角三角函数关系式，三角函数的图像和性质，二次函数求值域，属于基础题.21.为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD ．其中AB ＝3百米，AD ＝5百米，且△BCD 是以D 为直角顶点的等腰直角三角形．拟修建两条小路AC ，BD （路的宽度忽略不计），设∠BAD ＝θ，θ∈(2π，π)．（1）当cos θ＝55-AC 的长度； （2）当草坪ABCD 的面积最大时，求此时小路BD 的长度．【答案】（1）37AC =（2）26BD =【解析】【分析】（1）在△ABD 中，由余弦定理可求BD 的值，利用同角三角函数基本关系式可求sin θ，根据正弦定理可求sin ∠ADB 35=，进而可求cos ∠ADC 的值，在△ACD 中，利用余弦定理可求AC 的值． （2）由（1）得：BD 2＝14﹣5θ，根据三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用可求．S ABCD ＝7152+sin （θ﹣φ），结合题意当θ﹣φ2π=时，四边形ABCD 的面积最大，即θ＝φ2π+，此时cos φ5=，sin φ5=，从而可求BD 的值． 【详解】（1）在ABD ∆中，由2222cos BD AB AD AB AD θ=+-⋅， 得21465cos BD θ=-，又5cos θ=25BD = ∵,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ∴225sin 1cos 155θθ⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭由sin sin BD AB BAD ADB =∠∠3sinADB =∠，解得：3sin 5ADB ∠=， ∵BCD ∆是以D 为直角顶点的等腰直角三角形 ∴2CDB π∠=且CD BD ==∴3cos cos sin 25ADC ADB ADB π⎛⎫∠=∠+=-∠=- ⎪⎝⎭ 在ACD ∆中，2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠(2232375⎛⎫=+--= ⎪⎝⎭， 解得：AC =（2）由（1）得：214BD θ=-，2113sin 22ABCD ABD BCD S S S BD θ∆∆=+=⨯+⨯ 7sin 2θθ=+⨯-)()157sin 2cos 7sin2θθθφ=+-=+-，此时sin φ=cos φ=，且0,2πφ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 当2πθφ-=时，四边形ABCD 的面积最大，即2πθφ=+，此时sin θ=，cos θ=∴2141426BD θ⎛=-=-= ⎝，即BD =答：当cos 5θ=-时，小路AC 百米；草坪ABCD 的面积最大时，小路BD 百米． 【点睛】本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，正弦定理，三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用以及正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．22.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在y 轴上的圆C 经过两点(0,2)M 和(1,3)N ，直线l 的方程为y kx =.（1）求圆C 的方程；（2）当1k =时，Q 为直线l 上的定点，若圆C 上存在唯一一点P 满足PO =，求定点Q 的坐标；（3）设点A ，B 为圆C 上任意两个不同的点，若以AB 为直径的圆与直线l 都没有公共点，求实数k 的取值范围.【答案】（1）22(3)1x y +-=；（2）(2Q +或(2- ；（3）(22k ∈. 【解析】【分析】（1）根据题意，设圆的方程为()222x y b r +-=，列方程解得即可； （2）根据题意，利用PO =得点Q 的轨迹方程为()()222224x t y t t -+-=，再利用两圆相切解得即可.（3）记以AB 为直径的圆为圆M ，设(01)CM d d =<≤，得圆M 的半径12M r AB ==，利用()20CP CM MP =+，表示出动点000(,)P x y 的轨迹为以()0,3C 为半径的圆的内部(含边界)，再利用点C 到直线l 的距离d >，解得即可.【详解】（1）设圆的方程为222()(0)x y b r r +-=>，将M ，N 坐标带入，得：2222220(2)1(3)b r b r ⎧+-=⎨+-=⎩，解得31b r =⎧⎨=⎩， 所以圆C 的方程为22(3)1x y +-=.（2）设(),Q t t ，(,)P x y ，由PO ==，化简得222(2)(2)4x t y t t -+-=，由题意，此圆与圆C21t =±，解得2t =± 所以(2Q ++或(2-（3）记以AB 为直径的圆为圆M ，设圆M 上有一动点000(,)P x y ，设(01)CM d d =<≤，则圆M 的半径12M r AB ==()()222001212||||cos CP CM MP d d CM MP CM MP θ=+=+-+⋅=+⋅⋅ ，其中θ为0CM MP ，的夹角，[0,]θπ∈.因为011[0,]2CM MP d ⋅=，所以0[0,CP ∈. 故点0P 在以(0,3)C 为半径的圆的内部(含边界)，所以点C 到直线l的距离d >>k ⎛∈ ⎝⎭. 【点睛】本题考查圆与方程，直线与圆的位置关系，阿波罗尼斯圆，隐圆问题，属于中档题.。

绝密★启用前江苏省南京市南京师大附中2019-2020学年高三上学期检测语文试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题1．在下面一段话的空缺处依次填入词语，最恰当的一组是：（ ）2019年4月，巴黎圣母院起火的消息掀起了一阵波澜。

一场大火来势汹汹，有800多年历史的巴黎圣母院遭严重损毁。

2018年9月，一场持续整晩的大火使巴西国家博物馆几乎毀于一旦。

这些_____的教训提醒我们，人类历史中的文化古迹有可能会消逝。

文化保护是一场同时间的赛跑，因为随着时间推移，那些_____的文物都不可避免地日渐老化。

保护，意味着老与新的巧妙结合。

使文化记忆得以传承，这是历史的使命，每一代人_____。

文化保护工作要凝聚社会共识，让越来越多的人参与进来，形成合力。

有些损毁或许无法避免，但有没有对保护工作_____，结果会大不一样。

A ．沉痛 留传 责无旁贷 全力以赴 B ．沉痛 流传 义不容辞 全神贯注 C ．沉重 流传 责无旁贷 全神贯注 D ．沉重 留传 义不容辞 全力以赴2．依次填入下面一段文字横线处的语句，衔接最恰当的一组是（ ）作家海明威写道：“一个人生来并不是要给打败的，你尽可以消灭他，可就是打不败他。

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①相反，在生活的此处过不了这一关，就别想在生活的别处能过好这一关 ②面对委屈、挫折、因境，不是选择逃避，而是以勇敢与微笑去面对 ③不是选择认命与沉沦，而是不屈沉着以进取试卷第2页，总11页④人生在世，确实需要这么一点精气神⑤换言之，既然委屈是人生旅途上如影随形的种种难关，唯有认认真真去过好每一关，我们才能脱胎换骨，不断抵达自由的境界 A ．②③⑤①④ B ．④②③⑤① C ．④⑤②③① D ．②③④⑤①3．下列两段文字中都包含的意蕴是( )①浪迹天涯的游子最终又会思念故土，并在自己的茅屋内，在妻子的怀抱里，在儿女们的簇拥下，在为维持生计的忙碌操劳中，找到他在广大的世界上不曾寻得的快乐。

南京师范大学附属实验学校2023-2024学年度第一学期高一年级期中考试数学试卷分值：150 分 时间：120 分钟一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A ={−1,0,1}，B ={1,2,5}，则A⋂B = （ ）A ．{1}B ．{−1,0,1,5}C ．{−1,0,1,2,5}D ．{−1,0,2,5}2.不等式(x−3)(x +1)<0的解集是 （ ）A ．(−∞,−3)∪(1,+∞)B ．(−∞,−1)∪(3,+∞)C ．(−3,1)D ．(−1,3)3.已知函数f (x )由下表给出，则f [f (1)]等于 （ ）x1234f (x )2341A ．4B ．3C ．2D ．14．已知2x 2−kx +m <0的解集为(−1,t )（t >−1），则k +m 的值为 （ ）A ．−1B ．−2C ．1D ．25. 已知a,b ∈R ，则“”是“a b >1”的 （ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6.若2x =5，lg 2≈0.3010，则x 的值约为 （ ）A ．2.301B ．2.322C ．2.507D ．2.6997.已知函数f (x )=ax 5+bx 3+2，若f (m )=7，则f (−m )=（ ）A.—7B.—3C.3D.78.函数y ＝x 4－2x 2的大致图象是 （ ）A .B .a bC.D.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对但不全的得2分，错选或不选得0分，请把答案填写在答题卡相应位置上．9.满足{1,3}∪A＝{1,3,5}的集合A可能是（）A.{5}B.{1,5}C.{1,3}D.{1,3,5}10. 下面命题为假命题的是（）A．若a>b>c，ac<0，则b−a>0cB．函数y＝1的单调减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)xC．y＝x+1的最小值是2xD．y=x2与s=(t)2是同一函数11.已知f(2x＋1)＝x2，则下列结论正确的是（）A.f(－3)＝4B.f(x)＝x2−2x+1C.f(x)＝x2D.f(3)＝9412. 已知函数f(x)＝{x+2,x≤−1x2,−1<x<2，关于函数f(x)的结论正确的是（）A.f(x)的定义域为RB. f(x)的值域为(－∞，4)C. f(1)＝3D.若f(x)＝3，则x的值是3三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

南京师范大学附属中学2020-2021学年度第二学期高一年级期中考试语文试卷（本卷满分150分，测试时间120分种）温馨提示：所有题目答案一律写在答题纸上；请注意书写，保持卷面整洁。

一、文学作品阅读（18分）阅读下面的剧本，完成1-4题。

雷雨（节选）曹禺鲁贵你知道这屋子为什么晚上没有人来，老爷在矿上的时候，就是白天也是一个人也没有么？鲁四凤不是半夜里闹鬼么？鲁贵你知道这鬼是什么样儿么？费四凤我只听说到从前这屋子里常听见叹气的声音，有时哭，有时笑的，听说这屋子死过人，居死鬼！鲁贵鬼！一点也不错，——我可偷偷地看见啦。

鲁四凤什么，您看见，您看见什么？鬼？鲁贵（自负地）那是你爸爸的造化。

鲁四凤您说。

鲁贵那时你还没有来，老爷在矿上，那么大，阴森森的院子，只有太太，二少爷，大少爷住，那时这屋子就闹鬼，二少爷小孩，胆小，叫我在他门口睡，那时是秋天，半夜里二少爷忽然把我叫起来，说客厅又闹鬼，叫我一个人去看看。

二少爷的脸发青，我也直发毛。

可是我是刚来的底下人，少爷说了，我怎么好不去呢？鲁四凤您去了没有？鲁贵我喝了两口烧酒，穿过荷花池，就偷偷地钻到这门外的走廊旁边，就听见这屋子里啾啾地像一个女鬼在哭。

哭得惨！心里越怕，越想看。

我就硬着头皮从这门缝里，向里一望。

鲁四凤（喘气）您瞧见什么？鲁贵就在这桌上点着一支要灭不灭的洋蜡烛，我恍恍惚惚地看见两个穿着黑衣裳的鬼，并排地坐着，像是一男一女，背朝着我，那个女鬼像是靠着男鬼的身边哭，那个男鬼低着头直叹气。

鲁四凤哦，这屋子有鬼是真的。

鲁贵可不是？我就是乘着酒劲儿，朝着窗户缝，轻轻地咳嗽一声。

就看这两个鬼飕一下子分开了，都向我这边望：这一下子他们的脸清清楚楚地正对着我，这我可真见了鬼了。

鲁四凤鬼么？什么样？（停一下，鲁贵四面望一望）谁？鲁贵我这才看见那个女鬼呀，（回头，低声）——是我们的太太。

鲁四凤太太？——那个男的呢？鲁贵那个男鬼，你别怕，——就是大少爷。

鲁四凤他？鲁贵就是他，他同他的后娘在这屋子里闹鬼呢。

江苏省南京市南京师大附中2023-2024学年高一上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________18．已知函数()sin()f x A x w j =+（0A >，0w >，||πj <）的部分图象如图所示.若将函数()f x 的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，则所得图象为函数()g x 的图象.(1)求()f x 的解析式；(2)当[0,2]x Î时，求()g x 的单调递减区间.19．已知函数()||f x x x =，函数2()2g x x x m =--.(1)求不等式()321f x ->-的解集；(2)如果对于任意2[1,2]x Î-，都存在1[2,1]x Î-，使得()()21g x f x =，求实数m 的取值范围.21．已知函数()2()log 41x f x ax =++是偶函数.(1)求实数a 的值；(2)若函数22()()222x x f x g x m -=++×的最小值为4-，求实数m 的值.22．设a 为常数，函数2()2cos sin 1f x x a x =--.(1)当1a =时，求()f x 的值域；(2)讨论()f x 在区间()0,π上的零点的个数；(3)设n 为正整数，()f x 在区间()0,πn上恰有2024个零点，求所有可能的正整数n 的值.)x因为202421012=´，所以2024n =或2025；当11a -<<时，则110t -<<，201t <<，()f x 在()0,πk （k 为正整数）内零点个数均为2k ，所以1012n k ==；当1a >，则11t <-，201t <<，()f x 在()0,2πk 和()()0,21πk -（k 为正整数）内零点个数均为2k ，所以2023n =或2024；综上n 的所有可能值为1012，1349，2023，2024，2025.【点睛】方法点睛：（2），（3）利用换元法后得()221f t t at =--+且280a D =+>得存在两个零点，通过对a 的分类讨论确定每种情况下两零点的取值，然后由[]sin 1,1t x =Î-来确定在()0,πn 上的n 可能的值.。

南京师大附中2019-2020学年度第二学期高一年级期中考试数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 10y --=的倾斜角是（ ）. A.6π B.3π C.23π D.56π 2. 若3cos()45πα-=，则sin 2α=（ ）.A.725B.15C. 15-D. 725-3. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c. 已知22,cos 3a c A ===.则边b 的长为（ ）.A.B. C. 2 D. 34. 已知1cos tan()3ααβ=-=-，,αβ均为锐角，则β=（ ）. A.512π B. 3π C. 4π D. 6π5. 在△ABC 中，2cos sin sin B A C =.则△ABC 的形状一定是（ ）. A.等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形6. 过点(3,4)P -向圆221x y +=引圆的两条切线PA ，PB ，则弦AB 的长为（ ）.A.B. C. D. 7. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c. 若满足2,30b A ==︒的三角形有两个，则边长a 的取值范围是（ ）. A. 01a << B. 1a = C. 12a << D. 2a ≥8. 直线(2)4y k x =-+与曲线0x 有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是（ ）.A. 53(,]124B. 51(,]122C. 13(,]24D. 1[,)2+∞二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的四个选项中，有不止一项是符合题目要求的. 全部选对的得5分，选对但不全的得3分，错选或不答的得0分.9. 若圆221:(1)1C x y -+=与圆222:880C x y x y m +-++=相切，则m 的值可以是（ ）. A. 16B. 7C. 4-D. 7-10. 下列命题中正确的有（ ）. A. 空间内三点确定一个平面 B. 棱柱的侧面一定是平行四边形C. 分别在两个相交平面内的两条直线如果相交，则交点只可能在两个平面的交线上D. 一条直线与三角形的两边都相交，则这条直线必在三角形所在的平面内11. 两直线(2)0m x y m +-+=，0x y +=与x 轴相交且能构成三角形，则m 不能取到的值有（ ）. A. 3-B. 2-C. 1-D. 012. 已知圆222:22(1)2230()C x y mx m y m m m R ++-+++-=∈上存在两个点到点(0,1)A -的距离为4，则m 的可能的值为（ ）. A. 1 B. 1- C. 3- D. 5-三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知直线1:4270l x y +-=和2:210l x y +-=，直线m 分别与12,l l 交于A ，B 两点，则线段AB 长度的最小值为 .14. 函数()2cos sin()3f x x x π=⋅+的最大值为 .15. 已知△ABC ，AB=AC=4，BC=2，点D 为AB 延长线上一点，BD=2，连接CD ，则△BDC 的面积是 ，cos BDC ∠= .16. 在平面直角坐标系xOy 中，过点(0,3)M -的直线l 与圆223x y +=交于A ，B 两点，且2MB MA =u u u r u u u r，则直线l 的方程为 .四、解答题：本大题共6小题，共70分. 17. （本小题满分10分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos cos 3cos c B b C a B +=. （1）求cos B 的值；（2）若2c =，△ABC 的面积为b 的值.18. （本小题满分10分）（1）用符号表示下来语句，并画出同时满足这四个语句的一个几何图形： ①直线l 在平面α内； ②直线m 不在平面α内； ③直线m 与平面α交于点A ； ④直线l 不经过点A .（2）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1BB 的中点，F 为棱1CC 的三等分点，画出由1,,D E F 三点所确定的平面β与平面ABCD 的交线.（保留作图痕迹）19. （本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知两直线1:330l x y --=和2:10l x y ++=，定点(1,2)A . （1）若1l 与2l 相交于点P ，求直线AP 的方程；（2）若1l 恰好是△ABC 的角平分线BD 所在的直线，2l 是中线CM 所在的直线，求△ABC 的边BC 所在直线的方程.20. （本小题满分12分）（1）已知1sin cos 5θθ+=，求sin 2θ的值；（2）记函数()sin 2sin cos f x x x x =++，求()f x 的值域.21. （本小题满分12分）为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD. 其中3AB =百米，AD BCD 是以D 为直角顶点的等腰直角三角形. 拟修建两条小路AC ，BD （路的宽度忽略不计），设BAD θ∠=，(,)2πθπ∈.（1）当cos θ=时，求小路AC 的长度； （2）当草坪ABCD 的面积最大时，求此小路BD 的长度.22. （本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在y 轴上的圆C 经过两点(0,2)M 和(1,3)N ，直线l 的方程为y kx =. （1）求圆C 的方程；（2）当1k =时，Q 为直线l 上的定点，若圆C 上存在唯一一点P 满足PO =，求定点Q 的坐标；（3）设点A ，B 为圆C 上任意两个不同的点，若以AB 为直径的圆与直线l 都没有公共点，求实数k 的取值范围.南京师大附中2019-2020学年度第二学期高一年级期中考试数学试卷 · 解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.10y --=的倾斜角是（ ）.A.6πB.3π C.23π D.56π 【答案】B【解析】tan ,03k πααπα==≤<⇒=【考点】直线的斜率与倾斜角2. 若3cos()45πα-=，则sin 2α=（ ）.A.725B.15C. 15-D. 725-【答案】D 【解析】27sin 2cos(2)2cos ()12425ππααα=-=--=-【考点】二倍角公式；诱导公式3. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知22,cos 3a c A ===.则边b 的长为（ ）.A.B. C. 2 D. 3【答案】D【解析】在△AB C 中，由余弦定理2222cos bc A b c a =+-,带入数据，解得3b =或13（舍）.【考点】余弦定理解三角形 4.已知1cos tan()3ααβ=-=-，,αβ均为锐角，则β=（ ）. A.512πB.3π C.4π D.6π 【答案】C 【解析】因为α为锐角，且cos α=所以sin α==，sin 1tan cos 2ααα==，于是11()tan tan()23tan tan[()]1111tan tan()1()23ααββααβααβ----=--===+-+-，又β为锐角，所以4πβ=. 【考点】同角三角函数关系；两角和与差的三角函数5. 在△ABC 中，2cos sin sin B A C =.则△ABC 的形状一定是（ ）. A.等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 【答案】A【解析】因为sin sin()C A B =+，所以2cos sin sin()B A A B =+，即2cos sin sin cos cos sin B A A B A B =+，即cos sin sin cos B A A B =， 于是tan tan A B =，所以A B =，△ABC 为等腰三角形. 【考点】两角和与差的三角函数；诱导公式6. 过点(3,4)P -向圆221x y +=引圆的两条切线PA ，PB ，则弦AB 的长为（ ）.A. B.C.D.【答案】B【解析】因为5OP ==，半径1OA =，所以PA PB ===由面积法可知，2PA OA AB OP ⋅⋅==【考点】圆的切线问题；与圆有关的几何问题7. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c. 若满足2,30b A ==︒的三角形有两个，则边长a 的取值范围是（ ）. A. 01a << B. 1a = C. 12a << D. 2a ≥ 【答案】C【解析】如图，2,30b A ==︒，垂线段11CB =，所以12a <<时，三角形有两解.【考点】判断三角形解的个数8. 直线(2)4y k x =-+与曲线0x 有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是（ ）. A. 53(,]124B. 51(,]122C. 13(,]24D. 1[,)2+∞【答案】B【解析】曲线可化简为22(1)4(0)x y x +-=≤.于是过点（2，0）的直线与该半圆有两个交点，数形结合，解得51122k <≤. 【考点】直线与圆的位置关系二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的四个选项中，有不止一项是符合题目要求的. 全部选对的得5分，选对但不全的得3分，错选或不答的得0分.9. 若圆221:(1)1C x y -+=与圆222:880C x y x y m +-++=相切，则m 的值可以是（ ）. A. 16B. 7C. 4-D. 7-【答案】AC【解析】圆2C 可化简为22(4)(4)32(32)x y m m -++=-<.于是151CC ==，解得16m =或4-.【考点】圆的方程；圆与圆的位置关系 10. 下列命题中正确的有（ ）. A. 空间内三点确定一个平面 B. 棱柱的侧面一定是平行四边形C. 分别在两个相交平面内的两条直线如果相交，则交点只可能在两个平面的交线上D. 一条直线与三角形的两边都相交，则这条直线必在三角形所在的平面内 【答案】BC【解析】对于A 选项，要强调该三点不在同一直线上，故A 错误； 对于B 选项，由棱柱的定义可知，其侧面一定是平行四边形，故B 正确； 对于C 选项，可用反证法证明，故C 正确； 对于D 选项，要强调该直线不经过给定两边的交点，故D 错误. 【考点】点、线、面的位置关系11. 两直线(2)0m x y m +-+=，0x y +=与x 轴相交且能构成三角形，则m 不能取到的值有（ ）. A. 3- B. 2- C. 1- D. 0 【答案】ABD【解析】由题知，三条直线中任意两条均有交点，且三条直线不能经过同一点. 于是: ①20m +≠；②21m +≠-；③(2)000m m +⋅-+≠.综上，2m ≠-且3m ≠-且0m ≠. 【考点】平面内两直线的位置关系12. 已知圆222:22(1)2230()C x y mx m y m m m R ++-+++-=∈上存在两个点到点(0,1)A -的距离为4，则m 的可能的值为（ ）. A. 1 B. 1- C. 3- D. 5-【答案】ACD【解析】由题知，圆222:()[(1)]2C x m y m ++-+=与圆222:(1)4A x y ++=相交.故4242CA -<<+，即26<，解得(1,2)1)m ∈-U ，选ACD【考点】点与圆的位置关系；圆与圆的位置关系三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知直线1:4270l x y +-=和2:210l x y +-=，直线m 分别与12,l l 交于A ，B 两点，则线段AB 长度的最小值为 .【解析】由题知，2:4220l x y +-=，两直线间的距离d ==【考点】平行线之间的距离公式14. 函数()2cos sin()3f x x x π=⋅+的最大值为 .【答案】1【解析】11()2cos (sin )sin 2cos2)sin(2)223f x x x x x x x π==+=++，最大值1+【考点】三角恒等变换；辅助角公式；三角函数的图像和性质15. 已知△ABC ，AB=AC=4，BC=2，点D 为AB 延长线上一点，BD=2，连接CD ，则△BDC 的面积是 ，cos BDC ∠= .【解析】△BDC 的面积为△ABC 面积的一半，△ABC 中，BC ABC 的面积为122⋅=所以△BDC . 21cos cos22cos 14ABC BDC BDC ∠=∠=∠-=，解得cos BDC ∠=BDC ∠为锐角，所以cos BDC ∠= 【考点】三角形面积公式；正余弦定理解三角形16. 在平面直角坐标系xOy 中，过点(0,3)M -的直线l 与圆223x y +=交于A ，B 两点，且2MB MA =u u u r u u u r，则直线l 的方程为 .【答案】3y =-【解析】由题知，点A 为MB 的中点，设直线:3l y kx =-，将直线带入圆的方程，结合122x x =，解得k =3y =-【考点】直线和圆的位置关系，韦达定理四、解答题：本大题共6小题，共70分. 17. （本小题满分10分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos cos 3cos c B b C a B +=. （1）求cos B 的值；（2）若2c =，△ABC 的面积为b 的值. 【答案】（1）1cos 3B =；（2）3b =. 【解析】（1）在△ABC 中，由正弦定理sin sin sin a b c A B C ==，设sin ak A=，则sin ,sin ,sin a k A b k B c k C ===，带入cos cos 3cos c B b C a B +=，化简得sin 3sin cos A A B =，因为,(0,),sin 0,sin 0A B A B π∈>>，所以1cos 3B =；（2）由（1）可知，sin 0B >，sin B ==，又1sin 2ABC S ac B ∆=，所以122a ⋅=，解得3a =.在△ABC 中，由余弦定理2222cos ac B a c b =+-，所以2221232323b ⋅⋅⋅=+-，解得3b =.【考点】解三角形；三角恒等变换18. （本小题满分10分）（1）用符号表示下来语句，并画出同时满足这四个语句的一个几何图形： ①直线l 在平面α内； ②直线m 不在平面α内； ③直线m 与平面α交于点A ； ④直线l 不经过点A .（2）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1BB 的中点，F 为棱1CC 的三等分点，画出由1,,D E F 三点所确定的平面β与平面ABCD 的交线.（保留作图痕迹）【答案】（1）l α⊂；m α⊄；m A α=I ；A l ∉；示意图如下：（2）如图，直线IL 即为所求.【考点】空间点、线、面之间的位置关系19. （本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知两直线1:330l x y --=和2:10l x y ++=，定点(1,2)A . （1）若1l 与2l 相交于点P ，求直线AP 的方程；（2）若1l 恰好是△ABC 的角平分线BD 所在的直线，2l 是中线CM 所在的直线，求△ABC 的边BC 所在直线的方程. 【答案】（1）:31AP y x =-；（2）7110x y --=.【解析】（1）联立两直线，解得P （0，-1），所以直线AP 的斜率k=3，AP ：y=3x-1.（2）设点B 的坐标为(33,)t t +，则点342(,)22t t M ++，所以3421022t t ++++=， 解得2t =-，即(3,2)B --，所以22131AB k --==--. 由到角公式得， 111111BC AB BCAB k k k k k k k k --=++,即11133111133BC BC k k --=++，解得17BCk =， 所以BC 所在直线方程为12(3)7y x +=+化简得7110x y --=【考点】直线方程；两直线的位置关系；到角公式20. （本小题满分12分）（1）已知1sin cos 5θθ+=，求sin 2θ的值； （2）记函数()sin 2sin cos f x x x x =++，求()f x 的值域.【答案】（1）24sin 225θ=-；（2）5[,14-. 【解析】（1）因为1sin cos 5θθ+=，所以221sin cos 2sin cos 25θθθθ++= 即 11sin 225θ+=，所以24sin 225θ=-（2）记sin cos t θθ+=，显然)4t x π=+，所以[t ∈.将sin cos t θθ+=两边平方，得2sin 21t θ=-故2215()()1(),[24f x g t t t t t ==+-=+-∈所以min 15()()24f x g =-=-，max ()1f x g ==+所以()f x 的值域为5[,14- 【考点】同角三角函数关系式；三角函数的图像和性质21. （本小题满分12分）为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD. 其中3AB =百米，AD BCD 是以D 为直角顶点的等腰直角三角形. 拟修建两条小路AC ，BD （路的宽度忽略不计），设BAD θ∠=，(,)2πθπ∈.（1）当cos θ=时，求小路AC 的长度； （2）当草坪ABCD 的面积最大时，求此小路BD 的长度.【答案】（1）AC =（2）BD =.【解析】（1）当cos θ=时，在△ABD 中，由余弦定理得BD =，222164cos sin2205AD BD AB ADB ADC AD BD +-∠=====∠⋅因为ADC ∠为钝角，所以3cos 5ADC ∠==- 在△ADC 中，由余弦定理得，AC = （2）在△ABD 中，由余弦定理得BD =所以211sin 7,(0,)22S AB AD BD θθθθπ=⋅⋅+=+-∈ 于是157sin(),tan 2,(,0)22S πθϕϕϕ=++=-∈-其中.所以， 当2πθϕ+=时，S 最大，此时11sin tan tan 2cos θθϕθ==-=，又因为(0,)θπ∈，所以(,)2πθπ∈，解得cos θ=所以此时BD =答：（1）AC =百米，（2）当四边形面积最大时，小路BD =.【考点】解三角形的应用22. （本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在y 轴上的圆C 经过两点(0,2)M 和(1,3)N ，直线l 的方程为y kx =.（1）求圆C 的方程；（2）当1k =时，Q 为直线l 上的定点，若圆C 上存在唯一一点P 满足PO =，求定点Q 的坐标；（3）设点A ，B 为圆C 上任意两个不同的点，若以AB 为直径的圆与直线l 都没有公共点，求实数k 的取值范围.【答案】（1）22(3)1x y +-=；（2）(2Q 或(2 ；（3）(k ∈.【解析】（1）设圆的方程为222()(0)x y b r r +-=>，将M,N 坐标带入，得：2222220(2)1(3)b r b r ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩，解得31b r =⎧⎨=⎩，所以圆的方程为22(3)1x y +-=.（2）设(,)Q t t ，(,)P x y ，化简得222(2)(2)4x t y t t -+-=，此圆与圆C 相切，所以有21t =±，解得2t =(2Q ++或(2（3）记以AB 为直径的圆为圆M ，设圆M 上有一动点000(,)P x y ，设(01)CM d d =<≤.则圆M 的半径12M r AB ==于是0CP ==u u u r 其中θ为0CM MP u u u u r u u u u r ，的夹角，[0,]θπ∈.因为01[0,]2CM MP ⋅=u u u u r u u u u r ，所以0CP ∈u u u r .故点0P 在以(0,3)C ，所以点C 到直线l 的距离d >(22k ∈-. 【考点】圆与方程；阿波罗尼斯圆；隐圆问题。