极值法在物理解题中的应用

初中物理极值题型归纳总结在初中物理学习中，极值问题是一类常见的题型，也是学生们比较容易遇到的难题之一。

本文将对初中物理中的极值题型进行归纳总结，帮助同学们更好地应对此类题目。

一、最大值与最小值在物理问题中，最大值和最小值往往代表着某种物理量的极端情况，是我们需要求解的目标。

以下是一些常见的最大值和最小值问题：1. 最大值问题最大值问题通常涉及到寻找某一物理量在给定条件下的最大取值。

例如，求解一个抛体的最大高度、求解电阻的最大功率等。

对于这类问题，可以采用以下思路来解决：（1）列出问题的相关条件或约束；（2）根据条件或约束，得出物理量的表达式；（3）对表达式求导，找到极值点；（4）通过适当的方法，判断得到的极值点是否满足最大值的条件。

2. 最小值问题最小值问题与最大值问题类似，但是求解的是物理量的最小取值。

例如，求解一个弹簧的最小压缩量、求解电路中电流的最小值等。

解决最小值问题可以按照以下步骤进行：（1）列出问题的相关条件或约束；（2）根据条件或约束，得出物理量的表达式；（3）对表达式求导，找到极值点；（4）通过适当的方法，判断得到的极值点是否满足最小值的条件。

二、具体题型分析1. 坡度问题坡度问题是一种常见的极值问题，通常涉及到物体在斜坡上运动的情况。

在解决坡度问题时，可以根据题目所给条件，利用力学知识和相关公式进行推导和计算。

以某个斜坡上的物体滑动时所具有的最大速度为例，可以通过以下步骤进行解答：（1）根据题目给出的条件，列出物体所受到的力；（2）根据牛顿第二定律，建立物体的运动方程；（3）通过求解运动方程，得到最大速度的表达式；（4）对表达式求导，并求解得到的导数为零的点，即可得到最大速度的取值。

2. 三角函数问题三角函数问题是另一种常见的极值问题类型，通常涉及到角度的取值范围以及某一物理量的极值。

在解决三角函数问题时，需要对三角函数的性质和恒等式有一定的了解。

例如，求解一个正弦函数在给定范围内的最大值，可以按照以下步骤进行：（1）根据给定的范围，列出正弦函数的表达式；（2）对表达式求导，并求解得到的导数为零的点；（3）通过判断该点是否满足最大值的条件，确定极值点的取值。

校干市掉吃阳光实验学校案例51 物理解题中求极值的常用方法二运用数学工具处理物理问题的能力是高考考查的五种能力之一，其中极值的计算在教频繁出现。

因为极值问题范围广、习题多，会考、高考又经常考查，该得到足够。

另外很多学生数、理结合能力差，这里正是数理结合的“切人点〞。

学生求极值，方法较少，教师该在高考专题复习中提供多种求极值的方法。

求解物理极值问题可以从物理过程的分析着手，也可以从数学方法角度思考，下面对数学方法求解物理极值问题作些说明。

1、利用顶点坐标法求极值对于典型的一元二次函数y=ax 2+bx+c,假设a>0,那么当x=-a b2时,y有极小值，为y min =a b ac 442-； 假设a<0,那么当x=-ab2时,y有极大值，为y max =ab ac 442-；2、利用一元二次函数判别式求极值 对于二次函数y=ax 2+bx+c ，用判别式法 利用Δ＝b 2-4ac ≥0。

(式中含y) 假设y ≥A ，那么y min ＝A 。

假设y ≤A ，那么y max ＝A 。

3、利用配方法求极值对于二次函数y=ax 2+bx+c ，函数解析式经配方可变为y=(x-A)2+常数：〔1〕当x ＝A 时，常数为极小值；或者函数解析式经配方可变为y = －( x －A )2+常数。

〔2〕当x ＝A 时，常数为极大值。

4、利用均值理法求极值 均值理可表述为≥+2ba ab ，式中a 、b 可以是单个变量，也可以是多项式。

当a ＝b 时， (a+b)min ＝2ab 。

当a ＝b时， (a+b) max ＝2)(2b a +。

5、利用三角函数求极值如果所求物理量表达式中含有三角函数，可利用三角函数的极值求解。

假设所求物理量表达式可化为“y=Asin ααcos 〞的形式，那么y=21Asin2α，在α=45º时，y 有极值2A。

对于复杂的三角函数，例如y=asin θ+bcos θ，要求极值时先需要把不同名的三角函数sin θ和cos θ，变成同名的三角函数，比方sin(θ+ф) 。

处理物理问题的数学方法一、极值法1、 利用二次函数求极值：y ＝ax 2＋bx ＋c ＝a (x 2＋b a x ＋b 24a 2)＋c －b 24a ＝a (x ＋b 2a )2＋4ac －b 24a(其中a 、b 、c 为实常数)，当x ＝－b2a 时，有极值y m ＝4ac －b 24a (若二次项系数a >0，y 有极小值；若a <0，y 有极大值)．2、 利用三角函数求极值：y ＝a cos θ＋b sin θ＝a 2＋b 2(a a 2＋b 2cos θ＋ba 2＋b 2sin θ) 令sin φ＝a a 2＋b 2，cos φ＝ba 2＋b 2则有：y ＝a 2＋b 2(sin φcos θ＋cos φsin θ)＝a 2＋b 2sin (φ＋θ)3、 利用均值不等式求极值：对于两个大于零的变量a 、b ，若其和a ＋b 为一定值p ，则当a ＝b 时，其积ab 取得极大值 p 24例题：[2013山东理综 22（15分）]如图所示，一质量m =0.4kg 的小物块，以v 0=2m/s 的初速度，在与斜面成某的角度的拉力F 作用下，沿斜面向上做匀加速运动，经t =2s 的时间物块由A 点运动到B 点，AB 两点间的距离L ＝10m.已知斜面倾角30=θ，物块与斜面之间的动摩擦因数33=μ，重力加速度g 取10m/s 2. （1）求物块加速度的大小及到达B 点时速度的大小。

（2）拉力F 与斜面夹角多大时，拉力F 最小？拉力F 的最小值是多少？ 答：（1）物块加速度的大小为3m/s 2，到达B 点的速度为8m/s ； （2）拉力F 与斜面的夹角30°时，拉力F 最小，最小值是N 53 13=F min解析：（1）物体做匀加速直线运动，根据运动学公式，有：221at L =①， v=at ②联立解得； a=3m/s 2，v=8m/s （2）对物体受力分析 根据牛顿第二定律，有：水平方向：Fcosα-mgsinα-F f =ma 竖直方向：Fsinα+F N -mgcosα=0 其中：F f =μF N 联立解得：α)+sin(60 3 32ma +μcosα)+mg(sin α= sin cos ma +μcosα)+mg(sin α=F ︒+αμα故当α=30°时，拉力F 有最小值，为N 53 13=F min ； 二、几何法利用几何方法求解物理问题时，常用到的有“对称点的性质”、“两点间直线距离最短”、“直角三角形中斜边大于直角边”以及“全等、相似三角形的特性”等相关知识，如：带电粒子在有界磁场中的运动类问题，物体的变力分析时经常要用到相似三角形法、作图法等．与圆有关的几何知识在力学部分和电学部分的解题中均有应用，尤其在带电粒子在匀强磁场中做圆周运动类问题中应用最多，此类问题的难点往往在圆心与半径的确定上常见的几何关系：1．依切线的性质确定．从已给的圆弧上找两条不平行的切线和对应的切点，过切点作切线的垂线，两条垂线的交点为圆心，圆心与切点的连线为半径．2．依垂径定理(垂直于弦的直径平分该弦，且平分弦所对的弧)和相交弦定理(如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项)确定．如图1所示．图1由勾股定理得：R 2＝(R －CE )2＋EB 2解得：R ＝EB 22CE ＋CE2．例题：[2014山东理综 24（20分）]如图-2甲所示，间距为、垂直于纸面的两平行板间存在匀强磁场。

七、用图象法求极值
通过分析物理过程中遵循的物理规律，找到变量间 的函数关系，作出其图象，由图象可求得极值。
[例8]两辆完全相同的汽车，沿水平直路一前一匀速行驶， 速度均为V0，若前车突然以恒定加速度刹车，在它刚停止 时，后车以前车刹车时的加速度开时刹车，已知前车在刹 车过程中行驶距离为S。在上述过程中要使两车不相撞， 则两车在匀速运动时，报持的距离至少应为：（ ）
（A）S （B）2S （C）3C （D）4S
小结：
“忘”掉具体题文；升华、归纳、牢记其思维方法。
思考题：根据你见过的题目，给上述七类型各补上 1----3道题，以增强对极值法的理解。
知识回顾 Knowledge Review
祝您成功！
为多大？
三、分析物理过程求极值
有些问题可直接通过分析题中的物理过程及相应的 物理规律，找出极值出现时的隐含条件，从而求解。
[例4]如图，轻质长绳水平地跨在相距为2L的两个小定滑轮A、B上， 质量为M的物体悬挂在绳上O点，O与A、B两滑轮距离相等，在轻 绳两端C、D分别施加竖直向下的拉力F=mg,先拉住物体,使绳处于 水平拉直状态,静止释放物体,在物体下落过程中,保持C、D两端拉 力F不变,求物体下落的最大速度和最大距离
物理解题方法2--极值法
一、利用配方法求极值 将所求物理量表达式化为 “y=(x-a)2+b” 的形式，从而可得出：当x=a时，y有极值b。 （二次函数求极值法）
［例１］ 一矩形线框abcd周长为L,其中通 有电流Ｉ，将它置于一匀强磁场Ｂ中，且ab 边与磁感线方向平行，该线框所受磁力矩最 大可为多少？
二、利用三角函数法求极值 如果所求物理量表达式中含有三角函数， 可利用三角函数求极值。 1．若所求物理量表达式可化为“y=A sinθ cosθ”形式（即y= sin2θ）,则在θ=45o时，y有极 值A/2。

高中物理解题常用思维方法高中物理解题常用思维方法一、逆向思维法逆向思维是解答物理问题的一种科学思维方法，对于某些问题，运用常规的思维方法会十分繁琐甚至解答不出，而采用逆向思维，即把运动过程的“末态”当成“初态”，反向研究问题，可使物理情景更简单，物理公式也得以简化，从而使问题易于解决，能收到事半功倍的效果。

高中物理解题常用思维方法二、对称法对称性就是事物在变化时存在的某种不变性。

自然界和自然科学中，普遍存在着优美和谐的对称现象。

利用对称性解题时有时可能一眼就看出答案，大大简化解题步骤。

从科学思维方法的角度来讲，对称性最突出的功能是启迪和培养学生的直觉思维能力。

用对称法解题的关键是敏锐地看出并抓住事物在某一方面的对称性，这些对称性往往就是通往答案的捷径。

高中物理解题常用思维方法三、图象法图象能直观地描述物理过程，能形象地表达物理规律，能鲜明地表示物理量之间的关系，一直是物理学中常用的工具，图象问题也是每年高考必考的一个知识点。

运用物理图象处理物理问题是识图能力和作图能力的综合体现。

它通常以定性作图为基础(有时也需要定量作出图线)，当某些物理问题分析难度太大时，用图象法处理常有化繁为简、化难为易的功效。

高中物理解题常用思维方法四、假设法假设法是先假定某些条件，再进行推理，若结果与题设现象一致，则假设成立，反之，则假设不成立。

求解物理试题常用的假设有假设物理情景，假设物理过程，假设物理量等，利用假设法处理某些物理问题，往往能突破思维障碍，找出新的解题途径。

在分析弹力或摩擦力的有无及方向时，常利用该法。

高中物理解题常用思维方法五、整体、隔离法物理习题中，所涉及的往往不只是一个单独的物体、一个孤立的过程或一个单一的题给条件。

这时，可以把所涉及到的多个物体、多个过程、多个未知量作为一个整体来考虑，这种以整体为研究对象的解题方法称为整体法;而把整体的某一部分(如其中的一个物体或者是一个过程)单独从整体中抽取出来进行分析研究的方法，则称为隔离法。

做物理选择题的技巧方法做物理选择题的技巧方法一、直选法这种方法适用于基本不需要转变或是推理的简单题目。

这种题目往往考察的是对物理知识的记忆和理解程度，属于常识性知识题目。

二、比较排除法这种方法是在审题之后，根据题目要求，将错误或是不合理的备选答案一个个排除掉，最后剩下正确答案。

三、特殊值法、极值法对于较难判断的选项，可以让某些物理量取巧满足题设条件的特殊值或极值，代入到选项中逐个检验。

用特殊值或极值检验证明是不正确的选项，就一定是错误的，可以排除。

四、极端思维法当题目所涉及的物理量随条件单调变化时，可用极限法是把某个物理量推向极端，即极大或极小，极左或极右，并据此做出科学的推理分析，从而给出判断或导出一般结论。

五、对比法对于一些选项间有相户关联的高考选择题，有时会出现A正确，B正确，C也正确的情况，对于答案应为单选或双选的选择题可用此方法进行排除错误选项。

六、图像图解法根据题目的内容画出图像或是示意图，如物体的运动图像、受力示意图、光路图等，在利用图像分析寻找答案。

这样做具有形象、直观的特点，便于了解各物理量之间的关系，能够避免繁琐的计算，迅速的找出正确的答案。

七、逆向思维法很多物理过程都具有可逆性，当正向思考受阻时，不防“反其道而行之”，常常会收到化难为易，出奇制胜的效果。

八、举例求证法有些选择题中含有“可能”、“可以”等不确定的词语，只要能举出一个特殊的例子证明他的正确性，那么就可以肯定这个选项是正确的;有些选择题的选项中带有“一定”“不可能”等肯定的词语，只要能举出一个反例驳倒这个选项，就可以排除这个选项。

九、二级结论法二级结论”是指由基本规律和基本公式导出的结论，熟记并巧用一些“二级结论”可以使思维简化，节约解题时间，其能常常使我们“看到题就知道答案”，达到迅速准确的目的。

十、控制变量法对于多个变量时，有时采用每一次只改变其中一个变量而控制其余几个量不变的方法，使其变成较简单的单变量问题，大大降低问题的分析复杂程度，这种方法也是物理中常用的探索问题和分析问题的科学方法之一。

讨论 ：
（ ） Ｒｌ Ｒ （ Ｒｌ Ｒ ） 滑 片 Ｐ在 ｎ端 （ １若 ＜ ２或 ＞ ２， 或 ｂ端 ）时 ， 最 小 ． ％ （ ）若 尺ｌ 尺 ≤ 尺２或 尺 ２ ＋ （ ２＋ 尺 ≤ 尺１ ， 片 Ｐ ）滑 在 ｎ端 （ ｂ端 ） ， 最 小 ； 片 Ｐ在 ｂ端 （ ｎ 或 时 ％ 滑 或 端 ）时 ， 最 大 ． ％ （ ）若 Ｒ ３ ｌ＜ Ｒ （ Ｒ ２ 或 ｌ＞ Ｒ ） Ｒ ＋ Ｒ ≥ Ｒ （ ２，ｌ ２ 或 尺 ＋ 尺 ≥ Ｒ ） ， 片 Ｐ移 至 两 并 联 支 路 电 阻 相 等 ２ １时 滑
又如 ， 车从 静 止开 始做 匀加 速直 线 运动 ， 汽 ４ｓ 关 闭 发 动 机 ， 经 过 ６ｓ 下 ，０ｓ 汽 车 共 行 末 再 停 １ 内
运 用 图 象 法 解 题 ， 以 使 问 题 形 象 直 观 ， 够 可 能 使 复 杂 的 物 理 过 程 简 单 明 了 ． 象 法 中 常 涉 及 到 的 图 数学 方 法有斜 率解 题法 和 面积 解题 法等 ．
云
河北 石 家庄 ０ １￣１ ５ ７） Ｘ
４ｓ ， 内 由于 图 线 的 斜 率 相 等 ， 以 加 速 度 ｎ 所 ２＝ ｎ ３
： 一
５ｍ ｓ； ～ ５ｓ 口 ／２４ 内 ４＝ 口 ＝ ５ｍ／２ 其 中 正 负 ｓ，
巧 来 解 答 物 理 问 题 ， 以 使 问 题 的 解 答 变 得 更 为 简 可 单 ． 面介绍 数学 方 法 中的 图象法 和极 值 法 在物 理 下
外 电阻 为 尺 ＝４ ｒ的 电 路 中 间 ， 怎 样 联 接 才 能 使 问
１ｚ ｓ， 汽 车 在 加 速 过 程 中 的 加 速 度 是 ｎ ２故 ／
ｔ ２
１ ５ ｓ， 减 速 过 程 中 的 加 速 度 大 小 是 ． ２ 在

极值法在初中物理中的应用极值法的概述：极值法是通过把某个物理量推向无限大或无限小后对问题作出分析和判断，在物理教学中,有很多的考题采用常规方法去解答，非常繁琐甚至无法解出，用极值法却能迎刃而解。

特别是在定性分析某些物理量的变化时，会起到事半功倍的效果。

〖思想精髓〗运用极值法可使解题过程大为简化，解题速度及准确率也会进一步提高。

运用“极值法”解物理习题的关键点其实就是取极值，即取物理量的极大值或极小值后再进行分析、推断和计算，使问题得以解决。

〖应用示范〗【例1】在如图2-4-1所示的电路图中，滑动变阻器的最大阻值是16Ω，当闭合开关S后，滑片P 滑到什么位置时，灯泡发光最暗？（设灯泡的电阻不受温度的影响）。

【绿色通道】要使灯泡最暗，就要求灯泡的电功率最小，由Ｐ＝I 2R L 可知，R L 不变，在串联电路中必须让电路中的电流最小。

而滑动变阻器的滑片P 在最左端和最右端都将使电路中的电流最大，所以滑片P 只能是在最左端和最右端之间才行，且使R 左、R 右的并联电阻最大，已知R 左+R 右=16Ω，则R 左=R 右=8Ω时，并联电阻最大。

即只有当滑片P 在滑动变阻器R 的中点时，灯泡发光最暗。

答案：中点。

【红色警戒】解决此类题目的最大错点就在于学生不明白灯泡的明亮程度取决于灯泡的实际电功率，往往觉得灯泡的额定功率越大，灯泡就越亮。

其次，当已知两个值之和时（R 1+R 2=16Ω）,要求R 并= R 1R 2／(R 1+R 2)最大，即R 1R 2最大，只要R 1=R 2就行。

这其实就是运用简单的数学知识来解决物理问题。

然而，这也是许多同学无法跨越的障碍之一。

【例2】一传感器(可以看作一纯电阻)上标有“3V ，0.9W ”字样，为了检测它的电学性能，设计了如图2-4-2所示的电路，将它与滑动变阻器串联，滑动变阻器上标有“10Ω，1A ”字样。

（1）为确保电路安全，请计算在 a 、b 间所加电压的最大值。

- 1 -高中物理解题方法之极值法江苏省特级教师 戴儒京高中物理中的极值问题，是物理教学研究中的活跃话题。

本文通过例题归纳综合出极值问题的四种主要解法。

一、 二次函数求极值二次函数aacb a b x ac bx ax y 44)2(222--+=++=，当a b x 2-=时，y 有极值ab ac y m 442-=，若a>0，为极小值，若a<0，为极大值。

例1试证明在非弹性碰撞中，完全非弹性碰撞(碰撞后两物体粘合在一起)动能损失最大。

设第一个物体的质量为1m ，速度为1V 。

第二个物体的质量为2m ，速度为2V 。

碰撞以后的速度分别为'1V 和'2V 。

假使这四个速度都在一条直线上。

根据动量守恒定律有：'+'=+22112211V m V m V m V m （1）如果是完全非弹性碰撞，两物体粘合在一起，（1）则变为V m m V m V m '+=+)(212211，即212211m m V m V m V ++=' （2）现在就是要证明，在满足（1）式的碰撞中，动能损失最大的情况是（2）式。

碰撞中动能损失为ΔE k =()22()22222211222211'+'-+v m vm v m v m （3） 转变为数学问题：ΔE k 为v 的二次函数:由（1）得：v 2ˊ=2112211)(m v m v m v m '-+ （4）将（4）代入（3）得：k =++++-'12221112'1211)(2)(v m v m v m m v m m m m [2222112222112)(22m v m v m v m v m +-+] 二次函数求极值,- 2 - 当v 1ˊ=)()(212211m m v m v m ++ （5） 时∆E k 有极大值。

回到物理问题,将（5）代入（4）得v 2ˊ=)()(212211m m v m v m ++此两式表明,m 1和m 2碰后速度相等,即粘合在一起,此时动能损失(ΔE k )最大。

高中物理解题思想方法探讨在高中物理总复习中，知识内容的复习是非常重要的一环，只有将考试说明中规定的知识内容无一遗漏地熟练地储备好，才有可能应对知识面覆盖广泛的高考试卷；但要在决战高考中取得全面的胜利，还必须具备一定的解题方法。

方法掌握得多了，面对变化莫测的高考试卷，才会临危不惧，从容应对。

也就是说，物理解题方法的学习与训练，是实现中学物理教学任务和目的的一种重要而有效的手段。

中学物理解题中所涉及到的科学思维方法，以及由此而产生的解题技巧很多，笔者进行了相关的整理。

一、物理模型法物理模型是根据一定的物理现象，规律和条件建立起来的。

各种典型的物理模型有其特有的分析方法。

如果我们能对所分析的物理过程，物理现象通过科学的抽象，剔粗取精，去伪存真，还原为典型的物理模型，将极大地提高我们的解题能力。

近年来，随着物理高考试题对能力考查的力度加大，理论联系实际的试题逐渐成为一种趋势。

但考生试卷的得分情况并不理想，其重要原因之一就是不少同学不会通过物理的思维、方法去将它抽象成一个典型的物理模型或过程。

从某个角度讲，现在的物理试题考查的就是学生的建模能力。

构建模型，对于某些简单的习题并不是困难，如“小球从楼顶自由落下”，即为一个质点的自由落体模型；“带电离子垂直进入匀强磁场”，即为质点要作的匀速圆周运动模型等等。

但是更多的问题中，给出的现象、状态、过程及条件并不显而易见，隐含较深，必须通过细心的比较、分析、判断等思维后才能构建起来。

一般说来构建物理模型的途径有四种：明确物理过程，构建准确的物理模型；挖掘隐含条件，构建物理模型；紧扣关键词句，构建物理模型；抓住问题本质特征，构建物理模型。

二、等效替代法等效法是把复杂的物理现象、物理过程转化为简单的物理现象、物理过程来研究的一种方法。

在中学物理中，合力与分力、合运动与分运动、总电阻与分电阻、平均值、有效值等等，都是根据等效概念引入的。

在学习的过程中，若能将此法渗透到对物理过程的分析中去，不仅仅可以使我们对物理问题的分析和解答变得简捷，而且对灵活运用知识，促使知识、技能、能力的迁移，都会有很大的帮助。

2019高考物理极值法解题例题解析俗话说，“习惯成自然”，良好的学习习惯对学习有着重要的促进作用，查字典物理网小编编辑整理了高考物理极值法解题例题解析，希望考生们通过对复习资料的娴熟来为考试复习锦上添花。

一、方法简介
通常状况下，由于物理问题涉及的因素众多、过程困难，很难干脆把握其改变规律进而对其做出精确的推断.但我们若将问题推到极端状态、极端条件或特别状态下进行分析，却可以很快得出结论.像这样将问题从一般状态推到特别状态进行分析处理的解题方法就是极端法.极端法在进行某些物理过程的分析时，具有独特作用，恰当应用极端法能提高解题效率，使问题化难为易，化繁为简，思路敏捷，推断精确.
用极端法分析问题，关键在于是将问题推向什么极端，采纳什么方法处理.详细来说，首先要求待分析的问题有“极端”的存在，然后从极端状态动身，回过头来再去分析待分析问题的改变规律.其实质是将物理过程的改变推到极端，使其改变关系变得明显，以实现对问题的快速推断.通常可采纳极端值、极端过程、特别值、函数求极值等方法.
二、典例分析
1.极端值法
对于所考虑的物理问题，从它所能取的最大值或最小值方面进行分析，将最大值或最小值代入相应的表达式，从而得到所需的结
论.
【例1】如图所示，电源内阻不能忽视，R1=10Ω，R2=8Ω，当开关扳到位置1时，电流表的示数为0.2A;当开关扳到位置2时，电流表的示数可能是。

在有关物体平衡的问题中，有一类涉及动态平衡。

这类问题中的一部分力是变力，是动态力，力的大小和方向均要发生变化，故这是力平衡问题中的一类难题。

解决这类问题的一般思路是：把“动”化为“静”，“静”中求“动”。

下面就介绍几种动态平衡问题的解题方法。

方法一：三角形法则。

原理：当物体受三力作用而处于平衡状态时，其合力为零，三个力的矢量依次恰好首尾相连，构成闭合三角形，当物体所受三个力中二个发生变化而又维持平衡关系时，这个闭合三角形总是存在，只不过形状发生改变而已，比较这些不同形状的矢量三角形，各力的大小及变化就一目了然了。

例1. 如图1所示，一个重力G的匀质球放在光滑斜面上，斜面倾角为，在斜面上有一光滑的不计厚度的木板挡住球，使之处于静止状态。

今使板与斜面的夹角缓慢增大，问：在此过程中，挡板和斜面对球的压力大小如何变化？图1解析：取球为研究对象，球受重力G、斜面支持力F1、挡板支持力F2。

因为球始终处于平衡状态，故三个力的合力始终为零，三个力构成封闭的三角形。

挡板逆时针转动时，F2的方向也逆时针转动，F1的方向不变，作出如图2所示的动态矢量三角形。

由图可知，F2先减小后增大，F1随增大而始终减小。

图2说明：三角形法则适用于物体所受的三个力中，有一力的大小、方向均不变（通常为重力，也可以是其它力），另一个力的大小变化，第三个力则大小、方向均发生变化的问题，对变化过程进行定性的分析。

方法二：解析法。

原理：物体处于动态平衡状态时，对研究对象的任一状态进行受力分析，根据具体情况引入参量，建立平衡方程，求出应变参量与自变参量的一般函数关系，然后根据自变量的变化确定应变量的变化。

例2. 如图3所示，小船用绳索拉向岸边，设船在水中运动时所受水的阻力不变，那么小船在匀速靠岸过程中，下面说法哪些是正确的（）图3A. 绳子的拉力F不断增大B. 绳子的拉力F不变C. 船所受的浮力不断减小D. 船所受的浮力不断增大解析：小船共受四个力作用：重力G、浮力、水的阻力、绳子拉力F。

1例4全解A
F1 解：（1）研究物块1上升的过程。以物块1为研究对象，其 受力分析和运动过程分析如图1所示。物块1在最高点A O 处，加速度最大，且方向竖直向下，F1+m1g=mam F1 F2 ’ 最大。以物块2为研究对象，其受力分析如图2所示。F1 最大时，N=0，即F1’=m2g 因F1’=F1 所以， B m1 g m2 g m1g+m2g=m1am 图1 am
300 图1
分析：讨论涉及静摩擦力的临界问题的一般方法是：1、抓住静摩擦力方向的
可能性。2、物体即将由相对 静止的状态即将变为相对 滑动状态的条件是 f=μN（最大静摩擦力）。本题有两个临界状态，当物体具有斜向上的 运动趋 势时，物体受到的摩擦力为最大静摩擦力；当物体具有斜向下的运动趋势时， 物体受到的摩擦力为最大静摩擦力。 N y f1 当物体具有斜向下的运动趋势时，受力分析如图2所示， sin300 N1 - f1 cos300=ma0 (1) f1 sin300+N1 cos300=mg (2) f 1 =μN1 (3) a 01=？ 当物体具有斜向上的运动趋势时，受力分析如图3所示， N2sin300+ f2 cos300=ma0 (1) N2 cos300=mg + f2 sin300(2) f 2 =μN2 (3) a 02=？ （求出加速度的取值范围）
f1
图2
mgsinθ
f2
图3 mgsinθ
牛顿定律运用中的临界和极值问题
例题分析：4、如图所示，两块质量分别m1是m2和，用劲度系数为k的轻弹簧 连在一起，放在水平面上，将木块1下压一段距离后释放，它在做简谐运 动，在运动过程中，木块2始终没有离开水平面，且对水平面的最小压力 为零，则木块1的最大加速度的大小是多大？木块2对水平面的最大压力是 多大？

物理解题中的数学方法《考试说明》中对学生的能力要求有五个方面，其中第四种能力即为应用数学方法处理物理问题的能力。

所谓数学方法，就是要把客观事物的状态、关系和过程用数学语言表达出来，并进行推导、演算和分析，以形成对问题的判断、解释和预测。

可以说每一物理问题的分析、处理过程，都是数学方法的运用过程。

下面介绍几种处理中学物理问题，常用的数学方法。

一、图像法中学物理中一些比较抽象的习题常较难求解，若能与数学图形相结合，再恰当引入物理图象，则可变抽象为形象，突破难点、疑点，使解题过程大大简化。

【例1】一蚂蚁离开巢沿直线爬行，已知它的速度与蚁巢中心的距离成反比。

当蚂蚁爬到离巢中心L1=1m的A点处时，速度是v1=2cm/s。

试问蚂蚁从A点爬到离巢中心L2=2m的B点时所需要的时间为多少？【解析】此题中蚂蚁的速度随时间的变化是非线性的，不能用匀速运动公式求解。

由题意蚂蚁的速度与蚁巢中心的距离成反比，可知速度的倒数与蚁巢中心的距离成正比。

我们作出与L的关系图像，这个图象是一条过原点的直线。

由图可知，直线下阴影部分的“面积”在数值上就等于所求的时间。

【小结】本题巧妙地采用了-L图像解答，不仅把速度与距离成反比（图像为曲线）转化为速度的倒数与距离成反比（图像为直线），而且同时用它的“面积”能够表示运动的时间，使原来较为复杂的运动求解变得很容易。

二、几何法利用几何法解物理题时，常用到的是“对称点的性質”、“两点间的直线距离最短”、“全等、相似三角形的性质”等相关知识。

【例2】一带电质点，质量为m、电量为q，以平行于ox轴的速度v从y 轴上的a点射入图中第一象限所示的区域。

为了使该质点能从x轴上的b点以垂直于ox轴的速度v射出，可在适当的地方加一个垂直于xy平面、磁感应强度为B的匀强磁场。

若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求这个圆形区域的最小半径。

（重力忽略不计）【解析】质点在磁场中做半径为R= 的圆周运动。

根据题意，质点在磁场区域中的轨迹是半径等于R的圆上的一段圆弧。

物理解题中的极值方法杨国平【摘要】概括了极值问题的几种典型解法，从数学和物理两个角度进行一题多解．【期刊名称】《物理通报》【年(卷),期】2012(000)004【总页数】3页(P55-57)【关键词】极值问题;最值问题;数理结合【作者】杨国平【作者单位】绍兴市第一中学,浙江绍兴312000【正文语种】中文【中图分类】O4-4极值问题又叫最值问题，对应于物理变化过程中出现的一种特殊状态(题意中经常会出现“最大”、“最小”、“至少”等字眼).极值类问题常作为竞赛和高考中的难题，为命题者所青睐.就解题的策略而言，通常有数学和物理两种途径.1 极值问题的数学解法粗浅地说，解极值问题的过程可分为两步:一是建立模型;二是根据题给条件和相关物理规律，把待求量表述为某种数学形式(如一元二次方程)，然后利用数学手段求解.常涉及到的知识点有以下三个.1.1 二次函数y = ax2 +bx+c的性质当时，y有极值：a > 0时y有最小值;a < 0时y有最大值.【例1】图1所示为一定质量理想气体的状态变化图，在状态A时的温度为300 K.求气体从状态A沿直线变化到状态B的过程中，能达到的最高温度.图1解析:由理想气体状态方程知，气体由状态A变化到待求状态的过程中，有(1)又直线AB的数值方程为p = 4 - 0.5V(2)代入得T = -25V2 +200V = -25(V- 4)2 + 400当V= 4时,Tmax= 400，所以最高温度为400 K .(2)Δ判别法要x有解，须有Δ = b2 - 4ac ≥ 0，从中能得到关于某一物理量的极值.【例2】在水平地面上方10 m高处，以20 m/s的初速度沿斜上方抛出一物体.不计空气阻力，g取10 m/s2,求物体的最大射程.图2解析:以抛出点为原点，建立直角坐标系xOy，如图2所示.设v0与x轴的夹角为θ，飞行时间为t，有(1)(2)联立式(1)、(2)消去参数t，得轨迹方程代入数据有要使tanθ有解，据Δ ≥ 0 解得x2≤2 400 m2则最大射程1.2 三角函数的有界性利用三角函数sinθ,cosθ的有界性(最大值为1)，可求出三角函数的极值以及对应的θ角.通过和差化积、积化和差等手段，最后常常会出现形如等结果，这样就能确定y的最值.【例3】如图3所示，木块和水平地面间的动摩擦因数为μ ，力F斜向上拉木块在水平面上匀速前进.求F和水平方向的夹角为多少时最省力.图3解析：据图3，有∑Fx = 0 ∑Fy = 0则Fcosα-f =0(1)f = μN(2)N +Fsinα-mg =0(3)联立式(1)、(2)、(3)得因其中故当tanα=μ ,即α=arctanμ时1.3 基本不等式的性质若变量a>0，b>0，c>0，则有当且仅当a=b(=c)时等号成立.特别值得一提的是，物理极值类问题中经常会出现y=sinθcos2θ的结果.令因为即和是定值，则当y有极大值.【例4】电容式电压计是空气平行板电容器.一个极板固定不动，另一个极板可以垂直板面方向平动，如图4所示.极板面积为S.当电压为零时两极板间距为d .劲度系数为κ′的弹簧固定在可动极板上.此仪器可以测量的最大电压是多少？图4分析：在两极板加一电压U后，所带电荷量Q=CU.两板因带异种电荷而相互吸引，使得指针右移，同时改变了电容量，吸引力又得微调……因此，解该题先要找到力与极板间距之间的关系.解析:令电压U=0时，x=0.当电压为U时,极板之间吸引力为F，当极板间距变化Δx后，板间电场能变化为利用虚功原理解得带电后，左板偏离了x，当弹簧弹力与吸引力平衡后，有则令y=x(d-x)2=当时2 极值问题的物理解法利用数学知识求解极值问题，是最常用,也是最自然的方法.但把物理问题过分数学化，有时甚至会变成一长串数学式子而掩盖了问题的物理本质.很多情况下我们可以根据物理概念和规律进行分析，明确题中物理量在什么条件下取极值，或出现极值时有何特征，然后根据这些条件或特征来寻找极值.2.1 物理量及其变化率例如，根据当磁通量Φ最大(线圈位于中性面)时,感应电动势E=0.根据速度当v=0时，位移x有极值(如竖直上抛运动的最高点).根据加速度当a =0时，速度v有极值(某一方向上该结论仍成立)……2.2 作为物理知识储备的条件可直接调用例如，涉及两个物体的追及问题，当速度相等时，两者间距离出现极值(极大或极小);或在完全非弹性碰撞中系统动能损失ΔEk有最大值；在运动学极值问题中，还可借助光学中的费马原理，甚至借用等时弦的结论；在电路中电源输出功率最大的条件是r = R外，引入等效电源模型可使其应用范围大大拓展；在采用力、速度等矢量图解法时，常会出现垂线段最短的情况.试举两例如下.【例5】小球从离地面高h处以初速度v0与水平方向成θ角斜向上抛出，在空中运动轨迹是一条抛物线.问小球水平最大射程是多少？解析：斜抛运动也可看成是初速度方向的匀速直线运动和自由落体运动的合成.由此作出速度矢量图，在图5中，由机械能守恒可知其大小是不变的.注意到水平射程由图5可知，该矢量三角形的面积为又可表示为则水平射程欲使x最大，取故小球水平最大射程为图5【例6】在例3中，物体受重力mg，弹力N，摩擦力f和拉力F四个力作用.将f 和N合成为一个全反力R，如图6，它与竖直方向的夹角为φ，则因此这个力的方向是不变的.摩擦角φ=arctanμ这样木块就可视为受重力mg，全反力R，拉力F三个力作用.因合力为零，所以mg，F，R组成封闭的矢量三角形，其中mg恒定，R的大小不定，方向定.在力矢量三角形中，当F垂直于R(即F与水平方向的夹角α=φ=arctanμ)时图6。

A．当 =0 时，该解给出 a=0，这符合常识，说明该解可能是对的 B．当 =90时，该解给出 a=g，这符合实验结论，说明该解可能是 对的 C．当 M≥m 时，该解给出 a=gsinθ，这符合预期的结果，说明该解 可能是对的 D．当 m≥M 时，该解给出 a= g ，
sin 这符合预期的结果，说明该解可能是 对的
[例5]足球运动员在距球门正前方s处的罚球点，准确地从球门
正中央横梁下边缘踢进一球。横梁下边缘离地面的高度为h，足球
质量为m，空气阻力忽略不计。运动员至少要对足球做的功为W。
下面给出功W的四个表达式中只有一个是合理的，你可能不会求
解W，但是你可以通过一定的物理分析，对下列表达式的合理性
做出判断。根据你的判断，W的合理表达式应为(
举例如下：如图所示，质量为M、倾角为θ的滑块A放于水平地 面上。把质量为m的滑块B放在A的斜面上。忽略一切摩擦，有人求 得B相对地面的加速度 式中g为重力加速度。 对于上述解，某同学首先分析了等号右侧量 的单位，没发现问题。他进一步利用特殊条 件对该解做了如下四项分析和判断，所得结 论都是“解可能是对的”。但是，其中有一项是错误的（ ）
)
A.
W
1 mg(h 2
h2 s2 )
B. W mgh
D. 可能是先变大后变小
【变式1】(多选)如图所示，真空中A、B两点固定着两等量正 点电荷Q，MN为A、B连线的中垂面，O为A、B连线的中点。现 将一点电荷q从中垂面上一点P沿中垂面向O点移动的过程中，点 电荷q受A、B两点电荷共同作用力大小的变化情况是( CD )
A. 一定是逐渐增大 B. 一定是逐渐减小 C. 可能是逐渐减小 D. 可能是先变大后变小
A．cosα = F mg

图中N左侧与ab相切，则此切点P1就是粒子能打中的左侧最远点.为定出
P1点的位置，可作平行于ab的直线cd，cd到ab的距离为R，以S为圆心，
R为半径，作弧交cd于Q点，过Q作ab的垂线，它与ab的交点即为P1.
②
再考虑N的右侧。任何粒子在运动中离S的距离不可能超过2R，以
2R为半径、S为圆心作圆，交ab于N右侧的P2点，此即右侧能打到的最远
【解析】当水流速度v1=0（极限）时，摩托艇登陆的地点是O点，也
就是离O点距离为零，此时用时最短，只有C选项正确。
3．（04年广东）如图，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向
里，磁感应强度的大小B=0.60T，磁场内有一块平面感光板ab，板面与磁场
方向平行，在距ab的距离l=16cm处，有一个点状的放射源S，它向各个方
在解题时，一定要先判定物理量间的变化关系是否为单调变化。若物理量间
的变化关系为单调变化，可假设某种变化的极端情况，从而得出结论或作出
判断。
极限法常见用于解答定性判断题和选择题，或者在解答某些大题时，用极
限法确定”解题方向”。在解题过程中，极限法往往能化难为易，达到”事半功
倍”的效果。
【典型例题】
例1.如图所示电路中，当可变电阻R的阻值增大时（）
点.
由图中几何关系得③
所求长度为④
代入数值得P1P2=20cm⑤
4．（03年江苏）图1所示为一根竖直悬挂的不可伸长的轻绳，下端拴一小
物块A，上端固定在C点且与一能测量绳的拉力的测力传感器相连.已知有一
质量为的子弹B沿水平方向以速度射入A内（未穿透），接着两者一起绕C
析题中所给条件，再根据物理规律写出物理量间的关系，列出函数表达式，
利用数学知识予以判断解答，过程复杂，需要时间较多，显然不能适应高考